Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS66\MTS66_t4z1\1966-1-wilmanski-w.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,4(1966) UKŁ ADY  WS PÓŁ RZĘ D N YCH  PROS TOKREŚ LNYCH W  GEOM ETRII  POWIERZCH NI  Ś RODKOWEJ  CIENKICH  POWŁ OK KRZYSZTOF   W I L M A Ń S KI  I  CZESŁ AW  W O Ź N I AK  (Ł ÓDŹ) " 1,  W  opracowan iach  z  teorii  powł ok  cienkich  zajmowany  przez  materiał   powł oki obszar  w  trójwymiarowej  przestrzeni  euklidesowej  bywa  z  reguł y  parametryzowany  ukł a- dem  tzw.  współ rzę dnych  n orm aln ych .  U kł ad  ten  jest  utworzony  z  rodziny  powierzchni f3  =   const  równoległ ych  do  ś rodkowej  powierzchni  powł oki  ( |a  =   0)  oraz  z  dalszych dwóch  rodzin  t*  =   const,  <5  =   1, 2,  ortogonalnych  do  poprzednich  i  danych  sposobem parametryzacji  powierzchni  ś rodkowej.  U kł ady  współ rzę dnych  normalnych  są  w  teorii powł ok  cienkich  zwł aszcza  wtedy  dogodn e  w  zastosowaniu,  gdy  odkształ cenie  powł oki przebiega  zgodnie  z  zał oż eniami  geometrycznymi  teorii  Kirchhoffa- Love'a.  Zał oż enia te są  bowiem  od  razu  speł nione, gdy  ukł ad  współ rzę dnych  normalnych  f1,  £ s, £ 3  przyjmiemy jako  konwekcyjny  (odkształ cają cy  się  wraz  z  powł oką)  oraz  jednocześ nie  gdy  potraktu- jem y  f3  jako  odległ ość  dowolnego  pun ktu  materialnego  powł oki  od  jej  powierzchni ś rodkowej. Z upeł nie  ogólny  sposób  podejś cia  do  równ ań  teorii  powł ok  cienkich  uzyskamy  nie wprowadzając  współ rzę dnych  n orm aln ych,  lecz  parametryzując  powierzchnię  ś rodkową powł oki  oraz jej  przestrzeń  dwom a  niezależ nymi  ukł adami współ rzę dnych:  powierzchnio- wym  i  przestrzennym  (por.  n p.  [1]). Przyję cie  takie  prowadzi  jednakże  do  zł oż onej  postaci równ ań  teorii  i  nie jest  dogodn e  do  zastosowania  metody  współ rzę dnych  konwekcyjnych. W  przedstawion ym  kom un ikacie  bę dą  omówione  ukł ady  współ rzę dnych  n azwań * prostokreś lnym i,  kt ó re  m oż na  przyjąć  za  konwekcyjne  również,  gdy  na  odkształ cenie powł oki  nie  są  n arzucon e  wię zy  geometryczne  teorii  Kirchhoffa- Love'a,  lecz  gdy  rozwa- ż amy  teorię  «drugiego  przybliż enia)).  U wzglę dniamy  w  ram ach  tej  teorii  wydł uż enie  lub skrócenie  elementów  m aterialn ych  powł oki,  norm alnych  w  jednej  konfiguracji  do  tej powierzchni  ś rodkowej,  oraz  zm ianę  ką ta  nachylenia  tychże  elementów  do  powierzchni ś rodkowej.  Takie  podejś cie  do  zagadnienia  m oż na  znaleźć  w  pracy  [3]. Szczególnymi  przypadkam i  prostokreś lnych  ukł adów  współ rzę dnych  są  ukł ady  nor- m aln e. Oznaczenia.  Przyjmujemy,  że  wskaź niki  kon tra-   i  kowariantne,  oznaczone  literami greckimi,  przebiegają  ciąg  1, 2,  a  oznaczone  literami  alfabetu  ł aciń skiego  ciąg  1 , 2 , 3 . W  stosunku  do  wszystkich  wskaź ników  zastosowano  konwencję  sumacyjną. P rzecinkiem  ozn aczon o  w  pracy  róż niczkowanie  czą stkowe  wzglę dem  zmiennych znajdują cych  się  po  jego  prawej  stronie.  N p . : g ijtk   =  dg u ldti k  .  Kreska  pion owa  oznacza w  pracy  pochodn ą  kowarian tn ą.  N awias  zwykł y  obejmują cy  wskaź niki  oznacza  czę ść 128  K R Z YSZ T O F   WILM AŃ SKI  i  C Z ESŁ AW  WO Ż N I AK symetryczną  tensora  wzglę dem  wydzielonych  wskaź ników,  nawias  kwadratowy  —  czę ść antysymetryczną. W  stosunku  do  wielkoś ci  o  charakterze  wektorowym  zastosowan o  notację  absolutną. Poniż ej  zestawiono  inne waż niejsze  oznaczenia: {£'}  ukł ad  współ rzę dnych  prostokreś lnych, ?(£ ')  promień wodzą cy  przestrzeni  otaczają cej  rozważ aną  powierzchnię n, r( fa)  promień wodzą cy  powierzchni n, g;  wektory  bazy  ukł adu  {£'} w przestrzeni  otaczają cej  powierzchnię n, gf  wektory  bazy  ukł adu  {!'}  n a powierzchni  7i(dla I 3 =   0), gij  tensor metryczny  ukł adu  {!'}, Sij> 'Sij, "glj  pierwszy, drugi i trzeci tensor podstawowy  powierzchni  n, [ a) ,i- 'gi k  'gsk—g8s,t*)+g mn [38; rn][3d;  n] =  0  (d —  n iesum owan e!), n atom iast  równanie  (5.3)3 przyjmuje  postać - Rl323 -   Y  ( 2  '# (").2 +   2  'g(.M),l- 2  'gik  'gu- gM.vd+g""'  'g m   'gin  -   0. Powyż sze  zależ noś ci  m oż na  n apisać  w  postaci  ukł adu  równań (5.4)  g33 td x  =  'g5S,X+'gX3,S- Skł adowa  i? 1 2 1 2 ,  opisują ca  zakrzywienie  powierzchni  n,  po  rozwinię ciu  przyjmuje postać (5.5)  R im   =  i -   ( 2 g1 8 s l 2 - g1 1 , 2 2 - ga 2 i l l ) + g' " n ( [ 1 2 ;  m][\ 2;  »] - [ 2 2;  m][U;  n)) = ( 2 ) + -   [U J 9* 132  KRZYSZTOF   WILMAŃ SKI i  CZESŁ AW  WOŻ N IAK Wprowadź my  oznaczenie (5.6)  J?x*ai2 =   - £ * 3 {- 2 [ i 2;  5] '*< «, + [ 22; 8\ 'g a +[tt;  d] —g33{—2g- 3(1>8)  ( ,  ,  } R ówn an ie  (5.5)  okreś la  teraz  zależ ność (5.7)  Rf Ui   =   —i - ( gl l j 2 2 - 2 1̂ 2 , 1 2 + g 3 2 , 1 1 ) + g M ( [ 1 2 ;  <5][12; A]- [22j  <5][11;  A])— Ostatnie  dwa  równ an ia  istnienia  powierzchni  otrzymamy  z  warun ku  zerowan ia  się skł adowych  2̂312 i  - R1321 tensora  Riemanna- Christoffela. Pierwsze  z nich  zapiszemy  w postaci 2̂312  =  y  (2 ' ft u + ft x. M - 2  'g( 21), 2- < g- 32, 21)+ r"('^m [22; n]- 'gim[21;  «]), drugie  n atom iast jako  zależ ność Riza  =   T  (2 'g1 P o  przyrównaniu  tych  zwią zków  do zera  otrzym ujem y: (5.8)  y , ]  ftrt«,]  ]|  / [ / 6.  Przytoczymy  jeszcze  zwią zki  okreś lają ce  poch odn e  czą stkowe  wektorów  bazy ĝ > g1* i wektorów  g3  oraz g 3.  Odpowiadają  one  klasycznym  wzorom  Wein garten a- G aussa. M oż na je  otrzymać  bezpoś rednio  ze zwią zku  (por.  n p . [2], str.  25) (6.1)  8u - K / ; *lg*,  gt / = - G *}g* W  naszym  przypadku  przyjmuje  on post ać: 7.  N a  zakoń czenie  wykaż emy,  że  przyję cie  pola  wektorowego  g3  orton orm aln ie do powierzchni U  prowadzi  do ukł adu współ rzę dnych  n orm aln ych.  Z godn ie  z  definicją  (2.6) tensor  metryczny  f y  posiada  wtedy  pięć  skł adowych  niezerowych ( 7. 1) .  j i  na powierzchni  £ 3 =   0  m oż na  przyjąć  pierwszy  ten sor  podstawowy  w  postaci v- A)  gsx — gtxvC  = u | . W  drugim  tensorze  podstawowym  znikają  przy  powyż szym  przyję ciu  skł adowe  'g S3 . A  więc  ukł ad  pierwszego  i  drugiego  ten sora  podstawowego  powierzchni.%  jest  wtedy  t aki U K Ł AD Y  WSPÓŁRZĘ D N YCH   PROSTOKREŚ LN YCH   133 sam,  jak  we  współ rzę dnych  n orm aln ych.  Po  wykorzystaniu  uproszczeń  wynikają cych z  orton orm aln oś ci g3  symbole  Christoffela,  okreś lone  wzorami  (4.3) i  (4.4), mają   postać [dl;  a]  =   y  (g Sa ,x+gx a ,  s—gsx,a), ( 7.3)  [<5A; 3] =   ~'g dX , [ « ; A ] - ' f t i, [33;  5 ] =   [63;  3]=  [33; 3] =   0, (7.4)  m Z Z ^ ' U%} =  { 4 } =  { A} -  o. Zależ noś ci  (7.3)  i  (7.4)  są   identyczne  ze  znanymi  w  ukł adach normalnych  [2], Wreszcie  równ an ia  istnienia  powierzchni  (5.4),  (5.6)  i  (5.8)  zmieniają   się   w  sposób nastę pują cy:  ponieważ (7.5)  fcą .A- 0, wię c  trzy  równania  (5.4)  przechodzą   w  toż samoś ci.  Równanie  (5.6)  ma  postać (7.6)  i?i*2i2 =   d e t ' g ^ , a  wię c  otrzymujemy  zwią zek  okreś lają cy  krzywiznę   G aussa  mnoż oną   przez  wyznacznik z  ten sora  metrycznego.  P odstawiają c  (7.1)  i  (7.5)  do  równ ań  (5.8) otrzymamy lub W  i -   {i%}  'g»-   {Ł } 'gsv- 'giv, 2 +   U } 'f u +   {A} ' ^  =  0, co  prowadzi  do  równ an ia  Codazziego  dla  powierzchni  parametryzowanej  normalnym ukł adem współ rzę dnych (7- 7)  ' ^ l x -   ' Slę \ 2 . Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  C.  TRU ESD ELL,  R .  A.  T O U P I N ,  T he Classical Field T heories, Encyklopaedia of Physics, v. 111/ 1,  Springer- Verag  1960. 2.  A.  E.  G R E E N , W.  Z E R N A,  T heoretical  Elasticity,  Lon don 1959. 3.  C .  WO Ź N I AK, N ieliniowa  teoria powł ok,  w druku. P  e 3  K3  M e KOOP flH H ATH Ł I E  JI H H E ffrtATBI E  C H C TEM BI  B  TE OM E TP H H   C P EflH H H BlX n O BE P XH O C T E ft  TOH KH X  OBOJIO^IEK O6cy>KflaeTca  reojneTpH H   cpeflHHHOH  noBepxH Ocra  TOH KH X o6o^o^iei< n p n  HcnojiB3OBaHHii HOił   CHCTeMBi  c  npoH3B0JibHfciM   HanpaBJieHHejw  H  fljiH H OH  6a3HCHoro  BeKiopa  g s .  BBefleHHaa T, B BHfly  npHHHTOit djopMM   napaMexpHHecKoft  JD IH H H f*  =   c o n st ,  Ha3BaHa  jiHHeH^aTOH   cacie- 134  KRZYSZTOF  WILMAŃ SKI i  CZESŁAW  WOŻ N IAK Moft.  OnpeflenaioTCH   ocHOBHbie  TeH 3opbi  noBepxH ocTH   (<|)opM yjibi(2.6))  H  ormcbiBaeTCH   o n e p a m r a  K O - BapHaHTHoro flH djdpepeH irH poBaH BM fl^3 I I =   O B  3TOH   cH cieiwe.  B  n .  5  BWBOAH TCH :,  HcxoflH   H3  ien 3o p a iKHOCTŁ KoopflHHaTHbix  CHCTCM  B  Teopiin  oG ojio^eK,  He  yflOBJieTBOpHKJiqeH KHpxrocJJdjia- JlHBa. S u m m a r y R U LED   COORD IN ATE  SYSTEMS  I N   TH E  G EOM ETRY OF   TH E  M ID D LE  SU RF ACES  OF   T H I N   SH ELLS The  geometry  of  the middle surface  of  thin  shells  has  been  considered  in the paper,  the  problem  being parametrized  by  a  coordinate  system  with  base  vectors  g 3   of  arbitrary  length  and  direction.  The  system introduced  is  called  „ruled  system"  due  to  the assumed  form  of  the  parametric line  | d  =   const.  The  fun- damental  tensors  of  the  surface  (Eqs.  2.6)  and  the  covariant  differentiation  operation  for  f3  =   0  are defined  in  this  system.  Basing  upon  the  Riemann- Christoffel  curvature  tensor,  the  six  equations  of  exis- tence of  the  surface  with non- orthogonal rigging have  been  derived  in  p. 5. I n p.  7  the  normal  coordinate system  is shown  to be a particular case of  a  ruled  coordinate system.  The derived  formulae  enable  to  apply the convectional  reference  frames  in the  theory  of  the surface  which  does  n ot  satisfy  the  Kirchhoff- Love assumptions. P OLITEC IIN fKA  ŁÓD Z KA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23  czerwca  1965  r.