Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  S (1967)

FALE  POWIERZCHNIOWE  W  OŚ RODKU   Z  NAPRĘ Ż ENIAMI  MOMENTOWYMI

C Z E SŁ AW  R Y M A R Z  (WARSZAWA)

1. Wstę p

P rzeprowadzon e  eksperym en ty  [1]  wykazał y,  że  teoria  sprę ż ystoś ci  nie jest  w  stanie
opisać  dostatecznie  poprawn ie  zjawisk  w  miejscach,  gdzie  wystę pują   duże  gradienty
n aprę ż eń  (obszary  ich kon cen tracji). Przypuszczalnie  zaczyna  się  t am przejawiać  dyskretna
polikrystaliczna  struktura  m aterii.  Stą d  też  rozbież noś ci  mię dzy  opisem  teoretycznym
i  eksperymentem  bę dą   tym  wię ksze,  im  bardziej  gruboziarnisty  bę dzie  badany  materiał .

Z m usza  to  do  poszukiwan ia  innych  m etod  opisu  tych  zjawisk,  wś ród  których  domi-
nują cą   rolę   odgrywają   n adal  m etody  fenomenologiczne,  posł ugują ce  się   poję ciem  oś rodka
cią gł ego.  Lepszy  opis  teoretyczn y  zjawisk  m oż na uzyskać  drogą   wzbogacenia  oddział ywań
wewnę trznych  w  oś rodku  kon tyn ualn ym .  Przez  wyróż niony  myś lowo  przekrój  przenosi
się   nie  tylko  sił a, ale  i  m om en t powierzchniowy,  co  powoduje  istnienie  naprę ż eń  momen-
towych w oś rodku. Był y one stosowan e uprzedn io w  teorii powł ok. D o teorii oś rodka cią gł e-
go wpiowadzili  je  bracia C osseraci w  1909 r.  Wprowadzenie  ten sora  napię ć momentowych
do  opisu  - stanu  m echanicznego  kon t in u u m  powoduje  niesymetrię   tensora  napię ć  oraz
zmusza  do  rozważ an ia  wzbogacon ego  obrazu  stan u  deformacji  przez  uwzglę dnienie
w  równ an iach  kon stytutywn ych  wyż szych  gradientów  deformacji,  gradientów  obrotu
lub  wprowadzenie  dodatkowych  lokalnych  stopn i  swobody.  Ta  rozwinię ta  struktura
deformacji  jest  w  stan ie  lepiej  m odelować  rzeczywiste  wł asnoś ci  materii  i  uchwycić  efekty
dodatkowych  oddział ywań  o  postaci  sił   niecentralnych.

R óż n orodne  m ateriał y  mogą   przy  tym  wymagać  rozmaicie  okreś lonego  stanu  defor-
macji, który bę dzie dobrze opisywał  ich wł asnoś ci mechaniczne. Z agadnieniom tym poś wię-
con o  wiele  prac  [2- 6].

W  przedstawionej  pracy  bę dziemy  opierać  się   gł ównie  n a  metodzie  podanej  przez
KOITERA  [3]  i  rozszerzonej  n a  zagadnienia  dynamiczne  termosprzę ż one  przez  N OWAC -
KIEG O  [7]. M etoda powyż sza  posł uguje  się  poję ciem  oś rodka  cią gł ego  o trzech geometrycz-
nych  stopn iach  swobody  przy  uwzglę dnieniu  w  równ an iach  stan u  gradientów  obrotu
wyraż alnych  przez rotację   wektora przemieszczeń. Wprowadza  się  nowe wielkoś ci mechani-
niczne  takie,  ja k  wektor  sił   m om en towych  Y,  wektor  momentów  powierzchniowych  g
oraz  ten sor  n aprę ż eń  m om en towych / <y.

Celem tej  pracy jest  zbadan ie  w  oparciu  o  wyż ej  wymienione  prace  zagadnień  zwią -
zanych z falami powierzchniowym i w t ak okreś lonym oś rodku (rodzaj oś rodka Cosseratów).
Badania  takie  są   szczególnie  cenne  dla  zagadnień  propagacji  fal  bardzo  krótkich  (ultra-
dź wię ki),  gdyż  wówczas  mogą   pojawić  się   nowe  efekty  zwią zane  z  rzeczywistą   budową
ziarnistą   m aterii.



338  CZESŁAW  RYMARZ

Autor  zdaje  sobie  sprawę   z faktu,  że  sens  tak  okreś lonego  oś rodka, w którym  naprę -
ż enia  momentowe  są  równoważ one  tylko  przez  orbitaln y  m om en t  pę du  i  przez  niesy-
metryczną   czę ść tensora  napię ć, może budzić wą tpliwoś ci.  Jedn ak wyż ej  okreś lony  oś rodek
Cosseratów  nie  wykazuje  cech  wewnę trznej  sprzecznoś ci,  jeż eli  chodzi  o zasady  zacho-
wania,  może  wię c  być  rozpatrywany  jako  jeden z moż liwych  m odelów  oś rodków  w celu
dostarczenia  materiał u  do  porówn an ia z innymi  typami  oś rodków.

W  punkcie  2 przedstawiono  w sposób  zwię zły  najważ niejsze  relacje  opisują ce  stany
dynamiczne  rozważ anego  oś rodka.  W  punkcie  3 okreś la  się   obszary  istnienia  fal  powierz-
chniowych i wyznacza  się   podstawowe  równ an ia  dyspersyjne.  W  pun kcie 4 przeprowadza
się   analizę   uzyskanych  wyników  liczbowych  i formuł uje  się   szereg  wniosków  dotyczą cych
badanego  oś rodka.  W zakoń czeniu  podaje  się   perspektywy  wykorzystania  otrzym an ych
wyników  przy  dalszych  badaniach  oś rodków  C osseratów.

2.  Podstawy  teorii  termosprzę ż onych procesów  dynamicznych

Z asady  zachowania  pę du i m om en tu pę du w rozważ an ym  oś rodku  C osseratów  wyra-
ż ają   się   nastę pują co:

(2.1)

(2.2)  u * / r A t y I j + g i ;

Pij  oznacza tensor napię ć momentowych,  Yi wektor  sił  m om entowych, pozostał e  wielkoś ci
mają   takie  samo  znaczenie jak  w  klasycznym  oś rodku  sprę ż ystym.

Tensor  napię ć jest  obecnie  tensorem  niesymetrycznym.  Jedn ak  jego  czę ść  antysyme-
tryczna wyraża  się  w  oparciu o (2.2)  n astę pują co:

(2- 3)  r,„„ =  —^ • s
im

„(fijij+QYi).

P o  uwzglę dnieniu  (2.3)  równanie  ruchu  (zachowania  pę du)  przyjmuje  p o st ać :

(2- 4)  s
mi

,
im

- ~—ei
m
„[mj

i
j
m
+(eY

i
)

im
]+QX„—QU„  =  0,

gdzie mu  oznacza czę ść dewiatorową   ten sora naprę ż eń momentowych, s,„„ czę ść  symetryczną
tensora  naprę ż eń.

P ochodn a  gę stoś ci  energii  wewnę trznej  wyraża  się   n astę pują co:

(2.5)  U  =   s
i
jy

i
j+/ j,

i
jk

i
j- q

i
j,

gdzie
1

fyj  —  ft)i,j  —  "ye im «M n , m j.

G ę stość  energii  wewnę trznej  zależy  tutaj  od  gradientów  obrotu  »y,  co jest  konsekwencją
przyję tego  modelu.

F unkcja  energii  swobodnej  dla  oś rodka  izotropowego  m a  nastę pują cą   p o st ać :

(2.6)  F + M + ' + " f o O



F ALE  POWIERZCHN IOWE W OŚ RODKU  Z  NAPRĘ Ż ENIAMI MOMENTOWYMI  339

Wynikają   stą d  równ an ia  kon stytutywn e  dla  rozważ anego  oś rodka:

(2.7)  S
i
j =  2fiy

ij
  + X(y

kk
- Pd)ó

i
j,  m

i3
  =  4(M/

2(«y+ ?7«i/ i),

gdzie  |S jest  stał ą   sprzę ż enia  termomechanicznego,  X, fi  stał e  Lamego,  /, y\  nowe  stał e
m ateriał owe.

P o wstawieniu  równ ań konstytutywnych  do równ an ia ruchu otrzymujemy  ukł ad równań
w  przemieszczeniach:

(2.8)  ^ u
U
j+{X+fi)u

i
j
i
- fj,l

2
(u

i
jj~Uj

ii
j)

M
+Xi- ~e

iJk
Y

k
j  =   flj+ jSU ,,.

W  rozważ an ym  oś rodku  m oż na  postawić  pię ć  niezależ nych  warunków  brzegowych:

(2.9)  % + ̂ s
hk

i(mj
kJ
—m

(mhk

J
f  Y

k
\ n

h
  — p,,  /  =   1,2, 3,

(2.10)  mj
h
ttj—w(n„ )H A  =  g,,.

P oza  tym powinien  być  również  speł niony  warun ek  kon turowy  n a  kon turach  ograni-

czają cych  gł adkie  czę ś ci  po wierzch n i^) :

(2.11)  Q =  - 2  [ «V) + - m ( »«) - ]-

P rzedstawion e  relacje  pozwolą   zbadać  wł asnoś ci  fal  powierzchniowych.

3.  Fale  powierzchniowe  w  półprzestrzeni

Jak wiadom o, rozwią zanie  zadan ia polega  n a okreś leniu rozwią zań  szczególnych równań
ruchu  (2.8)  maleją cych  w  kierun ku  osi x3  niezależ nych  od x2  (fala  pł aska)  oraz  speł nia-
ją cych  jedn orodn e  warun ki  naprę ż eniowe  (2.9),  (2.10)  n a pł aszczyź nie  x%  = 0  (rys.  1).
N ależy  również  zbadać  warun ki  gwarantują ce  istnienie  tego  typu  rozwią zań.

P rzed  przystą pieniem  do  dalszych  rozważ ań  wyraź my  warunki  brzegowe  w  prze-
mieszczeniach.

P onieważ  w  rozważ anym  przypadku  n =  (0, 0,  1),  stą d

(3.1)  m(„„) =   mijnjn
i
  =  m

35
.  (nie  sumować ).

Z auważ my  nastę pnie, że ten sor  dewiator  jest  w tym  przypadku  tensorem  antysymetrycz-
nym,  co wynika  z wł asnoś ci  ten sora  Ricciego  oraz  z poniż szej  zależ noś ci:

(3.2)  mtj =   4pP(e
Jk
iUi

lki
+r]s

m
u,

ikJ
).

Przyjmują c  nastę pnie  w  myśl  zał oż enia  o  falach  powierzchniowych  Y
k
 =  0  otrzymamy

z (2.9)

( 3- 3)  l- y/.i +  ~2  ehkimjkj  I "i,  => Pi •

P o  dokon an iu szeregu  przekształ ceń i uwzglę dnieniu  (3.2) zwią zek  (3.3) przyjmuje  postać:

( 3- 4)

O  Przedstawione wyż ej re acje są  zawarte w  [3,  7]. U mieszczono je tutaj w celu nadania pracy wię kszej
przejrzystoś ci.

5  Mechanika  teoretyczna



340 CZESŁAW  RYMARZ

co  po uwzglę dnieniu  postaci równ an ia konstytutywnego  dla s
M
  m oż na zapisać  n astę pują co:

(3.5)

gdzie  «(;,,!),  M[ftij]  są   czę ś cią   symetryczną   i  antysymetryczną   ten sora  gradientów  prze-
mieszczeń.  Widać  stą d,  że  po  zał oż eniu  /  =   0,  otrzym a  się   klasyczne  warun ki  dla  skł a-
dowych  wektora  sił   powierzchniowych.

1,9

1,8

1,7

1,6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0

v=0,3

Ot e a r  nieistnienia Fal

Funkcja  dyspersyjna  Fal  powierzchniowych
dla  oś rodka  Cosserat

_1   I  I  I  L_ - I  L.

0,2  0,4  0,6  0,8  1,0  1,2  1,4  1,6  </,fi  2,0  2,2  2,4  2,ff  2,5  3,0  3,2

Rys.  1

Ponieważ  dla  rozważ anego  przypadku  mamy  n
h
  =   (53;„  zatem

(3- 6)  I  <53(W/ i,t

Widoczne jest,  że dla  skł adowej  normalnej  (/  =   3)  otrzymuje  się   zawsze warun ki  klasyczne

(%,3]  =  0).
R ównania  dla  skł adowych  wektora  m om en tów  powierzchniowych  p o  rozpisan iu

i  uwzglę dnieniu  faktu,  że  m
(nn)

  =   0  przyjmują   postać

(3.7)

z—  "2 , 1 2 )  =   •
n  •

'  : • )'  •   • ; ! . >•



F AL E  P O WI E R Z C H N I O WE W  OŚ ROD KU   Z   N AP R Ę Ż E N I AMI M OM EN TOWYM I  341

P oszukiwanie  rozwią zań  dla fal  powierzchniowych  w  postaci  fal  pł askich  (w2 =   0)
powoduje  autom atyczn e  speł nienie  jednego  z  równ ań  ruchu,  jednego  z  jedn orodn ych
warun ków  brzegowych  (3.6)  (dla  1=2)  oraz  warun ku  jedn orodn ego  (3.7)i.

Z  uwagi  n a rozważ an ia  procesów  dynamicznych  m oż na  przyją ć,  że bę dą   im towa-
rzyszył y  przem ian y  adiabatyczne, co z uwagi  n a brak  wewnę trznych  ź ródeł   entropii pro-
wadzi  do jej  zach owan ia:

(3.8)  s=Mkk+- %- e  = o.

Stą d

P ozwala  to  wyeliminować  gradien t  tem peratury z równ ań  ruchu  (2.8):

(3.9)  / *r»ij;+ 4«/ , y~ / "r^(«ijj—M ;, y), fts  =  e«i»

gdzie [i
T
, X

T
 —  stał e  Lam ego  dla  procesu  izotermicznego

(3.10)  A 5  ^

P o  dokon an iu  rozkł adu  wektora  przemieszczeń  otrzymujemy  ogólnie

(3.10)
  Ui

=0
ti
+e

ijk
T

kJ

oraz  dla zagadnienia  pł askiego

(3.10a)  Wi =   0

P o  podstawieniu  (3.10a)  do  (3.9)  otrzymuje  się  równ an ie  rozprzę ż one  dla potencjał ów

' *,  W :

(3.11)  ( v2  ^ ?  ,   [ ( ) ^

gdzie

,  _
c

u
-

e  e

W  myśl  poczynionych  zał oż eń  rozwią zania  dla funkcji  0,  W   przewidujemy  w  postaci:

(3.12)  ~

P o  podstawien iu  przewidywanych  rozwią zań  do  równ ań  (3.11)  otrzymuje  się  nastę pują ce

zwią zki  mię dzy  param etram i.

Z  równ an ia  (3.11)i
•   .  .•   '  2

/ o  1  Q\   Jl  J,2  .
\ 3- l3)  ; • • . . . • , ,.  a  —  K  ~  „ 2  '

:  c l a



342 CZESŁAW  RYMARZ

z  równania  (3.11)2

(3.14)  OS 2 - / c2 ) [ l - /2 GS 2 -

a  po rozwią zaniu  wzglę dem  fl2:

(3.15)  $,2 =   l<- 2+^ n:

^ - - o ,

, c?/ 2

Jak  widać,  wartoś ci  / ?2,2  bę dą   zawsze  rzeczywiste,  co gwarantuje  istnienie  fal  powierz-
chniowych  monotonicznie zanikają cych  z  gł ę bokoś cią   (w kierunku  osi  % ) .

Wymaganie,  aby fi\ , j82 był y  liczbami  rzeczywistymi,  prowadzi  do warun ku

gdzie  w  =  cojk  oznacza  prę dkość  fazową   fal  powierzchniowych,  a  źl dł ugość fali.  N ierów-
ność  powyż sza  oraz  nierówność

(3.17)  —  ^  1

wynikają ca  z  (3.13)  okreś lają   obszar  istnienia  fal  powierzchniowych  n a  pł aszczyź nie
(e/ c*  //A).

Bliż szą   analizę   tego  obszaru  przeprowadzimy  w  punkcie  4.  Ż ą danie  speł nienia  jed-
norodnych  naprę ż eniowych  warunków  brzegowych  n a  pł aszczyź nie  xi = 0  prowadzi
w oparciu o  (3.6) i (3.7) do zależ noś ci dla funkcji  0, W :

^ , 1 3  =   0 ,

=  0 ,  V2 ^, 3  =  0 .

N ależy  zauważ yć,  że w  warunki  brzegowe  nie wchodzi  nigdzie  stał a  m ateriał owa  rj,  co
uł atwia  znacznie prowadzenie  dalszych  rozważ ań.

Warunek  brzegowy  konturowy  (2.11)  jest  speł niony  automatycznie  ze  wzglę du  n a
cią gł ość  wektora  normalnego  (gł adkość powierzchni).

P o  podstawieniu  (3.12)  do (3.18)  otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad  równ ań  algebraicz-
nych jednorodnych dla  stał ych dowolnych A, Bi, B

2
:

(3.19)  [(X
s
+2f,)a

2
- t

s
k

2
]A+2ju ikfcB^ +lpikhB*  = 0,

- 2ik*A+[k
2
+fi- P(^ - k

2
)

2
]B

1
+[k

2
+fó- l

2
(ą - k

2
f]B

2
  =  0,

fcGSi- *2)  ̂ =   0,

gdzie  p,
T
 =  fi.

Wymaganie  istnienia  nietrywialnych  rozwią zań  powyż szego  ukł adu  prowadzi  do  ż ą-
dania  zerowania  się   jego  wyznacznika

(3.20)  Z> = =  0 .



F AL E  P O WI E R Z C H N I O WE  W  OŚ R OD KU  Z  N AP R Ę Ż E N I AMI  M OM EN TOWYM I  343

P o  rozwinię ciu wyznacznika  wzglę dem  ostatniego wiersza  i dokon an iu szeregu przekształ ceń
otrzymujemy

(3.21)

gdzie

4a> 2/ 2

stą d  p o  dalszych  przekształ cen iach  doch odzim y  d o zależ noś ci

lub  p o  wprowadzen iu  oznaczeń  w/cz =   j ,  /c/  =   2JI/ / A  =   x

(3.23)  [ 2 - / ]4 [ l + 2 /

gdzie  y  =  HI(X
S
+2IJ).

Jeż eli  w  (3.23)  przyją ć  /  =   0  (x  =   0),  otrzymuje  się   równanie  charakterystyczne  dla
klasycznych  fal  R ayleigh a:

(3.24)  ( 2 - J 2 ) 4 / /

Z  równ an ia  (3.23)  m oż na  okreś lić  przebieg  zależ noś ci  opisują cej  wł asnoś ci  dyspersyjne
rozważ anego  oś rodka.

Jak  widzimy,  fale  powierzchniowe  w  rozważ anym  oś rodku  ulegają   dyspersji.  Jest  to
wynikiem  parabolicznoś ci  ukł adu  równ ań  w  przemieszczeniach  (3.9),  która  wią że  się
z  niejednakowym  rzę dem  poch odn ych  czasowych  i  przestrzennych.

G dyby  wprowadzić  w  oś rodku  dodatkowe  stopnie  swobody,  uwzglę dniają ce  wł asnoś ci
dynam iczne  czą stek  przy  obrocie,  wówczas  uzyskan o  by  ukł ad  równ ań  hiperbolicznych.

N ależy  stwierdzić,  że  w  pracy  [8]  uzyskano  również  rozwią zania  charakteryzują ce  się
dyspersją   przy  uwzglę dnieniu  w  funkcji  gę stoś ci  dział ania drugich  gradientów  deformacji.
N ależy  przypuszczać,  że  wszystkie  oś rodki  z  rozwinię tą   strukturą   deformacyjną   bę dą
wykazywał y  cechy  dyspersyjne.

Wyznaczmy  jeszcze  pole  przemieszczeń  towarzyszą ce  falom  powierzchniowym.  N a
podstawie  (3.10a)  i  (3.12)

M l  =   R e  [

u
3
  =   R e  l-

gdzie  <p  =  kx\ —mt.



344  CZESŁAW  RYMARZ

Wykorzystują c  liniową   zależ ność  stał ych  B\ ,  B
2
  od  stał ej  A  otrzymujemy  p o  szeregu

przekształ ceń:

u, =   f }

gdzie

"" HM

Jeż eli  w  (3.26)  przyją ć  /  =   0,  otrzymuje  się   autom atyczn ie  wyraż enie  n a  przemieszczenie

dla  fal  Rayleigha.

4.  Wyniki  obliczeń  i  ich  analiza

W  oparciu  o  równanie  (3.23)  przeprowadzon o  n a  elektronowej  maszynie  cyfrowej
obliczenia  funkcji  dyspersyjnych  dla  liczb  P oissona  0;  0, 1; 0,2;  0,25;  0, 3; 0,4  przy  x  zmie-
niają cym  się   w  przedział ach  (0 -   3,5).  Obliczono  również  krzywą   stanowią cą   granicę
obszaru  istnienia  fal  powierzchniowych.  Cał ość  obliczeń  zilustrowan o  wykresem  (rys.  1
n a  str.  339).

Jak  wynika  z  uzyskanych  wyników  fale  powierzchniowe  nie  istnieją   dla  cał ego  zakresu
zmiany  liczb  P oissona  w  pobliżu  x  —  1, tj,  gdy  dł ugość fali  staje  się   porówn ywaln a  z  wy-
miarem  charakterystycznym  /  (stał a  oś rodka).

N ieznajomość  dokł adnego  sensu  fizycznego  wielkoś ci  /   oraz  jej  wartoś ci  liczbowej
nie  pozwala  podać  wnikliwszej  interpretacji  zaobserwowanego  zjawiska.  Istnieją ce
w szeregu prac oszacowania  / są   sprzeczne. W  [3] ocenia się  ją  ja ko  wielkość  m akroskopową
nie  mają cą   w  chwili  obecnej  wytł umaczenia n a  gruncie fizyki  ciał a  stał ego. W  takim  przy-
padku  nie  istniał yby  pewne  fale  powierzchniowe  z  zakresu  technicznie  realizowanego,
co jest  zjawiskiem  dość  nieoczekiwanym.  W  pracy  [4] wrę cz przeciwnie przypisuje  się  /  roz-
miary  mikroskopowe  zwią zane  ze  strukturą   krystaliczną   ciał a.  Rozważ ane  zjawisko  doty-
czył oby  wówczas  fal  porównywalnych  z  rozm iaram i  sieci  krystalicznej  ciał a.

F ale  do  zakresu  kilkudziesię ciu  M H z,  stanowią ce  bardzo  mał ą   czę ść  rozważ an ego
zakresu,  odznaczał yby się   stosunkowo  niewielką   dyspersją   i uwzglę dnienie  dla nich  efektów
zwią zanych  z  oś rodkiem  Cosseratów  nie  miał oby  praktycznego  znaczenia.  Jak  wynika
z  [9], przeprowadzon e badan ia statyczne przy zginaniu belek  oraz badan ia stanów n aprę ż eń
wokół   otworów  o  mał ych  ś rednicach  nie  wykazał y  istnienia  n aprę ż eń  m om en towych .
Powyż szy  fakt  wskazywał by  na t o , że rzeczywiś cie  /  jest  wielkoś cią   dość  mał ą .  D latego  też
uwzglę dnienie  wpł ywu  naprę ż eń m om entowych miał oby znaczenie dla zagadnień dynamicz-
nych  w  dziedzinie  ultradź wię ków  o  czę stoś ci  wię kszej  od  kilkudziesię ciu  lub  kilkuset
M H z.  Wtedy  bowiem  powinny  dawać  o  sobie  zn ać  dodatkowe  odział ywania  o  dalekim
zasię gu  atomów  sieci  krystalicznej  w  m ateriale.  D latego  koncepcja,  że  /  jest  wielkoś cią
mał ą ,  wydaje  się   bardziej  prawdopodobn a.



F ALE  POWIERZCHN IOWE W OŚ RODKU  Z NAPRĘ Ż ENIAMI  MOMENTOWYMI  345

N ależy  zauważ yć  p o n ad t o ,  że dla v =   0  fale  powierzchniowe  nie istnieją   począ wszy
od  wartoś ci  x =   0,8.  Bliż sze  badan ia  wykazał y  jedn ak,  że pierwiastki  równania  charak-
terystycznego  leżą   n a linii vjc\  =   1, stanowią cej  brzeg  obszaru  istnienia fal powierzchnio-
wych.  P odobn ie  m a się   sprawa  z  rozwią zaniem  dla  v =  0,1.  Ogólnie  wię c  istnienie  fal
powierzchniowych  dla mał ych v w  tym zakresie  jest  dość  problematyczne.

Ogólnie  rzecz  biorą c  przebieg  krzywej  dyspersyjnej  m oż na  scharakteryzować  nastę -
pu ją co:

dla  m ał ych wartoś ci  x  przyrost  prę dkoś ci  fazowej  jest  dość  znaczny,  co powoduje, że
krzywa  wychodzi  z  obszaru  istnienia.  Obszar  ten ograniczony  jest  krzywą   ] / l + x 2  oraz
prostą   v/ c

la
  =   1;

dla  duż ych  wartoś ci  x  przyrost  prę dkoś ci  fazowej  jest  znacznie  mniejszy,  co powoduje
p o wró t  krzywej  w  obszar  i  ustalenie  się   wartoś ci  asymptotycznej  leż ą cej  tym bliż ej  linii
v\ c\   — 1, im  mniejsza  jest  liczba  P oisson a.

T ak  wię c  widzimy,  że dla duż ych  x  prę dkość  fal  powierzchniowych  w  oś rodku  Cosse-
ratów  może  znacznie  przewyż szać  prę dkoś ci  fal  poprzecznych.  M oż na to tł umaczyć tym,
że  dla  dł ugich  fal  n a  skutek  znacznego  wpł ywu  gradien tu  obrotów  dominują cą   rolę
w  fali  powierzchniowej  zaczynają   odgrywać  fale  podł uż n e,  a  wpł yw  fal  poprzecznych
zan ika  z  powodu  kom pensują cego  dział ania  fali  «skrę tnej»,  pochodzą cej  od  naprę ż eń
m om en towych .  F akt  ten  tł um aczy  również  zjawisko  rozszerzania  się   obszaru  istnienia
fali.

5. Zakoń czenie

P rzeprowadzon e  rozważ an ia  mogą   być  traktowan e  jako  wstę p  do  badań  wł asnoś ci
dynam icznych  oś rodków  o  bardziej  rozwinię tej  strukturze  deformacyjnej,  w  szczegól-
n oś ci  oś rodków  z  dodatkowym i  stopn iam i  swobody.  Weryfikacja  poprawnoś ci  przyję tych
zał oż eń  o oś rodku,  o którym  wspom n ian o  we wstę pie,  może być  przeprowadzona w przy-
szł oś ci w oparciu o wyniki  badań n ad dynamiką   bardzo krótkich fal lub w oparciu o wyniki
teorii  zajmują cych  się   badan iem  krystalicznej  struktury  m aterii.

N a  zakoń czenie  au t o r  tą   drogą   chciał by  zł oż yć  gorą ce  podzię kowanie  dr  D . R OG U LI
za  szereg  cennych  uwag  dotyczą cych  merytorycznej  stron y  problem u.

Literatura  cytowana w tekś cie

1.  R. E.  PATERSON, N otch- sensitivity. Metalfatigue  (ed. by G .  SINES and  J.  L.  WAISMAN) N ew  York- Toronto-
London  1959,  293- 306.

2.  E. COSSERAT,  F . COSSERAT,  T heorie  de corps deformables,  Paris 1909.
3.  W. T.  KOITER, Couple- stresses  in the theory  of  elasticity,  P roc. Kon. N ederl. Akad. van  Wetenschappen,

N r  1, 17- 29,  30- 34.
4.  R. D .  M I N D LI N , Influence of couple- stresses on  stress concentration,  Experimental Mechanics, 3,1963,1- 7.
5.  E. KRON ER,  International  J. Engen  Sci., 1, 1963,  261.
6.  S.  KALISKI,  O pewnym modelu  oś rodka  cią gł ego z istotnie  niesymetrycznym  tensorem  napię ć ,  Biul. WAT

4(116),  1962, 104- 117.
7.  W.  N OWACKI,  Couple- stresses  in the  theory  of  thermoelasticity,  Buli.  Acad.  P olon .  Sci.,  Serie Sci.

Techn.,  14 (1967).
8.  T. J.  JARAMILLO, A generalization ofthe  energy function of  elasticity  theory, D iss. U niv. of Chicago  1929.
9.  J.  SCH IJYE, N otę  on couple- stresses,  J. Mech. and Phys.  Solids,  2, 14 (1966).



346  C Z E SŁ AW  R YM AR Z

P  e  3  10  M  e

IIOBEPXH OCTH fcIE  BOJIH BI  B  CPEflE  C  M O M E H T H BI M H   H AriP- SD KEH H flMH

B  pa6oTe  HCcjieayiOTCH   CBoftcTBa  noBepXHOCTHhix  BOJIH   B  c p e^ e  c  MOMeHTHBiMii  HanpHH<eHHHMH,
Sjiaroflapa  KOTopbiM   MOHCHO  yą ecTB  flonojiH H TejibH oe  B3aHM0,n;eHCTBiie  MacTuu,  MaTepHaJia  B  o6jracTH x
co  SHa^HTejiBHOH  KOHUieHTpaiiHeH  HanpH>KeHHH   H JIH   B 3o n ax,  rfle  cymecTBeHHO  BĘ JIH KH   rpaflH eH Tw n e -

KOPOTKH X  BOJIH   B  «HHaMHqecKax  3ajifmax).
cp e^ a  c  TpeMH   jioKajiBHbiMH   cTeneHHMH   CBoSoflH   H  C oGorameHHBiM  onHcaHHeM

: B BURS  rpaflneHTOB  BpameHUH  Bbipa>i<aeMfcrx  ^ ep e3  poTaitn io  BeKTopa  n epeiwem en n ii  ( p a3-
cpeflw  K o ccepa) .  OnpeflejieH bi  flnana30H br  cymecTBOBaHHH   noBepxHOCTHŁix  BOJIH   a  n ccjie-

CBoił cTBa  BO JI H .  IIpoBefleH   aHajtH3  nojiytieH H bix  M H C JI OBLK  pe3yjitTaTOB.

S u m  m a r y

SU RF ACE WAVES I N  A  M ED IU M   WITH   COU PLE- STRESSES

The  properties  of  surface  waves  in  a  medium  with  couple  stresses  are  investigated.  Introduction of
the  couple stresses into the analysis  enables  us to take into consideration the additional interaction between
particles  oceuring in  the regions  of  high  stress  concentration or  great  displacement  gradient  (the rangę   of
short waves in dynamie problems).

A  medium with  three local  degrees  of  freedom  is  considered,  including  as  the  additional  elements  of
deformation  the gradient of rotation expressed  by rotation of the  displacement  vector  (a speciai  kind  of  the
Cosserat medium). The regions  of existence  of surface  waves  are  defined,  and  their  dispersion  properties
are investigated.  An  analysis  of  numerical results  is also presented.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  19  paź eziernika  1966  r.