Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  5  :1967)

STATECZN OŚĆ  D YN AMICZN A POD ŁU Ż NA  SZYBOWCA
W  Z E SP OLE  H OLOWN ICZYM

JE R Z Y  M A R Y N I A K  (WARSZAWA)

1.  Wstę p

W  pracach zwią zanych  z zagadn ien iem holowan ia szybowców nie rozpatrywano statecz-
noś ci  zespoł u holowniczego,  tzn .  statecznoś ci  zespoł u skł adają cego  się   z  samolotu  holują -
cego n a linie szybowiec i szybowca. R ozpatrywan o wył ą cznie stateczność szybowca  traktują c
sam olot ja ko  ciał o  o nieskoń czenie wielkiej  bezwł adnoś ci.

W  pracy  [1]  rozpatrywan o  wpł yw  liny  holowniczej  n a  krytyczną   prę dkość  flatteru.
Przyję to  trzy  stopnie  swobody  odkształ calnego  szybowca jak  również  uwzglę dniono  sprę -
ż ystą   wydł uż alność  liny.  Otrzym an o  ukł ad  trzech  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych
liniowych  drugiego  rzę du, którego rozwią zanie  sprowadzał o się  do znalezienia  pierwiastków
równ an ia  charakterystycznego  szóstego  stopn ia.  W  pracy  nie  uwzglę dniono  sił  aerodyna-
micznych  dział ają cych  n a  linę   holowniczą   jak  również  sił   i  m om entów  pochodzą cych  od
liny  holowniczej  i  dział ają cych  n a  szybowiec.  R ozważ an ia  przeprowadzono  dla  trzech
kon kretn ych  poł oż eń  szybowca  wzglę dem  sam olotu.

Z n an e  prace  dotyczą ce  h olowan ia  szybowca  za  samolotem ,  mianowicie  [2, 5,  13 i  17],
został y  om ówione  w  pracy  [12].

W  pracy  [12]  rozpatrzon o  przypadek  holowan ia  sztywnego  szybowca  przez  samolot
0  nieskoń czenie  wielkiej  masie,  lecą cy  poziom o, prostolin iowo,  ze  stał ą   prę dkoś cią.  Roz-
patrują c  stateczność dynamiczną  szybowca zastosowano  teorię  mał ych zakł óceń. R ównania
ruchu  otrzym an o  w  postaci  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du
ze stał ymi współ czynnikam i. P ozwolił o t o n a okreś lenie współ czynników  równ an ia charak-
terystycznego,  zastosowan ia  kryteriów  statecznoś ci  Routha- H urwitza  oraz  obliczenia
pierwiastków  równ an ia  charakterystycznego  metodą   Bairstowa.  W pracy  nie uwzglę dniono
dynam iki  liny  holowniczej  ja k  również  zakł óceń wynikają cych  z  odchyleń  od zał oż onego
ruchu  sam olotu  holują cego.  N a  podstawie  obliczeń  numerycznych  zbadan o  jak  wpł ywa
n a  stateczność  szybowca  poł oż en ie wzglę dem  samolotu  holują cego,  prę dkość  holowania,
usytuowanie  zaczepu  holowniczego  wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci  szybowca  oraz  dł ugość

1 wydł uż alność  liny  holowniczej.

W  przypadku  sam olotu  holują cego  o  masie  porównywalnej  z  masą   szybowca  holowa-
nego  wystę puje  wzajemny  wpł yw  ruchów  samolotu  n a  szybowiec  holowany  i  odwrotnie.
W takim przypadku  należy rozpatrzeć stateczność u kł ad u :  sam olot h olują cy+ lina holowni-
cza+ szybowiec,  co  wykon an o  w  niniejszej  pracy.



348  .  JERZY  MARYN IAK

P rzedm iotem  niniejszej  pracy  jest  przypadek  holowan ia  sztywnego  szybowca  przez
sztywny  sam olot  za  poś rednictwem  cię ż kiej,  wiotkiej  i  sprę ż ystej  liny  holowniczej,  obcią ż o-
nej  sił ami  aerodynamicznymi.

Z ał oż on o, iż  zespół  holowniczy  znajdował   się   przed  zakł óceniem w  poziom ym ,  prosto-
liniowym,  ustalonym  locie.  Stosują c  równ an ia  Lagran ge'a  I I  rodzaju  wyprowadzon o
róż niczkowe  równania  ruchu, które  przedstawiono  w  formie  zlinearyzowanej.  Otrzym an o
ukł ad  siedmiu  równ ań róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du  ze stał ymi współ czynni-
kam i.  Wprowadzają c  zakł ócenie  jako  warunki  począ tkowe  scał kowano  numerycznie
otrzymany  ukł ad  równań  metodą   Runge- Kutta- G illa.  Otrzym an e  wyniki  wskazał y  wza-
jem n e  oddział ywanie  n a  siebie  sam olotu  i  szybowca  w  czasie  holowan ia,  co  wyraził o  się
w  niemoż noś ci  rozprzę gnię cia  równań  ruchu  ukł adu.  Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  spro-
wadzono  do  zagadnienia  znajdowania  wartoś ci  wł asnych  macierzy  niesymetrycznych
(dowolnych)  czternastego  stopnia  (w  omawianym  przypadku).

W  oparciu  o  prace  [8,  9  i  14]  sprowadzono  macierz  niesymetryczną   do  postaci  quasi-
trójką tnej  dolnej,  a nastę pnie  wyznaczono  wartoś ci  wł asne.

Znajomość  wartoś ci  wł asnych  pozwolił a  n a  okreś lenie  zm ian  czę stoś ci  oscylacji  i tł u-
mienia, jak  również  n a  bezpoś rednie  porówn an ie  z  wynikami  otrzym anym i  w  pracy  [12]
dla  zagadnienia  uproszczonego.

N a  podstawie  obliczeń  numerycznych  wykonanych  dla jedn ego  z  szybowców  wyczyno-
wych  i  obecnie  stosowanego  samolotu  holują cego  zbadan o,  ja k  wpł ywa  n a  stateczność
szybowca  poł oż enie wzglę dem  sam olotu  holują cego  i  prę dkoś ci  holowan ia.

Waż niejsze  oznaczenia

a, a
s
  [l/ rad]  zmiana  współ czynnika  sił y  noś nej  szybowca  i  samolotu  w zależ noś ci  od ką ta

natarcia,
a
i>o

ls
  [l/ rad]  zmiana współ czynnika  sił y  noś nej  usterzenia  poziomego  w zależ noś ci  od ką ta

natarcia usterzenia dla szybowca  i samolotu,
b\ , bi  [m]  poł owa rozpię toś ci  szybowca  i samolotu,

C,„  C t  bezwymiarowe  współ czynniki  aerodynamiczne  sił y  normalnej  i  stycznej  do
liny, okreś lone w stosunku  do jej  ś rednicy i dł ugoś ci jednostkowej,

C
ą
  bezwymiarowy  współ czynnik cię ż arowy  liny,

C
X
\ .  C

X2
  bezwymiarowe  współ czynniki  aerodynamiczne  oporu  szybowca  i  samolotu

w locie  holowanym,
Czi, CZ2  bezwymiarowe  współ czynniki aerodynamiczne sił y noś nej szybowca  i samolotu

w locie  holowanym,
d  [m]  ś rednica1 liny  holowniczej,

g  [m/ s2]  przyś pieszenie  ziemskie,
/'zi >  h*2  [ra]  współ rzę dne  zaczepu  holowniczego  szybowca  i  samolotu,  mierzone  pionowo

wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci,
Ii,  Ji  [kG  m s2]  momenty bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi poprzecznych  szybowca  i samolotu,

k
z
\ ,  k

z2
  [m]  współ rzę dne  zaczepu  holowniczego  szybowca  i  samolotu  mierzone  poziomo

wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci,
/ o, h  [m]  dł ugość liny  swobodnej  i  obcią ż onej,

h\  > hi  M   ś rednia cię ciwa  aerodynamiczna szybowca  i samolotu,
Im >  IH2 [m]  odległ ość osi obrotu steru wysokoś ci od ś rodka  cię ż koś ci  dla szybowca  i samo-

lotu,
M ii.  M K  [kG  m]  aerodynamiczny  moment pochylają cy  szybowca  i samolotu.



STATECZN OŚĆ D YN AMICZN A SZYBOWCA  W ZESPOLE  H OLOWN ICZYM 349

n  [kG / m]  sił a aerodynam iczna n orm aln a do liny  dział ają ca  n a  1 m dł ugoś ci liny  holowni-
czej,

P„  [kG ]  sił a cią gu  silnika  sam olotu,
P

xl
  = X

t
  [kG ]  sił a oporu  aerodynamicznego  szybowca  i samolotu,

PX2

Pz\ ,  Pzi  [kG ]  sił a  aerodynam iczna  wyporu  (noś na) szybowca  i samolotu,
PzUi.  PzU2  [kG ]  sił a n oś na  usterzenia poziomego  szybowca  i samolotu,

ą  [kG / m]  cię ż ar  jednostkowy  m etra  bież ą cego  liny,
Q\ , Qi  [kG ]  cię ż ar  szybowca  i sam olotu,
S\ ,  S2  [m 2]  powierzchnia  n oś na  skrzydeł   szybowca  i samolotu,

SHI>  Sm  [m2]  powierzchnia  n oś na  usterzenia  poziomego  szybowca  i samolotu,
S„  [m2]  powierzchnia  zataczana  przez  ś migło  samolotu,

/  [s]  czas,
T   [kG ]  bież ą cy  naciąg  liny  holowniczej,

7 i ,  72 [kG ]  sił a pochodzą ca  od liny  holowniczej  dział ają ca  n a zaczepie szybowca  i samolo-
tu,

V  [m/ s]  prę dkość  lotu,
x„  [m]  odległ ość pł aszczyzny  ś migła  samolotu  od  ś rodka  cię ż koś ci,

x
s
i,x

sl
  [m]  odległ ość ś rodka  cię ż koś ci  od  ś rodka  aerodynamicznego  dla  szybowca  i sa-

m olotu,
ZHI , ZB2 [m]  odległ ość pion owa  osi  obrotu steru  wysokoś ci  od ś rodka cię ż koś ci  dla  szybowca

i  sam olotu,
z„  [m]  odległ ość  linii  dział ania sił y  cią gu  ś migła od ś rodka  cię ż koś ci  samolotu,

2
s\  >   zs2 [m]  odległ ość pion owa  ś rodka  aerodynamicznego  od ś rodka  cię ż koś ci  dla  szybowca

i  sam olotu,
a i,  «2 [rad]  kąt n atarcia  szybowca  i sam olotu,

«H i,   aH z [ r a d ]  kąt n atarcia usterzenia  poziomego  szybowca  i samolotu,
azH i >   azH2  t r a d ]  kąt zaklinowania  usterzenia  poziomego  szybowca  i samolotu,

£1,  £2 [rad]  kąt odchylenia  strug  spł ywają cych  ze skrzydeł  szybowca  i samolotu,
<pi,  <f>2  [ r a d ]  ką ty  nachylenia  liny  holowniczej  w  stosunku  do linii  lotu,  mierzone  n a  za-

czepach  szybowca  i samolotu,
<p„  [rad]  kąt  nachylenia  linii  dział ania  sił y  cią gu  ś migła  w  stosunku  do osi samolotu,

I  [1/ kG ]  współ czynnik  wydł uż alnoś ci  liny  holowniczej,
A

e
,  A

es
  wydł uż enie  skrzydł a  szybowca  i  samolotu,

4 =   S± .iri  wartoś ci  wł asne ukł adu równań  róż niczkowych  w postaci  bezwymiarowej,

f  =   11  współ czynnik  tł umienia w postaci  bezwymiarowej,

)? =  i\  t  bezwymiarowa  czę stość  oscylacji,
Q [kG  s2/ m 4]  gę stość  powietrza.

2.  Równowaga  podł uż na  samolotu  holują cego

W  ustalon ym  poziom ym  locie  m usi  zachodzić  równ owaga  sił  i  momentów  dział ają cych

n a  sam alot  holują cy  (rys.  1), z czego  wynikają  trzy  równ an ia  równowagi

(2.1)

(2.2)

(2.3)

- Pz2- Pzii2+Qz-  T2sin?> 2~- P„sin((X2+ 9?„) =   0,

- P
x2
- T

2
cos<p

2
+P„cos(u

2
+cp

n
)  =   0,

s2cos a 2 + z s 2 s i n a2)+Px2(xs2s'm  a2—zs2cos  a 2 ) +

/ ;z2cos< x2)—r2sin (p2(/ cz2cosa2—/ jz2sin a2)  =   0.



350 JERZY  MARYN IAK

Rys.  1. G eometria samolotu  holują cego  i ukł ad sil dział ają cych  na samolot  w locie  holowanym

Rys. 2. G eometria szybowca i ukł ad sił  dział ają cych  na szybowiec w locie  holowanym

Rozpatrując  równowagę  sił  dział ają cych  n a szybowiec holowan y  stycznych  d o  kierun ku

prę dkoś ci  (rys. 2) otrzym an o

!—P
x l
  =   0.

Z  powyż szego równ an ia  okreś lono  sił ę nacią gu  liny  holowniczej  przył oż oną  n a  zaczepie
szybowca  holowan ego:

Korzystając  z  zależ noś ci

T2ł

(wyprowadzonej  w  pracy  [12]  wzór  (4.3))  i  podstawiając  zależ ność  n a  7\   otrzym an o  sił ę
T

2
  pochodzą cą  od  liny  i dział ają cą  na zaczep  sam olotu  holują cego  (rys.  3)

(2.4)  7
COS,Cp

{  £

V 2  T x

gdzie  r)i, rj
2
,  n  i  T 2 są  to funkcje  wyprowadzone  w  pracy  [12]  (wzory  4.4  i  4.5).

Z  równ an ia  (2.2)  po  podstawieniu  zależ noś ci  (2.4)  otrzym an o  niezbę dny  ciąg  zespoł u
ś migł o- silnikowego  samolotu  holują cego  potrzebn y  do  utrzym an ia  zespoł u  holują cego
w  ustalonym,  prostoliniowym,  poziom ym  locie:

(2.5)
1 c o s <p

2
  e

m
  x

z

6  1



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A SZ YBOWC A  W  Z ESP OLE  H O LO WN I C Z YM 351

Z  równ an ia  (2.2)  i  (2.3)  otrzym an o  sił ę  noś ną, ja ka  musi  być  przył oż ona n a  usterzeniu
poziom ym  sam olotu  holują cego,  aż eby  zapewnić  równowagę  podł uż n ą:

i  r
(2.6)

l
m

  c o s  a
2
—z

H2
  sin  a

2

—z s 2 c o s <x2)+   (Px2

-  T
2
cos  <p

2
(k

z2
 sin  a

2 z 2 c o s  a 2 —Az 2 si n a 2 )in a 2)  .

Rys.  3. Wielkoś ci geometryczne charakteryzują ce  konfigurację   liny holowniczej

P o  podstawieniu  do  równ an ia  (2.1)  zależ noś ci  (2.4)- (2.6)  i  uwzglę dnieniu,  że  ką t  n a-
tarcia  a

2
  sam olotu  holują cego  jest  mał y,  tzn.

(2 . 7 ) sin a 2  ~  t ga 2 c o sa 2

1

2 '

otrzym an o  równanie,  które  p o  podzieleniu  przez — QSVZ  sprowadzono  do  postaci  bez-

wymiarowej.  N astę pn ie w powyż sze równ an ie wprowadzon o  współ czynnik oporu samolotu

holują cego  C
x2
,  okreś lony  przez  współ czynnik  aerodynamiczny  sił y  noś nej  C'

zl
  [3, 4,  12

i  15]:

(2 . 8 ) C
X
2

P o  uporzą dkowan iu  otrzym an ego  równ an ia  wzglę dem  potę g  C'
z2
  uzyskano  równanie

algebraiczne  drugiego  stopnia

(2.9)

które  pozwoli  n am  obliczyć  współ czynnik  sił y  noś nej  C'
z2
  samolotu  holują cego  dla  danych

warun ków  lotu.

W  przypadku  f„  =   0  współ czynniki  równ an ia  (2.9)  mają   postać:

l—(z„—zs2)+  ^



352  JERZY  MARYN IAK

(2.10)  5 =   — ~
a

s

20
C  =   — C

XO2
(Z„  — Z

S
?)~  C„,02 / 0 2 +   c  T

gdzie

Z  równania  (2.9)  otrzymano wartość  współ czynnika  siły  noś nej  samolotu  holują cego:

Wprowadzają c  do  C'
z2
 poprawkę   uwzglę dniają cą   dział anie ś migła  [3, 4,  15 i 20] otrzy-

mano:

Współ czynnik  siły  noś nej  samolotu  holują cego  C z 2 wyznaczony  z  (2.13)  okreś la  para-
metry  lotu  samolotu  holują cego,  zapewniają ce  równowagę   w  ustalonym  locie poziomym.

Jak wynika z  (2.13) parametry lotu samolotu holują cego  zależ ne są   od  charakterystyki
aerodynamicznej  samolotu,  poł oż enia  zaczepu  holowniczego  wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci
samolotu oraz przez  C

xl
  okreś lone równaniem  (2.11) od charakterystyki  aerodynamicznej

szybowca holowanego  C
x
i  i charakterystyki  liny holowniczej  T 1 5  T Z, e'\   e

11
, <pi,<p

2
-

Warunki równowagi  szybowca holowanego został y wyprowadzone  i omówione w pracy
[12], rozdział  6.

3.  Stateczność  statyczna  podł uż na  samolotu  holują cego

Poję cie  «statycznej  statecznoś ci* przyję te  w  lotnictwie jest  szeroko  omówione w wielu
pracach i podrę cznikach poś wię conych  dynamice samolotu w locie swobodnym  [3, 4, 15].

Warunkiem  podł uż nej  statecznoś ci  statycznej  w  locie  swobodnym jest,  aby

(3.1)  i|< 0

d la  przyję tego  w  n in iejszej  p r a c y  d o d a t n ie go  k i e r u n k u  d zia ł a n ia  m o m e n t ó w  p o c h yla ją c ych

( m o m e n t  d o d a t n i  je st  m o m e n t e m  za d zie r a ją c ym  sa m o lo t ,  p o wo d u ją c ym  wz r o st  ką ta

n a t a r c ia ) .  •   (i  ..



ST AT E C Z N O ŚĆ  DYNAMrczNA  SZ YBOWCA  W  Z ESP OLE  H O LO WN I C Z YM   353

Stateczność  statyczna  mówi jedyn ie  o wystę powaniu  m om entów wywoł ują cych  powrót
szybowca  do stan u  równ owagi  w pierwszej  chwili  po zakł óceniu lotu  [3, 4, 11]. Szybowiec
stateczny  statycznie  m oże  być niestateczny  dynamicznie.

Przez analogię  do lotu  swobodnego  zapropon owan o w pracy  [12] wprowadzenie  poję cia
«statecznoś ci  statycznej  w locie  n a h olu».

Bezwymiarowy  współ czynnik  m om en tu  pochylają cego  samolot  holują cy,  liczony
wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci  sam olotu  m a post ać:

( 3 . 2 )  •   Cm/12 =   C 1 m a 2 + C „ i ( 2 ,

gdzie C
mh2

 oznacza współ czynnik m om en tu pochylają cego  sam olotu holują cego,  C „ w2 współ -
czynnik  m om en tu  pochylają cego,  pochodzą cy  od sił  aerodynamicznych  dział ają cych na
sam olot,  C,„

n
 współ czynnik  m om en tu pochylają cego  pochodzą cy  od holu.

W  rozważ anych  warun kach  lotu współ czynniki te zależą  wył ą cznie od C z 2 . Po zróż nicz-
kowaniu  (3.2) wzglę dem  C z 2 otrzym an o

. ,  _ .  dC,„i,2  dC
ma

2  dC
m
i2

{  j
  dC

tl
  ~   ~~dC^

+
  dC

l2
''

Z godn ie z okreś leniami  przyję tymi  w lotnictwie  [3, 4 i 11] otrzymano zapas  statecznoś ci

statycznej  sam olotu  holują cego  w postaci:

(3.4)  ~h
h
2=T i

n
+h

l2
,

gdzie  h
n
  — —dC

m
i

2
jdC

z2
  oznacza  zm ianę  zapasu  statecznoś ci  statycznej  pochodzą cą  od

holu,  /Z]2 =   —dCma7}dCZ2  zapas  statecznoś ci  statycznej  z trzymanym sterem  (ster wysokoś ci
zablokowany)  w  locie  swobodn ym .

W  celu  okreś lenia  zapasu  statecznoś ci  statycznej  sam olotu  holują cego  rozpatrzono
m om enty  sił  dział ają cych  n a sam olot, pochodzą cych od liny  holowniczej  (rys. 1). Skł adowe
X\  i Z 2 sił y,  pochodzą cej  od nacią gu  liny  i przył oż onej  n a zaczepie  samolotu  holują cego,
zmieniają  się w zależ noś ci  od ką ta  n atarcia a

2
:

X
2
  =   T 2COS(p2+Xl

X
2(k

Z
2~kz2

c
osa

z
- \ - h

z2
sma

2
)—X'

Z
2(k

Z
2sma2+h

Z
20osci2—h

Z
2),

(3.5)
Z | =   —  T

2
s'm<p

2
- \ - Z'

x2
(k

Z
2—fc22cosoc2+ / ?z2sina2)—Z z2(&z2sina2+ / 722cosa2—hz2),

gdzie Xl
x2
, X'

zl
, Z

l

X
2, Z £ 2 są to poch odn e «linowe»  omówione w p .  4.

M om en t  pochylają cy  sił   pochodzą cych  od liny  holowniczej  m a postać

(3.6)  M
a
  =   — X2(/ iz2cosa 2+ fc z2sin o!2)+ Z 2(fc Z 2C osa 2—Az2sin a 2).

P o  podstawieniu  do (3.6) zależ noś ci  (3.5) i  (2.4),  uwzglę dnieniu  (2.7) i  (2.8) oraz po-

dzieleniu równ an ia  m om en tów p r zez—gS
2
V

2
l

a 2
  otrzym an o współ czynnik momentu pochy-

lają cego  C
mn

  w postaci  bezwym iarowej:
_ _  _ _ _ _  \   —  _  —

(3.7)  C
ml2

  =   - C
xl
(k

xj\ x
x 2

li
Z
2—x

z 2
k

z 2
) a

2
+ - ^ ( x

X
2k

Z
2+ x

z 2
h

z 2
) aj  \ h

z2
—  - ^ h



354  .  JERZY  MARYN IAK

Róż niczkując  (3.7)  wzglę dem  C 2 2  i  korzystają c  z  drugiej  zależ noś ci  (2.8)  otrzym an o
zmianę   zapasu  statecznoś ci  statycznej  sam olotu  holują cego

(3.8)  h
n
  =  Ah

2
(l)+Ah

2
(k

z2
)+Ah

2
(h

l2
),

gdzie  poszczególne  wyrazy  3.8  mają   post ać:

(3.9)  A~h
2
Q) =  lJŁ  kJ- Sa-  (2x

x2
+z

x2
)

a  \   |

_i2

a
s
  2  ai '

C  C
2

I ) f 3 ( x + )

(3.10)

(3.11)  ^ 2 ( M   =   - h.2%
1  ( ^  - tg

przy  czym

2 A 2  T  _  ^ 2  T  _
^ 2  ~  1  '  "z2  —

Analogicznie  do ~x
x2
  otrzym ano x

z2
,  l

x2
  i  z

z2
.

Z apasu  statecznoś ci  statycznej  sam olotu  w  locie  swobodnym  hu  nie  wyprowadzano
w  niniejszej  pracy;  przyję to  go  w  nastę pują cej  formie  ostatecznej  n a  podstawie  [4] i  [20]:

Z m iana  statecznoś ci  statycznej  wywoł ana  holem  (3.8)  zależy  od  wielu  czynników.
M oże  ona  powodować  wzrost  lub  spadek  statecznoś ci  statycznej  w  stosunku  do  zapasu
odpowiadają cego  lotowi  swobodnemu  sam olotu  z  trzym an ym  sterem.  Z apas  statecznoś ci
statycznej  ma wpł yw  n a stateczność dynamiczną  szybowca i sam olotu holują cego.  Wystę pu-
je  on w róż niczkowych  równaniach ruchu jako  współ czynnik w pochodn ych aerodynamicz-
n ych  M

w
i  i  M

w2
.

Stateczność statyczna szybowca holowanego został a wyprowadzon a  i om ówion a w pracy
[12], rozdział  7.

4.  Pochodne «Iinowe»

Sił y, wystę pują ce  n a  zaczepach  holowniczych  sam olotu  holują cego  i  szybowca, pocho-
dzą ce  od liny  holowniczej, zależ ne  są   od  wzajemnego  poł oż en ia  koń ców  liny,  charaktery-
styki  aerodynamicznej  liny,  charakterystyki  aerodynamicznej  szybowca  i  prę dkoś ci holo-
wania.  Przez  analogię   do  pochodn ych  aerodynamicznych  [3,  4,  15],  stosowanych  przy



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A SZ YBOWC A  W  ZESPOLE H OLOWN I C Z YM 355

rozpatrywaniu  statecznoś ci  sam olotów,  wprowadzono  pochodn e  «linowe»  (współ czynniki
sił ),  które  om ówion o  szerzej  w  pracach  [12  i  13].

P och odn e  «linowe» X
x
i,  X

l

zl
,  Z

l

xl
,  Z'

zl
  skł adowych  sił  dział ają cych  na zaczep  holowniczy

szybowca  wzglę dem  przesunię ć  poziom ego  i  pionowego  został y  wyprowadzone  w  pracy
[12]. Analogicznie  do  nich wyprowadzon o  poch odn e «liniowe» skł adowych  sił  dział ają cych
n a  zaczep  holowniczy  sam olotu  X

x7
,  X\ %,  Z

l

x2
,  Z\

2
.  P ochodne «linowe»  podan o w  formie

ostatecznej  w  p .  8  niniejszej  pracy.

5.  St at eczn ość  dyn am iczn a  podł uż na  zespoł u  sam olot  i  szybowiec  w  locie  n a  holu

Róż niczkowe  równ an ia  ruch u  ukł adu  holowniczego,  tzn.  samolot  holują cy+ hol- (- szy-
bowiec,  wyprowadzimy  korzystają c  z  równ ań  Lagran ge'a  I I rodzaju  [18,  19] o  postaci

(5.1)
8T \   8T 8V

dt\ 8qj)  8q
}

gdzie  qj  oznaczają   współ rzę dne  uogóln ion e,  T  energię   kinetyczną   ukł adu wyraż oną   przez
współ rzę dne  uogóln ion e,  V  energia  potencjalna  ukł adu  wyraż ona  poprzez  współ rzę dne
uogóln ion e,  Qj  sił y  uogóln ion e  odpowiadają ce  współ rzę dnym  q

5
.

"*S

Rys.  4. Przyję te  ukł ady współ rzę dnych i zależ noś ci  geometryczne mię dzy nimi

Przy  rozpatrywan iu  statecznoś ci  podł uż nej  przyję to,  że  zespół   holują cy  znajdował
się   w  poziom ym , prostolin iowym  locie  ustalonym .  Z akł ócenia lotu ustalonego,  tzn. zmiany
poł oż eń  i  prę dkoś ci,  zachodzą   w  pł aszczyź nie  pionowej  zgodnej  z  kierunkiem  lotu.  Zespół
holują cy  posiada  siedem  stopn i  swobody: przesunię cia  pionowe  szybowca, samolotu  i  liny,
przesunię cia  poziom e  szybowca  i  sam olotu  oraz  obroty  wokół   ś rodków  cię ż koś ci  szybowca
i  sam olotu.

8  Mechanika  teoretyczna



356  JERZY  MARYN IAK

Szybowiec  holowan y  posiada  trzy  stopnie  swobody  [2,  3,  4,  12  i  15],  odpowiadają ce
im  zmiany  oznaczono  (rys.  4)  w  sposób  nastę pują cy:  x[,  z[  oznaczają  zmiany  poł oż enia
ś rodka  cię ż koś ci  szybowca,  wzglę dem  ukł adu xi,  z3  zwią zanego  z  niezakł óconym przepł y-
wem,  # i  zm ianę  ką ta  pochylenia  szybowca  (obrót  wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci),  U\ ,  wi
skł adowe  zm ian  prę dkoś ci  w  kierun kach  osi  x\   i  z\ ,  zwią zanych  z  szybowcem,  qi  zmiana
prę dkoś ci  ką towej  pochylania  szybowca  wokół   ś rodka  cię ż koś ci.

Samolot  holują cy  posiada  trzy  stopnie  swobody  [3, 4,  15]  i  odpowiadają ce  im  zmiany
oznaczono  na  (rys.  4)  w  sposób  nastę pują cy:  x

2
,  z

2
  zmiany  poł oż en ia  ś rodka  cię ż koś ci

sam olotu  wzglę dem  ukł adu x3,  z3  zwią zanego  z  niezakł óconym przepł ywem,  &2 jest  zmianą
ką ta  pochylenia  samolotu  (obrót wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci),  w2,  wi  są  skł adowymi  zmian
prę dkoś ci  w  kierunkach  osi  zwią zanych  z  samolotem , q%  oznacza  zmianę prę dkoś ci  ką towej
pochylania  samolotu  wokół   ś rodka  cię ż koś ci.

Linę  holowniczą  potraktowan o  jako  cię gno  idealnie  wiotkie,  cię ż kie,  sprę ż yste,  obcią-
ż one  sił ami aerodynamicznymi  [12].

Przyję to,  że  amplitudy  drgań  liny  holowniczej  są  proporcjon aln e  do  przesunięć  statycz-
nych  [16].

Jak  wynika  z  [12] hol  m a  silny  wpł yw  n a wah an ia  fugoidalne,  n atom iast  w  niewielkim
stopniu  wpł ywa  n a  oscylacje  szybkie  szybowca.  Z ał oż enie  upraszczają ce,  traktują ce  linę
jako  element  o jedn ym  stopniu  swobody,  jest  uzasadn ion e,  gdyż  uwzglę dnia  podstawową
postać  drgań  liny.

Przez / ,  oznaczono  zmianę  pionową  poł oż enia  ś rodka  geometrycznego  liny  wzglę dem
ukł adu  Xi,  z3,  zwią zanego  z  niezakł óconym przepł ywem  przy  stał ym  poł oż en iu  sam olotu
holują cego  i  szybowca.

5.1.  Wzglę dna  zmiana  przemieszczenia  liny.  Z najomość  wzglę dnej  zmiany  przemieszczenia
ś rodka  lin y/ wyraż on ej  za  pomocą  współ rzę dnych uogóln ion ych jest niezbę dna do  okreś le-
nia  energii  kinetycznej  i potencjalnej  liny  oraz pracy  wykonanej  przez  sił y  aerodynamiczne
dział ają ce  n a linę.

Poniż ej  okreś lono  cał kowitą  zmianę  poł oż enia  ś rodka  liny  / 3 ,  wywoł aną  zmianami
poł oż eń  szybowca  x[,  z[  i  • &%,  sam olotu  x'

2
,z'

2
i  &2  oraz  zm ianę  strzał ki ugię cia  lin y/ i.

Przed  wystą pieniem  zakł óceń współ rzę dne  koń ców  liny  (rys.  4)  wyraż ają  się  wzoram i
poniż ej  podanym i.  M ianowicie  współ rzę dne  zaczepu  szybowca  w  ukł adzie  x3 ,  z 3 :

(5 - 2)  ( x 3 ) „ 0  =   -

współ rzę dne zaczepu  samolotu  w  ukł adzie x$,  z 3 :

(5- 3)  (*3)l20  =   - ( *3 ) 2 0 - £ z 2;  (Z3)l20 =   - fe ) zO  +   /?rf-

Odległ oś ci poziomą  xi  i pionową  z\  mię dzy  koń cami liny  (rys.  1 i rys.  4) przed zakł óceniem
otrzymamy  korzystając  z  (5.2) i  (5.3):

( 5- 4)  Xi  =  (x
3
)

nu
- (x

3
)

m
,  z,,  =   ( z 3 ) n o - ( z3 ) ! 2 O .

P o  wystą pieniu  zakł óceń wzory  n a  współ rzę dne  koń ców  liny  przyjmą  p o st ać:
współ rzę dne  zaczepu  szybowca  v

fe)m  =   - ( x3 ) ) 0 - x; +/
(z3)ni  =   - ( z^ io - zI -A



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A SZ YBOWCA  W  Z ESP OLE  H O LO WN I C Z YM  357

współ rzę dne zaczepu  sam olotu

(5.6)

(23)(21 =   —  fe)20—Z2+ #

Korzystają c  z  (5.5),  (5.6) i zał oż enia,  że  ką ty  # 1 i # 2 są   mał e,  otrzymano  odległ oś ci
mię dzy  koń cami  liny p o zakł ócen iu: poziomą   x

3
  i pionową   z3

(5.8)  z
3
 =  (z

3
)

m
—  (23)121 ~   Zi—z[- ł - Z2.—k

z
i&i—kg

2
&2-

U gię cie  lin y/ zawieszon ej  poziom o  [6] i  [7] wyraża się  wzorem

przed zakł óceniem

(5.9)  f i =  W ,'

p o  zakł óceniu

(5.10)  /s "  W".

gdzie Z i =   P
x
i  jest  skł adową   poziom ą   sił y n a zaczepie  szybowca  równą   oporowi  szybowca

(2.6).
Cał kowitą   zm ianę   poł oż en ia  liny  otrzym a  się  w  postaci  nastę pują cej  korzystają c  przy

tym  z  (5.2),  (5.3),  (5.5),  (5.6),  (5.9) i  (5.10)

(5.11)  / , =  jl- W tu-

Wzglę dną   zmianę   przemieszczenia /  otrzym a  się   z  (5.11)  po  uwzglę dnieniu  (5.7) i  (5.8)
i  podzieleniu  przez (5.9)

(5.12) / =

5.2.  Energia  kinetyczna  zespołu holowniczego.  Energia  kinetyczna  zespoł u  holowniczego,
wystę pują ca  w równ an iu  (5.1), wyraż ona  przez  współ rzę dne uogólnione  m a postać:

(5.13)  T =T
S
+T

H
+T „

gdzie  T
s
 jest  energią   kinetyczną   szybowca  holowanego,  T

n
  energią   kinetyczną   samolotu

holują cego,  7}  energią   kinetyczną   liny  holowniczej.
Energia  kinetyczna  szybowca  holowan ego  T

s
  [19]  wyraż ona  przez  współ rzę dne  uogól-

n ion e

(5.14)  T
s
^ ^ Ą ą +^ [{x[f+{ż [f\ .



358  •   JERZY  MARYN IAK

Energia  kinetyczna  sam olotu  holują cego  T
H
  [19] wyraż ona  przez  współ rzę dne  uogólnione

(5.15)  T
U
 =   I  j

2
ą +  -   ^   i(k'

2
y+{ż tfi,

gdzie J\ , Jz oznaczają   momenty bezwł adnoś ci  szybowca i sam olotu  wzglę dem  osi poprzecz-
nej  [3, 4,  15] Q i, Qi  cię ż ar  cał kowity  w  locie  szybowca  i  sam olotu.

Energię   kinetyczną   liny  okreś lono  [18]  przyjmują c,  że przemieszczenie  jest  proporcjo-
nalne do ugię cia  statycznego  liny  u

t
  [6,  7]

(5.16)  i
h
=fy

gdzie

(5.17)  y =

Energię   kinetyczną   liny  okreś lono  za  pomocą   współ rzę dnych  uogólnionych  p o  uwzglę d-
nieniu  (5.16)  i przedstawiono  w  postaci:

(5.18)  r< =   C /

gdzie L
T
  jest  stał ym współ czynnikiem  zależ nym  od cię ż aru jedn ostkowego  liny  q, jej  kon-

figuracji  (xi i zi) oraz  oporu  aerodynamicznego  szybowca  holowanego  Xi  i m a postać

3

4  x
l
  ' 4 0

Wystę pują cą   w  (5.18)  pochodną   wzglę dem  zmiany  poł oż en ia  liny  otrzym an o  przez  zróż-
niczkowanie  wzglę dem  czasu  (5.12).

5.3.  Energia  potencjalna  zespołu holowniczego.  Energia  poten cjaln a  zespoł u  holowniczego
wystę pują ca  w  równaniu  (5.1) m a postać

(5.20)  V=V
s
+V

H
+V

l
+V

ls
,

gdzie  V
s
  oznacza  energię   potencjalną   szybowca  holowanego,  V

H
  energię   potencjalną   samo-

lotu  holują cego,  F , energię   potencjalną   liny  holowniczej,  wywoł aną   pion owym  przemiesz-
czeniem,  Vi

s
  energię   potencjalną   liny  holowniczej,  wywoł aną   sprę ż ystym  wydł uż eniem.

Energia  potencjalna  szybowca  holowanego  wyraż ona  przez  współ rzę dne  uogóln ion e
wyraża się  wzorem :

(5.21)  ^ -

Energia  potencjalna  samolotu  holują cego  wyraż ona  przez  współ rzę dne uogóln ion e:

(5.22)  V
B
=

Energię   potencjalną   liny  holowniczej  [18]  stosują c  (5.17)  otrzym an o w postaci  wyraż o-
n ej:

Xl

(5.23)  Vi =   - qf  J  ydx  =/ L
v
,



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A  SZ YBOWC A  W  Z ESP OLE  H O LO WN I C Z YM   359

gdzie L
v
  jest stał ym współ czynnikiem zależ nym od tych samych czynników co L

T
  we wzorze

(5.19)

(5.24)  ^ - - -

Energię   potencjalną   liny  holowniczej  pochodzą cą   od jej  sprę ż ystego  wydł uż enia  obliczymy
z zależ noś ci

h

( 5 . 2 5 )  V
l s

^

N acią g  liny  Z" wystę pują cy  w  (5.25) zależ ny  od skł adowej poziomej Z  i ką ta pochylenia liny
ę   [6],  [7] jest  nastę pują cy:

(5.26)  4
COSCJ

Element  dł ugoś ci  liny  wyraż onej  przez  prom ień  krzywizny  i  ką t  pochylenia  m a  postać

(rys.  5)

(5.27)  dl  =   rdę ,

gdzie  z  zależ noś ci  geometrycznych

(5.28)  r =   l  „

róż niczkując  dwukrotn ie  (5.17)  wzglę dem  x  otrzymamy

(5.29)  / 'm- J".

Jak  wynika  z geom etrii

(5.30)  cos<p  =

P odstawiają c  zależ noś ci  (5.26)- (5.29)  do  (5.25) p o przekształ ceniach  otrzymamy  wyraż enie

n a  energię   sprę ż ystą   liny  w  postaci cał kowej:

(5.31)
  Vls

 = - ±^ / ~  f- *_-
'*  16  / i  J  c o s>

gdzie L
s
  jest  stał ym współ czynnikiem:

(5.32)  L s  =
3  /   sm ę 1!  s m ^  \ _j_  ^  ,  \   *  4

t g \   2  + 4



360  JERZY  MARYN IAK

Sił a X,  wystę pują ca  we  wzorze  (5.31), jest zależ na  od współ rzę dnych uogólnionych.  Korzy-
stają c  z  zależ noś ci  n a  poch odn e «linowe»  otrzym an o p o  przekształ ceniu

(5.33)  X  =   X
1
+X^ x[- X

l

x2
x

l

2
- X

1

zl
z[+Xl

2
z'

2
+

Znają c  skł adową   poziomą   nacią gu  liny  X  okreś loną   za  pom ocą   współ rzę dnych  uogólnio-

nych  (5.33) oraz korzystają c  ze wzoru  n a L
s
  (5.32) z  (5.31) m oż na obliczyć  energię   sprę ż ystą

liny.

5.4.  Siły uogólnione  odpowiadają ce  współrzę dnym uogólnionym zespołu holowniczego.  Sił y uogólnio-

ne  dział ają ce  n a  przesunię ciach  uogólnionych  wystę pują ce  w  równ an iach  Lagran ge'a

(5.1)  przedstawiono  w  postaci

(5.34)  Qj =   e}+ 0'+ 2j",

gdzie Q'j  oznacza  sił y uogólnione pochodzą ce od zmiany  sił  i m om en tów  aerodynamicznych
dział ają cych  na  szybowiec  i  sam olot  holują cy,  Q'/   sił y  uogóln ion e  pochodzą ce  od  zmiany
sił   aerodynamicznych  dział ają cych  na  linę   holowniczą ,  Q'/ '  sił y  uogólnione  pochodzą   od
zmiany  nacią gu  liny  holowniczej.

Sił y  uogólnione,  odpowiadają ce  współ rzę dnym  uogóln ion ym  poszczególnych  stopni
swobody  szybowca  i  sam olotu  holują cego,  przedstawion o  korzystają c  z  [3,  4,  12,  15]  za
pomocą   pochodnych  aerodynamicznych  i  pochodn ych  linowych.

Qz[ =   Z
ul
x'

1
+Z

yvi
(ż '

1
+  U

(5.35)  Qk  =   Z
u2

Ci, =   M*

Q'o
2
  =   Muio

2

P ochodne  «linowe»  wystę pują ce  w  (5.35)  są   przedstawione  w  p .  8  niniejszej  pracy.
P ochodne  aerodynamiczne  dla  szybowca  i  sam olotu  w  locie  swobodnym  są   wyprowadzone
w  pracach  [3, 4,  15], W  punkcie  8 po dan o  poch odn e  aerodynam iczne  dla  sam olotu  holu-
ją cego  w  ostatecznej  postaci.

Poniż ej  wyprowadzono  sił y  uogólnione  pochodzą ce  od  liny  holowniczej.
P racę  przygotowaną   wykonaną   przez  sił y aerodyn am iczn e dział ają ce  n a linę   holowniczą

po  uwzglę dnieniu  (5.16)  i  zależ noś ci  geometrycznej

(5.36)  J/ - _*L_
cos?>

wyraż ono  w  postaci  cał kowej:

C 5.37,



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A  SZ YBOWC A  W  Z E SP OLE  H O LO WN I C Z YM   361

gdzie  C
z
i((p)  jest  funkcją   okreś lają cą   zmianę   współ czynnika  sił y  noś nej  liny  w  zależ noś ci

od ką ta pochylenia  y. Z ostał a on a wyprowadzona  i omówiona w pracy  [12]. Poniż ej  funkcję
tę   podan o w formie  ostateczn ej:

(5.38)  C
zl
{cp)  =   C „ sin Vco sc) —C co s^sin ^,

gdzie  C„ =   1,15, C, =   0,035.
Pracę   przygotowaną   (5.37)  przedstawiono  w postaci

(5.39)  6W
P
=df- L

P
,

gdzie L
P
 jest współ czynnikiem  stał ym. M oż na przedstawić  go w formie  cał kowej  korzysta-

ją c z (5.38) i nastę pują cych  zależ noś ci  geometrycznych:

1  .  V
cos f  =

P o przekształ ceniach  otrzym an o

Xl

(5.40)  L
P
 = -   I e  V\ d f  [C„(/ c1- 2/ c2x)~CJ  fc^|̂ ^  xdx,

gdzie

/ C i ~ 2 zr+ v  C 2 ~ 2 ^ !  Ui~v-

D o  wzoru  (5.39)  podstawion o  wyraż enie  n a 6f wyznaczone  z  (5.12)  uzależ nione od
współ rzę dnych  uogólnionych  i  uporzą dkowano  go  wzglę dem  wariacji  współ rzę dnych
uogólnionych.  Wyraż enia  wystę pują ce  przy  wariacjach  współ rzę dnych  uogólnionych  są
sił ami  uogólnionymi  i  mają   nastę pują cą   po st ać:

",- O"
  Ą Xl

T

(5.41)



362  JERZY  MARYN IAK

Siły  uogólnione,  pochodzą ce  od nacią gu  liny,  obliczono  okreś lając  pracę   przygotowaną
wykonaną   przez  te sił y  n a przesunię ciach  uogólnionych.  R ozpatrzon o  elem en tarn ą   sił ę
dF  dział ają cą   na  element  liny  dl (rys.  5) i otrzymano  równanie  równowagi  sił :

dF =  (T +dT )ń n(<p+d<p)- T sm<p.

Rys.  5. Sił y  nacią gu  dział ają ce  na  element liny  holowniczej

Po  pominię ciu  w  powyż szym  równaniu  mał ych wyż szego  rzę du  otrzymano

(5.42)'  dF =   T cosfdf+dT sinf.

Z  zależ noś ci  (5.27)  otrzymano

(5.43)  dę  = — y " d[
  t a

  .
[ 1 + G O 2 ] '

U zależ niono  nacią g  liny  T  od  skł adowej  poziomej  X:

COS(p

Po  zróż niczkowaniu  otrzymano  zmianę   nacią gu  liny  dT   w  postaci

(5.44)
  dT   =  x

^ - d
v
.

COS2< p

Podstawiają c  do  (5.42)  zależ noś ci  (5.43),  (5.44)  i  (5.30)  po  przekształ ceniach  otrzym ano

(5.45)  dF =  Xy"dx.

Pracę   przygotowaną   obliczono  korzystają c  z  (5.16),  (5.29)  i  (5.45):

(5.46)  6W
S
—  tó  f  (JG ± Ł _JM

dx
]

d
f

|_  Xx  J  \   . X i  X i  I  J

i  przedstawiono  w  postaci

(5- 47)



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A  SZ YBOWC A  W  Z ESP OLE H O LO WN I C Z YM 363

gdzie  L
N
  jest  stał ym  współ czynnikiem  zależ nym  od  konfiguracji,  obcią ż enia  i  charak-

terystyki  liny

(5.48) qxx
qx\

2X
1

-  +  3Z;

Jeż eli  do  (5.47)  podstawi  się   zależ ność  df  wyznaczoną   z  (5.12)  i  (5.34)  oraz  uporzą dkuje
się   wzglę dem  współ rzę dnych  uogóln ion ych,  to  współ czynniki  wystę pują ce  przy  nich  bę dą
poszukiwanymi  sił ami  uogóln ion ym i  Q'/ '  analogicznie  do  (5.41).

5.5.  Róż niczkowe  równania  ruchu  zespołu holowniczego.  Róż niczkowe  równania  ruchu zespoł u
holowniczego  otrzym an o przez  rozwinię cie  równ ań  Lagran ge'a  I I rodzaju  (5.1). Równania
wyprowadzono  róż niczkując  zgodn ie  z  (5.1)  energię   kinetyczną   ukł adu  (podpun kt  5.2)
i energię  potencjalną   ( podpu n kt  5.3)  oraz  dodają c  sił y  uogólnione  (podpun kt 5.4). Po  zli-
nearyzowaniu  otrzym an o  u kł ad  siedmiu  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego
rzę du  ze  stał ymi  współ czyn n ikam i.

U kł ad  otrzym an ych  równ ań  róż niczkowych  zapisano  macierzowo  w  postaci

(5.49)

gdzie

Ax+ Bx+ Cx+ D   =  0,

A =   [aij]  i  —  1,2,  ..., 7
7 = 1 , 2 ,  ..., 7
jest  macierzą   kwadratową   współ czynników  bezwł adnoś ci,

jest  macierzą   kwadratową   współ czynników  tł umienia,
C - [ cu ]  z = l , 2 ,  ..., 7

7  =   I , 2,  ..., 7
jest  macierzą   kwadratową   współ czynników  sztywnoś ci,

y
jest  macierzą   kolum nową   wyrazów  wolnych.

i ,  x,  x  są   macierzami  kolum n owym i  współ rzę dnych  uogólnionych  lub  ich  pochodnych
wzglę dem  czasu  o  postaci:

%

%

! x

z 2 j  X  •

Xi

x2
Zl Zl

z2

fi.

Wyrazy  macierzy  A,  B.  C i D w  postaci  bezwymiarowej  podan o w  p . 8 niniejszej  pracy.



364 JERZY  MARYN IAK

Przy  przejś ciu  do  postaci  bezwymiarowej  wprowadzon o  zgodnie  z  [3,  4,  15]  poję cia
stosowane  w  lotnictwie  a  uł atwiają ce  przekształ cenia  i  póź niejszą   analizę   wyn ików:

t,   =
Q.

-   t
1

czas aerodynamiczny,

czas  betwytniarowy,

\ , =  - p i -,  Zi =  - j- i-   bezwymiarowe  przesunię cie liniowe,

bezwymiarowe  prę dkoś ci liniowe,5c, =   — ,  "jj

Im

A
V

Xi =  S ; —,  % =  Vi- ?T  bezwymiarowe  przyspieszenie  liniowe,

# ,  — 4it  bezwymiarowa  prę dkość ką towa pochylania,

# j  =   # , t1  bezwymiarowe  przyspieszenie ką towe pochylania.

Znają c  wszystkie  wyrazy  macierzy  A,  B,  C,  D   i  skł adowe  wektorów  x,  x,  x,  wystę -
pują cych  w  ukł adzie  równ ań  róż niczkowych  (5.49),  przystą piono  do  ich  rozwią zywania.

D la  szybowca  i  sam olotu  holują cego  o  znanej  charakterystyce  [12,  20],  scał kowano
numerycznie  ukł ad  równ ań  (5.49)  zadają c  warun ki  począ tkowe,  bę dą ce  zakł óceniem
od  ustalonego  lotu  n a  h olu.  Proces  cał kowania  odbywał   się   m etodą   numeryczną   Runge-
Kutta- G illa  [16]  dostosowaną   do ję zyka  G I E R - ALG OL III [11],

W  celu  okreś lenia  wzajemnego  wpł ywu  szybowca  holowan ego  n a  sam olot  holują cy
scał kowano  zlinearyzowany  ukł ad  równ ań  (5.49),  dla  którego  istnieją   wartoś ci  wł asne
pozwalają ce  okreś lić  czę stoś ci  oscylacji  i  współ czynniki  ich  tł um ien ia.

Rys.  6. Charakter zmian przesunię ć i obrotów w funkcji  czasu szybowca  i  samolotu holują cego  po zakł óce-
niu chwilową  prę dkoś cią  pionową  >ci =  0,1 dział ają cą  n a szybowiec



STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA SZYBOWCA  W  ZESPOLE HOLOWNICZYM 365

N a  szybowiec  i  sam olot  holują cy,  znajdują cy  się   w  ustalon ym  prostoliniowym  locie
n a  h olu,  został a  n ad an a  chwilowa  prę dkość  pion owa  Wi =   Zi =   0,l  i  w2  =   z2  =   0,l.
Wykresy  podają ,  ja k  p o d  wpł ywem  powyż szego  zakł ócenia  zmieniają   się   w  czasie  prze-
mieszczenia  liniowe  i  ką towe  sam olotu  i  szybowca  holowanego  (fys.  6  i  rys.  7).

x, z, t > ,

- 0,02

Rys. 7. Charakter zmian przesunię ć i obrotów w funkcji  czasu szybowca i samolotu holują cego po zakł óceniu
chwilową   prę dkoś cią   pionową   W2  =  0,1  dział ają cą   na samolot

Jak  wynika  z  rys.  6 i  rys.  7, w  przypadku  sam olotu  holują cego  o  masie  porównywalnej
z  masą   szybowca  holowan ego  wystę puje  wzajemny  wpł yw  ruchów  samolotu  n a  szybowiec
holowan y  i  odwrotn ie.  W  takim  przypadku  nie  m oż na  rozprzę gnąć  ukł adu  równań  (5.49)
n a  równ an ia  opisują ce  ruch  szybowca  i  równ an ia  sam olotu.  Stosowanie  kryteriów  statecz-
noś ci  R outh a- H urwitza dla  peł nego ukł adu  równ ań  (5.49) jest trudn e i bardzo  pracowite.

Otrzym anie  rozwią zan ia  ukł adu  równ ań  (5.49)  w  postaci  zamknię tej  jest  baidzo  kł o-
potliwe  i  czę sto  niemoż liwe.

D o  rozwią zania  zagadn ien ia  zastosowan o  m etody  numeryczne  obliczenia  wartoś ci
wł asnych  ukł adu  równ ań  (5.49).

6.  Obliczenie  wartoś ci  wł asnych  ukł adu  równań  róż niczkowych

P roblem  obliczania  wartoś ci  wł asnych  czę sto  wystę puje  przy  rozwią zywaniu  ukł adów
równ ań  róż niczkowych  liniowych  o  stał ych  współ czynnikach.

U kł ad  równ ań  róż n iczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du  (5.49)  przekształ cono
stosują c  zam ian ę   zm ien n ych :

(6.1)  y  =   x + C - 1 D .  .

Otrzym an o  ukł ad  równ ań  w  zapisie  wektorowym  w  postaci:

(6.2)  ,  A y + B y + C y  =   0,



366  J E R Z Y  M AR YN I AK

gdzie  A,  B,  C  są   macierzami  kwadratowymi  stopnia  7,  których  wyrazy  wyprowadzono
w p.  5 niniejszej  pracy i podan o w p . 8. Równanie  (6.2) przekształ cono na podstawie  pracy
[14]  wprowadzają c  nowe  zmienne  p  okreś lone  wzorem

(6.3)  p  =   y.

U kł ad  (6.2)  po  wprowadzeniu  (6.3)  zapisano  w  postaci

(6.4)  Ap + B p + C y =   0.

Rozwią zanie  ukł adu równań  (6.3)  i  (6.4)  o  14  niewiadomych  y  i  p, jest  kombinacją   li-

niową   rozwią zań  typu

y =   a e 1 T ,  p =   b e 1 7 ,

gdzie

(6.5)  Ice =   b,

i  na  podstawie  (6.3)  i  (6.4)  daje  to  równanie

(6.6)  AAb+ Bb+ Ca  =   0

Równania  (6.5)  i  (6.6)  moż na  zapisać  w  postaci  jednego  równania  macierzowego  [14]

Wprowadzają c  nowe  oznaczenia macierzy  w  (6.7) otrzymano

(p.o)  Ar  Z  =   v z >

gdzie

[ I  O l macierz kwadratowa stopnia  14,
[ O  I I macierz kwadratowa stopnia 14,

wektor o 14 skł adowych.

Mnoż ąc  lewostronnie  ukł ad  równań  (6.8)  przez  macierz  P - 1  otrzymano

(6.9)  |R- Il|z  =   0,

gdzie

(6.10)  R ^ P - i C ).

Wartoś ci  wł asne macierzy  R są   tymi  wartoś ciami  param etru  A, dla  których

(6.11)  |B- Xl|  =   0.

Macierz  R jest  macierzą   kwadratową   w  omawianym  przypadku  stopnia  14.  Ze  wzglę du
na  wystę powanie  sił   aerodynamicznych  macierz  R jest  macierzą   niesymetryczną .

Istnieją ce  metody  obliczania  wartoś ci wł asnych macierzy  symetrycznych  [14] nie mogą
być  zastosowane  bezpoś rednio  do  macierzy  niesymetrycznych.  Obliczanie  wartoś ci  wł as-



STATE C Z N OŚĆ  D YN AM I C Z N A  SZ YBOWCA  W  Z ESP OLE H O LO WN I C Z YM 367

nych  macierzy  niesymetrycznych  jest  czę sto  kł opotliwe  i  nie  daje  t ak  zadowalają cych
wyników  ja k  dla  macierzy  symetrycznych.

Wartoś ci  wł asne  m acierzy  niesymetrycznej  R  wyznaczono  opierają c  się   n a  pracach

[8  i  9].

M acierz  R  doprowadzon o  do  dolnej  macierzy  trójką tnej  A
x
  za  pomocą   macierzy

ortogonalnej  T b  otrzymanej  w  wyniku  pom n oż en ia  prawostronnego  elementarnych macie-
rzy  o bro t u  T y

(6.12)  Aa

gdzie

=   T i 2 T j 3 . . .  T23...

przy  czym

(6.13)
c  —i

M acierz  T w  (6.13)  róż ni  się   od  m acierzy  jedn ostkowej  I  elementami  c  i  s  okreś lonymi
przez  (6.14):

(6.14) c  = s  =  —= =

Jeż eli  otrzym aną  m acierz trójką tną   dolną   Ai  (6.12) pom n oży się  lewoą tronnie przez macierz
tran spon owan ą   T{, otrzym a  się   macierz  R 2  równoważ ną   macierzy  danej  R :

(6.15)  R 2

Stosują c  powyż sze  operacje  n ad  kolejno  otrzymanymi  macierzami  Rj,  R 2,  R 3  ... Rfc  wedł ug
nastę pują cego  algorytm u

(6.16)

t o  przy  dostatecznie  duż ej  iloś ci  iteracji  k  macierz  niesymetryczną   kwadratową   R  spro-
wadzimy  do  m acierzy  R t  o  postaci:

—  w  przypadku  wartoś ci  wł asnych  rzeczywistych  do  macierzy  trójką tnej  dolnej,
—  w  przypadku  wartoś ci  wł asnych  zespolonych  do  macierzy  ą uasi- trójką tnej  dolnej.



368  JERZY  MARYN IAK

Wyznaczenie  wartoś ci  wł asnych  macierzy  quasi- trójką tnej  dolnej  sprowadza  się  do
rozwią zania  szeregu  równ ań  algebraicznych  kwadratowych.

M acierzy  RŁ   w  zależ noś ci  od  rozkł adu  wartoś ci  wł asnych  może  być  macierzą  quasi-
trójką tna  dolną  nieregularną.  Ilość  iteracji  k  zależ na jest  od  wyrazów  macierzy  R  i  jej
stopnia.  W  trakcie  prowadzenia  obliczeń  celowe jest  zmniejszanie  stopn ia  macierzy  przez
rozprzę ganie  n a  macierze  mniejsze,  z  których  bezpoś rednio  m oż na  wyznaczać  wartoś ci
wł asne.  Przy  stosowaniu  powyż szej  metody  wyznaczania  wartoś ci  wł asnych  zmniejszenie
stopnia  macierzy  o  2  powoduje  skrócenie  czasu  jednej  iteracji  o  poł owę.  I lość  iteracji
może dochodzić w  niektórych przypadkach  do  1000  nawet  dla macierzy  czwartego  stopnia.
N umeryczne  wyznaczanie  wartoś ci  wł asnych  macierzy  niesymetrycznych  wyż szych  stopni
jest  moż liwe  na  szybkoliczą cych  cyfrowych  m aszynach  elektronowych.  D okł adne  omówie-
nie  i  wyprowadzenie  powyż szej  metody  obliczania  wartoś ci  wł asnych  zawarte  jest  w  pra-
cach  [8, 9].

Kryterium  polegają ce  na  stabilizacji  podwyznaczników  macierzy  A
k
  [8], mają ce  ś wiad-

czyć  o zakoń czeniu procesu iteracji  macierzy  quasi- trójką tnej  R t ,  nie jest  speł nione  w  przy-
padku  dowolnej  macierzy  i  nie może  być  stosowane.

Wygodne  jest  uł oż enie  program u  obliczeń  w  ten  sposób,  by  n astę powało  zerowanie
odpowiednich  wyrazów  macierzy  R.  Wymaga  to jed n ak  kon troli  macierzy  R

k
  ze  wzglę du

na  moż liwość  stabilizacji  macierzy  o  postaci  ą uasi- trójką tnej  innej  niż  zał oż on a. P rowa-
dzenie procesu  iteracji  aż  do  momentu  otrzym ania  macierzy  R Ł   w  postaci  zał oż onej może
bardzo  zwię kszyć  ilość  iteracji.

Wartoś ci  wł asne  macierzy  R  otrzym an o w  postaci

(6.17).  .  .  I j i

gdzie  §j  —  Cjt jest  bezwymiarowym  współ czynnikiem tł um ien ia, "fjj =   iijt  oznacza czę stość
oscylacji.

Lot  zespoł u  holują cego  jest  stateczny, jeż eli  wszystkie  współ czynniki  tł um ien ia  (czę ś ci
rzeczywiste  wartoś ci  wł asnych)  są  ujem n e:

(6.18)  lj  <  0,

tzn .  ruch jest  tł um iony, sam olot  i  szybowiec  w  locie  n a  h olu  są  stateczne  dynamicznie.

7.  Przykł ad liczbowy  i  wnioski

Obliczenia  przykł adowe  przeprowadzon o  dla  jedn ego  z  szybowców  wyczynowych
[12]  i  samolotu  przystosowanego  do  holowania  [20].  Obliczenia  uwzglę dniają  zmianę
dwóch  param etrów  w  locie  n a  holu,  zm ianę  prę dkoś ci  h olowan ia  i  zm ian ę  poł oż en ia
szybowca  wzglę dem  sam olotu  holują cego.  D o  obliczeń  przyję to  linę  o  dł ugoś ci  h  =   50  m
opisaną  w  (12) jako  linę  najczę ś ciej  uż ywaną  w  eksploatacji.

N a  rys.  9- 16  liniami  cienkimi  n an iesion o  zm ianę  param etrów  odnoszą cych  się  do
sam olotu  holują cego,  a  linie  grube  dotyczą  szybowca  holowan ego.  W  przypadku  rys.  9,
10,  13  i  14  linie  cią głe  charakteryzują  lot  n a  h olu,  a  linie  przerywane  lot  swobodny
w  warun kach  równoważ nych  lotowi  n a  holu.  N a  rys.  11,  12,  15  i  16  n an iesion o  liniami
cią gł ymi  zmianę  współ czynników  tł um ienia  (£ ),  a  liniam i  przerywanymi  zm ian ę  czę stoś ci



2,0

0,5

V\
\\\\\

\\\\\\\.  \\  \\  \
ŷ  \

\   \
\   \

\   \
\   \\   \

\

N
20 30 V[ m/ s'

Rys.  8.  Z miana współ czynników  sił y  noś nej  w  funkcji  prę dkoś ci  szy-
bowca  i  samolotu w  przypadku  lotu  swobodnego  i holowanego

h

H25

\

x

• —- - r̂ —~

ii[ 2

20 30 V[ m/ s]

Rys.  9.  Zmiana zapasu  «statecznoś ci  statycznej»  w  funkcji  prę dkoś ci
szybowca  i  samolotu  w  przypadku  lotu swobodnego i holowanego



370 JERZY  MARYN IAK

oscylacji  (^)  w  funkcji  param etrów  holowan ia.  Wszystkie  obliczenia  wykon an o  n a  elek-
tronowej  maszynie  cyfrowej  G I E R  wedł ug  program ów  w  ję zyku  G I E R - ALG OL  I I I .

7.1.  Wpływ prę dkoś ci holowania na stateczność szybowca  w locie na holu i stateczność samolotu  holują cego
Obliczenia  numeryczne wykon an o  przy  stał ej  dł ugoś ci liny  h  =   50 m i ką cie  h olu <pi  =   20°
dla  szeiegu  prę dkoś ci  holowania.

Korzystają c  z  prac  [4,  12]  okreś lono  współ czynnik  sił y  noś nej  szybowca  w  locie  swo-
bodn ym  C

z
  i  w  locie  n a  holu  C z b  nastę pnie  z  (3.13)  obliczono  współ czynnik  sił y  noś nej

sam olotu  holują cego  C
zZ
.  Z m ian y tych współ czynników  w  funkcji  prę dkoś ci  przedstawion o

n a  rys.  8.

Wraz  ze  wzrostem  prę dkoś ci  wystę puje  zmniejszenie  współ czynników  sił y  noś nej

sam olotu  holują cego  i szybowca  oraz róż nicy  mię dzy  współ czynnikam i w  locie  swobodnym

C z  i  Czs  a  współ czynnikami  odpowiadają cymi  lotowi  n a  h olu  Czi  i  C z 2 .

1,

0,8

0,4

0,2

- 0,1

- 0,6

- 0,8

- Ł

3  —

2  —

1   —

—1  —

- 2  -

—3  -

— 4  -

ig.- ro

^ —

lo- 50m

h«—
—

>^

t

—- ^

Łr

***

1

- —- ^^__

• bezwymiarowy

Ql - bezwymiarowa

• —.

3

wspótci

czę stoś

\

- ^

3  4

ynn//(  tł umienia

;  oscylacji

—-

3  V[ m/ s]

Rys.  10. Zmiana  bezwymiarowych  współ czynników  tł umienia  i  czę stoś ci  oscylacji  w  funkcji  prę dkoś ci
odpowiadają cych  ruchom szybowca  (linie grube)  i  samolotu  holują cego  (linie cienkie)



STATECZNOŚĆ  DYNAMICZNA  SZYBOWCA  W  ZESPOLE HOLOWNICZYM 371

W  locie  n a  h olu  osią gnię cie  C z m a x  przez  szybowiec  wystę puje  n a  prę dkoś ci  wię kszej
niż  w  locie  swobodn ym  (rys.  8),  powoduje  to  «przepadnię cie»  szybowca  na  prę dkoś ci
wię kszej  od  prę dkoś ci  minimalnej  V

mln
 lotu  swobodnego.

Z m ianę   zapasu  statecznoś ci  statycznej  szybowca  h
hl
  i  samolotu  h

h2
  w  funkcji  prę dkoś ci

przedstawiono  n a  rys.  9.  W  locie  holowanym  wystę puje  niewielki  wzrost  zapasu  statecz-
noś ci  statycznej  h

H
  i  h

h2
  w  stosun ku  do zapasów  hu  i hi2 odpowiadają cych  lotowi  swobod-

nemu  (rys.  9).

Wzrost  statecznoś ci  statycznej  w  locie  n a  holu  nie  może  ś wiadczyć  o wzroś cie  statecz-

noś ci  dynam icznej.
Wartoś ci  wł asne  o  postaci  (6.17)  obliczono  numerycznie  wedł ug  algorytmu  (6.16).

Z m ianę  wartoś ci  wł asnych w  funkcji  prę dkoś ci przedstawiono  n a rys.  10 i  11. Jak  widzimy,
kryterium  statecznoś ci  (6.18)  nie  jest  speł nione.  Lot  n a  holu  z  trzymanym  sterem  jest

0 , 1

- 0,1

- 0,2

- 0,3

- 0,4

- 0,5

- ą s

V[ m/ s]

,--  bezwymiarowy  wspótczynnik  Humienia

= = = = =  QJ- bezwymiarowa  czę stoś ć  oscylacji
l0  = 50 m

°

Rys.  11. Zmiana  bezwymiarowych  współ czynników  tł umienia  i  czę stoś ci  oscylacji  w  funkcji  prę dkoś ci,
odpowiadają cych  ruchom  szybowca  (linie  grube)  i  samolotu  holują cego  (linie  cienkie)

7  M e c h a n i k a  t e o r e t yc z n a



- 11: • - Czs

~ < *2

- 0,5

v- 30m/ s

- 10 - 5

- 5 +  5

Rys.  12. Zmiana współ czynników  sił y noś nej  w funkcji  poł oż enia szybowca  wzglę dem  samolotu,  szybowca
i samolotu w przypadku  lotu swobodnego  i holowanego

lin

- 1

B,

0,75

3

L0=50m
v=30m/ s

—

5  1 I  • ) 5  i

l-c

o  z,/m7

+  10 + 20

Rys.  13. Zmiana zapasu  «statecznoś ci  statycznej»  w funkcji  poł oż enia szybowca  wzglę dem  samolotu  holu-
ją cego,  szybowca  i samolotu w przypadku  lotu swobodnego  i holowanego

[ 372]



STATECZNOŚĆ  DYNAMICZNA SZYBOWCA  W  ZESPOLE HOLOWNICZYM 373

lotem  niestatecznym,  co  potwierdza  wyniki  pracy  [12].  Oscylacje  szybkie  szybowca  holo-
wanego  r j3 i 4  i  sam olotu  holują cego  T) 5> 6  są   tł um ione  zawsze  niezależ nie  od  prę dkoś ci  holo-
wania 1

3A
  <  0  i  fj, 6  <  0  (rys.  10  i  11).

Wah an ia fugoidalne  sam olotu  holują cego  Tjn.u są   w  rozpatrywanym  przypadku  tł um io-
ne  $11,12 <  0,  n atom iast  wah an ia  szybowca  holowanego  ł j f l i l 0  wykazują   sł abą   rozbież ność
#9,io >  0  (iys.  10  i  11).  Wystę puje  niestateczność  ruchów  aperiodycznych  zespoł u  holow-
niczego  #13 >  0  i  #a >  0  polegają ca  n a  pionowym' przemieszczaniu  się   szybowca  wzglę dem
sam olotu  holują cego.  R uch y  te  wymagają   interwencji  pilota.

7.2.  Wpływ  położ enia szybowca  wzglę dem  samolotu  holują cego  na  statecznoś ć. Szybowiec  jest  ho-
lowany  n a  linie  o  dł ugoś ci  /o =   50  m  ze  stał ą   prę dkoś cią   V =   30  m/ s.  Szybowiec  może
przemieszczać  się   w  pł aszczyź nie  pionowej  wzglę dem  linii  lotu  samolotu  holują cego.

ii-   bezwymiarowy  współ czynnik  tł umienia

~~T ——  r/ j-  bezwymiarowa  czę stoś ć  oscylacji

- Ł

Rys.  14. Zmiana  bezwymiarowych  współ czynników  tł umienia  i  czę stoś ci  oscylacji  w  funkcji  poł oż enia
szybowca  wzglę dem  samolotu  holują cego,  odpowiadają cych  ruchom  szybowca  (linie  grube)  i  samolotu

holują cego  (linie cienkie)

Z  rysunku  12  wynika,  że  poł oż en ie  szybowca  wzglę dem  samolotu  praktycznie  nie
wpł ywa  n a zm ianę  współ czynników  sił y noś nej  szybowca  d  i sam olotu  C ^. N a rysunku  13
przedstawiono  zm ianę   statecznoś ci  statycznej  szybowca  h

hl
  i  sam olotu  h

h2
  w  funkcji  po-

7 *



374 JERZY  MARYNIAK

ł oż enia  szybowca  wzglę dem  linii  lotu  sam olotu  holują cego.  P oł oż enie szybowca  powyż ej

linii  lotu  powoduje  niewielki  wzrost  zapasu  statecznoś ci  statycznej.

Z m ian ę bezwymiarowych  współ czynników tł um ienia i czę stoś ci  oscylacji  (£, jj)  w  funkcji

poł oż enia szybowca  wzglę dem  sam olotu przedstawion o n a rys.  14 i  15. P oł oż enie  szybowca

wzglę dem  sam olotu  holują cego  m a  bardzo  duży  wpł yw  n a  ch arakter  ruchu, jaki  wystą pi

po  zakł óceniu  stanu  równowagi.

^s

79,10/
i'

Ł,SflO

" —

\

4

up

Ił i,  \
•
i

5

- I

9

20
—

^ — — '

e=30n

a  1
30

_ — - ^

\
\

5  ~ 2

1/ 3,4

=  I i  - bezwymiarowy  współ czynnik
tł umienia

==  ą -  bezwymiarowa  czę stoś ć
oscylacji

n
l/ S

Rys.  15. Zmiana  bezwymiarowych  współ czynników  tł umienia  i  czę stoś ci  oscylacji  w  funkcji  poł oż enia
szybowca  wzglę dem  samolotu  holują cego,  odpowiadają cych  ruchom  szybowca  (linie  grube)  i  samolotu

holują cego  (linie cienkie)

Z m ian a  poł oż enia szybowca  nie  wpł ywa  n a  czę stość  oscylacji  szybkich  szybowca _^3,4
i  ich  tł umienie  | 3 | 4  <  0,  n atom iast  m a  wpł yw  n a  tł umienie  wah ań  fugoidalnych  £9,10
(rys.  15  i  14).  Z  rysunku  15  wynika  że  najkorzystniejsze  poł oż enie  szybowca  wzglę dem
sam olotu  holują cego  jest  takie, w  którym  szybowiec  znajduje  się  w  linii  lotu  z samolotem



ST AT E C Z N O ŚĆ  D YN AM I C Z N A  SZYBOWCA W  ZESPOLE  H OLOWN I C Z YM   375

holują cym  lub  pon iż ej. W takim  poł oż eniu  wystę puje  zarówno  tł umienie  oscylacji  szybkich
?3,4 <  0 J a k i wah ań  fugoidalnych  £ 9, 10 < 0.

7.3.  Wnioski. Z  powyż szych  rozważ ań  wypł ywają  wnioski  dotyczą ce  parametrów  holo-
wan ia.

1.  W poł oż en iu górn ym  szybowca  wzglę dem  sam olotu holują cego  wystę puje  moż liwość
wcześ niejszego  «przecią gnię cia»  szybowca  niż  sam olotu  (rys. 8).

2.  W locie n a h olu  «pi'zecią gnię cie»  szybowca  może wystą pić  przy  prę dkoś ci  holowania
wię kszej  od prę dkoś ci  m inim alnej  w  locie  swobodnym,  F , i m l n  <  Vmin  (rys.  8).

3.  Wię ksze  prę dkoś ci  h olowan ia  powodują  zmniejszenie  rozbież noś ci  wahań  fugoidal-
nych  szybowca,  tzn .  wpł ywają  ustateczniają co  n a holowany  szybowiec  (rys.  10).

4.  P oł oż enie  szybowca  wzglę dem  sam olotu  holują cego  m a wpł yw  n a  wahania  fugo-
idaln e szybowca  i sam olotu holują cego  (iys. 15). Korzystniejsze  jest dla szybowca  poł oż enie
poniż ej  linii  lotu  sam olotu  holują cego,  gdyż  powoduje  to  tł umienie  wahań  fugoidalnych
(rys.  15).

5.  Lot n a  holu  jest  lotem  niestatecznym  matematycznie,  wystę pują  wartoś ci  wł asne,
których  czę ś ci  rzeczywiste  są  dodatn ie  nawet  przy  wię kszych  prę dkoś ciach  holowania
(rys.  10,  11, 14  i  15). P ocią ga  to  za  sobą  konieczność  reakcji  pilota  n a  zakł ócenia
zewnę trzne.

Wn ioski  powyż sze  pokrywają  się  jakoś ciowo  i  wykazują  dużą  zgodność  iloś ciową
z  wn ioskam i  wypł ywają cymi  z  pracy  [12], w  której  rozpatrzon o uproszczoną  stateczność
dynamiczną  podł uż ną  szybowca  holowanego  przez  sam olot  o nieskoń czenie duż ej  masie.

8.  P och odn e  linowe,  poch odn e  aerodyn am iczn e  sam olotu  holują cego  i  wyrazy  macierzy  A,  B,  C  i  D

8.1.  Pochodne linowe. P o c h o d n e lin owe  skł adowych  poziom ej  i pion owej  sił y dział ają cej  n a zaczep  holowniczy

szybowca  h o lo wan ego  m ają  p o st a ć :

Xxi  — • —  [T, cos P] ( sin y, — si
6

xlt  =  —
S

Z
xi
  =   —

o

Z
l

zl
  =   —

g d z i e
<5 =

n  =—
e
V

2
dC„,

2

wielkoś ci  x\ ,z\ ,h,(p\ i  <p
2
 są  p rzed st awio n e  n a rys.  3.

P o c h o d n e  lin owe  skł ad o wych  po zio m ej  i  pion owej  sił y  dział ają cej  n a zaczep  holown iczy  sam o lo t u  holu-

ją c ego  wzglę dem  przesu n ię cia  p o zio m ego  i  p io n o wego  m ają  p o st a ć :

i  1  .  .  .  .

X'
z2
  =   —  [T

2
cos<p

1
(co&<p

l
—cos<p

2
)+nsin

i
<p

1
(l,cos(p

l
—x

1
)],

(5



376  JER Z Y  M ARYN IAK

—  ( < 7 l

8.2.  Pochodne  aerodynamiczne  samolotu.  K orzystają c  z  [3, 4,  12,  15, 20]  w  niniejszej  p racy  p o d a n o  w  form ie
ostatecznej  poch odn e  aerodynamiczne  dla  sam olotu  holują cego,  stosowan e  w  zakresie  m ał ych  prę dkoś ci
(ś ciś liwoś ci  powietrza  nie  uwzglę dniono).

P och odn e  aerodynamiczne  sił   i  m om entów  aerodynamicznych  wzglę dem  zmian  prę dkoś ci  w  postaci
wymiarowej  są   n astę pują ce:

2 rw»——gS t V( Cm + a u) ,

Jut  —-   n  <?  T / \   C  1

P ochodn e  aerodynamiczne sił  i  momentów  aerodynamicznych  dział ają cych  n a  sam olot  holują cy  wzglę -
dem zmian ką towej  prę dkoś ci  pochylan ia  mają   post ać:

bz

0 , 6 _ ^
S

2
l

H2

2

{
o  /   'I / "1  \   1  i - 1  J/ "1  /   1  \   2

OFf2  /   ^ ^ zili  \   1  r  I  -^  "L - 2  /   IT Ci  \

0,6  C,,- H2+   -   —  1 - 2  +
S

2
  \   da

H2
  J  Slji

2
  • >,  L 8  da.  \   l

2
  }

P och odn a  aerodynamiczna  m om entu  pochylają cego  sam olotu  holują cego  wzglę dem  prę dkoś ci  zmiany
ką ta  n atarcia:

. . .  1  „   ,2  2C
Z
HI  de

2
M

w2
  =   —  - —  QS

H
2  m

2

P ochodn a  aerodynam iczna  m om en tu  pochylają cego  wzglę dem  zmian  prę dkoś ci  pionowej  zależy  za-
równo  od  wł asnoś ci  aerodynamicznych  sam olotu  holują cego,  jak  również  od  konfiguracji  i  charakterystyki
liny  holowniczej

1  _
M

w2
  — —Q  S

2
Vl

a2
  a

s
  h

h2
,

dzie /j/,2 jest  zapasaem  statecznoś ci  statycznej  sam olotu  holują cego  okreś lonej  wzorem  (3.4).



STATE C Z N OŚĆ  D YN AM ICZ N A  SZYBOWCA  W  ZESPOLE  H OLOWN ICZ YM   377

s.3.  Wyrazy  macierzy  A,  B, c  i  D .  P on iż ej  p o d a n o  w  postaci  bezwymiarowej  współ czynniki  równ ań  przed-

stawion e  w  ostateczn ej  form ie.

Wyrazy  macierzy  A  —  bezwym iarowe  współ czynniki  bezwł adn oś ci:

/ Q i  8 L r \   g  8L
T
  g

\   s  xi i  G,  xi  e,
16L

T
X,  g

qx\   Qi

Q2  8 I r \   g=  — +
\ xf  /   G,

Q,  32L
T
X?\   g

\   g  q
2
x\   J  Q

x

/ ,  yx
t

=  a
45
=  [k

zl
+- —r- h

z

64XrA',
2  g-

a37  —  #47  =   a 73  =   °74  ~  °77  T~4  T T   >

jQ2  32LTX}\   g_

I  qx
t
  \   \ 6L T X,  g

"51  =   - a
52

  =  —\ k,i+——h
ą x\  QJ

1U
  '

qx,  \   - i2L
T
X\   I  g

A  M
a  qx,  \   - i2L

T
X\   I

«53  =   *zi  +   ^ r ~ - Aai  —
Ą
  M w l

L\   2Z :  /   q
Ł
x\   J

=   U i  +   [k
u
+  - ^ - hzĄ  —r r -   ™2l~ »

L  \   2X,  I  qlx\   J  02/ # ,

3  1S5T

=   - " 6 2   =
qx\

i  «*i  \   32L T ^ r
"63  =   -   fc

L\   2X,  I  q*x\   J



378  JERZY  MARYN IAK

=   U  +  *» + - —- *«  —-   —3 —-
L  \   2X,  I  q2x\   J  et/ tfi

q
Xl
  \   (AL

T
X\

<fx\   Q\

Wyrazy  macierzy  B — bezwymiarowe  współ czynniki tł umienia:

=   632  =   634  =   63,5  =   £ 37  =   641  =   A43  =   b
AS

  —  b
41
  =

=   £52 =   b
i4
  =   bsn =  657  =   b

6l
  =   b

6i
  — b

6i
  =   b

61
 —

=   6 „  =  b
n
  =   6,3 =   b

u
  =  Z)75 =   6 7 6  =  b17 =   0 ,

1  .  1  £

lhl  =  - xul- ± - ,  b2, =  - xm- ± -,  6M =   - xv- S- ,

.  _  I  ,  _ _  _ J_  .  _ 7  ^ ^
L / 1   i  • —^~   ^ ^ ^  ̂  ̂ 1   ( •  t  "  "  '  ~ ~  ̂ "  '  '  *   tJ"1   "\   • — —  ^1  iiii  ™  * * *   .   U1   c  ^ ^  ̂  ̂ 1   / J  1   "~  •

^ 4 2  —  ^ H 2  "Z  ZT   • >  ^ 4 4  —  ^ W 2 " "  "  »  ^ 4 6  —'  "•

e 5,  K / H  1  Q1  K / H ,

1 1  ff
b

6l
  =   - M „2  n  — ,  Ż64  =  - Mwi  —  ,  bm  = -   (M ,;2 U i +M ą 2)  - r- - r—  ,

W yrazy  macierzy  C — bezwymiarowe  współ czynniki  sztywnoś ci:

Cii -   - ( 4"ti+ L ( r o o a ? > *4) l]H 2( 4)
2i}

f  2/ 7j,   2   r ,   ,   ,
i  —Â wi  Ł /t  T ~(L y+L

P
)  A(X

xl
x

l
  — T

1
cos(p

i
)h

zl
  +

[  x\   xi

,  ,  ,  ,  .  , . 1 1
~ |^2l  - Âl  ^zij  ijjy  i ^ j l  \ / iXl  ''Zl  T^Z l  ^Zl/   - Ŝ  (  "  77̂

J e^ii

«.x- , - r1co s?) i) / ( z 2+
,  ,  ,  7 , 1 1
1  (\ rl  I  Vf-   K  \   T   I



STATE C Z N OŚĆ  D YN AM I C Z N A  SZ YBOWCA W  Z ESP OLE  H O LO WN I C Z YM   379

c
  =  \ - ~[L

v
+L p- (.T

2
cos<

ri
~x

l
X

ł

xl
)L

N
]  -

[  xi

+   2XX,  Lsj

C2 S =   \ ĵ  T
{  X\   Xi

c 3i  =   - c3 2 =   r-
1

9*1
iilal—~ .

=  \ - ZwL qx\

32Xf
C 3 7 . =  C4 7  =  j -

C41  —  J - L̂

^ 1  • <,/

5, V2

I  Łł ' "' l 1   1

)  St  V-

c
21

  -   -   [- 2,- [L
v
  +  L p- {T

i
cos

Vl
- x

i
X

l
^ L

N
]^ 2(X

l

xi
)

2
L

s
\ - ^

{  xl  J  y ^

X\ x  i  I2L
N
  ,  \   / H l

C23  =   _ C 2 4 _  ̂ =    ̂  ̂_ -   +  2XX,  Lsj

1+ Xl
z l
k

Z J
) L

N
- 2Xli( X

J

x l
h

z l
  +X

l

xl
k

tl
)  L s\  - —

T i
  .



380  JE R Z Y  M ARYN IAK

f  2h
n
  r/ 4A",  2h

zl
\   ,  2/ ;z,  1

=   —r ( i F + Ap ) -   —r * « + —- U i i  — r * i  * « -
I  x?  LW*i  Xi  !  xl  J

—Łari, (xl
xi
  h

tl
+x

l

tl
  k

zl
)  L

S
\   — L _ ,
J  gSiT 2

2/i- i  r / 4 ^  2hz\ \   i  2/ 'zi
c 5 2  =   —  < — -

s] —-
J  e Ą

A-

+

2A, l
X
:h

11
+X

l

li
k

li
)  \ L

N
\   !

c S ( S  _   ̂ -

16.Ąf  /2X,
c57  =

(I  + I ) 2 U i i  A,i+^,  /czl) (X
l
xlh„1-Xl1 kzl) Ls +

[ hzJu2  14X,  2hzi\  ,  1  ,  N1  1  1
X\  \qx\  Xi  I  J  J  QSIV21HI

7 rI AY
I  /  '  f  —** I v'  ~ ' ~  v  I r

f  2/iz2  [7  4Xi  2 A B \  ,  2/;
«  =  1 — "  (Lv+LP)+  Ą kzl+  - ^ )X

l

{  x\   l\ qxl  x,
+ 24. U ii *«- .*«*„) LS1 - 4;

+2X
l

xl
 ( 4, hn- X

n
k

z2
) i s j  - ~,

* +

•   _  _  —'  k
l2
+  )X

l

z2
L

N
- 2X

l
Ax'

x
,h

z2
- X

l

zl
k

zl
)L

s
  - ——,

f  2/ !Z 1/ / , 2

=   V A
I  xi

Qx]

Xi  J



STATECZN OŚĆ  D YN AM ICZN A  SZYBOWCA W  ZESPOLE  H OLOWN ICZYM   381

i  I 2Xi  ,
C61 qx\

X
x
\   Xxi  X

X
i

=  — C7 2  —  =   —C 7 3  —  =   C7 4

Xlx2 XU xU

Cl5
  =   ^ ( X

qx\

c 7 6  =   - r

Wyrazy  macierzy D  —  bezwym iarowe  wyrazy  woln e:

L

4"

X,

- [-
A  V  n  r /  O Y

^ L ^ ( 2 ^ A + A ) + 2 r c s
qx\

+2T
1
cos<p

1
(X

xl
h

zl
- xl,k„)L

s
\

J (>S
l
V

2
lm

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  3 .  H .  ByPMAH , Ana/ iu3  ejiunnun  6yKcupnoio mpoca  na Kapmuny $Aammepa  n/ iaHepa,

n o  TeopHH   njiacTHH   H   oSojio^eK,  C6opHHK  I I , H 3flaTejitcTB0 KasaHCKoro  yHHBepcHTeTa, 1964.

2.  L. W.  BRYAN T,  W.  S.  BR O WN ,  N . E .  SWEETIN G ,  Collected Researches  on  lhe  Stability  of  Kites  and

T owed  Gliders, R epo rt s  an d  M em o ran d a  N r  2303,  1942.

3.  B.  E T K I N ,  Dynamics  offtight,  N ew  Yo rk- Lo n d on 1959.

4.  W.  F I SZ D O N ,  Mechanika  L otu,  C z. I  i  I I , P WN , Warszawa  1961.

5.  F .  JAN I K ,  O  obcią ż eniach  w locie  holowanym,  Sprawozdan ie I n stytutu  Badań Technicznych Lotn ictwa,

N r  11,  Warszawa  1933.

6 .  B.  K.  KA^iyPH H , FU6KUB  uumu  c  ManuMu cmpe/ iKaMU;,  MocKBa 1956.

7.  W.  K AC Z U R I N ,  T eoria  konstrukcji  wiszą cych,  Arkady,  Warszawa  1965.

8.  B.  H .  KyEJIAHOBCKAJI, O Hei<omopbix aMopu<p~Max  ÓAH  petuenun  IIOAHOU  npo6/ ieMbi  coBcmsenHbix  3ua-

uenuu,  floKjiaflbi  AKafleMHH   H ayK  C C C P ^  136  (1961).



382  JERZY  MARYN IAK

9.  B. H .  KyBJlAH OBCKAHj  O ueKomopbix aji2opu(/ JMax  Ó/ IH pemenun  nojmoii  npoSneMU co6cmeeHHUx  sm-

uenuu,  ) K yp H a ji  Bbi<iHCJiHTejiBHOH   MaTeMaTHKH   n  M aTeiwaTOTecKoii  <bH 3H KH ,  T O M 1  ( 1 9 6 1 ) .

10.  B. H .  KyEJIAH OBCKAitj  Pemetme  npo6jieMU  co6cmeeHHbix  3uaueHuu  bjin  npou3eojibnou Mampuą bi,

Tpyflbi  MaTeinaTH iecKoro  HHCTHTyTa HMeHH  B.  A.  G reKjioBaj  H 3flaTejibcTBo  Ai<afleMHH   H ayK  C C C P ,

14  (1962).

11.  E.  Ł U CZYWEK,  Analiza  metody zwią zków  cał kowych  w  zastosowaniu do  badania opł ywu  ciał  tę pych

naddż wię kowym  strumieniem  gazu, Praca  doktorska,  Politechnika  Warszawska,  1965.

12.  J.  MARYN IAK,  Uproszczona  statecznoś ć  podł uż na  szybowca w  locie holowanym, Mech.  Teoret.  Stos.

1,  5  (1967).

13.  S.  N EU MARK,  Eą uUibrhtm  Configurations  of  Flying Cables of  Captive Balloons,  and  Cable  Derivatives

for  Stability  Caladlations,  Reports  and  M emoranda,  N r  3333.  1963.

14.  N owoczesne  metody  numeryczne,  —  Opracowane  przez  N ational  Physical  Laboratory  Teddington

Middlesex,  PWN , Warszawa  1965.

15.  H . B.  OCTOCJlABCKHfl:,  A3podmtaMUKa  caMO/ iema,  MocKBa  1957.

16.  J. R.  PESKTN, I. N .  RABIN OWICZ,  Fortransitdiferential  Eą uation Solution Package (Runge- Kutta), Prin-

ceton  U niversity,  Technical  M emorandum, N r  75,  1959.

17.  K.  PETRIKAT,  E.  PIERUSCHKA,  Die  Stabilitatsbedingungen  des  Fieseler- Deichselschepps,  Jahrbuch  1942

der  D eutschen  Luftfahrtforschung.

18.  J.  RŻ YSKO,  A.  WILCZYŃ SKI,  Uwzglę dnienie  sprę ż ystoś ci  podpór  w  procesie  drgań zamocowanych  na

stale lin  noś nych,  Prace  Katedry  Mechaniki  Technicznej,  Zeszyt  2- 1965.  Wydawnictwo  Katedry  Me-

chaniki  Technicznej  Politechniki  Warszawskiej.

19.  G . K.  SUSŁ OW,  Mechanika  teoretyczna,  PWN ,  Warszawa  1960.

20.  E.  M Z YK,  W ejś cie w  podmuch samolotu PZL   —  104  W ilga 2,  Sprawozdanie  Katedry  Mechaniki

Politechniki  Warszawskiej  N r  48  (nie  publikowane).

P  e  3 io  M e

flH H AM IM ECKAH   yC T O fM H BO C T fc  riJI AH E P A  B  BYKC H P H OM

KOM n JI E KC E

B  paSoTe  paccMaTpuBaeTCH   6yi<cnp  H tecTKoro  n jian epa  >i<ecTKHM   caMOJieTOM   Ha Tn>KejioM,  TH SKOM

H   ynpyroM   6yi<CHpiiOM   Tpoce^  Ha KOTopwH   BJIH H IOT  aspofliinaM imecKH e  C H JI W.  ByKCHpHbiił   KoiwmieKC

(6yKCnpyiomnfi  caMoneT  +   SyKCupH biii  Tpoc  +   6yKCnpyeMj,i£i  n jian ep)  nepefl  Boaiwymei- iHeM   H axo-

flmiCH  B  ropH3OHTajiŁ HOM,  npHMOHHHeHHOM,  ycTaHOBHBnieMCH   r r o n e ie .  C  iicnojiB3OBaHHeM

JIarpaH>i<a  BToporo  pofla,  BbiBeneH bi  flH (h(bepeH qH ajiBH bie  ypaBHeHHJi  flBH JKeH H H ,

n ocite  jiHHeapH3aqHH  B nwatT / moik  cbopiue.  n o jiy^ e n a  cncTeiwa  ceiwn  ,o;i«})cbepeHi;HajiBHbix  o6bii<HOBeHHbix

ypaBi- ieHHił  BToporo  pofla  c nocTOfiHHbiMH  KO3(b<bHi(neHTaMH. H x penieH H e npH Befleno  K npoójieiwe  o n p e-

co6cTBeHHbrx  3Ha^eHHH  fljiH  npon3B0JibH OH   M aTpnqbij  HiweionieH   B  pacawoTpHBaeMOM   cn y^ae

.  H a ocuoBe  - ą HcneHHbK MeTOflOB,  ^ jia  ofluoro  Tnna  n jian epa  u  6yKCH pyiomero

caMOJieia, HCCJieflOBano BirasiHHe nojlOMceHHH  njiaH epa  OTHOCHTejibHO SyKCH pyiomero  caM Oneia n cKopocrn

6y/i<CHpoBKH   Ha  ycroH^HBOcTŁ   n n aH epa.  BbiBOflbi:.

1.  IIocKojibKy  BO BpeMH   6yi<cnpH oco  noneTa  MHHHiwajiBHaH   CKOPOCTB  nJiaH epa  M O K M   6M T B  MeHBnie

qeM   MHHHMajiBHan  CKopocTB  caMOjieTa,  TO cjienyeT  onpeflejiHTB  6e3onacHyK>   CKOPOCTB  6yKCnpoBKH .

2.  BojiBmae  CKOPOCTH   6yi{cnpa  rapaHTHpyiOT  yBejin ien u e  RHnaMH^ecKOM   ycToftmiBocTH   niraH epa.

3.  Bon ee  nojie3HBiM   noirojKeHHeM   njiaH epa  H BJIH CTCH  e r o  nojio>KeHHe  n o  JI H H H H  6yKCHpyK>mero  ca-

MoneTa  H JI H   H H we  e r o .  ,  ,  ,

4 .  IIojieT  6yKcnpH oro  KOMnneKca  HBJiaeTCH   MaTeinaTHiecKH   H eycTomH BbiM .  flawte  H JI H   6ojiŁ runx

ncH pa  BwcTynaioT  He6oJiBHiHe  pacxoH<fleHHH   anepHOflnqeci<HX  HBH>KeHHH,  Tpe6yiom n e

nH Jiota  n ocjie  BHeuiHHX  B03MymeHHH.



STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA SZYBOWCA  W ZESPOLE  HOLOWNICZYM   383

S u m m a r y

D YN AM1C  LON G I TU D I N AL  STABILITY  O F  A TOWED   SAILPLAN E

The  problem  of longitudinal  dynamie  stability  of the rigid  glider  towed  behind  the rigid  aircraft  with
heavy  and flexible  towing ropę  affected  by aerodynamic forces,  has been considered. Before  the disturbance
had  occurred the aircraft  as well as the glider  performed  horizontal, straightlmear, steady  flight.  U sing the
second  kind  Lagrange's  eą uations,  differential  eą uations  of  motion have  been  derWed.  After  the  lineari-
zation  had been  performed,  the system  consisted  of  seven  ordinary,  second  order  differential  eą uations
with  constant coefficients.  The solution of the system  consists  in finding  out the eigenvalues  of asymmetric
(arbitrary)  matrices,  which  were  of  the  fourteenth  order  in the case  considered.  By means  of numerical
calculations, the influence  of the reciprocal location of the typical  aircraft  and the high- performance  typical
glider  on the stability  of the glider,  has  been investigated.  The results  are as  follows:

1.  Siń ce it is possible  to reach the critical angle of attack first  at the glider  and afterwards  at the  aircraft,
the minimum towing velocity  should  be determined.

2.  The stability  of the glider  inereases  with inereasing the towing  velocity.
3.  The order to inerease the stability,  the glider  should fly  in the linę  of-  or below  the aircarft.
4.  I n all cases  the towed  glider  is slightly  unstable  and even at higher  velocities  there exist some  diver-

gences of the aperiodic motions, calling  the intervention of pilot.

KATED RA  M E C H AN I KI  WYD Z .  M E iL .
P O LI T E C H N I K I  WAR SZ AWSKI EJ

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  listopada  1966  r.

8  M echanika  teoretyczna