Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  5  (1967) SKOŃ CZONE  OD KSZTAŁCEN IA  WIOTKICH   OSIOWO- SYMETRYCZN YCH   POWŁOK W  Ś WIETLE  TEOR I I  PŁYN IĘ CIA  PLASTYCZN EG O J AN U SZ  O R K I SZ  ( K R AK Ó W) 1.  P rzedm iotem  naszych  rozważ ań  jest  stan  równowagi  wiotkiej  osiowo- symetrycznej powł oki  zdolnej  do  przen oszen ia jedyn ie  naprę ż eń rozcią gają cych  i mogą cej  pod  wpł ywem obcią ż eń  w  istotn y  sposób  zm ien iać  swą   formę , ja k  też  ulegać  znacznym odkształ ceniom niesprę ż ystym.  We  wszystkich  dotychczasowych  pracach  poś wię conych  tem u  zagadnieniu (por.  [11])  zwią zki  fizyczne  przyjmowano  w  formie  zależ noś ci  pomię dzy  skoń czonymi wielkoś ciami  n aprę ż eń  i  odkształ ceń.  N ajczę ś ciej  był y  t o  tzw.  równania  N adaia- D avisa (por.  [2, 3, 9]) (1.1)  e 1 = L - Y( gdzie  e it e z ,  e 3   są   odkształ cen iam i  gł ównymi  w  mierze  logarytmicznej  H encky'ego, O\ ) 02>tf3  rzeczywistymi  n aprę ż en iami  gł ównymi,  a  0  znaną   funkcją   odkształ ceń zależ ną od  przyję tego  warun ku  plastycznoś ci. Z astosowan ie  tych  równ ań , wygodne  z uwagi  n a  ich wzglę dnie  prostą   postać, powinno jedn ak  podlegać  pewn ym  ogran iczen iom , jak  bowiem  wiadom o już  przy  mał ych  odkształ - ceniach  równ an ia  teorii  plastycznoś ci,  wią ż ą ce  skoń czone  wielkoś ci  naprę ż eń  i  odkształ - ceń,  tylko  wtedy  zadawalają co  opisują   fizyczny  stan  ciał a,  gdy  realizowany  jest  przypadek tzw. prostego  obcią ż enia. N at o m iast przy  odkształ ceniach skoń czonych  to  już  nie wystarcza i  wymaga  się ,  aby  w  procesie  obcią ż ania  skł adowe  stan u  naprę ż enia rosł y proporcjonalnie (por.  [9]). Warun ek  ten , choć by  z  uwagi  n a znaczne zmiany  geometrii powł oki, w  naszym przypadku  najczę ś ciej  nie  jest  speł niony.  Rzutuje  to  oczywiś cie  n a  rezultaty  otrzymane za  pom ocą   równ ań  (1.1)  oraz  uzasadn ia  próby  skorzystania  z  bardziej  precyzyjnych zwią zków  fizycznych  (por.  [5]).  Zwią zki  takie,  podobn ie jak  i  równania  (1.1), zapropo- nowali  E. A.  D AVI S  [3] i A.  N AD AI  [9] po  przeprowadzeniu  eksperymentów  z  cienkoś cien- n ym i  m etalowym i  ru ram i  w  zł oż on ym  stanie  n aprę ż en ia.  Stanowią   one  ekstrapolację równ ań  de  Saint- Venanta  pł ynię cia  plastycznego  n a  przypadek  skoń czonych odkształ ceń i  mają   p o st ać: (1.2) j =   ff!- - i ds3 =   U - y 5  Mechanika  teoretyczna 464  JAN U SZ  ORKISZ gdzie  de it dE 2 >dEi  oznaczają   przyrosty  logarytmicznych  deformacji  spowodowan e  przy- rostem  obcią ż enia.  Jeś li  wprowadzimy  poję cia  intensywnoś ci  rzeczywistych  n aprę ż eń (1.3)    0,  a 2   >  0),  b)  naprę ż enie  pierś cieniowe  zeruje  się  i  powstają fał dy  (  0,    0  i  a 2   >  0. P odstawowy  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  okreś lają cych  stan  tej  powł oki  otrzymamy  ze zwią zków  geometrycznych,  fizycznych  oraz  równ ań  równowagi. •  Posł uż ymy się przy  tym ustalon ym  ukł adem współ rzę dnych X,  Y  (typu  Eulera) zwią zanych  z  nieruchomymi punk- tam i  w  przestrzeni  i  opisują cymi  formę  powł oki  odkształ conej  oraz  współ rzę dnymi  r, £ (typu  Lagran ge'a)  sztywno  zwią zanymi  z  czą stkami  powł oki  i  ich  poł oż enie  w  stanie n ieodkształ con ym.  Wprowadzam y  przy  tym  nastę pują ce  wielkoś ci  bezwymiarowe  (por. rys.  1): X  Y  H x  p  >  y  ~ p ~ '  T S  > j.  r_  C  ,   m  _ _  ^ ±   _ • # _ _ / * S   T , J  'J  T J )  J  ' J\ i)  ~"  TT  '  U  IT  "  /   S (2.1)  Q n   =   Q n (x,  y,  t) =  ~^ ~  q n (X,  Y,  t), _  . _  l-   „   _  2  „   _  i Pl  —  " ^ r !  P2  —  —p?s  Pi  —  ~ĵ j gdzie H x   i H  oznaczają  odpowiedn io  grubość  powł oki przed i po  odkształ ceniu, q„(X, Y, t) i  q s (X,  Y, t) —  obcią ż enia  przypadają ce  n a jedn ostkę  powierzchni  w  kierunku normalnym i  poł udn ikowym,  stycznym  do  powł oki  odkształ conej,  R t   —  dowolny  rozm iar  charak- teryzują cy  powł okę przed  odkształ cen iem;  H w   —  grubość  począ tkową  powł oki w  pewnym ustalon ym  pun kcie,  t —  bezwymiarową  zmienną  charakteryzują cą  wzrost  obcią ż eń  w pro- cesie  obcią ż ania.  P o n ad t o , jeś li  dan e  są  wymiary  powł oki  w  stanie  nieodkształ conym, to / ( | ) jest  znaną  funkcją  swego argum en tu. W  powł oce  zakł adamy  pł aski  stan  n aprę ż en ia.  Jeś li  przez  1, 2, 3  oznaczymy  odpo- wiednio  kierun ki  gł ówne —  poł udnikowy,  równoleż nikowy  i  normalny  do  powł oki,  to (2.2)  p 2 , lub (2.7)  p 2   =   (|ge2- fi3!)(fi2—83).  przy  Pz>Pi- W  konkretnych  zastosowaniach  zależ noś ci  (1.6) i  (1.7)  najczę ś ciej  aproksymujemy za  pomocą  krzywych  dwuparam etrowych.  I tak  dla  potę gowego  wzm ocnienia,  zakł adając odpowiednio (2.8)  a t *=Ke?  lub  oj = JS:|«,- «»|', mamy  stąd (2.9)  £(«() =   s?- 1  lub dla liniowego  zaś  wzmocnienia (2.10)  ff,  =   ^ ( 1 + ^ e j)  lub otrzymujemy (2.11) ef'+A  lub  ^ 8 , - 8 3)  =   ( «; -   S 3 ) + , gdzie y  oznacza wskaź nik  wię kszego  z naprę ż eń .Pi i p 2 -   M odel  ciał a  idealnie  plastycznego otrzymamy  przyjmując  w tych wzorach  f,i = 0 lub A =  0. SK O Ń C Z O NE  OD KSZ TAŁ C E N IA  WI O T K I C H   OSIOWO- SYM ETRYCZ N YCH   P O WŁ OK  467 W  procesie  obcią ż ania  zarówno  naprę ż enia  jak  i  odkształ cenia  bę dą  funkcjami  nie tylko  poł oż enia,  ale  także  zmiennej  t  opisują cej  przebieg  tego  procesu  w  czasie.  Jako zmienne niezależ ne  przyjmiemy  w  przypadku  współ rzę dnych  Lagrange'a  f,  t,  w  przy- padku  zaś  współ rzę dnych  Eulera  x,  t.  Ponieważ  x  =  x  (£, i),  a  f  jako  sztywno  zwią zane z  czą stką  nie zależy  od  t, t o  przy  róż niczkowaniu  pomię dzy  tymi zmiennymi zachodzi re- lacja 8_  1  8 ( 2 •  >   Jx Równania  geometryczne  powł oki  ukł adamy  dla  dowolnego  ustalonego  stanu  obcią- ż enia  (co  odpowiada  ustalonej  wartoś ci  i).  Przy  przyję ciu  współ rzę dnych  Eulera  x, t mają  one postać  analogiczną  jak  w  pracy  [11] F unkcje  y>  i cp  oznaczają  tu  (por.  rys.  1) ką ty  zawarte  pomię dzy  osią  x  a  styczną  do po- wł oki  odpowiednio  w  stanie  nieodkształ conym i  odkształ conym.  >• N a  podstawie  wzorów  (2.13)  moż emy  obecnie  obliczyć  przyrosty  odkształ ceń  de lt de 2   i  de 3   wywoł ane  przyrostem  obcią ż eń  odpowiadają cym  dt.  N ależy  tu  zwrócić  uwagę, że  ponieważ  przy  skoń czonych  odkształ ceniach  przyrosty  te  (oznaczane  dalej  przez  S) dotyczą  ustalonej  czą stki  powł oki,  to  najczę ś ciej  (procesy  niestacjonarne)  nie  są  one róż niczkami  zupeł nymi i  traktowan ie  ich  jako  takich  był oby  bł ę dne.  Wyją tek  stanowi przypadek,  gdy  współ rzę dne  Eulera  opisują ce  kształ t  powł oki  nie  zależą  od  czasu.  Od- powiada  to  n p.  niektórym  stacjonarnym  procesom  obróbki  plastycznej  jak  obciskanie lub  przecią ganie  nieskoń czenie  dł ugich  rur  cienkoś ciennych,  kiedy  forma  matrycy, a  więc  i  powł oki,  nieu  lega  zmianie  z  czasem.  Stan  powł oki  opisują  wówczas  zwyczajne równania  róż niczkowe,  a  rozwią zanie  problemu  jest  szczególnie  proste  (por.  [7,  8]). W  ogólnym  zaś  przypadku  we  współ rzę dnych  Lagrange'a  |,  t  mamy: (2.i4)  dsi=irdt>  de>=iźdt>  de*  =  ^ 7dt- Wobec  (2.13)  otrzymujemy  zatem  [por.  (2.12)] F izyczne  równanie  (2.3)  m oż na  obecnie  [wykorzystując  (2.4)] zapisać  w  postaci (2- 16)  u( Pl +p 2 )  ^  +x(2p 2 - pd  ~  -   0. Równania  równowagi  ukł adamy  dla  elementu  powł oki  w  stanie  odkształ conym  przy • ustalonej  wartoś ci  t.  Wówczas  w  ukł adzie współ rzę dnych  (x, i)  ich  postać  (por.  [4, 5, 7]) (2.17)  A  (xh Pl ) =  ^   f(xh Pl )  =  hp 2   + 468  JAN U SZ  ORKISZ jest analogiczna jak  w pracy  [11], przy czym pochodne djdx  zastą piono przez djdx.  Również w ukł adzie x,  t zapisujemy  zwią zek  (por. rys.  1) (2.18)  ~ :   = tg(p. Równania  (2.4), (2.13), (2.16), (2.17)  i  (2.18)  moż na  sprowadzić  do  ukł adu  pię ciu quasi- liniowych  czą stkowych  równań  róż niczkowych,  które  dla  zmiennych  niezależ- nych  i,  t mają   postać: dx  i  cosc5  dy  i  sinę ? di  ux  cosy'  di  ux "  UX*  COSy  \ ^ 2  *V  >COSC>/   /   dV (2.19) i?1. i _ -   ^  c o s y  /   _  i u  di~~  ux 2  cosy  \ Pz  'Pl^ dx  ,  ,-   N <9«  _ Jak  moż na  wykazać  (por.  [1]) jest  to  ukł ad  hiperboliczny,  a  jego  charakterystykami  są linie  |  =   const  i  t  =   const.  N iewiadomymi  są   tu  funkcje  x(i,  t), y(i,  t), cp(i,  t), u{i,  t), Pi(i,  t),p z {i,  t).  Brakują ce  szóste  równanie  ma  charakter  algebraiczny  [por.  (2.4), (2.13)] i zależ nie  od przesł anek fizycznych  przyjmuje  postać  (2.5), (2.6) lub  (2.7). W  szczególnym  przypadku,  gdy  Q s   =   0  i  Q„ =   Q  =   const,  czwarte  z  równ ań  (2.19) daje  się   rozwią zać  efektywnie  [por.  (2.17)] i  zapisać  w postaci (2.20)  ze^L przy  czym jest  bezwymiarowym  odpowiednikiem  wypadkowej  P  sił   zewnę trznych  dział ają cych  bez- poś rednio  n a dno lub krawę dź powł oki. Czę sto  wygodniej  jest,  gdy  jako  zmienne  niezależ ne  obierzemy  (por.  rys.  1)  nie  i,  t, lecz  i],  ł   (np.  powł oka  walcowa).  Wówczas  odpowiednie  równania  bę dą   miał y  postać taką   samą   jak  poprzednio,  z  tym  że  pochodn e d/ di  należy  zastą pić  przez  bjdr\ , a  co sy przez sin y.  D la powł oki walcowej  i  =   sin y  =   1. 2.1.  W  przypadku  gdy  a x   >  0, a 2 =  0,  z  uwagi  n a  t o , że  w  procesie  obcią ż ania  naprę - ż enia  gł ówne pozostają   wzajemnie  w  stał ej proporcji (2.22)  - 2l  =   i i  =   0, Ci  ffi ukł ady  równań fizycznych  (1.2) i  (1.3) pokrywają   się   i  rozwią zanie  przebiega  analogicznie jak  w pracy  [11]. SK O Ń C Z O NE  OD KSZ TAŁ C E N IA  WI O T K I C H   OSIOWO- SYM ETRYCZ N YCH   P O WŁ OK  469 Z astosowanie  równ ań  teorii  pł ynię cia  plastycznego  wymaga  (ze  wzglę dów  fizycz- nych)  istnienia  niezerowego  stan u  wyjś ciowego,  w  którym  naprę ż enia  osią gają  gra- nicę  plastycznoś ci.  Stan  ten  (oznaczony  *)  przy  t  =  0  determinuje  warunki  począ t- kowe  dla  ukł adu  (2.19): x($,  0)  =   x*( l) ,  y(ft  0)  =   y t   (i),  «(f,  0)  =   « < p(t,  o)  =   ^( i ) ,   Pl(i,  o)  =   Plt® ,  / >*(!, o)  = N ajbardziej  typowe  przypadki  warunków  brzegowych  to  (por.  [11]): a) Wierzchoł ek  kopuł y (3.2)  x( 0 , 0  =   0,  y ( 0 , 0 - 0,  F=0  oraz  x(ft,  0  -   ft, gdzie  JF  wyraża  się  wzorem  (2.21).  Z  warunku  równowagi  sił   dział ają cych  n a  brzeg  po- wł oki  |  =   f o  wynika,  że  ogólnie (3. 3) lo, O/>i(fo, 0  ' W  przypadku  wierzchoł ka  kopuł y  obliczamy  stąd  99(0, i)  =   0,  a  nastę pnie  [por.  (2.13)] £ l ( 0,  i)  =   £ 2(0, t)  i  n a  tej  podstawie  [por  (2.3)] mamy p^ O,  i)  = p2(0,  t). b) N ieodkształ calne dn a ze  swobodą  przesuwu (3.4)  .  x( f 0 , 0  =   f0,  j(^o, 0  =   0,  F =   Ą  oraz  x(ft,  0  =   ft. Z  równania  (3.4)  obliczamy  wówczas  93(̂ 0, t),  a  nastę pnie  podobnie  jak  poprzednio c) N ieprzesuwne  nieodkształ calne dna (3.5)  x(ft,,  0  =   fo,  J'Cfo, 0  =   0  oraz  jc(ft,  0  =   ft,  y(ft,  0  » P odobnie jak  w  poprzednim  przypadku  ^i( 0, 0  =   2^2(0, 0> nie  znamy  natomiast  sił y .F(0 i  co  za  tym  idzie  ką ta  c>(£0> 0- d) D an e odkształ cenie n a brzegu  x(f0,  i)  =  x0  — const. Pozostał e warunki  jak  w  przy- padku  b),  a więc  inaczej  niż to wynika  z teorii odkształ ceniowej  (por.  [11]), gdzie p s   =   kp 2 , przy  czym  dla  x 0   ^  | 0  k  i=-   2. e) Odkształ calny  kon tur.  Warun ki  brzegowe  dla  odkształ calnego  konturu  mogą  być róż nie  sformuł owane  zależ nie  od  konkretnego  problemu  fizycznego,  jak  np.  rozcią gliwy pierś cień  na  brzegu,  odkształ calne  denko,  podatne  zł ą cze  dwóch  róż nych  powł ok  itp. Wspólną  cechą  tych  warunków  jest równość przyrostów  odkształ ceń brzegowych  powł oki de' 2   i  kon turu  de' 2 '  oraz  równość  odpowiadają cych  im  wypadkowych  sił  F'  i F"  oraz prom ien i  x'( £ 0, t)  =   x'\ ia,  t).  P on adto  jak  poprzednio  zakł adamy  j( £ 0 ,  0  =   0  oraz *(ft, 0 =   ft- W  przypadkach  a,  b,  d,  e  przyję to,  że  na  drugim  koń cu  powł oki  znajduje  się  prze- suwne  nieodkształ calne  dn o.  Zgodność  warunków  począ tkowych  (3.1)  z  warunkami brzegowymi  a- e  w  punkcie  brzegowym  (0, 0)  jest  zawsze  zachowana  z  wyją tkiem relacji  pomię dzy  naprę ż eniam i,  gdzie  zgodność  tę  należy  każ dorazowo  oddzielnie wykazać. 470  JAN U SZ  ORKISZ 4, W charakterze przykł adu rozważ ymy  przypadek  powł oki walcowej  o liniowo  zmien- nej gruboś ci  ś cianki w stanie nieodksztalconym . Wewną trz  tej powł oki znajduje  się  sztywny rdzeń,  którego  ś rednicę  stopniowo  zwię kszamy  powodując  w ten  sposób  powstan ie w niej skoń czonych  odkształ ceń plastycznych.  Wywoł ane  przy  tym tarcie  uwzglę dniamy  w obli- czeniach.  Jako  zmienną  charakteryzują cą  rozwój  odkształ ceń  przyjmujemy  prom ień powł oki  (x =  i), przy  czym x ^   1. W m iarę  odkształ ceń wolne  koń ce  powł oki  przemiesz- czają  się ku jej  ś rodkowi,  musi  zatem  istnieć  jakiś  p u n kt  n ieruchom y  rj*. Jak się przy tym  okazuje  dla  rj <  rj^  (I czę ś ć) i dla r\   >  rj^  (II czę ś ć) przemieszczenia  nastę pują  w prze- ciwnych  kierunkach,  a  więc  sił y  tarcia  mają  przeciwne  zwroty.  P rawo  tarcia  (wg  Cou- lomba), zmianę gruboś ci  ś cianki  przed  odkształ ceniem i warun ek  plastycznoś ci  zakł adamy w postaci: (4.1)  Q s  = kQ„,  f(rj) =   1+ a ?j,  p 2 =p, gdzie  poszczególne  symbole  oznaczają  k i= 0 — współ czynnik  tarcia,  a #   0 — bezwy- miarową  stał ą, p =  con st — granicę  plastycznoś ci.  P on ieważ  oba koń ce  powł oki  (rj =  0, rj =  fji) nie są obcią ż one, t o prócz  zachowania  cią gł oś ci  n a granicy  stref  m am y  warun ki brzegowe (4.2)  ^ ( 0 , x) =  0,  p y {j\ h   x) =  0,  yirj*, x) =  ^ oraz  począ tkowe (4.3)  ho =  h(v.  O =   1+ «»?.  y  P- SK O Ń C Z O NE  OD KSZ TAŁ C E N I A  WI O T K I C H   OSIOWO- SYM ETRYCZN YCH   P O WŁ O K  471 Wprowadzają c  nową   funkcję   z =   hx2  z  (4.7) i  (4.8) dostajemy  równanie 8z  „   B—z 4- 9  x &  =   3 z F 2 ? ' którego rozwią zaniem przy  warunku począ tkowym  (4.3)  jest  funkcja (4.10) Stą d  otrzymujemy (4.11)  / !  = y Jak  widać /̂  monotonicznie wzrasta w sposób nieograniczony wraz z ??. Ponieważ z uwagi na  warunek  plastycznoś ci  p 1   <   }?,  to  maksymalną   dł ugość  r\  czę ś ci  powł oki  opisywanej równaniami  (4.11)  wyznaczamy  z  warunku p t   =p,  który  prowadzi  do  równania  przes- tę pnego (4.12)  ^ | l  +  y ^ - / c / l + y ^ - a (l  +   ai?)xfc'T ( 1+ T ^)  = 0 . Zał oż ymy,  że  rj — ?]%  ś ^ rj  jest  punktem  nieruchomym  i  zajmiemy  się   obecnie  drugą czę ś cią  powł oki, gdzie  r\  >   rj^ .  Warunek cią gł oś ci dla pierwszego  z równań (4.7) (znak —) ma  postać (4.13)  jp N a  tej podstawie  po scał kowaniu dostajemy (4.14)  J Warunek brzegowy  (4.2) dla.pi(rj t , x) bę dzie speł niony przy =  — ( l / •  —J ? „  —1 ,  czyli (4.15) ską d  widać, że poł oż enie punktu nieruchomego ??* nie zmienia się  w procesie  deformacji. Z  drugiego  z równań (4.7) oraz na podstawie  (4.14)  otrzymujemy 2pB • V 472  .  JAN U SZ  O R K I SZ Cał kują c  trzecie  z  równ ań  (4.7),  przy  warun ku  brzegowym  (4.2), m am y  wię c 1 + g ł ?  T d ^  dla  0 < ^ dr\   dla (4.17)j>fo.*)  = 1-J Stą d  zaś  moż emy  obliczyć  cał kowitą   dł ugość  powł oki  p o  odkształ cen iu:  y(rj h   x)—y(0,  x). Literatura cytowana w tekś cie  * 1.  H .  C .  EEPE3HA,  H . n .  5KHflKOBj  Mcmodhi sumic/ iemiu, n3MaTrn3, 2,  MocKBa 1962. 2.  E. A.  D AVI S,  Increase of  stress  with permanent  strain  and stress- strain relations  in  the plastic  state  for copper under combined stresses, Tran s. ASM E , 65 (1943). A- 187. 3.  E. A.  T )kvis,Yielding  andfracture  of medium  carbon  steel  under  combined  stress,  J.  Appl.  M ech.,  1,12 (1945). 4 .  A.  C . F PH rOPLEB, Paeuoeecue  Se3MOMeHnmoii  OÓOAOHKU  Bpaiaemin npu Gojibiuux  decfiopMaijunx,  I I p n i u i . M aT.  M ex.,  6,  21 (1957). 5.  A. S.  G RIG ORIEV,  T he Stress  State  and the  Carrying  Capacity  of  Flexible  Plates  and Shells  at  L arge  De- formations,  N orth- H olland  P ubl.  C o., Am sterdam ,  P WN , Warszawa  1964,  repr.  N on- classical Shell P roblems. P roc. IASS  Symp., Warsaw,  Sept. 1963. 6. R.  H I L L , A  theory of  the  plastic  builging of  a metal diaphragm  by  lateral pressure, P hil.  M ag., Ser. 7,  51, N ovembe  1950,1133. 7. O.  H OF F M AN , G . SAC H S,  Introduction  to  the  T heory of  Plasticity  for  Engineers,  M cG raw- H ill  Book C o., 1953. 8.  H . H .  MAJlMHHHj  Bojioueime  mpyd  uepe3  KouunecKue  Mamputfu,  H 3B.  AH   C C C P ,  MexanH Ka3  5, 1965. 9. A.  N AD AI ,  T heory of Flow and  Fracture of  Solids, N ew York- Toron to- Lon don  1950. 10.  J.  O R K I SZ ,  Problem  odcią ż enia obrotowo- symetrycznych  powł ok  w stanie  bł onowym przy  duż ych odkształ - ceniach niespreiystych,  M ech. Teoret. i  Stos., 1, 3 (1965). 11.  J.  O R K I SZ ,  Skoń czone  odkształ cenia  obrotowo- symetrycznych  powł ok  w  stanie  bł onowym przy  pewnych typach fizycznej  nieliniowoś ci,  R ozpr. Inż yn., 4,  13(1965), streszcz.  an g.  Buli. Acad.  P olon .  Sci., Sć rie Sci.  Techn.,  1,15(1967). 12.  E. Ross, W.  PRAG ER,  On the theory of  the bulge test, Quarterly Appl.  M ath em .,  1,12  (1954). 13.  T P A H   J lyn - ' t t a o H r,  MecmKO- nnacmuHecKoU  auajim  MejuBpau  c yuemoMytiponnemm,  H 3 B .  AH   C C C P , O T H ,  M ex.  ManiH H .j  4,  1965. P  e 3  IO  M e nPH MEH EH H E  TEOPHH   nJIACTH ^ECKOrO  TE^IEfflM   flJI3  AHAJ1H3A  KOH E^H LIX flE*OPM AU ,H H  THEKHX  OCECHMMETPH^ECKHX  OBOJIO^IEK B  CTaTbe npeflcTaBjiaeTCH   o6o6m;eHHe pesyjitTaTOB  pa6oTBi  [11]  Ha  cjiyMati  cbHSH^ecKHX  ypaBH erorii TeopHH  nnacTH tiecKoro TeneroM  c KOHequbiivm fledpopM aqH H M H  (npeflno>KeH H bix  A.  H AflAH   [9]) .  I lp efl- pa6oTbi  H BnaeicH   BtiBOfl  cu cieM t i  ypaBiieH H ft  oroicbiBaioiaH X  COCTOHHHC  o6ojioqKB  B n p o q ec c e SK O Ń C Z O NE  OD KSZ TAŁ C E N I A  WI O T K I C H   OSIOWO- SYM ETRYCZN YCH   P O WŁ O K '  473 H arpywcemyi.  H ccjieflyeM an  o6ojio*iKa  BOCirpmmMaeT  TOJIBKO  pacTH n iBaiom n e  nanpH>KeHHH,  noaioM y AioryT  HMera  iwecTo  cjt en yio m n e  flsa  c n yq a a : a)  o6a  raaBH we  iianpjDKeHHH  nono>KHTenBHBi (ff!  >  0,  ff2  >  0);nojryqaeM rH nep6ojiH rqecKyiocH CTeM y (2.19)  m m i  KBa3HHHHeHHBix flH cbcbepeimH aiibH bix ypaBHeHHH   B  n acTH tix  npoH3BO,o,Hbix n epBo ro  n o - pnflKa  (o6cbiH i  0 ,  a 2   =   0 ) ;  cbH3nyecii  0, a z >  0);  then we  have  the  set  (2.19)  of  five quasi- linear  hyperbolic  partial  differential  equations  of  the first  order  (boundary  conditions are  discussed). b) circumferential  stress  is  equal  to  zero  (o^ >  0, a 2   — 0);  then  the physical  relations  for  plastic  flow are  exactly  the  same  as  those  for  the  theory  of  plastic  deformations,  and  we  obtain  the problem  already solved in  [11]. In  conclusion,  the  solution  of  the  case  of  a  cylindrical  shell  with  linearly  variable  thickness  expanded inside  by  a pin  of  increasing  radius  (friction  has been  taken into consideration) is  discussed  in more detail. KATED RA  STATYKI  BU D O WL I  I  WYTR Z YM AŁ OŚ CI  M ATE R I ATOW P O L I T E C H N I K I  KR AKOWSKI E J Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  21  lutego  1967  r.