Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4 ,5 (1967) QU ASI- STATYCZNE  TE R M ON AP R Ę Ż E N IA  W  PŁASKOWN IKU   PRZEWOD ZĄ CYM   PRĄ D ELEKTRYCZN Y  I  OD D AJĄ CYM   C I E P Ł O  P R Z E Z  KON WEKCJĘ ED WARD   KĄ CKI  (ŁÓD Ź ) 1. Wstę p W  wielu  urzą dzeniach  elektrycznych  elementami  przewodzą cymi  prą d  elektryczny są   prę ty  o przekroju  prostoką tn ym.  Poza tak  charakterystycznymi  urzą dzeniami jak  szyny zbiorcze  w  rozdzielniach  czy  też  w  podstacjach  elektrycznych  spotyka  się   dość  czę sto w  róż nych  aparatach  czę ś ci  przewodzą ce  prą d  w  postaci  pł askowników.  N a  szczególną uwagę   zasł ugują   elementy  grzejne  znacznych  mocy  ogrzewają ce  bezpoś rednio  pewien roztwór.  D zię ki  zanurzeniu w  ką pieli  są   one intensywnie  chł odzone  i  stą d  powstaje  moż- liwość stosowania  znacznych  gę stoś ci  mocy, a  w  nastę pstwie  tego  moż liwość  powstawania nadmiernych  term on aprę ż eń.  W  szynach  zbiorczych  jak  i  w  wymienionych  czę ś ciach aparatów  przewodzą cych  prą d  elektryczny  spotykamy  się  —  szczególnie  w  przypadkach zwarć  i  przetę ż eń —  z  zagadnieniem  niebezpiecznych  naprę ż eń  mechanicznych  wywoł a- nych  polem  tem peratury.  Znajomość  quasi- statycznych  termonaprę ż eń pozwala  na zasto- sowanie  zabezpieczeń  przetę ż eniowych  o  dostatecznie  krótkim  czasie  reakcji. Wzory  wyprowadzone  w  niniejszej  pracy  dotyczą   prę ta nieskoń czenie dł ugiego  o prze- kroju  prostoką tnym,  którego  powierzchnie  boczne  oddają   ciepł o  do  otoczenia wg  prawa N ewtona  ze  stał ym współ czynnikiem  wymiany  ciepł a. Rozważ ania są   przeprowadzone przy  zał oż eniu, że parametry charakteryzują ce  materiał pł askownika  przewodzą cego  prą d  elektryczny  są   stał e  w  czasie  i  w  przestrzeni  a ponadto materiał  jest izotropowy.  G ę stość natę ż enia prą du elektrycznego jest jednakowa  w  każ dym punkcie pł askownika, zatem jest jedn akowa  w  każ dym  punkcie gę stość  mocy  zamienianej n a  ciepł o. Wymieniona  gę stość  mocy p  wynosi: (1.1)  P=j% gdzie  j  jest  gę stoś cią   natę ż enia  prą du  elektrycznego,  a  Q opornoś cią   wł aś ciwą   materiał u pł askownika. P raca  skł ada  się   z  trzech  zasadniczych  czę ś ci:  a)  zawierają cej  wyprowadzenie  funkcji okreś lają cej  zmienne  w  czasie  pole  temperatury  w  prę cie,  b)  stanowią cej  wyprowadzenie wzorów  okreś lają cych  pole  quasi- statycznych  termonaprę ż eń w  prę cie  podczas jego  styg- nię cia,  c)  zawierają cej  wyprowadzenie  wzorów  okreś lają cych  pole  quasi- statyczne termo- naprę ż eń  podczas  nagrzewania  się   pł askownika.  D la  wyznaczenia  quasi- statycznych termonaprę ż eń  posł ugujemy  się   potencjał em  termosprę ż ystym  oraz  funkcją   Airy'ego. 440  ED WARD  KĄ CKI M etoda  wykorzystana  w  rozważ aniach  był a stosowan a  do  rozwią zywania  kilku  prostszych przypadków,  mię dzy  innym i  dla  wyznaczenia  quasi- statycznych  term on aprę ż eń w  stygną - cym walcu  o przekroju  prostoką tn ym, nie mają cym  ź ródeł  ciepł a  [2, 6] oraz w  pł askown iku przewodzą cym  prą d  elektryczny  o  stał ej  tem peraturze  powierzchni  bocznych  [3]. 2. N ieustalone pole temperatury  w pł askowniku P rę t  o  przekroju  prostoką tn ym  2a X 2b  nieskoń czenie  dł ugi przewodzi  prą d  elektrycz- ny  o  stał ym  natę ż eniu.  Wszystkie  jego  pun kty  są   ź ródł ami  ciepł a  o  stał ej  gę stoś ci mocy  p  okreś lonej  przez  wzór  (1.1).  Ś ciany  boczne  x  =   ^ fa,  y  =   = Fb rozważ anego  pł as- kownika  oddają   ciepł o  do  otoczenia  wg  prawa  N ewton a  ze  stał ym  współ czynnikiem wymiany  ciepł a h (2.1)  A - ' |, gdzie  a jest  współ czynnikiem  przejmowania  ciepł a i  2 jest  współ czynnikiem  przewodnoś ci cieplnej  materiał u pł askownika. Pł askownik  znajduje  się   w  stanie  ustalonym  p o d  wzglę dem  cieplnym  aż  do  chwili t  =   0,  w  której  zostaje  odł ą czony  dopł yw  energii  elektrycznej.  Przestają   dział ać ź ródła ciepł a  rozł oż one  równomiernie  w  pł askowniku.  Począ wszy  od  chwili  t  =   0  pł askown ik stygnie.  Wyznaczymy  funkcję   T i(x,y,f)  okreś lają cą   pole  tem peratury  w  pł askowniku podczas jego  stygnię cia. F unkcja  T \ (x,y,f)  speł nia równanie  róż niczkowe: (2.2) warunek  począ tkowy (2.3) oraz  warunki  brzegowe 8 z T i 8x 2 -  +  • '  1 8 L T 8f ri( x [  1  oT { • K  dt.  ' ,y,0)  =  T o ( x,y) A CQ ( 2 . 4 ) .   , / OJ.   x>  /  ^ \   dy  ! y ^ - b  -   \ i(fL gdzie  X  oznacza  przewodność  cieplną   wł aś ciwą,  c  ciepł o  wł aś ciwe,  Q gę stość  m ateriał u. F unkcja  T 0 (x,y)  wystę pują ca  w  warun ku  począ tkowym  (2,3)  okreś la  rozkł ad tem pera- tury  w  prę cie  dla  stan u  ustalonego,  a wię c  dla  stan u jaki  istn iał  przed  odł ą czeniem  ź ródła energii  elektrycznej.  Z atem przed rozwią zaniem  równ an ia  (2.2) musimy  dodatkowo wyzna- czyć funkcję   T 0 (x,  y).  Jest  to  funkcja  speł niają ca  równ an ie  róż niczkowe  .  • 5 oraz  warunki  brzegowe QU ASI- STATYCZNE  TERMONAPRĘ Ż ENIA  W  PŁ ASKOWN IKU   4 4 1 F unkcję  r„ (x, j )  wyraż amy  w  postaci  podwójnego  szeregu  trygonometrycznego  [1], Ze wzglę du  n a symetrię warunków  cieplnych wzglę dem  osi x  =   0 oraz y  =   0, w jakich  znaj- duje  się  prę t, bę dą  w  wymienionym  szeregu  wystę powały  tylko  kosinusy (2.7)  T 0 (x, y)  =• -   ]?  ]?A„ m cos  N „xcos M,„y. n — \   m—l Z  warunków  (2.6)  otrzymujemy: (2.8)  N „ ~  —  ,  M„,  =   — , gdzie  y„ i  / („, są  kolejnymi  dodatn im i  pierwiastkami  równań (2.9)  Vntgy n   =  ah,  fi m tg/ i m =*bh. Wartoś ci  współ czynników  A w „  wyznaczamy  w. ten  sposób,  aż eby  funkcja  (2.7)  speł - niał a  równanie róż niczkowe  (2.5), skąd  mamy i n = l  m = l Jeż eli  do powyż szego  wyraż enia  wprowadzimy  oznaczenie (2.H)  .  E  - A  | i i  +  £fa| to  otrzymamy nastę pują cy  zwią zek  (dla  — a  <  x  <  a,  —b okreś lają cej  pole tem peratury w  stygną cym  pł askowniku,  tzn. funkcji  speł niają cej  równanie  róż niczkowe  (2.2)  oraz  wa- runki  (2.3)- (2.4).  Równanie  róż niczkowe  przewodnictwa  (2.2)  rozwią zujemy  metodą F ouriera  rozdzielenia zmiennych OO 00 (2- 15)  Ux,  y,  t)  =  ]?  ]?X n (x)Y m (y)T , m (t), n =   l  HI  =   I gdzie  funkcje  wł asne  X„(x),  Y m (y),  T nm (i)  speł niają  nastę pują ce  równania  róż niczkowe zwyczajne: X'n'(x)+ K 2 nXn(x)  =   O, (2- 16)  YX(y)+ IlYm(y)  =   O, T ' nm (t)+(K 2 n +L l)T nm (t)  =  0. P o  rozwią zaniu  powyż szych  równań  róż niczkowych  i  uwzglę dnieniu  warun ków  brze- gowych  (2.4)  otrzymujemy (2- 17)  Kn= ?± = Nn,  L m  =  ^ =M n i  wówczas funkcja  (2.15) przybiera  postać (2.18)  T i {x,y,i) n = l  m- 1 gdzie  y„ i  fj, m   są  kolejnymi  dodatnimi pierwiastkami  równań (2.9). Wartoś ci  współ czynników  B„ m   wyznaczamy  z  warunku  począ tkowego  (2.3) ^Ł   i i  siny„sinM,„cos  —x c o s ^ - v "  b Koń cową  zatem  postać  funkcji  7\ (;*:, y,  i)  okreś lają cej  pole  tem peratury  w  stygną cym pł askowniku wyraża  wzór: Obecnie  zajmiemy  się  wyznaczeniem  funkcji  T 2( x, j ,  <),  okreś lają cej  pole temperatury w  pł askowniku podczas  nagrzewania  się  wskutek  przepł ywu  prą du  elektrycznego  o stał ym QU ASI- STATYCZNE  TERMONAPRĘ Ż ENIA W PŁ ASKOWN IKU   4 4 3 natę ż eniu.  T em peratura  począ tkowa  cał ego  prę ta  równ a  jest  tem peraturze  otoczenia i  wynosi  zero,  T z (x,  y, 0) =   0. W chwili  t =  0 zostaje  wł ą czone ź ródło energii  elektrycznej, zatem  dla t >  0  każ dy  p u n kt  pł askown ika  jest  ź ródł em  ciepł a  o  stał ej  gę stoś ci  mocy  p [por.  (1.1)]. Analogicznie ja k  w poprzedn io rozpatrzon ym przypadku  stygnię cia  powierzch- nie  boczne  prę ta  oddają  ciepł o  do  otoczenia  wedł ug  prawa  N ewton a  ze  stał ym  współ - czynnikiem  wymiany  ciepł a h  [wzór  (1.2)]. F un kcja  T 2 (x,y,t)  speł n ia  równ an ie  róż niczkowe  czą stkowe (2.20) 8 2 T 2 8x 2  + warunek  począ tkowy (2.21) oraz warun ki  brzegowe l8T 2 \   8x (2.22) •   \ 8y hT   ifll  %\ 1  hT a  po n adt o warun ek  graniczny (2.23) 1 8 2 T 2 8f T '- a,y (v  h i m T 2 ( 1 y 2 (x, , 0  = . 0- x,y 8T 2 8t y,o) = i 1  2 \ 8x (8T 2 \ 8y P X' =   0 1 x=a )y=b r o(x, X y& —  ——»^ \ - hT 2 (a,y,t)  = 0, \ - hT  (v  h  i\   0 f- ni2{ x >  " J  <• )  —  u t—yco Z  wyż ej  podan ych  warun ków  wynika,  że funkcją  T 2 (x,  y, t) jest  róż nica  wyznaczonych już  funkcji  T 0 (x, y)  i  T i(x,  y,  t),  a  więc  róż nica  T 0 (x,y)—T i(x,  y,  t) speł nia równanie róż- niczkowe  (2.20)  oraz  warun ki  (2.21)- (2.23) T 2 {x, y,  t) =  T 0 (x,  y)- T i(x,  y, i). Koń cowa postać funkcji  T 2 (x,y,t)  jest  nastę pują ca: (2.24)  T 2 (x,y,t)=- A n = {  m = \ £L sin yn  si n ^ m c o s—x c os  - j- yl  1—exp  —1 - ~ 3. Pole  quasi- statycznych  termonaprę ż eń  w  pł askowniku podczas jego  stygnię cia D la  wyznaczenia  quasi- statycznych  term on aprę ż eń ff tJ  posł uż ymy  się potencjał em ter- mosprę ż ystym  0  oraz  funkcją  Airy'ego  F. Jak wiadom o  z  teorii  termosprę ż ystoś ci  [5], poten cjał   term osprę ż ysty  ^ 2 G (3.6)  , - 1 — xc o s ! a tn  ex f_(ii  +   ^) J fe  ' [   \ a 2  b2)  J A«2 ? i = l  m —1 2(7 QU ASI- STATYCZNE  TERMONAPRĘ Ż ENIA  W  PŁASKOWN IKU   4 4 5 82< P 8x8y - ^ xsir, Xab  —x  —i a xz   =   0,  a yl   = 0 . P rzed  wyznaczeniem  funkcji  Airy'ego  musimy  okreś lić  wartoś ci  naprę ż eń a xx   i  a xy   na po- wierzchni  x  —  a  oraz  n aprę ż eń ff,,, i ffxy na powierzchni  y  =  b. m = l (3. 7) 4(y„,  Osin  ~ gdzie 21- y„ sin y„ (  A 446  E D WAR D   K Ą C KI s i n ^ e x p  I  — '• —% ttt ił 2   + Poszukujemy  n a p r ę ż enc speł niają cych  warunki  brzegowe: 0 xy (a,  y, i) =  a xy (x,  b, t) =   0, (3.9) <*xx(a> y,  t)  =  G „ m  =   fi(b,  a, / u.,,,,  y„),  Hmn  =  fz(b,  a, pm  yn), by n   _  b i  Z iL p / "ra  \ J  "'"  Ay,,  "'"'  y „ \   b Otrzymujemy  w  koń cu  nastę pują cy  ukł ad  równ ań ,  w  którym  niewiadomymi  są  współ - czynniki  A„„ B„„C„  i  D„ wystę pują ce  w  funkcji  Airy'ego  (3.11) -   \ A m ch  ^ - / ji m +B m fi m ^ - sh^ - fi m )  +   /   C„E nm ~\ - D n \ 2E nm Ą - ^ - F nm )  cosy„   = (3.13)  l  b  b  b  '  ^ i l  \   °  n - ^ » r f ),  w -   1 , 2 , . . . (3.14) + 5m / u, „ t  ch - J/ /m +   V  C„A:„ m+ i)„  LK - „ „ , +^ £ „ „ )  siny = I 5 = i  L  \   «  / J oo ] ?  U„M„„,+ Ą„ ^ ( | ^ .  —1, 2, 4  M ech an ika  teoretyczn a 448  EDWARD   KĄ CKI Zależ noś ci  (3.14)  stanowią   nieskoń czony  ukł ad  równ ań .  Jeż eli  ograniczymy  się   w  sze- regu  (3.11)  przedstawiają cym  funkcję   Airy'ego  do  k  pierwszych  skł adników,  to  uzyskamy ze zwią zków  (3.14) ukł ad  równań zł oż ony z 4/c równ ań liniowych  o niewiadomych  A m ,  B„„ C„  i  D„  dla  m  =   1, 2, 3, ...k  oraz  n  —  1,2,  3,.../ c.  P o  rozwią zaniu  wymienionego  ukł adu równań  moż emy  napisać  przybliż oną  postać  (3.11)  funkcji  F,  a  nastę pnie wyznaczyć  war- toś ci  naprę ż eń a,j z  zależ noś ci Obliczone  wartoś ci  naprę ż eń  ze  wzorów  (3.15)  dodajemy  do  n aprę ż eń  przedstawionych zależ noś ciami  (3.6) i stą d  otrzymujemy  szukane  naprę ż enia  (3.3). 4. Pole quasi- statycznych termonaprę ż eń w pł askowniku podczas jego nagrzewania P ole  tem peratury  w  pł askowniku  podczas  jego  nagrzewania  się   wskutek  przepł ywu prą du  elektrycznego  o  stał ym natę ż eniu jest  superpozycją   dwóch  pól,  mianowicie  pola  dla stanu  ustalonego  oraz  nieustalonego  pola  tem peratury  dla  stygną cego  pł askown ika  po wył ą czeniu  dopł ywu  energii  elektrycznej.  Z  wymienionego  'powodu  funkcja  T 2 (x,y,t) okreś lają ca  pole  tem peratury  podczas  nagrzewania  się   rozważ anego  prę ta  jest  róż nicą funkcji  T Q (x,y)  i  T i(x,y,t)  [por. wzór  (2.24)] T 2 (x, y, t) =  T 0 (x, y)- T i(x,  y, t), gdzie  T 0 (x, y)  =   Z ifo y. O ) . Chwilowe  wartoś ci  quasi- statycznych  term on aprę ż eń  nie  zależą   od  kierun ku  zm ian naprę ż eń  w  czasie,  lecz  są   w  jednoznaczny  sposób  przyporzą dkowane  poszczególnym pun ktom przestrzeni dla każ dego  z chwilowych  pól tem peratury. Stą d nastę pują cy  wniosek, że polu  tem peratury  bę dą cemu  superpozycją   kilku  pól  odpowiada  pole  quasi- statycznych termonaprę ż eń  bę dą ce  superpozycją   odpowiednich  pól  n aprę ż eń.  M oż emy  zatem  n apisać, że wartość  term onaprę ż enia a,*  dla  nagrzewają cego  się   pł askown ika jest  róż nicą   n aprę ż eń Oij(x,y,0) oraz  ffjj(x,y,t),  gdzie  funkcja  K . KypH.3  7,  3, 1964. 8. A,  H . TICH ON OW, A. A.  SAMARSKI, Równania fizyki  matematycznej,  P WN , Warszawa  1963. P  e 3  JO  M  e TEPMIMECKHE  HECTAUHOHAPHBIE  H An M H E H I M   B  EPYCE  C  IIPilMOyrOJIBH BIM CE'qEHHEM   nPOBOflHIUHM   SJIEKTPH^ECKHK  TOK  H   OTflAIOIIIHM   TEnJIO  t- IEPE3 nOBEPXHOCTB B  pa6oTe  naHfleHbi  (byH Kipin  o(x,y,  1) onpeflejiH iomne  TepMH^ecKtie  H ecTaiyioiiapH Łie HanpH>iKeHHH  Bbi3BaH bi  HarpeBOM  BCjieflCTBue  npoxo>KfleHHH DJieiCTpu^ecKoro  TOKa  nocTonnH OH   C H JI H   H   nocjieflyioinH M   oxna>KfleHHeM   n ocjie  BbiKjiioMenHH   TOKa. ITpHHHMaeTCH,  ^ T O  oTfla^ia  'ren n a  B OKpy>Kaiom;ee  npocTpaH ciBO  *iepe3  6oKOByio  noBepxnocTB  npoHCXo- 3H T  B  cooTBeicTBMH   c  3aK0H0M   H tioTOH a.  TIpeflnojiaraeTCH j  MTO  napaM eTpbr  xapaKTepn 3yiom n e  Ma- :  6pyca  nocTOHHHbi BO BpeiweHu  a  n o KOopflHHaTSM. iwie  Hanpa>KeHHfi  Haiłflei- iŁi  n p n  noMomH   n o iet m n ajia  TepM oyn pyrux  nepeMemeH H H   0, a  TaioKe (bynKitH n 3 p n  F. S u m m a r y QUASI- STATIC  TH ERM AL  STRESSES  I N  A  BAR  O F   RECTAN G U LAR CROSS- SECTION CON D U CTIN G   ELECTRIC C U RREN T AN D   EXC H AN G IN G  H EAT  BY  CON VECTION Quasi- static  state of stress  in  the  bar  is  determined  with  the  aid  of  the  Airy  stress  function  and  the G oodier  potential  of  thermo- elastic  displacement.  Both  the  heating  and  cooling processes  are considered. It has  been  assumed  that at  the lateral surfaces  the heat flow  is proportional to the temperature; all  physical parameters  of  the  material are independent of  temperature and constant throughout the  body. POLITECHNIKA  ŁÓDZKA Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 10 stycznia 1967 r.