Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z1\mts65_t3_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1.3  (1965) O  PEWN YM   SP OSOBI E  PRZYBLIŻ ON EGO  OBLICZAN IA  N IELIN IOWYCH ZAG AD N IEŃ   PRZEWOD N ICTWA  CIEPLN EG O Z YG M U N T  T H R U N   (G D AŃ SK) 1.  Wstę p W  zagadn ien iach  przewodn ictwa  cieplnego,  w  których  granice  zmian tem peratur n ie  są   zbyt  duż e,  m oż na  przyją ć  zwykle  z  dobrym  przybliż eniem,  że  wł asnoś ci  ter- miczne przewodzą cego  m ateriał u są   niezależ ne  od  tem peratury. Zał oż enie  to  uprasz- cza  znacznie  m atem atyczn e  traktowan ie  problem u.  Jednakże  w  wielu  praktycznie ^waż nych  zagadn ien iach  technicznych  (n p. ruch  i  tarcie  przy  duż ych  szybkoś ciach, reakcje  chemiczne oś rodka,  przewodzenie  ciepł a  wywoł anego  reakcjami  termoją dro- wymi,  przewodn iki  prą du)  takie  upraszczają ce  zał oż enia  mogą   prowadzić  do  po- waż n ych  róż n ic mię dzy  obliczonym  a rzeczywistym  rozkł adem tem peratur. D la zależ- n ych  od  tem peratury  T   współ czynników  przewodnictwa  K  i pojemnoś ci  cieplnej  c {iloczyn  ciepł a  wł aś ciwego  i  gę stoś ci  m ateriał u) równanie  przewodnictwa  cieplnego staje  się   nieliniowe.  D la  szczególnego  przypadku  jednowymiarowego  i  dla  pół - przestrzen i  przy  paraboliczn ej  zależ noś ci  współ czynników  c,  K  od  tem peratury  T AWBE R Y  fl]  zredukował   t o  równ an ie  nieliniowe  do  zwyczajnego  równania  róż nicz- kowego.  N astę pn ie H O P K I N S  [2] podał   sposób przybliż onego  rozwią zania, jeż eli znane jest  rozwią zanie  odpowiedn iego  zagadnienia  liniowego.  N ajbardziej  wyczerpują co i  wszechstronnie problem  ten opracował  BI O T  [3] przy  zupeł nie odmiennym podejś ciu • do  zagadn ien ia  n a  podstawie  rach un ku  wariacyjnego.  N iniejsza  publikacja  m a  za zadan ie  p o d ać  przybliż one  rozwią zanie  zagadn ien ia  przez  redukcję   do  ukł adu  zwy- czajnych  równ ań  nieliniowych. 2.  Równania  róż niczkowe  zagadnienia D la  przypadku  an izotropii  termicznej  równaniem  róż niczkowym  przewodnictwa cieplnego  w  dan ym  oś rodku  Q  jest  [4] 1 s=x,y,z gdzie  przez  A  ozn aczon o  ciepł o  generowane  przez  jedn ostkę   obję toś ci  oś rodka  Q w jedn ostce  czasu.  Osie  u kł ad u  współ rzę dnych x,  y,  z  są   tutaj  tzw.  «gł ównymi  osiami przewodnictwa)), a wielkoś ci K x ,  K y ,  K z   «gł ównymi współ czynnikami przewodnictwa)) dla  danej  an izotropii termicznej  oś rodka.  Współ czynniki Ki  c  są   pon adto  funkcjami tem peratury. 1  Str.  21,  wz.  (4). 30  ZYG MUN T  TH RU N N iech  poza  tym  bę dzie  warunek  począ tkowy  w cał ym obszarze Q w postaci (2.2)  f =  0,  T =F(x,y,z), oraz  warunki  n a brzegu  tegoż  obszaru (2 . 3 ) Zazwyczaj  wystarczają co  dokł adne jest przyję cie  liniowej  zależ noś ci współ czynników przewodnictwa  i  pojemnoś ci  cieplnej  od temperatury  w  postaci (2.4)  c = c o (a  +  pT ),  £ . »£ ) , ( «; +  # 2"),  s =  x,y,z. W  powyż szym  wzorze  współ czynniki c0 i KOs  przedstawiają  odpowiednio  pojemność i przewodnictwo  cieplne materiał u  oś rodka  przewodzą cego  ciepł o przy  pewnej  danej wartoś ci  porównawczej  temperatury, zaś a, /?, a', J3' są  stał ymi współ czynnikami. Moż liwe  jest  także  uwzglę dnienie  zależ noś ci  wyż szego  rzę du c =  co(« +  PT  +   yT *),  K=K 0 (a'  - \ - 0'T   +  y'T ). Ograniczymy  się  jednakże  w dalszych  rozważ aniach  do zależ noś ci  liniowych  (2.4). Przybliż one  rozwią zanie  zagadnienia  moż emy  zał oż yć w  postaci  wyraż enia: (2.5) T*x,„, z, „ =  9,0(x, y, z) + ] ? at (?) cPi(x, y, z). 1 = 1 Jeż eli  powyż sze  przybliż one  rozwią zanie  oraz  zależ noś ci  (2.4)  podstawimy  do  rów- nania  (2.1) i zał oż ymy pon adto,  aby  dla  każ dej  funkcji  cp k  speł niona  był a  zależ ność ortogonalnoś ci (2.6)  jjj\ L (T *)-   — \ (p k dxdydz  = O,  k = 1, 2, ..., n, to  otrzymamy nastę pują cy  ukł ad nieliniowych, zwyczajnych  równ ań róż niczkowych: (2.7)  J?  a t aA ik • {  a- Ą c lk   + ^ ajD m   + ^  ^ =  Z k ,  k=  1,2, ...  ,». s- x,y,z  *  / - I W powyż szych  równaniach  wprowadzono  nastę pują ce  oznaczenia: " i  =   ~W '   Aik  =   J J J  ViVkdxdydz,  C lk =  J J J  (p o(pi (p k dxdydz t Di jk   = J J j  (pi  i Jest  to  ukł ad  równań,  z  którego  moż emy  wyznaczyć  wielkoś ci  a D la  przypadku  izotropii  termicznej  K x   =  K y   =  K z   =  K(T )  równanie  (2.1) moż na T znacznie  uproś cić,  wprowadzają c  bowiem  nową   zmienną   niezależ ną   &  — J  K(T )dT o i  podstawiają c  stą d  do  równania  (2.1)  zwią zki  dOjds  — KBT jds  (s =  x,  y,  z,  t), otrzymamy  równanie  uproszczone Równanie  to  m oż na  traktować jako  waż ne  dla  oś rodka  o jednostkowym  przewod- nictwie  cieplnym  i  o  współ czynniku  pojemnoś ci  cieplnej: Z  powyż szego  wynika,  że  nieliniowe  zagadnienie  dla  oś rodka  o  przewodnictwie i  pojemnoś ci  cieplnej, zależ nych  od temperatury, moż na zawsze sprowadzić  do  przy- padku  o stał ym współ czynniku przewodnictwa  cieplnego. D latego też w  przypadkach •   izotropii  termicznej  wystarczy  rozważ ać  zagadnienia,  w  których  tylko  współ czynnik pojemnoś ci  cieplnej  c jest  zależ ny  od  temperatury.  U kł ad  równań  róż niczkowych (2.7)  uproś ci  się   wówczas  przez  podstawienie (2.12)  #   =   0,  «ś  =   l ,  K s   =  K Os   =  K o , do  postaci (2.13)  ^ [aiaAik  +  ktĄ c  ̂ +  ^ ajDtj^   +  aiBi,]  =Z k ,  k  =   1, 2,  . . . , «. Współ czynniki  B ik   i  Z k   oznaczają   t u : Cl  1zT l  s=x,y,z CC f\ A 32  ZYG MU N T  TH RU N 3.  Wyznaczanie  pierwszego  przybliż enia Zgodnie  z  zał oż eniem  (2.5) pierwsze  przybliż enie  przyjmujemy  w  postaci (3.1)  T f  =  

mwi(0) =   o t ^ ii+ j5C x l i o znanym  rozwią zaniu. D la  róż nych  równ ań  róż niczkowych  typu  (3.5) gotowe  rozwią zania  są   po d an e w  literaturze [ 5 ] 2 . c.  Przykł ad.  Ogrzewanie  m uru, którego jedn a ś ciana jest utrzym ywana  stale w tem- peraturze  T  =   0 o , a druga  równoległ a ś ciana w odległ oś ci  I n iech  bę dzie  izolowan a. Warun ek  począ tkowy  jest  dany  w postaci  t =  0,  T  =  0.  P oczą tek  współ rzę dnej  x zakł adam y n a ś cianie  o tem peraturze 0 0 . Z godnie z warun kam i  brzegowymi  przyjmu- jem y  pierwsze  przybliż enie: (3.6)  j j  _ 0 O  + f l o r i n * * . 2  Str.  236- 245. N I ELI N I OWE  ZAG AD N IEN IA  PRZEWOD N ICTWA  CIEPLNEGO  33 P o  wyznaczeniu  współ czynników  (2.8)  i  (2.14)  oraz  stał ej  począ tkowej  ^ ( 0)  z  wa- run ku  (2.10)  w  postaci  ax(0)  =   40/or  rozwią zanie  (3.3)  przyjmie  postać  nastę pują- cego  zwią zku: Z a  pomocą   tej zależ noś ci  m oż na  też wyznaczyć  tzw.  «czas  przejś cia»,  po którym ś ciana  izolowana  (x =  / )  zaczyna  się  ogrzewać.  Ponieważ  w tym  przypadku  musi być  d 0  +  a^ tj)  =  0,  wię c  otrzymamy r Ł atwo  zauważ yć,  że rozwią zanie  odpowiedniego  zagadnienia  liniowego  otrzymamy także  ze zwią zków  (3.7)  i  (3.8)  przez  podstawienie  a =  1, /J =  0: (3.9, D la  porówn an ia  z  wynikami  BIOTA  zał óż my,  że dla granicznych  zmian  tempera- / 4  \ tur  wystę pują cych  w  danym  przykł adzie  T —  — 6A  11 i  T  =  0O współ czynnik pojemnoś ci cieplnej zmienia  się   od c = c0 do c =   2c0, czyli a =  12 — — I, j] =   7t/ 400. Rozwią zanie  (3.7)  oraz  «czas  przejś cia»  (3.8)  przyjmą   tu postać (3.10) -   - "fr  —  1  =0,122. Powyż szy  «czas przejś cia»  otrzymamy  też z (3.9) przez podstawienie  wartoś ci  współ - czynnika  pojemnoś ci  cieplnej  równej  1,25 c0.  B I O T 3  otrzymał  wynik  «0 fi/ / 2 =   0,113. d.  Przykł ad.  Ochł adzanie  m uru  z  poprzedniego  przykł adu.  Przyjmujemy  teraz warunek  począ tkowy  t =   0,  T  = 9 0   oraz  warunki  brzegowe  x =  0,  T  = 0 i x = I, dT jdx  =  0.  Pierwsze  przybliż enie  ze wzglę du  n a jedn orodn e  warunki  brzegowe  za- kł adamy  w  postaci  wyraż enia; (3.11)  T f  =  a 1 (ł )sm^ j. P o  wyznaczeniu  współ czynników  A n ,  B X1 ,  flm  ze wzorów  (2.8),  (2.14)  oraz  z  za- leż noś ci  (2.10)  stał ej począ tkowej  ax(0) =   4Q0/ T I,  rozwią zanie  zagadnienia  (3.3) otrzy- mamy  w  postaci  n astę pują cej: n  i- n  to  4 0«  (nYKot  p  8  / 400  \ "| (3.12)  %( ^ ) =   e xp  —  —r  —  • =—  fli  . w  L  \ 2/ /   a  a  3n \  n  j \ Ze  zwią zku  a x  = 0 0   otrzymam y  czas  przejś cia: (3.13) 3  Str.  869, wzór  (9.15).  U waga.  Łatwo  sprawdzić,  że  podany  tam wynik liczbowy  0,106  jest bł ę dny. 3  Mechanika  teoretyczna 34  ZYG MU N T  TH RU N Jako  szczególny  przypadek  wzorów  (3.12)  i  (3.13)  otrzymamy  rozwią zanie  odpo- wiedniego  zagadnienia  liniowego  przez  podstawienie  a =   1, j3 =   0: (3.14) oraz czas przejś cia  identyczny z wartoś cią   (3.9) otrzymaną   dla przykł adu  ogrzewania m uru.  Z  powyż szych  zwią zków  wynika  identyczność  sposobu  przebiegu  procesu ogrzewania  i  ochł adzania  dla  zagadnienia  liniowego  oraz  zasadnicza  róż nica  tych przebiegów  w  zagadnieniu  nieliniowym. D la  porównania  wyników  liczbowych  z  procesem  ogrzewania  zał óż my,  że  dla granicznych  zmian  temperatur z  niniejszego  przykł adu  (T  =   49 0 / T I  i  T  =  0), współ - czynnik pojemnoś ci  cieplnej zmienia się  znowu od c — 2c0 do c =   c0, czyli §9Q  =   JT/ 4, a  =   1.  Wzory  (3.12)  i  (3.13)  przyjmą   wtedy  postać (3.15) Z porównania wartoś ci  (3.10) i (3.15) wynika, że dla zagadnienia nieliniowego  proces ochł adzania  trwa  o 41% dł uż ej od ogrzewania  w tych  samych  granicach tem peratur. Wartość  liczbową   czasu  przejś cia  (3.15)  otrzymamy  z  zagadnienia  liniowego,  jeż eli podstawimy  do (3.9) ś rednią,  efektywną   wartość  współ czynnika  pojemnoś ci  cieplnej, równą   1,76 c 0 4 . D la  oś rodka  termicznie  anizotropowego  w  przypadku  pierwszego  przybliż enia wedł ug  (3.1) ukł ad  (2.7)  sprowadza  się   do równania  nastę pują cego: - ) - Przybliż one  rozwią zanie  moż na  tu  otrzymać  za  pomocą   metody  perturbacji  P oin- carego, przy  czym wyraż enie  w nawiasie  kwadratowym  przedstawia  czę ść  nieliniową sprawiają cą   trudność  rozwią zania,  którą   należy  przemnoż yć  przez  mał y  parametr.. Sposób  postę powania,  typowy  dla tej  metody, jest  analogiczny  do pokazanego po- niż ej obliczenia  drugiego  przybliż enia. 4.  Wyznaczanie  drugiego  przybliż enia (4.1)  T2* =   yHKD;HH: fleKapTOBBix KoopflHHaT.  C  HcnoJiB3OBaHHeM   n pH H qn n a  o p T o ro - flaH H oro flndp(J)epeH aH ajiBH oro ypaBHeHHH   n o  oTflen&HOCTH   K Kaw^oH   H3  npH H H Ttix 4>yHKr(Hń,  noJiyneH a  cacreM a  oSBiKHOBeHHbix  HejiHHeftHBix flH (p(bepeH L(H aj]bH Bix ypaBHeHHH,  H3 KOTOPBIX  MWKHO  onpeflejiH Tb  neH3BecTHBie  diyHKipiH   BpeMeHH.  B  Ka^iecTBe  MacTHLix  cjiymes H3  3THX  peineHHft  noiryqaiOTCH   pem en H S  flJiH   cooTBeTCTByromiix  jm H et aBix  3aflaq.  C n o c o 6bi n epBoro  H  BToporo  npH SjinH ceiinft  HXOHOCTpHpyiOTCfl  npHiwepaMH. S u m m a r y A  C ER TAI N   AP P R OXI M ATE  M E TH OD   OF  SOLVING  NON- LINEAR  PROBLEMS  OF H EAT  C O N D U C T I O N The  partial  differential  equation  governing  the flow  of  heat  in a  medium for  which  th e  th erm al conductivity  and  heat  capacity  vary  with  tem perature,  is  non- linear.  The  approxim ate  solution is  assumed  in  a  product  form  of  unknown  time- dependent  functions  an d  presumed  functions  of t h e  Cartesian  coordin ates.  Applying  t h e  principle  of  orthogon ality  to  the  fundamental  equation an d  to each of  th e assumed  functions,  a  set  of ordinary differential  equations  is  obtained,  th e  solu- tion  of  which  yields  unknown  functions.  As  particular  cases  t h e  solutions  of  adequate  lin ear problem s  are  available.  The  m ethod  of  com putation  of  the  first  an d  second  approxim ation is  illustrated  by  examples. P O LI T E C H N I K A  G DAŃ SKA. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  14  listopada  1964  r.