Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3, 5 (1967) O  Z JAWISKAC H   R E Z ON AN SOWYC H   W  U KŁAD ACH   N IEOG RAN ICZON YCH SYLWESTER  K AL I S K I ,  EDWARD   WŁ O D AR C Z YK  (WARSZAWA) 1.  Wstę p P roblem  rezon an su  w  zagadn ien iach  falowych,  w  szczególnoś ci  w  zagadnieniach pro- pagacji  fal  sprę ż ystych,  bywa  zazwyczaj  kojarzony  z  problem em  wartoś ci  wł asnych  dla okreś lonych  zagadnień  brzegowych,  tj.  dla  ukł adów  ograniczonych  (por.  n p.  [1]), podda- wanych  dział aniu pola  sił  wymuszają cych.  Tym  niemniej problemy  rezonansowe  wystę pują w  okreś lonych warun kach równ ież i w  przypadkach  ukł adów nieograniczonych lub  w przy- padku  problem ów  brzegowych  ukł adów pół ograniczonych. F akty  te  nie  są   oczywiś cie  n owe.  Z n an e są   fakty  wystę powania  rezonansu  w ukł adach nieograniczonych  przy  odpowiedn io  sprofilowanyćh  przestrzennie  i  czasowo  polach  sił masowych,  znane  są   równ ież  moż liwoś ci  wystę powania  rezonansu  w  przypadkach  odpo- wiedniego  pobudzen ia  ukł adów  z  falą   bież ą cą   w  ukł adach  pół ograniczonych,  które prowadzą   do  specyficznych  problem ów  wartoś ci  wł asnych jak  n p . problem  fal  Rayleigha. P roblem y  brzegowe  dla  ukł adów pół ogran iczon ych zwią zane  są   również,  w  przypadku okreś lonego  wymuszenia  zaburzeń ,  z  zagadnieniam i  promieniowania  typu  Czerenkowa. Wydaje  się  jedn ak  rzeczą   interesują cą   zanalizowanie  zespoł u tych  zagadnień  z jednolitego pu n kt u  widzenia,  m ianowicie  moż liwoś ci  powstawania  rezonansu  w  ukł adach nieograni- czonych  lub  pół ogran iczon ych i  ujawnienie  zwią zków  pomię dzy  moż liwoś cią   powstawania rezonansu n a falach  stoją cych  i falach  bież ą cych  oraz  zjawiskami  promieniowania Czeren- kowa.  Kwestia  ta  stan owi  cel  niniejszej  publikacji. W  pracy  rozważ amy  najpierw  zagadnienie  moż liwoś ci  powstawania  rezonansu w  ukł a- dach  nieograniczonych  oraz  zwią zki  pomię dzy  zjawiskiem  rezonansu  n a  falach  stoją cych i  biegną cych  wykazują c  fizyczną   równoważ ność  obu  zjawisk.  Ograniczamy  się   przy  tym do  równ ań  opisanych  w  przypadku  procesów  okresowych  operatoram i samosprzę ż onymi. N astę pn ie  dyskutujemy  zwią zki  pomię dzy  rezonansem  dla  fal  stoją cych  i  bież ą cych w  brzegowych  ukł adach  pół ogran iczon ych  oraz  wykazujemy  zwią zek  tych  procesów  ze zjawiskiem  prom ien iowan ia  typu  C zerenkowa.  C ał ość  pracy  uję to  w  postaci  przykł adów dla  typowych  zagadn ień  propagacji  fal  wzglę dnie  typowych  problemów  brzegowych  dla sprę ż ystych  ukł adów  pół ogran iczon ych  z  pu n kt u  widzenia  zagadnienia  rezonansu.  Przy- kł ady  rozważ ano  w  uję ciu  moż liwie  najprostszym,  a  wię c  pomijają c  efekty  tł umienia  itp. W  zakoń czeniu podsum owan o wyniki  i wyprowadzon o  wnioski  ogólne  oraz  sprecyzowano wynikł e prawidł owoś ci. N ależy  tutaj  zaznaczyć, że  m oż na by  ominą ć m etodę  przykł adową   próbują c  ują ć cał ość w  ogólnej  formalnej  postaci  m atem atycznej —  tym  bardziej,  że  rozważ ania  niniejsze, 4 * 326  SYLWESTER  KALISKI,  ED WARD   WŁOD ARCZYK przeprowadzon e  n a przykł adach  problem ów  fal  sprę ż ystych  i  pewnych  problem ach pól sprzę ż onych,  stosują   się  i do  szeregu  innych  zagadnień  teorii  pola. Jednakże  zastosowane  przez  nas  uję cie,  z  racji  ekspon owan ia  problem ów  zwią zanych z propagacją   fal  sprę ż ystych  oraz ze wzglę du  n a poglą dowośc  wydaje  się  bardziej  korzystn e. 2.  U kł ady  nieograniczone D la  przykł adu  rozważ ymy  najpierw  ukł ad  sprę ż ysty,  bezdyspersyjny  i  przestrzennie jednowymiarowy,  a wię c  n a przykł ad prę t  nieograniczony. Równanie  okresowych  drgań  wymuszonych  m a  postać 2 8 2 u  3 2 u (2.1)  a2-  ̂ —  - ^ gdzie  przyjmiemy  p(x)  =  posinnnx/ J. Podstawiają c  w tym  wzorze x u =   w0 cos mt sin nn—- otrzymujemy (2.2)  u= 2 M ianownik  przyrównany  do  zera  stanowi  odpowiednik  równ an ia  dyspersyjnego  rów- nania jedn orodn ego (2.3)  r ^ r - 1,  «,  -   — i  odpowiada  przypadkowi  rezonansu  dla  okresowego  czasowo  i  przestrzennie  pola sił wymuszają cych.  Łatwo  oczywiś cie  zauważ yć,  że przy  przestrzennie  okresowym  polu sił wymuszają cych  ukł ad  na  odcinkach  pół okresu przestrzennego  odpowiada  jakby  wydzielo- nemu  ukł adowi  ograniczonemu  (o warunkach  brzegowych  u = 0 dla x  —  / ),  co  oczywiś cie wyjaś nia  obraz  rezon an su. Rozważ my  obecnie przypadek  fali  bież ą cej  w prę cie z polem  sił   wymuszają cych (2- 4)  p(x,t)  =  p o e lk ^ t) . Poszukują c  rozwią zania  w postaci (2.5)  u(x,t)  =  u o e'^ - vt) otrzymamy  z  przyrównania  równ an ia  dyspersyjnego  równ an ia  jedn orodn ego  do  zera warun ek  rezonansu  dla  fali  bież ą cej (2.6,  , - 4 P orównują c  (2.6) z  (2.3)  widzimy,  że rezonans  zachodzi w  obu  przypadkach  dla  iden- tycznych  wartoś ci  co  przy k — a B ; oznacza to, że przy  dł ugoś ci fali  takiej  jak  dla  przypadku fali  stoją cej  ukł ad w przypadku  fali  bież ą cej  przechodzi w  rezon an s  wtedy,  gdy prę dkość Z J AWI SK A  R E Z ON AN SOWE  W  U K Ł AD ACH   N I E OG R AN I C Z ON YC H   327 fazowa  harm on iczn ego  w  czasie  i  przestrzeni  pola  sił  wymuszają cych  osią ga  prę dkość dź wię ku.  Z  pun ktu  widzenia  powstawan ia  rezon an su  oba  ukł ady są równoważ ne.  Analo- giczna  sytuacja  zachodzi również w przypadku  nieograniczonej przestrzeni  trójwymiarowej. N a  przykł ad dla  równ an ia  falowego (2.7) w  którym (2.8)  p{x,y,  z) =   p o sma m xsm()„ysmy k z, o  ( a 2 _ w 2 ) f c 2 . 328  SYLWESTER  K AL I S K I ,  E D WAR D   WŁ O D AR C Z YK co  daje  zerową   sztywność  (rezonans) przy  a  =   v,  a  to  z  kolei  przy  v  =  a  =   eojk prowadzi d o  k  —  a>ja  lu b (2.15)  l - ^ r . zgodnie  z  (2.6). Rozważ one wyż ej przykł ady dotyczył y problem ów  bezdyspersyjnych.  Zwią zki  powyż sze przenieś ć moż na jedn ak  bez trudu i n a przypadki  z  dyspersją   (n p. problem belki), jedn akże wtedy  odpowiedniość  rezonansu  dla  fali  bież ą cej  zachodzi  nie  dla  prę dkoś ci  fazowej  fali bież ą cej  równej  prę dkoś ci  dź wię ku,  lecz  dla  okreś lonej  prę dkoś ci  zależ nej  od  wektora falowego.  W  dalszym  cią gu  ograniczymy  się   dla  prostoty  (mają c  n a  uwadze  jakoś ciową stronę   zagadnienia)  do  problemów  bezdyspersyjnych.  Z nacznie  bardziej  zł oż oną   postać przybiera  powyż szy  problem  w  przypadku  zagadnień  brzegowych  ukł adów  pół nieskoń - czonych, czym  zajmiemy  się  w  nastę pnym pun kcie. 3.  P roblem y  brzegowe  w  ukł adach  pólnieskoń czonych 3.1.  Uwagi  ogólne.  Rozważ ymy  obecnie problem rezonansu dla  fal  stoją cych  i  bież ą cych dla ukł adów pół nieskoń czonych przy wymuszeniach dan ych n a brzegu  a nie, jak poprzedn io, polem  sił  masowych.  U zyskamy  tutaj  podobn e  odpowiednioś ci jak  w  pun kcie poprzedn im jedn akże  z  dość  istotnymi  modyfikacjami.  M ianowicie,  o  ile  w  przypadku  poprzedn im , dzię ki  profilowaniu  fali  przestrzennym,  okresowym  ukł adem  sił   masowych  (dla  fali  sto- ją cej)  stwarzał o  się  jak  gdyby  podukł ady  ograniczone  o  znanych  wł asnoś ciach rezon an so- wych,  o  tyle  w  przypadku  wymuszeń  danych  jedynie  n a  brzegu  takich  ukł adów,  dzię ki moż liwoś ci  generowania  promieniowania  Czerenkowa,  nie  daje  się   n a  ogół   zrealizować. N a  przykł ad  okresowym  ciś nieniem  przył oż onym  n a  brzegu  pół nieskoń czonego  prę ta nie  m oż na  wytworzyć  rezonansu,  gdyż jedyne  rozwią zanie  stanowi  tu  fala  wypromienio- wują ca  od  koń ca prę ta. Jeż eli z kolei rozważ yć problem pół przestrzeni  (z reguł y rozważ ać bę dziemy  zagadn ien ia pł askie)  n p.  dla  równ an ia  falowego,  to  przy  dan ym  m  i  ciś nieniu  okresowo  zmiennym wzdł uż  powierzchni  (n p.  problem  akustyczny)  w  przypadku  fali  stoją cej  nie  otrzymamy rezonansu.  M ianowicie, gdy  bę dziemy  zmieniać  /  przy  dan ym  co,  to  zan im  wystą pi  rezo- nans, 'nastą pi  odpromieniowanie fali  powierzchni.  P odobn ie  dla  fali  bież ą cej:  przy  prze- kroczeniu przez prę dkość fazową   prę dkoś ci  dź wię ku  wystą pi  prom ien iowan ie typu  Czeren- kowa  bez  osią gnię cia  przedtem rezon an su. Równanie  falowe  nie  m a  dostatecznych  «wewnę trznych  stopn i  swobody»  n a  to,  aby problem w ukł adzie pół nieograniczonym miał  wartoś ci  wł asne (co jest zwią zane  z istnieniem fal  powierzchniowych).  Takie  moż liwoś ci  powstają   ^dla  równ an ia  bifalowego  i  wyż szych rzę dów,  to jest  dla  problem u  fal  Rayleigha  w  teorii  sprę ż ystoś ci  czy  też w  teorii pól  sprzę - ż onych. Jak się  okazuje, w przypadku teorii sprę ż ystoś ci  istnieje  moż liwość wywoł ania rezon an su za pomocą  fal  stoją cych  n a powierzchni. P odobn y wynik  otrzymuje  się   i  dla  fal  bież ą cych przy  podobn ych  zależ noś ciach  jak  w  poprzedn im  pun kcie  z  tym,  że  obecnie  prę dkość krytyczna,  przy  której  wystę puje  to  zjawisko,  odpowiada  prę dkoś ci  fal  powierzchniowych Rayleigha.  Przy  takiej  prę dkoś ci  m oż na  za  pom ocą   fali  bież ą cej  wzbudzić  rezon an s, ZJAWISKA  REZONANSOWE  W  UKŁADACH   NIEOGRANICZONYCH   329 gdyż  prę dkość  ta  stanowi  wartość  wł asną   specjalnego  problemu  brzegowego  dla  ukł adu pół nieograniczonego. P odobnie ma się  rzecz i dla przypadku  równań pól sprzę ż onych, aczkolwiek  zagadnienie z  racji  bardziej  zł oż onych równań  (obszarów  istnienia  fal  powierzchniowych  itd.) kompli- kuje  się   bardzo.  Wszystkie  te  wł asnoś ci  są   wynikiem  symetrii  zjawisk  rezonansowych  dla fal  bież ą cych  w kierunkach przeciwnych  co w  rezultacie  superpozycji  daje  efekt  rezonansu dla fal  stoją cych.  N iż ej omówimy przypadek  równania falowego  i równań teorii  sprę ż ystoś ci oraz  pokrótce  przytoczymy  wyniki  dla  równań  magnetosprę ż ystoś ci  i  piezoelektrycznoś ci oraz  wykaż emy  sł uszność  sformuł owanych  wyż ej  wniosków. 3.2.  Równanie falowe.  Rozważ my  przypadek  fali  stoją cej  dla  równania  falowego (3.1)  a2Vz(xi,  t)  =   (p 0  sin ——xc o s mt —  (p 0 sina n x 1 coscot. Rozwią zanie  (3.1) ma  postać (3.3)  N  .  .  - yĄ - T jr**. rp{xi, x 2 ,  t)  =  C osma^iSincoże  , ską d (3.4)  C o = — . Rezonans wię c nie zachodzi.  G dy coja >  a„, nastą pi wypromieniowanie fali od powierzchni. Podobnie  dla  fali  bież ą cej  znajdziemy (3. 5) co  daje  wynik podobn y  do  poprzedniego,  czyli  brak  rezonansu  oraz promieniowanie typu Czerenkowa  dla v  >  a. 3.3. Równania teorii  sprę ż ystoś ci.  Równania  pł askiej  teorii  sprę ż ystoś ci  mają   postać: (af- al)  (Mi ! « , , Rozważ my  przypadek  fali  stoją cej.  W tym celu przyjmiemy  warunki brzegowe  w postaci (3.8)  cr12 =   0,  al2  =  —Asin a) ^co sa„ x1,  a„ —  nnjl. Rozwią zanie  równań  (3.6) czynią ce  zadość warunkom  w  nieskoń czonoś ci  ma postać: «i  =   sincofsina„Xj  (,4 oc„e 330  SYLWESTER  KALISKI,  ED WARD   WŁ OD ARCZYK gdzie (3.10)  y\   =  a2 -   ~ ,  jS» =   <Ą —~. Z  pierwszego  z warun ków  brzegowych  (3.8) obliczamy (3.11)  B=- - ^ rA, z  drugiego  zaś (3.12)  A  =  A 0 gdzie Rezonans  powstaje  gdy  m ianownik  wyraż enia  (3.12) (3- 13)  M=   ( 2 —^ ) - 4 l / l —ń-   l / l  ^  =  0, co odpowiada przy dan ym m takiem u a„, że i =   w/ a„  speł nia równ an ie M ( l )  =   0, identyczne z  równaniem  dla  fali  powierzchniowej  Rayleigha.  G dy  dalej  bę dziemy  zmniejszać  a„ tak, że  @l  <  0, wtedy  wystą pi  wypromieniowanie jednej  fali  od  powierzchni, gdy zaś y2  <  0—• wypromieniowanie  obu  fal. W  przypadku  fali  bież ą cej  zakł adamy  naprę ż enia  n a  brzegu  w  postaci (3.14)  (T12 =   0,  a21  =   _ V i C * 1 ~ t " )  albo    ai  nastę puje  wypromieniowanie  jednej,  zaś  od  v>  a\   —  dwóch  fal C zerenkowa. Z auważ my,  że  w  obu  przypadkach  przy  przejś ciu  przez  rezonans  nastę puje  zmiana fazy  am plitudy,  prom ien iowan ie  zaś  Czerenkowa  zaczyna  się   dopiero  po  przekroczeniu prę dkoś ci  dź wię ku  (rys.  1).  P rzypadek  M(0)  =   0  nie  powoduje  nieograniczonoś ci  u\ , iii, M _«. Promieniowanie Czerenkowa a 2 Rys.  1 gdyż  liczniki  tych  wyraż eń  znikają   również  dla  v  =   0.  Wynik  powyż szy  otrzymaliś my, ja k  już  wspom n ian o, w  rezultacie  symetrii  efektu  rezonansu  "dla  fal  bież ą cych  na  prawo i  n a  lewo,  co  w  rezultacie  superpozycji  daje AQ  /   ik(x—vt)  i  ik(x + vt)\   ,  \ kx  ,  *  •   \ kx =   ^ - [e  - \ - e  j  =  — A o e  coskvt  —  — A o e  coscot, ską d R e  ff22  =   — .„x,  k  —  a„, a  wię c  w  rezultacie  otrzymuje  się   rezonansową   falę   stoją cą. 3.4.  Równania magnetosprę ż ystoś ci.  Przytoczymy  obecnie bez  obliczeń  gotowe  rozwią zanie dla  równ ań  m agn etosprę ż ystoś ci  doskonał ego  przewodn ika  sprę ż ystego  w  pierwotnym polu  magnetycznym  równoległ ym  do  osi  (x{) [3]. R ówn an ia  problem u  dla  przewodn ika  mają   postać 8 2   ,  8 2   ć (3.19) dx\ 8x18xi 8 2 ' = 0 , gdzie  a u   a 2   —  prę dkoś ci  fal  podł uż n ych  i  poprzecznych oraz  a] =  aj+x  przy  x  — B2l4ng, przy  czym  B  ozn acza  indukcję   magnetyczną   stał ą ,  Q gę stość  oś rodka. 332  SYLWESTER  KALISKI,  ED WARD   WŁOD ARCZYK R ównanie  pola  w  próż ni  jest (3.20)  V2A—\ h  =  0. c Warun ki  brzegowe  są   nastę pują ce: B  - (fli+ jc)M3  3- {- (al—2a2)Ui  1 + - ; —»i  =   N (x,  t), (3.21) M lj3 +   M 31  =   0 ,  hij  = gdzie  dla fali  stoją cej  i  bież ą cej  N (x, t)  wynosi  odpowiednio (3.22)  N (x, t) =  —^osin&^cosa,,,*!,  N (x,t)  =   — p o e  ^   vl  . W  obu  przypadkach  otrzymujemy  identyczny  warun ek  rezon an su,  czyli  M =  0 w  postaci: (3.23)  M = (m+b2) (m- 2)  ą   pl+ (m+b2) (m - e2) (/ 3?+ ^)+ {(m+ &2) (m- e2)+(m- 2)  x x [3m+2~me2+b2(m- e2)]}^ M- b\ m- l)  (m- e2)  (^ +^ )~(m- e2)  [3m~ - 2- me 2 +b 2 (m- e 2 )]  = 0, przy  czym  ft  znajdujemy  z równania (3.24)  ( O T + 6 2 ) ^ 2 + [ e 2 ( w+ i 2 + l ) - 62 ( m + l ) - 2 m ] A+ ( w- e2 ) ( l + *2 - e2 )  =  0, gdzie (3.25)  m = Ą ,  b2 = ~,  e2 = - ^   lub  e2 =   4 " ( p r zy  w =   co/ fe,  /c =   a „ ) . Warunek M  =  0 odpowiada prę dkoś ci fal Rayleigha w problem ie  magneto- sprę ż ystoś ci. W  zależ noś ci  od wielkoś ci  b2 fale  Rayleigha, a wię c i rezon an s n a fali  bież ą cej  oraz  również na  fali  stoją cej  jest  albo  moż liwy,  albo  niemoż liwy.  M ogą   także  wystą pić  przypadki  nie- ostrego  rezonansu.  D yskusja  warun ków  istnienia  fal  powierzchniowych  w  funkcji  b2 podan a jest w pracy  [3]. I stotn y jest  tutaj  wniosek  analogiczny  do  poprzedn iego,  dotyczą cy równoważ noś ci problem u rezonansu dla fali  stoją cej  i fali  bież ą cej  z  prę dkoś cią   Rayleigha, który  jest  także  wynikiem  efektu  symetrii. 3.5.  Równania piezoelektrycznoś ci.  Rozważ my  oś rodek  piezoelektryczny  wypeł niają cy  pół - przestrzeń przy  danym warunku  brzegowym  dla indukcji  elektrycznej  w postaci fali  stoją cej lub  bież ą cej. Równania  piezoelektrycznoś ci  mają   postać (3- 26)  •   QUI =  E ikm „u mi „ k —r m

ti  = N . Eliminując  w  (3.30)  u przez  iKH OCTB,  H anpH Mep B 3aHa^ie  o  nojiynpocTpancTBe  BO36y>KflaeMOM   Ha Kpaio BOJI H OH ,  onpe^ejiH Tb  pe30HaHCHŁie  napaiweTpbi  n p n IIOMOIIJ,H   xapai