Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS66\MTS66_t4z2\mts66_t4_z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA ]  STOSOWANA 2,4  (1966) AN ALIZA  ZJAWISKA  «PRZESKOKU » W ZAKRESIE SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM NA  M OD ELU   UKŁADU  KRATOWEG O  MISESA J.  L E D Z 1 Ń S K T,  Z .  W A S Z C Z Y S Z Y N   (KRAKÓW) 1. Wstę p Przy  rozpatrywan iu  szeregu  zagadnień  statecznoś ci  ustrojów  mechanicznych  wystę puje konieczność  wyjś cia  poza  teorię   Eulera.  Już  w  ram ach  statecznoś ci  statycznej  wystę pują zagadn ien ia  wymagają ce  innego  podejś cia  i  przyję cia  odpowiedniego  modelu  nadają cego się   do matematycznej analizy.  Wł aś nie takim zagadnieniem jest utrata statecznoś ci  zwią zana ze  zjawiskiem  przeskoku. Zjawisko  to  wystę puje  w  ustrojach,  w  których  przy  pewnym  krytycznym  obcią ż eniu nastę puje  przeskok  z  jednego  stan u  równowagi  w  drugi,  przy  czym — w  odróż nieniu  od utraty  statecznoś ci  w  sensie  Eulera  —  ustrój  może  nie  zmieniać  postaci  (np. w  ustroju zł oż onym  z  prę tów  prostoliniowych  teoretycznie  również  po  przeskoku  mogą   nie wystę - pować  prę ty  zakrzywione).  P rzeskok  jest  zwią zany  na  ogół   z  wystą pieniem  duż ych  prze- mieszczeń  i  jego  badan ie jest  zwią zane  z  koniecznoś cią   oparcia  się   na  nieliniowej  teorii ugię ć  skoń czonych.  Stosowanie  metod  opartych  n a  badan iu  są siednich  postaci  równowagi (teoria  Eulera) jest  zwią zane  z  zał oż eniem mał ych przemieszczeń  i  może  doprowadzić  do cał kowicie  bł ę dnych wyn ików;  analizę   tego  zagadnienia  moż na znaleźć w  pracy  K. A.  Ml- CHAJLICZENKI  [2].  Z  wymienionych  przyczyn  utrata statecznoś ci  zwią zana  z  powstaniem przeskoku  został a  n azwan a  w  literaturze  utratą   statecznoś ci  drugiego rodzaju, w  odróż- nieniu  od  utraty  statecznoś ci  pierwszego  rodzaju,  którą   moż na  badać  w  oparciu  o  teorię E ulera;  klasyfikację   taką   podaje  szereg  autorów  —  por.  n p.  S. D .  LEJTES  [1],  A. A.  Pi- KOWSKI [8]. P rzeskok  może powstać  w  czę sto  stosowanych  ustrojach  takich jak  kraty  i  ł uki  o  mał ej wyniosł oś ci,  powł oki  cylindryczne  i  kuliste  itp.  M atem atyczna  analiza  zagadnienia  jest bardzo  skom plikowan a,  gdyż  zachodzi  tu  konieczność  odrzucenia  zasady  zesztywnienia i  uwzglę dnienia  geometrycznych  nieliniowoś ci.  Z  tego  powodu  istnieje  bardzo  niewiele ś cisł ych  rozwią zań,  otrzym anych  w  dodatku  dla  liniowo  sprę ż ystych  materiał ów. W  obecnej  pracy  postaram y  się  zanalizować zjawisko  przeskoku  w przypadku materiał u o  dowolnej  charakterystyce  er—e.  W  celu  uniknię cia  trudnoś ci  n atury  matematycznej zajmiemy  się   szczegół owo  t ak  zwanym  ukł adem kratowym  Misesa.  Jest  to  ustrój  zł oż ony z  dwóch  prę tów  poł ą czonych  mię dzy  sobą   przegubowo  (rys.  1),  obcią ż ony  sił ą   skupioną w  wę ź le  ś rodkowym.  Jest  to  uproszczony  model  R.  M isesa;  stateczność  drugiego  rodzaju badał   R.  MrsES w  pracy  [3], a  nastę pnie  wraz  z  J.  RATZERSD ORFEREM   W  pracy  [4]  rozwa- ż ając  stateczność  kratown ic  i  ram own ic. M odel  ten  dzię ki  swej  prostocie pozwala  poprzez elem en tarn e rach un ki ują ć  analitycznie zjawisko  przeskoków  i jest przytaczany w  wię kszoś ci 72 J.  L E D Z I Ń S K I,  Z .  WASZ C Z YSZ YN prac  dotyczą cych  statecznoś ci  (por.  n p.  A.  PF LU G ER  [7],  J.  G .  P AN OWKO  i  J. J.  G U BA- NOWA  [6]). Ten prosty model pozwala na  analizę  zagadnienia w przypadku nieliniowej  charakterysty- ki  d—8.  P onadto daje  on moż liwość  uwzglę dnienia zjawiska  odcią ż enia i efektu  Bauschin- gera,  dzię ki  czemu  otrzymujemy  pewne jakoś ciowe  wnioski  dotyczą ce moż liwoś ci  powsta- nia  i  przebiegu  przeskoku  w  ustrojach  zbudowanych z materiał ów  sprę ż ysto- plastycznych. Zajmiemy  się  szczegół owo  analizą   ukł adu  kratowego  M isesa  wykonanego  z  m ateriał u sprę ż ysto- plastycznego  z  wielokrotnym  liniowym  wzmocnieniem.  M odel  ten  umoż liwia dobrą   aproksymację   wł asnoś ci  materiał ów  rzeczywistych. W  pracy  oprzemy  się   n a  nastę pują cych  zał oż en iach: 1)  symetryczny  ukł ad  kratowy  M isesa  (rys.  1) posiada  stał y  przekrój  F; 2)  ukł ad jest nieważ ki, obcią ż ony jedynie pionową   sił ą  skupioną   2P przył oż oną  w wę ź le ś rodkowym; 3)  ustrój posiada idealne przegubowe poł ą czenia i jego prę ty nie mogą   ulec wyboczeniu; w  prę tach  wystą pi  tylko  jednoosiowy,  jedn orodn y  stan  n aprę ż en ia; 4)  materiał   prę tów  jest  jedn orodn y,  sprę ż ysto- plastyczny  i  wykazuje  efekt  Bauschin- gera. 2.  Wyznaczenie  zależ noś ci  mię dzy  ugię ciem  i silą   obcią ż ają cą   dla  m ateriał u o  dowolnej  ch arakt eryst yce  a—e. Rozważ ymy  symetryczny  ukł ad  kratowy  M isesa o  wstę pnej  strzał ce y a   jak zaznaczono na  rys.  1. P o przył oż eniu obcią ż enia pionowego 2P prę ty ulegną   skróceniu i wę zeł  ś rodkowy przemieś ci  się  wzdł uż osi y.  Odkształ cenie prę ta  zapiszemy  w  mierze  C auchy'ego (2.1) c—c„ Po  uwzglę dnieniu  geometrycznych  zwią zków  moż emy  (2.1) zapisać  w  postaci (2.2) = ' W  dalszym  cią gu  bę dziemy  posł ugiwali  się   bezwymiarową   strzał ką   ugię cia (2.3)  ? ? = 4 . Z JAWI SK A  «P R Z E SK O K U »  W  ZAKRESIE  SP RĘ Ż YSTO- P LASTYCZ N YM   73 Wprowadzenie  oznaczenia  (2.3)  pozwala  ostatecznie  wyrazić  odkształ cenia  prę tów jako  funkcję   ugię cia;  ze  zwią zku  (2.2)  otrzymamy  mianowicie (2.4) gdzie  przez  r/ 0  =   yjl  ozn aczon o wstę pną   strzał kę  ugię cia. Z  warun ku  równowagi  prę tów  moż emy  n apisać  zwią zek (2.5)  P  =   — R  —  - ~ ——r R , w  którym  R  oznacza  sił ę   osiową   wystę pują cą   w  prę tach  ukł adu,  równą   co  do  wielkoś ci cał kowitemu  oddział ywaniu.  Zwią zek  (2.5)  moż emy  podzielić  przez  wielkość  pola  po- wierzchni  przekroju  F o   oraz  m o du ł   Youn ga  E o .  Otrzym am y  w  ten  sposób  równanie p  a- ,  „ (2.6) gdzie  a  —  R/ F Q   odpowiada  n aprę ż en iu  w  prę tach,  wywoł anemu  dział aniem  sił y  R.  Jeś li znamy  charakterystykę   m ateriał u a  — a(e)(x),  to  wobec  zależ noś ci  (2.4) podają cej  zwią zek mię dzy  odkształ ceniem  a  wstę pną   strzał ką   i  ugię ciem  w  postaci  funkcji  e =   e(i]; r) 0 ), moż emy  otrzym ać  ogólne  równ an ie (2.7)  p  = W  równ an iu  (2.7)  wprowadziliś my  p o n ad t o  bezwymiarową   sił ę   obcią ż ają cą (2. 8)  p .   JL- .  • R ówn an ie  (2.7)  n apisan e  w  postaci  bezwymiarowej  pozwala  stwierdzić  moż liwość wystą pienia  przeskoku.  D zię ki  wprowadzeniu  strzał ki  ugię cia  ?; jako  zmiennej  niezależ nej otrzymujemy  (przy  znanej  charakterystyce  m ateriał u cf(s))  funkcję   jednoznaczną , dla  której warunek  przeskoku  m a  postać (2.9)  * - 0 . di] W  odniesieniu  do  równ an ia  (2.7)  oraz  po  uwzglę dnieniu  zwią zku  (2.4)  warunek  (2.9) zapiszemy  w  nastę pują cej,  ogólnej  postaci: Z  tak  otrzym anego  równ an ia  (2.10)  m oż na  wyznaczyć  strzał kę   ugię cia  odpowiadają cą ekstremalnej  sile  p m ~p k ,  przy  której  może  nastą pić  przeskok. O  W  charakterystyce  materiał u należy  przyjmować  naprę ż enie umowne  a =  R/ F o ,  gdzie F„ jest po- lem  powierzchni  przekroju  poprzecznego  prę ta  przed odkształceniem. 74 J.  L E D Z I Ń S K I,  Z .  WASZ C Z YSZ YN W  przypadku  przyję cia  sił y  obcią ż ają cej  p  jako  zmiennej  niezależ nej  nie  moż emy  tak prosto  ocenić  moż liwoś ci  powstania  przeskoku.  P onadto okazuje  się ,  że  w  ogólnym  przy- padku  nie  moż emy  w  sposób  ś cisły  rozwikł ać  równ an ia  (2.7)  ze  wzglę du  n a  v\ ,  Z  tych wzglę dów  w  dalszym  cią gu  bę dziemy  się   posł ugiwali  równaniem  (2.7),  wyraż ają cym  sił ę obcią ż ają cą   jako  funkcję   strzał ki  ugię cia  p  = / ?('?i  Vo)- 3. Wyznaczenie zależ noś ci p—r] dla materiału sprę zysto- plastycznego z wielokrotnym wzmocnieniem liniowym 3.1. Proces obcią ż enia wewnę trznego.  Z anim  przejdziemy  do  okreś lenia  materiał u,  zasta- nowimy  się   nieco  dokł adniej  nad  charakterem  procesu  zachodzą cego  w  materiale prę tów. Przy  zwię kszaniu  się   ugię cia  w  prę cie  począ tkowo  bę dą   wzrastał y  również  odkształ - cenia  (a  wł aś ciwie  m oduł   odkształ cenia)  aż  do  osią gnię cia  wartoś ci fimIB~ VW  lł (3.1) odpowiadają cej  maksymalnemu  skróceniu  w poł oż eniu r\   =  0  (por. rys.  1). Proces  zwią zany ze  zwię kszaniem  się   bezwzglę dnej  wartoś ci  odkształ cenia  bę dziemy  nazywali  procesem obcią ż enia wewnę trznego.  U ż yliś my  celowo  okreś lenia  proces  wewnę trzny  ze  wzglę du  na Rys.  2 brak  korelacji  mię dzy  wzrostem  obcią ż enia  zewnę trznego  i  wzrostem  m oduł u  odkształ - cenia  w  pewnych  przedział ach  rj;  n p.  przy  y\   =   0  sił a  obcią ż ają ca  p  =   0  pom im o  tego, że  odkształ cenie e =  fmln.  Proces  ten  bę dzie  zachodził  w  przypadku  skracan ia  się   prę tów ukł adu,  co  moż na  ują ć  analitycznie  poprzez  warunek ck drj (3- 2) Z J AWI SK A  «P R Z E SK O K U »  W  Z AKRESIE  SP RĘ Ż YSTO- P LASTYCZ N YM  7J Z n ak  nierównoś ci w (3.2) jest  zwią zany  z przyję tym  zwrotem  osi  ?j  oraz  wartoś cią   % : przy  zwię kszaniu  się  strzał ki  v\  odkształ cenie e  bę dzie  malał o  w  sensie  algebraicznym. W  przypadku  1] O  < 0 proces  obcią ż enia  wewnę trznego  bę dzie  zachodził   dla  v\  < 0. Zajmiemy  się  teraz  szczególnym  m ateriał em , którego  charakterystyka  o's  został a przedstawion a  n a rys.  2.  Rzeczywista  krzywa tf(e) został a  tutaj  aproksymowana  linią ł am an ą .  Taki  model  ( a) pozwala  otrzymać  dobre  przybliż enie  nawet  przy  stosunkowo niewielkiej  liczbie  pun któw  zał am an ia. Taki  odcinkowo- liniowo- sprę ż ysty  model znacznie upraszcza  obliczenia,  pozwala  uwzglę dnić  róż ne  wł aś ciwoś ci  materiał u przy  ś ciskaniu i  rozcią ganiu,  a  p o n ad t o  pozwala  uwzglę dnić  zjawisko  odcią ż enia  i  efekt  Bauschingera wystę pują ce  w m ateriał ach sprę ż ysto- plastycznych. N aprę ż en ie  o" zapiszemy równ an iem (3.3)  a =  .,.. P aram etry  ^(j i Bj są waż ne  w  przedziale  ?j; <  ?; <  tfjAU P r zY  czym  granice  tego prze- dział u  moż emy  obliczyć  z równ an ia  (2.4)  rozwią zując  je  ze  wzglę du  na  r\ ;  otrzymamy (3.8)   Vj   =   T l Z n ak  minus  odpowiada  i] 0  ^  rjj ^ 0  i  wią że  się z  procesem  obcią ż enia  wewnę trznego. Oczywiś cie  należy  przyjąć  zn ak  plus,  gdyby  w wyjś ciowym  poł oż eniu i] 0  > 0. P rosta  postać  równ an ia  (2.13)  pozwala  ł atwo  obliczyć  wielkość  stizał ki  odpowiada- ją cej  sile  ekstrem alnej,  kt ó ra  może  spowodować  przeskok.  Z  warunku  (2.10)  obliczymy / /   B  \»/» (3- 9)  Vm  =  T 1 /   [ -  - A  ~ 1  dla   Vi   < v,„  <  ^ + t . ( 2)  M o d el  ten  przyję liś my  z  pracy  J .  O R K I SZ A  i  M .  Ż YC Z K O WSK I E GO  [51. 76 J.  LED Z iŃ SKr,  Z .  WASZCZYSZYN gdzie  znaki  należy  przyjmować  jak  w  (3.8).  Po  podstawieniu  (3.9)  do  (3.6)  otrzym am y równanie  dla  sił y  ekstremalnej / / (3.10)  p m   =   : B, 3.2.  Proces odcią ż enia  wewnę trznego.  W  przypadku  niespeł nienia  warunku  (3.2)  w  ma- teriale  ukł adu bę dzie  zachodził  proces  odcią ż enia  wewnę trznego.  Aby  zapisać  analitycznie zachodzą ce przy  tym  zwią zki,  wprowadzimy  nowy  ukł ad  (e*; a'1')  zwią zany  z  pierwotnymi zależ noś ciami  (por.  rys.  3) (3  11) — w  których ffm>1, oznacza  naprę ż enia  minimalne  odpowiadają ce  e r a [ n  obliczonem u  wedł ug (3.1).  W  nowym  ukł adzie naprę ż enie  a  m oż na  zapisać  równ an iem  analogicznym  do  (3.3), (3.12)  ff*  =   of  + ( B *- ef)Ef  dla  ef  <  8*  <  ef n . 0 " i 6 1 i / - 1 1 / 1 / E1 i min J £ e* R y s .  3  _  • P o  podstawieniu  (3.12)  do  (3.11)  i  uwzglę dnieniu  zwią zków  (2.4)  i  (3.1)  otrzym am y równanie  dla  naprę ż enia (3,13)  et • • =- -  ( ff m ł n—a t i + a f ) - które  moż emy  podstawić  do  równania  (2.7).  Otrzymamy  równ an ie  dla  sił yy;  znowu  w po- staci  (3.6),  w  której  wystę pują  param etry  Af  i  Bf (3.14, j  "j  • Z JAWI SK A  «P R Z E SK O K U »  W  ZAKRESIE  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM 77 Współ czynniki  te  bę dą  waż ne  dla  JJ*  speł niają cych  nierówność  rfi  sC if  s G ran ice  tego  przedział u  <)]f,'>if +1 >  wyznaczymy  n a  podstawie  równań  (3.11)  i  (2.4); otrzym am y  równ an ie (3.15)  vf  =   i ] /   [(ej*~   £ - i ) ] /l  l - ' J o + l ]2 " 1  • P odobn ie  jak  w  (2.15)  górn y  zn ak  odpowiada  ł j0 <  0;  przy  wstę pnej  strzał ce  ??0 >  0 odcią ż enie  wewnę trzne  bę dzie  zachodził o  dla  i]f  >  0. W  czasie  odcią ż enia  wewnę trznego  przy  pewnej  strzał ce  rj* 0 (3.16)  V%- *±- sił a  obcią ż ają ca  p  =   0  [znaki  w  (3.16)  przyjmujemy  analogicznie jak  w  (3.15)]. Rozpatrywaliś my  proces  odcią ż enia  wewnę trznego,  wystę pują cy  przy monotonicznym wzroś cie  strzał ki  ugię cia.  P roces  odcią ż enia  może  wystą pić  nie  tylko  od  stanu  r\   =   0, iecz  również  przy  innych  strzał kach.  Bę dzie  on  wtedy  uzależ niony  od  zmiany  obcią ż enia zewnę trznego.  W  takim  przypadku  jako  < jm I n  i  e m i n  należy  przyjmować  wielko:ci  od- powiadają ce  począ tkowi  procesu  odcią ż enia.. N ależy  po n adt o  zwrócić  uwagę,  że  m oż na  przyjąć  w  pewnym  sensie  (wykazują  to doś wiadczenia  dla  m ateriał ów  sprę ż ysto- plastycznych)  jednakową  charakterystykę  ma- teriał u  przed  i  w  czasie  odcią ż enia  —  wykres  a—e  o  począ tku  w  jmnkcie  O  doznaje jakby sztywnego  przesunię cia  do  pu n kt u  O*  (por.  rys.  3).  Oznacza  t o ,  że  w  podanych  powyż ej wyraż eniach  ef  — f ——  c.j  it d . 4.  M a t e r ia l  sprę ż ysto- plastj  czn y  z  jedn okrotn ym wzmocnieniem liniowym Szczególnym  przypadkiem  m ateriał u rozważ anego  w  p .  3. jest  materiał   o  charaktery- styce  pokazanei  n a  rys.  4.  Odpowiada  on  modelowi  uż ywanemu  czę sto  przy  badaniu e- t £- 2 - • «.i Ei- E- 1'0 0 Rys.  4 mię kkiej  stali  i  z  tego  powodu  zajmiemy  się  nim  nieco  dokł adniej. Współ czynniki  Aj  i  Bj • zestawiono  w  tablicy  1.  U derza przy  tym  znaczne  uproszczenie  współ czynników  w  zakresie sprę ż ystym,  a  szczególnie  w  zakresie  peł nego uplastycznienia. W  tym  ostatnim  przypadku 78 J.  LE D Z I Ń SO,  z.  WASZCZYSZYN Tablica  1 O bc ią ż en ie o • N O d e A- , 1 At 1 sprę ż ysty W 5 - i - 1 Bt "m  in  — 1 v'u- nl A 0 A} 0 Zakres plastyczny B- 2 8- 1 B- i wzmocnienie A- » AS 5- . Bi- - p; w  procesie  obcią ż enia  współ czynnik  D^ „ jest  niezależ ny  od  wstę pnej  strzał ki  ugię cia  ?/0 (odpowiada  to  modelowi  materiał u  sztywno- plastycznego). Aby  dokł adniej  zanalizować  przyję ty  model,  wykonano  obliczenia  numeryczne  i  na ich podstawie  sporzą dzono wykresy  n a rys.  5. Obliczenia te wykonano  dla róż nych  wartoś ci wstę pnych  strzał ek  i] 0 .  Proces  obcią ż enia  wewnę trznego  zachodzi  dla  rj  <  0.  M on oto- - 1 nicznemu  zwię kszaniu  strzał ki  towarzyszy  począ tkowo  wzrost  sił y  aż  do  wartoś ci  p. x (odpowiadają cej  pun ktowi  —1  na  wykresach  rys.  5),  przy  której  naprę ż enie  w  prę tach ukł adu  osią ga  granicę   plastycznoś ci  O.  N astę pn ie  sił a  maleje,  aby  przy  niektórych  war- toś ciach  wstę pnych  strzał ek  znów  wzrastać  wskutek  wzmocnienia  m ateriał u  (widać  to wyraź nie  n a  wykresie  odpowiadają cym  rj 0   =  —0,4).  Sił ę   odpowiadają cą   począ tkowi wzmocnienia  oznaczyliś my  przez / ?_2.  N astę pnie  sił a  maleje  i  przy  v\   «=  0  sił a p  =  0  (trzy przeguby  ukł adu  M isesa  są   na jedn akowym  poziomie). Przy  r;  >  0  mamy już  do  czynienia Z JAWI SK A  «P R Z E SK O K U »  W  ZAKRESIE  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN YM 79 z  procesem  odcią ż enia  wewnę trznego,  którem u  towarzyszy  począ tkowo  zmniejszanie, a  potem  wzrost  sił y  p.  N a  wykresach  zaznaczono  pun kty  rozgraniczają ce  poszczególne obszary. Opisany  przez  nas  proces  obcią ż enia  zewnę trznego  moż na  nazwać  kinematycznym, gdyż  jako  zmienną   niezależ ną   przyjmowaliś my  bezwymiarową   strzał kę   ugię cia  i],  która wzrastał a  m on oton iczn ie  od  wartoś ci  i] =   tj 0 . W  praktyce  jedn ak  o  wiele  czę ś ciej  spotykamy  się   z  obcią ż eniem  statycznym.  W  tym przypadku  m on oton iczn ie wzrasta  sił a zewnę trzna/; aż  do  wartoś ci;;  =   p_ t .  Przy przekro- czeniu tej  sił y nastę puje  przeskok  —  ukł ad  przechodzi  z jednej  postaci  równowagi  w drugą . Okazuje  się   przy  tym ,  że  teoretycznie  moż liwe  są   tutaj  dwa  przypadki.  Przy  mał ych  strzał - •  kach sił a/ ;- ! bę dzie sił ą   krytyczną   i ustrój  przejdzie  w skrajne  poł oż enie tff M . D la wię kszych wstę pnych  strzał ek  (widać  to  wyraź nie  przy  | rj n  j =   0,4)  mamy  do  czynienia  z  podwójnym przeskokiem.  M ianowicie  po  przekroczen iu  sił y p_ 1   nastę puje  pierwszy  przeskok  n a  gał ą ź odpowiadają cą   wzmocnieniu  i  sił a  może  wzrastać  aż  do  wartoś ci  maksymalnej  p.,. s ,„ - 1 - 0,405EO \ 3h _ n 0,4 / / »* - 3m I 7// N / - 0,2 \ \ \ - 0,1 \ \ \ • J  \ - 100 - 200 - 300 - 100 p- 10 100 300 200 100 \ s \ - - \ \ \ \ / / /   i ^  0,3 - 3 W I j 1 1 1 1 i _P**I 3 * M 0,41006 /   I  » 0,5  /? R ys.  6 (por.  rys.  6).  Przy  tej  sile  może  nastą pić  drugi  przeskok  do  postaci  równowagi  dla strzał ki i]$ M .  T ak  wię c  teoretycznie  moż emy  mieć  do  czynienia  z  dwiema  sił ami  krytycznymi P- t   i  p 3m ,  przy  których  nastę pują   przeskoki. N ależy  • tu jedn ak  od razu  zaznaczyć, że podwójny  przeskok  jest  moż liwy  tylko  teore- tycznie,  gdyż  może  on  powstać  jedyn ie  przy  bardzo  duż ych  odkształ ceniach,  n a  ogół niedopuszczalnych  w  kon strukcjach  inż ynierskich.  Podwójny  przeskok  bę dzie utrudniony również  w  przypadku  wystą pienia  duż ej  róż nicy  pomię dzy  górną   i dolną   granicą   plastycz- 80 J.  LED ZIŃ SKI,  Z.  WASZCZYSZYN noś ci. Wtedy  sił a p - j podwyż szy  się   i może  być  wię ksza  od />_3,„  nawet  przy  duż ych strzał - kach ;  zaznaczono  to  n a  rys.  6.  Ze  zjawiskiem  takim  należy  się   liczyć  n p.  w  przypadku bardzo  niskich  tem peratur nawet  przy  powolnym  wzroś cie  obcią ż enia  (por.  pracę  M .  Z A- KRZEWSKIEG O  [9]). - too  - Rys.  7 N a  rysunku  7  pokazan o  krzywe  odpowiadają ce  materiał owi  idealnie  sprę ż ysto- plastycznemu  (model P ran dtla).  W  tym przypadku  przeskok  nastę puje  z chwilą   osią gnię cia granicy  plastycznoś ci,  a  wię c  tak  samo jak  w  przypadku  mał ych wstę pnych  strzał ek  przy materiale ze wzmocnieniem (podobnie bę dzie przy modelu sztywno- plastycznego  m ateriał u). Z  powodu  braku  efektu  Bauschingera  krzywe  dla  peł nego uplastycznienia  są   symetryczne wzglę dem  osi;;. N a  rysunku  6  pokazan o  przebieg  procesu  odcią ż enia  zewnę trznego  dla  t] g   =   —0,4. Linią   cią głą   zaznaczono  odcinki  stateczne,  a  strzał ką   —•   kierunek  procesu.  Po  drugim przeskoku  i osią gnię ciu rj* M  zmniejszono  sił ę ; przy  r/ 0 sił a;;  =   0 i od tego m om en tu moż emy rozpatrywać  zadanie  od  nowa.  Bę dziemy  mianowicie  mieli  ustrój  o  wstę pnej  strzał ce %  =   0,41006  i  zmienionej  granicy  plastycznoś ci  wskutek  efektu  Bauschingera. 5.  Zakoń czenie W  pracy  zajmowaliś my  się   bardzo  prostym  przypadkiem  przeskoku  ukł adu  kratowego M isesa.  Analiza  był a  znacznie  uł atwiona  dzię ki  wprowadzeniu  m ateriał u z  wielokrotnym liniowym  wzmocnieniem,  przez  co  trudne ś ci  matematyczne  został y  sprowadzon e  do poziomu  trudn oś ci  obliczenia  ustroju  idealnie  sprę ż ystego. Analiza  ukł adu  zbudowanego  z  materiał u  z  jedn okrotn ym  liniowym  wzmocnieniem wskazuje  n a  moż liwość  powstania  nowych  zjawisk,  takich jak  podwójny  przeskok  wzglę d- nie przeskok  z chwilą   osią gnię cia  granicy  plastycznoś ci;  ten ostatn i wniosek jest  szczególnie cenny  w  odniesieniu  do  czę sto  stosowanych  modeli  m ateriał u  idealnie  sprę ż ysto- plastycz- nego wzglę dnie  sztywno- plastycznego.  P on adto w  m iarę   zmniejszania  się   wstę pnej  strzał ki rozszerza  się   przedział   odpowiadają cy  peł nemu  uplastycznieniu;  przy  dostatecznie  mał ej Z J AWI SK A  «P R Z E SK O K U »  W  ZAKRESIE  SPREŻ YSTO- PLASTYCZN YM  81 strzał ce  wstę pnej  wzmocnienie  w  ogóle  nie  wystą pi  i  wł aś nie  w  tym  przypadku  moż na z  powodzeniem  zastosować  m odel  m ateriał u  idealnie  sprę ż ysto- plastycznego;  widać  to n a  rys.  5 przy  ??0 =   —0, 1. Literatura cytowana w tekś cie 1.  C . J L JlEH TECj,  ycmoumteocmh  u Kojitóamm ynpyeux  cucmeM,  H 3^aT .  H a yu a ,  MocKBa 1964. 2.  K . A.  M H X A H J I H ^ I E H K O ,  O  pacueme  Ha  ycmounusocnib  uiapnupHo- cmepwcueeux  cucmeM,  H 3Bec- TH H   AH  C C C P ,  OTfl.  Tex.  Hayi<,  12  (1958) 3.  R.  M I SE S,  Vber  die  Stabilitatsprobleme  der Elastizitlitstheorie,  Z AM M ,  3 (1923), 406^162. 4.  R.  M I SE S,  J.  RATZ ERSD ORF ER,  Die  Knicksiecherheit  von  Fachwerken,  Z AM M ,  3, 5(1925),  218- 231. 5.  J.  O R K I SZ ,  M . Ż YC Z K O WSK I,  Male  ugię cia  sprę ż ysto- plastyczne  belek  o  dowolnym  przekroju,  Rozpr. •   Inż yn.  4,  11 (1963), 677- 712. 6.  H . F .  IlAH OBKOj  H .  H . FyEAH OBA, Yanoumwocmb  u  Ko/ ie6auu.i  ynpyeux  cucmeM,  MocKBa 1964. 7.  A.  P F LU G E R ,  Stabilitatsprobleme  der  Elastostatik,  Springer,  Berlin- G óttingen- H eidelberg  1950. 8  .  A. A.  riH KOBC KH ftj  CmamuKa  cmcpoicneeux  cucmeM  co  coicamiiMu  3jKt,mnnaMU, MocKBa  1961. 9.  M . Z AKR Z E WSKI ,  Granica  plastycznoś ci  stali,  Przeglą d  M echaniczny,  6 (1957), 227- 232. P  e 3  io  M  e AH AJI H 3  ilBJIEH H tf  «CKA^KA»  B  yn p yr O - n J I AC T I M E C K O fl  OBU ACTH   HA  M OflEIIH P EIU ET^IATOH   C H C TE M Ł I M H 3E C A AH ajiH 3H pyeTca  «cKatioK»3  T . e.  n epexoA  H3 oflH oro  Biifla  paBHOBecHH   B  flpyrue,  6e3  ii3MeHeHnn CH deM bi.  AnajiH 3  npoBoflH Jica  Ha yiipoią en n oH   pein em aToir  CHCTeiwe  M H 3eca3 n a  flByx  ciep>KH eii,  niapHHpHO  coeAH H emitix  H  3arpy>KeiiH bix,  B  cepeflHHHOM   yan e cocpeflOTo^jeHHoft  C H JIOH .  I I p n u n T a  n p o c i a a  MOflejit  flaei  BO3MO>KHOCTŁ  yiecTB  reoM eTpH iieciaie  iieroi- HefraocTH  a BBeflCHHe6e3pa3AiepHoft  CTpejiKH   n p o r a 6 a  B KanecTBe  ne3aBHCHMott nepeM eH uoii, no3BOJiHJio BbiBecxH   H eo6xofliiMbie  ypaBHeHHJi  fljin  np0H3B0JibH0H   xapaKTepncTH Kii  M axepnana. 3aTeiw  noApoGHO  paccMaTpHBaeTCH   cny^aft  ,D;JM  M aTepnana  c  MHoroKpaTHWM   HHHeHHWM   yiipom- ie- iineM j  Tan  fljia  cjiyKeHHH  n pe^ejia  Ten yiecTH .  T eo p en raec K H   BLî HCJieHHtiH   flBoiiiioii  CIOMOK  B03HHKaeT n p n  OMCHB  6OJI B- IIIH X  npeABapHTejiBHbix  n p o r n 6a x  H  n a npaKTHKe  Bpnfl  rai  IIOH BH TCH .  yHCjiei- iHbie  pac^eTH   IIOSBOJIH JIH BbinonHHTB  AiiarpaMAi,  I O K  flJin  M aTepiiana  c OflHOKpaTHMM   ynpcranenneM   Tai<  H  flror H^eanBUO  yn p yr o - S u m m a r y AN ALYSIS  OF   TH E  M U M P "  P H EN OM EN ON  IN   ELASTIC- PLASTIC  D OM AIN BASED   ON  TH E  MISES  TRU SS M OD EL The  "jum p"  phenomenon consisting  in passing from  one  configuration  of equilibrium  to another  with- out  change  of  the  form  of  the  system,  has been  considered  in the present  paper.  The  analysis  is  based on  the simplified  truss  model of Mises  consisting of two hinged rods  loaded in the middle joint by a vertical concentrated force.  The assumed  simple  model enables  to account for the geometric non- linearities;  taking as  independent  variable  the dimensionless  deflection  of  the system,  the required  equations  are derived for  arbitrary  stress- strain  relations. 6 M echanika  teoretyczn a 82  ,  J.  LED Z I Ń SKI,  Z.  WASZCZYSZYN The  case of a material with  multiple  linear  strain- hardening  has  been  studied  in  detail,  the  process of  loading  and  unloading  an d  the  Bauschinger  effect  being  taken  into  consideration. The analysis  of materials with  single linear  strain- hardening  an d  with  a  distinct  plastic  range  indicates the possibility  of arising  of the jum p phenomenon  once the yield limit is reached. The theoretically  evaluated double  jum p  should  take  place in the  case of large  initial  deflections,  though  this  phenomenon  does  not expect  to occur  in practice. N umerical  calculations  make  it  possible  to  draw  the  graphs  for  materials  with  single  linear strain- hardening  and  for  perfectly  elastic- plastic  bodies. KATEDRA  STATYKI  BU D OWLI  I  WYTR Z YM AŁ OŚ CI  M ATE R I AŁ ÓW P OLI TE C H N I K I  KRAKOWSKIEJ Praca  został a  zł oż ona  iv  Redakcji  dnia  21  lipca  1965.