Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS66\MTS66_t4z3\mts66_t4_z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3, 4 (1965; TEORETYCZN A  I  D OŚ WIAD CZALNA  AN ALIZA  N OŚ N OŚ CI  G RAN ICZN EJ ROZCIĄ G AN EGO PRĘ TA  Z  WYCIĘ CIAMI  O  N IESYM ETRYCZN IE  N ACH YLON YCH   KRAWĘ DZIACH LE C H   D I E T R I C H   (WARSZAWA) 1. Wstę p Analiza  n aprę ż eń  i  odkształ ceń  rozcią ganych  pł askich  prę tów  z  karbem  może  być przeprowadzon a  przy  zał oż eniu  pł askiego  stan u  odkształ cenia,  o  ile  grubość  prę ta  2/i (rys.  1) jest  wystarczają ca.  W.  Ż U KOWSKI  [1] wykazał , że  dla  prę ta  z  ostrym  karbem  ką to- wym  przy  stosun ku  h/ a  >  4  zarówn o  wielkość sił y  zrywają cej,  odniesionej  do  jednostki powierzchni, ja k  i  wartość  n aprę ż eń umownej  granicy  plastycznoś ci  praktycznie  nie  ulega Rys.  1 zm ianie.  W  pracy  [2]  bad an o  prę ty  z  karbem  o  zaokrą glonych  n aroż ach  i  stwierdzono, że  dla  stosun ku  h/ a  >  2  praktyczn ie  realizuje  się   pł aski  stan  odkształ cenia.  Wystarczają ca wartość  stosun ku  h/ a  =   3  wynika  z  badań  przeprowadzon ych  w  pracy  [3], w  której  zaj- m owan o  się   prę tami  z  karbem  ostrym  i  o  zaokrą glonych  n aroż ach.  Autorzy  zaznaczają jedn ak,  że  jeszcze  dla  h/ a =   6,67  istnieje  wpł yw  gruboś ci  2h  prę ta. Przy  zał oż eniu  m ateriał u  idealnie  plastycznego  odkształ cenia  dla  gł ę bokiego  karbu są   zlokalizowane  w  najwę ż szym  przekroju,  a  ich zakres jest  okreś lony  polem linii  poś lizgu. 42  LECH   D IETRICH W  niniejszej  pracy  analizowane  są   duże  odkształ cenia,  które  uzasadniają   przyję cie modelu  ciał a  sztywno- plastycznego.  Teoretycznie  prę t  ulegnie  zniszczeniu,  gdy  jego  sze- rokość  w  najwę ż szym  miejscu  zmaleje  do  zera  (a - > 0). Jeś li  w  warunku  plastycznoś ci  przyjmiemy  rzeczywistą   granicę   plastycznoś ci  a pl   dla danego  m ateriał u, to noś ność graniczną   dla prę ta z karbem  bę dzie  okreś lała sił a P B 1 , której przekroczenie  spowoduje  powstanie  duż ych  odkształ ceń.  Ze  wzglę du  n a  wzmocnienie materiał u  prę t  taki  bę dzie jeszcze  mógł   przenosić  wzrastają ce  sił y  aż  do  osią gnię cia  P mas . D alsze  rozcią ganie  spowoduje  szybko  zniszczenie  prę ta.  N oś n ość  graniczną   odniesioną do  sił y  P m o x  moż na  okreś lić  przez  podstawienie  do  warun ku  plastycznoś ci  n aprę ż eń  od- powiadają cych  wytrzymał oś ci  n a  zerwanie  R r . M ają c  okreś lone  kinematycznie  dopuszczalne  pole  prę dkoś ci  m oż na  analizować odkształ cenia  powstał e  w  karbie  podczas  rozcią gania.  Z agadnieniem  tym  dla  prę ta  z  sy- metrycznym  pół okrą gł ym  gł ę bokim  wycię ciem  zajmował   się   A.  J.  WAN G   [8].  P aram etry geometryczne  był y  t ak  dobran e,  że  siatka  linii  poś lizgu  skł adał a  się   wył ą cznie  ze  spirali logarytmicznych.  Rozwią zanie  dla  naprę ż eń  i  prę dkoś ci  wykon an o  analitycznie  metodą Riem anna.  Aproksymują c  to  rozwią zanie  okreś lono  kształ t  brzegu  podczas  cał ego  pro - cesu  odkształ cenia.  Jak  podaje  autor,  bł ę dy  powstał e  wskutek  przyję cia  upraszczają cych zał oż eń  mieszczą   się   w  granicach  bł ę du  stosowanej  konstrukcji  graficznej. P odobn e  rozważ ania  dla  prę ta  z  prostoką tn ym  gł ę bokim  wycię ciem  przeprowadził E. H .  LE E  [9]. P o  zbudowaniu  pola  linii  poś lizgu  podzielił   on  cał y  czas  procesu  odkształ - cenia  na  szereg  przyrostów  At  i  dla  każ dego  czasu  okreś lił   kształ t  brzegu.  W  pracy  [10] ten  sam  autor  badał   odkształ canie  brzegu  i  kwadratowej  siatki  dla  prę ta  osł abionego symetrycznym  wycię ciem  ką towym.  Ze  wzglę du  n a  ostre  zakoń czenie  karbu  nastę puje rozdzielenie  m ateriał u n a  dnie  wycię cia.  Odkształ cenie kwadratowej  siatki  dla  pół okrą g- ł ego  karbu  badan o  w  pracy  [11].  M ają c  prę dkoś ci  w  każ dym  pun kcie  siatki  okreś lano jej  przemieszczenia  dla  odpowiednio  mał ego  przyrostu  czasu  At. Analiza  procesu  odkształ cenia  przy  zał oż eniu,  że  uplastycznienie  nastę puje  w  cał ym najwę ż szym  przekroju,  jest  moż liwa,  gdy  stosunek  b/ a  jest  wię kszy  lub  równy  pewnej liczbie  stał ej dla  danego  typu  karbu. P odstawowa  teoria  rozwią zywania  zadań  w  pł askim  stanie  odkształ cenia  jest  wy- czerpują co  podan a  w  pracy  [4]. T u  zostaną   podan e  tylko  zwią zki,  które  muszą   być  speł - nione  wzdł uż  charakterystyk,  oraz  niektóre  ogólne  uwagi  dotyczą ce  rozwią zania. 2. Rozwią zanie dla naprę ż eń i prę dkoś ci W  zagadnieniach pł askiego  stan u  odkształ cenia mamy  pię ć  niewiadomych,  mianowicie trzy  skł adowe naprę ż enia a x ,  a y , r xy   oraz  dwie  skł adowe wektora  prę dkoś ci  pł ynię cia v x ,  v y . R ównania moż na rozwią zywać  niezależ nie dla n aprę ż eń i prę dkoś ci, o ile warun ki brzegowe są   dane  w  naprę ż eniach. Przez  podstawienie  w  zn an y  sposób  wartoś ci  X  i  v  zam iast  n a- prę ż eń  otrzymujemy  ukł ad  równań  typu  hiperbolicznego,  który  rozwią zujemy  metodą charakterystyk.  Zwią zki  wzdł uż  charakterystyk  są   n astę pują ce: dv =   tg  v,  X—v  =  con st wzdł uż  a , - - j-   =   —ctg  v,  X- \ - v  =   con st wzdł uż jS. AN AL I Z A  N OŚ N OŚ CI  G R AN I C Z N E J  P R Ę TA  Z  WYCIĘ CIAMI 43 Wykorzystując  wł asnoś ci  siatek  H en cky'ego- P ran dtla  m oż na  wykreś lnie  zbudować pole  linii  poś lizgu.  D la  niesymetrycznego  zaokrą glonego  wycię cia  pole  to  jest  przedsta- wione  n a rys.  2. \ \ F \ \ \ \ \ £ 71 \ < — t y 4 / \ -• t \ \ —' 1 L / /3 KA - - / / s. / y / / F J i / / >_ < < ; i . — \ Ł 1 1 • Rys.  2 D la  karbów  z  zaokrą glon ym  dn em  rozwią zanie  w  postaci  zamknię tej  został o podan e przez  R.  H I L L A  [4],  N aprę ż en ia  osiowe  wzdł uż  najwę ż szego  przekroju  wynoszą: G ran iczn ą  sił ę P  m oż na obliczyć  przez cał kowanie wartoś ci a y   n a obszarze  cał ego przekroju. Wzór  n a  współ czynnik  zwię kszenia  noś noś ci  granicznej  w  stosunku  do  prę ta  bez  karbu o  wymiarach  przekroju  2ax2h  m a  p o st ać: (2.1) r a P ole  prę dkoś ci  dla  karbu  niesymetrycznego  jest  okreś lone  jednoznacznie  (rys.  2). Z ewn ę trzne  linie  poś lizgu  ACDE'F'  i  A'C'DEF  są  liniam i  niecią gł oś ci  prę dkoś ci.  Jeś li sztywne czę ś ci poruszają  się z prę dkoś cią  v 0 ,  to wzdł uż zewnę trznych  linii m oż na  wyznaczyć skł adową  n orm aln ą  prę dkoś ci.  P ozwala  to  n a  okreś lenie  prę dkoś ci  w  cał ym  uplastycz- n ion ym  obszarze.  Oczywiś cie  wzdł uż  charakterystyk  muszą  być  speł nione  równania G eiringer. R ozkł ad  prę dkoś ci  w  po lu  linii  poś lizgu  m oż na  wyznaczyć  również  w  prosty  sposób wykreś lny  przez  zbudowan ie  hodografu  [6]. N a  rysun ku  3  przedstawiony  jest  plan  prę d- koś ci  dla  pola  ograniczonego  pu n kt am i  ACDEF.  Trójkąt  BEF  porusza  się  jako  ciał o • sztywne z  prę dkoś cią  odwzorowan ą  przez  wektor  OB'  (rys.  3). P rę dkoś ci  pun któw  należ ą- cych  do  obszaru  BCDE  są  okreś lone  wektoram i,  których  koń ce  leżą  n a  ł uku  C'B'.  N a- 44 LECH   D IETRICH tomiast  ł uk  A'B'  odpowiada  zaokrą glonej  czę ś ci  brzegu  AB.  P odczas  cał ego procesu  od- kształ cania  hodograf  jest  ten  sam. Szerokość  Ib  czę ś ci  chwytowej  musi  być  tak  dobran a,  aby  nie  został   przekroczon y warunek  plastycznoś ci  w  ż adnym  miejscu  poza  obszarem  plastycznym.  D ostateczn ą r'0,W 6 B' Rys.  3 Rys.  4 zserokość  2b  moż emy  uzyskać  budują c  przedł uż enie siatki  linii  poś lizgu  w  obszar  sztywny (rys.  4).  D la  wycię cia  o  ką cie  y  — T I/ 6  i  wym iarach:  a  =   1,  r  —  0,166  teoretyczny  sto- sunek  bę dzie  równy  b/ a  =  2,3.  Przedł uż enie  w  obszar  sztywny  został o  wykon an e  dla prę ta  o  takim  samym  kształ cie  wycię cia,  jaki  miał y  prę ty  uż yte  w  doś wiadczeniu. 3.  Proces  odkształ cenia D la  teoretycznego  okreś lenia  odkształ ceń  n an iesion o  n a  prę t  kwadratową   siatkę . Cał y  czas  procesu  podzielony  został   n a  dziewię ć  etapów.  Analizę   odkształ ceń u t ru d n ia fakt,  że  wraz  z  każ dą   zmianą   poł oż enia danego  pun ktu  zmienia  się  jego  prę dkoś ć.  Przyj- mują c  odpowiednio  m ał e  przyrosty  czasu  moż emy  zał oż yć, że  prę dkość  pu n kt u jest  stał a w  czasie  At.  D la każ dego  etapu za prę dkość  czą steczki  przyjmowano  jej  prę dkość w  chwili począ tkowej.  Koł owa  czę ść  brzegu  był a  aproksym owan a  jako  ł uk koł a  w  każ dym  etapie odkształ cenia. Zmienia się  zarówno prom ień tego  koł a jak  i poł oż enie jego  ś rodka  n a  osi  x. W  pracy  [8],  w  której  analizowano  odkształ cenia  prę tów  z  karbem  symetrycznym,  wy- kazan o,  że  przybliż enie  takie  dobrze  odpowiada  rozwią zaniu  ś cisł emu. AN AL I Z A  N OŚ N OŚ CI  G R AN I C Z N E J  P R Ę TA  Z  WYCIĘ CIAMI 45 N a  rysun ku  5  pokazan o  kształ t  brzegu  w  drugim ,  szóstym  i  ósmym  etapie.  Rysunek t en  został  wykon an y  przy  przyję ciu  prę dkoś ci  dolnej  czę ś ci  prę ta  za  zerową .  G órn a czę ść prę ta  przesuwał a  się   z  prę dkoś cią   v  =  2v 0 .  Cał y  czas  trwan ia  procesu  odkształ cania  aż d o  uzyskania  szerokoś ci  2a  =   0  został   oznaczony  przez  T .  P romień  zaokrą glenia  dna L Rys.  5 karbu  powię ksza  się   w  m iarę   postę powan ia  procesu  i  wzrasta  obszar  linii  poś lizgu  utwo- rzon y  przez  spirale  logarytm iczn e.  P rostolin iowa  czę ść  brzegu  BF  zmniejsza  się   i  przesuwa równolegle.  P o  czasie  t  =  0,623  •   T   obszar  uplastyczniony  zmniejsza  się   do  trójką ta krzywoliniowego  A 6 B 6 C 6 .  D alsze  prowadzen ie  procesu  powoduje  symetryczne  odkształ - cen ia  wzglę dem  chwilowej  osi  x. N a  rysunkach  6,  7,  8  i  9  pokazan o  poszczególne  etapy  odkształ cenia  kwadratowej siatki.  P rę dkość  górnej  i  dolnej  czę ś ci  prę ta  wynosił a  w0 =   1.  Ł atwo  zauważ yć,  że  mate- riał   w  górnej  czę ś ci  prę ta,  który  dozn ał   silnych  odkształ ceń,  zostaje  odcią ż ony  i  prze- suwa  się   jako  ciał o  sztywne.  N atom iast  w  dolnej  czę ś ci  prę ta  każ dy  nastę pny  obszar plastyczny  obejmuje  swoim  zasię giem  jeszcze  nieodkształ cony  materiał .  Jak  wynika z  rys.  8  i  9  najwię ksze  odkształ cen ia wystę pują   w  pobliżu  dna  karbu. P rę t  wykon an y  z  rzeczywistego  m ateriał u ulegnie  zniszczeniu  wcześ niej,  niż  to  prze- widuje  teoria  ciał a  idealnie  plastycznego.  Jedn ak  kształ t  utworzonej  w  procesie odkształ - can ia  krawę dzi  dolnej  czę ś ci  prę ta  powinien  mieć  podobn y  charakter jak  n a  rys.  9.  Ob- serwacja  zł omów  pozwala  sprawdzić  sł uszność  przyję tego  pola  prę dkoś ci. 9  s-   2,3  3,8%; 2)  dla  noś noś ci  granicznej  odniesionej  do  wytrzymał oś ci  n a  zerwanie  przy  b/ a  = =   1- 2,3  9% i przy  b/ a  >  2,3  4,8%. 6.  Wnioski P rzeprowadzone  doś wiadczenia  potwierdzają   sł uszność  teoretycznego  rozwią zania, z  którego  wynika,  że  noś ność  graniczna  dla  prę ta  z  niesymetrycznym  karbem  (rys.  1) bę dzie  taka  sama  jak  dla  prę ta  o  analogicznym  wycię ciu  symetrycznym.  N a  rysun ku  10 punkty  oznaczone  gwiazdkami  odnoszą   się   wł aś nie  do  symetrycznego  karbu.  K ą t  q> nie wpł ywa  na wartość  granicznych naprę ż eń. N atom iast  dodany  materiał   (zakreskowane  pole  n a  rys.  1)  utrudn ia  plastyczne  od- kształ cenia dolnej czę ś ci prę ta. Wpł ywa  to w  istotny  sposób  n a realizowane pole prę dkoś ci. W  przypadku  prę ta  z  niesymetrycznym  wycię ciem  pole  to  jest  okreś lone jedn ozn aczn ie. Z  obserwacji  zł omów próbek wynika, że pole prę dkoś ci przedstawione  n a rys.  2 jest sł uszne. Wydaje  się ,  że  wartość  ką ta  cp bę dzie  miał a  wpł yw  na ch arakter pola  prę dkoś ci.  D oś wiad- czalne  okreś lenie  tego  wpł ywu  nastrę cza  jedn ak  duże  trudn oś ci. Literatura cytowana w  tekś cie 1.  B. C .  >KyKOBCKHfł j ffec/ iopMupoBaHHoe cocmomue  u  npouHocmb  n/ iocKux  Hadpe3aHHbix  cmepMcneu npou3Bojibnou  mo/ iufuubi,  PacgeTŁi  Ha  npcmHOCTB,  B t i n .  9, M a n ir ir a . ,  M ocKBa  1963,  231- 252. 2.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  J.  MIASTKOWSKI,  Doś wiadczalna  analiza noś noś ci  granicznej rozcią ganych  pł askich prę tów z  karbem, Rozpr. Inż yn., 13 (1965),  637- 652. 3.  W. N .  FIN DLEY,  D . C.  D RU CKER,  An  experimental  study  of  plane plastic straining of  notched  bars, J.  Appl.  Mech., 32 (1965), 493- 503. 4.  R.  H I LL,  T he mathematical  theory of plasticity, Oxford 1956. 5.  W.  PRAG ER,  P. G .  H OD G E,  T heory of perfectly plastic solids, J. Wiley,  N ew York 1951. 6.  W.  PRAOER,  Probleme  der Plastizitatstheorie,  Basel 1955. 7.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  Przeglą d prac dotyczą cych  noś noś ci granicznej rozcią ganych prę tów z  karbem, Mech. Teoret. Stos., 3 (1965). 8.  A. J.  WAN G ,  Plastic flow  in a deeply notched bar with semicircular root,  Quart. Appl. M ath., 11 (1954), 427- 438. AN ALI Z A  N OŚ N OŚ CI G RAN ICZN EJ  PRĘ TA  Z WYCIĘ CIAMI  53 9.  E. H .  LE E ,  Plastic flow  in a  rectangularly  notched bar subjected  to  tension, J.  Appl.  M ech.,  21  (1954), 140- 146. 10.  E H .  LE E ,  Plastic flow  in a  V- notched bar pulled  in  tension, J. Appl.  M ech.,  1 (1952), 331- 336. 11.  L.  G AR R ,  E. H .  LE E , A. J.  WAN G ,  T he pattern  of  plastic  deformation  in  a  deeply  notched bar  with semicircular  roots,  J.  Appl.  M ech.,  23(1956), 56- 58. P  e 3 so  M e T E O P E T H ^ E C K H H   H   SK C T I E P H M E H T AJI LH tlH   AH AJTH 3  H ECyiH ,EH   C riOC OEH OC TH CTEP>KH EH ,  n O ^ BE P r AE M BI X  P ACTJD KEH H K),  OCJIABJIEH H BIX H E C H M M E T P I M H O H BLITOH KOft B  p a So ie  jiccneflyeTCH   flechopiwaipm  H  H ecym as  CTIOCOSH OCTB CTepHflseii  c  HecHMMeTpiraHoii (pH C  1) .  H a  ocHOBe  >KecTiiKHH  c pa3JiHqHMMH  oTHoineHHHMH  i / a a  yrnaiwH   ę rajiHCB  pacTH weH H io  BI U I OTŁ  no  pa3pfcma.  Pe3ynbTaTM   npH BefleH bi  Ha fluarpaM iwe 10.  O H H   cpaBHHBa- IOTCH   c  TeopeTH'qecKOH   ou;eHKOH   H ecymeft  cnoco6H ocTH , H cn on B3yii  npoflOJUKeHHe  n o jia  H anpH weimft  B >KeciKyM   o S n a c it  MO>KHO  nouy^H TB  H JD KH IOIO on&a- Ky  H ecym en  cn o co SH o d H . 3T a oą eH Ka  6on ee  6jiH3iKHO  n o - jryqHTB  n p n npHiweHeHHH  CTaTHMecKH  flonycTH M oro n o u n  H anpH weH H ft, npefljioweH H oro  B.  I lP ArE P OM . H 3  npH Beflemibix  pe3yjiBTaTOB  BU TeKaeT,  m o  H ecymaH   cnoco6H 0CTt  fljia  crep>KHa  c ^ecKoii  BtiTO'qKOH   ( p n c .  1) SyfleT  paBHoft  H ecym ea  cnocoSH ocTH   aH anormffloro  cTepaoiH   c H OH   BLiToqKofi.  JIoSaBxteirabiH   3a  cqeT  acHMMeTpHH  MaTepnaji  cymecTBeimo  Brnmei  Ha  xapaK iep C K O p O C T H . S u m m a r y TH E  TH EORETICAL  AN D   EXPERIM EN TAL  YIELD   POIN T  LOAD   AN ALYSIS F OR  N ON SYM M ETRICALLY  N OTCH ED   BARS  PU LLED  I N   TEN SION The  study  on  strain  and  yield  point  load  for  non- symmetrically  notched bars  (F ig.  1)  is  presented. The  deformation of  the  initially  quadratic net drawn on the bar was  studied under the assumption that the material  is  rigid- perfectly  plastic.  In  F igs.  6- 9  the  stages  of  this  process  are  shown. In  the experimental part  of  the study,  the non- symmetrically notched bars  of  different  ratio  b/ a and different  angles  were  pulled  in  tension  until  fracture.  The  results  are  shown  in  F ig.  10. The comparison of  the  results  with  the  theoretical  yield  point  load  is  given. By extending stress  field  into the rigid  part, the lower  bound of  the  yield  point load  may be obtained with a better degree  of  accuracy to the exact  solution  that the solution with the  application of  the statically permissible  stress field  proposed  by  W.  PRAG ER. I t  follows  from  the  analysis  that  the yield  point load  for  non- symmetrically  notched (F ig.  1)  is  the same  as  for  a  similar  bar  with  symmetric notch. H owever,  the  significant  influence  on  the  character of the  velocity  field  is  caused  by  the  additional material. ZAKŁAD   M E C H AN I K I  O Ś R O D K ÓW  C IĄ G ŁYCH I N STYTU TU   P OD STAWOWYC H   P R O BL E M Ó W  T E C H N I K I  P AN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 10  lutego  1966  r.