Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS66\MTS66_t4z3\mts66_t4_z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A 3, 4  1966) UTRATA  STATEC Z N OŚ CI  ROZCIĄ G AN YCH  POWŁ OK  PLASTYCZN YCH ZD ZISŁ AW  M A R C I N I A K  (WARSZAWA) 1. Warunek  statecznoś ci W  przypadku  jedn oosiowego  rozcią gania  prę tów  i  wą skich  pasów  moż na  wyodrę bnić w  procesie  rozcią gania  dwie  fazy: 1)  fazę  statecznoś ci,  charakteryzują cą  się równ om iern ym rozkł adem wydł uż enia wzdł uż osi  p ró bki; 2)  fazę  niestatecznoś ci, w  czasie  której  nastę puje  koncentracja  odkształ ceń n a  pewnym obszarze  próbki,  podczas  gdy  pozostał e jej  czę ś ci,  leż ą ce  dostatecznie  daleko  od  miejsca przewę ż enia,  nie  tylko  nie  doznają  dalszych  odkształ ceń plastycznych,  lecz  nawet  zostają odcią ż one. W  celu  wyjaś nienia  róż nicy  w  zachowan iu  się  m ateriał u w  czasie  statecznej  i  niesta- tecznej  fazy  rozcią gania  zał óż m y,  że  w  dowolnym  miejscu  rozcią ganej  próbki  nastą piło n ieco  wię ksze  wydł uż enie  m ateriał u niż  w  miejscach  są siednich.  To  dodatkowe  miejscowe wydł uż enie pocią ga  za  sobą  odpowiedn io wię ksze um ocnienie się  w tym miejscu materiał u, ale  jednocześ nie  zwię kszają  się  t am  n aprę ż en ia  rozcią gają ce,  gdyż  zmniejszony  przekrój poprzeczn y  przen osić  m usi  tę  samą  co  poprzedn io  sił ę  osiową.  Jeż eli  przyrost  naprę ż enia uplastyczniają cego,  spowodowan y  um ocnieniem ,  jest  wię kszy  od  przyrostu  naprę ż enia osiowego,  zachodzą cego  w  wyniku  zmniejszenia  pola  przekroju,  nastę puje  wyrównanie odkształ ceń  w  dalszej  fazie  procesu,  a  zatem  pró bka  zachowuje  statecznoś ć.  W  przeciw- n ym  przypadku  zapoczą tkowana  n iejedn orodn ość  odkształ cenia  bę dzie  się  dalej  pogł ę- biać,  co  jest  oznaką  utraty  statecznoś ci. P o do bn e zjawiska  wystę pują  w  przypadku  cienkoś ciennej  powł oki plastycznej  poddanej rozcią ganiu  w  pł askim  stan ie  n aprę ż en ia.  W  celu  zanalizowania  warun ków  statecznoś ci wyodrę bnimy  w  niej  prostoką tny  element,  którego  krawę dzie  są  skierowane  zgodnie z  kierun kam i  gł ównymi  n aprę ż eń.  Przyjmijmy,  że  element  ten  doznaje  odkształ cenia proporcjon aln ego.  W  pewnej  chwili  wydł uż enia boków  tego  elementu wynoszą  odpowied- n io  ei  i  £ 2, a  więc jego  odkształ cen ie zastę pcze jest  równ e (1.1) 4= Odpowiada  tem u  okreś lona  wartość  n aprę ż en ia  uplastyczniają cego,  bę dą cego,  zał óż my, zn an ą  dla  dan ego  m ateriał u  funkcją  odkształ cenia  zastę pczego  <7 p   =  o p (s l ).  Przyję to, że  odkształ cenia  sprę ż yste  są  tu  pomijalnie  m ał e. 14  Z D Z I SŁ AW  M AR C I N I AK N a  boczne  krawę dzie  rozpatrywanego  elementu  dział ają   w  pł aszczyź nie  powł oki naprę ż enia  gł ówne  o\   i  <72> wywoł ane  obcią ż eniem  powł oki  sił ami  zewnę trznymi.  N aprę - ż enie  zastę pcze  dla  pł askiego  stanu  naprę ż enia  (a 3 =   0) wynosi  zatem (1.2)  a z   =  j/ ol- Jeż eli  a z   =   a p ,  to  nastę puje  plastyczne  odkształ cenie  powł oki,  przebiegają ce  zgodn ie z  prawem  pł ynię cia: (1.3) i — a 2   2o 2 —oi  — C i —   6a p ,  moż emy  oczekiwać ,  że  zał oż ona n a  wstę pie niewielka  nawet  zm iana  stan u  odkształ cenia  zapoczą tkuje  lawinowy  proces  dalszego plastycznego  pł ynię cia m ateriał u,  co  bę dzie  oznaką   niestatecznoś ci powł oki. ST AT E C Z N O ŚĆ  R OZ C I Ą G AN YCH   P O WŁ OK  P LASTYC Z N YC H   15 Ostatecznie  zatem , korzystając  ze zwią zków  (1.6)  i  (1.7),  ogólny  warunek  statecznoś ci powł oki  m oż na  zapisać  w  postaci  nierównoś ci: (lat  ~a 2 )  dai +  (2o 2 - Qi)  Sa 2   2_  {2eiA- E 2 )5ei + {2e 2 +Si)dE 2   da p ( '* }   2a p   < 3   Si   ^ e 7 ' bę dą cej  uogólnioną  formą  warun ku  statecznoś ci  podan ego  przez  H .  W.  SWIF TA  [1] (1952). Aby  n a  podstawie  nierównoś ci  (1.8)  m oż na był o wyznaczyć  zakres  statecznoś ci  danego elementu  powł oki, należy jeszcze  okreś lić jego  kinematyczne i  statyczne  warunki  brzegowe oraz  sprecyzować  zm iany,  zachodzą ce  w  tych  warun kach  pod  wpł ywem  rozważ anych wariacji  jego  wymiarów. Te  dodatkowe  informacje  o  warun kach,  w  których  przebiega  proces  plastycznego pł ynię cia  powł oki,  wyraż ają  się  w  postaci  trzech  dodatkowych  zwią zków  zachodzą cych mię dzy  przyrostam i  do\ ,  da 2 ,  <5«i  i  ds 2   i  opisują cych  rodzaj  sprzę ż enia  kinematycznych i  statycznych  warun ków  brzegowych.  Zależ nie  od  postaci, jaką  nadamy  tym  dodatkowym zwią zkom,  otrzym am y  róż ne wzory  wyraż ają ce  zakres  statecznoś ci  powł oki. Tym tł umaczy się  duża  róż n orodn ość wyraż eń  propon owan ych przez  róż nych  autorów  dla  przedstawienia warun ku  statecznoś ci  powł oki.  N ajważ niejsze  z  tych  propozycji  bę dą  teraz  kolejno om ówion e. 1.1.  R ozcią gan ie  powł oki  n iezm ien n ą sił ą  w  kierun ku  1  przy  zachowan iu  stał ej  wartoś ci  stosunku  oja^ W  celu zan alizowan ia  tego  przypadku  przyjmujemy  nastę pują ce  zał oż enia co do  warunków brzegowych. 1.  N aprę ż en ia  a x   wynikają  z  dział ania  stał ej  sił y  P%  przenoszonej  przez  rozpatrywany element  powł oki.  D odat kowe  wydł uż enie  tego  elementu  o  wielkoś ci  dei  powoduje  zatem wzrost  n aprę ż en ia  o  wielkość (1.9)  (3 ^ . ds  a  2a 16 Z D Z I SŁ AW  M AR C I N I AK Wielkość  prawej  strony  tej nierównoś ci  zależy  od stosun ku  o 2 / c\ ,  co przedstawia  linia  a na  rys.  1. Warunek  (1.12),  którem u  odpowiada  ekstremum  sił y  rozcią gają cej  P\ , został   podan y przez  A.  D .  TOMLEN OWA  [2] oraz  P . B.  M ELLORA  [3]. 0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  - 0,4  - 0,2  O  0,2  0,4  0,6  0,8  1,0 Cc/ kształ cenie  zastę pcze  e(-   Stosunek naprę ż eń  gtównych 6^/ 6, R ys.  1 1.2,  Rozcią ganie  powł oki  przy  zachowaniu  niezmiennej  wartoś ci  obu sil  przenoszonych  przez  elem en t powłoki w dwu kierunkach głównych.  W tym przypadku  dodatkowe  zwią zki  zachodzą ce  mię dzy przyrostami  dai, da 2 , <5ei i  ds 2  wynikają   z  nastę pują cych  zał oż eń. 1,  Ewentualny  przyrost  odkształ cenia  elementu  powł oki  nie m a wpł ywu  n a wielkoś ci sił   przenoszonych  przez  ten element  w  obu kierun kach  gł ównych.  Wynikają   stą d dwa równ an ia: (1.13) (1.14) <5 de t   a p   4a' P zapropon owan ej  przez  H . W.  SWI F TA  [1]  (1952)  i  przedstawionej  linią  b n a  rys.  1. 1.3.  R ozcią gan ie  elem entu  powł oki przy  zachowaniu  niezmiennej wartoś ci  sił  jednostkowych,  dział ają cych w obu kierunkach gł ównych.  P rzypadek  ten  róż ni  się  od  poprzednio  omówionego  tym,  że zakł ada  się  niezm ienność  sił   jedn ostkowych,  a  więc  przypadają cych  n a  jednostkę  dł u- goś ci  krawę dzi  elem entu.  W  tym  przypadku  zm ian a  naprę ż enia  wynika  jedynie  ze zm ian y  gruboś ci  powł oki  g.  Z  warun ków  <5(cig) =   0  i  dfag)  =  0  i  warunku  niezmien- nej  obję toś ci —  =   <5e3 =   — Ó£i—dsz i wynikają  zwią zki (1.17)  dat  -   ai(5si+8t3$, (1.18)  ÓG 2   =  a 2 (dei+de 2 ). U wzglę dniając  te  zwią zki  oraz  zależ ność  (1.15), kt ó ra  nie  ulega  zmianie, warunek  statecz- noś ci  (1.8)  przyjmie  p o st ać: (1.19)  *Ł . _L de  a de t   a p   2a p Warun ek  ten,  odpowiadają cy  ekstremalnej  wartoś ci  iloczynu  (a p g)  został   podan y  przez au t o ra  [5] (1961). N a wykresie  1 przedstawia  go  linia  c. ,  W  przykł adach  1.1- 1.3 rozpatrzon o  trzy  najprostsze  przypadki sprzę ż enia kinematycz- n ych  i  statycznych  warun ków  brzegowych,  prowadzą ce  do  stosunkowo  prostych  wyraż eń n a  warun ek  statecznoś ci.  Jedn akże  tego  rodzaju  najprostsze  rodzaje  sprzę ż enia  nie odpo- wiadają  na  ogół   rzeczywistym  warun kom ,  w  których  przebiegają  procesy  plastycznego pł ynię cia.  W  dalszym  cią gu  rozpatrzon e  bę dą  n astę pne  dwa  przypadki,  w  których  rodzaj sprzę ż enia  warun ków  brzegowych  wynika  z  analizy  rzeczywistych  warunków,  zachodzą- cych  w  kon kretn ym  procesie  plastycznego  pł ynię cia. 1.4.  Stateczność  cienkoś ciennej  rury  poddanej  dział aniu wewnę trznego  ciś nienia  p  i  rozcią gają cej  sił y osiowej P. W  obcią ż onej  w  ten  sposób  rurze, której  ś rednica  wynosi D,  a  grubość  ś cianki  g panuje  naprę ż enie  obwodowe i  osiowe Dp  . AgAg  nDg Ewen tualn a  zm ian a  ś rednicy  o  dD  lub  gruboś ci  o  8g,  zachodzą ca  przy  niezmiennej wartoś ci  sił y  P  i  ciś nienia p,  powoduje  odpowiednie  zmiany  n aprę ż eń „   _pD  ÓD  pD  dg Gl ~  2g  D  2g  g 2  Mechanika  teoretyczna pD 4* ZDZISŁAW IÓD \ D k g MARCIN IAK )  p  1 /   nDg\ Sg 8 •  + ÓD D 18 oraz Oznaczają c  SD/ D  =   dei  i  dg/ g  =   <5e3  oraz  biorą c  p o d  uwagę   warunek  stał ej  obję toś ci óei+ (5e2+ (3e3  =   0  powyż szym  zwią zkom  n adać  m oż na  postać (1.20)  dai (1.21)  Sai Trzeci  zwią zek  wynika  z  moż liwoś ci  swobodnego  odkształ can ia  się   m ateriał u  zgodnie z  istnieją cym  tam  uprzednio  stanem  naprę ż enia,  a  wię c  przyjmie  postać  podan ą   wzorem (1.15). U wzglę dniając  te  trzy  dodatkowe  zależ noś ci  wyraż one  równ an iam i  (1.20),  (1.21) i  (1.15)  w  warunkach  statecznoś ci  (1.8)  otrzymamy  po  przekształ ceniach Z wią zek  ten  p o d ał   H .  W.  S WI F T  [1]  (1952).  D la  zakresu  csi\ a x  <  1  przedstawia  go linia  d  n a  wykresie  1.  Odm ien n ą   propozycję   co  do  sprzę ż en ia  waru n kó w  brzegowych w  tym  zagadn ien iu  przedstawił   M . J.  H I L I E R  [7], 1.5.  Warunek  powstawania  bruzdy  prostopadłej do najwię kszego  naprę ż enia.  J a k  wyn ika  z  obser- wacji,  u t rat a  stateczn oś ci blachy  poddan ej  dwuosiowem u  n ieró wn o m iern em u rozcią gan iu uwidaczn ia  się   powstan iem  miejscowego  pocien ien ia  w  postaci  bruzdy  biegn ą cej  czę sto prostopadle  do  kierun ku  najwię kszego  n aprę ż en ia  rozcią gają cego.  K ieru n ek  t e n  ozn a- czymy  przez  1,  a  drugi  prost opadł y  d o  n iego  kierun ek  leż ą cy  równ ież  w  pł aszczyź n ie powł oki —  przez  2. Jeż eli  bru zda  jest  dostateczn ie  dł uga  w  p o ró wn an iu  z  jej  szerokoś cią,  t o  proces  jej powstawan ia  uwidaczn ia  się   miejscowym  wzrostem  skł adowej  ei  odkształ cen ia,  a  wię c wzrostem  wydł uż enia  m ateriał u  w  kierun ku  p ro st o p ad ł ym  do  bruzdy.  D r u ga  skł adowa odkształ cen ia  s2  jest  t a ka  sam a  w  bruź dzie, ja k  i  w  są siadują cych  z  nią   czę ś ciach po wł o ki. A  zatem  dopuszczaln e  kin em atyczn ie  są   jedyn ie  wariacje  skł adowych  ei  i  e 3.  Wa r u n ek ten  m oż na  zapisać  w  p o st ac i: (1.23)  dei  =   0 . D rugi  zwią zek  opisują cy  sprzę ż enie  waru n ków  brzegowych  rozpatrywan ego  elem en tu wyn ika  z waru n ku  niezm iennoś ci sił y przen oszon ej  przez  p o wł o kę  w  kieru n ku  1.  Wa r u n ek d(fig)  =   0  biorą c  p o d  uwagę   (1.23)  zapisać  m oż na  w  postaci (1.24)  6ax =  a x 8eu Aby  przypadkowo  zapoczą tkowana  bruzda  nie  pogł ę biała  się   dalej,  przyrost  n aprę ż en ia bo u   spowodowany  miejscowym  zmniejszeniem  gruboś ci,  powinien  być  proporcjon aln y  do przyrostu  naprę ż enia  uplastyczniają cego  óa p   wywoł anego  dodatkowym  umocnieniem  się materiał u  w  tym  miejscu.  A  wię c  nie  powinien  powodować  zmiany  stosun ku  n aprę ż eń gł ównych  ai/ a 2 .  Z m ian a  bowiem  tego stosunku  pocią ga  za  sobą  dalszą   zm ianę   stosun ku  od- kształ ceń gł ównych  dei/ ds 2   i wyzwala lawinowy proces  koncentracji  odkształ ceń w  bruź dzie. Zatem  w  zakresie  statecznoś ci  powł oki  podstawowa  nierówność  (1.8)  musi  być  speł n ion a ST AT E C Z N O ŚĆ  R O Z C I Ą G AN YCH   P O WŁ O K P LASTYC Z N YC H 19 nawet  przy  zał oż eniu o  niezmiennym  stosun ku  n aprę ż eń gł ównych.  Zał oż enie to  prowadzi do  trzeciego  zwią zku (1.25) do 2   a  2 P o  uwzglę dnieniu  warun ków  (1.24)  -   (1.26)  nierówność  (1.8) przyjmie  postać (1.26) daP Z ależ noś ci  tej, podan ej  przez  autora  [6]  (1965)  odpowiada  linia  e n a  rys.  1, 0,4 • Siał  0,2  % C 0 2 0 , 2 0,8 1,0 Stosunek  naprę ż eń  gtownych  6,/ ff, Rys.  2 We  wszystkich  om ówion ych  dotychczas  przypadkach  lewa  stron a  warunków  statecz- n oś ci  m a  postać  (do p / dB t )  •   (l/ a p ).  Wartość  tego  wyraż enia  jest  dla  danego  materiał u jedn ozn aczn ą   funkcją   odkształ cen ia zastę pczego  e;.  Zwią zek  ten,  zachodzą cy  n a przykł ad 20 Z D Z I SŁ AW  M AR C I N I AK dla  mię kkiej  stali,  pfzedstawia  wykres  zamieszczony  po lewej  stronie  rys. 1.  P orówn ują c dla  danego  stosunku  â /C)  rzę dną   odpowiedniej  linii  wykresu  umieszczonego  po  prawej stronie  rys.  1 z wartoś cią   wyraż enia  {dajds^   •   (l/ ffp)  po lewej  stronie tego  rysunku  wyzna- czyć  moż na  wielkość  odkształ cenia  s, w  punkcie  utraty  statecznoś ci.  Odkształ cenie  t o , którego  nie moż na  przekroczyć  bez utraty  statecznoś ci  powł oki,  jest  funkcją   stosun ku oi/ oi,  przy  czym  postać  tej  funkcji  zależy  od  rodzaju  warun ków  brzegowych,  co  uwi- dacznia  rys. 2. Linie  a, b, c, d, e  odpowiadają   omówionym  uprzedn io  warun kom  brze- gowym.  Rysunek  2  odnosi  się  do mię kkiej  stali,  której  wł asnoś ci  plastyczne  podan e  był y n a  rys.  1.  • 2.  Przebieg  odkształ cenia po utracie  statecznoś ci Z  chwilą   przekroczenia  zakresu  statecznoś ci  powł oki  powstaje  w  niej  pewien  ogran i- czony  obszar,  w  którym  koncentruje  się   dalszy  przyrost  jej  odkształ cenia,  podczas gdy na  pozostał ych obszarach  proces  odkształ cenia plastycznego  najczę ś ciej  ustaje.  Jeż eli  przez e iB   oznaczymy  odkształ cenie  zastę pcze  w  miejscu  najwię kszej  koncentracji  odkształ ceń , i 1 1   p o za p v c e n ie  2 § Ofi 0,7. 0,6. 0,5. a* OA 0.2 0,f 0 _ _ _ _ _ _  / a/ a  petnej  statecznoś ci _ . _  . —  / a?a  qyasisfatecznosci —.— — —faza  nisstatecznosci Stal  0,2 % C > / ' E / '  D SB/ SA  •   1 g B / CA-   0,95 g B / g A .0,95 6 H 0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  0,6  0,7  0,8  0.9  10 Odkształ cenie  zastę pcze  iv  bruź dzie  C ia Bys.  3 a  przez  e iA  — odkształ cenie,  jakie  w  tej samej  chwili  wystę puje  n a pozostał ym  obszarze powł oki,  a  wię c  w  miejscach  leż ą cych  poza  zasię giem  miejscowego  przewę ż enia,  t o  tego rodzaju  przebieg  procesu  utraty  statecznoś ci  przedstawia  linia  ł am an a  OAG,  pokazan a n a  wykresie  we współ rzę dnych  s iA ,  e, B  (rys.  3). P un kt  zał am an ia A jest  pun ktem  u t rat y statecznoś ci,  a  jego  rzę dna  s iA   stanowi  kres  moż liwoś ci  odkształ cenia  cał ej  powł oki. ST AT E C Z N O ŚĆ  R O Z C I Ą G AN YCH   P OWŁOK; P LASTYC Z N YC H   21 Tego  rodzaju  przebieg  odkształ cen ia zachodzi  n a przykł ad przy jednoosiowym  rozcią ganiu prę tów  lub  wą skich  taśm  oraz  przy  rozcią ganiu  pasów  w  warun kach  zapewniają cych niezmienną   ich  szerokoś ć. W  pewnych  jedn ak  warun kach  obserwuje  się   odm ienny  przebieg  procesu  utraty  sta- tecznoś ci.  M ianowicie  plastyczn e  pł ynię cie powł oki  poza  miejscem  przewę ż enia  nie  ustaje nagle  jak  w  om ówionym  poprzedn io  przypadku,  ale  trwa  przez  jakiś  czas  dalej  równo- legle  z  procesem  pogł ę bian ia  się   n iejedn orodn oś ci  odkształ ceń jak  to  n a  przykł ad  przed- stawia  linia  OBDF  n a  rys.  3.  Zjawisko  takie  zachodzi  wł aś nie  w  przypadku  tworzenia  się bruzdy,  om ówionym  uprzedn io  w  p .  1.5. Aby  zanalizować  dalszy  przebieg  odkształ cenia  po  przekroczeniu  pun ktu statecznoś ci, rozważ my  prostoką tny  element  powł oki  ABCD  (rys.  4),  którego  krawę dzie  są   zgodne z  kierun kam i  gł ównymi  1  i  2.  R ozpatrzon y  zostan ie  przypadek,  gdy  bruzda  jest  prosto- padł a  do  kierun ku  1.  Z ał óż m y,  że  proces  tworzen ia  się   bruzdy  został   już  rozpoczę ty A D mu i 2 IM B IZ C A D t / / ,'(ĄS/ t'/ / m '// '/ // / ,'/ / B c Rys.  4 i  w  rozpatrywanej  chwili  grubość  powł oki  n ie jest  jedn akowa;  w  przekroju  A- A  wynosi on a  gA,  n atom iast w  przekroju  B- B,  biegną cym  wzdł uż osi  bruzdy,  grubość  jest  mniejsza i  wynosi  g B .  Warun ki  brzegowe  wzdł uż  dwu  przeciwległ ych  krawę dzi  AB  i  CD  są   tego rodzaju,  że  pozwalają   n a  swobodn e  przemieszczanie  się   pun któw  powł oki  w  kierun ku  1 przy  zachowaniu równoległ oś ci boków  AB  i  CD,  których  odległ ość b zmienia się  w  procesie odkształ cenia.  Z  warun ku  tego  wynika,  że  przyrosty  skł adowej  odkształ cenia E 2  są   sobie równ e  w  obu  rozpatrywan ych  przekrojach,  a  zatem (2.1) db =   ds 2 A  =  ds 2B   = Wzdł uż  dwu  pozostał ych  boków  rozpatrywanego  elementu  powł oki  dane  są   statyczne warun ki  brzegowe  w  postaci  jedn ostkowych  sił   Si  przył oż onych  do  dwu  pozostał ych krawę dzi  AD  i  BC.  P on ieważ  o ba  rozpatrywan e  przekroje  A- A  i  B- B  przenoszą   tę   samą 22  Z D Z ISŁ AW  M ARC IN IAK sił ę  Si, przeto  panują ce  w  tych  przekrojach  n aprę ż en ia a iA   i  a 1B   muszą  speł niać  zwią zek B,  którem u p o wprowadzeniu  oznaczenia (2.2)  u= £ - af- n adać  m oż na  postać 2 (2.3)  o 1A g A =j N aprę ż enia  istnieją ce  w  obu  rozpatrywanych  przekrojach  muszą  po n adt o  speł niać warunki  plastycznoś ci: (2.4)  Ą A   =   a\ A ~a 1A   a 2A +a\ A , (2.5)  al B  =  a l B l Zał oż ymy,  że wartość  naprę ż enia  uplastyczniają cego  w  obu przekrojach  a pA   i  a pB   zależy od  istnieją cego  tam odkształ cenia zastę pczego  s iA   oraz e iB   w  myśl  zwią zku (2.6)  a p =Caf  lub  J . ±   =  ^ . W  dalszych  rozważ aniach  ograniczymy  się  do  przypadku,  w  którym  sprzę ż enie sta- tycznych  i kinematycznych  warunków  brzegowych jest  tego  rodzaju,  że  stosunek n aprę ż eń gł ównych  w  przekroju  A- A,  a więc w  miejscach  leż ą cych  poza  bruzdą,  nie ulega  zmianie /„ ~   da lA   _  da 2A   __  da pA V- 1 )  ~Z—  — ~Z  '- ~~  ~~Z  • W  przekroju  A- A  zachodzi zatem  odkształ cenie  proporcjon aln e,  a przeto  stosun ek  n odkształ ceń  gł ównych  £3̂ /62 J e s t  tam stał y (2.8)  n^ sJ±   ^ £2  de 2 N atom iast  w przekroju  B- B  stosunek  odkształ ceń gł ównych  zmienia  się w  czasie  procesu zgodnie  z  prawem  pł ynię cia, (2 9) = de 2   2o 2B —a 1B   ' które, po uwzglę dnieniu  zwią zku  (2.5) i  oznaczenia  (2.2), n apisać  m oż na w postaci (2.10)  * Ł de P o  zróż niczkowaniu  zwią zku  (2.3) i podzieleniu  stron am i otrzym anego wyniku  przez to samo  równanie  (2.3) otrzymamy (2.11)  .  —;  \ - de iA   =  \ - de 3B - Ą  , OlA  G1B  U ST AT E C Z N O ŚĆ  R OZ C I Ą G AN YCH   P O WŁ O K  P LASTYC Z N YC H   23 przy  czym ae 3A   =  i  cfe3B  =   • gB R ówn an ie  (2.11)  po  uwzglę dnieniu  zwią zku  (2.7) n apisać m oż na również  w  postaci du_  _  Udć pA   1  \   de u   ida pB   1  \   de iB   de tA u  L\   do u  apAl  de.%  \   da iB   a pB j  de 2   de 2 de2  J U wzglę dniając  zależ noś ci  (1.1),  (2.2),  (2.5),  (2.6),  (2.8)  i  (2.10)  równ an iu  powyż szemu m oż na  n adać  jeszcze  inną   postać ,„  , „   du  im  2 (2.12)  —  = '  u  \ e iA przy  czym  wchodzą ce  do  tego  wzoru  wartoś ci  s iA   oraz  s iB   zwią zane  są   dodatkowymi równ an iam i m  1  ,  l/ Ju  ,  1 \   ,r 1 ==+n+  — Idei, (2.13) ~  / 3 (2.14)  e iB   - R ówn an ia  (2.12)—(2.14)  stanowią   ukł ad,  którego  rozwią zanie  pozwala  wyznaczyć szukane  funkcje  E IB   =   eiB(e2)  oraz  u  =   U(E2),  opisują ce  przebieg  procesu  tworzenia  się bruzdy.  M oż na  wię c  tą   drogą   wyznaczyć  również  zwią zek  zachodzą cy  mię dzy  odkształ - ceniami s iB   oraz Si A . Wyniki  uzyskan e  przez przybliż one  rozwią zanie  tego ukł adu metodą  róż nic skoń czonych przedstawia  linia  OBDF  n a  rys.  3.  Linia  t a  odn osi  się   do  przypadku,  gdy  poza  bruzdą wystę puje  stan  jedn oosiowego  rozcią gania  n aprę ż en ia  G\ . Jak  widać  z  rys.  3  w  procesie plastycznego  pł ynię cia powł oki  wyodrę bn ić  m oż na  trzy  fazy. 1.  F azę   peł nej  statecznoś ci  (odcinek  OB),  w  czasie  której  w  bruź dzie  speł niony jest warun ek  statecznoś ci  (1.26). 2.  F azę  quasi- statecznoś ci  odpowiadają cą   odcinkowi  BD  n a rys.  3. W  tej fazie zachodzi jedn oczesn e  plastyczn e  pł ynię cie powł oki zarówn o  w  samej  bruź dzie  jak  i poza  nią ,  z  tym że  n iejedn orodn ość  odkształ ceń szybko  się   pogł ę bia. 3.  F azę  niestatecznoś ci, której  n a wykresie  3 odpowiada  prosty  odcinek DF  równoległ y do  osi  s iB .  W  tej  fazie  odkształ cenie  koncentruje  się   wył ą cznie  w  bruź dzie,  podczas  gdy pozostał e  czę ś ci  powł oki  ulegają   odcią ż eniu. W  wyniku  istn ien ia  quasi- statecznej  fazy  procesu  najwię ksze  odkształ cenie, jakiego dozn ać  może  cał a  powł oka  (poza  bruzdą ), przekracza,  i  to  czę sto  bardzo  znacznie,  war- tość  odpowiadają cą   pun ktowi  B  wyznaczają cemu  zakres  peł nej  statecznoś ci powł oki. Wartość  tego  dodatkowego  odkształ cenia,  zachodzą cego  w  quasi- statecznej  fazie procesu  zależy  od  dwu  czyn n ików:  wstę pnej  niejednorodnoś ci  powł oki  oraz  sposobu obcią ż enia  powł oki  (stosun ku  n aprę ż eń  gł ównych). 24 ZDZISŁAW  MARCIN IAK N ależy  tu  zauważ yć,  że w  celu  otrzym ania z  równ ań  (2.12)—(2.14)  skoń czonej  wartoś ci odkształ cenia  e iA   trzeba,  przy  wyznaczaniu  stał ych  cał kowania,  zał oż yć  pewną   wstę pną niejednorodność  powł oki, a wię c przyją ć  pewną ,  mniejszą   od jedn oś ci, począ tkową   wartość stosunku  ga/ SA-   W  rzeczywistoś ci  niejednorodność  ta  może  być  spowodowana  róż n ymi czynnikami,  n p.  pasmowym  rozkł adem  zanieczyszczeń,  miejscowym  obniż eniem  granicy plastycznoś ci,  zadrapaniem powierzchni blachy  itd. W  każ dym jedn ak  przypadku  m oż na ją sprowadzić  do niejednorodnoś ci  geometrycznej,  wyraż ają cej  się   począ tkowym  stosun kiem gruboś ci  g B / gA-  Linia  OBDF  na rys.  3 odnosi  się   do  powł oki o  wstę pnej  n iejedn orodn oś ci ia/ gA  =   0.95.  Linia  OCH  przedstawia  dla  porówn an ia  przebieg  odkształ cenia  wą skiego pasm a  o  tej  samej  niejednorodnoś ci  począ tkowej  g E / gA  =   0)95,  zachodzą cego  w  warun - kach  umoż liwiają cych  miejscowe  zmniejszanie  się  jego  szerokoś ci. 0,8- 9B/ 9A  •   0.975 0,1 0,8 0 , 9 1,0 Odkształ cenie  zastę pcze  w bruź dzie C  • . to Rys.  S Wpł yw  wstę pnej  niejednorodnoś ci jest  bardzo  znaczny.  Widać  to  z  rys.  5,  n a  którym poszczególne  krzywe  odpowiadają   róż nym  wartoś ciom  wstę pnej  niejednorodnoś ci. D rugim  czynnikiem,  wpł ywają cym  n a  przebieg  quasi- statecznej  fazy  procesu,  a  wię c i  na  wielkość  granicznego  odkształ cenia  powł oki  poza  bruzdą   e iA ,  jest  sposób  obcią ż enia powł oki,  wyraż ają cy  się   stosunkiem  o 1A \ a lB ,  Z ależ ność  ta  jest  przedstawion a  n a  rys.  6, przy  czym linia przerywana  oznacza  przejś cie  ze  statecznoś ci  do  quasi- statecznosci,  a  linia cią gła  oznacza  osią gnię cie  stanu  peł nej  niestatecznoś ci.  Jak  widać  z  tego  wykresu, najbardziej  niekorzystne  jest  rozcią ganie  powł oki przy  zachowaniu niezmiennej  szerokoś ci STATECZN OŚĆ  ROZCIĄ G AN YCH   POWŁOK  PLASTYCZNYCH 25 odkształ canego  pasm a,  a  wię c  gdy  ffz/ ci  =  112.  Wówczas  to  bowiem  zanika  przejś ciowa, quasi- stateczna  faza  procesu,  a  graniczne  odkształ cenie  powł oki  osią ga  minimum.  Warto również  zauważ yć,  że  w  przypadku  dwuosiowego  równomiernego  rozcią gania  (ffi  =   a 2 ) graniczna  wartość  odkształ cenia  jest  taka  sama  jak  przy  jednoosiowym  jej  rozcią ganiu (a 2   =   0). 0,5.. 0,4 i 0,3 . 0,1  ~ koniec  ą uasistaiecznosci i  począ tek  nieslatecznosci koniec  peł nej  statecznoś ci i poczqtsk  quashtatecznosti 0,2  0,4  0,6  0,8 Stosunek  naprę ż eń gtównych  6 2 / S, Rys.  6 W Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  H .  W.  SWI F T,  Plastic  instability  under plane  stress, J.  M ech.  P hys.  Solids,  1,  1952. 2.  A,  J J .  T O M J I E H O B J  II/ iacmuuecKoe  nanpnoicenHoe  cocmonnue  u  ycmofmueocmb  npoifecca  eumnotcKu dema/ ieu CJIOOKHOU  tfiopMU,  B o n p o c u  o6pa6oTiKeH H io,  B  IIJIOCKOM  HanpH>iiKejie3a  n ocjie  BbHOfla  H3 oSnacTH floi