Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS66\MTS66_t4z3\mts66_t4_z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA .  3,  4  (1966) WYBRANE  ZAG AD N IEN IA  TEOR I I PŁYT  REISSN ERA I  TEORII PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH RYSZARD   G A N O W I C Z  (POZN AŃ ) 1.  Wstę p P roblem  pł yt  grubych,  postawion y  w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  [1  i  2],  nie  został do  chwili  obecnej  rozwią zany  w  sposób  zadowalają cy.  Wynika  to  ze  zł oż onoś ci problem u, w  którym  wymagane  jest  speł nienie  warun ków  brzegowych  zarówno  n a  powierzchniach górnej  i  dolnej  jak  i  bocznych.  Jako  pewne  uproszczenie  dopuszcza  się   w  teorii  pł yt grubych  speł nienie warun ków  brzegowych  n a  powierzchniach  bocznych  w  sensie  ś rednim, to  znaczy,  ż ą da  się   speł nienia ich  n a  krzywej  ograniczają cej  pł ytę   dla  wielkoś ci  wypadko- wych.  U proszczenie  t o ,  opierają ce  się   n a  zasadzie  Saint- Venanta,  pozwolił o  n a  rozwią - zanie  tylko  niewielu  przypadków  [2], N ajdalsze  uproszczen ia  wprowadza  tak  zwana  klasyczna  teoria  pł yt  cienkich  ogólnie biorą c  an izotropowych.  Teoria  t a  jest  rozbudowan a  niezwykle  szeroko  i  dla  wielu  tech- nicznie  waż nych  przypadków  daje  dobre,  w  porówn an iu  z  doś wiadczeniem,  przybliż enie. M a  on a jedn ak  szereg  n iedostatków  mię dzy  innymi  dlatego,  że  nie  uwzglę dnia  się   w  niej odkształ ceń  wywoł anych  sił ami  poprzecznym i.  N iedokł adn ość  tę   wielu  autorów  starał o się   usun ą ć  n a  przestrzen i  ostatn ich  lat  dwudziestu.  P owodem  tych  starań  są   potrzeby wynikają ce  z  praktyki  inż ynierskiej,  mianowicie  w  coraz  wię kszym  stopniu  wprowadza się   do  kon strukcji  elementy  pł ytowe,  powł okowe  i  belkowe  z  tworzyw  sztucznych  jak i  elementy  o projektowan ej  niejednorodnej  strukturze  wewnę trznej.  N ależą   tutaj  elementy wielowarstwowe,  kt ó re  projektuje  się   w  ten  sposób,  że  pewnym  warstwom  przypisuje się   okreś lony  ch arakter  pracy.  N a  przykł ad  pewne  warstwy  przenoszą ,  ogólnie  biorą c, n aprę ż en ia  n orm aln e,  a  inne:,  zgodnie  z  ich  cechami  wytrzymał oś ciowymi,  naprę ż enia styczne.  Kon strukcje  takie,  powszechnie  uż ywane  w  lotnictwie,  coraz  czę ś ciej  pojawiają się   w  budownictwie  lą dowym,  pomijanie  wię c  odkształ ceń  wywoł anych  sił ami  poprzecz- n ym i  w  warstwie,  gdzie  wystę pują   tylko  te  sił y, jest  niemoż liwe  do  przyję cia. Teoria  pł yt  cienkich  n ie  zdaje  też  egzaminu  w  analizie  stanu  naprę ż enia  pł yt jedn o- rodn ych  o  wym iarach  spotykan ych  w  kon strukcjach  stropów  grzybkowych  czy  pł yt  fun- dam en towych,  dlatego  też  ukazał o  się   dużo  prac  dotyczą cych  pł yt  grubych  n a  podł ożu sprę ż ystym,  n p . prace  [3 i 4]. D oś wiadczenia  wykazują ,  że  w  przypadkach  omówionych  wyż ej,  analiza  stanu  na- prę ż en ia,  przeprowadzon a  w  oparciu  o  teorię   pł yt  cienkich,  daje  obraz  fał szywy. W  zwią zku  z  powyż szym  szereg  autorów  [5- 10]  wprowadził o  pewne  modele  pł yt, AV  których  uwzglę dnia  się   odkształ cenia  postaciowe.  Zamierzeniem  tych  autorów  był o podan ie  teorii  opisują cej  zjawisko  zginania  pł yt  przy  uwzglę dnieniu  odkształ ceń  wywo- ł an ych  sił ami  poprzeczn ym i,  przy  czym powin n a  to  być  teoria  moż liwa  do  wykorzystania praktyczn ego.  W  pierwszym  rzę dzie  wymienić  należy  tutaj  prace  E.  REISSN ERA  [5],  który: 56  RYSZARD   G AN O WI C Z a)  zakł ada, że naprę ż enia norm alne a x ,  o y   oraz  styczne  r xy   mają   rozkł ad  prostoliniowy wzdł uż  gruboś ci  pł yty,  a  styczne  r xz ,  x yz   mają   przebieg  paraboliczny, b)  wprowadza  ś rednie  wartoś ci  odkształ ceń,  które  oblicza  z  porówn an ia  pracy  wy- padkowych  sił   n a  ś rednich  (sprowadzonych)  przemieszczeniach  z  pracą   odpowiednich naprę ż eń  n a  rzeczywistych  przemieszczeniach, c)  uwzglę dnia  naprę ż enia  normalne  ffz  prostopadł e  do  powierzchni  ś rodkowej  pł yty. W  teorii  tej  otrzymuje  się   nastę pują ce  zwią zki  mię dzy  przemieszczeniami  sprowadzo- nymi  i rzeczywistymi  [11]: =   - sr  I  w  1 — ( ~  I  dz  sprowadzone  ugię cie, 2h  J  L  \   n  I J to 2   =  - r-  I  w - r~ dz  sprowadzony  ką t  obrotu  wzglę dem  osi  x, ii  j  tt h ©3 =   - j—  v  —r-  dz  sprowadzony  ką t  obrotu wzglę dem  osi  y. Iv-   J  h Sprowadzone  ką ty  obrotu" pokazano  schematycznie  n a  rys.  1.  W  przypadku  gdy  a> 2  — =   — doixldx, naprę ż enia  styczne  wynoszą   zero. Rys.  1 D alszą   grupę   prac  stanowią   te, w  których  zakł ada  się ,  że  pł yta  zbudowana  jest  z  ma- teriał u  poprzecznie  izotropowego,  przy  czym  w  kierunku  prostopadł ym  do  powierzchni ś rodkowej  pł yta  jest  nieś ciś liwa.  N ależy  tu  wymienić  prace  A.  KROMMA  [6].  P oza  tym J. L.  BOAL  i  E.  REISSN ER  [7] zajmowali  się   także  takim  modelem  pł yty, rozważ ając  jedn ak warunki  brzegowe  na  krzywej  ograniczają cej  nie  tylko  w  sensie  ś rednim  i  dlatego  nazwali ten problem  «dwu i pół   wymiarowym». Indywidualne  podejś cie  do  zagadnienia  pł yt  grubych  wykazali  W.  Z .  WŁASOW i  N . N .  LEON TIEW  [3]. Wprowadzili  oni  tzw.  teorię   bimomentową ,  której  pierwszym  przy- bliż eniem  jest  teoria  pł yt  cienkich. Szeroką   klasę   pł yt, w  których  uwzglę dnia  się   odkształ cenia wywoł ane  sił ami poprzecz- nymi,  stanowią   pł yty  trójwarstwowe.  Teoria  tych  pł yt  rozwija  się   w  chwili  obecnej  nie- Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H 57 zwykle  szeroko.  W  teoriach  tych  pł yt  najczę ś ciej  zakł ada  się ,  że  warstwy  skrajne  są   sy- metryczne  i  speł niają   zał oż enia  teorii  pł yt  cienkich,  n atom iast  warstwa  ś rodkowa,  stał ej gruboś ci,  jest  nieś ciś liwa  i  pracuje  jedynie  n a  odkształ cenia  postaciowe.  Podstawowe równ an ia  takich  pł yt  m oż na  znaleźć  w  pracach  N . J.  H OF F A  [12],  ALEKSAN D ROWA  [13] oraz  C.  LiBOVE'a  i  S. B.  BATD ORF A  [14].  Opierają c  się   n a  tych  modelach wielu  autorów uzyskał o  kon kretn e rozwią zania  [15  i  16]. N ajbardziej  technicznie  uzasadn ion y  jest  trochę   uproszczony  model  pł yty  trójwar- stwowej,  mianowicie  taki,  w  którym  zakł ada  się ,  że  warstwy  skrajne  przenoszą   jedynie naprę ż enia  n orm aln e  i  styczne  poziome  stał e  n a  gruboś ci  warstwy  (brak  sztywnoś ci  n a zginanie warstw  skrajnych),  a warstwa  ś rodkowa  pracuje jedynie  n a naprę ż enia styczne  r iz . N a  rysunku  2  pokazan o  schematycznie  rozkł ad  naprę ż eń  oraz  odkształ cenia takiej  pł yty. Jak  widać  z  tego  rysun ku,  rozkł ad  naprę ż eń  omawianej  pł yty  trójwarstwowej  przypomi- n a  belkę   dwuteową .  Co  ciekawsze,  tak  zdefiniowany  model  pł yty  trójwarstwowej  jest szczególnym  przypadkiem  pł yty  reissnerowskiej  ze  wzglę du  n a  pewną   analogię   odpo- wiednich  zależ noś ci.  Wykaż emy  to  w  pracy. (Pz- 0 •   \ \   =  u>% = m  — 0  ze wzglę du n a powtarzanie  się  zależ noś ci  I I — - ^  W 2\ Fi W zwią zkach  (2.5).  P on adt o ze  wzglę du  n a  to, że  mamy  do  czynienia z zagadnieniem  szóstego  rzę du,  rozwią zanie  moż emy  skon struować tylko  za pomocą  jednej  funkcji  biharmonicznej i jednej  H t . Stą d po  wykon an iu przekształ - ceń  otrzymamy  dla  przypadku  (2.6)  nastę pują cą   reprezentację   niewiadomych (por. [15 i  20]): 8B  ,  8H W2= :- te+ ly- ' _SB__SH_ Pozostaje  jeszcze  w przypadku  powyż szym  problem  rozwią zań  szczególnych  ukł adu równań  niejednorodnych,  który  należy  rozpatrzeć  w  rozwią zaniach  szczegół owych. W  przypadku  pł yt  trójwarstwowych,  speł niają cych  zał oż enia  podan e  w  pun kcie pierwszym,  otrzymuje  się   zależ noś ci  zbliż one  do podan ych  powyż ej  dla  pł yt  reissnerow- skich.  Poniż ej  podamy  te zwią zki  powoł ują c  się  n a  wcześ niejszą   pracę   autora  [21]. Zwią zki  mię dzy  sił ami  wewnę trznymi  i  przemieszczeniami  cpi,   ' 2  \ 3y  '  8 gdzie  E, vi  oznaczają   stał e  materiał owe  warstw  skrajnych,  a  G s  =  G xz  =  G yx   m oduł odkształ cenia  postaciowego  warstwy  ś rodkowej. Postę pując  podobn ie  jak  poprzedn io,  otrzymujemy  nastę pują ce  przemieszczeniowe równania  równowagi: 2G s h  ' uo)  . r p + M -   v 2  l- vi3xdy~2G ll hi' 8y  2  l- vi  dxdy + \   \ - v x   8yi  2  dx*)^   2G s hi' gdzie  r\   =   Edhi/ G s (l+v{). Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   61 Po  sprowadzeniu  powyż szego  ukł adu  równań  do  równań  na  funkcje  przemieszczeń otrzymujemy: (2.11) Z  porówn an ia  wyprowadzonych  zwią zków  dla  pł yt  Reissnera  z  podanymi  powyż ej dla  pł yt  trójwarstwowych  widać,  że  te  ostatnie  ł atwo  otrzymać  z  pierwszych  zastę pując h 2 (2.12)  f " * ' ? '  • D - *A.  - FW- Tf,  o>i- *ę t oraz  pomijają c  bezpoś redni  wpł yw  obcią ż enia  p  na  momenty  zginają ce,  a  także  wpł yw 3/V&r i  Spjdy  w  równaniach  (2.3) i  (2.4). N a  podstawie  tych  krótkich  rozważ ań  widzimy,  że  pł yty  trójwarstwowe,  speł niają ce zał oż enia  podan e  w  punkcie  pierwszym,  są   szczególnym  przypadkiem  pł yt  reissnerow- skich.  D latego  w  dalszym  cią gu  pracy  bę dziemy  zajmowali  się   tymi  ostatnimi  podają c ewentualnie  rozwią zania  dla  pł yt  trójwarstwowych  bez  dodatkowego  ich  uzasadnienia. Omówienie  warunków  brzegowych  zagadnienia  zostanie  przeprowadzone  w  punkcie czwartym. 3.  Twierdzen ie  E .  Bettiego  o  wzajemnoś ci  prac W  punkcie  niniejszym  zajmiemy  się   wyprowadzeniem  twierdzenia  E.  Bettiego  dla pł yt  reissnerowskich.  Omawiane  twierdzenie  nie  jest  znane  w  literaturze  przedmiotu. Twierdzenie  to  leży  u  podstaw  znanej  metody  pun któw  osobliwych  («Singularitatenme- thode»), którą   zresztą   do teorii sprę ż ystoś ci  pierwszy  wprowadził   E. BETTI  [1].  Zastosowanie tego  twierdzenia  w  teorii sprę ż ystoś ci  i mechanice budowli jest niezwykle  szerokie.  Pozwala on o  n a  skonstruowanie  szeregu  rozwią zań  problemów  brzegowych  teorii  sprę ż ystoś ci. W  pracy  niniejszej  wykorzystamy  to  twierdzenie  do  skonstruowania  rozwią zania  dla  dość ogólnego  problem u  brzegowego  pł yt  Reissnera  a  także  pł yt  trójwarstwowych. Twierdzenie  E.  Bettiego  dla  omawianych  pł yt  speł nia  podobną   rolę   co  znany  wzór G reen a (3.1) w  teorii  funkcji  harmonicznych,  czy  też  wzór  [22] (3.2)  G  f  \   f  u- 1 V*v+  —L- graddiw) — vI  V2u+ r - 4r  graddivu)  dr  = J  J  J  I  \   1— 2v  I  \   1 — 2v  I] =   _  f  f[u- F (w)- v- F («) 62  •   RYSZARD   G AN O WI C Z w  teorii  równ ań  przemieszczeniowych  teorii  sprę ż ystoś ci (3.3)  A ^ Twierdzenie  E. Bettiego  wyprowadzimy  w  sposób  podobn y, jak  to uczynili  S. BERG M AN i  M .  SCH IFFER [22] dla  otrzymania wzoru  (3.2). Wprowadź my  do  rozważ ań  wyraż enie  n a energię   sprę ż ystą   n agrom adzon ą  w elemencie zginanej  pł yty  , }, ( 3  4 )  d V =  2 f t > 3  '  ~   2  '  S  '  ~   [l  Sa)  > -   '- •   •   ScOi Jeż eli  wykorzystamy  zwią zki  mię dzy  sił ami  wewnę trznymi  i  przemieszczeniami  sprowa- dzonymi  t»i  (2.1), to  otrzymamy  n a  energię   sprę ż ystą,  n agrom adzon ą   w  pł ycie rozpatry- wanej  wyraż enie  nastę pują ce: 1 — v(8mi\ 2  ,  5(1 —f) [  ,  , „   dcoi T"' 8^  (da>iY\ 2  \   ax Wprowadź my  teraz  do  dalszych  rozważ ań  pewien  funkcjonał   zależ ny  od  dwóch  grup funkcji  co,-  i ipi ,  ,  D  r  f  / 5(1  — v)\ da>i dfi  da)!  8fi  Bipi  8y>\ .~\ 1  T }   2  J  J  [  h 2   I  8x  dx  dy  8y  Sx  8y  \ B ,  5(l—v)8coi  ,  5(1—v)  ,  3ft)2  <9w2  ,  1 — v  3a>2  3 «2  ,  1 — v  80)3  8w 2 A2  5x  / r2  r  3x  ox  2  8y  Sy  2  8x  dy 8co 2   8v)i  \  — v3co2  dm  ,  5 ( 1—  v) l — vd(o 3   8f 3   80)3 8y> 3   6v(l  + v)  8ipz  6v(l  + v)  8y>3\ ,  , H   2  8xl)x~   +   ~dy~~8j +   5Eh   P ~8x +   5Eh   P ~8y\   Y Zwią zek  mię dzy  podan ym  wyż ej  funkcjonał em  i  pierwszą   wariacją   energii  sprę ż ystej, zostanie  omówiony  w  pun kcie  czwartym,  n a  razie  zauważ ymy,  że  funkcjonał   ten  zwią - zany  jest  z  wyraż eniem  n a  energię   sprę ż ystą   (3.5)  n astę pują co: (3.7)  V=e{w,co}. Zał oż ymy, że funkcje  co u  ip t  są   cią głe wraz  z pochodn ym i do  drugiego  rzę du w  pewnym pł askim  obszarze  B  oraz  cią głe wraz  z pochodn ym i pierwszego  rzę du n a brzegu  C  (rys. 4). N atom iast  o  funkcji  p{x,y)  zał oż ymy,  że  jest  ona  cią gła  wraz  z  pochodn ą   pierwszego' rzę du  w  B  i  cią gła  n a  brzegu  C. Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I P Ł YT TR ÓJWAR STWOWYC H 63 Zastosujemy  teraz  do  wyraż enia  (3.6) przekształ cenie  G reena.  Przykł adowo  zastosu- jemy  to przekształ cenie do cał ek: 8wi  ,  .  CC 8 2 o}\ - - ^ —dxdy =   — I  — ox  J  J  8x 2 B  B (3.8) p- £- dxdy  =   —  - f  f J J n Rys.  4 Jak  widać  z powyż szego,  dą ż ymy  do takiego  przekształ cenia  funkcjonał u  (3.6),  aż eby uzyskać  w  wyraż eniach  podcał kowych  funkcje  ip t   bez  wystę powania  ich pochodnych. Okazuje  się  to  moż liwe  do  przeprowadzenia  dla  cał ego  wyraż enia  (3.6).  Wten  sposób otrzymujemy (3.9)  * {« , , }=   - ^ ^ D  5(1  - v) 10 "25E(l ^ ) A  dp) - v)  dx] yiidxdy- \ - D  5(1 - y) 10  l- v h 2   l + v 52 10 T " ^2   J  l l W 2 + - ^ D_ 2 Y l 64  RYSZARD   G AN OWICZ Przedstawimy  teraz  funkcje  co 2 , co 3   oraz  ^2, ^3  n a  brzegu  C  przez  funkcje  co„,  co, i  ip„,  y> t  z pomocą  nastę pują cych  zwią zków: C02 =   co„cos(n,  x)—cQ,cos(n,y), ^ '  '  co3 =   ooncos(n,  y)- \ - cotcos(n,x). Interpretacja  fizyczna  tego  przedstawienia  stanie  się  jasn a  w  dalszym  cią gu  wywodu zasady  (twierdzenia)  E.  Bettiego. Jeż eli  pon adto  weź miemy  pod  uwagę,  że  (rys. 4) m„ =  m x cos 2 (n,  x)+m y cos 2 (n,y)- \ - 2m xy cos(n,  x)cos(n,y), (3.11)  m ni  =  (m y —m x )cos(n,  x)cos(n,y)+m xy [cos 2 (n,  x)—cos*(n,  y)], q„ = q x cos(n,  x)+g y cos(n,y), to  p o wykonaniu  prostych  dział ań  otrzymamy  n a funkcjonał   e{co, f)  wyraż enie  nastę- pują ce: (3.12,   e { „ , » } . _ | l 2 / B D  5(1 - v)  CC\ dmi  \ .  h* B \   D  50L - V h*  3 2  A2  g2  1  Ifi  1 +   v  g2 a ) 3 - v)  8x 2  10 dyzy2  \ Q \ ~v  dxdy v)h  8p\ v)  8x j25£(1 -   v)  8x j  W 2  dXdy+   2  te  J J  \  8y  10 T = ^ 8x~dy B te  8*  te  8*  1  6v(l + v)h  8p\ J W 3 +  y  J  [?„(co)vi+ w„(co)i/ i„+ m„t c Wystarczy  teraz zauważ yć  n a  podstawie  wyraż enia  (3.6), że  funkcjonał   e{a>, \ p}  nie  ulega zmianie  przy  przestawieniu  funkcji  a>i z funkcjami  tp b   a z  równoś ci  e{co,  ip) =  e{y>,  co] przy  uwzglę dnieniu  (3.12)  otrzymamy  wzór  dla  pł yt  Reissnera  analogiczny  do  toż sam oś ci Rayleigha- G reena  dla izotropowych  pł yt  cienkich [22] (3.13)  D fj  [(W V*u)v- uW v]dxdy  -   J  M„(a) |̂ - - F „ (w)»- M „ ()̂ J | +  F„(»)w &. Toż samoś ci,  o której  mówiliś my  wyż ej  dla  pł yt  Reissnera,  n ie  przedstawimy,  bowiem widoczna jest ona w sposób  dostatecznie wyraź ny  z równ an ia  (3.12) przy e{o,ip}  = e{y>,w}. Wielkoś ci  m,„ m nt ,  q„ oraz m xi   m y ,  m XJ ,  q x , q y ,  okreś lone  zwią zkami  (3.11), które  należy rozumieć zgodnie  ze wzorami  (2.1), przedstawiają  odpowiednie  wielkoś ci  sił   wewnę trznych zwią zanych  z polem  przemieszczeń  co t (ł   = 1 , 2 , 3).  P onieważ  n a razie  nie  zakł adaliś my, że  pole  to speł nia  równ an ia  równowagi,  więc  interpretacja  tych  zwią zków  jako  sił   we- wnę trznych  pł yty  Reissnera  jest  niemoż liwa.  Zwią zki  te  należy  jedynie  rozum ieć  jako pewne  okreś lone  funkcje  pola coj. Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   65 Przejdziemy  teraz  do wyznaczenia  wyraż enia  zasady  o wzajemnoś ci  prac. Zał oż ymy, że n a pł ytę  dział a obcią ż eniep(co)  oraz momenty X M (co),  Y M (to).  Towarzyszyć  temu  obcią - ż eniu  bę dą   przemieszczenia  sprowadzon e  w t (i —  1, 2, 3) ,  które  teraz  oczywiś cie  speł - niają   równ an ia równ owagi  (2.3).  Stan ten  okreś limy  jako  stan  S(co). N astę pnie oddzielnie analogicznie okreś limy  stan  S(tp), zwią zany z obcią ż eniem p(y>), X M (y>), Y M (tp) i przemiesz- czeniami  sprowadzon ym i  ipt(i—  1, 2, 3)  speł niają cymi  także  równania  równowagi  (2.3). Wykorzystują c  zależ noś ci  (3.12)  i  toż sam ość  e{w,  ip} — e{y>,  a>}  otrzymujemy: (3.14)  Jj  [p(a]i)ipi+XM((o)f2+Y M (a>)f 3 ]dxd)>+  J  [a B (co)ipi+m n (m)f n +m m (a)ip t \ ds  = B =   J J  [p(y)toi+X M (f)(»2+Y M (y>)o}3]dxdy+  J  [tf„(^)a>i- fm„(y>)a)„+m„,(f)co t ]ds, li  C co  przedstawia  poszukiwan ą   przez  n as zasadę   o wzajemnoś ci  prac  E. Bettiego  dla pł yt Reissnera. Jasn e  także  jest,  że wielkoś ci  wprowadzone  przez  nas zależ noś ciami  (3.10)  i  (3.11) przedstawiają   kolejno  (rys. 4): «„   sprowadzon y  ką t obrot u  wzglę dem  stycznej  do krzywej  brzegu C, co t   sprowadzon y  ką t obrotu  wzglę dem  norm alnej  do  krzywej  brzegu C, m n ,  m„ t   odpowiedn ie  m om en ty wzglę dem  osi n i t n a  brzegu C, q n   sił ę  poprzeczną   n a  brzegu C. N a  zakoń czen ie  tego  p u n kt u  omówimy  jeszcze  zasadę   E. Bettiego  o  wzajemnoś ci prac  dla pł yt  trójwarstwowych.  Wyprowadzenie  tej zasady  podał   autor  w  pracy [23]. T o k  wywodu  jest  analogiczn y  do podan ego  powyż ej  dla pł yt  Reissnera.  Pewne  uprosz- czenie  daje  fakt,  że w teorii pł yt  trójwarstwowych  m om enty zginają ce  nie są   bezpoś rednio zwią zane  z  obcią ż eniem  normalnymi p  [por.  (2.9)  i  (2.1.)]. Poniż ej  podam y jedyn ie  wyraż enie  analogiczne  do  (3.12), które  wystarcza  do  okreś le- n ia  zasady  E. Bettiego  dla pł yt  trójwarstwowych  po uwzglę dnieniu  wywodu  tej zasady dla  pł yt  R eissn era: (3.15)  e t {f,0}  =  - G s JJ  I by  2  l — vi dx8y  \   1 — vi  8y z   2 + y / c Samo  twierdzenie o wzajemnoś ci  prac dla  pł yt  trójwarstwowych  przedstawia  w sposób oczywisty  wyraż enie  (3.14). 4.  Warun ki  brzegowe Warun ki  brzegowe  dla  pł yt  Reissnera  wyprowadzimy  w oparciu o znane z  rachun ku wariacyjnego  poję cie  n aturaln ych  warun ków  granicznych.  D latego  zanim  przejdziemy do  ich  omówienia,  zwrócimy  uwagę   n a ś cisły  zwią zek  mię dzy  wprowadzonym w  punkcie 5  Mechanika  teoretyczna 66  RYSZ ARD   G AN OWI C Z poprzednim  funkcjonał em  e{w,ip}  i pierwszą   wariacją   energii  sprę ż ystej  n agrom adzon ej w pł ycie. Rozpatrzmy  pł ytę  poddan ą   dział aniu obcią ż enia p, X M   i  Y M .  Energię   sprę ż ystą   n agro- madzoną   w pł ycie przedstawia  wyraż enie  (3.5).  Obliczają c  pierwszą   wariację   energii  sprę - ż ystej  otrzymamy f  f  ( 5 ( 1 — v)  \ dcoi  ddrni  .  dan  8dcoi  dóm  8dwi~\ (4.1)  6V — DI   i — T T ~  - 5  a  ^  5  \ - M 2 —  \ - VJI- T—  - f v   '  J  J  {  h 2   I 8x  8x  óy  6y  6x  By J 5 ( 1 — v)8a>\   .  ,  5( 1 —r )  .  .  8(02880)2  ,  l — v h 1   8x  h 2   8x  8x  2h 1   8x  h 2   8x  8x  2  8y  8y  2  dx  8y 8(0386(02  ,  5 ( 1 — v)8(o\   ,  ,  8a>2 860)3  ,  1 — v  <9co2  SÓ0J3  ,  5 ( 1 —r )  . !?>>  (5y  A2  e j  0̂ ;  oj  2  8y  ex  h2 l — v  da> 3   8dco 3   da>i  dócos  6v(l- \ - v)  86a> 2 + + p Porównują c  wyraż enie  powyż sze  z  funkcjonał em  (3.6)  widzimy,  że (4.2)  dV- 2e(co,Sa>}. P o n a d t o  n a za ł o ż o n ych  wariacjac h  p rzem ieszczeń  6a) t (i  =   1 , 2 , 3 )  o t r z ym a m y  p r a c ę obcią ż en ia  p, X M   i Y M (4.3)  6L =p6o)i+X M 6w 2 +Y M 6o)i. N a  podstawie  powyż szego  i  zależ noś ci  z pun ktu  poprzedniego  otrzym am y,  że  podan e w punkcie drugim  niniejszej  pracy  równ an ia  równowagi  (2.3)  przedstawiają   ukł ad  równ ań Eulera  zagadnienia  wariacyjnego  znalezienia  m inim um  cał kowitej  energii  pł yty: (4.4)  •   6U=6V~6L   = 0. Warunek  powyż szy  wymaga  zerowania  się  jeszcze  nastę pują cego  wyraż en ia: t (4.5)  J  (q„6a)i+m„6co n +m nt da) t )ds, c które  wynika  z  zależ noś ci  (3.12)  przy  uwzglę dnieniu  (4.2).  Otrzymujemy  stą d  n aturaln e warunki  graniczne,  które pozwalają   n a okreś lenie  nastę pują cych  jedn orodn ych  warun ków brzegowych  dla  pł yt  Reissnera: 1.  q„ =   m„ =   m„ t  = 0 ,  5.  toi =   m„ =   m„, = 0, 2.  q„ =  m„ =  ft), =  0,  6.  o>i  =   w n  =   co,  = 0 , (4.6) 3.  coi =   m„ = m m   =  0,  7.  q„  =   m„  =  m„,  = 0, 4.  coi =   m„ =   co,  =  0,  8.  c„ =   co„  =   co,  =  0. Przez  analogię   do  pł yt  cienkich,  przyjmują c  za  decydują ce  warun ki  umieszczone w  pierwszych  dwóch  kolum nach  (4.6),  m oż na  by  okreś lić: warunki  1,2  jako  «krawę dź  swobodną », warunki  3,4  jako  «swobodne  podparcie», warunki  5,6  jako  «zamocowanie». Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   67 Jedn ak  ze  wzglę du  n a  fakt  wystę powania  dwóch  typów  warunków  brzegowych  w  każ dej z  wyż ej  wymienionych  grup  okreś lenia  powyż sze  nie  mogą   być  ś cisł e.  D latego  podają c warun ki  brzegowe  dla  pł yt  reissnerowskich  nie  moż na  posł ugiwać  się   wyż ej  podanym i okreś leniami  przeniesionym i  z  pł yt  cienkich.  N ależy  n atom iast  podać  ś ciś le  warunki wedł ug  (4.6).  Wydaje  się   moż liwe  n atom iast  uż ywanie  przykł adowo  takich  okreś leń  ja k «krawę dź  woln opodparta  z  przepon ą »  zamiast  warunku  typu  4. Powyż ej  nie  podaliś my  okreś lenia  («nazwy»)  warunków  brzegowych  typu  7  i  8  (4.6) ze  wzglę du  n a  t o ,  że  takiego  prostego  okreś lenia  nie  mają   też  analogiczne  warunki  brze- gowe  dla  pł yt  cienkich (4.7)  F„  =   0,  ^  =   0, gdzie  V„ jest  sprowadzon ą   sił ą   poprzeczną . Wnioski  p u n kt u  niniejszego  bez  dodatkowych  wyprowadzeń  rozszerzamy  na  pł yty trójwarstwowe,  w  których  także  wystą pi  osiem  typów  warunków  brzegowych  identycznych z  podan ym i wyż ej  (4.6). 5.  Zagadnienia podstawowe P rzedstawimy  teraz  zagadnienie,  którego  rozwią zaniem  zajmiemy  się   w  dalszym  cią gu pracy.  M ianowicie  bę dziemy  dą ż yć  do  wyznaczenia  przemieszczeń  sprowadzonych  co,- (/  =   1, 2,  3)  w  obszarze  B  za  pom ocą   wielkoś ci  brzegowych  (wielkoś ci  co( i  ich pochod- nych  n a  brzegu  C ). Z agadn ien ie  omówimy  dla  pł yt  Reissnera,  co  ł atwo moż na  rozszerzyć n a  pł yty  trójwarstwowe. Wracają c  do  naszego  problem u  stwierdzamy,  że  celem  naszym  bę dzie  znalezienie wzorów  analogicznych  do  nastę pują cych  znanych  zależ noś ci,  wynikają cych  ze  wzorów G reen a,  które  są   podstawą   dyskusji  n ad  funkcjami  harm on iczn ym i: dla  przestrzeni  trójwymiarowej  czy dla  przestrzeni  dwuwym iarowej. Analogiczne  zresztą   wzory  są   znane  także  dla  równań  teorii  pł yt  cienkich  [22], (5.3)  w(Qo) =   — c gdzie  S(P,  Q)  =   r* In r  (por.  też  [24]). We  wszystkich  tych  wzorach  wystę pują   funkcje  osobliwe,  jak  u  =   l/ r  we  wzorze (5.1), u  =   In r we wzorze  (5.2) czy  S(P,  Q)  =   r* In r we wzorze  (5.3). F unkcje te  nazywamy rozwią zaniami  osobliwymi  danego  zagadnienia  czy  też  osobliwoś ciami  podstawowymi 68  R YSZ AR D  G AN O WI C Z [25, 26 i  21].  Speł niają   one  równania  danego  zagadnienia  w  cał ym  rozpatrywanym  ob- szarze  z  wyją tkiem  jednego  pun ktu,  w  którym  wykazują   osobliwość  decydują cą   o  sł usz- noś ci  wzorów  podanych  powyż ej. Interpretują c  pod  wzglę dem  fizycznym  rozwią zania  osobliwe  teorii  sprę ż ystoś ci  wiemy, że  przedstawiają   one  rozwią zanie  dla  danego  obszaru  przy  pewnych  obcią ż eniach  sku- pionych.  Przykł adowo  rozwią zanie  w  =   rl  In r  w  teorii  pł yt  cienkich  jest  rozwią zaniem pł yty  nieograniczonej  obcią ż onej  sił ą   skupioną . Przechodzą c  do  teorii  pł yt  Reissnera,  w  celu  znalezienia  wzorów  analogicznych  do omówionych  powyż ej,  bę dziemy  musieli  znaleź ć  rozwią zania  takich  pł yt  przy  obcią ż eniu skupionym  oraz  udowodnić  moż liwość  wykorzystania  tych  rozwią zań  do  okreś lenia  prze- mieszczeń  sprowadzonych  za  pomocą   wartoś ci  brzegowych. Powoł ajmy  się   teraz  n a  wyprowadzoną   w  punkcie  trzecim  niniejszej  pracy  zasadę o  wzajemnoś ci  prac.  Spójrzmy  n a  wzór  (3.14)  wyraż ają cy  tę   zasadę ,  biorą c  p o d  uwagę poję cie  zasady  prac  wirtualnych.  Okreś lmy  stan  5(w)  jako  stan  obcią ż eń  rzeczywistych, a  stan S(iji) jako  stan obcią ż eń wirtualnych.  Zał oż ymy dodatkowo, że stan rzeczywisty  S(co) zwią zany  jest  jedynie  z  obcią ż eniami  brzegowymi.  Wtedy  rozwią zania  co t (i=  1, 2, 3) bę dą   w  obszarze  B funkcjami  regularnymi.  Oznaczają c  wię c  zgodnie  z  tym  co  powiedziano wyż ej  fi  =   «,-   otrzymamy (5.4)  f  f  (~pu}i+X M W 2+Y M a)i)dxdy  =>  J(q n o)i+m„m n +m m oJ t —'q r ,ah~m„a) n ~m, :t co t )ds. B  c Jeż eli  bę dziemy  chcieli  znaleźć  wielkość  przemieszczenia  pionowego  OH{QO),  to  należy przyją ć  p  =   8(Qo),  X M   =   3V  =   0.  Analogicznie, jeż eli  bę dziemy-   szukać  W 2(Qo),  to  przyj- miemy  Xu  =  <5(<2o), p  =   Y M   =   0.  P odobnie  postą pimy  szukają c  &>3(2o). Przy  tak  okreś lonym  obcią ż eniu,  wykorzystują c  znane wł asnoś ci  funkcji  D iraca  <5(Q0), otrzymamy  kolejno  po  lewej  stronie  równoś ci  (5.4): (5.5)  / /   d(Q 0 )w i dxdy  =   co((Qo). Problemem  wię c jest  znalezienie  rozwią zań  pł yty  dla  obcią ż eń  skupionych  p  =  d(Q 0 ), XM  =   <5(2o), Y M   =   S(Qo). Rozwią zania  takie  wstawione  po  prawej  stronie  równoś ci  (5.4) pozwolą   kolejno  na  obliczenie  coi, a>2, 013 za  pomocą   wielkoś ci  brzegowych. Rozumowanie powyż sze  pokrywa  się  z wielokrotnie  stosowanym  w  mechanice budowli. M ianowicie,  jeż eli  chcemy  znaleźć  jakieś  przemieszczenie  danego  ustroju,  to  aby  sko- rzystać  z  równań  zasady  prac  wirtualnych,  powinniś my  znać rozwią zanie  dla  tego  ustroju przy  dział aniu  obcią ż enia  skupionego  w  kierun ku  poszukiwanego  przemieszczenia. Cał y  powyż szy  wywód  nie  m a  potrzebnej  ś cisł oś ci,  daje  jedn ak  wskazówkę ,  n a  jakiej drodze  należy  szukać  danego  rozwią zania  osobliwego.  D latego  po  znalezieniu  w  pun kcie nastę pnym  zgodnie  z  podan ym i  powyż ej  sugestiami  rozwią zań  osobliwych,  w  pun kcie siódmym  wykaż emy  prawidł owość  uzyskanych  wyników  przez  udowodnienie,  że  wy- kazują   one odpowiednie osobliwoś ci  do zastosowania  ich do wzorów  wią ż ą cych  wielkoś ci o>i z \ vi2lk0sciami  brzegowymi. Zwróć my  jeszcze  uwagę   n a  pewną   róż nicę   w  przypadku  obcią ż enia  m om en tem  sku- pionym  w  teorii  pł yt  Reissnera  w  stosunku  do  teorii  pł yt  cienkich.  M ianowicie  jeż eli ZAG ADN IEN IA  PŁYT  REISSNERA  I PŁYT  TRÓJWARSTWOWYCH 69 wprowadzimy  analogicznie  jak  w  teorii  pł yt  cienkich  definicję   momentu  skupionego ja ko  granicę   M x   — lim Pe x   (rys.  5), to  w  wyniku  otrzymamy  m om ent skupiony  pracują cy n a  przemieszczeniu  BcoijBx (rys.  6). W  przypadku  pokazan ym  n a  rys.  6a  praca  L   — M- p~  # 0 ,  a  w  przypadku  po- kazan ym  n a  rys.  6b  praca  L   =   M~—  =   0.  Jak  m oż na  zorientować  się   z  powyż szego, rozwią zanie  zagadn ien ia  pł yty  obcią ż onej  tak  zdefiniowanym  momentem, uż yte  po  prawej Hm P e x = M 0 Rys.  5 stronie  równoś ci  (5.4),  doprowadzi  do  wyznaczenia  odkształ cenia 8c»i/ dx. To  oczywiś cie nie  wprowadza  nowoś ci  w  stosun ku  do  obliczenia  ugię cia  a>i, ponieważ  po  zróż niczko- wan iu  tego  ostatn iego  z  ł atwoś cią   otrzymamy  dcoijdx.  N atom iast  n adal  nie  bę dziemy znali  wielkoś ci  w 2 . Widzimy  wię c,  że  interesować  nas  bę dzie  w  pierwszym  rzę dzie  obcią ż enie momentem skupionym  zdefiniowanym  w  oparciu  o  obcią ż enie  X M   - »•   <5(2o)  czy  YM  - * d(Qo),  a  nie a -E r  / Rys.  6 w  oparciu  o parę   sił  pion owych.  W  dalszym  cią gu  pracy  obcią ż enie  X M   =   Md(Qo)  i  Y M   — =   Md(Qa)  bę dziemy  nazywali  m om en tam i  skupionymi,  n atom iast  obcią ż enie  zdefinio- wane  jako  lim Pe  —  M  m om en tem  skupionym  pary  sił   pionowych. Powyż sze  rozważ an ia  n ad  definicją   m om en tu  skupionego  są   waż ne  także  dla  pł yt trójwarstwowych.  P oza  tym  m om en t  skupiony  X M   =   Md(Qo)  czy  Y M   =   M6(QQ)  m a w  teorii  tych  pł yt  prostą   interpretację   fizyczną   jako  para  sił   skupionych,  przył oż onych poziom o  w  warstwach  skrajnych. 70  RYSZARD   G AN OWICZ 6. Rozwią zanie  podstawowe Zgodnie  z  sugestiami  podanym i  w  pun kcie  poprzedn im  przystą pimy  teraz  do  roz- wią zania  zagadnienia  nieograniczonej  pł yty  Reissnera  obcią ż onej  kolejno  sił ą  skupioną, momentem  skupionym  pary  sił   pionowych  oraz  m om en tem  skupion ym . 6.1.  Obcią ż enie  silą  skupioną.  Rozwią zanie  wyprowadzimy  w  oparciu  o  ukł ad  równ ań (2.4).  Przyjmiemy  X M   =  Y M   =   0,  nastę pnie  wykonamy  podwójną  nieskoń czoną  tran - sformację  F ouriera  [28]: (6.1) 1 In r J—  OO OO f J- DO OO —  C O  — O O ukł adu  równań  (2.4). Po  wykonaniu  dział ań  i  wykorzystaniu  zależ noś ci  (2.5)  i  (6.1)  otrzym am y  poszuki- wane  przemieszczenia  w  postaci  nastę pują cej: o u  ex = —  f f IT lD  J  J (a —  OO  — O O 2 CO  OO —  OO  —OO OO  00 (6.2)  3  2TT£)  J  J  (&+$*)* P  ^  '' — o o  — o o 00  00 —  OO  —DO COX" '  =  —  • J  J  O2+ - OO  — C O CO  00 —  CO  —C O Powyż ej  przyję to  rozł oż enie funkcji  co( n a  dwie  grupy  funkcji,  z  których  pierwsza  (z  in- deksem  1)  oznacza wpł yw  funkcji  Fi,  a  druga  (z  indeksem  2) wpł yw  funkcji  przemieszczeń F%  i  Ą.  Cel  tego  rozł oż enia znajdzie  uzasadnienie  poniż ej,  gdzie  przedyskutujemy  oddziel- nie  poszczególne  skł adniki  rozwią zania  (6.2). Przejdziemy  teraz  do  obcią ż enia  sił ą  skupioną  P.  Przyjmiemy  wię c,  że  p(x,y)  — =   Pd(x)  d(y)  i  otrzymamy  stą d/ )*(a,/ S)  =   P/ 2n.  Wstawiając  tak  okreś loną  tran sform atę obcią ż enia  do  zależ noś ci  (6.2)  otrzymamy  poszukiwane  rozwią zanie  (funkcje  coj)  w  po- staci  cał kowej. Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA I  P Ł YT  T R Ó J WAR STWOWYC H   71 Aby  wyznaczyć  poszukiwan e  przemieszczenia  w  postaci  jawnej  musimy  umieć  obli- czyć  nastę pują ce  cał ki: —  C O — C O  —  C O  —  O O (6.3) F  F  ~K*x+ liy)  7  F  iae~K*x+ m —  0 0  -   OO  —  CO  —  CO C ał ki  powyż sze  n ie  istnieją  ja ko  cał ki  niewł aś ciwe,  nie  moż emy  im  także  przypisać wartoś ci  gł ównej  wedł ug  C auchy'ego.  Okazuje  się  jedn ak,  że  m oż na  przypisać  im  pewną wartoś ć.  M ianowicie  m oż na wydzielić  z nich tzw.  «czę ść  skoń czoną )),  (p.f.—- the finite part). Okreś lenie to zn an e jest w literaturze i pierwszy  raz pojawił o się dzię ki J.  H AD AM ARD OWI [29],  W  polskiej  literaturze  korzystał   z  tego  poję cia  W.  N OWAC KI  [17]  i  H .  ZORSKI  [30]. P rzypom nim y  tu  definicję,  jakiej  uż ył   N O WAC K I ,  który  czę ść  skoń czoną  cał ki  roz- bież nei (6.4)  Jf(a)da okreś la  n astę pują co: b N i e c h  / f ( a ) d a  d la  e > 0  bę d zie  c ał ką  zbież n ą;  za kł a d a jąc  f(p)  =  g(a)- \ - h(a); b G'(a)  =  g(a)  i  zbież ność  cał ki  /   h(a)da,  czę ść  skoń czoną  cał ki  rozbież nej  (6.4)  defi- a niujemy  n astę pują co: ii  h (6.5)  p.f.  Jf(a)da  =   G(b)+  /  h(a)da. a  a Okazuje  się,  że  czę ść  skoń czoną  cał ki  rozbież nej  m oż na  otrzymać  przez  formalne wielokrotn e  cał kowanie jej  przez  czę ś ci.  M oż liwość  uzyskania  w  ten  sposób  czę ś ci  skoń- czonej  pewnej  cał ki  rozbież nej  wykaż emy  poniż ej.  Jest  to  istotne  ze  wzglę du  n a  fakt,  że definicja  powyż sza  (6.5),  n a  której  się  zresztą  oprzemy,  nie  podaje  drogi  uzyskania  roz- ł oż enia  fun kcji/ (a)  n a  h(a)  i  g(a). Zanalizujmy  podan ą  powyż ej  definicję  czę ś ci  skoń czonej  cał ki  rozbież nej.  Zajmiemy się  cał ką  rozbież ną  w  postaci: gdzie p  >   1 jest cał kowite. Z ał oż ymy, że funkcja  cp{d)  m a poch odn e do rzę du/? i jest  ograniczona  razem ze  swoimi A pochodn ym i w przedziale <  0, b  > .  P oza tym zał oż ymy, ż er/ / '£)(a) <  —przy  a  - »•  oo,  /  >  1. 72  RYSZARD   G AN OWICZ Zajmiemy  się  n a razie  cał ką   zbież ną   J  — - — da.  Cał kują c  przez  czę ś ci  otrzymamy a? E •  0 biorą c  pod  uwagę ,  że  zgodnie  z  (6.5)  odrzucamy  wartoś ci G (0).  Otrzymamy  w takim  przypadku  nastę pują cy  wzór  na  obliczenie  czę ś ci  skoń czonej przy p > 1: (6.8)  f.p.J —da  =  j - Cał ka  wystę pują ca  po prawej  stronie  powyż szego  wyraż enia  jest  zbież na  na mocy uczynionych  wyż ej  zał oż eń  dotyczą cych  funkcji  q>(a). Jeż eli bę dziemy  stosowali  wyż ej podany wzór  n a  obliczenie  czę ś ci  skoń czonej  cał ki  (6.6) w  przypadku  b -> oo, to  otrzymamy  dla/ ) > 1: (6.9)  f.p. fig- *—  Q.JlZ.  ̂ j Cał ka  wystę pują ca  po prawej  stronie  wyraż enia  (6.9)  jest  cał ką   zbież ną,  ponieważ zał oż yliś my,  że q>w(a) <   A/ a'  przy  a - >•   oo,  /  > 1. Łatwo  zauważ yć,  że zgodnie  z  (6.5)  czę ść  skoń czona  cał ki  rozbież nej  zdefiniowana jest  z dokł adnoś cią   do  H(a)\ a=0   <  M.  N iemniej  wyniki  uzyskane  za pomocą   tej  definicji są   prawidł owe,  co  udowodnimy  w p.  7 niniejszej  pracy.  Wytł umaczyć  to  m oż na  faktem, że  dodatkowe  ewentualne  czł ony  rozwią zania  typu  H(a) są  czę ś ciami  regularnymi  naszego rozwią zania.  N a  powyż szy  fakt  pewnych  niedomagań  definicji  czę ś ci  skoń czonej  zwrócił już  uwagę   J.  H AD AMARD  [29]. Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA I P ŁYT  TR ÓJWAR STWOWYC H   73 Z auważ ymy,  że jeż eli  chcemy  obliczyć  czę ść  skoń czoną   cał ki J o to  cał kują c  formalnie  przez  czę ś ci  otrzymujemy  [por. (6.8)] oo  oo f.p. j  ~~- da  =  -   f   0: o  '  o C  jest  stał ą   Eulera,  co  pokrywa  się  z  dokł adnos'cią   do  stał ej  C z  czę ś cią   skoń czoną otrzym aną   przez  Z ORSKIEG O  [30]. Przejdź my  teraz  do  problem u  cał ek  Ri, R 2>  R 3 , R*  (6.3).  Poniż ej,  wykorzystują c po- przedn io  omówione  poję cie  czę ś ci  skoń czonej  cał ki  rozbież nej,  obliczymy  przykł adowo cał kę  Ri: — co  —o o cosax Po  wzię ciu pod uwagę   [31], że C  c otrzym am y: (6.11)  R 1 o  ' Skorzystamy  teraz  z  zależ noś ci  (6.9) i  otrzym am y: (6.12)  " ^  r e z > 0 , p.f.  J  i_aj?- *(c+ lnj), gdzie  C jest  stał ą   E ulera.  Stą d  ostateczn ie: P ozostał e  cał ki  (6.3) otrzymujemy  wykorzystują c  zależ noś ci: 74  RYSZARD   G AN OWICZ Stą d: Ri  = 7t^ j- {C+\ n]/ x 2 +y 2 ),  R 2  =  - 2n(\ n) (6.13) W  zależ noś ciach  powyż szych  i w dalszym  cią gu  pracy  cał ki  należy  rozumieć w  sensie «czę ś ci  skoń czonej»  pom im o  nie zaznaczenia  tego  symbolem  p.f. Oczywiś cie  cał ki  te  jak wspomniano  dają  rozwią zanie  naszego  zagadnienia  z  dokł adnoś cią  do czę ś ci  regularnej. Ostatecznie,  wstawiając  otrzymane  powyż ej  wartoś ci  cał ek  do zależ noś ci  (6.2)  przy p*  =  P/ 2n,  otrzymujemy  rozwią zanie  problem u: (6.14.1) (6.14.2) £ ' 4 8 ) =   - W  rozwią zaniu  powyż szym  pom inię to  stał ą  Eulera  C,  która  n ie  wpł ywa  n a rozwią zanie osobliwe. Ł atwo  sprawdzić,  że  otrzymane powyż ej  rozwią zanie,  bę dą ce  sumą  rozwią zań  (6.14.1) i  (6.14.2),  speł nia ukł ad  równań  (2.4) przy  X M  =  Y M  =  0 z wyją tkiem  p u n kt u  (0, 0)  oraz warunek  równoważ enia  się  sił  tną cych z sił ą P dla  obszaru  zawierają cego  wewną trz  pu n kt ( 0, 0) : (6.15)  •   fq„ds  = P. c P on adto  okazuje  się, że warunki  powyż sze  speł nia  samodzielnie  także  rozwią zanie (6.14.1),  podczas  gdy  rozwią zanie  (6.14.2)  daje (6.16)  fq„ds  = O. c Powstaje  więc  pytanie,  które z tych  rozwią zań  jest  poszukiwanym  rozwią zaniem  przy dział aniu  sił y skupionej.  M ianowicie „ ,  _  ,,)(i)   C7V   , , , _  f,j(i)- L,- ,>(?)  z =   1  2  3 Warto  tu wspomnieć prace E.  STERN BERG A  i R. A.  EU BAN KSA  [32,33], którzy  zajmowali się  problemem  sił y  skupionej  w teorii  sprę ż ystoś ci  i udowodn ili,  że jeż eli  zaż ą dać  od  roz- wią zania  od sił y  skupion ej: a)  speł nienia  równ ań  zagadnienia, b)  speł nienia  warun ków  brzegowych, c)  regularnoś ci,  z  wyją tkiem  pu n kt u  przył oż enia  sił y  skupionej  oraz  równowagi  sił y skupionej  z  sił ami  brzegowymi  dla dowolnego  obszaru  otaczają cego  pun kt  osobliwy, to  takie postawienie problem u jest niejednoznaczne. Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT TR ÓJWAR STWOWYC H 75 Rozwią zanie  jedn ozn aczn e  otrzymują   oni  przez  ż ą danie  dodatkowej  cechy,  jaką   ma speł nić.  Cechą   tą ,  wedł ug  wyż ej  wspomnianych  autorów, jest  odpowiedni  rzą d  naprę ż eń w  otoczeniu  sił y  skupion ej.  Z wróć my  uwagę   n a  fakt,  że  szukamy  rozwią zania  problem u przy  obcią ż eniu  p(x,  y)  =   ó(x)d(y)P.  W  równ an iach  zagadnienia  (2.4)  wystę puje  samo obcią ż enie  p(x,y)  jak  i  jego  poch odn e.  P roblem  polega  na  tym,  czy  należy  uwzglę dnić te  poch odn e,  czy  n ie.  Rozstrzygnię cie  tego  problem u  jest  trudn e.  Tradycyjne  sformuł o- wanie  problem u,  tzn .  wedł ug  podan ych  wyż ej  pun któw  a,  b,  c,  nie  daje  odpowiedzi  na powyż sze  pytan ie. Jak  widać  z powyż szego,  nasze  pytanie  nie  może znaleźć  odpowiedzi  bez  dodatkowych rozważ ań. R ozważ an ia takie przeprowadzim y  w dalszym  cią gu  pracy, a na razie  zanalizujmy rozwią zanie  (6.14.2)  i  ustalm y  pewne  cechy  tego  rozwią zania  n a  drodze  rozumowania n atury  fizycznej. Weź my  p o d  uwagę   zwią zki  mię dzy  sił ami  wewnę trznymi  i  przemieszczeniami  spro- wadzonym i  (2.1).  Otrzym am y  dla  rozwią zania  (6.14.2)  nastę pują ce  wyraż enia  na  sił y wewnę trzne  (P  =  1): (6.17) mx'  =  —- x <>  = vh 2   y 2 —x 2 2xy vh 2   x 2 — 20J C „(2)  _  a(®  — 2071  (x2+y2f' lub  przechodzą c  do  współ rzę dnych  biegunowych  (rys.  7) m(2)  «(6- 18)  ., „   - 2 0 j t , . 2 5 Otrzymaliś my  wię c  stan ,  który  m oż na  zdefiniować  jako  «centrum  zginania»  przez analogię   do  znanego  w  teorii  sprę ż ystoś ci  rozwią zania  centrum  ś ciskania. Rys.  7 Jak  widać  z  powyż szej  analizy,  rozwią zanie  (6.14.2)  cof^ Q  =  1, 2, 3)  przedstawia obcią ż enie  osobliwe  sam orówn oważ n e,  którego  dodan ie  do  dowolnego  stanu  osobliwego, speł niają cego  ż ą dan ia  typu  podan ych  wyż ej  dla  sił y skupionej  w  teorii  sprę ż ystoś ci  a, b, c nie  zaburza  tych  ostatn ich  (str.  74). Wydaje  się ,  że po d an e powyż ej  rozwią zanie  jest  dobrą   ilustracją   tez zawartych  w  wyż ej wspomnianej  pracy  [32], W  przypadku  przez  n as  rozważ anym  rozwią zanie  «centrum  zginania*  pojawił o  się ze  wzglę du  n a  specyficzny,  przybliż ony  ch arakter  uwzglę dniania  naprę ż eń  a z ,  prosto- 76  RYSZARD   G AN OWICZ padł ych  do  powierzchni  pł yty.  N aprę ż en ia  te  pojawiają   się   w  teorii  Reissnera  tylko  n a obszarze  dział ania obcią ż enia p.  Ze  wzglę du  n a  powyż sze  rozważ an ia  okreś limy,  n a  razie intuicyjnie,  rozwią zania  z  indeksem  1  (6.14.1) jako  rozwią zanie  od  sił y  skupionej,  a  w  dal- szym  cią gu  uzasadnimy  to zał oż enie. N atom iast  rozwią zanie  z  indeksem  2  (6.14.2)  okreś limy  jako  osobliwość  dodatkową . D la  przypadku  obcią ż enia  sił ą   skupioną   otrzymujemy,  po  wykorzystaniu  (6.14.1) i  (2.1),  nastę pują ce  rozwią zania  dla  sił   wewnę trznych: m.  =   - | f (6.19)   m ,  _ _ ^ P(l  — v)  xv m xy   =   — - 1  4?r  x*- P 2% Analogiczne  postę powanie  pozwala  znaleźć rozwią zania  zagadnienia  nieograniczonej pł yty trójwarstwowej obcią ż onej sił ą  skupioną .  Rozwią zania takie uzyskał  autor w pracy [21]. M oż na  je  otrzymać  także  ze  zwią zków  (6.14.1)  po  wykorzystaniu  analogii  równ ań  (2.4), (2.11)  i  (2.12)  oraz  uwag  z  pun ktu  drugiego  niniejszej  pracy.  Warto  nadm ienić, że  po- stę powanie  powyż ej  podan e  nie  doprowadzi  w  pł ycie  trójwarstwowej  do  pojawienia  się rozwią zania  «centrum zginania».  Wynika  to  z  faktu,  że  w  pł ytach  tych pomijamy  naprę ż e- nia  n orm aln e  a z .  Rozwią zania  dla  pł yty  trójwarstwowej  w  przypadku  obcią ż enia  sił ą skupioną   mają   postać  nastę pują cą: (6.20) Sił y  wewnę trzne  są   identyczne  z  podan ym i  wyż ej  dla  pł yt  reissnerowskich  (6.19). P on adto  zauważ ymy,  że  są   one  identyczne  ze  znanym i  sił ami  wewnę trznymi  dla  pł yt izotropowych  cienkich.  I stotn a  róż nica  mię dzy  rozwią zaniami  dla  om awianych  pł yt, a  rozwią zaniami  znanymi  z  teorii  pł yt  cienkich  tkwi  w  wyraż eniu  n a  ugię cia  om, cpu 6.2.  Obcią ż enie  momentem  skupionym  pary  sił   pionowych.  Obcią ż enie  to  definiujemy  jako graniczny  przypadek  dział ania  dwóch  sił   skupionych  przeciwnie  skierowanych,  gdy odległ ość  ich  zmierza  do  zera.  Wobec  powyż szego  rozwią zanie  poszukiwan e  dla przypadku  obcią ż enia  pł yty  nieograniczonej  m om en tem  M  (rys.  5)  otrzym am y  przez proste  róż niczkowanie  rozwią zania  dla  przypadku  dział ania  sił y  skupionej  (6.14.1) M  „  ,  .  ,  _„  ,  «,  Mh2  x '  \ .Q(\ ~v)nD M  2xy 0 )3   =   —  T̂" Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA I P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   77 Wielkoś ci  statyczne  w tym  przypadku  otrzymamy  z nastę pują cych  zależ noś ci: M  x (6.22)  ^ ^ ( i H ^ a , ) - ^ ] ,  ,y= _™_Z_. Ł atwo  przekon ać  się , że  speł nione są   warunki  równowagi  dla  wycię tej pł yty  zawierają cej wewną trz  pu n kt  osobliwy  (rys.  5): C  Ci  Ci Te  same  wyniki  otrzym ać  m oż na  także i dla  pł yty  trój  warstwowej. 6.3. Obcią ż enie momentem skupionym. D efinicję   tego momentu skupionego  podan o w  punkcie pią tym  niniejszej  pracy.  Rozwią zania  przeprowadzimy  dla  momentu  skupionego X M   = Md(x)8(y)  w  oparciu  o  równ an ia  (2.4),  które  dla  przypadku  p =  Y M  =  0 przybierają   postać  nastę pują cą: (6.23)  VaVł ll- ~ g- V»I.Fi= *O,  V*V* li -  ~   V* I Fz =   - l o '  r *  D  ' V2V  T ^ I Ó   v  r 3 = Wobec  tego,  że m am y  do  czynienia  z rozwią zaniem  pł yty  nieograniczonej,  interesuje n as  cał ka  szczególna  ukł adu  (6.23).  Stą d  przyjmiemy  F\  = F3 = 0, a poszukiwane  prze- mieszczenia  okreś limy  ze  zwią zków: kt ó re  wynikają   z zależ noś ci  (2.5). Przyjmijmy  do  rozwią zania  obcią ż enie Xu =  Mó(x)ó(y). Zastosujmy  do równ an ia  (6.23.2)  i zależ noś ci  (6.24)  podwójną   nieskoń czoną   trans- formację   F ouriera  (6.1).  Otrzym am y  w  takim  przypadku M  1 f 6.251  Ft(a,0) = 2nD  [ 78  RYSZ ARD   G AN OWI C Z i  transformaty  przemieszczeń  sprowadzonych 1   2JZD 2 J I D   10 (6- 26)  ( a + / S ) + M 10  l - v >[ i+ - £ < *+ #>] Przemieszczenia  wyznaczymy,  jeż eli  potrafimy  obliczyć  nastę pują ce  cał ki: J  ~W W )  P'  J  J  (a2+ / 32)2 —  0 0  — O O  — 0 0  — O O —  CO  — 0 0 OO  OO (6.27) 10 DO  OU W/ /z2 -   /   / —  co  —co 10 Czę ść  tych  cał ek  istnieje  jako  cał ki  niewł aś ciwe,  mianowicie  cał ki  R 6   i  R s Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   79 P o  wykorzystaniu  tablic  [31]  otrzymujemy oa  ca 10   r  f (6.28)  Rb = ̂   J  J- co  - 00 ( f t 2 + / 5 2 ) l  +   flt2   +  /? - 2 *   J exp  - Analogicznie  obliczają c  cał kę   i?8  otrzymamy (6.29)  R t   =   ^ [ ^  I n  ^ 3 ^ gdzie  y  =   ]/ lO/ / i2,  ATv(z) jest  zmodyfikowaną   funkcją   Bessela  I I  rodzaju. Obliczają c  pozostał e  cał ki  (6.27)  wykorzystać  musimy  poję cie  czę ś ci  skoń czonej, om ówione  w  6.1  niniejszego  p u n kt u .  Wymaga  to  wykonania  szeregu  ż mudnych  prze- kształ ceń, przy których uwzglę dnić  trzeba podan e poprzednio czę ś ci skoń czone cał ek (6.12). Poniż ej  podam y jedyn ie  koń cowe  wyniki  obliczeń: R 2   =   - 2a< ln j/ jc H - yH -l  +  C ),  R* =   - tac  In ]/ x*+y2-   - y  *( 1 + 2 C ) , (6.30) N astę pn ie  wykorzystują c  wzory  n a  transformacje  odwrotne  oraz  pomijają c  stał ą Eulera  C  otrzymujemy  poszukiwan e  rozwią zanie: M  . M (6.31) 80  RYSZARD   G AN O WI C Z Znają c  przemieszczenia ł atwo  wyznaczymy  wielkoś ci  sił   wewnę trznych  w pł ycie  nie- ograniczonej,  obcią ż onej  momentem  skupionym. Wykorzystują c  zwią zki  (2.1) otrzym am y: -   *i q *  ~  2%  i M  i  s'm2cp   f   1 (6.32) M  h 2  |c o s^ ( c o s2 c 3—3sin 2 23i  5 xy   An  r M  h 2  J sincp(sin2\ p—3  cos2  qi)  „ gdzie y  x r 2   =  x 2 +y 2 ,  sino?  =   —,  costp =   — . r  r  • P odam y  jeszcze  wielkoś ci  sprowadzonych  przemieszczeń  oraz  pewne  wielkoś ci  sta- tyczne  dla  okrę gu  o  promieniu  / '.  Wielkoś ci  te  bę dą   potrzebn e  w  dalszym  cią gu  pracy. Wykorzystują c  zależ noś ci  (3.10)  i  (3.11)  oraz  to,  że  dla  okrę gu  cos(«, x)  =   cosę ?  =   x/ r, cos(n,y)  =   siny  — yjr  (rys.  8)  otrzym am y: Msinq> co, =   — a)2sm<7?- }- a>3Cosc)  =   ———  ( I n r 2 + 1 ) - |- M  h 2 (6.33) 1   2nD  5 ( 1 - Mcosq> Z AG AD N I E N I A  PŁYT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TRÓJWARSTWOWYCH 81 Oznaczają c  przez  M xw   i  M yw   skł adowe  m om en tów  brzegowych (6.34)  M xw   — m x cos,  M yw   = otrzym am y  n a  podstawie  zależ noś ci  (6.32) (6.35) M Mvsh\ 2m  M Rys.  8 Przejdziemy  teraz  do  sprawdzenia  warun ku  równowagi  dla pł yty ograniczonej  brzegiem  C, wycię tej  z  pł yty  nieograniczonej  w  ten  sposób,  że  pu n kt  (0, 0)  znajdzie  się   wewną trz  pł yty wycię tej.  N ie  naruszają c  ogólnoś ci  sprawdzimy  równowagę   dla  przypadku,  gdy  C  jest okrę giem  o prom ien iu  r. Sprawdzimy  teraz  kolejno  (rys.  8): 1)  warunek  równowagi  sił  pionowych r =  0 ; c,  •-   J o 2)  warun ek  równ owagi  m om en tów wzglę dem  osi  y 2it 2 i t J  ( g H Cr M_  ffl_  | 2 _ 2w  5  r2 =   —  [1 ~ J ~ 2n  2n o(yr)  j  cos2cpd 2 ,  co- }  w  obszarze  B. 7.1. Obliczenie przemieszczenia pionowego w^   Zastosujemy  twierdzenie  o  wzajemnoś ci  prac do  dwóch  stanów.  Jednym  z  n ich  niech  bę dzie  stan  om ówion y  powyż ej  zwią zany z danymi wielkoś ciami  brzegowymi.  Stan  ten  symbolicznie  oznaczymy  jako  S  (co).  Jako drugi  stan przyjmiemy  stan  odpowiadają cy  obcią ż eniu  sił ą   skupion ą   pł yty  nieograniczonej (6.14.1),  (6.19)  S(co 0 ).  Rozwią zanie  to  wykazuje  osobliwość  w  pun kcie  przył oż enia  sił y Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   83 skupionej  (0, 0), nie m oż emy  więc  zastosować  twierdzenia  E. Bettiego  dla cał ego  obszaru pł yty  B.  Wytnijmy  z  niej  obszar  zawierają cy  wewną trz  p u n kt  (0,0)  i  ograniczony  okrę- giem  C,. o  prom ien iu  r.  Z astosujmy  teraz  twierdzenie  o  wzajemnoś ci  prac  (3.14)  do  ob- szaru  ograniczonego  brzegiem  C i  C r   (rys. 9).  U wzglę dniając  to, że w  obszarze  tym dla obu  stan ów/ ;  =  X M   =   Y M   =  0, otrzym am y: (7.1)  J (qn I n deksem  0  ozn aczon o  powyż ej  wielkoś ci  zwią zane  z  obcią ż eniem  sił ą  skupioną. Zanalizujmy  teraz  zachowan ie  się  zależ noś ci  (7.1) przy  dą ż eniu  promienia  r  do  zera. Z an im  wykonam y  tę analizę,  podam y  odpowiednie  wielkoś ci  rozwią zania  osobliwego n a  brzegu  C,.: Pr o) „ o  =   CO20COSW - Ji OT tJJ c 9  =  0, =  (m x0 P  1 q "°'~  2n~7- Zależ noś ci  powyż sze  otrzym an o  p o  wykorzystaniu  zwią zków  (3.10),  (3.11),  (6.14.1) i  (6.19). Prześ ledzimy  teraz  zachowanie  się  poszczególnych  skł adników  wyraż enia  (7.1) przy ;•   - *•   0.  Z auważ my  p o n a d t o ,  że  dla  brzegu  C r   ds =  —rdcp. Biorąc  pod uwagę  cią gł ość  funkcji  q n (co)  otrzymamy  lim J  q n o)\ a ds =  0. " + 0  CV Analogicznie  postę pując  p o  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (7.2)  otrzymujemy: (7- 3)  Hm \  q„a>iads = lim  _ Z _  |  q„r*lnr*ds—lim.  i!t  |  q„(lnr*+2)ds = ~*  J r   r- ,0  UnD J r   r- o2QQ.- v)nD £ 2%  2n C  Ph 2 r  C ? B ^ + I i m = s ? 1  ^ - - (la^ +l)  q„d  2  r lim  m„o)„ 0 ds =   uy l- —= - (lnr2+ l)  dy = 0, r  Cr  0 lim  J  w,„  a)rOife =  0, (7.4)  ^ ° C r  ^ C  PC lim  q nO wids  =  lim ——  wicSp =   P O J I ( 0, 0) , lim  J  (m„oco„+ wn(0co,)^C =  0. b* 84  R YSZ AR D   G AN O WI C Z Ostatecznie  wię c  po  wykonaniu  przejś cia  granicznego  ;•   - •   0  w  wyraż eniu  (7.1)  i  po przyję ciu  P  =  1 otrzymujemy  wzór  podstawowy  dla  okreś lenia  ugię cia  a>i(go) za  pomocą wielkoś ci  brzegowych: =   J  {q„(Oio+m n (o„ 0 +m„ t o) to —q„ 0 a}i—m„ il cD n —m„ t0 o) l )ds. c Wykazaliś my  wię c,  że  rozwią zanie  (6.14.1)  ma  wymaganą   osobliwość  dla  wyraż enia wielkoś ci  co L (Q 0 ) w  danym  obszarze  B  za  pomocą   wielkoś ci  brzegowych. U gię cie  w  dowolnym  punkcie  obszaru  pł yty  Qo(x,y)  obliczymy  ze  zwią zku  (7.5), jeż eli  dokonamy  przesunię cia  ukł adu  współ rzę dnych.  Wtedy  wielkość  z  indeksem  0  bę - dziemy  uważ ali  za  funkcje  dwóch  pun któw n p . : wio  = 20(1  - v)nD  l  u  '  l P unkt< 2i(.\ 'i,ji)  znajduje  się   na  krzywej  C. Pozostaje  jeszcze  pytanie,  czy  jeż eli  dodam y  do  rozwią zania  osobliwego  przed  chwilą dyskutowanego  rozwią zanie  «centrum  zginania»,  wynik  ulegnie  zmianie  i  w  jaki  sposób. Okazuje  się ,  że  jeż eli  we  wzorze  (7.1)  wstawimy  zamiast  rozwią zania  z  indeksem  0  roz- wią zanie  osobliwe  «centrum  zginania»  (6.14.2),  (6.18), to  w  wyniku  przejś cia  granicznego otrzymamy: lim  f  (q„c © o . Oznacza  to,  że  rozwią zanie  «centrum  zginania»  jest  n ieprzydatn e  do  zbudowan ia wzoru  (7.5).  Porównują c  wnioski  powyż sze  z  zależ noś ciami  (5.4)  i  dalszymi  widzimy,  że dział anie  sił y  skupionej  opisuje  rozwią zanie  (6.14.1). D yskusję   powyż szą   warto  porówn ać  z  przykł adem  podan ym  przez  E.  STERN BERG A i  R. A.  EU BAN KSA  [32]  dla  przypadku  centrum  ś ciskania. 7.2.  Obliczenie  w 2 .  Postę pując  analogicznie  jak  poprzedn io  rozpatrzym y  dwa  stany obcią ż eń.  Jednym  z  nich  niech  bę dzie  stan  S(m)  okreś lony  przez  wielkoś ci  brzegowe. N atom iast  jako  drugi  stan  przyjmiemy  obcią ż enie  m om en tem  skupionym  X M ,  przył o- ż onym  w  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych.  P oczą tek  ukł adu  umieś cimy  w  obszarze  B zaję tym  przez  pł ytę   (rys.  9).  Stan  ten  symbolicznie  oznaczymy  jako  S(w(ot)ds  =  0 C+Cr przy  r  ­*  0. Powyż ej  indeksami  ^   oznaczono  wielkoś ci  zwią zane  z  obcią ż eniem  m om en tem  sku- pionym X M   (6.29). Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TRÓJ WAR STWOWYC H   85 M usimy  wię c  teraz  obliczyć  granicę   cał ki  (7.6)  p o  krzywej  C r   przy  r  ~> 0.  Z anim  prze- prowadzim y  to  obliczenie,  podam y  potrzebn e  do  dalszych  rozważ ań  zwią zki  mię dzy zmodyfikowanymi  funkcjami  Bessela  pierwszego  i  drugiego  rodzaju  / v(z),  Kv(z).  Bę dzie n as  interesował o  zachowan ie  się   tych  funkcji  i  ich  pewnych  kombinacji  dla  wskaź nika v  =   0,1  przy  z  - > 0. P rzedstawimy  te  funkcje  rozkł adają c  je  n a  czę ść  regularną   i  czę ść  osobliwą   [34] ^f H + 2 w ( i f K + J + - 4) 2!3!  \  2 /   +   "  ^  r(k+l)I\ k+2)[  2 / t=0 Biorą c  pod  uwagę   powyż sze  zależ noś ci  podam y  poniż ej  granice  pewnych  kombinacji zmodyfikowanych  funkcji  Bessela  przy  z  - * 0.  Wyraż enia  te  [granice  potrzebne  bę dą w  dalszym  cią gu  pracy  przy  szacowaniu  wyż ej  wspomnianych  cał ek  wyraż enia  (7.6)] przedstawimy  kolejno lim r- *0  W r - Kt(yr)- yrK o (yr)\   =  O, (7.8) Obliczmy  teraz  granice  poszczególnych  skł adników  wyraż enia  (7.6)  po  krzywej  C,. przy  r  - > 0. 86  RYSZARD   G AN O WI C Z P o  wzię ciu  pod  uwagę   zależ noś ci  (6.31),  (6.33),  (7.8)  i  regularnoś ci  w  obszarze  B rozwią zania  stanu  S(m)  otrzym am y: lim  q n o:'v)ds=  — l i m - - - - - r2 ( l n r 2 + l )  q n cosipdcp =  0, r- ^-0  • /   r- *0  oT tJJ  J Cr  0 2% lim  I  m»o)%ds =  lim   o - 7 r > "0 n r 2 + 3 ) m„cos C  0 ..  M  to  \   1  f lim  m„,("fods  =   — limlim  m„,("fods  =   — li r > 0 . '  r > C r 2 lim  qffo'^ ds  =  — li m - —  y^i(y/ - )  I r_>0  "̂   r- »0  2,71  \   r  J  J Cr  0 dp  =  0. Ostatnie  dwie  cał ki  wyraż enia  (7.6) przekształ cimy, podobn ie  zresztą   jak  w  przypadku obliczenia  ugię cia  4  (7.2),  nastę pują co: Cr  C r   C r Wykorzystują c  teraz  zależ noś ci  (6.34),  (6.35)  otrzymujemy l-   f  t  M  ,  M  •   >>  i  v  )  M  C  ,  Mv  f hm  (mfocos'  + m ^ , o sin  )  »2 =   Afco2(0,0), 1'  I  /   Af  •   Af  i A / V  / r- cO  f/   r- >0  1 47C  Jr- >0  I 4  J 0 T  [i~~ y7- *(y)- y«iCyO- y»- J- JKk(yr)J[ i  * ( ) « i C O » J J K k ( ) J  J  a)3sin2^ ĵ =  0. Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   87 Wracają c  teraz  do  analizy  zależ noś ci  (7.6) moż emy  stwierdzić,  że p o wykonaniu  przejś- cia  granicznego  w  tym  wyraż eniu  r  - > 0  i  po  przyję ciu  M =   1  otrzym am y: (7.11)  w2(6o)  =   /   (q„  cow+mnm^ 0+mm(o^ - q â  a)i—wJJ con- mjf0 ft);) ds. Wielkoś ci  z  indeksem  )  i  =   1, 2, 3, gdzie  rozwią zania  z  in deksem  r  przedstawiają   funkcje  regularne  w  obszarze  zajmowanym przez  pł ytę . Jak już  powiedzieliś my  wyż ej,  w  zagadnieniu  pł yt  Reissnera  moż emy zał oż yć na  brzegu tylko  trzy  niezależ ne  wielkoś ci,  podczas  gdy  we  wzorach  (7.5)  i  (7.11)  wystę puje  ich  sześ ć. W  zwią zku  z powyż szym  rozwią zanie  szczegół owe  dla  danej  pł yty  przy  okreś lonym prob- lemie  brzegowym  otrzym am y  wykorzystują c  wzory  podstawowe  przy  wykorzystaniu zam iast  osobliwych  rozwią zań  podstawowych  rozwią zania  bę dą cego  sumą   tego  ostatniego i  rozwią zania  regularn ego  tak  dobran ego,  aby  był y  speł nione jedn orodn e warunki  brze- gowe  danej  pł yty. Z agadnienie  znalezienia  wyż ej  wspom nianego  rozwią zania  regularnego  nie  przed- stawia  p o d  wzglę dem  m atem atyczn ym  trudn oś ci.  M oż liwe  jest  t u  zastosowanie  metod numerycznych.  Sposób  powyż szy  jest  zn an y  i  był   wykorzystany  przez  PU CH ERA  [35], SU CH ARA  [36]  oraz  K R U G A  i  STEIN A  [37]  przy  budowan iu  powierzchni  wpł ywowych  dla pł yt  cienkich. Jeszcze  wydatniej  potrafim y  uproś cić  rozwią zanie,  jeż eli  bę dziemy  znali  rozwią zanie zam kn ię te  danej  pł yty  obcią ż onej  sił ą   skupioną   i  m om entem  skupionym  przy  speł nieniu jedn orodn ych  warun ków  brzegowach  danego  zagadnienia,  tzn .  jeż eli  bę dziemy  znali funkcje  G reen a tego  zagadn ien ia. Sposób  wykorzystan ia  wzorów  podstawowych  (7.5)  i  (7.11)  dla  otrzym ania  rozwią - zan ia  pewnego  problem u  brzegowego  omówimy  n a  przykł adzie. N iech bę dzie  dan a  pł yta zajmują ca  obszar  B.  Szukam y  przemieszczeń  w f (i  =   1, 2,  3) w  obszarze  pł yty przy  danych n a  brzegu  pł yty  C nastę pują cych  wielkoś ciach:  m„(s)  =fi(s),  wi(s)  =  fz(s), m„ t (s)  =Ms). 88  RYSZARD   G AN O WI C Z Zał oż ymy,  że  znamy  rozwią zania  zagadn ien ia  naszej  pł yty  obcią ż onej  sił ą   skupioną   P  =  1 oraz  m om entam i  skupionymi  M x   —  1  i  M y   =   1.  N iech  rozwią zania  te  speł niają   nastę - pują ce  warunki  brzegowe:  m n (s)  =   coi(s) =   m„,{s) =   0.  Rozwią zanie  naszego  problem u otrzymamy  wię c  wprost  z  zależ noś ci  (7.5)  i  (7.11)  n p . wi(go)  =   f[fi(s)a>io+Ms)m l0 - f 2 (s)q„ 0 ]ds, ć gdzie  pod  cał kami wystę pują   tylko  zn an e  funkcje. W  punkcie  niniejszym  pokaż emy  rozwią zanie  pewnego  problem u  brzegowego  pł yty Reissnera  i  trójwarstwowej,  które  otrzymamy  w  oparciu  o  powyż sze  rozum owan ie. 8.1. Półplaszczyzna.  Rozważ my  pół pł aszczyznę   ograniczoną   prostą   x  =   0.  Z ał oż ymy nastę pują ce  dane  n a  brzegu  ograniczają cym  naszą   pł yt ę : coi(0, y)  = / 1 ( y) ,  mx(0,  y)  =f2(y),  co„(O, y)  =  - wt(0,y)  =   / 3 ( j) . Z adaniem  naszym jest  znalezienie  przemieszczeń  a>;(; =   1, 2, 3)  dla  x  >  0  przy  podan ych wyż ej  wartoś ciach  brzegowych.  Chcą c  wykorzystać  wzory  (7.5)  i  (7.11),  zgodnie  z  tym co już  powiedziano  wyż ej,  powinniś my  znać  rozwią zanie  osobliwe  speł niają ce jedn orodn e warunki  brzegowe  a>w  =  m x0   =   C030 =   0  dla  prostej  x  =   0.  Rozwią zanie  takie  nazywamy funkcją   G reen a.  Jeż eli  wię c  potrafimy  znaleźć  funkcję   G reen a  dla  pół pł aszczyzny  przy danych  powyż ej  warun kach  brzegowych,  to  rozwią zanie  problem u  przedstawim y  nastę - pują co : oo o>i(x, y)=  f  \ f2(yi)co$(x, y, Q,yi)- fi(yi)q$(x,  y,  0, yi)+A(yi)m$kx,y,  o,  y,)]dy u /   i f t t ] m f f i ( x , y , Q , y x ) } d y x i  analogicznie  dla  a>i(x,y).  Powyż ej  indeksem  P  oznaczon o  rozwią zanie  dla  sił y  P  =   1, a  indeksem  X  rozwią zanie  dla  m om en tu  skupionego  X M . Wracają c  do  sposobu  znalezienia  tych  rozwią zań  zauważ my,  że  ż ą damy  speł nienia dla  nich  warun ków  antysymetrii  n a  prostej  x  — 0,  czyli  wolnego  podparcia  z  przepon ą [warunek  4  (4.6)].  Rozwią zanie  otrzym am y  wię c  obcią ż ając  pł ytę   nieograniczoną   sił ą i  m om entam i  skupionymi,  antysymetrycznie  wzglę dem  osi  x  =  0.  Z auważ my  jeszcze, że  bę dą   n as  interesował y  tylko  pewne  wielkoś ci  tych  rozwią zań  n a  prostej  ograniczają cej nasz  obszar.  Aż eby  n ie  rozszerzać  pracy,  podam y  wię c  jedyn ie  te  ostatn ie.  Wykorzy- stują c  zależ noś ci  (6.14.1),  (6.21),  (6.31)  i  (6.34)  oraz  (3.10)  i  (3.11)  otrzym am y: «$ ( *, y>  o, yi)  =   - «> $ ( *, y,  o, yi),  ? # ( *, y,  o, y t )  =  - q$(x,  y,  o,   yi ), (  •   " }  w$>(*. y, 0, yi) =   «S&( *, y, o, yi) ; «i{?(*. J=  0, yx)  =   i (8. 2. 2) J  y Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   89 0,yi) =  ~ ~  0aH!+2cos»fl+l)+ TTD   5 ( 1 —r )  i  r£ (8.2.3)  gg>(*, y, 0, yi) =   ~ {^ I —v  sin 0cos20 • X (8.2.4)  9C5>(x, y,  0, y ó  =   - 1 . 1 —vc o s0c o s20  1  /J2 (cos —s- —7 j-   ~ T\ — gdzie ozn aczon o: r\  = x*+(yi­yĄ,  y  = (p)  kolejno  (?),  (X), ( — ­ ,  cos(9 =  — Wstawiają c  powyż sze  zależ noś ci do zwią zków  (8.1) otrzymujemy  rozwią zanie problemu. P rzykł adowo  podam y  rozwią zanie  dla  przypadku  / z = / 3 =   0,  coi(Q,y)  —fi(y): ł —o o \ fi(yi)dyi i  podobn ie dla coi(x, y). 90 RYSZARD  G AN OWICZ Oczywiś cie  ł atwo  sprawdzić  po  wzię ciu  pod  uwagę   wyraż enia  asymptotycznego  dla duż ych wartoś ci argumentu [38] (8. 4) (v,k) (v,0)=1 Ban że  lim  a>2  =   5—,  czego  należ ało się   spodziewać. Podamy  jeszcze  rozwią zanie  dla  przypadku,  gdy  / i  = fi  =   0, fi  =»  M(3(ji)  co  odpo- wiada  dział aniu  momentu  skupionego  w  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych  (rys.  10). Rys.  10 W  tym  przypadku  obcią ż enia  rozwią zanie  podamy  jedynie  dla  momentu  m x (x,  y)\ Pozostał e wielkoś ci ł atwo otrzymamy po wykorzystaniu  zależ noś ci niniejszego punktu. §  1V-   O" H  2H  3H  4W  SH 10H / I y *   i / - —"" rT—- L—| —- j- X mnoż nik^ /   ptyta  cienka mx(x,o) Rys.  11 Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJ WAR STWOWYC H   91 Rozwią zanie  p o d an e  powyż ej  (8.5) jest  sł uszne także  dla  pł yty  trójwarstwowej,  należy tylko  posł uż yć się   analogią   mię dzy  tym i  pł ytam i i pł ytą   Reissnera  (2.12). N a  rysunku  11  p o d an o  wykres  m x (x,  0)  dla  pł yty  trójwarstwowej  o  nastę pują cych ch arakterystykach :  E  =   1,8  •   105  kG / cm2, G s   =   1,0  •   10" kG / cnĄ   d  =   3  cm, h x   =  10 cm, Vl   =   o,  rj -   1,35  17,  y  o Z adan ie to  ma  raczej  ch arakter  teoretyczny,  niemniej  posł uży do  zilustrowania  tezy, że sformuł owanie zagadn ien ia przy obcią ż eniach skupionych w teorii  pł yt nie  może być  oparte n a t ak zwanym sform uł owaniu tradycyjnym,  o którym był a już mowa w p. 6 niniejszej  pracy. Zajmiemy  się  nieograniczoną  pł ytą  obcią ż oną  ja k  pokazan o schematycznie na rys.  12. P ł   P Rys.  12 Rozwią zanie  dla  takiego  obcią ż enia  otrzymamy  odejmują c  od  siebie  odpowiednie rozwią zania,  podan e  w  p .  6  dla  obu  rodzajów  m om en tu  skupionego.  Biorą c  pod  uwagę zwią zki  (6.21)  i  (6.31)  otrzym am y: AM ił IT ID  5(l- i/) ( 8.6)  wiM  =   - AM ft>3  =   —  • 2nD  5( 1—v) M o ż na  wykazać,  że  w  p r zyp a d ku sprowadzen ia p ro blem u  do  szukan ia jedn ej  funkcji bih arm o n iczn ej  i  jed n ej  speł niają cej  ró wn an ie  I I —  •—  V2 ) / f  =   0, ja k  p o ka za n o  w  p . 2 (2.8),  otrzym ujem y  d la  om awian ego p r zyp a d ku : M  te  d M 92  RYSZARD   G ANOWICZ W  tym  przypadku  wielkoś ci  sił   wewnę trznych  ł atwo wyznaczyć  korzystają c  zs  wzorów (2.1)  i  zależ noś ci  (8.6)  albo  wykorzystują c  podan e  w  p .  6  wielkoś ci  sił   wewnę trznych  dla obcią ż enia  m om entam i  skupionymi  obu  rodzajów.  Poniż ej  podam y  jedynie  przykł adowo dla  współ rzę dnych  biegunowych: M  cosr/5 t o)ds  =   P e »i( 0, 0) . r- >0  c, gdzie  indeksem  0  ozn aczon o  rozwią zanie  zagadnienia  pł yty  obcią ż onej  sił ą   skupioną , a  indeksem  r  dowoln e  regularn e  rozwią zanie  dla rozpatrywanej  pł yty. P odobn e  warun ki  powin n y  speł niać rozwią zania  zagadnienia  pł yty obcią ż onej momen- tam i  skupionym i. W  tym sensie  praca niniejsza  jest  kontynuacją   problemów  poruszanych przez  E.  STERN - BERG A i R. A.  EU BAN KSA dla sił y  skupionej  w teorii  sprę ż ystoś ci  na zagadnienia  rozwią zań osobliwych  pł yt  Reissnera  i  pł yt  trójwarstwowych. Literatura  cytowana w tekś cie 1.  A. E. H .  LOVE,  A  T reatise  on  the  Mathematical  T heory  of  Elasticity,  London  1927. 2.  A.  J lyp t E j  npocmpancmeeuHbie  3adauu  meopuu ynpysocmu,  MocKBa  1955. 3.  B.  3 .  BjlACOB3  H .  H .  J I E O H T B E B ,  Ea/ ncu, rummu  u  OSO/ IOHKU  ua  ynpyzoM  ocHoeamai,  F oe. H3.  M a i .  J I H T . J  MocKBa  I 960. 4.  B.  C .  rjlA3LlPH H j  npuMenenue  meopuu  Peuccnepa  K  pacuemy  Heoipammemux  ruium neoicataux  ua ynpyeoM  ocuoeanuu,  G rpoH T.  iwex.  H  pac^eT  coopy>KeHHH, 2,  1964. 5.  E.  REISSN ER,  T he effect  of  transverse  shear deformation  on the bending of  elastic plates,  J. Appl.  M ech. 12, 1945. 6.  A.  KR OM M ,  Verallgemeinerte  T heorie  der  Plattenstatik,  I n g.  Arch.  21  (1953). 7.  J. L.  BOAL,  E .  REISSN ER,  T hree- dimensional T heory of  Elastic  Plates  with  T ransverse  Inextensibility, U niversity  of  South  C arolin a. 8.  J.  M OSSAKOWSKI,  Równania  teorii  Reissnera  dla  pł yt  ortotropowych,  Księ ga  Jubileuszowa  prof,  dr W.  Wierzbickiego, P WN , Warszawa  1959. 9.  A.  JT.  roJIŁflEH BEH 3EP 3  O  meopuu  U3iu6a  nnacnnmoK Paucmepa,  H 3B.  AH   C C C P ,  4, 1958. 10.  Z .  KĄ C Z KOWSKI,  Der  Einfluss  der  Schubverzemmgen  and des Drehbeharrungsvermogens auf  die  Schwin- gungsfreą uenz  von  anizotropen  Flatten,  Bull.  Acad.  P olon .  Sci.  Serie  Sci. Tech.,  7, 8(1960). 11.  K .  GrRKMANN,  Dź wigary  powierzchniowe,  dodatek  d o  wydania  polskiego,  Arkady,  Warszawa  1961. 12.  N . J.  H O F F ,  Bending  and  Buckling  of  Rectangular  Sandwich  Plates,  N AC A,  1950,  N o . 2225. 13.  AjiEKCAHflPOB,  B P I O K E P ,  KypuiH H ,  H pyCAKOB,  Pacnem  mpexc/ iouHbix  nanejieu, M o c r a a  1960. 14.  C.  LIBOVE,  S. B.  BATD OR F ,  A  General  Small Deflection  T heory for  Flat  Sandwich Plates,  N AC A, April 1948,  N o .  899. 15.  J.  WAC H OWI AK,  P .  WI L D E ,  W olnopodparte, prostoką tne  pł yty  trójwarstwowe, Arch.  I n ż yn.  Lą dowej, 1, 12(1966). 16.  H .  M I KOLAJC Z AK,  Zagadnienia niecią glych warunków brzegowych dla prostoką tnych  pł yt  trójwarstwowych, R oczn .  WSR , P ozn ań  1965. 17.  W.  N O WAC K I ,  Zagadnienia  termosprę iystoś ci,  P WN ,  Warszawa  1960. 18.  S.  KALI SKI ,  Pewne problemy  brzegowe dynamicznej  teorii  sprę ż ystoś ci i  ciał   niesprezystych^ Kl,  1957. 94  RYSZARD   G AN OWICZ 19.  W.  N OWACKI,  Dynamika budowli,  Arkady,  Warszawa 1961. 30.  Z. KĄ CZKOWSKI,  T he Influence  of  Distortion  and Rotational Inertia on the  Vibration  of  a Plate having the  Form of  a Regular Polygon, Konferencja  ZM OC, PAN , Olsztyn 1961. 21.  R.  G AN OWICZ,  O pewnym rozwią zania  pł yty  trójwarstwowej,  Rozpr.  Inż yn., 1966. 22.  S.  BERGMAN,  M.  SCHIFFER,  Kernel  Functions  and  Elliptic  Differential  Equations in  Mathematical Physics, A.  Press,  N ew York  1953. 23.  R.  G AN OWICZ,  T wierdzenie  o  wzajemnoś ci prac  dla pewnego typu pł yt  trójwarstwowych,  Rozpr.  Inż yn., 1966. 24.  J.  IG N ACZAK, W. N OWACKI,  Osobliwe równania cał kowe termosprę iystoś ci, Rozpr. Inż yn.,  4,  13 (1965). 25.  W.  N OWACKI,  Green functions for  a  thermoelastic  medium, Buli.  Acad.  P olon.  Scie.,  Sć rie  des Sci. Tech., 6, 12  (1964). 26.  J,  MOSSAKOWSKI,  Osobliwe  rozwią zanie  w  teorii pł yt  ortotropowych, Arch.  Mech.  Stos.,  3, 6 (1954). 27.  J.  MOSSAKOWSKI,  Rozwią zania  osobliwe  dla pł yt  anizotropowych,  Arch.  M ech.  Stos.,  1,  7(1955). 28.  I .  SN EDDON , Fourier T ransforms,  McG raw- H ill,  1951. 29.  J.  HADAMARD, L ectures on Cauchy's Problem in Partial Differential Equations, Yale U niver, Press, 1923. 30.  H .  ZORSKI,  Plates with discontinuous  supports, Arch.  Mech.  Stos.,  10(1958). 31.  H . C.  rpAfllllTEflH,  H . M .  PKDKHKJ  T a6mą u  umneipa/ ioe,  cyjuM,  pndoe u  npoimebeuuu, MocKBa 1963. 32.  E. STERNBERG, R. A.  ECJBANKS,  On the concept of concentrated loads and an extension  of  the uniqueness theorem in  the linear theory of  elasticity,  J.  R at. Mech.,  4(1955). 33.  E. STERNBERG, On Some Recent Developments in the L inear  T heory of Elasticity,  Structural  Mechanics- Proceedings  of the  1- st  Symposium  on  N aval  Struct.  Mech.,  Pergamon  Press  1960. 34.  R.  C.  Ky3HED;OB,  Cneifuajibubie  rfiynKifuu,  H3fl.  Bbicin.  I U K . ,  MocKBa  1965. 35.  A.  PU CH ER,  Vber die Siilgularitdtenmethode  an elastischen  Platten, Ing. Archiv.,  12,  1941. 36.  M.  SUCHAR,  Computation  by  means of  Polynomials  of  Influence Surfaces for  Anisotropic Plates with Finite Dimensions,  Arch.  Mech.  Stos.,  5,  10, (1958). 37.  S.  K R U G ,  P.  STEIN ,  Einflussfelder orthogonal anisotroper Platten,  Springer- Verlag,  1961. 38.  N . N .  LEBIEDIEW,  Funkcje specjalne  i  ich zastosowania,  PWN , Warszawa 1957. P  e 3 io  M e H EKOTOP LIE BOIIPOCLI T E O P H H  I D I AC TH H OK P E H C H E P A H  T E O P H H  TP E XC JI OH H LI X n jI AC T H H O K pa6oTbi  H BJiaeTcn  TeopHfl  rrnacTHHOKj  yraTbiBaiom aH   fle(popM annH 3  BM3BaHHŁie  n o n e p e ^ - H LIM H   CHJiaiviH. 3 i a Teopił fl  OTH OCH TCH ,  B ^lacTHocTH, i< njiacTHHKaMj  paoMiTbiBaeivibiM   n o TeopHH   P eftc- H epa,  a  TaK>Ke  K Tpexcn otobiM   mracTHHKaiw. ITpcflnojiaraeTcjij  ^ T O BHenn- rae  CJIOH   paccMaTpHBaeivibix  TpexcjiOH H tix  nnacTimoK  H BJIH IOTCH  H 30- TponHbiMH, 6e3 wecTKocTH   Ha H 3rn 6,  Tor\ na  I O K  cpeAHHHbiii  CJIOH   BOcnpHHHiwaeT  HCKniOHirrenbHO  n o - paSoTbi  HBJineTCH  BMBefleHne  OCHOBHWX  diopiwyjij  ;(aioiu,HX  BO3M0>KH0CTb  Btipa3H Tb pemeH H e fljin aaH H oii njiacTHHKH  ̂ iepe3 KpaeBbie  BejnrqiiH bi.  AnajiorH ^iH bie  dpopMynbi H 3Bec u n j  B Teoprai rapMOHiwecKHx  4'yH Knnfi  ( 5.1) 3  (5.2) H  B  TeopHH   TOH KH X  nnacTHHOK  ( 5. 3) . OcHOBHbie  (hopMynbi  fljia  o6cy>KflaeMbix  B p a 6o ie  njiacTHHOK  nojiytieiro  n a ociiOBe  n p u sq u n a  B3aHM- HOCTH   pa6oT 3  BBefleHHoro  B pasflejie  3  H  Ha ocHOBe  cH H ryjiapuwx  pein eH H ił .  C niiryjiH pH we  penieH H H npeflCTaBjieiibi  B pa3flejie  6  H acioH meii  pa6oT H 3  B  3aMKHyioM   BH ^e.  n p i i  n o c ip o e m iii  cn H ryn apH bix p eiu em m  ncnojib3OBano  flBOH H oe3  6ecKOHenHoe  n peo6pa3OBan n e  c p yp t e .  n p H  o6pameH H H   n p eo 6p a 3o - BaHHfl  H cnonb30Bano,  BBefleHHoe  H . A.  AflAMAPflOM   [29] noHHTne  KOHeinioft  TOCTH   pacxoflH merocH H H Terpajia. OGcyjKflaeTCH   0flH03iiaqH0CTŁ  peuteH uft  fljin  cn yuaji  pfi&cxBwn  cocpeflOTOH emibix  ain. Pa6oTa  H JunocTpupyeTCfi  npniwepaMH   peuieHHH   HeKOTOpfaix  KpaeBbix Z AG AD N I E N I A  P Ł YT  REISSN ERA  I  P Ł YT  TR ÓJWAR STWOWYC H   95 S u m m a r y SOME PROBLEMS OF  REISSN ER'S TH EORY OF  PLATES AN D  OF  TH E TH REE- LAYER  PLATES I n  the  paper  the  plates  theory  which  includes  strains  due  to  shear  forces  has  been  considered. The theory  concerns  as  particular  cases,  the  plates  calculated  according  to  Reissner's  theory,  and  the three- layer  plates. I t  has  been  assumed  that  in  the  three- layer  plates  the  exterior  layers  are  isotropic  without  flexural rigidity, while  the  shear  forces  can  act  on  the  middle  layer  only. The main purpose of  the paper is  to derive  the basic formulae  which enable to express the solution  for a  plate by  means of  the boundary  quantities. Similar  formulae  are known  for  the problems  of  the theory of  harmonic functions  (5.1), (5.2) and of  the theory  of  thin plates (5.3). The  basic  formulae  for  the  considered  plates  have  been  obtained  from  the  principle  of  reciprocity, derived  in  Chapter  3, and  from  the  singular  solutions.  The latter  have  been  obtained  in  the closed  form in  Chapter 6.  In  the construction  of  singular  solutions  the  double  infinite  F ourier transforms  have  been applied.  In  order  to find  the inverse  transforms,  the concept of  the finite  part of  a divergent  integral  has been  used,  as  introduced  by  J.  H adamard  [29]. The problem of  the uniqueness  of  the solution in the case  of  concentrated loads  applied has been also discussed. The  examples  of  the  solutions  of  some  boundary  value  problems  have  been included. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  11  marca  1966  r.