Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z1\mts65_t3_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,3  (1965) G EOM ETRIA  RÓŻ N ICOWA  P OWI ER Z C H N I OWEJ  SIATKI  PUN KTÓW WI TOLD   G U T K O W S K I  (WARSZAWA) 1.  Wstę p W  pracy  zbadan o  geom etrię   róż nicową   zbioru  pun któw  przedstawionych  n a rys.  1  (odcinki  prostych  ł ą czą ce  poszczególne  pu n kt y  mają   znaczenie jedynie  gra- ficzne).  Kon ieczn ość  zbudowan ia  takiej  geometrii  wynikł a  z  zastosowania  rachun- ku  róż nicowego  do  analizy  regularn ych  siatek  prę towych  (wtedy  odcinki  prostych n a  rys.  1  odgrywają   rolę   prę tów). Rys.  1 P odstawą   rozważ ań  jest  praca  autora  [3],  w  której  zdefiniowano  geometrię   róż- nicową   pł askiej  siatki  pu n kt ów  w  zastosowaniu  do  analizy  prę tów  wielobocznych. P odobn ie  ja k  we  wspom n ian ej  pracy  tak  i  tutaj  korzystan o  wył ą cznie  z  rach un ku róż nicowego  przyjmują c  w  n im  nastę pują ce  oznaczenia  funkcji  oraz  operatorów sumy  i  róż n icy: i+y, 38  WITOLD   G OTKOWSKI x  oznacza  liczby  cał kowite. T ak więc jedynie  przy  funkcjach  o  argum en tach  prze- sunię tych  (n p. y  i ) i nie bę dą cych  pod znakiem  operatorów  V  czy A  in deksów nie  opuszczano. 2.  Wł asnoś ci  siatki N iech  bę dzie  dan a  jedn ojedn ozn aczn a  funkcja  wektorowa  r  odwzorowywują ca w  pewnym  obszarze  przestrzeni  trójwymiarowej  parę  uporzą dkowaną  {a, /?} w  zbiór wektorów  o wspólnym  począ tku.  Koń ce  tych  wektorów  nazwiemy  przestrzen n ą siatką  punktową.  W  parze  uporzą dkowanej  a i /? są nastę pują cymi  cią gam i: gdzie  0 i £ są liczbami  cał kowitymi. Ze  wszystkich  dowolnych  zbiorów  siatek  rozpatrywać  bę dziemy  jedyn ie  te,  kt ó- rych  wł asnoś ci  bę dą  nastę pują ce: (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) 0 ±   a | A  j r  =  h 2 ? ±   2 VB ± i r- 2 rf l ± J Ati  •   A8r =   con st, =   con st, — 0 =   0 , =   0 , | A,«r  —  A%  = Vf ± ir ~ 2r f ± i = A4[AjrxA|r]  = const, o, 0. Zwią zek  (2.1) oznacza,  że  odległ oś ci  pomię dzy  pu n kt am i  siatki  przy  dowoln ym , ustalonym  £ i zmiennym  9 są  stał e i równe  h x .  Z wią zki  (2.2) oznaczają,  że odległ o- ś ci  pomię dzy  pun ktam i  przy  stał ym  0 i  zmiennym  £ są stał e,  a same  pu n kt y  leżą w  wierzchoł kach  lub w ś rodkach  boków  wieloką tów  foremnych. Zwią zki  (2.3) oznaczają,  że  pu n kt y  wyznaczone  koń cem  wektora  r  przy  argu- m entych  6 +_ —-  i  £  +_ —  leżą  w poł owie  odległ oś ci pom ię dzy  pun ktam i a argum en - tach  0 - 1, 6 i 0 + 1 . Zwią zki  (2.4)  oznaczają,  że zbiory  pun któw  o stał ym £  lub odpowiedn io  stał ym  0 leżą  n a  jednej  wspólnej  pł aszczyź nie  (skrę cenie  równ e  zeru).  I  wreszcie  zwią zek (2.5)  mówi,  że pł aszczyzny  dla stał ego  6 i stał ego  £  są  nawzajem  prost opadł e.  R e- asumując  stwierdzamy,  że  rozpatrywan y  przez  n as  zbiór  skł ada  się z siatek  o  co najmniej  jednej  osi  symetrii  prostopadł ej  do  pł aszczyzny  9 =  con st. 3.  Wektory  jednostkowe  i dział ania  nad  nimi Wszystkie  wektory  bę dą ce  funkcjami  poł oż en ia  p u n kt u  siatki  bę dziemy  dawać w  rzutach  n a  dwa  kierun ki  styczne  i  kierunek  n orm aln y  do  siatki  w  rozpatrywa- n ym  pun kcie. G E O M E T R I A  R ÓŻ N I C OWA  P O WI E R Z C H N I O WE J  SIATKI  P U N K T Ó W  39 Przez  kierunki  styczne  bę dziemy  rozumieli  kierunki  zgodne  z  wektorami jedno- stkowymi : (3.1)  t=>- j- A e T ,  /   =   —A e r , a  kierunek  normalny  zgodny  z  kierunkiem  wektora  jednostkowego: (3.2) n = t x i . Wielkoś ci  A x   i  A 2   podobnie jak  również  póź niej  stosowane  B 1   i  _B2 wyznaczamy z  nastę pują cych  zwią zków: (3.3) (3.4)  l V 0 r - 2 r | ^^  =   ( 2 | - ))  |V,r  - 2 r |-   =   B\  = Wielkoś ci  R x   i  r 2   są  promieniami krzywizny  pł askich siatek  i  został y  zdefiniowane w  pracy  autora [3]. Poszukiwanie  wszelkich  przyrostów  i  sum  dowolnych  wektorów,  bę dą cych  funk- cjami  poł oż enia  punktu  siatki,  zwią zane  jest  z  uprzednim  wyznaczeniem  przy- rostów  i  sum  wektorów  jednostkowych  t,  i,  n,  dlatego  też  rozpatrzono  poniż ej przyrosty i sumy wektorów jednostkowych  kolejno  dla 6,  £ oraz dla  0  ± - =-  i £ ±  - «-. W e k t o r  t.  Ze  wzglę du  na  symetrię  obrotową  rzut  jego  przyrostu  na  kie- runek  wektora  i  równy jest  zeru. N a podstawie  definicji  podanych w pracy  [3]  rzut tegoż  przyrostu  na  kierunek  t  również  jest  równy  zeru.  I  wreszcie  na  podstawie tychże  samych  definicji  rzut  na  kierunek  normalnej  wynosi: (3.5)  (V), =   - ~ n. Podobnie za  pomocą  zwią zków  z wyż ej  wspomnianej  pracy  moż emy  okreś lić rzuty sumy  Vflt: (3.6)  V0t  =   2 ^ - t, Rzuty  tego  wektora  na  pozostał e  osie  są  równe  zeru. Rozpatrzymy  z  kolei  przyrost  i  sumę  tegoż  wektora  wzglę dem  f.  Ze  wzglę du na  obrotową  symetrię  przyrost  ma  tylko  jedną  skł adową  w  kierunku  osi  i.  W tym celu  rozpatrzymy  toż samość lub Po  zróż nicowaniu  ostatniej  równoś ci  stronami  otrzymamy ze  wzglę du  na  symetrię  A^ A X   — 0 jak  i  A s \   =   0.  Tak  więc  po  przekształ ceniach otrzymamy (3- 7)  A,t  = WITOLD   G U TKOWSKI P o  przejś ciu  do  granicy  przy  jednoczesnym  podzieleniu  przez  element  ł uku  otrzy- mamy  znaną  zależ ność  z  teorii  powierzchni  (por. n p.  [1]): dt  _  I  dA s . Z  kolei  przejdź my  do  wyznaczenia  skł adowych  sumy  A$t.  Ze  wzglę du  n a  obro- tową  symetrię  wielkość  t a  może  mieć  wył ą cznie  skł adowe  skierowane  wzdł uż  osi t  i  n.  R zut  n a  oś  n jest  widoczny  bezpoś rednio  z  rys.  2: AA lv (3.8) (Vf t)„  =   -   2 - ~~  sin cp cos  y. Rys. 2 U wzglę dniając  jedn ak, że sin q> =  hJ2rr,  oraz wprowadzając  oznaczenie R 2   =   r2/ cos y otrzymujemy (3- 9)  ^ A Z  tego  rysunku  otrzymamy  rzut  poszukiwanego  wektora  na  oś  t : (3.10) W e k t o r  i.  Ze  wzglę du  na  symetrię  obrotową  i  ortogonamość  pł aszczyzn dla  6 — const  i  £  =   const  od  razu  otrzymamy (3.11)  A i  =   0  Vi  =   2i  Vi  =   2:—- i G EOMETRIA  RÓŻ NICOWA  POWIERZCHNIOWEJ SIATKI PUNKTÓW 41 Skł adowe  wektora  AA  m oż na  ł atwo  wyznaczyć  bezpoś rednio  z  rys.  3  pamię tają c, że  sam  wektor  jest  prostopadł y  do  osi  i.  T ak  wię c  mamy (3.12) Rys.  3 W e k t o r  n.  Wielkoś ci  rzutów  sum  i  róż nic  dla  tego  wektora  otrzymamy z  definicji  (3.2).  P o  podstawien iu  znalezionych  uprzednio  wielkoś ci  i po przekształ - ceniach  otrzym am y  odpowiedn ie  zależ noś ci  przy  zmiennym  0: (3.13) (3.14) At, Bardziej  zł oż one  są   przekształ cenia  dla  przyrostu  i  sumy  wzglę dem  | : pon ieważ  zaś przeto  ostatecznie  otrzym am y (3.15) 42 WITOLD   G U TKOWSKI Z  kolei Uwzglę dniając  że otrzymujemy  zależ ność (3.16) V|ii  —  2  .—  -  n . Rys.  5 Pozostaje  jeszcze  wyznaczyć  przyrosty  i  sumy  wektorów  jednostkowych  przy a  =   0 ± - s- i / ? =: l : ± - ^ --   Rozpocznijmy od wektora i.  Ze wzglę du na symetrię   obro- tową   otrzymujemy  bezpoś rednio (3.17) 0 ± T V + i i  =   2i 0 ± v «± - natomiast  z  rys.  3  moż na wywnioskować,  ż e: (3.18) =   - 2 ^ - l±f GEOMETRIA  RÓŻ NICOWA  POWIERZCHNIOWEJ  SIATKI  PU N KTÓW  43 W e k t o r  t.  Z  twierdzeń  pomocniczych [3] jak  i z  rys.  4 wynika  bezpoś rednio, że (3.19)  A 0 ± J L t j = - - ^ I AA  hi  /   1 H   2(Vl  V  , t  =   V  i  —  t  i — —  A  T  - —- 2 a  z  rys.  5 (3.21)  ^xt- î W e k t o r  n.  Odpowiednie  wielkoś ci  dla  n  uzyskamy  jak  i  poprzednio  z  ilo- czynu  wektorowego  t x i : (3.22) , ± ł | , ± ł ( ) , ± , ± C3  9S^  V  n  "8"a  .  _|_ J _ 2 i _ L Jak  już  wspomniano,  powyż sze  zależ noś ci  umoż liwiają   wyznaczenie  przyro- stów  i  sum  wektorów  w  dowolnym  punkcie  siatki.  N iemniej  jednak  ze  wzorów tych nie wynikają   zwią zki  pomię dzy  A x ,  A z   i promieniami krzywizny  R x   i  i?2.  Zwią z- ki  te  moż na  otrzymać  n a  podstawie  podobnego  rozumowania  jak  i  w  geometrii róż niczkowej.  Weź my  w  tym  celu  pod  uwagę   drugi,  mieszany  przyrost  wektora  n : Wstawiają c  zamiast  A9n  i  A^n  wyraż enia  (3.13)  i  (3.15)  otrzymujemy a  po przekształ ceniach Z  równoś ci  tej  wynika,  że  poszczególne  skł adowe  w  kierunku  t,  i  i  n  powinny być  równe  zeru.  Pierwsza  i  trzecia  skł adowe  są   równe  zeru  toż samoś ciowo,  gdyż ze  wzglę du  n a  symetrię   obrotową A A |  =  O.. 44  WITOLD   G U TKOWSKI Z  przyrówn an ia  współ czynnika  przy  i  otrzymujemy  zależ ność  wią ż ą cą   ze  sobą wielkoś ci  A x ,  A t ,  h t ,  h 2 ,  R t , R%: (3.26) V J ^ - I  \- "Vij N ie  trudn o  wykazać,  że  przy  przejś ciu  do  granicy  otrzym am y  zn an y  zwią zek  C o - dazziego  dla  powierzchni  obrotowej  (por. n p .  [2]): 8 Rozpatrzmy  z  kolei  toż samość Wstawiają c  zamiast  A$t i  Aot  zależ noś ci  (3.7) i  (3.5)  otrzymujemy a  po przekształ ceniach Jak poprzednio tak i w tym przypadku  nie t ru dn o  sprawdzić,  że wyraż enie  to w gra- nicy  przechodzi do znanego z teorii powierzchni  [1] zwią zku  G aussa dla powierzchn i obrotowej. 4.  Geometria  siatki  odkształ conej Przyjmijmy  jak w  paragrafach  poprzedn ich, że pu n kt y  siatki  okreś lone  są  współ - rzę dnymi  6 i  f.  P on adto  przyjmijmy,  że  dowolny  p u n kt  naszej  siatki  dozn ał   prze- mieszczenia  u  jako  funkcji  tychże  współ rzę dnych  0  i  | .  Rozł óż my  teraz  to  prze- mieszczenie  u n a trzy  podstawowe  kierunki  zgodne  z  kierun kam i  wektorów  jed n o - stkowych  t, i  i  n. W  rezultacie  tego  n owe  poł oż enie  p u n kt u  wyznaczone  zostan ie koń cem  wektora  Q bę dą cego  sumą   wektorową (4.1)  p =   r- |- ii  =   r +  wt +  ^ i 4- wn. R ozpatrzm y  teraz  wektor  —~A8g.  P o  zróż nicowaniu  prawej  stron y  ró wn an ia A\ (4.1)  i  podstawieniu  poprzedn io  wyznaczonych  wyraż eń  n a  przyrost  i  sumy  wek- torów  jedn ostkowych  otrzymamy (4.2)  ± A f l P = ( ^  ^ ^A  \   h  A x   h x Jeż eli  oznaczymy  podobn ie  jak  w  teorii  powł ok  [2] _(A o u  By, (4. 3) G E O M E T R I A  R Ó Ż N I C O WA  P O WI E R Z C H N I O WE J  SIATKI  P U N K T Ó W  45 t o  otrzymamy (4.4)  ~ A o p  = Podobnie  moż emy  wyznaczyć  wzglę dny  przyrost  wektora  p  wzglę dem  £.  Rozu- mując  jak  poprzednio  otrzymamy  po  przekształ ceniach (4.5)  i; A* p  = gdzie N astę pnie  wyznaczymy  przyrosty  wektora  Q przy  argumentach  przesunię tych, a  więc  , Sposób  postę powania  jest  taki  sam  jak  wyż ej,  dlatego  nie  podając  przekształ ceń zapiszemy (4.6)  • ^ A o ± |p  =   | gdzie A„.  i« Podobnie  przy  zmiennym (4- 8)  ^ j  +  i r  f± - 46  WITOLD  G U TKOWSKI gdzie 1  V7  A < A (4.9)  «  , = I ^ ± i Wyznaczymy  teraz  wektory  jedn ostkowe  odkształ conej  siatki  oznaczają c  je przez  t*, i* i  n *.  Rozumują c  analogicznie  jak w  teorii  powierzchni (por. n p .  [2]} dochodzimy przy zał oż eniu, że odkształ cenia  są   m ał e,  do nastę pują cych  zależ n oś ci: t* x  t +  co g i- -# en, ( 4 '  )  I* x  # n*  K Z a  pomocą   powyż szych  zależ noś ci okreś limy  odkształ cenie  postaciowe a>  siat ki jako  iloczyn skalarn y: Przy  mał ych  odkształ ceniach  odrzucają c  iloczyn  ^0- i?5  jako  mał ą   wyż szego rzę du  otrzymamy ostatecznie (4.11)  (o Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  I I . K.  PAIHEBCKHfł ,  Kypc  dut/ >(/ >epemtuajibHoii  leoMempuu,  M ocKBa  1956. 2.  B. B.  HOBO)iKecTBa-   T o^eK ,  on peflejieH H bix  3aBH CH - M OCTH M H   (2.1)—(2.5)  H pacn ojioweH H bix  Ha npoH3BOHEHOH   noBepxH OCTH   Bp a m e n u H   ( p a c .  1 ) . !B n .  3 AaeTCH  onpeftejieH H H   OTflentH Bix  xapaKTepHCTHHecKHX  ceiOK, a TaiOKe p,eiicTBHfi;  HaA TpeMH  eH H H H 'i- HHMH   OpTOrOHaJlBHBIMH   BeKTOpaMH.  KpOMe  TOrO  npHBOflHTCH   reOMeTpH ^eCKH e  3aBHCHMOCTH cooTBeTCTByioinee  cooTHOuieHHHM  K o fla q u H - r a yc ca  B  flH d[)4)eP eH I5H ajlŁH oii  reoM eTpH H .  B  n . 4 B b i - BOflHTcst  cooTH onieH H H , on H ctiBaKiiuH e  flecpopM H poBamiyio  ceTKy.  3 T H   co o T H o in eiiM :  M o r yr  S B I T B H cnoJiŁ3OBaH bi,  M ewfly  n po ^H M j  n pH  HCCJieflOBaHHH   n oBepxH ocTH bix  cTep>KHeBfcix  ceTOK. GEOMETRIA  RÓŻ NICOWA  POWIERZCHNIOWEJ SIATKI  PU N KTÓW  47 S u m m a r y D I F F E R E N C E  G EOM ETRY  O F   TH E  P OIN T SU RF ACES The object  of th e paper is to present the difference  geometry of  a set of points defined  by relations (2.1)- (2.5)  and  located  on  an  arbitrary  surface  of  revolution  (F ig.  1). In  Sec.  3 of  the paper, the characteristic  parameters  of  the  surface  as  well as  operations  on  the  dextral  set  of  mutually  per- pendicular unit- vectors are considered.  Besides  the geometrical  relations analogous  to  the Codazzi- G auss relations in  the  differential  geometry  are  given. In  the last  Sec.  of  the paper, the  deformed surface  is  considered.  The  relations  thus  obtained  can  be  applied,  among  others, to  the  analysis of  th e  regular  sets  of  rods. ZAKŁAD   M E C H AN I K I  O Ś R O D K ÓW C IĄ G ŁYCH I N STYTU TU   P OD STAWOWYC H   P R O BL E M Ó W  TE C H N I KI  P AN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 17  listopada 1964  r.