Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z1\mts65_t3_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,3  (1965) SYN TEZA  KIN ETYCZN A. OG ÓLN EG O UKŁADU   M ECH AN ICZN EG O WŁAD YSŁAW  B O  G  U  S  Z ,  JAN ISŁAW  S K O W R O Ń S KI  (WARSZAWA) Wstę p Z agadnienie  kon struowan ia  maszyn  i  urzą dzeń  mechanicznych  n a  podstawie • warunków  optym aln ych  jest  jedn ym  z  podstawowych  problemów  w  przemyś le m aszyn owym .  K on st ru kt orzy  muszą   realizować  coraz  bardziej  skomplikowane warun ki  stawiane  m aszyn om  odn oś n ie  ich  cię ż aru,  wytrzymał oś ci,  trwał oś ci,  bez- pieczeń stwa  i  dokł adn oś ci ich  pracy.  Korzystają   przy  tym  z wyników  badań nauko- wych,  pom iarów  i  teorii  ukł adów  mechanicznych.  T ok  postę powania  jest  skompli- kowany  i  prowadzi  od  analizy  przypuszczalnego  modelu  ukł adu  do  syntezy  i  po- wtórn ej  analizy. W  artykule  zajmiemy  się   kinetyczną   syntezą   ogólnego  ukł adu  mechanicznego. P o  sform uł owan iu  problem u  podam y  przeglą d  wyników  badań  w  tej  dziedzinie w  oparciu  o  współ czesną   literaturę   oraz  moż liwe  podejś cia  do  konkretnych  zagad- n ień .  Sformuł owanie  problem u  oprzemy  n a  m odelu  ukł adu  mechanicznego,  który rozważ any  jest  w  pracach  [62,  63,  64].  M odel  zastę pują cy  rzeczywisty  ukł ad mecha- niczny  jest  ukł adem  p u n kt ó w  m aterialn ych  poł ą czonych  ze  sobą   sprę ż ynami,  tł u- m ikam i  dodatn im i  i  czę ś ciowo  ujemnymi  i  obcią ż onych  uogólnionymi  sił ami  ze- wn ę trzn ym i. W praktyce  stosuje  się   dwa  typy  m odeli: o poł ą czeniu prostym  i  rozga- ł ę zionym.  M odelam i  o  poł ą czen iu  prostym  zastę puje  się   n p .  wał y  wykorbione, m osty,  dź wigi  oraz  m aszyny,  w  których  przekazywanie  mocy  jest  jednoliniowe. a  b 0 2 Q k, k z ó 6 6 6 Rys.  1 M odelam i  rozgał ę zionymi  zastę puje  się   urzą dzen ia  mechaniczne,  w  których  wy- stę puje  rozgał ę zienie  strum ien ia  mocy,  ja k  n p .  n apę d  ś ruby  okrę towej  turbin am i niskiego  i  wysokiego  ciś nienia  oraz  konstrukcje,  w  których  jeden  element jest  po- ł ą czony  przynajmniej  z  trzem a  in n ym i  elementami  za  pom ocą   wię zów  sprę ż ystych. D wa  takie  m odele  przedstawion e  są   n a  rys.  1.  M odel  l a  przedstawia  wał   wykor- 14  WŁ AD YSŁ AW  B O G U S Z ,  JAN LSŁ AW  SK O WR O Ń SKI biony,  a m odel  l b  —  n apę d  turbin am i I x  i 7a ś ruby  okrę towej.  Przez /  ozn aczon o m om enty  bezwł adnoś ci,  a  przez  k —  poł ą czenia  sprę ż yste. 1.  Z agadn ien ie  syntezy  kin etyczn ej Ruch  ukł adu  zastą pionego  modelem  może  być  opisan y  równ an iem  róż n iczko- wym  w postaci  wektorowej (1- 1)  q + F(q,q,t)^ 0 z  warunkam i  począ tkowymi  (t 0>   q 0 ,  q^ )sQ ai   gdzie  q, q oznaczają   / / - wymiarowe  wek- tory, funkcja  F(q,  q, t) okreś la  pole  wektorowe  w obszarze  otwartym  Q,  zawartym w  czasoprzestrzeni  (2n +   l)- wymiarowej  Euklidesa,  zaś obszar  Q a   jest  zawarty w Q i  okreś lony  jest  w nastę pują cy  sposób: (1.2)  Q a {\ q 0 \ q>O,  ( P ' ( | ? |, 0 ) =  0, dla  q i q należ ą cych  do  2«- wymiarowego  podobszaru  A zawartego  wi 2 ; 80"  r)&" (1.6)  0»q>O,  ~^ >0,  W \ >0'  0 " ^ ' O )  =  O dla  \ q\ s(Q, od) i q <   oo,  gdzie  Q jest  pewną   stał ą , a q i q należą   do A. N ierównoś ci  (1.6) n ie muszą   być  speł nione dla  \ q\  <   Q,  czyli 0" w  tym  przedziale może  być  dowolnym  operatorem .  Z akł adam y  jedn ak,  że istnieje  pewna  stał a M* zależ na  od Q i  taka,  że speł niona jest  nierówność \ 0"\ 0, SYN T E Z A  K I N E T YC Z N A  OG ÓLN EG O  U K Ł ADU   M EC H AN IC Z N EG O  15 dla  q  i  q  należ ą cych  do  A,  a (1.8)  G(q,q,t)=£Q  d l a  ł ^ O. W  teorii  drgań  nieliniowych  wystę pują  dwie  grupy  zagadnień.  D o  pierwszej należą  zagadnienia  istnienia  ruchu  rzeczywistego,  opisanego  równaniami,  wypro- wadzonymi  n a  podstawie  przyję tego  modelu.  Są  to  zagadnienia  zwią zane  ze  struk- turą  ukł adu,  charakterystykami  oraz  statecznoś cią  ruchu.  D o  drugiej  grupy  należy zagadnienie  rozwią zania  otrzymanych  równań  i  oceny  dokł adnoś ci  otrzymanych wyników.  N a  tle  tych  dwóch  grup  zagadnień  rozwija  się  teoria  analizy  i  syntezy. Aby  przejść  od rzeczywistej  konstrukcji  do modelu i do równań opisują cych  ruch, stosujemy  analizę  strukturalną.  Przy  dział aniu  odwrotnym,  a  więc  projektując konstrukcję  na podstawie  obranego  modelu, stosujemy  syntezę strukturalną.  Oprócz tych  dwóch  operacji  n ad  strukturą  ukł adu  rozróż niamy jeszcze  analizę  kinetyczną i  syntezę  kinetyczną. Analiza  kinetyczna  polega  na  badan iu  przebiegu  rozwią zań  równań  ruchu,  zaś taki  dobór  operatorów  w  równ an iu  ruchu,  aby  otrzymać  ż ą daną  postać  ruchu, jest  syntezą  kinetyczną.  D o  konstrukcji  ukł adu  mechanicznego  dochodzimy  przez wielozwrotną  analizę  i  syntezę  kinetyczną  i  strukturalną. Rozważ my  jeden  krok  w  tej  procedurze, syntezę  kinetyczną,  zakł adając  że w  wy- niku  analizy  i  syntezy  strukturalnej  otrzymaliś my  model  zastę pczy  i  równania ruchu  w  postaci  (1.1)  oraz  analizą  kinetyczną  okreś liliś my  przebieg  rozwią zania tych  równań.  Z adaniem  syntezy  kinetycznej  jest  wyznaczenie  operatora  F{q,  q,  f) z  pewnej  dopuszczalnej  klasy  funkcji  okreś lonych  w  pewnym  obszarze  Q  w  ten sposób,  aby  ruch  okreś lony  równaniami  (1.1)  speł niał   z  góry  ustalone  warunki. Oczywiś cie,  że  istnienie  rozwią zania  syntezy  (istnienie  operatora  F)  zależy  od  wa- runków,  które  mają  być  zrealizowane  przez  ukł ad.  Jeż eli  istnieje  rozwią zanie  syn- tezy,  ukł ad  mechaniczny nazywamy  syntezowalnym  ze wzglę du na ż ą dane  warunki. Klasa funkcji  dopuszczalnych, okreś lają cych  operator F, nazywa  się  zakresem  synte- zowalnoś ci,  a  obszar  Q  —  obszarem  syntezowalnoś ci.  Operator  F  speł niają cy  wa- run ki  syntezy  nazywa  się  funkcją  syntezują cą. W  celu  rozwinię cia  teorii  tak  okreś lonej  syntezy  kinetycznej  należy  rozwią zać zagadnienia  istnienia  i  jednoznacznoś ci  rozwią zań  oraz  opracować  metodę  otrzy- m ania  rozwią zania.  Trudnoś ci  zwią zane  z  tymi  zagadnieniami  moż na  scharaktery- zować  nastę pują co. U kł ad  (1.1)  otrzymany  w  wyniku  syntezy  strukturalnej  zawiera  operator  F  na- leż ą cy  do pewnej  klasy  funkcji,  a więc ruch opisany  ukł adem  (1.1) m a pewne  ogólne wł asnoś ci.  Jeż eli  warunki  syntezy  kinetycznej  są  sprzeczne  z  tymi  wł asnoś ciami, to  rozwią zanie  syntezy  nie  istnieje. Przypuś ć my  n p . ,  że  ukł ad  (1.1)  opisuje  ruch  ukł adu  zachowawczego.  Ż ą danie wyznaczenia  funkcji  F(q)  w  ten sposób,  aby  ruch  zanikał , jest  niemoż liwe  i  synteza kinetyczna  nie  m a  rozwią zania.  M oż na  oczywiś cie  przytoczyć  wiele  przykł adów, w  których  synteza  nie  m a rozwią zania  i  z  tego  wzglę du każ dą  syntezę  musi poprze- dzać  analiza  kinetyczna  w  celu  ustalenia  zakresu  syntezowalnoś ci  i  ogólnych  wł a- snoś ci  ruchu. 16  WŁ AD YSŁ AW  B O G U S Z ,  JAN I SŁ AW  SK O WR O Ń SKI Jeż eli  operator  F  okreś la  jedyną   funkcję   syntezują cą,  t o  synteza  nazywa  się   brze- gową ,  w  przypadku  zaś,  gdy  okreś la  on  pewną   podklasę   w  zakresie  syntezowal- noś ci,  synteza  jest  wewnę trzną.  P rzykł adem  syntezy  brzegowej  może  być  dobór funkcji  xF(q)  =   k 2q  w  równaniu  drgań  u kł adu :  q +   *F(q) +   2hq  =   A  sin cat tak,  aby am plituda  drgań  osią gała  m aksim um  przy  danych  h  >  0  oraz  ca.  Jedyną   odpowie- dzią   jest  tu  /ca =   co2. Przykł adem  syntezy  wewnę trznej  jest  taki  dobór  funkcji  \ F(q)  — 2h'q,  aby  ruch opisany  równaniem 'q + 2hq + k 2q  =   0 był   oscylacyjny.  Odpowiedź  nie  jest  jedyną , gdyż  otrzymujemy  nierówność  k 2  — h2  >  0.  W  o bu  przykł adach  zakresem  synte- zowalnoś ci  jest  klasa  funkcji  liniowych. M oż na  ogólnie  scharakteryzować  syntezę   brzegową   jako  rozwią zanie  proble- mu  przez  dobór  ustalonych  param etrów  lub  postaci  operatora  F  bez  moż liwoś ci dalszych  zmian.  Przy  syntezie  wewnę trznej  mamy  moż liwoś ci  wyboru  param etrów lub  funkcji  spoś ród  funkcji  syntezują cych,  n a  przykł ad przez  optymalizację .  Z  tego wzglę du  syntezę   kinetyczną   czę sto  niesł usznie  nazywa  się   optymalizacją . Optymalizacja  rozwinię ta  w  teorii  ukł adów  autom atyki  m a  odm ienny  sen s. M ają c  dany  sygnał  n a wejś ciu  szuka  się   w  teorii  optymalizacji  operacji  m atem atycz- nych,  które  należy  zastosować  n a  tym  sygnale  po  t o ,  aby  n a  wyjś ciu  speł niał   on ż ą dany  warun ek.  Operacje  matematyczne  są   wprawdzie  funkcjami  optymalizują - cymi,  ale  realizacja  ich  przez  kon struktora jest  dowoln a.  Wymaga  to  dalszej  pracy kon struktora,  którą   m oż na  nazwać  syntezą ,  przy  czym  funkcja  optymalizują ca  jest warunkiem  syntezy. Celem  syntezy  kinetycznej  jest  n atom iast  podan ie  kon kretn ych  rozwią zań  kon - strukcyjnych'  dotyczą cych]  sił   sprę ż ystych,  sił   tł um ien ia  lub  sił   wymuszają cych w  modelu przedstawiają cym  maszynę . Z adaniem kon struktora jest  jedynie  dobran ie elementów  przedstawionych  n a  m odelu  o  okreś lonych  wł asnoś ciach  i  zbudowan ie z  nich  maszyny. M imo  tej  róż nicy  mię dzy  optymalizacją   a  syntezą   kinetyczną ,  m etody  stoso- wane  w  optymalizacji  m oż na  przenieść  do  syntezy  zależ nie  od  warun ku  syntezy oraz  od  m odelu  mechanicznego. Przypuś ć my  dla  przykł adu,  że  w  procesie  syntezy kinetycznej  n ależy  otrzym ać  ruch  opisany  dan ą   funkcją   czasu  dla  danego  m odelu mechanicznego.  W  tym  przypadku  m etoda  m in im um  kwadratu  ś redniej  odchył ki stosowana  w  teorii  optymalizacji  może  być  przeniesiona  bez  modyfikacji  do  syn- tezy  kinetycznej. Omówimy  obecnie  pewne  grupy  zagadnień  zwią zanych  z  syntezą   kinetyczną . W  modelu  mechanicznym,  którego  ruch  opisuje  ukł ad  równ ań  (1.1),  wystę pują dwa  operatory F(q,  q)  i  G{q,  q,  t).  Pierwszy  z  nich  okreś la  charakterystyki  ukł a- du,  drugi  jest  operatorem  wymuszają cym  ruch.  Wiele  zagadn ień  syntezy  kinetycz- nej  dotyczy  wyznaczenia  operatora  F  przy  danym  wymuszeniu  G  i  ż ą dan ym  prze- biegu  ruchu.  Oznacza  to,  że  mają c  model  mechaniczny  należy  ustalić  typ  ukł adu (liniowy,  nieliniowy)  oraz  wyznaczyć  jego  charakterystyki  sił   sprę ż ystych  i  tł um ie- nia. Z  tego  rodzaju  zagadnieniem  spotykam y  się   przy  kon strukcji  am ortyzatorów i  tł um ików  w  pojazdach  mechanicznych.  Wymuszenie  ru ch u  przez  n ierówn oś ci SYN T E Z A  K I N E T YC Z N A  OG ÓLN E G O  U K Ł AD U   M EC H AN I C Z N EG O  17 jezdn i  m oż na  dla  pewnych  typów  jezdn i  okreś lić,  a  nastę pnie  w  procesie  syntezy m oż na  wyznaczyć  ch arakterystyki  am ortyzatorów  i  tł um ików  przy  warun ku  jazdy bez  wstrzą sów. Tok  rozwią zania  tego  zagadn ien ia  powinien  przebiegać  nastę pują co.  Pojazd m echaniczny  należy  zastą pić  m odelem i uł oż yć  ogólne  równ an ia  ruchu. Ten  proces jest  przedm iotem  analizy  i  syntezy  strukturaln ej.  Syntezę   kinetyczną   m oż na  prze- prowadzić  m etodą   kolejnych  przybliż eń.  W pierwszym  przybliż eniu  m oż na  przyją ć ukł ad  liniowy  i  ustalić  wł asn oś ci  moż liwych  do  zrealizowania  ruchów.  Jeż eli w za- kresie  tych  wł asnoś ci  m oż na  zrealizować  ż ą dany  przebieg  jazdy,  to  przystę pujemy do  okreś lenia  charakterystyk  liniowych  am ortyzatorów  i  tł umików. Z  praktyki  wiadom o,  że ten  prosty  narzucają cy  się   tok  postę powania,  n ie  pro- wadzi  do  zadowalają cych  wyników.  W drugim  przybliż eniu  moż na  przyją ć  ukł ad jako  nieliniowy  i  uzupeł n ić  funkcje  liniowe  wyrazam i  nieliniowymi. Pozytywne  rozwią zanie  zagadn ien ia  zależy  w  duż ym  stopniu  od  uję cia  m atem a- tycznego  warun ku  syntezy,  tzn .  od matematycznego  opisu  jazdy  spokojnej bez wstrzą sów.  Z  tego  opisu  otrzymujemy  równ an ia, z  których  wyznaczamy  operator F(q,  q).  D o  tej  grupy  zagadn ień  należą   syntezy  maszyn  wibracyjnych,  obrabiarek, dź wigarów,  m ostów,  suwnic  it d.  przy  odpowiednich  warun kach  syntezy. D ruga  grupa  zagadn ień  zwią zana  jest  z  wyznaczeniem  operatora  wymuszeń G (q, g,  t) przy  dan ym  operatorze  F(q,  q), a wię c przy  danym  polu  sił . W  tym  przy- pad ku  operator  G m oż na  uważ ać  za  operator  sterują cy  i  stosować  metody z teorii sterowan ia.  D o  tej  grupy  należy  zagadnienie  przenoszenia  pocisku  z  danego  miejsca do  celu.  To zagadn ien ie  przy  przyję ciu  specjalnej  postaci  równ ań  (1.1)  został o rozwią zane  w  wielu pracach  (n p. [21, 23, 42]) i nazywa  się   sterowaniem  «bangbang» lub  «on- of». W  przemyś le  hutn iczym  spotykam y  się  z  tym  zagadnieniem  przy  projektowa- n iu  n apę dów:  zwijarek  blach,  walcarek,  m ł otów  itd.  Również  do  tej  grupy  zagad- n ień  należą   w  przemyś le  górniczym  zagadn ien ia  n apę dów  maszyn  wycią gowych, wrę biarek  ł ań cuchowych, ż erdzi  wiertniczych  itd.  Oczywiś cie każ de  z tych zagadnień wym aga  opracowan ia  wł aś ciwej  m etody  wyznaczenia  funkcji  syntezują cej. Trzecia  grupa  zagadn ień  ł ą czy  się  z  poprzedn im i  i  dotyczy  przypadków, gdy operatory  F  i G są   czę ś ciowo  ustalon e i należy je  tak  okreś lić,  aby  rozwią zania  ukł a- d u  (1.1)  wchodził y  do  dan ego  obszaru  p o  skoń czonym  czasie.  Są   to  zagadnienia procesów  przejś ciowych,  a wię c  rozruch  i  zatrzymywanie  agregatów,  pom iar  wiel- koś ci  szybkozmiennych,  dostrajan ie  odbioru  do  zasilania,  regulacja  biegu  maszyn itd.  C hodzi  t u  o przeprowadzen ie  ukł adu  z jedn ego  stan u  w drugi  w skoń czonym czasie. Odnoś nie  tego  zagadn ien ia  przytoczym y  pewne  wyniki  syntezy  kinetycznej n a podstawie  p rac  [64,  66]. Weź my  pod  uwagę  równ an ie  (1.1). Pomnoż ymy lewą   stron ę przez q i  korzystają c  z  ozn aczeń  (1.3) i  (1.4)  oznaczymy  przez  N (q,  q, t)  funkcję (1- 9)  N (q,  q,  t) =  G'q -   0"q  -   0,  że  zachodzi  nierówność  \ N p(q, q,  t)\  < M dla  (q,  q)eQ x czyli  że  moc  sił   zewnę trznych  jest  ogran iczon a; c)  w  otoczeniu pun ktu  O  istnieje  taki  podobszar  okreś lony  nierównoś cią 0<8 &"q +  p?, gdzie s, fi są  stał ymi, a r\   jest  stał ą   zależ ną   od / J,. Przy  tych  zał oż eniach  wykazano  w pracy  [64,  66]  nastę pują ce  twierdzen ia: 1)  istnieje  jedyny  podobszar  Q o   CQ X   taki,  że  wszystkie  rozwią zania  wychodzą ce z  Q a   wchodzą   doQ 0   po skoń czonym czasie niezależ nym od chwili począ tkowej  t =  t 0 ; 2)  istnieje  podobszar  Q^ CQ^   taki, że  wszystkie  rozwią zania  wychodzą ce  z Q a  p o - zostają   n a  zewną trz  obszaru Q' o   po  skoń czonym  czasie  zależ nym  od  warun ków  p o - czą tkowych. P odobszar Q Q ,  do którego wchodzą   rozwią zania,  nazywamy  obszarem  granicznym . G ranice  tego  obszaru  oraz  liczba  jego  wymiarów  zależą   od  operatora  tł um ien ia. Jak  wynika z powyż szych  twierdzeń,  w  procesie  syntezy  kinetycznej  stwierdzono istnienie  obszaru  granicznego.  Warun kiem  syntezy  w tym  przypadku  był o  ż ą dan ie wchodzenia  rozwią zań  po  skoń czonym  czasie.  M oż na wysuną ć  dalsze  warun ki  syn- tezy,  n a  przykł ad  aby  Q o   sprowadzał   się   do  poł oż en ia równowagi  lub  do  cyklu  gra- nicznego itd. Speł nienie  tych warunków  jest  moż liwe  przez  odpowiedn i  dobór  opera- tora  tł umienia. 2.  Metody  stosowane  w syntezie  kinetycznej Odnoś nie  metod  rozwią zywania  syntezy  kinetycznej  ogólnego  ukł adu mechanicz- nego  należy  stwierdzić,  że  ogólna  m etoda nie  został a dotychczas  opracowan a. M oż- n a  jedn ak  korzystać  z m etod  m atem atycznych  opracowan ych  dla  podobn ych  za- gadnień  mechaniki  teoretycznej.  D o  nich  n p .  n ależ ą: 1)  metody  stosowane  w teorii  optymalizacji  ukł adów  au t om at yki; 2)  zasady  wariacyjne  klasycznej  m ech an iki; 3)  m etoda  syntezy  param etryczn ej; 4)  metody  kolejnych  przybliż eń; 5)  metody  energetyczne; 6)  m etoda  elcsperymentalno- teoretyczna. Trzy  pierwsze  dotyczą   ogólnego  przypadku  syntezy,  trzy  zaś  ostatnie —  pewnych przypadków  szczególnych.  Pierwsza  grupa  m etod m a  ograniczony  zakres  zastosowań SYN T E Z A  K I N E TYC Z N A  OG ÓLN EG O  U K Ł AD U   M EC H AN IC Z N EG O  19 z  tego  powodu,  że są  on e  opracowan e  w literaturze  przy  zał oż eniach  liniowoś ci ukł adu  równ ań  ruch u.  Wyczerpują co  są  te  m etody  opisane  w pracach  [9- 19]. N a  szczególną   uwagę   zasł ugują   m etody  opracowan e  dla rozwią zania  nieliniowego problem u  optymalizacji  czasu  przejś cia  ukł adu  z jedn ego  poł oż enia w drugie. Z a- gadnienie  to  rozwią zali  w swoich  pracach  BU SH AW,  BELLMAN ,  KRASSOWSKI,  G AM - KREILID ZE,  P ON TR I AG I N ,  BOLTIAN SKI  i  L A  S A L L E . Również  an aliza  funkcjonalna  znalazł a  zastosowanie  do rozwią zania  powyż szego problem u.  Optym aln e  uję cia  tej  m etody  m oż na  znaleźć w pracach  [27,  29, 30,  31]. Z astosowan ie  zasad  wariacyjnych  m echan iki  klasycznej  przedstawione  jest  w  pra- cach  [3, 38, 39, 40]. P odstawą   m etody  rozwią zania  syntezy  jest  teoria  mnoż ników Lagran ge'a.  Bliż ej  objaś nimy  t ę  m etodę  w  dalszej  czę ś ci  artykuł u. Synteza  param etryczn a  polega  n a ustaleniu  grupy  param etrów  okreś lają cych  cha- rakterystyki  u kł ad u w t aki  sposób,  aby  otrzym ać  warunek  syntezy.  Opisana  jest o n a  w pracach  [22,  23]. Wiele  prac  z m echan iki  teoretycznej i stosowanej  dotyczy  problem atyki  zwią zanej wł aś ciwie  z syntezą   kinetyczną ,  m im o że  autorzy  nie uż ywają   tej  nom enklatury wy- raź n ie.  D la  przykł adu m oż na  wymienić  prace, w których  zagadnienia  są   rozwią zane m etodą   <5- delta. Jest  to m et o d a  pozwalają ca  n a  okreś lenie  param etrów  ukł adu rów- n a ń  ruchu  cią giem  kolejnych  przybliż eń.  M etoda  t a m a  zastosowanie  zwł aszcza w  przypadku,  gdy  warun ek  syntezy  jest  sformuł owany  w  postaci  ż ą danej  trajektorii ruch u. Z astosowanie  m etod  energetycznych  w  procesie  syntezy  opisane jest w pracy  [24]. Ostatn ia z wymienionych  m etod,  m etoda  eksperymentalno- teoretyczna,  znajduje obecnie  coraz  wię ksze  zastosowan ie  ze  wzglę du  na  moż liwość  wykorzystania  apa- ratury  pom iarowej,  m aszyn  analogowych  i  cyfrowych.  Konfrontacja  wyników otrzym anych z eksperym en tu  z wynikami  analizy  kinetycznej  prowadzi  bardzo sku- tecznie  do  realizacji  waru n ku  syntezy.  P rzykł ady  zastosowania  tej  metody  moż na znaleźć  w pracach  [25,  26]. Obecnie  przejdziemy  do bliż szego  opisania  trzech  pierwszych  metod, gdyż  na  ich tle  sens  syntezy  kinetycznej  wystę puje  najwyraź niej. Z agadn ien ie  optym alizacji  czasu  przejś cia  ukł adu  z jednego  poł oż enia w  drugie m oż na  sformuł ować  n astę pują co.  Rozważ my  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  opisu- ją cych  ruch  u kł ad u  m aterialn ego: (2.1)  x=f(x,u,t), gdzie x jest wektorem  o współ rzę dnych  (x x ...  x2 n ) okreś lonymw  obszarze  A, zawartym w przestrzeni E2",  w jest wektorem  o współ rzę dnych (% ... wr) okreś lonym w obszarze U zawartym  w przestrzen i  E'\  / je st  wektorem  o współ rzę dnych  (fi...f 2n ),  a f t   oraz - j- ^ -  (i, j  —  1 ... 2ń ) są  funkcjam i  rzeczywistymi  i cią gł ymi  swoich  zmiennych.  Wektor u  nazywa  się  wektorem  sterują cym.  Każ demu  wektorowi  u odpowiada  rodzina tra- jektorii  opisan a  rozwią zan iami  ukł adu  (2.1). Zajmiemy  się   tylko  tym i  trajektoriam i,  które  przechodzą   przez  dwa ustalone po- ł oż enia  ukł adu x 0  i x x . Oczywiś cie  nie każ demu  wektorowi  u m usi  odpowiadać ro- 2» 20  WŁAD YSŁAW  BOG U SZ ,  JAN ISŁAW  SKOWROŃ SKI dzina  trajektorii,  w której  taka  trajektoria  się   znajduje.  Inaczej  mówią c,  nie  każ dy wektor  musi  przeprowadzać  ukł ad  z poł oż enia x0 w poł oż enie xx. Z  tego  wzglę du zajmiemy  się   tylko  zbiorem  takich  wektorów  M, które  przeprowadzają   ukł ad  z p o - ł oż enia x 0   do poł oż enia x v   Ten zbiór  wektorów  u nazywamy  zbiorem  dopuszczaln ym . Przypuś ć my,  że  dan a  jest  pewna  funkcja  f a (x,  u,  i) taka,  że  funkcjonał h (2.2)  7 =  j  f o (x,  u, t)dt h opisuje  pewną   wł asność  ruchu. Zagadnienie,  które  należy  rozwią zać,  polega  na  tym ,  aby  ze  zbioru  wektorów  do- puszczalnych  u wybrać  taki  wekor,  przy  którym  funkcjonał   J posiada  ekstrem um . Przy  ustalonym  t 0   czas  ^  może  być  również  ustalony  lub  m oż na  ż ą dać,  aby  czas (h~ ( a)  był   najkrótszy.  Rozwią zanie  tego  zagadn ien ia  róż n ymi  m etodam i  m o ż na znaleźć  w pracach  [12- 21].  Powyż szy  problem  m oż na  sformuł ować  w  odniesieniu do  ukł adu  (1.1).  Z am iast  wektora  sterują cego  u m oż na  podstawić  operator  wymu- szenia  G(JJ,  q, t) i  zachowują c  pozostał e  zał oż enia  przyją ć  jako  warun ek  syntezy kinetycznej  ekstrem um  funkcjonał u  (2.2). D owód  istnienia  rozwią zania  tak  sformuł owanego  problem u  n atrafia  n a  istotn e trudn oś ci.  Warunki  konieczne  dla  istnienia  rozwią zania  zagadn ien ia  sformuł owa- nego  w  odniesieniu  do  ukł adu (2.1) nie  mogą   być  speł nione w  odniesieniu  do ukł adu (1.1).  Z  tego  wzglę du  metody  stosowane  w  optymalizacji  czasu  przejś cia  ukł adu z jednego  poł oż enia w drugie  n ie  mogą   być  bezpoś rednio  przeniesione  do  syntezy kinetycznej.  Rozwią zanie  tego  problem u jest moż liwe  w  oparciu  o zasadę   m aksim um PON TRIAG IN A  [15,  19]  i program owan ie  dynamiczne  BELLMAN A  [18,  27].  Jak  wyka- zan o  w pracy  [32],  istnieje  duża  analogia  mię dzy  tymi  dwiema  m etodam i.  C hcą c zastosować jedną   z nich w  syntezie  kinetycznej  należy  wektor  sterują cy  przyją ć  w  p o - staci  u =  Q(x)  i  rozważ ać  ukł ad (2.3)  x=j(x,t,Q(x)). P odamy  dwie  metody,  które  m oż na  bezpoś rednio  zastosować  w  syntezie  kinetycz- n ej.  Podstawą   tych  m etod  są  równ an ia  Lagran ge'a  i  H am ilton a.  R ówn an ia  (2.1) oraz  funkcjonał   /   (2.2)  napiszemy  w  postaci (2  4)  g t (x,  x , u, t) = Xi — fi(x,  u, i) =  0 ,  i =  l...2n; T (2  5)  _  1=  j  L [x(ł ),u(t),t]dt. o Funkcję   Lagrenge'a  okreś limy  wzorem In (2  6)  L gdzie  X; są  m n oż n ikam i,  które  rozważ amy  jako  funkcje  czasu. SYN T E Z A  K I N E TYC Z N A  OG ÓLN EG O  U K Ł ADU   M ECH AN ICZ N EG O  21 Jeż eli gi(x,  x,  u, t) są  równ e  zeru,  czyli  wzdł uż  rozwią zań  ukł adu  (2.4)  funkcja  L x równ a  się  L   i  obie  te  funkcje  posiadają  te  same  ekstrem a.  F unkcję  L x   moż na  roz- waż ać  jako  funkcję  zm iennych  (x(,  Uj,  X,)  i  n apisać  równ an ia  Lagran ge'a dx x   dt  \   dXj, (2.7)  ~ L  _  _ i  1= 0,  j  =   1 ...  r, £72- //   w/ 01a  J P onieważ  funkcja  L x  nie zależy  od  M   i X,  ukł ad  r równ ań  sprowadza  się  do  ukł adu (2.8) f i = 0, ukł ad  2n  zaś  ostatn ich  ró wn ań  jest  identyczny  z  ukł adem  (2.4). Ogół em  otrzymuje- my  (4«- f- / -)  równ ań ,  z  których  należy  wyznaczyć  2«  zmiennych  x,  /'  zmiennych  u i  2n  zmiennych  X. Tok  rozwią zania  przebiega  nastę pują co.  Z  drugiej  grupy  równań,  które  są  równa- n iam i  algebraicznymi,  należy  wyznaczyć  u ja ko  funkcję  x  i  1. P o  podstawieniu  M  do pozostał ych  ró wn ań  należy  z  nich  wyrugować  X i  wyznaczyć  trajektorię  x  o  warun- kach brzegowych  x(0)  i  x(T ).  M etoda powyż sza jest teoretycznie  prosta, lecz w  zasto- sowaniach  m oże  prowadzić  do  bardziej  skom plikowanych  równ ań  niż  ukł ad  (2.4). D ruga  m etoda  opiera  się  n a  równ an iach  H am ilton a.  Przy  oznaczeniach  (2.4) i  (2.5)  doł ą czymy  do  u kł adu  (2.4)  równanie (2.9)  x„ +1   =  L [x,  u, t]  =f n+1 (x,  u,  t). F unkcję  H am ilt on a  przyjmujemy  w  postaci B + l (2.10)  H  = gdzie  Pi  są  funkcjami  czasu. R ówn an ia  H am ilt o n a  mają  postać (2.11)  At"W i' dH R ówn an ia  (2.11)  należy  rozwią zać  przy  warun ku (2.12)  «£ - < >.  ; - l . . . r. M etoda  rozwią zan ia  ukł adu  (2.11)  jest  nastę pują ca.  Z  równ ań  algebraicznych (2.12) obliczamy  u jako  funkcję  xip,a.  n astę pn ie wstawiamy  do  (2.11).  Otrzymujemy (2« +  2) równ ań  pierwszego  rzę du.  D o  rozwią zania  tych  równ ań  potrzeba  (2« 22  WŁ AD YSŁ AW  B O G U S Z ,  JAN I SŁ AW  SK O WR O Ń SKI warunków  brzegowych.  Warun ki te otrzymujemy  z wartoś ci  x :   w czasie  t 0   =   0 oraz przyjmują cp^ T )  =  Pz(T ) =   ... =  p„(T ) -   0, p n+1 (T )  =   1. Wartość  p tt+1   przyjmuje- my  równą jednoś ci, ponieważ zagadnienie polega  n a minimalizacji  funkcji  x„ hl . Objaś nimy  tę  metodę  n a przykł adzie. Rozważ my  ukł ad  o jednym  stopniu  swobody (2.13)  x + F(x, i)  =   0. Jako  warunek  syntezy  przyjmiemy  minimum  funkcjonał u (2.14)  1=  j[F*  + x*]dt, o gdzie  t x   jest  ustalone. Równanie  (2.13)  napiszemy  w  postaci (2.15)  *i =   *i ,  Xi =   -   F(Xu  x 2 ). D o  tych  równ ań  dodajemy  trzecie (2.16)  x 3   =  F 2 +xi. F unkcję  F  oznaczymy  przez  u.  F unkcja  H am ilton a m a postać: (2.17)  H =  p 1 x 2 H  =   PiX 2 - Równania  (2.11) n a x t   pokrywają  się z (2.15) i  (2.16). N apiszemy  równ an ia n a/ > ;: *- - £ -• dH (2.18)  ^ 2 =   - — =   - Pi- 2p3xi, dH 8H Oprócz  tych  równ ań  muszą  być  speł nione równ an ia  (2.12) (2.19)  ~=~ P2 +2p 3 u  =  0. Równania  powyż sze  należy  rozwią zać  przy  warun kach  brzegowych: (2.20)  *i(0)  =   x?,  x 2 (0) = xl,  *B ( O ) »x g, Z  pierwszego  równania  (2.18)  otrzymujemy  p x   — 0, z  trzeciego ^ 3  =   1, a z rów- n an ia  (2.19) p 2   =   2w.  Po podstawieniu  tych  funkcji  do  drugiego  równ an ia  (2.18) otrzymamy  p 2   =   — 2x2, a  po  zróż niczkowaniu (2.21)  j J 2 =   - 2x2  =  2u = p 2 . SYN T E Z A  K I N E TYC Z N A  OG ÓLN EG O  O K Ł AD U   M E C H AN I C Z N E G O  23 P o  rozwią zaniu  otrzymujemy (2.22)  / > 2 = C i e (  +  C 2 e - '. Z  warun ków  brzegowych  _p20i) =   0» i"a(0)  ==  —2x\   obliczamy  Q i C%\ (2.23)  Q =   - 2 4T ^ ? r ,  C2 =  2xE T - ^jr. P o podstawieniu  (2.13) do (2.12) otrzym am y rozwią zanie  naj92, a nastę pnie u, xit xv (2- 24) Z  porówn an ia  Xj i w  otrzymujemy (2.25)  -   *a =  u =   JF. Ten  sam  wynik  otrzym am y  posł ugują c  się  równ an iam i  Lagran ge'a. Jak  wynika z powyż szego  przykł adu, m etody  stosowane  w optymalizacji  ukł adów mogą   być  uż yte w syntezie  kinetycznej,  jeż eli  warun ek  syntezy  kinetycznej  moż na zapisać  w postaci  minimalizacji  funkcjonał u.  W tych  przypadkach  synteza jest  syn- tezą   brzegową . Omówimy  obecnie  syntezę   param etryczną .  Przypuś ć my,  że ruch  ukł adu  opisany jest  równ an iem  pierwszego  rzę du (2.26)  Xiatft(Xi...x n ,Ufh  — i"r) • gdzie  y, x ...yL t ,  są   param etram i, które  należy  t ak wyznaczyć,  aby otrzymać  ż ą daną wł asność ruch u. W odróż n ien iu od poprzedn io dyskutowanych  zagadnień, w których wystę pował   wektor  sterują cy  u zależ ny  od  czasu,  param etry fij nie zależą   ani  od cza- su,  an i  od poł oż en ia u kł adu .  M ogą   one  okreś lać  pewne  wł asnoś ci  reologiczne  m o- delu  zastę pczego.  C zę sto są  t o  współ czynniki  wielomianów  okreś lają cych  charakte- rystyki  sił  sprę ż ystych  i  sił  tł um ien ia. Warun ki  syntezy  mogą   być  stawiane  róż n orodn ie, zależ nie  od ż ą danego  przebiegu ru ch u .  M ogą   to być ż ą dan ia  okresowoś ci  rozwią zań,  ograniczonoś ci,  statecznoś ci w  mał ym  otoczen iu  poł oż en ia równowagi,  w skoń czonym  otoczeniu lub w  cał ym po lu  okreś lonoś ci  fun kcji/ , .  Warun ki  te form uł owane są  za pom ocą   pewnych  nie- równoś ci,  które  mają   być speł n ion e przez  param etry  ukł adu  (2.26). W ten  sposób otrzym ujem y  rozwią zanie  syntezy w  postaci  pewnego  obszaru  param etrów  fj, 1 .../ i„ ograniczonego  lu b  n ieogran iczon ego.  H iperpowierzchn ia  ograniczają ca  obszar  roz- wią zań  dla param etrów  fa.../ *,  nazywa  się   powierzchnią   bifurkacji.  D o param etrów t ych  należą   n p .  prę dkoś ci  krytyczne,  tł um ienie  krytyczne,  krytyczne  przesunię cie u kł a d u  itd, czyli takie wartoś ci param etrów, dla których nastę puje  zmiana  jakoś ciowa ru ch u . P aram etryczn a  synteza  ru ch u jest  przedm iotem wielu  prac. Interesują ce  z pun ktu widzen ia  technicznego  są  przykł ady  om ówione  w pracach  [48- 61].  W tych  wszyst- kich  przypadkach  syn teza  kinetyczna  jest  syntezą   wewnę trzną. 24  WŁADYSŁAW  BOG U SZ,  JANLSŁAW  SKOWROŃ SKI N a  zakoń czenie  należy  zwrócić  uwagę   n a  konieczność  rozwią zania  zagadn ien ia syntezy  kinetycznej  ukł adów  mechanicznych  przy  obcią ż eniach  przypadkowych i  charakterystykach  okreś lonych  funkcjami  przypadkowym i.  Jak  dotychczas  n a ten  tem at znane są  jedynie  wzmianki  w  literaturze, mim o  że  zagadnienie jest  bardzo waż ne,  gdyż  pracę   taś mocią gów  koparek,  kombajnów,  walcarek  itd.  m oż na  p ra- widł owo rozpatrywać  tylko  przy  zał oż eniu obcią ż eń  przypadkowych. Literatura  cytowana  w  tekś cie m 1.  C . H .  BEPHIUTAń H,  06  ypasnenunx  eapuatfuowioeo  ucuuc/ ieuujt,  Yen.  MaT.  HayK.,  8 (1961),  32- 74. 2.  C.  LANCZOS,  T he variational principle  of  mechanics,  U niv.  of  Toron to  Press,  Toronto  1949. 3.  R. M .  ROSENBERG, An optimum  rocket  trajectories  and  the  calculus  of  variations,  Aerospace Engng,  10, 19 (I960),  20- 21. 4.  V. G .  SZEBEHELY,  T he generalized  universe  problem of  orbit  computation,  P roc.  I I  I n tern . Space- Sci.  Symp.,  F lorence,  April  10- 14,  1961,  N orth- H ohland  P ubl.  C omp.,  Amsterdam  1961. 5.  H . H . AH flPEEB,  Memod  onpedeMeuun onmuMa/ ibuou dumMunecKott  cucmeMU no  Kpumepwo eKcmpeAiyMa fiymcauoHana npedcmae/ inioiaeio  3adawiym  (pyuKauw om HecKo/ ibKux  dpyzux  cfiymą uo- Hajioe, Tpyflbi  I  KoH rpecca  I<5>AC3  M ocKBa  1960. 6.  J. M .  SKOWROŃ SKI,  T he possibility of  synthesis  of  some  stiongly  nonlinear  mechanical systems,  N onlin.  Vibr. Problems,  1 (1960),  59- 68. 7.  J. M .  SKOWROŃ SKI,  T he problem of  size  of  limit  domain  for  nonlinear mechanical  system, P roc. II Intern. Conf. on N onlin. Vibr., Warsaw  1962,  N on lin . Vibr. Problems,  5  (1963). 8.  W.  BOG USZ, J. M.  SKOWROŃ SKI,  S.  ZIEMBA,  T he kinetic  synthesis problem for  general me- chanical  systems, Bull.  Politechnic  Institute  Jassy,  Roumania,  1964, w  druku. 9.  R . E . KALMAN,  Physical  and  mathematical  mechanisms  of  instability in nonlinear automatic control  systems, Trans.  ASME,  3, 79  (1957),  553- 566. 10.  R. E.  KALMAN,  On the general theory of  control  systems, Automatic  and Remote  C ontrol, Butterworths,  London 1961. 11.  K.  MAG N U S,  Vber ein Verfahren  zur Untersuchung  nichtlinearer  Schwingungs  uncl  Regelungs Systeme, VD J- Forschungsheft  451,  Ausgabe  B, 21  (1955). 12.  E. B.  LEE, L.  MARCU S,  Optimal control  for  nonlinear  processes, Arch.  R at.  Mech.  Anal., 1,  8  (1961),  36- 58. 13.  E .B. L E E . L .  MARCU S, On the existence of optimal controls, Trans. ASM E, Ser. D , 1,84  (1962), 13- 22. 14.  Y. H .  Ku,  N onlinear  control  systems,  Automatic  and Remote  Control,  Butterworths,  Lon - don  1961. 15.  P.K>.  BOJITflHCKH,  P . rAMKPEJIH,H;3E3  JI .C .  ITOHTPflrHH,  T eopUH  onmttAUMbHblX  npo- ifeccoe,  H 3 B .  AH   C C C P 3  M ax.,  24  (I960),  3- 42. 16.  H . H .  KPACCOBCKHfl,  JlpoSAeMa  onmuMOAbHoso  ynpaenm.ua  e  H&mmeuHux  cucmeMax y ITpHKJi.  MaT.- Mex.,  2, 23 (1959),  209- 229. 17.  E .B. LEE, Methods of  optimum feedback control,  U niv.  of  M innesota,  Thesis,  M inneapolis 1960. 18.  R.  BELLMAN,  Dynamic  programming,  Princeton  U niversity  Press, 1957. 19.  JI .C .  IIOH TPflrH H ,  MameMamuuecKaH  meopun  onmuMa/ ibHbix  npoą eccoe,  rHH3- MaT. J I H T . ,  MocKBa  1961. 2 0 .  A.  JlYPBE,  Hexomopbie  HejniHeuHue  3adanu  meopuu  asmoMamuuecKozo  peiyjiupoeamw, T H T T JI , 1951. 21.  J. P.  LA  SALLE,  T he time optimal control problem, Contributions  to  Theory  of  N onlinear Oscillations,  V  Ann. M ath.  Studies,  Princeton  U niv.  Press, 1960. SYN TEZA  KIN ETYCZN A  OG ÓLNEG O  U KŁAD U   MECHANICZNEGO  25 22.  I N .  J.  N E I M AR K ,  T he dependence on parameters  of periodical  motions,  Automatic an d R em ote C on trol,  Butterworth s,  Lon don  1961. 23.  N . N .  KRASSOWSKI,  T he parameter  choice foi  optimal  stable systems,  Automatic and  Remote C on trol,  Butterworths, Lon don  1961. 24.  B.M .  ITOHOMAPEB,  SmpiemunecKue  xapaKtnepucmuKu  7ipoueccoe  pezynRuuu  e  aemoMamu- uecKUx  cucmeMax,  H S B .  AH   C C C P ,  T H ,  6  (1959),  134- 140. 25.  P . W.  SM I TH ,  C . J.  M ALM E ,  C . M .  G OG OS,  N onlinear  response  of  a  simple  clamped  panel, S.  Acoust.  Soc.  Am er.,  33  (1961),  1476- 1482. 26.  W.  BOG U SZ , T he inverse problem ofstability  ofcertain  mechanical system, P roc. I ll  Conference on  N on lin .  Vibration s,  Berlin  1964,  to  appear. 27.  R .  BELLMAN ,  Functional  equations  in  the  theory  of  dynamic  programming —  successively: P roc.  N et .  AC .  Sci,  U SA,  43  (1957),  839- 841;  P ro c.  Am er.  M ath .  S o c ,  8  (1957),  435- 440; D u ke  M at h .  J., 27  (1960), 55- 70;  R en dicon ti  C irc.  M at h .  P alerm o,  Ser. I I , 8 (1959),  1- 3. 28.  K ) .E .  LTjfflKHH,  T eopun  uMnyjibcnax cucmeju, MocKBa  1958. 29.  H . H .  KPACCOBCKHfł,  K  rneopuu  onmuMa/ imoio peiyAupoeamn,  ABTOM .  H  Tejieiviex,  18 (1957),  960- 970. 30.  R .  K U LI K O WSK I ,  Concerning  the  synthesis  of  the  optimum  nonlinear  Control systems,  Bull. Acad.  P olon .  Sci,  6,  8  (1959)  391- 399. 31.  R .  K U LI K O WSK I ,  Synthesis  of  a  class of  optimum  control systems,  Bull. Acad. P olon .  Sci., 11, 7  (1959), 663- 671. 32.  S. L.  C H AN G ,  Dynamic  programming  and  Pontryagin's  maximum  principle,  AF OSR  865, ( N .Y.- U n iv.,  D ep . E lectr.  E n gn g  T R  400- 32),  Jun e  1961,  15. 33.  J I .  PE3OH EP,  npuHifun  MaiccuMyMa  T lonmpnzuHa e  meopuu  onmuMa/ ibuux  cucmeM,  ABT . H   Tejieiwex.,  5,  10,  11, 12,  20  (1959). 34.  R .  BELLM AN ,  T he mathematical  theory  of  control processes, M odern  M ath,  for  E n g., Ser. I I , N ew- York  1961,  194- 212. 35.  I .X.  P oftTEH EEP r,  HeKomopbie  3ada.HU  meopuu  dunaMUuecKozo  npotpaMMUposanun  djta HB/ iuHembix  cucmeM,  n piiKji.  M aT.- M ex., 26  (1962),  419- 430,  613- 630. 36.  T .  OD AN AKE,  Prediction  theory  and  dynamic programming, S.  Operations R es.  Soc.  Japan, 2  (1959),  80- 92. 37.  J. B.  R OSE N ,  T he gradient projection  method for  nonlinear programming,  J, Soc.  I n dust.  Appl. M ath .,  8  (1960),  181- 217. 38.  B.A.  T P O H U K H K , 3adaua  Jlazpauoica  eapuauuomoio  ucwcAemn  u  meopun  onmuManbHux cucmeM,  H ayK.- TexH. H mbopM .  Bion.  JleH H H rp.  n orarrexH . H H C T . , 7,  1961,  58- 64. 39.  B.A.  TPOHLjKHft, BapuatfuouHbie sadauu  onmuMwauuu...  I TP H KJI .  MaT. M ex., 26 (1962), 29- 38,  431- 443. 40.  ^H AH - C M - H Hj  K  meopuu  onmuMajihHoto  peey/ iuposamx,  I TP H K JI .  MaT. M ex., 25  (1961). 4 1 .  A. M .  JlETOBj  AnaAumunecKoe KOitcmpyupoeame  peiy/ inmopoe,  ABTOM .  H   Tejieiwex.,  4, 21  (1961), 436- 441; H P 5 —  561- 568;  H P  6 —  661- 665; 4,  22  (1961), 425- 435. 42.  G .  LEITM AN ,  On  a  classe of  variational problems  in  rocketflight, J.  Aerospace  Sci,  9  (1959), 586- 591. 4 3 .  B.A.  TVOH U KH fi,  3adaua  Ma&ep- Bonu eapuauuoHHOio  ucuucjiemiH  M meopuu onmuMa/ iutux cucmeM,  IlpH KJi.  M aT. H   M ex. ,  4,  25  (1961),  668- 679. 44.  E .I \   AJ I L B P E XT ,  O6  onmuMajiwoiX cma6u/ iU3auuu,  IlpHKJi.  MaT.  M ex.,  25  (1961). 45.  R . E .  KALM AN ,  J.  E .  BERTRAM,  Control system  analysis  and design via  the  second L iapunov method,  T ran s.  ASM E ,  2,  82  D   (1960),  371- 400. 46.  S. S. L.  C H AN G ,  Kinetic  L iapunov function  for  stability  analysis  of  nonlinear control  systems, T ran s.  ASM E ,  1,  83  D   (1961),  91- 94. 47.  J I .  PE3OH EP,  O  eapuauuoHHbix  Memodax  uccAedoeaiiun  Kanecmea  cucmeM  ynpaeuenun, I  Kotirpecca  HAJJ(,  MocKBa  1960. 26  WŁADYSŁAW  BOG U SZ,  JANISŁAW  SKOWROŃ SKI 48.  B.B.  E O J I O T H H ,  KpumunecKue  cKopocmu  e HejiUHeuuux  npo6neMax  aapo- ynpyiocmu,  Hayi<. JHOKJI.  Bticineft  IH KOJIM   M an i.,  3,  1958,  25- 29. 49.  R . L .  SWAM , A note ofthe effect ofa  time varying forward flight velocity on  a  bending  torsion- stability  of  a  supersonic  wing,  J.  Aero- Space  Sci.,  11,  28  (1961),  906- 907. 50.  R.  WiŚ NlEWiECKi,  N onlineare  optimization des  serve, Acad.  Roy.  Belgique,  Bull.  CI.  Sci., 44  (1958),  493- 502. 51.  I N . J.  NEIMARK,  T he parameter- dependence  of  periodical motions,  Automatic  and  Remote Control,  Butterworths,  London  1961. 52.  N . N .  KRASSOVSKI,  Optimal parameter selection for  stable systems, Automatic  and  Remote Control,  Butterworths,  London  1961. 53.  D . G .  LEVIS,  On  the perturbation  of  a  periodic  solution when  the  variational system has  non- trivial periodic solution,!.  R ot.  Mech.  Anal.,  5,  4  (1955),  795- 815. 54.  n . A.  KY3MHH, ycmouuueocmb  npu napaMempuuecKUx  eo3Myu(enuHX,  HpHKH. M aT.- M ex., 1,  21  (1957),  129- 132. 55.  O.A.  3EHTBIKOB, HcHuc/ ineMbiu cucmeM  dutfitfi- ypaoHeHuiic imieuxwufUMUcn napajuempaMu, MaT.  C6opHHK,  49/ 91  (1959),  317- 330. 56.  M.  HUKUHARA,  Sur  les  equ fonctionnelles contenant un parametre, I .  F ac.  Sci,  H okkaido Imperial  U niv.,  Ser.  I ,  3- 4,  5  (1937),  107- 122. 57.  M .A.  KPACHOCEJIBCKHH,  06  ucc/ iedosauuu  moneK 6u$ypKaifuu He/ imeiiHbix  ypaeueHuu, Tpyflti  I I I  Gbesfla  MaTeiw.,  AH   C C C P ,  1  (1956),  204- 205. 58.  J.  JARN IK,  J.  KU RZWEIL.  Continuous  dependence  on  a  parameter, Contrib.  to  the  Theory of  N onlin.  Oscill,  Vol.  5,  Princeton  U niv.  Press,  1960,  25- 35. 59.  A.M .  CAMOń JiEHKO, OS odtioM  cnyuae  Henpepbieuou  3aeucuMocmu  cm  napaMempa,  Yitp. M a i.  K yp H . ,  3,  15  (1962),  289- 298. 60.  H . A.  AN TOSIEWICZ,  Continuous  parameter dependence,  U niversity  of  Southern  California T.  Rep.  1960. 61.  A.H .  T H XO H O B ,  3aBucuMocmb  ypamenuu  om  napaMetnpoe,  Tpyflti  I I I  Gbe3fla  MaieM. AH   CCCP,  2  (1956). 62.  J. M .  SKOWROŃ SKI,  S.  ZIEMBA,  Certain properties of  mechanical  model of  structures, Arch. Mech.  Stos.,  2,  11  (1959). 63.  J.'M .  SKOWROŃ SKI,  T he damping  influence  on  the  character  of  strongly nonlinear  mechanical systems, N onlin. Vibr.  Problems,  2  (1960). 64.  J. M.  SKOWROŃ SKI,  T he character  of  motion of  general mechanical  systems,  N onlin.  Vibr. Problems,  4  (1962)  4- 100. 65.  J. M .  SKOWROŃ SKI,  Structural investigation...,  N onlinear Vibr.  Problems,  6  (1964).  • 66.  J. M .  SKOWROŃ SKI, Some remarks about the character  of  motions..., P roc.  IV  N at. U S  Con- gress  of  Appl.  Mech.,  1962,  387- 390. S u m m a r y KIN ETIC  SYN TH ESIS  OF   G EN ERAL  M ECH AN ICAL  SYSTEMS The  problem  under  consideration  is  connected  with  designing  and  constructing  of  machines and  mechanisms. The  designing  data  should  include, besides  the  destination  of  the  machine,  the optimal requirements as regards  the gabarites,  endurance, precision  of  the  process, power,  expenses etc.  The imposed  requirements  are fulfilled  with  the aid  of  the  kinetic  synthesis  which  consists  in the  proper choice and mutual connection of machine elements according to the assumed  conditions. Recent results  concerning the problem  have  been  presented.  The considerations  are  confined  to mechanical systems  the motion of which can be described by a finite number of differential  equations. Polish  nomenclature  of  the  synthesis  problem  has  been  introduced,  the  methods  used  in  other fields  of  mechanical  analysis  with  possible  applications  to  the  problem  aie  quoted,  and  original SYN T E Z A  K I N E T YC Z N A  OG ÓLN EG O  U K Ł AD U   M EC H AN I C Z N EG O  27 results  of  the  auth ors'  research  are  given.  In  particular,  the  attention  is  drawn  to  the  possibility of  utilizing  the  results  obtained  in  the  steering  and  optimization  theory  of  linear  and  non- linear • systems.  The method  based  upon  the  H amilton equations  is  illustrated  by  an  example. In  addition  to  the  methods  described  above,  other  problems  which  can  be  solved  by  means  of th e  kinetic  synthesis  have  been  formulated  in  the  paper. P  e 3  K>  M e KH H E TI TOE C KH ft  C H H T E 3  OEIHEK  M E XAH H ^E C K O K  C H C TEM BI 3 a fl a i a  paccMOTpeH H asr  B  paSoT e  HiweeT  C B S 3 Ł  C  npoeKTH poBaH freM   u  KOHCTpyHpoBaHHeM ManiHH   H   M examroecKH X  yciaH OBOK. I I  n pefln on oH teH H H   floji>KH bi  3aKjnoH aTŁ3  Kpoiwe  npe,nH a3H a tieH JjH   M ainnia> i,  ycjioBH Ji KOHCTpyKiiHOHHbix  pem eH H H , n o  ra6apH Taiw,  n p o ^ H O c r a ,  TOTH OC TH   peaJiH3au,HH a,  M OI I (H OC TH J  CTOH MOCTH   H  T.fl. PeajiH 3au,H H   n ociaBjieH H bix  ycjioBH ii  npoBOAHTCH   B n p o - n e c c e  KiraeTH qecKoro  CH irre3aj  K O T O P H H   COCTOH T  B  cooTBeTCTByiomein  n ofl6ope  sjiesieHTOB  M a- IlIH H bl  H  HX B33HMHOH   yBH 3Ke  COrjIflCHO  npOflHKTOBaHHBIM   yCJIOBHSM. B  p a S o r e  npeflCTaBJieH bi  coBpejvieH H bie  pe3yjiŁTaTŁi  HCCJie^oBarejiBCKHX  p a 6 o r  n o  nocraH OBKe s o n p o c a  CHHTe3a  H   MeTOflOB  e r o pem eH H H . B  p a c c yiK flen a a x  npH H H M ajiact  BO BHHiwaHHe  I OJI BKO n u m b  MexaH H ^ecKaH   c n c ie M a ,  flBU H ^eH ne  icoTopoii  MO>KIIO  on n caT b  KOH etnttiiw  ^ H C J I O M   O 6 M K H O - flH epeimH aJibH bix  ypaBH eH H H ,  ocH OBbiBaacb  H a  JiH TepaType,  BBOflHTCH   n oJttC Kaa HHTHii  yn o T p eSn jjeM t ix  B  Bo n p o c a x  ciiH Te3a.  IIpHBOflHTcH   BO3Mo>KHBie  p,nx ncnom>3OBaH H H   MeTOflw,  npHMeHHeiYiwe  B  flpyrnx  oSnacTH X  aH anH 3a  H ejiH H eiiH trx  cH cieM   H  fla- K)Tca  pe3yjiKTaTbi  H ccneflOBairaft,  n po Beflem ibrx  aBTopaM H . B oco6eH H OcTH , o6pam;aeTCH   BHHmaHHe H a  BO3MO5KHOCTŁ  H cnoji63OBaH H H   pe3yjibTaT0B  HccjieflOBaHHH   B  TeopH H   ypaBHeHHH   H   o n r a M a - jiH3aii;HH   jiH H eiiH bix  u  H eJiH H efabix  CHCTeM.  M eTOftj  ocHOBaHHbiH   n a  ypaBHeHiiHX  FaMHJiB- TOHa  nosicH H eTca  H a  irpm wepe. Kpoiwe  npH Beflei- iH tix  MeTOflOB  B p a 6 o i e  flaeica  cbopiwyjrapoBKa  3ap,sn,  KOTopwe  M O K H O  p e n ia i b B  n p o i?ecce  KHHeTHMecKoro ZAKŁAD   BADAN IA  DRG AŃ IN STYTU TU   POD STAWOWYCH   PROBLEM ÓW  TEC H N I KI PAN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  listopada  1964  r.