Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  5  (1967) M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA DWUWYMIAROWYCH N IEU STALON YCH  PRZEPŁYWÓW G AZU Z BYSZ KO  KAZ I M I E R SKI  ( Ł Ó D Ź ) 1. Wstę p W  artykule  przedstawion o  rozważ an ia  dotyczą ce  metody  charakterystyk  zastosowanej do ukł adu nieliniowych  równ ań dyn am iki gazów, opisują cych  dwuwymiarowe,  nieustalone, niepotencjalne  przepł ywy.  Celem  artykuł u jest  wykonanie  pewnej  czę ś ci  pracy  przygoto- wawczej  przed  przystą pien iem  do  numerycznych  obliczeń  dwuwymiarowych  nieustalonych przepł ywów  gazu.  Z  tego  powodu  poł oż ono  nacisk  n a  opis  geometryczny  powierzchni charakterystycznych  i  analizę   zwią zków  charakterystycznych  pomię dzy  funkcjami  okreś la- ją cymi  stan  gazu  n a  tych  powierzchn iach.  Zwią zki  charakterystyczne  wyprowadzono w  postaci  dogodnej  do  bezpoś redniego  przedstawian ia  ich  jako  równania  róż nicowe  n a dowolnej  pł aszczyź nie  charakterystycznej.  Wyprowadzon o  również  zwią zki  charaktery- styczne  n apisan e  tylko  dla  kierun ku  bicharakterystyk. R ozpatrzen ie  przypadku  trójwymiarowego  (dwie  zmienne przestrzenne  i  czas) został o podyktowan e  chę cią   n ad an ia  poszczególnym  rozm aitoś ciom  matematycznym  poglą dowej interpretacji  geometrycznej,  co jest  niemoż liwe  w  przypadkach  czterowymiarowych. Artykuł   nawią zuje  do  uję ć  m etody charakterystyk  spotykanych  w  publikacjach  [1, 2, 3] zawiera  rozwinię cie  n iektórych  problem ów  zwią zanych  z  tą   metodą . 2. Układ równań róż niczkowych R ozpatrujem y  dowolny  p u n kt  P  wewną trz  nieustalonego  dwuwymiarowego  przepł ywu gazu.  P rzepł yw  w  t ym  pun kcie  opisujemy  w  ukł adzie  kartezjań skim  o  współ rzę dnych Xi  =   x,  x 2   s  y,  Xi  s  t.  P oczą tek  ukł adu umieszczony  jest  w  pun kcie  P.  Współ rzę dne  x y i x 2   nazywamy  współ rzę dn ymi przestrzen n ym i, a pł aszczyznę  x x x 2   «przestrzenią ». N atom iast x 3   jest  współ rzę dną   czasową .  Bazę   ukł adu  xix 2 x$  oznaczymy  {e^l,  0, 0),  e 2 ( 0, 1,  0), e3(0, 0,  1)}.  Stan  gazu  w  każ dym  pun kcie  przepł ywu  okreś lają   cztery  skalarne  funkcje współ rzę dnych.  Są   t o :  dwie  skł adowe  prę dkoś ci  v x   i  v 2 ,  ciś n ien iê   i  gę stość  g.  Lokalną prę dkość  dź wię ku  oznaczym y  przez  a.  Wym ienione  funkcje  są   bezwymiarowe,  ponieważ prę dkoś ci  okreś lamy  w  stosun ku  do  pewnej  wybranej  prę dkoś ci  dź wię ku  ao>  ciś nienie w  stosun ku  do  CIIQ 0  i gę stość do g0.  Ogólnie funkcje  te oznaczymy  przez  uj  =  Uj(xi, x2,  x3 ) ; 0'= =   1, 2, 3, 4)  i  przyporzą dkujemy 200 ZBYSZKO  KAZIMIERSKI Zdefiniujemy  poza  tym  przestrzenno- czasowy  wektor  prę dkoś ci  \ (vi,v 2 ,]).  który posiada  skł adową   przestrzenną   v(wi,w2)  oraz  przestrzenno- czasowy  gradient  funkcji  u}: fe- 1 U kł ad  równ ań  dynamiki  gazów  dla  rozpatrywanego  przepł ywu  w  opisanych  współ rzę d- nych  moż na  wyrazić  w  postaci  sum  iloczynów  skalarnych 4 (2.1)  2 ' a ( ( y V M y  =   0>  i =   1 , 2 , 3 , 4 . 7 - 1 Trójwymiarowe  wektory  ^ ufajj,  ai tj>2 ,  dtj t i)  m oż na  przedstawić  w postaci  macierzy "  QV  0  e,  O ' (22) a  =   ° SV *2  ° a  get  «rge2  V  0 0  0  - V a2 V . Pierwsze  dwa  wiersze  (2.2) pochodzą   z  równań  zachowania  pę du,  trzeci  z  zachowan ia masy,  a  czwarty  en tropii. Jest  zatem  dan y  jedn orodn y  ukł ad  czterech  ą uasi- liniowych  równ ań  róż niczkowych potrzebny  do  okreś lenia  czterech  funkcji  niewiadomych  uj. Wyraż enie  typu  c- V«  (funkcja  u ma róż niczkę   zupeł ną ) m oż na  przedstawiać  w  postaci znanego  pod  nazwą   pochodnej  kierunkowej. 3. Równanie i zwią zki  charakterystyczne Rozpatrzm y  kombinację   liniową   równ ań  (2.1) (3. 1 ) gdzie  wektory  Wy  dla  j  =  1, 2, 3, 4  są   przedstawione  również  ja ko  kom binacje  liniowe wektorów  a,- .y 4 n  y\   w .  -   -   V  ™  a. .•   * Liczby  «(  wystę pują ce  w  (3.2)  są   rzeczywiste  i nie znikają   jednocześ nie. Ż ą damy,  aby  wszystkie  wektory  Wy  leż ały  w jednej  pł aszczyź nie.  U stanowim y  wektor N(JVi, N 2 ,  N ^  zawsze róż ny od zera, n orm aln y do tej pł aszczyzny, którą   n azwan o  pł aszczyz- ną   charakterystyczną   JTN-   Skł adowa  przestrzenna  N  jest  oznaczona  przez  n(N u N 2 ). Powyż sze  ż ą danie  koplan arn oś ci  Wy  zapisać  m oż na  jako  ukł ad  równ ań  Wy •  N   =   0 dla  7 =   1,2,  3, 4  czyli 4 (3.3)  •   yi a , ( a , , yN )  =   0,  ; = 1 , .  2, 3, 4. M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA  PRZEPŁYWÓW  G AZU   201 U kł ad  (3.3)  sł uży  do  obliczenia  współ czynników  a,-   i  ma  rozwią zanie,  o  ile  jego wyznacznik  charakterystyczny  jest  równ y  zeru (3.4)  d e t [ a u - N] =   0,  ij  =   1,2,  3, 4. R ówn an ie  (3.4) nazywamy  równ an iem charakterystycznym  ukł adu (2.1). Jeś li w oparciu o  (2.2)  obliczymy  (3.4), to  otrzym am y (3.5)  a2(*XV •  N ) 2[(V •  N ) 2 - a W + j V f )]  =   0. Z  (3.5) wynika,  że  n nie m oże nigdy  zn ikać, bo  prowadzi  to  do  sprzecznoś ci  z zał oż oną niezerowoś cią   N . Okazuje  się   wię c,  że (3.6)  ( V- N )2 - a2 n 2 =   0, (3.7)  ( V- N )2 =   0 nie  mogą   być  speł n ion e  równocześ nie,  czyli  opisują   w  rozpatrywanym  punkcie  P  dwie rodziny  wektorów  n orm aln ych  ozn aczon e ja ko  N  i N . D ł ugość  wektorów  N   i  N   okreś limy  norm ują c  ich  skł adowe  przestrzenne,  czyli zakł adają c (3.8)  |n |  =   l,  |n |  =   l , co  m oż na  zrobić,  pon ieważ  nigdy  nie  są   one  zerowe. Z badan iem  rodzin  wektorów  N   i  N   zajmiemy  się   w  nastę pnym  punkcie  sygnalizują c w  tym  miejscu,  że  obowią zują ce  na  pł aszczyznach  charakterystycznych  JTN   i  ^  w y z n a " czanych  przez  wektory  N i  N   zwią zki  (3.1)  nazywają   się   zwią zkami  charakterystycznymi. 4. Rozważ ania geometryczne W  tym  pun kcie  zostan ą   om ówion e  powierzchnie  utworzon e  przez  wektory  N   i  N , pł aszczyzny  TTŃ  i  T C^  oraz  powierzchn ie  obwiednie  tych pł aszczyzn. 4.1. Stoż ek normalnych N  i stoż ek charakterystyczny.  R ozpatrywany  pun kt  przepł ywu  P  usta- nawiamy  pun ktem  począ tkowym  wszystkich  wektorów  N   z  równania  (3.6),  które  po wykorzystaniu  (3.8) piszemy  w  postaci (4.1)  V- N   =   a. R odzin a  wektorów  N   wyraż ona  przez  (4.1)  tworzy  zatem  powierzchnię   stoż kową o  wierzchoł ku  w  P.  Kierownicą   stoż ka  i jednocześ nie  miejscem  geometrycznym  koń ców wektorów  N  jest  elipsa  E.  Elipsę   E  otrzym am y  z  przecię cia  powierzchni  bocznej  walca koł owego  o podstawie  |n |  =   1 (rys.  1), n a  której  leżą   koń ce N , pł aszczyzną (4.2)  V- ( N - N0 ) =   0, n a której  również jak  wynika  z  (4.1) muszą   leż eć koń ce N . Wektor  N ojest  dowolnie  wybra- nym  wektorem  spoś ród  wszystkich  N  okreś lonych przez  (4.1). Pł aszczyzna (4.2) jest prosto- padł a  do  V.  Opisywany  przez  (4.1)  stoż ek  wektorów  N   nazwiemy  stoż kiem norm alnych. Przecię cie  (3.8)  z  (4.2)  dla  rozpatrywan ego  przepł ywu  istnieje  zawsze.  Równanie  (4.1) m a  zawsze  rozwią zanie  ze  wzglę du  n a  czasową   skł adową   N (4.3)  N 3   =   a—  (VL N I+V 2 N 2 )  =  a—y  •  n 202 ZBYSZKO  KAZIMIERSKI Wś ród  kierunków  n z  okrę gu  |n |  =   1 n a  pł aszczyź nie  x x x 2   wyróż nić  należy  ze  wzglę du n a  wartość  iloczynu  v- n  cztery  kierunki  (wg  oznaczeń n a  rys.  1): n t  i  n m ;  n x  =   —n i n ,  dla  których  v n  =   ± w oraz n n  i  n J V ;  n n  =   —n I V ,  dla  których  v- n  =   0. Ś rednice  koł a  |n |  =   1 wyróż nione  przez  wektory  n t  i  n XI są   rzutam i  osi  gł ównych  elipsy  E. Krótsza z  osi jest  równoległ a  do pł aszczyzny  X\ X 2   i jej  odległ ość  od  x x x 2   wedł ug  (4.3) jest zawsze równ a N 3   dla n =   n n  czyli  lokalnej  prę dkoś ci  dź wię ku  a. Jako  dodatkowe  wyjaś nie- Rys.  1 Rys.  2 nie podać należ y,  że rysunki  zrobion e są   dla zał oż enia, że prę dkość dź wię ku  odniesienia Oo, do której  redukowane są   wszystkie prę dkoś ci, w tym lokaln a prę dkość dź wię ku, jest  maksy- malną   spoś ród  lokalnych prę dkoś ci dź wię ku  dowolnie  duż ego  otoczenia p u n kt u P.  Wyn ika stą d,  że  n a  rysunkach  zawsze  a  ^  1.  Rysunki  1  i  2  przedstawiają   stoż ki  n orm aln ych. Rysunek  1 wykonany  jest  dla  przepł ywu  poddź wię kowego  w  pun kcie P,  a  rys.  2  dla prze- pł ywu  naddź wię kowego. Z e wzoru  (4.3) wynika,  że dla (4.4) n  =   n T gdy a  >  |v| a = |v| a<  lvi Oznacza  t o ,  że  dla  prę dkoś ci  poddź wię kowych  stoż ek  (4.1)  leży  cał kowicie  p o n ad  «prze- strzenią »  Xix 2 ,  dla  dź wię kowych  jest  do  niej  styczny  wzdł uż  linii  wyznaczanej  przez  n t , a  dla  prę dkoś ci  naddź wię kowych  przecina x 1 x 2   dają c  w  przecię ciu  dwa  kierun ki  pokazan e M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA  PRZEPŁYWÓW  G AZU   203 na  rys.  2  i  oznaczone przez  n+   i  n r.  Inaczej  mówią c  równanie  (4.1)  dla przepł ywu ustalo- nego,  gdy  V  =   v,  ma  rozwią zanie  tylko  dla  |v|  >  a i  rozwią zaniem  są   kierunki  n+  i  vr. Każ dy  wektor  N  z  równania  (3.6), czyli  każ dy  wektor  wzię ty  z powierzchni  tworzą cej stoż ka  (4.1)  wyznacza w czasoprzestrzeni Xix 2 x 3   prostopadł ą  do niego pł aszczyznę  charakte- rystyczną   TTN-  Pł aszczyzny  charakterystyczne  wyznaczane  przez  wektory  N   nazwiemy pł aszczyznami  falowymi.  Zbiór  wszystkich  pł aszczyzn  TEN  przechodzą cych  przez  punkt P ma  powierzchnię   obwiednią   bę dą cą   podobnie jak  (4.1)  powierzchnią   stoż kową. Moż na uważ ać, że powierzchnia tajest  utworzona z wektorów  B, z których każ dy wyznacza  styczną mię dzy  pł aszczyzną   TTN  przyporzą dkowaną   danemu N , a  powierzchnią   obwiednią   wszyst- kich  TTN-  Rodzinę  wektorów  B  moż na  wyznaczyć  z  dokł adnoś cią   do  stał ego  niezerowego mnoż nika fi  stosują c  znany  w  teorii obwiedni  wzór (4.5)  B k   =   fi JL   [(V-  N f- aW ],  A:—1.2, 3. Po  obliczeniu  (4.5)  otrzymamy B x   =   2 (4.6)  B 2   = U wzglę dniając  w  (4.6)  zwią zek  (4.1)  stwierdzamy,  że  5 3  zawsze jest  róż ne  od  zera i  moż emy  dzielą c  obustronnie skł adowe B k   (k =   1, 2, 3) przez B 3   okreś lić  wektor  B nastę - pują co (4.7)  J L = V - a i i. Rodzina  wektorów  B  tworzy  znany  stoż ek  charakterystyczny  przedstawiają cy  lokalną prę dkość  rozchodzenia  się   mał ego zaburzenia  w  punkcie  P. Skł adowe tej  prę dkoś ci  są   równe (4.8)  ^  =   Ą - aN u  %•  =   v 2 - aN 2 . Rysunek  3 pokazuje  stoż ek  (4.7). Powierzchnię   charakterystyczną   w  otoczeniu  punktu  P  zdefiniować  moż na jako  po- wierzchnię ,  która  jest  w  dowolnym  swym  punkcie  prostopadł a do  wektora  N   bę dą cego jedną   z tworzą cych  stoż ka  (4.1)  zbudowanego  w  tym punkcie. Rozpatrzymy  dowolną   powierzchnię   charakterystyczną   przechodzą cą   przez  P. W  każ dym  punkcie tej  powierzchni  w  otoczeniu P  moż na znaleźć wektor  B, który  bę dzie okreś lał   styczną   mię dzy  rozpatrywaną   powierzchnią   i  stoż kiem  charakterystycznym  (4.7), utworzonym  w  tym punkcie. Wobec  tego  przez  dowolny  punkt wymienionej  powierzchni charakterystycznej  moż na  poprowadzić  linię   pola  wektorowego  wektorów  B.  Te  linie nazywamy  bicharakterystykami  ukł adu  równań  (2.1)  dla  rozwią zania  u J (x l ,x 2 ,  Xi), j  =  1, 2, 3,  4. Przez wybrany  pun kt P  moż na z uwagi na istnienie w  nim jednego  stoż ka  (4.1) i  zdefi- niowane  wyż ej  poję cie  powierzchni  charakterystycznej  poprowadzić  nieskoń czenie  wiele 204  ZBYSZKO  KAZIM IERSKI bicharakterystyk,  które  utworzą   jedną   powierzchnię   charakterystyczną ,  zwaną   kon oidą charakterystyczną .  K on oida  charakterystyczna  w  pun kcie  P  jest  prostopadł a  do  stoż ka normalnych  (4.1) i  styczna  do  stoż ka  charakterystycznego  (4.7). Wektory  B  z powierzchni bocznej  stoż ka  (4.7) wskazują   kierunki  bicharakterystyk  poprowadzon ych  przez  P. Stoż ek  (4.7) jak  ju ż  wspomniano  pokazuje  lokalną   prę dkość  rozchodzenia  się   mał ego zaburzenia  w  punkcie  P,  n atom iast kon oida  charakterystyczna  jest  w  ukł adzie współ rzę d- nych  Xi,X2,x }   obrazem  rozchodzenia  się   mał ego  zaburzen ia  w  otoczeniu  tego  p u n kt u , gdzie  panują   niejednorodne pola  param etrów  okreś lają cych  stan  gazu. Z  uwagi  n a powyż ej  wymieniony  sens fizyczny  i geometryczny  stoż ek  charakterystyczny (4.7)  moż na nazwać również  stoż kiem  falowym  lub  stoż kiem  kierun ków  bicharakterystyk. Rys.  3 Kierunkiem  norm alnym  do  czoł a  fali  rozchodzą cego  się   mał ego  zaburzenia  w  P,  ja k to wynika  z  (4.7), jest  kierunek  n. P rę dkość rozchodzenia się   zaburzenia  w  kierun ku  n jest  równ a (4.9)  B n  =  - ?- .„  =  v. n - a. 3 Porównują c  to  z  (4.3) wycią gamy  wniosek (4.10)  B„ =   - N t , co  objaś nia  sens fizyczny  skł adowej  czasowej  wektorów  n orm aln ych N . P orównanie stoż ków  norm alnych i  stoż ków  kierun ków  bicharakterystyk  dla  przepł ywu poddź wię kowego  i  naddź wię kowego  pokazan o  n a  rys.  4 i  5. Wzajemna  ortogon aln ość stoż ków,  czyli  speł nienie B •  N   =   0  dla  każ dego  n  n ie  zależy od  wybranej  skali  prę dkoś ci,  czyli  od  ustan owion ych  proporcji  a/ a 0 .  Zależy  od  niej  n ato- M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA  PRZEPŁ YWÓW  G AZU 205 m iast  wzajemne  poł oż en ie  stoż ków  przy  prę dkoś ciach  poddź wię kowych  i  naddź wię kowych. R ysun ki  4 i  5 wykon an o jak  i wszystkie pozostał e dla  zał oż enia a  <  a a ,  czyli  a  <  1. Wtedy dla  prę dkoś ci  poddź wię kowych  stoż ek  (4.7) mieś ci  się w  stoż ku  (4.1), a nał oży się n a niego, gdy  a  =   flo  i  \ v\   - > 0.  Wraz  ze  wzrostem  \ v\  do  prę dkoś ci  naddź wię kowych  stoż ek  (4.7) «wychyla»  się  coraz  bardziej  ze  stoż ka  n orm aln ych  i  dla  przepł ywów  hiperdź wię kowych stoż ek  n orm aln ych zbliża  się  do  pł aszczyzny  (4.2), a  stoż ek  falowy  otacza  «coraz  ciaś niej» kierun ek  V. Rys.  4 Rys.  5 G dyby  wybrano  t ak  a 0 ,  że  m ogł oby  być  a  >  a 0 ,  przy  prę dkoś ciach  poddź wię kowych stoż ek  falowy  mógł by  obejmować  stoż ek  n orm aln ych.  Przy  wzroś cie  prę dkoś ci  \ v\  do ponaddź wię kowych  usytuowan ie  stoż ków  był oby  takie  samo jak  na  rys.  5. 4.2. Pł aszczyzna wektorów normalnych N  i kierunek toru czą tski V. Rodzinę  wektorów  N   przed- stawia  równ an ie  (3.7). Jest  t o  m n oż ony  dwukrotn ie  zwią zek (4.11)  V- N   =   0. Wektor  N  jest  zawsze  prostopadł y  do  kierun ku  V,  leży  więc  w  pł aszczyź nie  prosto- padł ej  do V.  P oczą tki wektorów  N  leżą  w pun kcie P, koń ce n atom iast na elipsie £   powstał ej z  przecię cia  walca  jedn ostkowego  |n |  =   1 pł aszczyzną  (4.11). Z  (4.11)  wynika,  że  N 3   =   — v- n.  W  takim  razie  —Ń 3   jest  rzutem  prę dkoś ci przemieszczania się czą stki  (w sensie  czą stki  oś rodka  cią gł ego) n a  wybrany  przez 5 kierunek n a  pł aszczyź nie x, x 2   •   R odzin a wektorów  N  wyznacza  prostopadł e  do  nich pł aszczyzny  T I^ , które  bę dziemy  nazywać  pł aszczyznami toru. Pł aszczyzny  n^   mają  obwiednię,  która  dege- neruje  się  do jednej  prostej  —  prostej  wyznaczają cej  kierunek  toru w  punkcie P,  czyli (4.12)  B  =   ,aV; B jest  styczną  do  krzywej  opisują cej  tor  czą stki  T   w  punkcie  P jak  n a  rys.  6.  Porównując 206 Z BYSZ K O  K AZ I M T E R SK I skł adowe  wektorów  prawej  i  lewej  strony  równoś ci  (4.12)  m oż na  wobec  niezerowoś ci  / u napisać (4.13) Rys.  6 4.3. Charakterystyki  przepływów  opisanych  w  przestrzeni  dwóch  zmiennych  niezależ nych.  P r z e - p ł y w  j e d n o w y m i a r o w y  n i e u s t a l o n y .  Z akł adam y,  że  funkcje  opisują ce stan  gazu  w  P  i  otoczeniu zależą   tylko  od  x 2   i  x 3 .  Rozpatrujem y  wię c  jednowym iarowy nieustalony  przepł yw.  Oś  x 2   jest  skierowana  zgodnie  z  v.  Każ dy  przekrój  pł aszczyzną x :   =   const daje jednakowe  ś lady  stoż ków  charakterystycznych. / W 2'ae z - n'V"ae z   - V—B" Rys.  7 Przekrój  stoż ka  norm alnych wyznacza  dwa  wektory  N   oznaczone przez  N+  i  N ~ n a rys.  7.  Oznaczenie to nawią zuje  do  wzoru  (4.9), który  objaś nia  sens  fizyczny  wektorów  N , a  wł aś ciwie  skł adowej  czasowej  tych  wektorów. M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA  PRZEPŁYWÓW  G AZU 207 Ś lady pł aszczyzn falowych  TTNI. i  HN -  są  prostym i prostopadł ym i do N+  i N ~  i  pokrywają się   ze  ś ladami  przekroju  stoż ka  kierun ków  bicharakterystyk  czyli  z  kierunkam i  B+  i  B~. P rzekrój  kon oidu  K  daje  dwie linie  charakterystyk  oznaczone przez  C+  i  C~. P ł a s k i  u s t a l o n y  p r z e p ł y w  n a d d ź w i ę k o w y.  Z akł adam y, że  funkcje opisują ce  stan  gazu  w  P  i  otoczeniu zależą   tylko  od  X\  i x 2 .  Przepł yw jest  ustalony  V  =   v. Jak  pokazan o  w  p .  4.1. przecię cie  stoż ka  norm alnych z pł aszczyzną   x x x 2   czyli  rozwią zanie równ an ia  v- n  =   a istnieje  tylko  dla przepł ywów  naddź wię kowych.  Ś lady  przecię cia  stoż ka n orm aln ych  pł aszczyzną   xcc 2   lub  inaczej  rozwią zanie  równ an ia  v •  n =   a  oznaczono  przez n+   i  n~~  n a rys.  2 i n a rys.  8. Rys.  8 Ś lady  pł aszczyzn falowych  n n + i  n a -   są   n a  rys.  8 liniam i prostym i  prostopadł ym i odpo- wiednio  do  n+  i ir~. P roste  3Tn+  i nn-   pokrywają   się , ja k  widać  n a rys.  8, z rzutam i n a x^ x2  kierunków  bicha- rakterystyk  okreś lonych  równ an iam i B+  =   Y- an+,  B  =   V- « i r, rzuty  są   oczywiś cie  równ e (4.14) b+  =   v—an+, =   v— Zwią zki  (4.14)  wyznaczają   w  pun kcie  P  kierunki  dwóch  charakterystyk  n a  pł aszczyź nie XiX 2 .  C harakterystyki  ozn aczon e przez  C+  i  C~ okreś lają   zakres  oddział ywania  drobnego zaburzenia  wywoł anego  w  P  w  naddź wię kowym  pł askim  ustalon ym  przepł ywie.  C+  i Ci- są   rzutam i n a x x x 2   bicharakterystyk  wyróż nionych  wektoram i  B+  i  B~. 208  ZBYSZKO KAZIMIERSKJ 5. Zwią zki charakterystyczne Zwią zek  charakterystyczny  (1.3)  jest  kombinacją   liniową   równ ań  tworzą cych  ukł ad równ ań wyjś ciowych.  Zwią zek  (2.3) mówi  o tym, że suma iloczynów  skalarnych  gradientów funkcji  Uj, okreś lają cych  stan  gazu  przez  wektory  W;, jest  równ a  zeru.  Wektory  Wj  leżą w jednej  pł aszczyź nie —  może  to być  pł aszczyzna falowa  n^   ze  zbioru  pł aszczyzn  okreś la- nych  rodziną   wektorów  N   lub  pł aszczyzna  toru  n^   ze  zbioru  pł aszczyzn  wyznaczonych przez  rodzin ę   wektorów  N .  Zwią zki  charakterystyczne  dla  pł aszczyzn  falowych  i  zwią zki dla pł aszczyzn toru nie są  jedn akowe.  Rozpatrzymy je  kolejno. 5.1. Zwią zki charakterystyczne na płaszczyznach falowych.  M acierz  współ czynników  do  ukł adu równań  liniowych  (3.3)  dla  pł aszczyzny  ?rN po  uwzglę dnieniu  (4.1) jest  n astę pują ca: (5.1) qa  O  O1QN 1   O O  Qa  a2gN 2   O N i  N 2   a  O 0  0  0  a ' Rzą d  macierzy  (5.1) jest  równy  3,  wobec  czego  istnieje  jedn o  liniowo  niezależ ne  roz- wią zanie  ukł adu (3.3) z macierzą   (5.1). Oznacza to również, że dla każ dego  N  z  (4.1)  istnieje jeden  liniowo  niezależ ny  zwią zek  charakterystyczny. Rozwią zaniem  (3.3)  z  macierzą   (5.1)  jest  z  dokł adnoś cią   do  jedn akowego  stał ego mnoż nika  nastę pują cy  ukł ad  współ czynników: (5.2)  a,  =   —aN i,  a 2   =   —aN 2 ,  a 3  =   1,  a4  =  0. Wektory  Wj  na podstawie  (2.2), (3.2) i  (5.2) okreś lone są  jak  n iż ej: (5'3)  w  = W 4 = 0 . Z wią zek  (3.1) d la  każ d ej  pł aszczyzn y falowej  TEN  z e  wzglę du  n a  t o ż sa m o ś ci  u {   ~  v t ,  u 2   a  w2, H 3  =   / ; p r ze d st a wia  wyraż en ie 2 V  1 (5.4)  >  (ae„—Af„V)- Vw„H   ( V—a n ) - Vp  =   0 . i"' Widać,  że  VV3  pokrywa  się   z  kierunkiem  bicharakterystyki  B.  M oż na ł atwo  sprawdzić, że W,  i W2  nie są   nigdy  kolinearne  oraz że W!  i  W2  nie są   nigdy  kolin earn e z W3  czyli  z  B. P roste  przekształ cenia  (5.4)  i  wykorzystanie  poję cia  pochodn ej  kierunkowej  pozwalają napisać je  w  postaci 1 e Prawa  strona powyż szej równpś ci jest  p o  prostu  równ an iem  zachowania  masy  i  równ a się  toż samoś ciowo  zeru.  Lewa  stron a jest  równaniem zachowania  pę du  m noż onym  skalar- nie przez niezerowy  wektor  o^n. Widać  wię c, że (5.4) zawiera  w sobie  równ an ie zachowan ia (5.6) M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA PRZEPŁ YWÓW  G AZU   209 pę du  i  m asy,  a  więc  n iepeł ny  u kł ad  równ ań  wyjś ciowych.  N ależy  zauważ yć,  że dla prze- pł ywu  jedn owym iarowego  n ieustalon ego  przedstawian ego  we  współ rzę dnych  x 2 x 2   (jak n a  rys.  7) kierun ki  wektorów  Wj, kt ó re  są  wtedy  tylko  dwa W2 i W3 na każ dej  z  dwóch prostych 7rN, a więc  n a nN* i nN- , równ e  są W2''  =   B+ , W 2  =   — B~, W^ =   B+ , Wj"  =  B- . Otrzym ujem y  więc  dwa  zn an e  zwią zki  charakterystyczn e (5.5)  B P rzekształ cen ie  (5.4) do  postaci  wygodnej  w  obliczeniach  numerycznych  zostanie przeprowadzon e  w p . 6. 5.2.  Zwią zki  charakterystyczne  na pł aszczyznach  toru.  M acierz  współ czynników  do  ukł adu ró wn ań  (3.3) p o  uwzglę dn ien iu  (4.11) jest  n astę pują ca 0  0  N i  0" 0_  0 ^  Ń 2   0 2 ę Ń i  a 2 QŃ 2   0  0 0  0  0  0 R z ą d  m a c ier zy  (5.6) je st  r ó wn y  2. O z n a c z a  t o , że k a ż d e mu  N  z  (4.11)  lu b  in aczej dla ka ż d ej  p ł aszczyzny  t o r u  n^   o bo wią zu ją  d wa  lin io wo  n iezależ ne  zwią zki  ch arakt eryst yczn e. R o zwią zu jąc  u k ł ad  (3.3) z m a c ie r zą  (5.6) o t r zym u je m y  d wa lin io wo  n iezależ ne  r o zwią za n ia: p ier wsze (5.7)  (Xi =   a 2  =  cc 3   =   0,  ) =  0. Z wią zek  (5.9)  m ówi  o zach owan iu  en tropii n a kierun ku  toru  czą stki  i jest  równaniem iden tyczn ym  z o st at n im ró wn an iem  u kł adu wyjś ciowego  (2.1) i (2.2). G ru p a  «| p o d a n a w  (5.8)  odpowiada  nastę pują cemu  ukł adowi wektorów W j W1  =   a i e V,  W 2 = a 2 £ V ,  W3 =   a ,  W4 =  0, co  pozwala  obliczyć  drugi  zwią zek  charakterystyczn y (5.10)  e ( a 1 V- V©1 + a 2 V- Vw2 ) + «Vjp  =  0. Korzystając  z poję cia  po ch o dn ej  kierunkowej  przekształ cimy  (5.10)  do postaci (5.11)  a1rfTw1+ a2rfvw2H   dap  = 0 5  Mechanika  teoretyczna 210  ZBYSZKO  KAZIM IERSKI lub  po  prostu (5.12) G dy  zał oż ymy  |a |  =   1,  co  moż na  uczynić  wobec  jego  niezerowoś ci,  widać,  że  (5.12) jest  rzutem  równania  pę du  n a  kierunek  a. Wektory  V  i  a, które  wytyczają   kierunki  rzutowania  gradientów  funkcji  v is v 2 i  p,  leżą oczywiś cie  w jednej  i  tej  samej  pł aszczyź nie  toru  n^   okreś lonej  przez  wybrany  z  (4.11)  N . Wektor  a  leży  n a  prostej  bę dą cej  ś ladem  przecię cia  pł aszczyzny  n^   z  pł aszczyzną   x x   x 2 . 5.3. Zależ noś ci mię dzy zwią zkami charakterystycznymi.  Wiadom o,  Że  dla  każ dego  wektora  N istnieje  jeden  niezależ ny  zwią zek  charakterystyczny  (5.4). N atom iast dla  każ dego  wektora N  obowią zują   dwa  niezależ ne zwią zki  charakterystyczne:  zwią zek  (5.9), który jest  jedn ako- wy  dla wszystkich  N  z cał ej  ich rodziny  i zwią zek  (5.11)  zależ ny  od  wybranego  N . N arzucają   się   dwa  pytan ia waż ne  z pu n kt u widzenia  zastosowań  zwią zków  charaktery- stycznych. 1.  Czy  w  ogóle  istnieją   cztery  liniowo  niezależ ne  zwią zki  charakterystyczne  w  każ dym punkcie  przepł ywu  potrzebn e  do  obliczenia  czterech  funkcji  niewiadom ych. 2.  G dy napiszemy  zwią zki  charakterystyczne  dla  wektorów  N ( 1 ) , . . . , N ( p ) , N l l ) , . . . , N ( s ) , to  ile  i  które  spoś ród  nich  są   liniowo  niezależ ne. P roblemy  te  zbadał  dokł adnie  R U SAN OW w  [3] dla  peł nych równań  dynamiki  gazów  w  czterowymiarowej  czaso- przestrzeni.  Ograni- czymy  się  tutaj  do podan ia nastę pują cych  odpowiedzi  na postawion e  pytan ia. Jeż eli  chodzi  o  zwią zki  charakterystyczne  n a  pł aszczyznach  falowych,  wyróż nianych wektorami  N , to  dla  trzech liniowo  niezależ nych  N  m oż na n apisać  trzy  niezależ ne  zwią zki (5.4). Wystarcza  to  do  rozwią zywania  przepł ywów  potencjalnych. Wiadom o, że  dla  wszystkich  wektorów  N  obowią zuje  zawsze  zwią zek  (5.9). N atom iast dwa  niezależ ne  zwią zki  (5.12)  m oż na  napisać  dla  dwóch  liniowo  niezależ nych  a,  czyli dla  dwóch liniowo  niezależ nych ń , a  tym  samym  dla  dwóch  liniowo  niezależ nych N . W  sumie  dla  rodziny  wektorów  N   m oż na  także  napisać  trzy  niezależ ne  zwią zki.  Tak wię c czterech potrzebnych niezależ nych zwią zków  nie m oż na n apisać jedynie  dla pł aszczyzn wyróż nionych  wektorami  N ,  czy  też  Ń .  Wydaje  się ,  że  wobec  zł oż onoś ci  zwią zku  (5.12) dla  przepł ywu  nieustalonego  najlepiej  wybrać  cztery  potrzebn e  zwią zki  spoś ród  trzech zwią zków  na pł aszczyznach falowych,  a jako  czwarty  doł ą czyć do nich zwią zek  zachowan ia entropii  (5.9). P od  tym  ką tem  widzenia  bę dą   prowadzon e  dalsze  rozważ an ia. 6. Dostosowanie zwią zku  charakterystycznego obowią zują cego  na  pł aszczyź nie falowej  do zastosowania  w obliczeniach  numerycznych D la  numerycznego  obliczenia  wartoś ci  funkcji  niewiadomych  w  pun kcie  wewnę trznym przepł ywu  R,  poł oż onym  w  są siedztwie  powierzchni  niecharakterystycznej  U,  n a  której znany jest  stan  gazu,  należy  zastosować  pewien  schemat  obliczeniowy.  Bę dzie  on podobn y do  tych,  które  są   uż ywane  w  ustalonych  naddź wię kowych  przepł ywach  trójwymiarowych n p.  w  [4 i 5]. Schemat  oparty jest  na  koncepcji  wykorzystania  do  okreś lenia  funkcji  niewiadom ych trzech  zwią zków  charakterystycznych  (5.4), obowią zują cych  n a  trzech  pł aszczyznach  falo- wych,  i zwią zku  (5.9) n a  odcinku toru czą stki  QR  (por. rys.  9). M ETOD A  CHARAKTERYSTYK  DLA  PRZEPŁYWÓW  G AZU 211 N a  powierzchni  77  wybieramy  trzy  blisko  poł oż one  pun kty  P, P'  i  P",  w  których  są oczywiś cie znane funkcje  Uj. P un kty  te ł ą czymy  wektoram i  k2,  kj  i k^'  (rys.  9). Pł aszczyzny charakterystyczne  7tN, OTN< i ^ H" prowadzim y  tak,  aby  leż ały  na  nich  odpowiednio  wektory k 2 ) k 2 i k 2 '  i  aby  pł aszczyzny  te  był y  prostopadł e  do  wektorów  normalnych  N , N ' i  N " w  pun ktach  P,P'iP".  Wektory  N , N ' i N "  są   wzię te  z  powierzchni  bocznych  stoż ków (4.1), zbudowanych  w  pu n kt ach P,  P'  i  P". Rys.  9 W  oparciu  o rozważ an ia  geom etryczne  z p . 4 m oż na stwierdzić,  że przez każ dy  z wekto- rów  k 2 ,  m oż na poprowadzić  p o  dwie pł aszczyzny  TTN, które bę dą   prostopadł e do  wektorów n orm aln ych  wzię tych  z  powierzchn i  bocznych  stoż ków  (4.1).  Wybieramy  z  nich  tylko jedn ą   trójkę  pł aszczyzn n p. tę , kt ó ra przecina  się  w pun kcie R leż ą cym  bliż ej powierzchni 77. Trzy  wybrane  pł aszczyzny  falowe  MN, nw  i  ^N " przecinają   się   wzdł uż  prostych,  które wyznaczane  są   n a  rys.  9  przez  wektory  k J :  k'x  i  k". U tworzon y  został  ostrosł up PP'P"R,  którego  ś cianami  bocznymi  są   wycinki  pł aszczyzn OTN ,  ?tN 'i  ^N ",  a  krawę dziami  pary  wektorów  k x k 2 , k i k 2 i k " k 2 .  Każ da  para  wektorów ł ą czy  trzy pun kty.  W  dwóch  z  nich są   zn an e param etry  gazu,  a trzecim jest zawsze  pun kt  R. Zwią zek  (5.4) przedstawia  sum ę  pochodn ych  kierunkowych G dyby  tę  sumę  przedstawić  tak, że zam iast rzutowan ia n a trzy  dość róż n orodn ie (wg  5.1) poł oż one  wektory  \V/,  m oż na  by  gradienty  Vuj  rzutować  na pary  wektorów  k ^ ,  to  uzy- skalibyś my wzór  dogodn y  do form uł owania  go w postaci równ an ia róż nicowego  nadają cego się   do  bezpoś rednich  obliczeń  funkcji  niewiadomych  w pun kcie  R. D la  każ dej  z  trzech  par  wektorów  k ^  m oż na  by  n apisać  równanie  róż nicowe,  które w  sumie  wraz ze  zwią zkiem  (5.9) dla  odcin ka  toru  czą stki  QR  stanowił yby  cztery  równ an ia potrzebn e  do  obliczenia  czterech  funkcji  niewiadomych  w  R. 212  ZBYSZKO  KAZIM IERSKI w D la  realizacji  tego  konieczne  jest  proste  przekształ cenie  polegają ce  n a  zastą pieniu (5.4) wektorów  W 1 }  W2  i W3  dwom a  liniowo  niezależ nymi  wektoram i  kj,  k 2 . W tym  celu  wektory  W j  (j=  1, 2, 3) rozkł adam y w  bazie  lokalnej  {k],  k2}  okreś lonej w  podstawowym  ukł adzie  kartezjań skim  {el5  e 2,  e2} (6.1)  W;  - / j k j + y ^ k j,  7 = 1 , 2 , 3 , gdzie  skł adowe kon trawarian tn e wektorów  Wj  są   okreś lone  ja ko (6.2)  ylj  =  W j- kl,  7 = 1 , 2 ,  3;  / =   1, 2. Baza wzajemna  {k1,  k2}  został a ustan owion a  w  {e1;  e 2, e3}  za pom ocą   wzorów (6.3) , _ k 2 x N   2 _  N xk, k C\ r \ /   TVT̂   ' \ r (\ r \ y \̂ ł \ D la  uproszczenia  zapisu  wprowadzono  oznaczenia (6.4)  Ci =   k 2 x N ,  C 2 = = N x k 1 . Wykorzystują c  powyż sze  moż na  (5.4)  sformuł ować  nastę pują co: (6.5) gdzie  współ czynniki  liczbowe 3 r - 1 (6.6)  dla  /, gr = l , 2 . W  (6.6)  wystę pują   skł adowe  wektorów  n(JVi,JV2,0)  i  ~W {vl,v2,  1)  oraz  C i(fi, i,  Ci,2»  Ci,i)- Skł adowe wektora  f,  okreś limy  obliczają c  wyznaczniki  opisują ce  (6.4). 7. Zwią zek charakterystyczny na kierunku bicharakterystyki W  5.1  pokazan o, że  dla jednowymiarowego  nieustalonego przepł ywu  kierun ki W2  i  W3 są  jednakowe  i pokrywają   się  z kierunkiem  B, czyli p o prostu z kierunkiem  charakterystyki. Zwią zki  charakterystyczne  (5.5)  napisane  są   dla  dwóch  wystę pują cych  t am  kierun ków charakterystyk  oznaczonych przez  B+  i  B~. Powstaje  pytan ie.  Czy  zwią zki  charakterystyczne  przepł ywu  dwuwymiarowego,  nie- ustalonego  w  rozpatrywanym  pun kcie  P,  a  wię c  zwią zki  (5.4)  lub  (6.5)  dadzą   się   napisać tylko  dla kierunku dowolnej  bicharakterystyki  B, przechodzą cej przez p u n kt  PI  Odpowiedź n a  to  pytanie jest  twierdzą ca,  a jej  uzasadnienie wynika  n atychm iast z  przeprowadzonego wyż ej  przekształ cenia  (5.4)  na  (6.5). Zał óż my  wię c,  że jeden  z  wektorów  lokalnej  bazy  {k1;  k2}  leż ą cej  n a  pł aszczyź nie  nN n p.  k t  =  B.  Zwią zek  (5.4)  zapisujemy  wtedy  n astę pują co: (7.1)  y\ dBVi+y1 2 dBV2+- —djip+y 2 1 d k!i v 1 +y 2 2 ci k 2V 2   =   0; M E T O D A  CH ARAKTERYSTYK  D LA P R Z EP Ł YWÓW  G AZ U   213 y\   dla /, q =  1, 2  są   kon trawarian tn ym i  współ rzę dnymi  wektorów  W! i  W2  opisanymi przez  (6.2) i (6.3), w których  należy  przyją ć  kx s  B. Z  (7.1)  wynika,  że n a  t o , aby omawiany  zwią zek  charakterystyczny  napisać  tylko  dla kierun ku  bicharakterystyki  B, a wię c w sposób  nastę pują cy: (7.2)  y\ d B v l +y 1 2 dBV2+—  d s p  =  0, musi zachodzić (7.3)  k 2 - (y\ Vv l   + y 2 2 Vv 2 )  =  0. Współ rzę dne kon trawarian tn e y2 x  i y2 2   nie  mogą   znikać jednocześ nie, bo W2 i W2 nie są   nigdy  współ osiowe [por. wzór  (6.2)].  Wobec  tego  musi  być  równy  zeru  iloczyn  skalarny wektora  k 2  przez  wektor  zawarty  w nawiasach  we  wzorze  (7.3). Jakkolwiek  bę dzie  skierowany  wektor  zawarty  w nawiasach  wzoru  (7.3), zawsze moż na dobrać  tak  kierunek k2 n a pł aszczyź nie OTN, aby  warunek  (7.3) był  wypeł niony. Zwią zek  (5.4) i  (6.5)  m oż na przedstawić  w postaci  (7.2)  dla  każ dego  z nieskoń czenie wielu  wektorów  B przechodzą cych przez p u n kt przepł ywu P. Wszystkie  przeprowadzon e  tutaj  rozważ ania  mogą   być rozszerzone  na  przypadek trójwymiarowych  nieustalonych  przepł ywów.  Wymaga  to z reguł y  prostego uzupeł nienia wzorów  wyrazami zawierają cymi  trzecią   skł adową   przestrzenną   wystę pują cych  tutaj  wek- t o ró w. Literatura  cytowana w tekś cie 1.  R.  M ISES,  Mathematical  T heory  of  Compressibk  Fluid Flow, Acad.  Press  I n c.  Publ.,  N ew  York 1958. 2.  M .  BU R N AT ,  Memod  xapaKmepucmuK  ÓMH !cea3u/ iunetiHux ypaswimu  muna  ia3odunaMUKu,  Buli.  Acad. P olon .  Sci.,  Serie Sci.  M ath .,  Astr., P hys., 5, 10  (1962). 3.  B . B .  P yC AH O B.  XapaiKypH .  Bbm .  iwaT.  iidj>n3. 3  (1963). 4.  M .  BU RN AT,  A.  KIEŁBASIŃ SKI,  A.  WAK U LI C Z ,  T he nwthod  of  characteristks  for  a multidimensional gas flow,  Arch.  M ech.  Stos.,  2, 16  (1964). 5.  K ) . H .  nojU IAJTŁIH KOB,  Memod  xapamnepucmuK  ÓAR  pacuema  npoanpancmeeHHux  ceepx3eyKoeux menenuu ia3a,  H 3 E .  AK .  HayK  C C C P ,  M exannKa  4  (1965). P  e  3  io  M e M E T O fl  XAP AKTEP H C TH K  flJIH   flByXM EPH BIX  H ECTAU ;H OH APH ŁIX  T E ^ E H H H   TA3A paccy>KfleH H H ,  K acaio m n ecH   iweiofla  xap aK T ep n cu iK  B n pujioweH H H   K  CHCTeMe  yp a B- r a 30B,  onH CŁiBaion(H X  HenoTeHqHajD>Hbie  flByxM epH bie  H  H ecTaiiiionapi- ibie  TenenH Ji. eKOTopbie  cBOHCTBa  xapaKTepH CTH tiecKH Xi  n oBepxH OcieH 3  CBH 3anH bix  c  OT,n;ejibHofi T O ^ K O H   B TeMeHHH.  I I o flp o 6H 0  H ccneflOBaH   Tai< n a 3 .  KOHyc  H opM aneH  H   B3aHMHoe  p a c n o jio - >i