Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z1\mts65_t3_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  3  (1965) O  PEWN YM   U OG ÓLN IEN IU   M ETOD Y ORTOG ON ALIZACYJN EJ SYLWESTER  K A L I S K I  (WARSZAWA) 1,  Uwagi  wstę pne W problem ach teorii drgań zasadniczą  rolę odgrywają  metody przybliż one, w szcze- gólnoś ci  m etody  wariacyjne  i  ortogonalizacyjne.  N ależą  do  nich  m etody:  R I TZ A, TREFJFTZA  i  G ALE R KI N A.  N iemoż liwość  uzyskania  ś cisł ych  rozwią zań  w  wielu  przy- padkach  zagadn ień  brzegowych  doprowadził a  do  znacznego  rozwoju  wyż ej  cyto- wan ych  m etod rozwią zań.  P oza literaturą  specjalną  został y one uję te  również  w opra- cowaniach  m on ograficzn ych,  z  których  do  podstawowych  należą  ksią ż ki  M ICH LIN A [1.  21. P odstawową  wł asnoś cią  m etod R itza, Trefftza  i  G alerkin a jest  fakt,  że  poszukując rozwią zania  przybliż onego  dynamicznego problem u brzegowego w postacie  =   ]£  a^ pi i ż ą damy  bą dź  speł n ien ia  przez  te  funkcje  warun ków  brzegowych  (inetoda  Ritza, G alerkin a),  bą dź  ró wn ań  (m etoda  Trefftza).  Ponieważ  m etoda  ortogonalizacyjna jest  ogólniejsza  (nie wym aga  wprowadzen ia  poję cia  energii), zatem bę dziemy  mówić w  dalszym  cią gu  jedyn ie  o  n iej.  Również m etodę  Trefftza  m oż na  przekształ cić  n a ortogonalizacyjna,  jeż eli  warun ki  m in im um  kwadratów  zastą pić  n a  brzegu  bą dź warun kam i  ortogon aln oś ci  operatora  brzegowego  rozwią zania  wzglę dem  funkcji  ę t bą dź  odpowiedn ich  ich  poch odn ych . N ależy  tutaj  jeszcze  zwrócić  uwagę  n a  fakt,  że operując  w  m etodach  R itza  i  G alerkin a  n orm ą  energii  [1,  2]  m oż na  zaniedbać, z  teoretycznego  p u n kt u  widzenia,  speł nienie  dyn am iczn ych  warunków  brzegowych, t j.  takich,  które  dla  o perat o ra  róż niczkowego  rzę du  2k  zawierają  kombinacje  od / c- tej  do  2k— 1  poch odn ej  z  pozostał ą  funkcją  i  poch odn ym i. Wyniki  otrzym an e za pom ocą ukł adu funkcji  nie  speł niają cych  dynamicznych  wa- run ków  brzegowych  stają  się  od  tych  warun ków  niezależ ne  ś ciś le  dopiero  przy  nie- skoń czonej  liczbie  funkcji  i ż ą dam y,  aby  nie speł niają c warun ków  brzegowych  w  ogóle, był y bliskie speł nienia równ an ia  jedn orodn ego  (2.1), t ak  aby  odchylenie  od  L u  — 0 charakteryzował o  się   równ ież  m ał ym  param etrem  e2-   Oczywiś cie  okreś lenie:  ukł ad funkcji  «w  przybliż eniu))  speł n ia operator, odn osi się  zawsze  do równ ań  (operatorów) jedn orodn ych .  Te  dodatkowe  ż ą dan ia  odn oś n ie  funkcji  t   utrudniają   oczy- wiś cie  ich  wybór,  jedn akże  jest  on  znacznie  ł atwiejszy  aniż eli  w  metodach  klasycz- nych.  Wielokrotn ie  inż ynier  badają cy  dany  problem  potrafi  n a podstawie  przesł anek intuicyjnych  d o brać  tego  typu  funkcje  z  dokł adnoś cią   do  mał ych  odchył ek,  a  nie ś ciś le  ja k  w  m etodach  klasycznych.  U kł ady  funkcji  ę it   ipi powinny  stanowić  linio- we  niezależ ne  ukł ady  zupeł n e  tylko  wtedy,  gdybyś my  chcieli  sprowadzić  problem do  nieskoń czonego  u kł ad u  równ ań  i  badać  dą ż enie  rozwią zania  przybliż onego  do ś cisł ego.  W  przypadku  operowan ia  skoń czoną   liczbą   funkcji  z  warun ku  zupeł noś ci m oż na  zrezygnować. R ozwią zania  naszego  problem u  bę dziemy  zatem poszukiwać  w  postaci (2.4)  u=- - przy  czym  niekoniecznie  m=n.  Liczby  te  zależą   od  fizycznie  stawianych  celów  za- dan ia  (n p. jeż eli  istotniejszą   rolę   odgrywać  bę dą   warun ki  brzegowe  m>n  itp.).  Poza tym  funkcje 

  peł nego  utwier- dzenia.  Obie  funkcje  nie  speł niają   równania (^  i  drugiego  warunku  brzegowego. Jeż eli  liczba  k  charakteryzują ca  stopień  utwierdzenia  pł yty  n a  brzegu  jest  bardzo duż a, tzn. pł yta jest  bliska  pł yty utwierdzonej,  wówczas  funkcja  ę   «prawie» speł nia drugi  warunek  brzegowy  nie  speł niają c  równania. Jeż eli  k jest  bardzo  mał e,  funkcja  q>  speł nia z  mał ym param etrem  drugi  warunek brzegowy  nie  speł niają c  równania. W  ostatnim  wię c  przypadku  równanie  bę dziemy  ortogonalizować  za  pomocą funkcji    d la  swobodn ie  p o d p a r t ej  pł yty  jest  funkcją   wł asn ą . U O G Ó L N I E N I E  M ETOD Y  OR TOG ON ALI Z AC YJN E J poprzedn iego  paragrafu).  W  pierwszym  n atom iast  przypadku  należy  odwrot- nie  ortogon alizować  równ an ie  za  pom ocą   funkcji  y>,  warun ek  zaś  brzegowy  za pom ocą   .  D la  zachowan ia  ozn aczeń poprzedn iego  paragrafu  należ ał oby  dla  tego przypadku  przem ian ować  funkcje  q>  i tp.  Rozważ ymy  oba  warianty.  Rozpoczniemy od  mał ego k. 1.  D la  mał ego k  równ an ie  (2.6)  p o  wykorzystaniu  wł asnoś ci  symetrii  dla  pierw- szej  czę stoś ci  harm on iczn ej  przyjmie  postać  nastę pują cą: o  ó . ixr  „\   .  nx  .  ny  ,  nl\   2nx  I  2ny\ 4—r  — a 2  sin —  sin  \ - b- , —  — 16cos  1  — cos——\   + a 4  /   a  a  a 4 L  a  \   a  J 2nx  2ny  2ny I  2nx •   32  c o s  cos  16  c o s  — —  1 —  cos 2T CX\ L   2ny\ \   ,  stx  ,  jry  ,  , — b x a % \   1 — cos  1 — c o s — -   f sm —  sm —  dxdy  = 0, a  l\   a I)  a  a (3.5) - fl i - r sin  —  si n ^ ^ +   Aj  —  cos  1  — c o s —- J  [\ _  cP  a  a  \   a)  a  \   a  j ,  n  nx  .  ny  2n  .  2nx  /   23TV\ ] —  ka- i  — cos —  sm —  — kb- , —  sm  1  — cos  — - a  a  a  a  a  \   a / Ja  a  a  a  a 2ny\   2nx'\ \   , 1 — cos  — -   c o s  >  dy  = =   j  j^ ^ - M - c o s^ -l  - fc«x^sin- ^  l - c o s ^ - |[̂   =  0. P o  scał kowaniu  znajdziem y: ską d (3.7) a 4 - 1 81rc" Rozwią zanie  (3.7)  jest  waż ne  dla m ał ych k(k —  mał y  param etr).  G dy  / c- > 0, to (3.8)  K2 =   4lL j  (a  = - \ J — ~ , co  pokrywa  się  z rozwią zan iem  ś cisł ym. Wyn ika  to  stą d, że  jak  już  wspomnieliś my, funkcja  ę  jest  funkcją   wł asn ą   dla  czę stoś ci  podstawowej  pł yty swobodnie  podpartej. 10  SYLWESTER  K AL I SK I G dy  k  ~*  oo, wówczas  k  przestaje  być  mał ym  param etrem  i  wynik  powinien  być obarczony  pokaź nym  bł ę dem.  Rzeczywiś cie  dla  k- +°o,  m am y  a2  =   16  — 40.0 ,  fb~ (3.9)  ^V7 1/co  daje  w  stosunku  do znanej  wartoś ci  znalezionej  n a innej  drodze  co  =   2 bł ą d rzę du  ponad  10%. Bł ą d taki  dla  czę stoś ci  uważa  się   za  duż y.  Bł ą d dla  amplitud bę dzie  w  takim  przypadku  znacznie wię kszy.  Rozważ my  teraz  przypadek  duż ego  k. 2.  Wprzypadku  duż ego knależ y  zamienić rolami funkcje  q> i ę   (mał y param etr  1 Ik). U kł ad  równań  (2.6) przyjmie  teraz  postać  róż ną   od  (3.5) C f i  L n*  .\   .  nx  .  ny  ,  ,  JT A[  , ,  2nx  L   2JIV\ i fl i |4 - r  —a 2 l sm  —  sin — +   i j- 7  — 16 cos  —  1 — c o s —-   — J  J  \   \   a i  /   a  a  a 4  I  a  \   a  I 2jtx  2jtv  .,  2nv  1,  2nx  \   I — 32 cos  cos — - —  16 cos ——  1  — cos  — aa  a  \   a  / J /   i- ,„\   / (3.10)  - b t c 2nx\ l.  2ny\   , x  1 — cos  1 — cos — — )  dxdy  =   0, / t l i  J1  1  • r o Po  scał kowaniu  znajdujemy J  L  a 8  o  /   a  a  \   a stą d ,  . 5 1 2  1 27  n2ak 9  a 4  16384 243 Rozwią zanie  jest  waż ne  dla  bardzo  duż ych  k.  G dy (3.13)  fc- >oo,  to  a2  ==   —  7  oraz  co ~/ D  36,9 .  .  . . , . , .  36,1  _  ID co  roż ni  się   nieznacznie  od  wartoś ci  ś cisł ej  —g— 1 /   —. G dy k  - > 0, bł ą d ogólnie biorą c powinien być znaczny, analogicznie ja k  w poprzed- n im  skrajnym  przypadku. Jednakże tak  miał aby się   rzecz, gdyby  funkcja  q>  nie był a akurat  pierwszą   funkcją   wł asną   dla  pł yty  swobodnie  podpart ej. U O G Ó L N I E N I E  M ETOD Y  OR TOG ON ALI Z AC YJN EJ  11 W  naszym  n atom iast  przypadku,  gdy  k  - »  0. _  128  si«  512- 243 < 3 1 4 )  a  ~ ~ T  o*  27- 16384 a 1 co pokrywa  się   ze ś cisłą   wartoś cią.  G dyby 2 ze  wzoru  (3.7) bę dą   bardzo  bliskie  rzeczywistych,  otrzymane  zaś  ze  wzoru  (3.12)  bę dą   nieś cisł e. Tym  samym  ogólnie  biorą c  rozwią zanie  typu  (3.12)  zachowuje  m oc  dla  duż ego Ic. Oczywiś cie  wyniki  m oż na  by  znacznie  uś ciś lić,  gdyby  pod  uwagę   wzią ć  nie  dwie a  n p .  cztery  funkcje  cpi,  fi,  W  wielu  przypadkach  m etoda  powyż sza  prowadzi  do celu  również  i  wtedy,  gdy  nie  wprowadzi  się   mał ego  param etru.  Jednakże  ogólne rozstrzygnię cie  tej  kwestii  nie jest proste i  dlatego  w pracy  niniejszej  nie  wykraczamy poza  m etodę   asym ptotyczną . Wyż ej  rozważ yliś my  problem  wł asny.  Równie  dobre  wyniki  otrzymuje  się   i  dla p rzyp ad ku  poszukiwan ia  am plitudy  lub  problem ów  statycznych.  N a  przykł ad, jeż eli  rozważ yć  pł ytę   z  niniejszego  przykł adu  przy  pominię ciu  sił   bezwł adnoś ci i  nieskoń czenie  rozległ ą   w  kierun ku  osi  y  oraz  obcią ż oną   w  ś rodku  skupioną   sił ą rozł oż oną   liniowo  (stał a)  w  kierun ku  y  przy  danych  mał ych ką tach