Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4, S  (1967) STATECZN OŚĆ  P EŁ N EG O  WALCA  OBCIĄ Ż ON EGO  CIŚ N IEN IEM   H YD ROSTATYCZN YM BE R N AR D   D U SZ C Z YK  (WAR SZ AWA) W  pracy  niniejszej  rozważa  się   stateczność  walca  peł nego  poddanego  skoń czonej  de- formacji  opierają c  się   n a  teorii  mał ych  dodatkowych  odkształ ceń,  opracowanej  przez A.  E .G R E E N A,  R.  S.  R I VLI N A  i  R.  T.  SH IELD A  [1].  Jako  kryterium  utraty  statecznoś ci (por.  [2, 3]) przyję to  osią gnię cie  przez  odkształ can e ciał o takiego  stanu, w  którym problem brzegowy  n ał oż en ia  m ał ych  dodatkowych  deformacji  m a  rozwią zanie  niejednoznaczne. R ozważ an ia  prowadzon e  są   w  zasadzie  w  sposób  podobn y  do  rozważ ań  zawartych  w pra- cy  Z .  WE SOŁ OWSKI E G O  [3], dotyczą cych  zagadn ien ia  statecznoś ci  peł nej  kuli. 1. Wstę pny  stan  deformacji Rozważ ać  bę dziemy  walec  zbudowan y  z  m ateriał u hipersprę ż ystego,  ś ciś liwego, jedn o- rodn ego  i  izotropowego,  o  najzupeł niej  ogólnej  charakterystyce  fizykalnej.  Przyjmujemy, że  przed  deformacją   (stan  B)  prom ień  walca  jest  równy  d  oraz  dł ugość  /.  P od  wpł ywem obcią ż enia zewnę trznego  (ciś nienia hydrostatycznego) walec  doznaje  skoń czonej  deformacji przechodzą c  w  stan  B,  w  którym  prom ień  i  wysokość  są   odpowiednio  d  =   fia  i  I =  U, Przyjmijmy  teraz  w  B  walcowy  ukł ad  współ rzę dnych  (r, d;  z),  odkształ cany wraz  z cia- ł em .  Oznaczają c  przez x k   i x k   odpowiedn io współ rzę dne kartezjań skie  pun ktu P  w  stanie B i  odpowiadają cego  m u  p u n kt u P  w  stanie  B  m am y (1.1) a  stą d (1.2) Xi  =   r c o s $ ,  x 2   = o ' n ° Xi = —COSff 1, X2 = z, z 0 0 (1.3) 1 0 0 0 r 2 0 0" 0 1 0 ) 1 ix* 0 0 o o T 0 0 J g  =   / - 2; 402  BERN ARD   D U SZCZYK (1.4)  r\ r   = - r,  rj 2   =  A2! =  y ,  Pj k   =  0  dla  pozostałych  i,  j ,  k\ (1.5)  h =  lr sgK  =  2[ł +X\   I 2 =  |; 5 / s / 3 -   iftW +A  h -   f  =  / ^ - o Tensor  naprę ż enia  r y  w stanie  odkształ conym 5  m a  postać (1.6)  r y  == gdzie 2  8W   0  2vr n atom iast  Wjest  funkcją   energii sprę ż ystej,  odniesioną  do jedn ostki obję toś ci w B.  U wzglę d- niają c  (1.2),  (1.3),  (1.5)  i  (1.7) mamy T 3 3  =  P0 1 +2ii*X 2 0 2 +0 3 ,  r u   = 0  dla  i ć j . Widać  stą d,  że  równ an ia  równowagi (1.9)  W iT iJ  =   0 są   speł nione toż sam oś ciowe  Oznaczają c  przez P  sił ę  dział ają cą   n a jedn ostkę   powierzchni w  B  oraz  przez  q  ciś nienie  hydrostatyczne  i  uwzglę dniają c,  że dla r =  a  n =   (1,  0, 0) i g =   (1,0,0), otrzymujemy  kolejno (1.10)  P =   T y n i g i , (1.11)  - ą  =   T 1 1 =  A * z * 1 + 0 u 4 + A V) ( P 2 + *3  dla  r = a, co  kompletuje  zwią zki  dotyczą ce  skoń czonej  deformacji  rozważ anego  walca. 2. Dodatkowa mał a  deformacja Poddajemy  teraz  ciał o  B  dodatkowej  mał ej  deformacji  ew,  wskutek  której  przechodzi ono  w  stan  B  bliski  B  (e jest  mał ym  param etrem ). N iech (2.1)  w =  Wig1 =   w'gj,  w x  = u,  W t = v,  W i —  W , gdzie  g'  oraz  g; są  kon trawarian tn ym i i  kowarian tn ym i  wektoram i  bazy  w B.  P odan e po- przednio  wielkoś ci  doznają   pewnych  przyrostów  (por. [1]), które  oznaczać  bę dziemy kreską   u góry: (2.2)  gfr- ViWH - V/ W,,  g"J  =   ~girgJsg' r s, (2- 3)  T % (2.4)  / i ' =  i'%; s,  I (2.5)  0Ź -   A 2l Ii+A 22 I' 2 +(A Zd - 0 2 l2h)H 0' 3  = ST AT E C Z N O ŚĆ  P E Ł N E G O  WALC A  OBC I Ą Ż ON EGO CIŚ N IEN IEM   H YD ROSTATYCZN YM   403 2  82W A  A  \(2.6) (2.7)  b'iJ  =   (giJ (2.8)  r'iJ  =   r- 2e). 1  1 . 2 (2.13)  0 i = O  8u 404  '  BERN ARD   D U SZCZYK b' 22   =  2[x\ , 1 (2.14)  b'3i  =   l^X2  ( « / , + 1 v,  + -   « jjin  =   ^'23  _  0 ; / • V22 =   M x  L (2- 15) gdzie P o  podstawieniu  powyż szych  zwią zków  do  równ ań  równowagi  (2.9)  otrzymujemy  li- niowy  ukł ad  dwu  jedn orodn ych  równ ań  róż niczkowych  o  pochodn ych  czą stkowych  I I rzę du: (2.17) ^   +(M+P) i U^ Py 3 V r   =  0; gdzie (2.18)  P  = Jak  widać  ze  wzorów  (1.5),  (1.7),  (2.6)  i  (2.16)  współ czynniki  tego  ukł adu  nie  zależą   od pun ktu, a są  funkcjami  (znanymi przy  znanym potencjale  W  (h,  I 2 ,  h))  jedynie  param etrów charakteryzują cych  stan  wstę pnej  deformacji  X i  JJ,. 3. Rozdzielenie zmiennych i rozwią zanie  ogólne P oszukiwać  bę dziemy  rozwią zań  (metodą   F ouriera) w  postaci (3.1)  u  = / (/ • ) cos n&,  v  =   rg(r)sinn&, 406  BERNARD   D U SZCZYK gowego,  ile  otrzymanie  warunku,  przy  którym  zagadnienie  to  m a  rozwią zanie  niejedno- znaczne. Warun ek  taki  przyjmować  bę dziemy ja ko  warun ek  utrat y  statecznoś ci  (por.  [2]). Są  dwa  róż ne  podejś cia  do  zagadnienia  utraty  stateczn oś ci:  statyczne  i  kinetyczne. Wychodzą  one z róż nych definicji  statecznoś ci i w zasadzie prowadzą  do róż nych wyników. Tylko  w  przypadku,  gdy  dane  zagadnienie  brzegowe jest  sam osprzę ż one,  o ba  podejś cia są  równoważ ne.  W  pracy  niniejszej  przez  utratę  statecznoś ci  rozumie  się  osią gnię cie  ta- kiego stanu, w  którym  problem brzegowy  dla mał ych  dodatkowych  deformacji n ał oż on ych n a  odkształ cenie  skoń czone  m a  wię cej  niż  jedn o  rozwią zanie  (podejś cie  statyczne). P ro - blem  samosprzę ż onoś ci  niektórych  przypadków  rozważ onych  tutaj  zagadn ień  brzego- wych  zbadany  został  w  pracach  [2 i 3]. 4.1  Warunki brzegowe w przemieszczeniach.  Zał oż ymy  obecnie,  że  w  procesie  dodatkowej deformacji  punkty  powierzchni  ciał a  nie  zmienił y  poł oż enia, tzn .  zał oż ymy,  że (4.1)  u =   v  =   0  dla  r  —  a. U wzglę dniając  to  w  (3.9)  i  (3.10)  ł atwo  stwierdzamy,  że  warun kom  (4.1)  dla  n  =   0  oraz n  =  1  odpowiada  jedynie  rozwią zanie  trywialne:  g o (r)  = / oO") = / i( ' O  =   gi(r)  =  0.  D la n  >  1 mamy  na  mocy  (3.11) „ n - i,  A  r1  M(n- f- Z)  + 1 tf  — u ,  C m - ——  •   ,2\   ~ ( Jest  to jedn orodn y  ukł ad  równań  algebraicznych,  mają cy  zawsze  przynajmniej  jed n o  roz- wią zanie, mianowicie C, n   =  C„ 2  =  0,  odpowiadają ce  zerowej  dodatkowej  deformacji.  U kł ad ten  m a  pon adto  rozwią zania  nietrywialne,  jeś li  wyznacznik  charakterystyczny  zn ika,  co jest  równoważ ne  warunkowi (4.3)  M=~P. Równość  (4.3)  zgodnie  z  poprzednim i uwagami  uważ ać  bę dziemy  za  warunek  utraty  sta- tecznoś ci  przy  warunkach  brzegowych  (4.1). 4.2 Warunki brzegowe przemieszczeniowo- naprę ż eniowe.  Z ał oż ymy teraz, że  dla  r  =   a  skł adowa dodatkowego  przemieszczenia  w  kierun ku  prom ien ia  zn ika  oraz  wektor  n aprę ż en ia  jest prostopadł y  do  powierzchni  r  =  a, t zn : (4.4)  u  =   0 t+etr  =   k(n+sn')  dla  r =  a, gdzie k jest  dowolne. Z godnie z  (1.10) i  (4.4) (4.5)  P + £ P '  =   ( T V+ ST 'W) (m+en'i) (gj+ egj)  =   k  ( n + e n ' ) , przy  czym (4.6)  n + £ n ' =   Ź ^ L f,  n =   (1, 0, 0),  n ' =   ( - i - g' », 0,  o). Równość  (4.5) przyjmie  teraz postać (4.7)  C ^ + ef^ fo + egJ )  =   k^ +sg'1). M noż ąc  skalarnie  obie  strony  równania  przez  wektor  ( gt + egi)  rugujemy  współ czynnik  k i  ostatecznie  otrzymujemy (4.8)  «  =   o,  T ' 1 2  =   0  dla  r  =  a, ST AT E C Z N O ŚĆ  P E Ł N E GO  WALC A  OBCIĄ Ż ON EGO CIŚ N IEN IEM   H YD ROSTATYCZN YM 407 co  jest  równoważ ne  nastę pują cym  warun kom  n a brzegu  r = a u  = 0, (4.9) V,.  V =  0 . P o  podstawieniu  (3.1)  i  (3.11)  do (4.9) mamy 4-   1 c 4 i o ) Warun kiem  istnienia  rozwią zań  nietrywialnych  tego  ukł adu,  a  tym samym  warunkiem utraty  statecznoś ci,  w  przypadku  warun ków  brzegowych  (4.4) jest (4.11)  P =  M- n. 4.3  Warunki  brzegowe w naprę ż eniach. A.  R ozpatrzym y  obecnie  przypadek  obcią ż enia  po- * wierzchni  bocznej  walca  w  stanie  B  ciś nieniem  hydrostatycznym  q, a więc  sił ą  cią gł ą, n orm aln ą  do aktualnej  powierzchn i  i o stał ej  intensywnoś ci (4.12)  (T y+ £ T'ij')(«;+ £ fl5)(gj+ £ gj0  =   — # ( n + E n ') . P o  pom n oż en iu  obu  stron  równ an ia  (4.12)  skalarn ie  przez  %k- \ - eg'k i wykorzystaniu  (1.11) i  (4.6)  otrzymujemy (4.13)  rnk~rng'lk  =  0  dla  r =   a, a  n astę pn ie (4.14) - 2P)[\ v !l +- u d l a  r  - - •  a; r   - v  = 0 (4.15) C ltl a" Mn- P(n+2) C  „+i (P - AQ»(n + l) nl   Mn- P(n+2) Warun kiem  utraty  statecznoś ci jest  tutaj (4.16) nl a n - l P{n- l)  =  0, B.  Z ał óż m y, że powierzchn ia  ciał a  obcią ż ona  jest  sił ą  stał ą  co do kierunku  i  moduł u (proporcjon aln a  i  pro st o padł a  do powierzchni  w E), M am y  wówczas (4.17)  ( T u + fiT "0( »i+ 6«D ( gj+ egj)  =   - ?n  dla  r =  a. (3) D la n =  0 i n = 1 jednorodnym  warunkom  brzegowym  (a takie tylko rozważ amy) tak naprę ż enio- wym jak i przemieszczeniowym  odpowiada  W t  =  0. Z tego wzglę du w dalszych  rozważ aniach pomijać  bę- dziemy te oba przypadki. 408 BERNARD   D U SZCZYK U wzglę dniając  (1.11)  i  (4.6),  nastę pnie  mnoż ąc  (4.17)  skalarnie  przez  gk+sg'k  otrzymu- jemy  kolejno (4.18)  ( T " + 6 T ' " ' ) ( I  ~ \   *S'U dla  r =  a, 1 (4.19) i  dalej  po wykorzystaniu  (2.2) t' n +2x u u r (4.20) ' i *_ ^ _ T i yi i _ T n g i i g a  =   0  d l a  r  =   a r 2   \   r  ' (4.21) (4.22) M dla  r yj 1 Mn- Pfr+2) i  ostatecznie  warunek  utraty  statecznoś ci  ma postać (4.23)  P [ ( P - M ) ( Tu - 2 P ) ( r t - l ) + M Tn ]  =  0. C.  Obcią ż ymy  teraz  powierzchnię  walca  sił ą  prostopadł ą  do powierzchni  w stanie B, ale  proporcjonalną  do powierzchni  w stanie  B.  M amy  wówczas (4.24)  (riJ+er"i)(n i +en' i )(gj+sĝ dS=  - q(n+ eri)dS,  r -   a, * (4.25)  (T lJ+ST'iJ)(Sj+ESj)- 77i  =  T n ( g 1 + £ l ' 1 )  dla  r=a. Ponieważ  elementy  powierzchniowe  w stanie  B i B wyraż ają  się  wzorami  (por.  [4]) (4.26)  dS =  ]/ g+ eg'  \ / gu+ egald&dz,  dS =   ]/ ggud$dz; więc  stosunek  tych  elementów  moż na  wyrazić  nastę pują co: (4.27)  4|= l+ e: Po  podstawieniu  (4.27) do (4.25) i pomnoż eniu  otrzymanej  równoś ci  przez  g^+ eg'*  otrzy- mujemy  kolejno (4.28) (4.29) k [y 2 v & +ju\ Mu r +(M- 2P+T n )iy 2 ^ +~ii\   =  0 dla  r =  a; r  °  =  0 STATECZNOŚĆ  PEŁNEGO  WALCA  OBCIĄ Ż ONEGO  CIŚ NIENIEM  HYDROSTATYCZNYM  409 C n 2a "- 1( 2P - T1 1) ( H - l)  =   0, (4.30) „   , h l( P - M ) / »( w+ l) i  ostatecznie warunek  utraty statecznoś ci (4.31) Literatura  cytowana w tekś cie 1. A. E.  G REEN , R. S.  R I VLI N , R. T .  SH IELD , Genera! theory of small elastic deformations superposed on finite elastic deformations,  P roc. Roy.  So c , A  211 (1952). 2.  G U O- Z H ON G - H EN G,  W.  U RBAN OWSKI,  Stability  of  non- conservative  systems in the theory of  elasticity  of finite  deformations,  Arch.  Mech. Stos., 2, 15  (1963). 3.  Z . WESOŁOWSKI,  Stability  of  a full  elastic sphere uniformly waded  on the surface,  Arch.  Mech. Stos., 5, 16 (1964). 4. A. E.  G REEN , W.  ZERN A,  T heoretical Elasticity, Oxford  1954. P  e  3  IO  M e yC T O H M H BO C T t  C m iO I I I H O r O  U H JI H H flP A  n O fl  flEfł CTBH EM   r i W O C T AT O T E C - K O r O  flABJIEH H K C n n o m n o H   ipiJiHHflp  H3  yr t p yr o r o ,  oflH opoflH cro3  H 30Tpoim oro  H  OKHMaeiworo  MaTepiiajia  c n poii3- Bo n t iio ił   dpHSHMecKOH  HejiHHeHHocTBio noflBepraeTCH   npenBapH TeuBH oii  KOHê iHOH  fle<3oopM aą mi. I locjie 3Toro  HaKJiaflMBaeTCH   flonojiiiH Tejitnan  M ana«  njiociOH  fle