Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  5  (1967)

ROZ WIĄ Z AN IA  OSOBLI WE  W  O G Ó LN E J  T E O R I I  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH

RYSZARD   G AN O W I C Z  (POZN AŃ )

1.  Wstę p

W  pracy  niniejszej  podan e  zostan ą   rozwią zania  nieograniczonej  pł yty  trójwarstwowej
obcią ż onej  kolejno  sił ą   skupion ą   oraz  m om en tem skupionym .  Rozwią zania  takie  nazywać
bę dziemy  w  dalszym  cią gu  pracy  rozwią zaniami  osobliwymi.  Analogiczne  rozwią zania
zn an e  są   w  teorii  pł yt  cienkich  [1, 2  i  3] oraz  w  teorii  pł yt  Reissnera  [4].  Zastosowanie
ich  jest  bardzo  szerokie.  W  zagadn ien iach  technicznych  rozwią zania  osobliwe  są   wy-
korzystywane  przy  budowan iu  powierzchni  wpł ywowych  [5  i  6].  Znajdują   one  także
zastosowanie  przy  rozpatrywan iu  problem ów  niecią gł ych  warun ków  brzegowych  teorii
pł yt.  P oza  tym w  teorii  sprę ż ystoś ci  i  w  teorii  pł yt  rozwią zania  osobliwe  są   podstawą
uzyskania  zwią zków  cał kowych  mię dzy  rozwią zaniami  wewną trz  danego  obszaru  a wiel-
koś ciami  brzegowymi.  Zwią zki  takie  znane  są  w  teorii  sprę ż ystoś ci  jako  twierdzenie So-
m igliano.  Otrzymuje  się  je w  oparciu o rozwią zania  osobliwe  oraz w oparciu o twierdzenie

0  wzajemnoś ci.  P odobn e  zresztą   zwią zki  znane  są   w  teorii  funkcji  harmonicznych [7].
Omówienie  tych  problem ów  dla pł yt  reissnerowskich  i dla pł yt trójwarstwowych  o warst-
wach  zewnę trznych  bez sztywnoś ci  n a zginanie  po dał   autor  w  pracy [4].

W  pracy  niniejszej  zajmiemy  się  ogólną   teorią   zginanych  pł yt trójwarstwowych  podaną
przez  H O F F A  [8]. W teorii tej przyjmuje  się , że warstwy  zewnę trzne  tych pł yt są  jednakowe
1 speł niają   wszystkie  zał oż enia teorii  pł yt cienkich.  N atom iast odnoś nie do warstwy  ś rod-
kowej  zakł ada się ,  że jest  on a  nieś ciś liwa  i pracuje  jedynie  n a naprę ż enia  styczne  r

xz
  i T

yz
.

Z  podan ych  wyż ej  zał oż eń  wynika,  że przy  zginaniu  odkształ cenia  pł yty  trójwarstwowej
są   antysymetryczne  wzglę dem jej  powierzchni  ś rodkowej.

Rozwią zania  otrzym an e w  niniejszej  pracy  są   uogólnieniem  wyników  podan ych  przez
au t o ra  dla pł yt  trójwarstwowych  o  warstwach  zewnę trznych  bez sztywnoś ci  n a zginanie
n a  ogólną   teorię  pł yt trójwarstwowych  [4 i 9].

2.  Zasadnicze  równania

Poniż ej  podam y  zwią zki  mię dzy  sił ami  wewnę trznymi  i  przemieszczeniami  pł yty  trój-
warstwowej  oraz  równ an ia  równowagi  wyraż one  przez  przemieszczenia.  Zależ noś ci  te
podam y  w  oparciu  o  pracę   J.  WACH OWIAKA i  P .  WI LD E G O  [10].

Sił y  wewnę trzne  dla  om awian ych  pł yt  podam y  za  wyż ej  wymienionymi  autoram i
rozkł adają c  je  n a sił y  tarczowe  i  n a sił y  pł ytowe  w  warstwach  zewnę trznych  oraz  n a sił y
tną ce  w  wypeł nieniu.



294  RYSZARD   G AN OWICZ

Sił y  wewnę trzne  okreś limy  przez  przemieszczenia  n astę pują co:  (rys.  1)

sił y  tarczowe

N
x
  =

Ed  8u
1

Rys.  1

,  N y  =

(2.1.1)

sił y  pł ytowe

(2.1.2)

sił y  tną ce  w  wypeł nieniu

(2.1.3)

Ed  I dv

- v2  \ 8y  n  8x1'

Ed  8u
•  +  •

m
y
  =  - D

'• w;

+



ROZWIĄ ZAN IA  OSOBLIWE  W  TEORII  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH   295

gdzie  wprowadzono  oznaczenia:

E, v  stał e  materiał owe warstw zewnę trznych,
G

w
  =  G

xz
  =   Gyz  moduł   odkształ cenia  postaciowego warstwy ś rodkowej

D  =  ——  —  sztywność na  zginanie warstw zewnę trznych,

w  ugię cie pł yty, jednakowe dla  wszystkich warstw,
u, v  przemieszczenia w pł aszczyź nie ś rodkowej warstwy dolnej (równe co do bezwzglę dnej

wartoś ci  przemieszczeniom w pł aszczyź nie ś rodkowej warstwy górnej, lecz przeciwnie
do  nich  skierowane).

W  dalszym  cią gu  pracy  zajmiemy  się  pł ytami  trójwarstwowymi  poddanymi  dział aniu
obcią ż enia  normalnego  p(x, y)  oraz  obcią ż onymi  sił ami  n

x
{x, y), n

v
{x,  y) w  warstwach

zewnę trznych  (rys.  2).  Zał oż ymy,  że te ostatnie  są   równomiernie  rozł oż one na gruboś ci

nx\

| z

Rys.  2

warstw  zewnę trznych  i  są  przeciwnie  skierowane  w  obu  tych  warstwach.  D ział anie tych
sił  odpowiada  wię c  dział aniu n a cał ą  pł ytę  momentów zginają cych,  rozł oż onych w  obszarze
pł yty.

Postę pując  podobn ie  ja k  w  wyż ej  wymienionej  pracy  [101  otrzymamy  nastę pują cy
ukł ad  równań  dla  pł yty  poddanej  dział aniu  obcią ż enia  p{x,  y),  n

x
(x,  y) i n

y
(x, y):

(2.2)

v
2
)

  2  2
  G

w
(2h+6)

2
  (l~v

2
)  ]  G

w
(2h+d)  (l- v*)  Idu  8v \ _  l- v

2

4Edh  •  J  2ESh  \ 8x~ t  8y)~   2EÓ  P'Eb

G
w
(2h+d)(l- v

2
)  dw  [  82  1- y  d2  G

w
(l- v

2
)]  l+v  8

2
v  _ \ ~v

2

dx
+
[dx

2+  2  By2  Edh  J " +   2  8x8y  ~  Ed "*'
[  Gw(l- v

2)]
2Edh  dx

+
[dx

2+  2  By2  Edh  J " +   2  8x8y  ~  Ed

- v
2
)  dw  l+v  8

2
u  \   8

2
  l- v  8

2
  G

w
(l- v

2
)]  l- y

1

"  dy +  2  8xdy+l8y2+  2  dx2  Edh  \ V  ~  Ed M)I>2Edh  dy^   2  8xdy^ \ _8y2^  2  8x2  Edh  J  Ed

Powyż szy  ukł ad  trzech  równ ań  róż niczkowych  moż na  sprowadzić  do  równań  na  trzy
funkcje  przemieszczeń  [10 i  11]:

(2- 3)  [ l - ^ d - i - j y j ^ ^ j m - . ^,  i = 1,2,3,



296  RYSZARD  G AN OWICZ

gdzie

gi  =  p(,x, y),  qi  =•   2nx(pc, y),  q*  = 2ny(x, y),
Ed(2h+Sf

1-  2D  oznacza  sztywność  cał kowitą   pł yty  trójwarstwowej,2 ( 1- *J )
ESh

współ czynnik  podatnoś ci wypeł nienia.

N atom iast  przemieszczenia  wyznaczyć  m oż na  ze  zwią zków

w  =   ( 1  —)

2h+8  8

2  1y

2h+6  8

8x

(2. 4)

G
w
  2

2h+d  8

8y

Łatwo  zauważ ymy,  że jeż eli  przyjmiemy,  iż  warstwy  zewnę trzne  pł yty  trójwarstwowej
nie  mają   sztywnoś ci  n a  zginanie  (D  =  0),  to  zależ noś ci  powyż sze  uproszczą   się   do  zależ-
noś ci  podan ych  przez  autora  w  poprzedn io  cytowanej  pracy  [4].

N admienimy  pon adto, że  przypadek  ukł adu  równ ań  jedn orodn ych  (2.3)  został  prze-
dyskutowany  w  poprzednio  cytowanej  pracy  [10].

3.  Obcią ż enie silą   skupioną

Zajmiemy  się   nieograniczoną   pł ytą   trójwarstwową   obcią ż oną   sił ą   skupioną   prosto-
padle  do  powierzchni  ś rodkowej.  Obcią ż enie  dla  tego  przypadku  przedstawimy  nastę -
pują co:  p(x,  y)  =  Pó(x)d(y),  n

x
(x,  y)  =   n

y
(x,  y)  =   0.



ROZWIĄ ZAN IA  OSOBLIWE  W  TEORII  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH   297

Wobec  tego,  że  mamy  do  czynienia  z  pł ytą   nieograniczoną ,  interesować  nas  bę dzie
cał ka  szczególna  ukł adu  równ ań  (2.3).  Przyjmiemy  wię c  F

2
~  F

3
  =  0.  U kł ad  równań

(2.3)  i  zależ noś ci  (2.4)  uproszczą   się   w  tym  przypadku  do  postaci:

(3.1)  w = ( l  —«V'
L  *

2h+d  8
 ̂ L  2   |2  ^

Łatwo  zauważ yć,  że w  zwią zkach  powyż szych  moż na wył ą czyć  operator  [10]

Ostatecznie  otrzymamy  wię c  nastę pują ce  równanie

(3.2)  DM- x~VW VU  = P&(x)d(y).

oraz  zwią zki  mię dzy  przemieszczeniami  w,  u, v  a  funkcją   przemieszczeń  V

(3 3)  W  =  (1- KV2)U  « =   2 / i + ó  8U  v-   2h+Ó  8U

2  8x  '  2  by

Przejdziemy  teraz  do  rozwią zania  naszego  problem u.  Wykonajmy  na  równaniu  (3.2)
nieskoń czoną   podwójną   transformację   F ouriera  [12]:

— 00  —CO
2n  J

— 00

cc

N(x  )- - = —[  f
2n  J  J

(3 . 4 )
0 0  CO

Biorą c  pod  uwagę ,  że  "p*(tx,,  /3) ==   P / 2JT,  otrzymamy  nastę pują ce  wyraż enie  na  trans-
formatę   funkcji  przemieszczeń:

(3- 5)  t/ * (  8)

P o  wykorzystaniu  zależ noś ci  (3.4)  funkcję   przemieszczeń  U(x, y)  przedstawimy  w po-
staci cał kowej:

(3.6)  U(x,y) =



CO  co  c o  co

298  RYSZARD   G AN OWICZ

Aby  przedstawić  rozwią zanie  U(x,y)  (3.6)  w  postaci  wyraź nej,  bę dziemy  musieli
obliczyć  cał kę   wystę pują cą   p o  prawej  stronie  powyż szego  wyraż enia.  P rzekształ ć my  tę
cał kę   nastę pują co:

CO  co  cc

p  [  r  r  e~
Kax+ m  ID  r

(3.7)  U(x,  y)  =   - j- ~ 2—  I  I  —r~i—~52i&dtt,df}—x—=—-
—  c o — c o  — c o — c o

c o  c o  —  Hax+fly)

_|  ^ ^  I  2D
Di  J  .  1_Lv  (r/ 2-

Z  _ 0 0  - CO  l ^ K  p.  \ a  I  f  J

D wie  pierwsze  cał ki,  wystę pują ce  p o  prawej  stronie  wyraż enia  (3.7),  nie  istnieją   ja ko
cał ki  niewł aś ciwe,  nie  m oż na  też  wydzielić  z  nich  wartoś ci  gł ównej  wedł ug  C auchy'ego.
N ależy je  rozumieć w  sensie czę ś ci  skoń czonej  [13,  14  i  4],

Wydzieleniem  czę ś ci  skoń czonej  cał ek  rozbież nych  tego  samego  typu  zajmował   się
autor  w  cytowanej  poprzednio  pracy  [4]. Aż eby  nie  rozszerzać  niniejszego  opracowan ia,
podam y  poniż ej  jedynie  koń cowe  wyniki  tych  obliczeń.

—  00

oo  co  —Hax- \ - py)  o  i  o

_  x
2
+y

2

—  CO  —  CO

to  co  „ —i'(ra t- fiy)

=  —2JI  In 1

—  CO  —CQ

Ostatnią   cał kę  wystę pują cą   p o  prawej  stronie  wyraż enia  (3.7)  ł atwo  obliczymy  ja ko
cał kę   niewł aś ciwą:

Jeż eli  weź miemy  pod  uwagę ,  że  [15]

2xD

t o  otrzymamy

u.

(3.10)  i?1  =   - ^i- .yr  f
2KD  J d a  =

J

gdzie  K(,(z) oznacza  zmodyfikowaną   funkcję   Bessela  drugiego  rodzaju,  y\  =  \   D
Z
\ 2KD.



ROZWIĄ ZAN IA  OSOBLIWE  W  TOERII  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH   299

Wstawiają c  zależ noś ci  (3.8)  i  (3.10)  do  zwią zku  (3.7)  oraz  wprowadzają c  jedn ostkę
dł ugoś ci  ra  otrzym am y  poszukiwan e  rozwią zanie  osobliwe  funkcji  przemieszczeń  U(x, y)

Reszta  zadan ia  jest  już  bardzo  prosta.  Znajdziemy  teraz  rozwią zania  osobliwe  prze-

mieszczeń.  Otrzym am y  je  wykorzystują c  rozwią zanie  osobliwe  U(x,  y)  (3.11)  oraz  zależ-

noś ci  (3.3)

W =   - —:  ~

.  x2+y2  P(2h+d)  [  8  ,  , - 5 —r\ x\ n  ~—\ - x\  - ±——^  - r— I n i / x 2 + /   +
L  Ą   J  AnD

z
y\   \ _8x

  y

(3.12)

v  =   —

Z auważ my,  że  jeż eli  w  zależ noś ciach  powyż szych  przyjmiemy  D  =   0,  2hj2h- \ - 6  =   1,
to  otrzymamy  po d an e  przez  a u t o ia  we  wcześ niejszej  pracy  [9]  rozwią zania  osobliwe  dla
pł yty  trójwarstwowej  o  warstwach  zewnę trznych  pracują cych  jedynie  na  sił y  tarczowe.

P odam y  jeszcze  rozwią zan ia  dla  sił   wewnę trznych  w  omawianym  przypadku  nieogra-
niczonej  pł yty  trójwarstwowej  obcią ż onej  sił ą   skupioną .  P o  wykorzystaniu  rozwią zania
dla  funkcji  przemieszczeń  U(x,  y)  (3.11)  oraz  zależ noś ci  (3.3)  i  (2.1)  otrzymamy  przy-
kł adowo

Ed  2h+d  (8
2
U  ,  r82U\   P  A

i - ,*  2

+ 2n{2h+S)



300  RYSZARD   G AN OWICZ

8
2
U  8

2
U  Id* 82  \   2  1

8y21  J8x2  dy2  \ 8x2

(3.13)  =   - - ~ -̂
67T  D

z
  |_  ''o

) -   O - ") cos 2tp [-  ̂ -  —K, (y, r)J J,

s m 2 p ( 1 " ) s

fc_  _

gdzie  oznaczono r2  =   x2Ą - y2,  sin <p  — y/ r,  cos ę   =  x/ r

__ Ed(2h+ó)
z

'  2(1- /)  '

Powyż sze  sił y wewnę trzne  nie  mogą   być porównywalne  z odpowiednimi  sił ami  wewnę -
trznymi  znanymi  w  teorii  pł yt  cienkich,  ponieważ  dotyczą   on e poszczególnych  warstw.
Porównywalne  n atom iast  bę dą   cał kowite  sił y  wewnę trzne,  to znaczy  sił y  wypadkowe  dla
cał ej  pł yty (rys.  3). Otrzymamy je z zależ noś ci

„   A ,  .  n  P  COSC5

Q* = N „+2q
x
=  - - x- ~~,

(3.14)  M
x
  = N

x
(2h+d)+2m

x
=  -

p  ,.
M

xy
  = N

on

Jeż eli  porównam y  teraz  otrzymane  powyż ej  rozwią zania  osobliwe  wypadkowych  sił
wewnę trznych  ze  znanymi  rozwią zaniami  osobliwymi  izotropowych  pł yt  cienkich,  to
zauważ ymy,  że  są   one identyczne.  Zauważ my  takż e,  że  powyż sze  wielkoś ci  (3.14)  nie
zależą   od  sztywnoś ci  n a  zginanie  warstw  zewnę trznych  D.  Wobec  tego  przedstawiają
one  także  rozwią zania  osobliwe  pł yt  trójwarstwowych  o  warstwach  zewnę trznych  bez
sztywnoś ci  na zginanie  (por.  [9]).

N admienimy,  że  rozwią zanie  osobliwe  sił y  poprzecznej  Q
x
  (3.14)  ł atwo  otrzym ać

z  warun ku  równowagi  sił  pionowych  dla pł yty  koł owej  wycię tej  z  pł yty  nieograniczonej



ROZWIĄ ZAN IA  OSOBLIWE  W  TEORII  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH 301

w  ten  sposób,  że pun kt  przył oż enia  sił y  skupionej  pokryje  się   ze  ś rodkiem  pł yty koł owej.
Wykorzystują c  koł ową   symetrię   otrzymamy

(3.15)  G r
2nr'

a  stą d

(3.16)
P  COS ę

2n  r

P  sin cp

2n

N atomiast  jeż eli  chodzi  o  identyczność  pozostał ych  wypadkowych  wielkoś ci  statycz-
nych  (3.14)  z  odpowiednimi  wielkoś ciami  znanymi  w  teorii  pł yt  cienkich,  to  wynik  ten,
• zdaniem  autora, jest  interesują cy.

Oczywiś cie  dla  analizy  stanu  naprę ż enia pł yty  potrzebna jest  znajomość  sił   wewnę trz-
nych  dotyczą cych  poszczególnych  warstw  (3.13).  Rozwią zania  osobliwe  sił   wewnę trznych
dotyczą cych  poszczególnych  warstw  zawierają   natomiast  czł ony osobliwe,  które  w  sposób
istotny  róż nią  je  od znanych rozwią zań  osobliwych  teorii pł yt cienkich.

N a  zakoń czenie  niniejszego  rozdział u  zanalizujemy  jeszcze  zachowanie  się   otrzyma-
nych  przez  nas  rozwią zań  osobliwych  ugię cia  w  (3.12),  sił y  poprzecznej  w  warstwach
zewnę trznych  q

x
  oraz  sił y tną cej  w  wypeł nieniu N

xz
  (3.13) przy  r- *  0.

Jeż eli  weź miemy  pod  uwagę  t o , że  dla  dostatecznie  mał ej  wartoś ci  argumentu obowią -
zują   nastę pują ce  wzory  asymptotyczne:

(3.17)  Ko(yir)x  -  •

to dla r - * 0 otrzymamy

2nD
x

- xi  —

to,

P  cos<p
An  r  '

N
yz
x0.

q
y
a

P si n 99

r  '
q

r
z P

4n
i

r
(3.18)

Okazuje  się  wię c, że ugię cie w punkcie przył oż enia sił y skupionej,  podobnie jak  w teorii
pł yt cienkich, jest skoń czone. Poza tym ł atwo zauważ ymy  (3.18), że  dla  r- + 0  sił a  skupiona
P  jest  zrównoważ ona  tylko  przez  siły  poprzeczne  w  warstwach  zewnę trznych  (rys.  4)

(3.19)  2q
x
xQ

Xi
  2q

r
xQ

r
  =



302 RYSZARD   G AN OWICZ

Oznacza  to, że  sił a  skupion a  obcią ża  w  pierwszym  rzę dzie  warstwy  zewnę trzne,  a  dopiero
nastę pnie  jest  przekazywana  n a  cał ą   pł ytę .  Wnioski  powyż sze  są   oczywiste  z  fizycznego
pun ktu  widzenia  i  potwierdzają   prawidł owość  rozwią zań  otrzym anych  w  niniejszej  pracy.

Zwróć my  jeszcze  uwagę   na  fakt,  że  ze  wzglę du  n a  zał oż oną   wzglę dem  pł aszczyzny
ś rodkowej  antysymetrię   odkształ ceń  pł yty,  obcią ż enie  sił ą   skupioną   P  należy  rozum ieć
ja ko  obcią ż enie  dwiema  sił ami skupionymi  1/ 2P,  przył oż onymi n a  górnej  i dolnej  powierz-
chni  pł yty  równocześ nie  (rys.  4).

4.  Obcią ż enie  momentem skupionym

Pierwszą   trudnoś cią, jaką   n apotykam y  przy  rozwią zaniu  tego  problem u, jest  definicja
poję cia  m om entu  skupionego  w  teorii  pł yt  trójwarstwowych.  Z agadnienie  to  omawiał
autor  w  poprzedniej  pracy  dotyczą cej  pł yt  trójwarstwowych  [4].  P rzypomnijmy  t u  tylko
to,  że jednym  ze  sposobów  zdefiniowania  m om en tu  skupion ego  jest  przyję cie,  że  obcią -
ż enie  to  odpowiada  granicy  obcią ż enia  dwiema  sił ami  skupionym i  przeciwnie  skiero-
wanymi,  gdy  odległ ość ich  zmierza  do  zera:  M  =   lim  Pe.

e- >0

Jak  wiadomo,  rozwią zanie  dla  takiego  obcią ż enia  otrzymuje  się   przez  róż niczkowanie
rozwią zania  otrzymanego  dla  obcią ż enia  sił ą  skupioną .  Wobec  tego  nie wnosi  on o zasadni-
czych  nowoś ci  do  rozwią zania  podan ego  w  pun kcie  3 niniejszej  pracy.

Ciekawsze  natom iast  jest  obcią ż enie  m om en tem  skupion ym  zdefiniowanym  jako
p ara  sił  poziomych przył oż onych w warstwach  zewnę trznych pł yty trójwarstwowej  (rys. 5).
Rozwią zanie  pł yty  obcią ż onej  t ak  zdefiniowanym  m om en tem jest  bardziej  zł oż one  od
poprzedn io  omówionego  i  może  być  podstawą   uzyskan ia  zwią zków  cał kowych  mię dzy
przemieszczeniami  u, v  wewną trz  danego  obszaru  a  wielkoś ciami  brzegowymi  [4].

Poniż ej  zajmiemy  się   nieogianiczoną   pł ytą   poddan ą   dział an iu  m om en tu  skupion ego
zdefiniowanego  jako  p ara  sił   przył oż onych  w  warstwach  skrajnych.  Z ał oż ymy,  że  sił y



ROZWIĄ ZAN IA  OSOBLIWE  W TEORII  PŁ YT  TRÓJWARSTWOWYCH   303

te  są  równom iernie  rozł oż one  n a gruboś ci  warstw  zewnę trznych.  Obcią ż enie  tego  typu
om ówion e  został o w pun kcie  2 niniejszej  pracy  i  uwidocznione  jest  w postaci  obcią ż eń
n

x
  i  n

y
 w  równ an iach  (2.2)  i  (2.3).

Przyjmiemy  do  rozwią zania  obcią ż enie  m om entem  skupionym  M
x
 = n

x
(2h+5)  —

N 5(x)d(y)  {2h+ó).

N
Rys.  5

P odobn ie  ja k  przy  rozwią zywaniu  pł yty  nieograniczonej  obcią ż onej  sił ą  skupioną
interesować  nas  bę dzie  cał ka  szczególna  ukł adu  równ ań  (2.3)  przy  qi =  ą %  — 0,  qi =
=   2N 6(x)6(y).  Przyjmiemy  więc  F\   =  F

3
 =  0, a n a  funkcję  przemieszczeń  Fi otrzymamy

równ an ie  róż niczkowe

(4.1)  i

N atom iast  przemieszczenia  u, v, w m oż na  bę dzie  wyznaczyć  z zależ noś ci  (2.4)

w =   —

u =

2

(2h+6)
2

4
(4.2)

v  =

Wykon am y  teraz  podwójną  nieskoń czoną  transformację  F ouriera  (3.4)~równania (4.1),
a  p o  wykon an iu  retransform acji  otrzym am y  poszukiwaną  funkcję  F

2
  w  postaci

*<*
 y)

  = - i^ Dl  1  1  r
  2D

  n r — 1  T
- co  - cc  ( a2+ / ?2)2  1  +   « ^ i ( a 2 + ^ )  1 + i . x ( l _ v ) ( a 2 + / ? )

(4 . 3 )  L  £>*   J L  2   J
C ał kę  wystę pują cą  p o  prawej  stron ie  powyż szego  wyraż enia  ł atwo  przekształ cimy  nastę-
pują co:



304  RYSZARD   G AN OWICZ

- ((coc f fty)

X

D
z

(
,  00  CO

2  /   2Z>  1 .,  .  J  J  ,  , 1D z  2
v  '  2  v  y v

Trzy  pierwsze  cał ki  wystę pują ce  w  tym  wyraż eniu  omówiliś my  w  rozdziale  3  niniejszej
pracy.  N atom iast  czwartą  cał kę  wyraż enia  (4.4)  obliczymy  ł atwo  postę pując  podobn ie
jak  przy  obliczaniu cał ki  (3.9). Otrzymamy dla niej  wyraż enie

(4.5)  R2=   J  J  j
l  f

J  J  j 1 £ ^ (J  J  i i  l  / 1  \ / 2 i  O2\   K i l  ^  I
- co  - co  l  - f  pc(i_ „ ) (az+ / S2)

gdzie  y2  =   ]/ 2/ x(l—v)  .
Wykorzystując  zależ noś ci  (3.8),  (3.9),  (3.10),  (4.4),  (4.5)  ofaz  wprowadzając  jedn ostkę

dł ugoś ci  r 0  otrzymamy szukane rozwią zanie  osobliwe  dla  funkcji  przemieszczeń F2(x,  y)

Rozwią zania  osobliwe  przemieszczeń  u, v,  w  otrzym am y  wykonując  n a  funkcji  powyż-
szej  dział ania przepisane zależ noś ciami  (4.2)

N (2h+6)ix  x
2
+y

2  ,  x  ,  1  |'  2x  2y
t
x  1)

\ z  i
0
  l  y

x
  lx  +y  y

x

2
+y

2  l x r i f
  '  ']\

w—  —

|2  . , 2   02

- x

\ - y\  8x8y

gdzie  K
v
(z)  jest  zmodyfikowaną  funkcją  Bessela  drugiego  rodzaju.



R OZ WI Ą Z AN IA  OSOBLIWE  W  TEORII  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH   305

Jeż eli w wyraż eniach  powyż szych  wykonamy  przejś cie  graniczne D -»  0, to otrzymamy
przemieszczenia  osobliwe  dla pł yt  trójwarstwowych  o warstwach  zewnę trznych bez sztyw-
noś ci  n a zginanie  (por.  [4]).

Przejdziemy  teraz d o wyznaczenia poszczególnych  sił  wewnę trznych  dla nieograniczonej
pł yty  trójwarstwowej  obcią ż onej  m om en tem  skupionym.

Wykorzystują c  zależ noś ci  (2.1)  i  (4.7) otrzymamy  nastę pują ce  wyraż enia  dla sił  pł yto-
wych  w warstwach  zewn ę trzn ych:

N (2h+6)  D  \ cos2<p  cos2<p
g

s
=

  l n
  jy  [ —; 2- - - n ——-   ,̂(yi>- )

N (2h+S)  D  sin2<p  [  1  2 ,

N (2h+d)  D  i 1  2  2  .  cos
295- 3sin

^ c o s 9 9 {—[ l + v + 2 ( l v ) s m V H —r O " ' ' )  ~ 3
71  '

(4.8)
N (2h+d)  D  fl  o , .  .  2  2  cos

293- 3sin2

m  v  c o s y | [ l + r 2 ( l y ) s i n 2 y ] ( l r )

P odam y jeszcze wzory  dla sił  wewnę trznych  wypadkowych  dla cał ego przekroju

. . .
v—2(1—ł

f c o s 2 © —3 si n 2



306  RYSZ ARD   G AN O WI C Z

N (2h+d)  sinycos2<p  N (2h+d)
( l )

Ar  « Ł  .  «  . t  N (2h+d)  sinycos2<p  N (2h+d)
M

xy
  =   7 ^ , ( 2 / !+ ó ) + 2 m ^  =   (l-

v
)  —  —  u  (I-

H- T t  Y  JJJt

<P
- [2~- 2y

2
rK

l
(y

2
r)- ylr

2
K

0
(.y

2
r)]+jy

i

2
cos2r

P
K

1
(y

2
r)\ .

P ozostał e wielkoś ci  statyczne, to  znaczy  sił y  tarczowe  N
x
,  N

y
,  N

xy
  oraz  sił y tną ce w  wy-

peł nieniu  N
xz
  i N

yz
,  ł atwo  moż na  otrzymać z  podan ych wyż ej  zależ noś ci  (4.8)  i  (4.9)  odej-

mują c  od  siebie  odpowiednie  wyraż enia.  N a  przykł ad

N „  =  Q
x
- 2q

x
,  N

x
  =   2 ^ p y ( M * - 2 " 7 * )  -   i t d -

Zauważ my,  że  podobn ie jak  dla  przypadku  obcią ż enia  sił ą   skupioną   sił y  wewnę trzne
wypadkowe  dla  cał ego  przekroju  pł yty  nie  zależą   od  sztywnoś ci  n a  zginanie  warstw  ze-
wnę trznych D.  Wobec powyż szego  są   one identyczne z rozwią zaniami  dla pł yt  trójwarstwo-
wych  o  warstwach  zewnę trznych  bez  sztywnoś ci  n a  zginanie.  Rozwią zania  dla  takich pł yt
podał   autor  w  poprzedn io  cytowanej  pracy  [4].  Ł atwo  sprawdzić,  że  są   one  identyczne
z  otrzymanymi  w  pracy  niniejszej.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  A.  P U C H ER ,  Uber die  Singularitatenmethode an  elastischen Platten,  I n g.  Archiv.,  12  (1941).

2.  J.  M OSSAKOWSKI,  Osobliwe rozwią zania w teorii pł yt  ortotropowych, Arch.  M ech.  Stos.,  3,  6  (1954).

3.  J.  M OSSAKOWSKI,  Rozwią zania osobliwe  dla pł yt  anizotropowych, Arch.  M ech.  Stos.,  1,  7  (1955).

4.  R .  G AN O WI C Z ,  W ybrane zagadnienia teoriipł yt  Reissnera i teorii pł yt  trójwarstwowych,  M ech an ika  T eoret.

i  Stos.,  3,  5  (1966).

5.  A.  P U C H ER, Einflussfelder elastischer Platten,  Springer  Verlag, Wien  1951.

6.  M .  SU CH AR,  Computation by  means of  polynomials  of  influence surfaces for  anisotropic plates  withfinite

dimensions,  Arch.  M ech.  Stos.,  5,  10  (1958).

7.  S.  BERG M AN N ,  M .  SCH IF F ER, Kernel Functions and EHiptic Differential  Eą uations in Mathematical  Physics.

Acad.  Press,  N ew  York  1953.

8.  N . J.  H O F F , Bending and  Buckling  of  Rectangular  Sandwich Plates,  N AC A  T. N .,  N o . 2225,  N o v.  1950.

9.  R.  G AN OWI C Z ,  O pewnym  rozwią zaniu pł yty  trójwarstwowej,  R ozpr.  I n ż yn .,  3,  14  (1966).

10.  J.  WACH OWIAK,  P .  WI LD E ,  W olnopodparte,  prostoką tne  pł yty  trójwarstwowe. Arch.  I n ż yn.  Lą dów.,  1,

12  (1966).

11.  S.  KALI SKI ,  Pewne problemy  brzegowe dynamiczne] teorii sprę ż ystoś ci  i  ciał   niespreż ystych,  WAT,  1957.

12.  I . N .  SN ED D ON ,  Fourier  T ransforms,  M c  G raw- H ill,  1951.

13.  J.  H AD AM ARD ,  L ectures  on  Cauchy's Problem  in Partial  Differential  Eą uations,  Yale  U n iv.  P ress,  1923.

14.  H .  Z ORSKI, Plates with Discontinuous Supports, Arch.  M ech.  Stos.,  10  (1958).

15.  H .  C .  rP AJiniTBH H j  H .  M .  PBDKHK, T a6jmtibi  UHmezpanoe cyMM, pndoe  u  npou3eedeuuu,  M ocKBa

1963.

P  e  3  10  M  e

OCOELIE  P E U I E H H ^  B  OEUIEK  T E O P H H   TP EXC JIOEtH LIX n J I AC T H H

TeMoft  paSoTM   a BJ weic n  accjiefloBaH ne  H3OTpomn>ix TpexcjioftH Łix  njiacTH H .  PaccyMCflemm  OC H O-
i  Ha  Teoptw  npefljTWKeHHoił   H .  fl>K.  Xocb4>OM3  [8].



ROZWIĄ ZAN IA  OSOBLIWE  W  TEORII  PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH   307

penieH H H   3a«a«  o  H arpyM cemm  cocpeflOToneHHOH   CH JIOH   neorpaH iweH H ofi  TpexcjioHHoft

a  TaraKe  o  H arpyscen uK  TSKOH   r u ia c T a n u  cocpeflOToieH H biM   MOMemoiw  B03HHKaiomaM  OT

n a p bi  ropn3OH TajibH bix  CH JI  npmio>KeH H brx  BO BHeuiiiHX  CJIOH X.

Bce  penieH H H  n o jiy^ eu bi  B 3aMKHyTOM  BH fle.  O H H   cpaBHHBaioTCH  c  OCO6WMH   pemennHMH  Teopn n  I O H -

KH X  njiacTHHj  a  TaK>Ke  c  penieH H am n Teop«H   TpexcjioftiiBix  njiacTH H ,  B KOTopbnc  BH eniH ue  CJIOH  He oSjia-
flaiOT H3rH6HOH  HteCTKOCTŁK).

S u m  m a r y
  m

SIN G U LAR  SOLU TION S I N  TH E G EN ERAL TH EORY  OF   TH REE- LAYER  PLATES

Isotropic three- layer  plates  are considered in  the paper, the solution being  based  upon the theory given
by  N . J.  Hoff  [8],

The  solution of  an infinite  three- layer  plate is  derived  in the case when the load consists  of a concentra-
ted  force  and  a concentrated couple formed  by  horizontal forces  acting  in  the outer layers.  Ali  results  are
given  in  a  closed  form.

The  results  given  in  the  paper  have  been  compared  with  the  singular  solutions  of  the theory  of  thin
plates and the theory of three- layer plates in which the outer layers  exhibit n o bending rigidity.

Praca został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia 26 wrześ nia  1966 r.

3  M echanika  teoretyczna