Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z1\mts65_t3_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 3  (1965) WPŁYW  EFEKTÓW  D YN AMICZN YCH N A  P RZ EBIEG   P ROC ESÓW  CIĄ G N IEN IA  M ETALI WOJCIECH   S Z C Z E P I Ń S KI  (WARSZAWA) W  teoretycznych  rozwią zaniach  procesów  obróbki  plastycznej  metali,  mimo  że każ dy  z  nich  przebiega  z  okreś loną   prę dkoś cią,  przyjmuje  się ,  że  zarówno  sił y  bez- wł adn oś ci  w  równ an iach  równ owagi,  jak  i  wzrost  oporu  plastycznego  przy  wię k- szych  prę dkoś ciach  odkształ can ia  są   pomijalnie  m ał e.  W  wię kszoś ci  przypadków praktyczn ych  takie  quasi- statyczne  podejś cie  n ie  prowadzi  do  wię kszych  bł ę dów, a  nawet jest  w  peł n i  uzasadn ion e  z  uwagi  n a  t o ,  że  z  koniecznoś ci  w  rozwią zaniach tych  przyjmuje  się   szereg  innych  zał oż eń  upraszczają cych.  Istnieje  jedn ak  szereg przypadków,  w  których  pom inię cie  efektów  dynamicznych  może  dać  bardzo  duże bł ę dy.  D otyczy  t o  zwł aszcza  uwzglę dnienia  lepkoś ci  m ateriał u,  przejawiają cej się   w  zależ noś ci  o po ru  plastycznego  od  prę dkoś ci  odkształ cania.  Jak  wiadomo [1]  dla  mię kkiej  stali  przy  prę dkoś ci  odkształ can ia wię kszej  od  e  =   100  sek.^1  gra- nica  plastycznoś ci  n a  rozcią ganie  m a  dwukrotn ie  wię kszą   wartość  od  statycznej. T a  czuł ość metali  n a  prę dkość  odkształ can ia  szczególnie  wzrasta  w  podwyż szonych tem peraturach ,  w  jakich  czę sto  przebiegają   procesy  obróbki  plastycznej.  W  pro- cesach  cią gnienia  cienkich  drutów,  blach  oraz  rur  o  mał ej  ś rednicy  prę dkoś ci  od- kształ can ia  osią gają   czę sto  bardzo  duże  wielkoś ci  i  ich  wpł yw  n a  opór  plastycz- n y  m ateriał u  nie  może  być  pom in ię ty.  Z naczenie  praktyczne  m a  również  zbada- n ie  wpł ywu  nagł ych  zm ian  prę dkoś ci  (szarpnię cia),  wywoł anych  wadliwym  dzia- ł aniem  lub  obsł ugą   cią garek.  Z wią zane  z  takim  szarpnię ciem  przyś pieszenia  mogą prowadzić  do  zerwania  dru t u  lub  rury. Poniż ej  po dan o  rozwią zan ia  niektórych  procesów  cią gnienia  z  uwzglę dnieniem zarówn o  sił   bezwł adn oś ci, ja k  i  efektów  prę dkoś ci  odkształ cania.  W  przypadku cią gnienia  rury  uzyskan o  rozwią zanie  ś cisłe  drogą   numerycznego  cał kowania. D la  procesów  cią gnienia  blach  i  drutów  próby  ś cisł ego  rozwią zania  zagadnienia trafiają   n a  bardzo  duże  trudn oś ci. Z  tego  wzglę du  w  celu  oceny  efektów  dynamicz- nych  i  wpł ywu  lepkoś ci  m ateriał u  przedstawion o  przybliż one  rozwią zan ia: oparte n a  zał oż eniu  uproszczon ego  schem atu  odkształ can ia  m ateriał u.  Zał oż enie  takie pozwala  uzyskać  proste  rozwią zan ia  w  postaci  zam knię tej. 1.  Cią gnienie  rury  przez  stoż kową   matrycę R ozpatrzm y  proces  cią gnienia  rury  o  począ tkowym  prom ien iu  r 0  i  gruboś ci ś cianki  h 0   przez  stoż kową   m atrycę   (rys.  1)  uwzglę dniając  wpł yw  sil  bezwł adn oś ci. Stan  n aprę ż en ia  w  ś ciance  rury  m oż na  uważ ać  za'  bł onowy,  ponieważ  grubość 4  M echanika  teoretyczna 50 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI ś cianki  jest  m ał a  w  porówn an iu  z  pozostał ym i  wym iaram i,  co  pozwala  pom in ą ć zm ian ę   naprę ż eń p o  gruboś ci.  N acisk  p  pom ię dzy  rurą   a  ś cianką   m atrycy jest  bar- dzo  m ał y  w  porówn an iu  z  naprę ż eniami  i  może  być  pom inię ty  w  waru n ku  pla- h r Rys.  1 stycznoś ci.  W  każ dym  pun kcie  należy  wyznaczyć  cztery  n iewiadom e:  n aprę ż en ie wzdł uż  tworzą cej  a r ,  naprę ż enie  obwodowe  a t ,  grubość  ś cianki  h  oraz  prę dkość pł ynię cia  m ateriał u wzdł uż  tworzą cej  v. W  równ an iu ruch u elementarnej czą stki  m ateriał u oprócz sił  wynikają cych  z  dzia- ł ania  naprę ż eń  należy  uwzglę dnić  sił ę   bezwł adnoś ci  przypadają cą   n a  jedn ostkę obję toś ci.  Sił a  t a  równ a  się (1.1) dv gdzie  Q jest  gę stoś cią   m ateriał u, t —  czasem,  a r  —  prom ien iem  rozpatrywan ego elementu  rury.  W  wyraż eniu  tym  zał oż on o,  że  prę dkość  pł ynię cia  zależy  równ ież od  czasu,  a wię c v  =   v(r,  t).  Jest  to  zwią zane  z  moż liwoś cią   zm iany  prę dkoś ci  cią g- nienia  rury  w  przekroju  wyjś ciowym,  w  którym  v x   =   v^ t).  P roces  jest  w  takim przypadku  niestacjonarny  i  wszystkie  poszukiwane  wielkoś ci  są .  zależ ne  zarówn o od  prom ien ia  r  ja k  i  od  czasu.  Odpowiedni  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  czą - stkowych  m a  niepeł ną   liczbę   charakterystyk  rzeczywistych  i  jego  rozwią zanie  n a- potyka  bardzo  duże  trudn oś ci.  Z  tego  wzglę du  ograniczymy  się   do  zbadan ia  je- dynie  stacjonarnego  przebiegu  procesu  cią gnienia  przyjmują c,  że  prę dkość  cią g- nienia  w  przekroju  wyjś ciowym  nie  zmienia  się ,  a  wię c  v 0   =   con st. W  takim  przypadku  w  wyraż eniu  (1.1)  n a  sił ę  bezwł adnoś ci zn ika  pierwszy  czł on dvjdt  w  nawiasie,  a  równanie  ruch u  przyjmuje  uproszczon ą   postać (1 . 2 ) d(a,rU)  ,  /jr  J»  „ ,  —a t h  — Q —.—  w - — =   0. ar  •   sm a  ar W  równaniu  tym  pom in ię to  wpł yw  tarcia  m ateriał u  o  m atrycę ,  pon ieważ  celem naszym  jest  zbadanie  efektów  dynamicznych.  Z wracam y  uwagę ,  że  sił y  tarcia  m o - gą   być  bez  ż adnych  trudn oś ci  uwzglę dnione  w  sposób  pokazan y  w  pracy  H .  W. SWIFTA [2]. Warunek  plastycznoś ci  wyraża  się   równoś cią (1.3)  o2 r ~c r W P Ł YW  D YN AM I KI  W  P ROC ESIE  C I Ą G N I E N IA  M ETALI  51 Chwilowo  przyjmiemy,  że  k  =   const,  a  wię c  że  granica  plastycznoś ci  materiał u jest  niezależ na  od  stan u  odkształ cenia  i  od  prę dkoś ci  odkształ cenia. D alej  omówi- my  sposób  uwzglę dnienia  w  rozwią zaniu  zarówno  zjawiska  wzmocnienia, jak  i czu- ł oś ci  materiał u n a  prę dkość  odkształ cania. D alszymi  równaniam i  są :  zwią zek  mię dzy  prę dkoś cią   v  a  naprę ż eniami n  A\   dv  _v  2a r   -   a t ( L 4 )   1F~7  2a t - a r ' oraz  warunek  nieś ciś liwoś ci  materiał u (1.5)  ^  +  -   +  T ^  =  0- v   '  dr  r  h  dr Z  równ ań  (1.4)  i  (1.5)  m oż na  wyrugować  prę dkość  v.  W  wyniku  otrzymujemy równanie n  «\   Ś L -   h  a r +  a < 1  ;   dr  ~  r  a r - 2a t ' N aprę ż enia  przedstawimy  w  znany  sposób  za  pomocą  jednej  funkcji  a> (1.7)  a r   =  2kcos\ a)—^ - \ ,  a t   =   2fccos  co +   ?-   . \   6/   \   6/ Jak  wiadom o, wyraż enia  (1.7) speł niają   toż samoś ciowo  warunek  plastycznoś ci  (1.3). Z a  pomocą   równ an ia  (1.6)  moż na  wyrugować  grubość  h  z  równania  (1.2). Pod- stawiają c  nastę pnie  wyraż enia  (1.7)  oraz  wyraż enie  (1.4)  na  pochodną   dvjdr  otrzy- mujemy  ostatecznie  równanie 3 +- T- - T-   I 2 COS  (CO  — — I  —  COS .  „„,  1  k  sin a  |  \   6  ' dr  r 6/ J ^ •   /   ATI  A*  / 2  sm  co —  —  cos  a>  — - y  I  — 2  c o s  co \   6 / L  \   6/   \ 6/ J Podstawiają c  wyraż enia  (1.7)  do  równ ań  (1.4)  i  (1.6)  otrzymujemy  dwa  pozo- stał e  równania n\ 2  COS  \ (D  T I  —  COS CO dv  v  \   6, - 6J 2  c o s  w  +   - r  I  —  c o s  I co —  - ( 1.9)  N /   n\   ,  I  <  n COS  ft)  — - ;-   +   COS  CO  +   — art  A  \   6  /   \   6*  r «  /   , A  I  ™ 2  cos I co  - [—̂ -1 — cos I co  — - Zagadnienie  został o  wię c  sprowadzone  do  cał kowania  typowego  ukł adu  rów- n ań  o  budowie w'  =   ^ ( c o ,  w,  r ) ,  v'  =  F 2 (v,  co, r),  h'  =  F z (h,  co,  r), 52  WOJC IEC H   SZ C Z EP I Ń SKI 2  warun kam i  brzegowymi  (rys.  1) 2 CO  =   —  71 3  dla  r  =  r 0   oraz  v  =  v x   dla  r  =   r x . 2 Warunek  co, Br%  — - ą - n  wynika  z  zależ noś ci  (1.7)  po  podstawieniu  (8)  =   Fi((Oo, Wo, r)>  «(2) =   F 2 (v 0 ,  m 0 ,  r),  h' m   =  F 3 (h 0 ,  cn 0 ,  r), gdzie  przez  F u   F 2 ,  F^   oznaczono  funkcje  znajdują ce  się   po  prawych  stron ach  rów- n ań  (1.8)  i  (1.9).  P odobn ie  obliczenie  n- tego  przybliż enia  polega  n a  cał kowan iu równ ań h{ n)   =  F i (h in _ 1) ,  c o ( „ _ , ) ;  r). Przy  cał kowaniu  każ dego  z  przybliż eń  obowią zują   oczywiś cie  warun ki  brze- gowe  (1.10).  Z ł oż oność  budowy  równ ań  (1.8)  i  (1.9)  powoduje,  że  cał kowan ie m oż na  przeprowadzić  jedyn ie  w  sposób  numeryczny  m etodą   róż n ic  skoń czon ych dzielą c  cał kowitą   róż nicę   prom ieni  r a —r x   n a  szereg  odpowiednio  m ał ych  skoń czo- nych  przyrostów.  Z wracamy  uwagę ,  że  procedurę   obliczania  kolejnych  przybliż eń m oż na  przeprowadzać  od  razu  do  koń ca  dla  każ dego  przyrostu  Ar. U kł ad  równ ań  (1.8) i  (1.9) róż ni się   od  odpowiedniego  ukł adu równ ań , w  którym pom in ię to  sił y  bezwł adnoś ci,  jedyn ie  czł onem  zawierają cym  kwadrat  prę dkoś ci v 2  w  liczniku  prawej  stron y  równ an ia  (1.8).  R ówn an ia  (1.9)  są   w  obu  przypadkach W P Ł YW  D YN AM I KI  W  PROCESIE  C I Ą G N I E N IA  M ETALI 53 iden tyczn e.  Z analizujmy  poszczególne  czynniki  czł onu  bezwł adnoś ciowego  w  rów- n an iu  (1.8). Jak ł atwo sprawdzić, czynnik /? =   2 cos  I co — - ?-1 — cos \ a> +  —  1 zawiera  się  w  gra- \   _ 6  /   \   6 1 nicach  j/ 3/ 2  <  |3 <  }/ i,  gdyż  0  >  a t   >  — ]/ Jk,  gdzie  k  =   ffp,/ |/ 3.  A  wię c o  rzę dzie p  v 2 wielkoś ci czł onu bezwł adnoś ciowego  bę dzie  decydować  czynnik  - ~-  - ; —. Z a le ż na  od iC  s i n  oc wł asnoś ci  m ateriał u wielkość  p/ k  wynosi  dla  mię kkiej  stali  okoł o  6,25- lCh9  sek.2/ cm a ( fc«1270  kG / cm 2),  a  dla  miedzi  2,25- 10-8  sek.2/ cm 2  (/ c«400  kG / cm 2).  Widać stą d,  że  n a  t o ,  aby  czł on  bezwł adnoś ciowy  w  równ an iu  (1.8)  miał   praktyczne znaczenie  w  porówn an iu  z  liczbą   3,  wystę pują cą   obok  niego  w  liczniku,  prę dkość cią gnienia  m usi  być  rzę du  v  =   103- 104  cm/ sek.  (600- 6000  m/ min.).  Rzeczywiste prę dkoś ci  cią gnienia  ru r  n a  cią garkach  nie  przekraczają   wielkoś ci  100  m/ min. P rzy  takiej  prę dkoś ci  przy  ką cie  a  =   15°  czł on  bezwł adnoś ciowy  dla  miedzi  wy- n osi  okoł o  0,0025,  a  wię c  jest  pomijalnie  m ał y. Jako  przykł ad  liczbowy  obliczono  przypadek  cią gnienia  rury  miedzianej  przez m atrycę   o  ką cie  a.  =   15°  przy  dwóch  róż n ych  prę dkoś ciach  na  wejś ciu  v 0   = =   600m/ min, i  1200 m/ min. N a rysun ku  2  pokazan o  zm ianę   gruboś ci  ś cianki  prze- cią gnię tej  rury  w  zależ noś ci  od  stosun ku  ś rednicy  koń cowej  d x   do  począ tkowej  d 0 . A 1,16 1,12 1,08 1,04 - / : / \   \ — — i — i — i  i  — 0,9 0,8 0,7 Rys.  2 0,6 0,5  0,4  djd o Przejdź my  obecnie  do  zbadan ia  wpł ywu  lepkoś ci  m ateriał u n a  przebieg  procesu cią gnienia  rury.  J ak  już  wspom n ian o  we  wstę pie  metale  w  podwyż szonej  tempera- turze  wykazują   zn aczn y  wzrost  oporu  plastycznego  w  m iarę   zwię kszania  prę dko- ś ci  odkształ can ia.  Wł asność  tę   wykazują   również  wyraź nie  niektóre  metale,  n a przykł ad  m ię kka  stal,  w  tem peraturze  pokojowej.  Wszystkie  znane  z  literatury dan e  doś wiadczalne  (por. n p .  [4,5])  dotyczą   próby  jednoosiowego  rozcią gania  z  du- ż ymi  prę dkoś ciam i.  U wzglę dnienie  efektu  czuł oś ci m ateriał u n a  prę dkość odkształ - can ia  w  obliczeniach  procesów,  w  których  stan  n aprę ż en ia  jest  zł oż ony,  wymaga przyję cia  pewnej  hipotezy  pozwalają cej  uogólnić  wyniki  uzyskane  z  próby  jedn o- osiowego  rozcią gania  n a  dowolny  stan  n aprę ż en ia.  Jedną   z  najprostszych  hipo- tez  jest  zał oż enie,  że  powierzchn ia  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  tf;  =   con st,  uzy- 54 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI skan a  z  doś wiadczeń  z  mał ymi  prę dkoś ciam i,  ulega  w  m iarę   zwię kszania  in ten - sywnoś ci  prę dkoś ci  odkształ can ia  e(  równ om iern em u  rozszerzeniu.  Odpowiada  to przyję ciu  zależ noś ci  okreś lają cej  osią gnię cie  stan u  plastycznego  w  postaci  a t   = =   o^e,).  Zależ ność  tę   dla  mię kkiej  stali  w  n orm aln ej  tem peraturze  przedstawia rys.  3,  otrzymany  przez  zmianę  współ rzę dnych w  odpowiedn im  wykresie  dla jed n o - osiowego  rozcią gania,  uzyskanym  przez  D . S.  CLARKA  i  P . E.  D U WE Z A  [1].  Wa- runek  plastycznoś ci  bę dzie  miał   teraz  postać (1.11)  a* r - cr r a t   +  a*  =  ?,k\ ^ , gdzie  wielkość  k,  równ a  granicy  plastycznoś ci  n a  ś cinanie,  jest  teraz  oczywiś cie zależ na  od  prę dkoś ci  odkształ cania. P amię tają c,  że  przy  czystym  ś cinaniu  k  — o1;, otrzymamy  dla  poszczególnych  intensywnoś ci  e(  odpowiednią   wartość  / c(ef)  bez- poś rednio  z  rys.  3. Rys.  3 Zał oż ymy, że  analogicznie jak w  teorii plastycznego  pł ynię cia wektory  przyrostów odkształ cenia  są   zwrócone  w  kierun ku  n orm aln ym  do  chwilowej  powierzchni plastycznoś ci,  okreś lonej  dowolną   wartoś cią   e t .  Wobec  tego  zwią zek  (1.4)  mię dzy prę dkoś cią   pł ynię cia  v  a  naprę ż eniami  nie  ulegnie  zm ianie.  Również  bez  zm ian y pozostanie  warunek  nieś ciś liwoś ci  (1.5). Ograniczają c  nasze  rozważ ania  do  prę dkoś ci  cią gnienia  stosowanych  w  prak- tyce  fa  <  100  m/ min.)  pominiemy  czł ony  bezwł adnoś ciowe  w  równ an iu  (1.2). Jak  bowiem  poprzedn io  stwierdzono  przy  m ał ych  prę dkoś ciach  czł ony  te  są   p o - mijalnie  mał e.  M am y  wię c (1.12) dr Z agadnienie  rozwią ż emy  metodą   kolejnych  przybliż eń.  M etoda  t a  był a  już  p o - przednio  zastosowana  przy  uwzglę dnianiu  wzmocnienia  m ateriał u  [6].  W  pierw- szym  przybliż eniu  przyjmiemy,  że  wielkość  stał ej  k  nie  zm ienia  się   wzdł uż prom ie- n ia  ?• , a  wię c  k  — fe0 =   con st.  N astę pn ie  po  wyznaczeniu  prę dkoś ci  pł ynię cia  m a- teriał u  w  każ dym  pun kcie  znajdziemy  poszczególne  skł adowe  prę dkoś ci  odkształ - cenia  ze  wzorów (1.13) dv  . e, =   —  sin  a , e, =  —  sin  a , =  - e r W P Ł YW  D YN AM I KI  W  PROCESIE  C I Ą G N I EN IA  M ETALI  55 z  kolei  intensywność  prę dkoś ci  odkształ cenia (1.14)  « ł / j  ?  śD i  wreszcie  z  rys.  3  wartość  k(s t )  w  każ dym  pun kcie.  T ak wyznaczona  zależ ność stał ej  k  od  prom ien ia  r  stan owi  p u n kt  wyjś cia  dla  obliczenia  drugiego  przybli- ż en ia.  W  warun ku  (1.11)  m oż emy  bowiem  przyją ć,  że  prawa  stron a  jest  znaną funkcją   współ rzę dnej  r (1.15)  e2 r - o F a t   + o? =  3k i (r). Rugują c  ja k poprzedn io  h z  równ an ia  (1.12)  oraz  podstawiają c  wyraż enia  (1.7), speł niają ce  toż sam oś ciowo  warun ek  (1.15), otrzymujemy  ostatecznie równanie  zjed- n a  niewiadomą   funkcją   co „  . . .  id)  1  3  ,  /   n:\ dlnk < 1.16)  —3— =   - .  r- =   ;  r  ;  r^r +   Ctg la)  — - 7-  \ ~j—  . 2  sin  c o — —  cos  c o — —  — 2 c o s c o + —  v  ' \   6 / L  \   6/   \   6/ J Cał kują c  n um eryczn ie  równ an ie  (1.16)  oraz  nastę pnie  równanie  (1.4) z warun ka- m i  brzegowymi  (1.10)  otrzymujemy  nowy  rozkł ad  prę dkoś ci  v  wzdł uż  prom ienia. P ozwala  to  obliczyć  n astę pne przybliż enie  intensywnoś ci  e, dla każ dego  r za pomocą wzorów  (1.13) i  (1.14), a n astę pn ie z rys.  3 nową   zależ ność  k{r).  Teraz w identyczny sposób  moż emy  obliczyć  trzecie przybliż enie  itd. Czynnoś ci te przerywamy,  gdy  dwa kolejne  przybliż enia  są   wystarczają co  bliskie.  W  praktyce  róż nica  mię dzy  drugim i  trzecim  przybliż eniem  jest  mniejsza  od 3%.  T ak  wię c  drugie  przybliż enie  jest  dla celów  praktyczn ych  wystarczają co  dokł adn e. Ocenę , kiedy  w  przypadku  cią gnienia  rur stalowych  n a zimno  lepkość materiał u m oże  mieć istotn y  wpł yw,  m oż na  przeprowadzić  w bardzo  prosty  sposób.  Jak  wia- dom o, przy  cią gnieniu  ru r  zm ian a gruboś ci  ś cianki  nie przekracza  15%.  M oż na  wię c w  przybliż eniu  zał oż yć,  że  prę dkość  cią gnienia  w  dowolnym  przekroju  równ a się v  ta  r o 1 r 1 \ r.  Z zależ noś ci  (1.13)  i  (1.14)  wynika,  że intensywność  prę dkoś ci  odkształ - cenia równ a się  e, w - ^ -i sin ot. Osią ga  on a najwię kszą   wartość  k l   «  — sin a. w prze- kroju  wyjś ciowym  (r =   r2) . Z wyraż enia  tego  wynika,  że nawet  przy  normalnie sto- sowanych  prę dkoś ciach  cią gnienia  ( ~  20 m/ min) intensywność  prę dkoś ci odkształ - cen ia  osią ga  bardzo  duże wartoś ci w przypadku  cią gnienia  rurek o mał ej  ś rednicy. N a przykł ad  dla v x  ~  20 m/ min. it\ —  1 m m  otrzymujemy  przy  ką cie  a =   15° wielkość e t   — 86,5 sek.- 1. Jak widać  z rys.  3 przy  takiej  prę dkoś ci  odkształ cenia opór  plas- tyczny  stali  wzrasta  p o n ad  dwukrotn ie,  a  wię c  efekt  lepkoś ci  nie rnoże być  pomi- nię ty  w  rozwią zaniu. 2.  C ią gn ien ie  blach  i  pł askowników Istnieją ca  teoria  cią gnienia  przez  klinową   m atrycę   [7,8]  został a  opracowan a dla pł askiego  stan u  odkształ cen ia z pominię ciem wzmocnienia i lepkoś ci  m ateriał u oraz efektów  ^dynamicznych.  U wzglę dnienie  tych  zjawisk  w  rozwią zaniu  n apotyka  duże trudn oś ci  m atem atyczn e. 56  WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI R ówn an ia ruch u w dowolnie obranym ukł adzie współ rzę dnych  prostoką tn ych  x,  y mają   postać da x   dr xy   (dv x  t  dvx  x  dv, dx  dv (2.1) gdzie a x ,    =  2 / c , w  którym  chwilowo  pom in iem y  wzmocnienie  i  lepkość  (k  =   const). Z godnie  z  wa- run kiem  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  granica  plastycznoś ci  n a  ś cinanie  równ a  się k  = tfjji/ j/ 3, gdzie  cf pi  ozn acza  granicę   plastycznoś ci  m ateriał u przy  jednoosiowym rozcią ganiu. Rys.  4 R ozkł ad  prę dkoś ci  pł yn ię cia  otrzym am y  przez  scał kowanie  równ an ia  (2.5)  z  wa- run kiem  brzegowym  v rmfl   =   — v x (t).  Wynika  stą d  zależ ność P o  podstawien iu  zależ noś ci  (2.7)  i  (2.6)  do  równ an ia  ruchu  (2.4)  otrzymujemy równ an ie  róż niczkowe  zwyczajne  z  jedną   niewiadomą   funkcją   a r .  Równanie  t o daje  się   scał kować  w  elem en tarn y  sposób,  ale  trudn oś ci  sprawia  wyznaczenie  stał ej cał kowan ia.  Jeż eli  bowiem  przed  wejś ciem  w  m atrycę   znajduje  się   znaczna  dł u- gość cią gnionej  blachy  o  m asie  M  n a  jedn ostkę   szerokoś ci,  to  przy  nagł ej  zm ian ie prę dkoś ci  w  przekroju  wyjś ciowym,  okreś lonej  przyś pieszeniem  do^ dt,  doznaje  on a również  przyś pieszenia  równ ego  —  — - ,  co  wynika  z  zależ noś ci  (2.7).  D la  n ada- no  at n ia  masie  M  takiego  przyś pieszen ia  m usi  n a  nią   dział ać  w  przekroju  wejś ciowym m atrycy  (r  ~  r 0 )  n aprę ż en ie  a r   =   - =  —  - ~.  P rzy  duż ej  dł ugoś ci  blachy  przed m atrycą   wielkość  tego  n aprę ż en ia  może  być  znaczna. W  takim  przpadku  szarp- nię cia  mogą   silnie  wpł ywać  n a  przebieg  procesu cią gnienia  zwię kszając  n aprę ż en ia, a  n awet  mogą   wywoł ać  zerwanie  blachy. 58  WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI Ze  wzglę du  na  t o ,  że  wielkość  masy  M  może  być  okreś lona  tylko  przy  rozpa- trywan iu  kon kretn ych  zagadnień ,  a  sposób  uwzglę dnienia  jej  wpł ywu  om ówiono powyż ej,  ograniczymy  się   t u  do  zbadan ia  wpł ywu  przyś pieszeń  jedyn ie  w  obszarze odkształ cenia  plastycznego  przyjmują c,  że  proces  znajduje  się   w  koń cowym  sta- dium  gdy  swobodny  koniec  blachy  dochodzi  do  wejś ciowego  przekroju  m at rycy. W  tym  przypadku,  po  uwzglę dnieniu  warun ku  brzegowego  w  postaci  a r   =  0  dla r  =   r 0 ,  otrzymujemy  wyraż enie  n a  naprę ż enie  prom ieniowe N aprę ż en ie  obwodowe  tfg,  m oż na  teraz  otrzym ać  bezpoś rednio  z  warun ku  plas- tycznoś ci  (2.6). Pierwszy  czł on  w  zależ noś ci  (2.8)  przedstawia  rozwią zanie  quasi- statyczne,  odpo- wiadają ce  pominię ciu  czł onów  zawierają cych  prę dkość  v  w  równ an iu  (2.4).  D rugi czł on  przedstawia  wpł yw  przyś pieszenia  wynikają cego  ze  zmiany  prę dkoś ci,  jakiej doznaje  każ da  czą stka  nawet  przy  procesie  stacjonarnym  (v x   =  const) przechodzą c w  coraz  wę ż szą   czę ść  matrycy.  Jak  ł atwo  zauważ yć,  czł on  ten  daje  istotn e  róż n ice w  wielkoś ci  n aprę ż eń  dopiero  przy  bardzo  duż ych  prę dkoś ciach  cią gnienia,  jakich nie  stosuje  się   w  praktyce.  Obliczmy  tak  zwaną   redukcję   graniczną ,  wynikają cą z  warun ku,  że  naprę ż enie  a r   w  przekroju  wyjś ciowym  (r  =   r x )  może  być  co  najwy- ż ej  równe  2k.  D la  procesu  ustalonego  warun ek  t en  prowadzi  do  równ an ia Ul/ gr  • **>  L  \ ' O / g r Przy  pominię ciu  czł onu  dynamicznego  otrzymujemy  stą d  graniczną   wartość  re- lH- h\  \ tH—h\   1 dukcji  I  K  0,632.  Z mienia się   on a  o  okoł o  5%  I — - —  ss  0,600  dopiero \   H  1ST   L\   "•   l e v  J przy  prę dkoś ciach  cią gnienia  dla  miedzi  v x   «  1800  m/ min.,  a  dla  mię kkiej  stali v x   ftt  2500  m/ min. Wynika  stą d,  że  pominię cie  tego  czł onu  przy  rozpatrywan iu  rze- czywistych  procesów  jest  w  peł ni  uzasadn ion e.  J Trzeci  czł on  w  wyraż eniu  (2.8) przedstawia  wpł yw  nagł ej  zm ian y  prę dkoś ci  cią g- nienia  (szarpnię cia).  Z badam y,  jak  wpł ywa  ron  n a  wielkość  n aprę ż eń  ct r   w  prze- kroju  wyjś ciowym.  Pomijają c  wpł yw  drugiego  czł onu  w  (2.8)  otrzymujemy t)" +   2k  2 sin  a l t Obecność  gruboś ci  h  w  wyraż eniu  w  nawiasie  wskazuje,  że  wpł yw  szarpnię cia  jest wię kszy  przy  duż ych  gruboś ciach  cią gnionego  m ateriał u.  N a  rysun ku  5  pokazan o w  pół logarytmicznej  skali  zależ ność  naprę ż enia  w  przekroju  wyjś ciowym  od  gru- boś ci i przyś pieszenia  dla mię kkiej  stali  i miedzi obliczone  dla  redukcji  (H—h)jH  = =  0,5.  Jak  widać,  dopiero  bardzo  duże  przyś pieszenia  dvjdt  mają   istotn y  wpł yw n a  przebieg  koń cowej  fazy  procesu  cią gnienia.  D la  mniejszych  przyś pieszeń  sił y bezwł adnoś ci  wystę pują ce  w  obszarze  odkształ can ia  są   pomijalnie  m ał e.  W  takim przypadku  przy  analizie  wpł ywu  szarpnię cia  wystarczy  uwzglę dnić  jedyn ie  sił ę bezwł adnoś ci  blachy  znajdują cej  się   przed  wejś ciem  w  m atrycę . W P Ł YW  D YN AM I KI  W  P ROC ESIE  C I Ą G N I E N IA  M ETALI 59 Przejdź my  do  zbadan ia  wpł ywu  lepkoś ci.  Z agadnienie  rozwią ż emy  dla  spotyka- nych  w  praktyce  prę dkoś ci  cią gnienia  (wx< 50  m/ min.). W  równaniu  (2.4) pominiemy jzatem czł ony zawierają ce  v,  przyjmując  że  również  przyś pieszenie  dvjdt  jest  pomijal- 0,9 Ofi W   - - H* - , 1 0 s 5 to4 1 to 1 7  ««h  dv- i  fcm\ 2sina  (ft  [ sekl Rys.  5 nie  m ał e.  D la  otrzym an ia  wyniku  w  postaci  zamknię tej  przyjmiemy  liniową  zależ- n ość  mię dzy  granicą  plastycznoś ci  stali  przy  prostym  rozcią ganiu  a  prę dkoś cią  od- kształ cen ia o  = N astę pn ie  podobn ie  jak  przy  cią gnieniu  rury  zał oż ymy,  że  istnieje  stał a  zależ ność <7;  ss  tfi(£ ;)  obowią zują ca  dla  dowolnego  stan u  n aprę ż en ia.  W  naszym  przypadku prę dkoś ci  odkształ cenia  okreś lone  są  zależ noś ciami dv  r t   .  T;  r t   .   n gdyż  wyraż enie  (2.7)  n a  prę dkość  nie  ulega  zmianie. Wobec tego  intensywność  prę dkoś ci  odkształ cenia  równ a  się h - 1 / |  [(*, - *•  -  Kf +  ( i -  m  =  - ^ Z am iast  warun ku  plastycznoś ci  (2.6)  mamy  więc  teraz  zwią zek (2.9)  a r   -   ffS  =   2 P o  scał kowaniu  i  wyznaczeniu  stał ej  otrzymujemy ''o  ,  2  Trt(2.10) of  = 3j/ 3 60 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI N a  rysun ku  6  pokazan o  wpł yw  prę dkoś ci  n a zmianę   n aprę ż eń  a n   w  przekroju wyjś ciowym  dla mię kkiej  stali  o  granicy  plastycznoś ci  przy  jednoosiowym  rozcią - ganiu  KH M O MajIŁIM. n p a  KaKHX  HiweHHO ycKopeH H H X  C H I L I  H H epqH H   cjieflyeT  y^H TWBaTB  B  p a c «e T a x.  B u m m a e  B J I 3 - K O C T I I  M aTepH aira  n a  H anpH H ceiiH H   MOHKe  ftna  Tpy6  H  npoBonoK  M anoro S u m m a r y TH E  IN F LU EN CE  OF  IN ERTIAL F ORCES AN D   STRAIN   RATE  SEN SITIVITY  O N   T H E © RAWIN G   PROCESSES  OF   M ETALS The  influence  of inertial forces  and viscosity of  the material on the tube, wire and  sheet- drawing processes  is  investigated.  F or  the  tube- drawing  process  an  exact  solution  is  obtained  by  means of  numerical integration.  F or sheet  and  wire- drawing,  th e  approximate  solution  is  presented  with an  assumption  that  in  the  cylindrical  or  spherical  coordinates  respectively,  the  stresses  and  velo- cities  depend  on  the  radius  only.  I t  is  found  that  for  the  drawing  velocities  used  in  practice  the inertial forces  are negligible.  H owever,  the strain rate sensitivity  of  the material cannot be  neglected in  the  solution  for  thin  sheet  and  wires  because  the  strain  rate  reaches  very  high  values  even  for small  drawing  velocities. ZAKŁAD   M EC H AN I KI  OŚ R OD KÓW CIĄ G ŁYCH IN STYTU TU   P OD STAWOWYC H   P R OBLE M ÓW  TE C H N I KI  P AN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  grudnia 1964  r.