Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  5  (1967) N AP RĘ Ż EN IOWY  WARU N EK  BEZ P IEC Z EŃ STWA  W PRZYPAD KU   N IEKON SERWATYWN YCH Z AG AD N IEŃ   STATEC Z N OŚ CI  SP R Ę Ż YSTEJ AN D RZEJ  KOWALSKI  (MIELEC),  M ICH AŁ  Ż YCZKOWSKI  (KRAKÓW) 1.  U wagi  wstę pne Typowym  przykł adem  niekonserwatywnych  obcią ż eń  w  teorii  statecznoś ci  sprę ż ystej są   obcią ż enia  ś ledzą ce  o kierun ku  dział ania  zmiennym w trakcie wyboczenia.  Już  E.L. N I - KOLAI  [12]  zwrócił   uwagę   n a konieczność  stosowania  kinetycznego  kryterium  statecznoś ci w  przypadku  n iektórych  problem ów  tego  typu.  Klasyczny  już  dziś  przypadek  sił y ś ledzą- cej,  dział ają cej  n a  swobodn ym  koń cu  prę ta  jedn ostron n ie  utwierdzonego,  rozwią zał  po raz pierwszy  M .  BEC K  [1]; dokł adniejsze  obliczenia  numeryczne  podan e  przez  Z .  KORD AS i  M .  Ż YCZ KOWSKIEGO  [6]  doprowadził y  do  wyniku (1.1)  P k  = 20,0509 EJ T'2 P odan o  również  szereg  m etod  przybliż onych  obliczania  sił y  krytycznej  przy  proble- m ach  niekonserwatywnych;  sprowadzają   się  one przede  wszystkiem  do zastą pienia  me- tody  energetycznej  typu  R itza  przez  równ an ia  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju  (Z .  KORD AS i  M .  Ż YC Z KOWSKI  [5],  A.  KOWALSKI  [7],  M .  LEVIN SON   [11]),  do  stosownej  modyfikacji m etody  ortogonalizacyjnej  G alerkin a  (W. W.  BOŁ OTI N   [2],  H .  LE I P H OLZ  [8, 9,  10])  lub do  przystosowan ia  m etody  m ał ego  param etru  (A. G AJEWSKI  [4]).  M etody  te  zezwalają n a  przybliż one  obliczenie  obcią ż eń  krytycznych  dla dość  szerokiej  klasy  waż nych  prak- tycznie  problem ów  niekonserwatywnych. W  tym  ś wietle  coraz  wię kszego  znaczenia  nabiera  zagadnienie  stosowalnoś ci  wypro- wadzonych  wzorów  w  praktyce  inż ynierskiej.  T ak n p.  ś ledzą ca  sił a  krytyczna  (1.1)  jest okoł o  oś m iokrotn ie  wyż sza  od sił y  eulerowskiej  dla tego  samego  prę ta  (lecz  przy  ustalo- n ym  kierun ku  dział an ia) i  zbliż anie  się  do niej  w  zastosowaniach  konstrukcyjnych  może budzić  zrozumiał y  n iepokój.  Wydaje  się  wię c  rzeczą   niezbę dną   analiza  stan u  podkrytycz- nego  i  sform uł owanie  odpowiedn iego  warun ku  bezpieczeń stwa;  najbardziej  przekony- wują cą   wydaje  się  przy  tym  an aliza  rozkł adu n aprę ż eń w trakcie  drgań,  nawią zują ca  do kinetycznego  kryterium  statecznoś ci  i  wyraż enie  warun ku  bezpieczeń stwa  przez  ograni- czenie  kresu  górnego  wartoś ci  bezwzglę dnej  naprę ż enia  wystę pują cego  w  trakcie  drgań i  bę dą cego  funkcją   miejsca  i  czasu. W  obecnej  pracy  przeprowadzim y  taką   analizę   dla  prę ta jedn ostron n ie utwierdzonego, obcią ż onego  sił ą   ś ledzą cą.  Sformuł ujemy  naprę ż eniowy  warunek  bezpieczeń stwa  przy za- ł oż eniu  sprę ż ystoś ci  m at eriał u ;  nie bę dziemy  poruszali  znacznie  trudniejszego  problemu pojawienia  się  odkształ ceń  plastycznych. 412 AN D RZEJ  KOWALSKI,  M ICH AŁ  Ż YCZKOWSKI G ł ówna  trudn ość  analizy  polega  n a  tym ,  iż  mamy  do  czynienia  z  ukł adem  o  n ieskoń - czonej  liczbie  stopni swobody  i w zwią zku  z tym naprę ż enia bę dą  w  sposób  istotn y  zależ ały od  warun ku  począ tkowego  ruchu,  a  więc  od  rozkł adu  wychyleń  i  prę dkoś ci  w  chwili t  =  0.  Rozpatrzymy  więc  tylko  dwie  pierwsze  postacie  drgań  jako  najważ niejsze  prak- tycznie,  a  warunek  począ tkowy  damy  wtedy  przez  przyję cie  pewnych  wyjś ciowych  ugięć prę ta  w  dwóch  pun ktach n a jego  osi  (przyjmiemy,  że  takie  ugię cia  są  spowodowan e  pew- nymi czynnikami ubocznymi) oraz przez  przyję cie,  iż prę dkoś ci  począ tkowe  są  równ e  zeru. Rozpatrzymy  jedynie  drgania  swobodne  ukł adu  nie  uwzglę dniając  wpł ywu  tł um ien ia zarówno  n a  wielkość  sił y  krytycznej,  jak  i  na  wielkość  n aprę ż eń  podczas  drgań . 2. Analiza  drgań przy podkrytycznej sile ś ledzą cej Obliczenia  nasze  oprzemy  n a  równaniu  róż niczkowym  drgań  poprzecznych  prę ta  ś cis- kanego  sił ą  P  (Rys.  1) ^ 4 n ,  ^ 2 „   pp.y> (2.1) 8x 4  '  dx2 dt 2 gdzie  EJ  oznacza sztywność  gię tną,  a m  —  masę jedn ostki  dł ugoś ci prę ta. P ostać równ an ia (2.1) jest niezależ na od zachowania się  sił y p o wyboczeniu;  wpł ywa  ono jedyn ie  n a  warun ki brzegowe.  W  przypadku  sił y  ś ledzą cej  warun ki  te  mają  postać gdzie  /  oznacza  dł ugość  prę ta  utwierdzonego  n a  koń cu  x  =   0. Wprowadzając  bezwymiarowe  zmienne (2.3)  £  =   */ / ,  v  =  y/ l, podstawiając  do  równania  (2.1) (2- 4)  y(x,  t)  =   y(H,  ł ) =   h($)eW t oraz  wprowadzając  bezwymiarowe  stał e  odpowiadają ce  sile  ś ciskają cej  i  czę stoś ci  drgań (2.5)  p  =   PPlEJ,  co  =   Ql2  \ Z^ EJ, N APRĘ Ż EN IOWY  WARUNEK  BEZPIECZEŃ STWA  W  PRZYPADKU   NIEKONSERWATYWNYCH   ZAGADNIEŃ   413 otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  zwyczajne  o  stał ych współ czynnikach d 4 v  ,  ,  d2v  . (2.6)  W +^ W   • Cał ka  ogólna  równania  (2.6)  m a  postać (2.7)  w(f)  = gdzie (2.8) Warunki  brzegowe  (2.2) prowadzą  do ukł adu równań C 2+ C 4  =   0, ^  Ci(r 2 1 smr 1 +r 1 r 2 shr 2 )+C 2 (r\ cosr 1 +r 2 2 chr 2 )  =  0, —C 1 (rlcosri- J l - r l Ą ć h.rd+C 2 (Ą &mri—rl&hr i )  =   0, przy  czym  w  dwóch  ostatn ich równaniach wyrugowano  już  C 3 i  C 4. Wyraż ając  wszystkie stał e  przez  C x   moż emy  napisać  krótko (2.10)  v^ )  = C,F^ ), gdzie  F{ź )  jest funkcją  nie  zawierają cą  ju ż  stał ych cał kowania, (2.11)  F(£) =   sin rif- zM C Osrif——  shr2f+ iM cli7- 2£, r2 przy  czym przez \ i oznaczono stał ą s i n r x+ —  sh r 2 (2.12)  p -   ^ J chr r i / Przyrównując  do  zera  wyznacznik  gł ówny  ukł adu równań (2.9) doprowadzamy do rów- n an ia  przestę pnego,  okreś lają cego  zwią zek  pomię dzy  sił ą /?  a  czę stoś cią  drgań  co. Wykres funkcji  j8 =   f(a>)  m oż na  znaleźć w  pracy  M .  BECKA  [1]  lub  monografii  W. W.  BOLOTIN A [2].  ' 3.  Rozkł ad  naprę ż eń  wzdł uż  osi  prę ta Przyjmując  zał oż enie jednowymiarowego  stanu  naprę ż enia  w  prę cie,  moż emy  napisać ( 3- !)  < W  =   < Wx+ °- c  =   Eh - ĵ y  +   y , gdzie  ff g   oznacza  naprę ż enie  od  zginania,  a c   —  od  ś ciskania,  h —  odległ ość  skrajnego wł ókna  przekroju  od  osi  prę ta,  F—powierzchnię  przekroju.  Wobec  faktu,  że  równanie czę stoś ci  m a  nieskoń czenie  wiele  pierwiastków,  należ ał oby  do  (3.1)  zamiast  (2.4) podsta- wić (3.2)   y   = 414  AN D RZEJ  KOWALSKI,  M ICH AŁ  Ż YCZKOWSKI i  otrzymalibyś my  wtedy  po  sprowadzeniu  konsekwentnie  do  postaci  bezwymiarowej (3.3)  - j-  = J2J  CVFJ  ® e  J  +1?' X oznacza tu smukł ość  prę ta  i  zgodnie  z  klasyczną   definicją   smukł oś ci  dla prę ta jedn o- stronnie  utwierdzonego  mamy w naszym  przypadku  A =  21/ i, przy  czym  i  oznacza  naj- mniejszy  promień  bezwł adnoś ci  przekroju. Ze  wzoru  tego  wyeliminujemy  teraz  czynnik  czasu  zastę pując  szereg  funkcji  czasu przez  stosowną   majorantę . Wobec  |R e(e"°j')| <   1 moż emy napisać (3.4)  - f  ̂ = j /- i Stosujemy  tu  nadal znak  równoś ci, a nie nierównoś ci  sł abej, bowiem  stosunki  poszczegól- nych czę stoś ci są   z reguł y niewymierne; mamy wię c prawo  przypuszczać, że po dostatecznie dł ugim  okresie  czasu  nastą pi  moment, w którym  wszystkie postacie  drgań  (a, praktycznie biorą c,  znaczna ich liczba)  osią gną   w danym punkcie f  swą   wartość  amplitudalną  z odpo- wiednim  znakiem i wszystkie iloczyny  C^ Fj'^ )  bę dą   dodatnie. D o  pierwszego  skł adnika  wzoru  (3.4)  moż na  również  wprowadzić  smukł ość  prę ta  X. Moż emy  mianowicie  napisać (3.5) .TSSL = j- j- i gdzie  ip =  2hji  jest  ł atwym  do obliczenia,  bezwymiarowym  współ czynnikiem  kształ tu przekroju.  D la  przekroju  prostoką tnego  mamy  y> =  ]/ l2  =  3,464,  dla koł owego  y>  — 4, dla  pierś cieniowego  (rurowego) cienkoś ciennego ip  — 2 \ '2 = 2,828. N aprę ż enia,  okreś lone  wzorem  (3.5),  zależą   od  danej  począ tkowej  linii  ugię cia i  począ tkowej  prę dkoś ci  drgań.  D la celów  praktycznych  zastą pimy  teraz  ukł ad  o nieskoń- czonej liczbie  stopni swobody przez ukł ad  o moż liwie  mał ej  ich liczbie. Przyjmiemy  miano- wicie dwa stopnie swobody, gdyż jeden nie zezwalał by na analizę  zjawiska  dudnienia —  zbli- ż ania  się   dwóch  są siednich  czę stoś ci  do  siebie. Zamiast  (3.5) napiszemy  zatem (3- 6)  ~ -   =  T [ | C l n ^ " ( ł ) | +   | C 1 2 F 2 " ( | ) | ] + ^ . Jli  A  A D la wyznaczenia stał ych C n iC i2   musimy zał oż yć począ tkowe  wychylenia  prę ta w dwóch punktach  osi.  Jednym  z  nich  powinien  być punkt  1 = 1  (swobodny  koniec) —  bezwy- miarowe  ugię cie  począ tkowe  w tym punkcie  oznaczymy prze z/ =   d/ l. D rugi  pun kt  ozna- czymy przez  | 0 , a odpowiednie bezwymiarowe  ugię cie  przedstawimy  jako  uł amek tam tego, oznaczają c  je przez  %f. Prę dkoś ci  począ tkowe  przyjmiemy  w obu  pun ktach  równe  zeru. W  takim  razie  z ukł adu  równań ( 3 ? )  f=CnFl(l)+CnF2(l), N APRĘ Ż EN IOWY  WARUNEK BEZPIECZEŃ STWA W PRZYPADKU   NIEKONSERWATYWNYCH  ZAGADNIEŃ   415 otrzymujemy (3 . 8 ) C, 2 = F un kcja  F " ( | ) jest  okreś lona  wzorem (3.9)  F " ( | )  =   - r ? ( si n r , . f- przy  czym  Fi  otrzymujemy  przez  podstawienie  param etrów  r,, r 2   i fi  odpowiadają cych pierwszej  czę stoś ci,  a F 2  — odpowiadają cych  drugiej  czę stoś ci  drgań  prę ta. N aprę ż eniowy  warun ek  bezpieczeń stwa  prę ta  bę dzie  więc  miał   postać (3.10)  -y  max [\ C n Fi'^ )\  +  \ C u F 2 "^ )\ ]+J jr < ! ~, gdzie  k  oznacza  stosowne  n aprę ż en ie  dopuszczalne. 4. Wyniki  liczbowe D o  obliczeń  liczbowych  przyjmiemy  £ 0 =   0,5  oraz  % =  0, 3;  taki  rozkł ad ugięć  począ t- kowych  odpowiada  mniej  wię cej  ugię ciom  statycznym  pod  dział aniem sił y prostopadł ej do  osi  prę ta, a przył oż onej  n a jego  swobodnym  koń cu. Z ał oż ono  przekrój  rurowy  cienko- ś cienny  przyjmując  y  =   2,828. Tablica 1 w1 u 2 P/ PK 0 3,50 21,75 0 5 4,« 19,75 0,25 • 10 5,00 1750 0,50 15 6,50 15,00 0,75 19,5 9,50 11,50 0,975 Korzystając  z  wykresu  M .  Becka  przyję to  wartoś ci  co L  i  co 2 ,  zestawione  w  tablicy 1. Z a  pom ocą  tych  dan ych  okreś lono  kolejno  r x ,  r % \   n  dla  każ dej  z  tych  czę stoś ci, a  dalej  funkcje  F^ tj)  i F 2 (i)  oraz  stał e  C n   i  C [2 .  R ozkł ad naprę ż eń  okreś lonych  wzorem (3.6)  przedstawiono  n a  wykresach  (rys.  2 i  3) odpowiednio  dla  smukł oś ci  prę ta  A =   400 1 X =   800.  Wart o  zauważ yć,  że  p u n kt em niebezpiecznym  nie  zawsze jest t u pun kt  utwier- dzenia  (£ =  0) ;  czę ś ciej  n awet  kres  górny  naprę ż enia  osią gany  jest  n a dł ugoś ci  prę ta przy  |  równym  okoł o 0,4. W  oparciu o otrzym an e wyniki  sporzą dzono wykresy  (rys. 4 i 5) dla tych samych  smuk- ł oś ci, zależ noś ci  m aksym aln ych  n aprę ż eń od bezwymiarowej  sił y /? i od danego  wychylenia począ tkowego  / .  D la  porówn an ia  przytoczono  również  wykresy  naprę ż eń  maksymalnych przy  obcią ż eniu  sił ą  o ustalon ym  kierun ku  dział ania  (sił ą  typu  eulerowskiego),  dział ają cą n a m im o ś r o d a c h /o tych sam ych  wartoś ciach. Wykresy  n a rys.  6 i 7 przedstawiają  wreszcie dla  tych  samych  sm ukł oś ci  naprę ż eniowe  warun ki  bezpieczeń stwa  przy  róż nych  danych n aprę ż en iach  k  i  róż n ych  dan ych  wychyleniach  p o c z ą t k o wyc h /=  djl. 2  M ech an ika teoretyczn a Rys. 2 [416] A­800 [417] may Rys. 4 [418] max Rys. 5 [419J A.­400 [420] 1=800 Rys. 7 [421] 422  AN D R Z E J  KOWALSKI,  M I C H AŁ  Ż YC Z KOWSKI 5.  Wnioski Z  przedstawionych  wykresów,  a  zwł aszcza  z  porówn an ia  z  wykresami  dla  obcią ż eń o  ustalon ym  kierunku,  wynika,  iż  obcią ż enia  ś ledzą ce  są   w  istocie  wielokrotnie  mniej  nie- bezpieczne  dla  konstrukcji  od  obcią ż eń  konserwatywnych.  Oczywiś cie,  że  dla  bardziej wnikliwej  oceny  niezbę dne  są   badan ia innych ukł adów i przyjmowanie  do równ ań  wię kszej liczby  stopni  swobody.  Stosowanie  obcią ż eń  nawet  kilkakrotn ie  wię kszych  od  klasycznej sił y  eulerowskiej  wydaje  się   jedn ak  dopuszczalne,  o  ile  m am y  pewnoś ć,  że  zdefiniowany w  [3  i  6]  współ czynnik  ś ledzenia  r\  może  tylko  nieznacznie  odbiegać  od  jedn oś ci. KATEDRA  MECH AN IKI TECH N ICZN EJ POLITECH N IKI KRAKOWSKIEJ Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M .  BEC K,  Die  Knicklast  des  einseitig eingespannten  tangentialgedriickten  Stabes,  Z .  angew.  M at h .  F hys., 3,  3  (1952), 225- 228. 2.  B.  B.  EOJIOTH H j  HeKoncepeamuBHbie  3adauu  meopuu  ynpyioii  yctnomueocmu,  E3MaTni3, M C C K B B 1961. 3.  F .  10 .  JI>KAHEJIHJi;3E3  06  yanoUuueocmu  cmepoicnn npu  deucmeuu  cjiednuieu  CUJIU,  T pyflw  U e m i u r p . riojiH T .  HHCTHTyTa,  J\T°  192  ( 1958) ,  2 1 - 2 7. 4.  A.  G AJ E W S K I ,  Statecznoś ć  pewnych  niepryzmatycznych  i  niejednorodnych  prę tów  ś ciskanych  silą ś ledzą cą , R ozpr.  Inż yn.,  4, 14  (1966),  591- 608. 5.  Z .  KORD AS  i  M .  Ż YC Z KOWSKI,  Analiza  dokł adnoś ci  metody  energetycznej  przy  kinetycznym  kryterium statecznoś ci, Czasop.  Techn.,  9,  65  (1960),  1- 8. 6.  Z .  KORD AS i  M .  Ż YCZ KOWSKI,  On  the  loss  of  stability  of  a  rod  wider  a  super- tangential force,  Arch. M ech.  Stos.,  1.15  (1963),  7- 31. 7.  A.  KOWALSKI,  Statecznoś ć prę tów o skokowo zmiennym przekroju  ś ciskanych silą  ś ledzą cą , R ozpr.  Inż yn., 15(1967), 197- 209. 8.  H .  LEI P H OLZ ,  Anwendung  des  Galerkinschen  Verfahrens  auf  nichtkonservative  Stabilitatsprobleme  des elastischen Stabes.  Z . angew.  M ath .  P hys., 4, 13  (1962), 359- 372. 9.  H .  LE I P H OLZ ,  Uber die  Konvergenz des  Galerkinschen Verfahrens  bei  nichtselbstadjungierten  und  nicht- konservativen  Eigenwertproblemen,  Z .  angew.  M ath .  P hys.,  1,  14  (1963),  70- 79. 10.  H .  LE I P H OLZ , Grundzuge einer Stabilitdtstheorie fur  elastische Systeme  unter nichtkonservativer Belastung, Ing.- Archiv,  1,  34  (1965), 56- 68. 11.  M .  LEVIN SON , Application of  the  Galerkin and  Ritz  methods  to  nonconservative problems  of  elastic stabi- lity,  Z. angew.  M ath.  P hys.,  3,  17  (1966), 431- 442. 12.  E .  J I . H H KOJIAH ,  06yemounueoemu  npnMOAuneunou (p"opMupaeHoeecuHcaicamoeoucKpyneniwiocmepoic- HH,  H 3B.  Jlen im rp.  ITOJIH T.  H H C T . ,  31  (1928). P  e  3  IO  M  e yC JI OBH E  BE3OITACH OCTH  IIO  H AITPiD KEH H H M   B  H EKOH C EP BATH BH BIX ynpyroa raiiH hi  HeKOHcepBaTHBHHX n arpy30K  n p eBt m iaio T KaK npaBH Jio ci- ui B  cjryriae  cymecTBOBaHHfl  noTeHn,Kajia.  H a n p u M e p ,  KpH TniecKan: CHJia  fljw  oflH OdopoH H e  3aiiKeH H oro nofliKeHH}i MoryT noH BH Tbca  JI H 6O  B 3aiiopMyjinpoBaHO ycnoBH e 6e3omcHOCTH  n o HanpjDKenHHM, a Taioice flaiiŁi  rpa4>HiKaiomne  STO  ycjioBH e  n p a  pa3jiiM H bix  OTnomenH flx  flonydH M oro  HanpH>iiHKCHpoBaHHtiM   HanpaBjieHHeM, KOTopoMy  COOT- BeTCTByiOT  nonycTH Mbie  HanpH>KenHfl  K. S U M M A R Y STRESS  C RITERION   O F   SAF ETY  F O R  N ON - CON SERVATIVE  PROBLEMS  OF   ELASTIC STABILITY The  critical values of  non- conservative  loads  are, as  a rule, much higher  than those resulting from  a po- tential; for  instance, the critical  tangential  (i.e. remaining normal t o the end cros- section)  force  for  a  can- tilever  beam  exceeds  by  about  eight  times  the corresponding  eulerian  force.  In this respect, the problem  of applicability  of  these results  in engineering  practice becomes  of primary importance. In  the paper, the analysis  of  the stress distribution  in a vibrating  cantilever  beam loaded by  a  subcritical tangential  force  is  given. I n general,  the exact  equation  of  vibrations  of  the system  with  distributed  masses is  considered,  whereas  in  numerical  calculations  two  leading  modes  of  vibrations  are  taken  into account. It  is  shown  that the maximum  stress  occurs  either  at  the clamped  end of  the beam  or at  a certain interme- diate point  of the length  (local  maximum). The stress criterion of  safety  was  formulated  and shown  graphi- cally  for  various  ratios  of  admissible  stress  k  to  the  Young's  modulus  E.  The  results  are compared  with the  case  of  conservative  compressive  forces.  It  is  shown  that  the  admissible  force  exceeds  by  many  times the  corresponding  value  of  a  force  fixed  in  direction,  provided  the  admissible  stress  k  remains  the  same. P O LI T E C H N I K A  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10 grudnia  1966  r.