Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  5  (1967) O  R ÓŻ N YCH   F OR M AC H   UTRATY  STATECZN OŚ CI  BLACHY  POD D AWAN EJ  ROZCIĄ G AN IU W  STAN IE  PLASTYCZN YM ZD ZISŁAW  M AR C I N I AK  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Ogólną   cechą  u t rat y  statecznoś ci blachy  poddan ej jedn o-  lub dwuosiowemu  rozcią ganiu w  zakresie  plastycznym  jest  t o ,  że  m im o  istnienia  n p .  w  pewnym  obszarze  jednorodnego (pł askiego) stan u n aprę ż eń, powstać w  nim może niejednorodne pole  odkształ ceń.  Z  chwilą u t rat y  statecznoś ci  odkształ cen ia koncentrują   się   w  pewnych  tylko  obszarach  ciał a,  pod- czas  gdy  pozostał e obszary,  leż ą ce  poza zasię giem  koncentracji  odkształ ceń, są   bą dź  odcią - ż ane  i przechodzą   w  stan  sprę ż ysty,  bą dź  też  doznają   stopniowo  zanikają cych  odkształ ceń plastycznych.  T a  kon cen tracja  odkształ ceń zależ nie  od  warun ków  może  przybierać  róż ne form y.  W  niniejszej  pracy  zan alizowan o  trzy  najważ niejsze  formy  utraty  statecznoś ci rozcią ganych  powł ok  plastycznych,  m ian owicie: r R ys.  1 ,L T 1.  Tworzenie  się   miejscowego  przewę ż enia  tzw.  szyjki  (rys.  la )  w  ciele  o  począ tkowo niezm iennym  przekroju  poprzeczn ym ,  poddan ym  rozcią ganiu  sił ą   osiową .  D o  tej  formy utraty  statecznoś ci  zaliczyć  również  m oż na  n p .  zwię kszanie  ś rednicy  n a  pewnym  odcinku rury,  poddan ej  wewn ę trzn emu  ciś nieniu  (wybrzuszenie)  lub  miejscowe  zwę ż enie  rury poddan ej  jedn oosiowem u  rozcią gan iu.  We  wszystkich  tych  przypadkach  odkształ cenie rozkł ada  się   n ierówn om iern ie wzdł uż  osi  próbki,  a  zasię g  obszaru,  w  którym  koncentruje się   odkształ cenie  (szyjki),  zależy  od  wymiarów  przekroju  poprzecznego  ciał a,  a  wię c  n p . od  szerokoś ci  pł askiej  próbki  czy  ś rednicy  rury.  N ie zależy  n atom iast od  gruboś ci  ś cianki. Tę  po st ać utraty  stateczn oś ci ozn aczać bę dziemy  w.dalszej  czę ś ci pracy ja ko  niestateczność t ypu  I . 278 ZDZISŁAW  MARCIN IAK 2.  Powstanie  niecią gł oś ci  w polu  odkształ ceń powł oki  wg  rys.  lb.  Jak  wykazał   R.  H I L L [1],  tego  rodzaju  niecią gł ość  kinematyczna  może powstać  wtedy,  gdy  granica  oddzielają ca obszar  B  ulegają cy  dalszemu  odkształ ceniu od  obszaru  A,  w  którym  zachodzi  odcią ż enie, pokrywa  się   z  charakterystyką   równ ań  pola  naprę ż eń.  D ł ugość  tej  linii  granicznej  nie ulega  zmianie w  czasie  odkształ cenia. W  odróż nieniu  od  popfzedn io  omówionej  t a  forma utraty  statecznoś ci  m a  charakter  lokalny.  Zasię g  tworzą cej  się   bruzdy  w  kierun ku  do  niej prostopadł ym  nie  zależy  bowiem  od  szerokoś ci  próbki,  a jedyn ie  od  gruboś ci  blachy.  Tę postać utraty  statecznoś ci  oznaczać bę dziemy jako  typ I I . 3.  Miejscowe  zmniejszanie  się   gruboś ci  blachy  wzdł uż  pewnej  linii  (bruzdy),  która jak  to  wykazano  w  dalszej  czę ś ci  pracy  biegnie  w  zasadzie  prostopadle  do  kierun ku  wię k- szego  z  naprę ż eń  gł ównych  (rys.  lc).  W  odróż nieniu  od  obu  poprzedn io  omówionych przypadków,  w których nastę powało odcią ż enie m ateriał u leż ą cego  poza szyjką   czy  bruzdą , procesom  koncentracji  odkształ ceń w  bruź dzie  towarzyszy  tu  stopn iowo  zanikają ce  pla- styczne  odkształ cenie powł oki poza  bruzdą .  T a  forma  utraty  statecznoś ci  został a zanalizo- wana  przez autora w pracach  [2 i  3]. Bę dzie  to I I I typ niestatecznoś ci. Celem  niniejszej  pracy jest  analiza warun ków,  w  których  moż liwe jest powstanie  każ dej z  wymienionych  wyż ej  form  niestatecznoś ci  oraz  porówn an ie  wniosków  wynikają cych z  tej  analizy  z  wynikami  doś wiadczeń.  Ponieważ  pierwsza  z  wymienionych  form,  a  wię c «szyjka»,  wyraż ają ca  utratę   statecznoś ci  danego  ciał a  traktowan ego  jako  cał oś ć,  powstać może tylko  w  specjalnych  i  ł atwych  do  sprecyzowania  okolicznoś ciach,  przeto  w  dalszej. czę ś ci  pracy  zajmiemy  się   przede  wszystkim  sprecyzowaniem  warun ków,  w  których  mogą się   pojawić  dwie pozostał e formy  dotyczą ce  lokalnej  utraty  statecznoś ci  elementu powł oki. 2.  Wpł yw  kierunku  bruzdy  na  przebieg  procesu  jej  powstawania Aby  sprecyzować  warunki,  w  których  mogą   się   tworzyć  bruzdy  typu  I I lub  I I I , zanali- zujmy  przebieg  tworzenia  się   bruzd  typu  I I I w  zależ noś ci  od ką ta  nachylenia bruzdy  w  sto- sunku  do  kierunków  gł ównych,  przy  róż nych  schem atach  obcią ż enia  powł oki  (stosun ku naprę ż eń  gł ównych    a^ .  Wyobraź my  sobie,  że element ten przecina pod ką tem a pas B o zmniejszonej  gruboś ci.  G rubość blachy w  obszarze B,  reprezentują cym  bruzdę ,  jest  równ a  g B ,  podczas  gdy  w  obu  są siednich  obszarach  A wynosi  on a  g A ,  przy  czym  gA>gB-   T a  niejednorodność  geometryczna  wyraż ają ca  się F O R M Y  U TRATY  STATECZ N OŚ CI  BLACH Y  279 niejednakową   gruboś cią   blachy  reprezentuje  dowolną   niejednorodność  materiał u,  spowo- dowan ą   n a  przykł ad  pasm owym  ukł adem zanieczyszczeń,  róż nicą   wł asnoś ci  plastycznych m ateriał u  it p .  Każ dą   bowiem  tego  typu  niejednorodność  wł asnoś ci  fizycznych  moż na zastą pić  równoważ ną   jej  niejednorodnoś cią   geometryczną ,  wyraż ają cą   się   współ czynnikiem / =   BBISA,  przy  czym  zakł ada  się ,  że  m ateriał  jest ju ż  pod  wzglę dem  wł asnoś ci  fizycznych idealnie  jedn orodn y  i  izotropowy. P onieważ  dokon ywan a  an aliza  m a n a  celu wycią gnię cie  wniosków  o charakterze jedynie jakoś ciowym,  przeto  pom in iem y  w  tym  rozum owan iu  zjawisko  umacniania  się  materiał u zakł adają c  tzw.  idealną   plastyczność  (a pA   =   a pB   =   a p ). Jeż eli  przyjmiemy  nowy  u kł ad  osi  x,  y  nachylony  do kierun ków  gł ównych pod ką tem cc, t o  skł adowe  stan u  n aprę ż en ia  w  obszarze  A  wyrażą   się  ja k  n astę puje: (2.1)  a x   =  ff1 c o s 2 a + o - 2 sin 2 a ,  c y   =  c 1 si n 2 a + c r 2 c o s 2 a ,  r xy   —  (a x —cr2)sinacosa. Z  warun ków  równowagi  sił   prostopadł ych  i  stycznych  do  linii  granicznej  wynika,  że  od- powiedn ie  n aprę ż en ia  a xB   i  r yxB   w  obszarze  B  wynoszą : ( 2.2) ,    r *>»  =  JI f- >  P ^y  czym  / = - g - . Trzecia  skł adowa  stan u  n aprę ż en ia,  mianowicie  naprę ż enie  u yB ,  może  zmienić  się   na linii granicznej  skokowo  w  sposób,  który już  nie wynika  z warun ków  równowagi.  N aprę ż e- nie  t o  speł nić jedn ak  m usi  warun ek  plastycznoś ci  w  obszarze  B,  który  dla  pł askiego  stanu n aprę ż en ia  (B  j (2.9)  =   dtyiB  —  —z  —d przy  czym  w obu  zwią zkach  (2.8)—(2.9)  wystę puje  wielkość  dcp y   wyraż ają ca  przyrost  dł u- goś ci  wspólnej  linii  granicznej  oddzielają cej  obszary  A  i B. Z  definicji  współ czynnika  n iejedn orodn oś ci  / =  g B / g A   wynika,  że  jego  przyrost  df wyrazić m oż na przez  przyrosty  odkształ ceń dy 3A   i dcp 3B  ja k  n astę puje: df= - g\ lub (2.10)  df=  —  I —  — I ,  a  wię c  ~F  =   d(p iB —dq> iA . ó  A.  \   OD  oA  I P o  uwzglę dnieniu  zwią zków  (2.8),  (2.9) i  (2.7) wyraż enie  (2.10)  przybierze  po st ać dj  I  OsB +   fjifl  ax- rffy  \   *- ay—ax  j f  \ 2a yB —a xB   2 / g r ,  wtedy, ja k  to już  poprzedn io  stwierdzono, nastę puje  niestateczność  typu  I I ,  a  bruzda  biegnie  pod  ką tem  a B   dla  którego  / 0  =   / B r . T T .  I Graniczny  współ czynnik niejednomdnoś a. Graniczne  odkształ cenie poza  bruzdą   ip iA R ys.  4 Jeż eli  n atom iast linia  przerywan a f a   przecina w jakim kolwiek  miejscu  linię  cią gł ą /e r )  a wię c gdy  istnieje  taki  ką t  a H ,  dla  którego  / o  <  f et ,  wtedy  bruzda  biec  bę dzie  pod  tym  wł aś nie ką tem  a H ,  a  przebieg  procesu  odpowiada  fazie  peł nej  niestatecznoś ci  wg  schematu  I I I . Oznacza  t o , że  pozostał e  obszary  powł oki  ulegają   od  razu  odcią ż aniu  i przechodzą   w  stan sprę ż ysty.  N iemoż liwe  jest  n atom iast  przy  tym  stosun ku  naprę ż eń  gł ównych  pojawienie się   ą uasi- statecznej  fazy  procesu  wg  schem atu I I I . P rzedstawiony  obraz  n ie  ulega  zasadniczym  zm ian om  dla  innych  wartoś ci  stosunku C2/CT1  pod  warun kiem ,  że  a%  <  ci/ 2.  Jedyn a  róż n ica  polega  n a  stopniowym  zmniejszaniu się  krytycznej  wartoś ci  ką ta  a B   wraz ze wzrostem  stosunku  o 2 / oi.  W granicznym  przypadku, gdy  a 2   =   <7i/2,  przedstawion ym  n a  rys.  4,  bruzda  tworzą ca  się   wg  schematu  B  biegnie prostopadle  do  kierun ku  wię kszego  z  n aprę ż eń  gł ównych  (a, B  =   0). 284 ZDZISŁAW  MARCIN IAK N atom iast  zasadnicza  zmiana  sytuacji  wystę puje  wtedy,  gdy  stosunek  02/ 01  przekracza wartość  1/2.  D la  tego  zakresu  stanów  naprę ż eń  równ an ia  opisują ce  pole  n aprę ż eń  stają się   typu  eliptycznego  i  nie  mają   charakterystyk,  a  dł ugość  dowolnej  linii  poprowadzon ej na  powierzchni  powł oki zwię ksza  się   w  m iarę  jej  odkształ cania. Obraz  funkcji  t   zgodn ie  z  prawem  pł ynię cia 2a t —a 2 d

 P r z y  którym pojawia  się  niestateczność typu  I I , jako  funkcję   stosunku naprę ż eń gł ównych  c2/ o- i.  Z wią zek  ten  dla  tej  samej  co  i  poprzedn io  krzywej  wzmocnienia  przed- stawia  n a  wykresie  6  odcinek  krzywej  AB.  Z ostał   on  doprowadzony  tylko  do  wartoś ci a2 j ffl   =   0,5,  gdyż, jak  wynika  z  poprzedn ich rozważ ań,  niestateczność tego  typu  nie  może się   pojawić  przy  wię kszej  wartoś ci  tego  stosunku. W  zakresie  tym  gdy    cn/ 2  tworzyć  się   mogą ,  jak  wiemy,  tylko  bruzdy  typu I I I , ale  proces  ten  dla  rozważ anej  t u  powł oki  idealnie  jednorodnej  (/ 0  =   1)  nie  zostaje  za- począ tkowany,  co  został o  n a  wykresie  6  zaznaczone  w  postaci  pionowego  odcinka  BC. W  celu  zbliż enia  się   do  rzeczywistych  warun ków  należy  zatem  uwzglę dnić  pewną   wstę pną niejednorodność  powł oki / o, przy  czym  zał oż ymy, że  wstę pnie  osł abiony przekrój  pokrywa się   każ dorazowo  z  kierun kiem  powstawan ia  bruzdy.  Jak  wykazano  w  pracy  [2]  nawet bardzo  niewielka  wstę pna  n iejedn orodn ość  m ateriał u powoduje  bardzo  znaczne  zmniej- szenie  się  odkształ cenia obszaru  otaczają cego  powstają cą   bruzdę . N ależy bowiem pam ię tać, że  sił a  powodują ca  odkształ cenie  grubszej  czę ś ci  powł oki  jest  mniejsza  / =   ga/ gA  fazy w  stosun ku  do  sił y  odkształ cają cej  ten  obszar  w  powł oce idealnie jedn orodn ej. G raniczna . wartość  odkształ cenia  obszaiu  A  są siadują cego  z  bruzdą   typu  I I  lub  szyjką   typu  I  musi być  taka,  by  speł nione  był y  odpowiedn ie  warun ki  równ owagi: G P AFA  =   ip pB F B ) mtlK f  dla  typu  I , lub x/   d l a Opierają c  się   n a  tych  zależ noś ciach  m oż na  wyznaczyć  wartość  granicznego  odkształ cenia

  a\ jl wedł ug  schematu  I I I  dla  m ateriał u  ulegają cego  wzmocnieniu  jest  znacznie  bardziej  kł o- potliwe.  Sposób  postę powan ia  dla  tego  przypadku  omówiony  został  w  pracy  [2], a  wyniki obliczeń  numerycznych,  dokon an ych  dla  tej  samej  funkcji  wzmocnienia  za  pomocą   ma- szyny  cyfrowej  przedstawia  linia  B'—C. 4.  Utrata  statecznoś ci  zachodzą ca  w niektórych  procesach  tłoczenia  blach Wykres  przedstawiony  n a  rys.  6  może  być  wykorzystany  do  analizy  procesu  utraty statecznoś ci  blachy  w  dowoln ym  technologicznym  procesie  tł oczenia. W  tym  celu  należy porówn ać  przebieg  linii  A'B',  B'C  i  ewentualnie  D'B',  przedstawiają cych  m om ent  po- wstawan ia  niestatecznoś ci wszystkich  trzech rozpatrywanych  t u  form,  z  charakterystyczną dla  danego procesu technologicznego linią , której  kolejne  pun kty reprezentują   odpowiednie pu n kt y  odkształ canego  ciał a  w  przyję tym  tu  ukł adzie współ rzę dnych:  zastę pcze  odkształ - cenie  \   wię ksze  niż  n a jej  brzegu  {fiM  >   KEH H OrO P ACTJKKEH H IO  B  I U I AC T I M E C K O M   C OC TO.SH H H IToTepa  ycToiiMHBOCTH   JIH CTS  noflBep>KCHHoro  pacTH>KeHmo  B  nJiacwwecKOM   COCTOHHHH   MO>i:eT tJjopMBi:  noHBJieHHe  IITCHKH   (nanpH M ep  n p n pacTHKeHHH  o6pa3u,oB  oceBoń  C H JI OH ), J I H H H H ,  BflOJiB  KOTOpoił   nponcxoflH T  pa3pt,iB  nojiH   CKopocTeft  H U H   nojiBireH ne  6opo3flbi, yrjiy6jieiiH io  KOTOpofi  conyTcTByeT  nocTeneH H oe  ncqe3H 0B6H H e  njiacTH iecKofi  fle^iopM aqnH   flpyriix o6iracTeft.  B  pa6oTe  coflepwH Tcn  aHajiH3  ycjioBH H ,  n p ii  Koxopbix  MOryT  ocymecTBJiHTŁCH BHflbi  n oT epu  ycToftquBOCTii.  H 3 3 i o r o  anajiH 3a  cjienyeTj  q i o  npn  OTHOinenHH  rjiaBH bix  i ff2/ ffi  <  0, 5  o6pa3yeTcn  neycToił TOBOCTL  T an a  KHHeiwaTiwecKoro  pa3pwBa,  Torfla  I O K  n p n 172/ffi >  0 3 5 noTepa:  ycToiiiHBOCTu  HMeeT  B U R  6opo3flw  nepneHflUKyjrapHOH   6ojibineiviy  H3 rjiaan bix  HanpH>KeHHił. B  pa6oTe  HccneflOBaHa  n oT epn  ycTOH^HBOCTH   jracTa  B xo ^ e  pa3JiHMHbix  TexHOjiorn^ecKHX  n poijeccoB. Teopera^ecKH e  pesyjibTatbi  cpaBH eH bi  c  3KcnepuMeHTajiwiBiMH S u.m  m a r y ON   VARIOU S  F OR M S  O F   IN STABILITY  I N   SH EET  M ATERIAL  U N D ERG OIN G PLASTIC TEN SION The  loss of stability  of sheet material undergoing plastic tension may take various forms:  necking  occur- ing for  example in specimens loaded  by  uniaxial  tension, a line of kinematical  discontinuity or necking line connected  with  progressively  diminishing  plastic  deformation  in  neighbouring  portions  of  material.  The present  paper  contains  an  analysis  of  conditions  associated  with  each  of  these  forms  of  instability.  F or principal stress ratio  aijai ^  0.5  a line of  kinematical  discontinuity  occurs, while for    0.5  the  defor- mation  takes  the form  of  a  necking- line  perpendicular  to  the  direction  of  the greater  principal stress.  The course  of  stability  loss  is  also  considered  for  various  processes  of  metal  forming.  Theoretical  results  are later  compared with  experimental  observations. P OLI TE C H N I K A  WARSZAWSKA. Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 8 wrześ nia 1966  r. 2  M echanika teoretyczn a