Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS66\MTS66_t4z2\mts66_t4_z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  4(1965) STABILN OŚĆ  U KŁAD U   WIBRO- U D ERZEN IOWEGO  O  WYMUSZENIU  KINEMATYCZNYM BOH D AN   K O W A L C Z Y K  (G D AŃ SK) W  cią gu  ostatn ich  lat  coraz  czę ś ciej  stosowane  są   mechanizmy,  które  moż emy  obją ć wspólną   nazwą   m echanizm ów  wibro- uderzeniowych.  P rzykł adami  tego  rodzaju  mecha- nizmów  są   wibrom ł oty,  uż ywane  do  pogrą ż ania  w  grunt  pali  i  rur,  zagę szczarki,  ubijaki pewne  typy  mł otów  sprę ż ynowych  itp..  W  mechanizmach  tych  drgania  wibracyjne  zna- lazł y  zastosowanie  ze  wzglę du  n a  moż ność  uzyskania  duż ych  wartoś ci  sił ,  energii  kine- tycznej  i  przyś pieszeń  czę ś ci  roboczej. Pierwszymi  badaczam i, którzy  wnieś li  istotny  wkł ad  do  teorii  maszyn  wibracyjno- ude- rzeniowych,  byli  R U SAKOW  i C H AR KI E WI C Z  [5],  Przeprowadzili  oni badanie drgań  wymuszo- nych  ukł adu  o jedn ym  stopn iu  swobody,  w  którym  to  ukł adzie drgania  masy  został y ogra- niczone  jedn ostron n ie.  Przy  wyznaczaniu  param etrów  pracy  ukł adu  autorzy  zastosowali tzw.  «metodę   warun ków  brzegowych*. P raca  niniejsza  jest  próbą   analizy  ruchu  i  stabilnoś ci  strukturalnej  mechanizmu  wibra- cyjno  uderzeniowego,  w  którym  sił a  wymuszają ca  drgania  powstał a  nie n a  skutek  ruchu wibratora  (tak  jak  to  zachodzi  n p .  w  wibrom ł otach  lub  zagę szczarkach),  ale  w  wyniku wymuszenia  kin em atyczn ego,  spowodowanego  - ruchem  wodzika  mechanizmu  sinusoidal- n ego.  U kł ad  wibracyjny  omawiany  w niniejszej  pracy jest ukł adem nieliniowym  ze wzglę du n a  wystę powanie  uderzeń  w  czasie  każ dego  cyklu, pracy. W  każ dym  ukł adzie wibro- uderzeniowym  o  charakterystyce  liniowej,  charakterystyka sprę ż ysta  pozostaje  liniową   do  wielkoś ci  x 0 ,  odpowiadają cej  współ rzę dnej  uderzenia (rys.  1), n astę pn ie charakterystyka  ta  zał amuje się ,  naruszona  jest  wię c  liniowość  ukł adu. SMk Rys.  1 W  chwili-   uderzen ia  prę dkość  masy  uderzają cej  zmieriia  się   skokowo.  Stosunek  prę d- koś ci  p o  i  przed  uderzen iem  charakteryzować  bę dziemy  tzw.  współ czynnikiem  restytucji,.- 7  M echanika  teoretyczna 98  BO H D AN   K O WAL C Z YK Przy  okreś laniu  współ czynnika  restytucji  R  posł ugujemy  się   hipotezą   N ewton a,  zgodnie z  którą   stosunek  prę dkoś ci  ciał   po  uderzeniu  v 2   i  przed  uderzeniem  v 1   jest  stał y  i  nie  za- leży  od  prę dkoś ci  zderzenia  ani  od  wymiarów  ciał ,  a  tylko  od  stał ych  m ateriał owych  zde- rzają cych  się   ciał ,  to  jest \ v'i\   '•   \ vi\   —  - K- W  przypadku  uderzenia  doskonale  sprę ż ystego,  to  znaczy  uderzenia,  przy  którym w  miejscu  zetknię cia  się   ciał   zachodzą   wył ą cznie  odkształ cenia  sprę ż yste,  współ czynnik restytucji  R  =  1.  W  przypadku  uderzenia  doskonale  plastycznego,  to  znaczy  uderzenia, przy  którym  w  miejscu  zetknię cia  się   ciał   zachodzą   wył ą cznie  odkształ cenia  plastyczne, i?  ==   0. D la  realnych  ciał   fizycznych  mamy  zawsze  0 < / ? < l .  (N p.  przy  uderzeniu  kulki  sta- lowej  o pł ytę  stalową   wartość  współ czynnika  restytucji  podawan a  jest  w  literaturze  w  gra- nicach  od  0,5  do  0,6). Rozważ my  obecnie  ukł ad  podan y  n a  rys.  2,  gdzie  przyję to  nastę pują ce  ozn aczen ia: /•   jest  dł ugoś cią   korby;  a>  prę dkoś cią   ką tową   korby,  t+cp)],  / c2 =   — , tn gdzie  c  jest  współ czynnikiem  sztywnoś ci  sprę ż yny,  k  czę stoś cią   drgań  wł asnych  m asy. W  celu  uproszczenia  analizy  ruch u ukł adu wprowadzamy  współ rzę dne  bezwym iarowe: k (3)  X  — rx,  wt  — r,  Q  ==   — ,  V  =  rwv,  X o   =   rx 0 . STADrLN OŚĆ  UKŁADU   WIBRO- UDERZEN IOWEGO  99 R ówn an ie  róż n iczkowe  (2) przyjmie  po  podstawieniach  (3) postać  nastę pują cą: (4)  X+Q*X=  2 8 - e2 c o s ( r + 9 ? ) . Cał kują c  równ an ie  (4) znajdziemy  bezwymiarowe  przemieszczenie i prę dkość pun ktu D w  przedziale  mię dzy  dwom a  uderzen iam i: o2 (5)  x =  AcosQt- \ - Bsmor- \ - l  ~ ^ J - C O S( T + C 5). o 2 (6)  X=  — Y Stał e  cał kowania A  i  B  wyznaczymy  z  warun ku  okresowoś ci.  D obieramy  mianowicie param etry  ukł adu wibro- uderzeniowego  tak, aby ustalił  się  ruch  okresowy  o okresie rów- nym,  wielokrotn oś ci  okresu  wymuszenia  kinematycznego.  Przy  tego  rodzaju  postę powaniu wystarczy  wię c  rozpatrzeć  ruch  ukł adu  w  przedziale  jednego  okresu. Warun ki  okresowoś ci  dla  rozpatrywanego  ukł adu  mają   postać: x(0)  =  x 0 ,  je ( O ) - 2 t o, x(2mi)  =   x0,  xQ.mi)  =   —  v, gdzie  n=  1,  2,  3, ...  stosun ek  okresu  drgań  m asy  m  do  okresu  obrotu  korby /*. P odstawiają c  warun ki  (7) do  zwią zków  (5) i  (6) otrzymujemy  nastę pują ce  równ an ia: Q 2 x 0   = A+l  - - (8 ) xo  = v  = Rozwią zując  ukł ad  równ ań  (8)  otrzymujemy: A  =   —5~  - ctgnriQ, 2Q 2 ^ (9)  * vO—R) 1  f  © 0+ J?)  ctgsing]c o S , = 7 [ , 0 - l  2  rj gdzie 100 BOHDAN   KOWALCZYK Wszystkie  wystę pują ce  w  zwią zkach  (9) param etry  ukł adu  wyraż one  został y ja ko  funk- cje  bezwymiarowej  prę dkoś ci  przedstawionej  wzorem : (10) gdzie ( U ) v  = 1—i? r \ - \ - R 1- R M asa  /w  nie  zawsze  uderza  o  przegrodę   a—a.  Styk  jest  moż liwy  tylko  przy  pewnych okreś lonych  wartoś ciach  x 0   i  Q. Jeż eli  x0  =   0,  to  aby  moż liwe  był y  uderzenia masy  m  o  przegrodę   a —a  musi  być  speł - niony  warunek \ r\ > h lub a  wię c i , Jeż eli  0 < x „ < 1,  to  znaczy,  gdy  przegroda  przesun ię ta jest  w  stron ę  p u n kt u  O u   to  wa- runek  styku  masy  z  przegrodą   m a  p o st ać: a  wię c Q> 1   ' x <> Jeż eli  xo < O ,  to  znaczy,  gdy  przegroda  odsunię ta jest  od  pu n kt u  Ox,  to  warun ek  styku masy  z  przegrodą   ma  post ać: V: a  wię c Oczywiś cie  o,  bezwymiarowa  prę dkoś ć,  musi  być  wielkoś cią   rzeczywistą .  Warun ek ten  jest  równoważ ny  nierównoś ci lub (12) STABI LN OŚĆ  U K Ł ADU   WI BR O- U D E R Z E N I OWE GO  101 D la  zbadan ia  stabilnoś ci  rozpatrywanego  ukł adu  wibracyjno- uderzeniowego  posł uż y- my  się  poję ciem  stabilnoś ci  strukturalnej  [1,  3]  oraz  zastosujemy  metodę  «dopasowania» [2,  4]  kolejnych  ruchów  zaburzon ych  rozpatrywanego  ukł adu. Jak  widzimy  z  (9), współ czynniki  równań  wyznaczają cych  przemieszczenie  i  prę dkość pu n kt u  D  ukł adu  są  funkcjami  param etrów  pracy  ukł adu Q, X 0 ,  R.  Wartoś ci  tych  współ - czynników  przy  rozpatrywan iu  kon kretn ie  pracują cego  ukł adu  nie  są  znane  dokł adnie i  są  zawsze  obarczon e  pewnym  bł ę dem.  Stabilność  strukturaln a  charakteryzuje  ukł ad drgają cy  w  ten  sposób,  że  ch arakter  pracy  ukł adu nie  ulega  zmianie, gdy  parametry  ukł a- du  doznają  pewnych  mał ych zm ian.  Jeż eli  przy  mał ych zaburzeniach  wprowadzonych  do param etrów u kł adu drgan ia przestaną  być okresowe,  ukł ad bę dzie strukturalnie  niestabilny. Rozważ ać  bę dziemy  ruch  badanego  ukł adu  podczas  r- tego  okresu,  to  znaczy  po- mię dzy  r- tym,  a  v- |- l- szym  uderzeniem. R ówn an ie  ruch u  zaburzon ego  podczas  r- tego  okresu  ma  postać: (13)  x( v )  | ! Q a - 1 gdzie  efekt  zaburzeń  podczas  t>—1 okresów  ruchu  został  uwzglę dniony  przez  wprowadze- ni n ie  d o  st a ł ych A,  B  i  q>  o d p o wi e d n i o  p r zyr o st ó w  a v ,  / 5V  i Z l v_ 1  =   £  <5/>   z a ś  czas  r je st  liczo- j=o ny  od  i'- tego  uderzen ia  masy  o  przegrodę. P odstawiając  r  =   2nn- \ - d v   znajdziemy  x^ —przemieszczenie  masy  w  momencie przed v- \ - 1- uderzeniem: ( O2 (14)  4 V )  =   (/ (+ av)cos(2OT() +  (3 (5v)+ (5+ / 3v)sin(23Tn2'f Qciv) +   1  £ —- c o s^ + d , ,) gdzie Wyraż enie przedstawia  przemieszczenie  w  koń cu  v  okresu  pod  wpł ywem  wprowadzonych  zaburzeń Analogicznie  postę pujemy  w  przypadku  bezwymiarowej  prę dkoś ci  pun ktu  D 2 Q 2 —  1 (1 7 ) 4 V)  = (1 8 ) Po  zatrzymaniu  wyrazów  rzę du  pierwszego  otrzymujemy (19)  Ax{^   ( c o s2 «7 ; e ) a + ( si n 2 7 r «e ) / ? ^ +   ^ 102  BOH D AN   KOWALC Z VK oraz (20) 1  .  \ vQ.+R)  1 ctgnnq - \ -1 — x 0   M  v +   ——  g ctg mig  \ Ą  . J  L  2  J Przemieszczenie  i  prę dkość  w  ruch u  zaburzonym  podczas  v+ 1- ego  okresu  przed- stawiają  równ an ia: ( 21)  x< v + 1 >  ^ L̂ ^(22)  x< v+ a )  =   ^ ; : y P odczas  v + l  przedział u ruchu  bezwymiarowy  czas  moż emy  liczyć  od  v + l  uderzenia masy  o  przegrodę. Podstawiając  do  (21) i  (22) r  =   0  znajdziemy  x( p v+ 1 )  i  x(p+1)  —  przemieszczenie  i  prę d- kość  ruchu  zaburzonego  w  momencie  p o  v + l  uderzeniu,  a  stąd  wyznaczamy  przyrosty przemieszczeń  i  prę dkoś ci  n a  począ tku  v + l  okresu: (23) Warun ki  «dopasowam'a»  dwóch  są siednich  ruchów  mają  p o st ać: (24)  Ax^   =  z l 4 v + 1 )  -   0,  Ax(;+ Podstawiając  do  (24)  zwią zki  (19,  (20)  i  (23)  otrzym am y: 7 £ ) / 3 | v _ 1 —vA v   —  0, (25)  ay+ 1- Ł̂ - RAy  =  0, v(l+R)  ctgnng  (v(l+R)  1- Q 2 g +   l- X  +  i^|  ^ / Jv- l- O. U kł ad  (25)  jest  ukł adem  jedn orodn ych  równ ań  róż nicowych  liniowych.  Rozwią zań tego  ukł adu  szukać  bę dziemy  w  postaci: (26)  a v   =   ae\   (5 y  =   bsv,  A y   =   ce\ gdzie  «,  b,  c,  s  są  pewnymi  stał ymi. STABILNOŚĆ  UKŁADU   WIBRO- UDERZENIOWEGO 103 P o  podstawien iu  (26)  ukł ad  (25)  przyjmie  post ać: .  [w( (2 7 ) ae  —• —- c  =   0 , v(l+R)R = o . U kł ad  (27)  jest  jedn orodn ym  ukł adem  równ ań  liniowych  o  niewiadomych  a,  b  i  c. Jak  wiadom o,  warun kiem koniecznym i  dostatecznym istnienia  niezerowych  rozwią zań tego  ukł adu jest,  aby  jego  wyznacznik  gł ówny  był  równy  zeru,  a  wię c: I 0 (2 8 ) gdzie - ve =   0 , +   1- Xb Z  (28)  otrzymujemy ( l+ J R ) ( l- A- „ ) sin 27r «e +   - -- Aby  rozpatrywan y  ukł ad  był   stabilny,  moduł y  pierwiastków  równania  (29)  muszą być  mniejsze  od  jedn oś ci,  gdyż  wtedy  przy  v  - > oo  m am y:  a v   - > 0,  / 8y - > 0,  4 V  - > 0. W  przypadku  gdy  |e|  >  1,  to  zgodnie  z  (26), przy  dowolnych  stał ych  a,  b  i  c, moduł y wielkoś ci  a v ,  /?„  i  zlv  nieograniczenie  rosną ,  a  wtedy  ruch  zaburzony  coraz  bardziej  róż ni się   od  n iezaburzon ego,  co  oznacza,  że  ruch  jest  niestabilny. Jak  wiadom o,  warun kiem  koniecznym  i  dostatecznym  aby  pierwiastki  równ an ia speł niał y  warun ek  |e l i 2 (30) < 1 1 - 7 —0UQ  —  \ J, jest d 0 d 2 d, d o +dz 104  BO H D AN   K O WAL C Z YK W  przypadku  równ an ia  (29)  mamy Pierwsza  z  nierównoś ci  (30)  jest  zawsze  speł niona,  gdyż a  w  rzeczywistych  ukł adach  wibracyjno- uderzeniowych  0  0,  warunek  ten jest  speł niony zawsze;  gdy  O 0 —1) / <  0, prę dkość v jest dodatnia dla (35) 1 - - xo<   1 +  - Warunek  (x 0  — 1)/  >  0 gdy  n — 1 zachodzi przy x 0   >  1 dla 0 <  Q <  ]- ;  1 <   Q  <  — ;  ... 1  3 zaś  przy  x0  <  1  dla  - -<  Q <  1;  y <  g <  2;  ...  ,  gdy  ;; =   2,  to  (A- 0 -   l ) / > 0  dla 0  <  Q  <  j l  j <  e <  j ;  ...,  zaś  przy  x o <  1  dla  j <  o <  - ;  — <   Q   <  1; .... N a rys.  3a- d podano obszary  stabilnoś ci  strukturalnej  przy  «= 1,  na rys. 4 zaś podano obszary  stabilnoś ci  strukturalnej  przy  n =  2  dla  róż nych współ czynników  restytucji  R. 0.5 n- ł A 3 £ 0 —1 - £ - 3 - A n- 1 9 20  ' c 0 . 5   V \ X \ I ^ $ n- 1 R- OB 9 Rys.  3 Krzywa  a ogran icza  obszar, w  którym jest  speł niona  nierówność (35), krzywa b ograni- cza  obszar,  w  którym jest  speł niona  nierówność  (12),  krzywa  c ogranicza  obszar, w któ- rym  speł niona  jest  n ierówn ość (33). 106 BO H D AN   K O WAL C Z YK Brzegi  wszystkich  obszarów,  w  których  speł n ion e  są   te  nierównoś ci,  są   symetryczne wzglę dem  prostej  o  równ an iu  x o =   1. g B 4 2 D - 2 - 4 - a ,  b id It I —IZJ n- 2 R- 0,4 Q 2.0 8 A 0 - 2 - 4 - a d 1 —1 • Xu x̂xx\> *̂- 1L s. \ \ [w • ^^XXX î P Rys.  4 Zależ nie  od  znaku  wyraż enia  (x0  —  1)/   obszar  ruch u  stabilnego  strukturaln ie  dla danego  ukł adu  jest  Wspólną   czę ś cią   obszaru  zawartego  pom ię dzy  prostą   o  równ an iu xu  =   1  i  krzywymi  a  i  c,  wzglę dnie  b  i  c. Lit erat u ra  cytowan a  w  tekś cie 1.  A.  A.  AH flPOH OB,  A.  A.  B H T T 3  G .  3 .  XAftKH H ,  T eopun  Koneórnuu,  Mociii3.,  12  ( 1942) . ST ABI LN O ŚĆ  U K Ł AD U   WI BR O- U D E R Z E N I OWE GO  107 P  c  3  IO  M  e yCTOftaH BOCTB  BHEPOYflAPHOfl  CHCTEMLI  C  KHHEMATEWEĆ KH  M B03M ymEH H EM B  pa6oTC  AaHW  nocTai- ioBKa H  pen ien iie flncbc|>epeH u;H OH :a.iii>H oro ypaBiienim  Maccw  yftapH iomeii  o  He noflBii>Kiiyio  n p erp afly.  BbiHy>KfleHHbie  KOJie6aHH?i  Maccbi  nojiyjaiOTCH   nyieivi  KimeMaTiprecicoro BO3- MymeiiHH   n pH   noMoiHH   CHHyc- MexanH3Ma. B  paCo- re  pacciviaTpHBaioTCH   VCJIOBH H   oBecnennBaiomH e  BO3MO>KH;OCTB  yflapoB  o  n perpafly. EtyreM   HccneflOBanHH   CTpyKTypnoft  ycToiWHBocTH   ( B  CMbicne  AHflpoHOBa)  HaxoflHTCH   oGjiacTH   n a- CHcieMW,  KJIH  KOToptix  ee  ABnwcemie S u  m  m  a r y STABILITY  O F   A  VIBRATORY- IMPACT  SYSTEM   WITH   KIN EM ATICAL EXCITATION The  paper concerns the vibratory- impact  system  consisting of  a vibrating  mass which  strikes  the motion- less  buffle  during  the  vibration  period. The  forced  vibration  of  the  mass  is  obtained  by  means  of  sine- mechanism  connected kinematically with  the  mass. The  differential  equation of  motion of  the  considered  system  is  derived  and solved and then a  certain conditions  assuring  the  impact  are  formulated. U sing Andronov's  definition  of structural stability  the range  of the parameters of  the  system  is obtained within  which  the  motion  is  periodical. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  13  listopada  1965  r.