Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z1\mts65_t3_z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,3  (1965)

P ROBLEM   OD CIĄ Ż EN IA  OBROTOWO- SYMETRYCZN YCH   POWŁOK  W  STAN IE
BŁON OWYM   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZTAŁCEN IACH  N IESPRĘ Ż YSTYCH

JAN U SZ  O R K I S Z  (KRAKÓW)

1.  Wstę p

W  pracy  poruszon o  zagadnienie  wiotkich  konstrukcji  powł okowych  pracują cych
tylko  n a  rozcią ganie  i  mogą cych  p o d  wpł ywem  obcią ż enia  w  istotny  sposób  zmie-
n iać  swą   pierwotną   formę ,  ja k  również  doznawać  nawet  znacznych  odkształ ceń.
P owł okom  tym  poś wię ca  się   ostatn io  coraz wię cej  uwagi  ze wzglę du n a  liczne  zasto-
sowania  inż ynierskie  [13,  24]  i  to  zarówn o  w  budownictwie  jak  i  w  konstrukcjach
m echanicznych.  P rzy  ś cisł ych  obliczeniach  takich  powł ok  n a  ogół   trzeba  uwzglę d-
n iać  takie  czynniki,  ja k  zn aczn a  nieliniowość  fizyczna  i  geometryczna,  duże  od-
kształ cenia, zasadnicze  zm ian y  formy,  an izotropia m ateriał u, obcią ż enia  dynamiczne,
procesy  termiczne  i  reologiczne,  co  oczywiś cie  zwią zane  jest  nieraz  z  trudnoś ciami
nie  do  pokon an ia.  D o dat ko wy  kł opot  stanowi  problem  statecznoś ci  przy  rozcią ga-
n iu  [14, 25, 33],  zwią zany  z istnieniem m aksim um obcią ż enia  [1, 10, 12, 18, 29,  30,32].
Ze  wzglę du n a wspom n ian e trudn oś ci prace dotyczą ce  omawianych powł ok są   bardzo
fragmentaryczne  i w wię kszoś ci  dotyczą   kon kretn ych  zadań , rozwią zywanych  zazwy-
czaj  numerycznie  przy  mniejszych  lub  wię kszych  uproszczeniach  i  róż nych  zał oż e-
n iach  ograniczają cych.  Stą d n p .  nie m a, ja k  dotą d, prac poś wię conych  zagadnieniom
dynamicznym,  Teologicznym  i  termicznym.  Stosunkowo  najwię cej  zajmowano  się
skoń czonymi  odkształ cen iam i  izotropowej  m em bran y  koł owej  [8,  9,  12,  15,  24,  26,
28,  31], a także  powł oki walcowej  [10,  18, 20,  30]  i stoż kowej  [22] pod  stał ym ciś nie-
n iem  wewnę trznym.  Pewną   próbą   rozwią zania  sprę ż ystej  ortotropowej  membrany
koł owej  jest  p raca  [19],  a  powł oki  walcowej  [6  i  7].  W  pewnym  sensie  podstawą
fizyczną   wielu wspom n ian ych  prac był y wyniki  doś wiadczeń,  gł ównie E. A.  D AVISA,
prowadzon ych  n a  cienkoś ciennych  cylindrach  stalowych  [5]  i  miedzianych  [4],
poddan ych  zł oż on emu  stan owi  n aprę ż en ia:  ciś nieniu  wewnę trznemu  i  rozcią ganiu.
R ezultatem  ich  był o  ustalen ie  pewnych  fenomenologicznych  zależ noś ci  fizycznych,
które  został y  sprecyzowane  przez  E. A.  D AVI SA  [4],  a  nastę pnie  uogólnione  przez
A.  N AD AI A  [21]. P odają   one  zwią zki,  jakie  zachodzą   w  trójosiowym  stanie  przy  du-
ż ych  deformacjach  pom ię dzy  n aturaln ym i  odkształ ceniam i  (w  mierze  logarytmicz-
nej),  a  rzeczywistymi  n aprę ż en iami  oraz  analogiczne  równ an ia  dla  teorii  pł ynię cia.
W  oparciu  o  równ an ia  N adaia- D avisa  I . W.  K E P P E N   [16]  oraz  bardziej  ogólnie
A.  S.  G R I G O R I E W  [11,  12]  podali  dla  szerokiej  klasy  powł ok  obrotowych  w  stanie
bł on owym  ogóln e  równ an ia  opisują ce  ich  formę   oraz  stan  naprę ż enia  i odkształ ce-
n ia  w  przypadku  statyczn ych  obcią ż eń  n orm aln ych .  Z ał oż enie  obrotowej  symetrii



64  JAN U SZ  ORKISZ

wią że  się   z  potrzebą   zapewnienia  znajomoś ci  kierun ków  gł ównych  n aprę ż eń  i  od-
kształ ceń  po  deformacji,  co w  ogólnym  przypadku  nie jest  moż liwe  a priori  D uż ym
odkształ ceniom  niesprę ż ystym  powł ok  o  dowolnych  kształ tach regularnych  ze  spec-
jaln ym  uwzglę dnieniem  przybliż onych  m etod  wariacyjnych  poś wię cona  jest  czę ść
monografii  R.  TROSTELA  [24].  Czyni  on jedn ak  sporo  zał oż eń  upraszczają cych,  co
rzutuje  n a wartość  otrzymanych  rezultatów.

Podstawą   fizyczną   innej  grupy  prac  stał y  się   równ an ia,  jakie  daje  teoria  m a-
teriał ów  wysokoelastycznych  (por.  n p .  m on ografia  [27]).  Z ależ nie  od  stopn ia  przy-
bliż enia  zawierają   one  dowolną   liczbę   stał ych  m ateriał owych.  D zię ki  tem u,  choć
wyprowadzono  je  dla  materiał ów  nieliniowo  sprę ż ystych,  m oż na  przy  ich  pom ocy
formalnie  opisać  zachowanie  się   m etali  w  stanie  plastycznym  (obcią ż an ie);  po-
dobnie  zresztą   jak  i  równ an ia  N adaia- D avisa,  uzyskane  dla  metali  poza  granicą
sprę ż ystoś ci,  m oż na rozszerzyć  także  n a  niektóre in n e m ateriał y (n p.  gum opodobn e,
polimery).  Przy  zwią zkach  fizycznych  dla  m ateriał ów  kauczukopodobn ych  J. E .
AD K I N S  i  R.  S.  R I VL I N   [1] rozwią zali  przypadek  m em bran y  koł owej,  a  A.  E.  G R E E N

i  J. E.  AD K I N S  [33]  przypadek  powł oki  obrotowo- symetrycznej.  Z agadnieniu  tem u
jest  też  poś wię cona  praca  autora  [23].

Wszystkie  wspomniane  wyż ej  prace  traktują   powł okę  jako  ciał o  sprę ż yste  liniowo
lub  nieliniowo  albo  jako  ciał o  plastyczne  ograniczają c  się   tylko  do  procesu  obcią -
ż ania.  N atom iast celem  niniejszej  pracy jest  podan ie  dla  plastycznych  powł ok  rów-
n a ń  w  procesie  odcią ż ania  bę dą cych  odpowiednikiem  ró wn ań  A.  S.  G rigoriewa  dla
powł ok  obcią ż anych  [11,  12].  Ze  wzglę du  n a  zał oż ony  liniowy  ch arakter  procesu
odcią ż ania  (w  ukł adzie  współ rzę dn ych:  n aturaln e  odkształ cenia —  rzeczywiste  n a-
prę ż enia)  równ an ia  te  dotyczą   powł ok  m etalowych.

2.  Założ enia wstę pne  i  równania  wyjś ciowe

W  pracy  przyję to,  ż e:

1)  zachowana jest  obrotowa  symetria  formy  i  obcią ż enia,

2)  znajdują   się   one w stanie bł onowym, są   wiotkie  i nie przenoszą   n aprę ż eń ś ciska-
ją cych,  wobec  czego  mogą   zajść  [11,  22]  dwa  przypadki:

a)  naprę ż enia  gł ówne  a
x
  i  c 2  są   dodatn ie,

b)  naprę ż enie  pierś cieniowe  a
%
  zeruje  się   i  powstaje  tzw.  strefa  fał dów  (a

x
  >  0

i  <72 =   0) ;

3)  pod  obcią ż eniem  mogą   doznawać  znacznych  odkształ ceń i  zasadniczych  zm ian
formy;

4)  obcią ż enie  jest  dowolne,  n orm aln e;

5)  są   wykonane  z nieś ciś liwego  m ateriał u izotropowego  o nieliniowej  charakterys-
tyce  fizycznej  przy  obcią ż aniu  i  liniowej  przy  odcią ż an iu;

6)  grubość  ś cianki  przed  odkształ ceniem jest  stał a.

P on adto  za  podstawę   do  otrzym ania  równ ań  powł oki  w  procesie  czynnym  przy-
ję to  za  A.  S.  G RIG ORIEWEM  [11,  12]  nastę pują ce  zależ n oś ci:



OD CIĄ Ż EN IE  W  POWŁ OKACH   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZTAŁ CEN IACH   NIESPREŻ YSTYCH   65

a)  Z w i ą z ki  f i z y c z n e .  R ówn an ia  N adaia- D avisa  [5,  21]

(2.1)

. , _ * ( , ,
2  / '

przy  czym  a
3
 =  0.

Z e  zwią zków  (2.1)  wynika  oczywiś cie  zał oż enie o nieś ciś liwoś ci  materiał u

(2  3)  e j. + £ 2  +   £3 =  0 .

D la  okreś lenia  funkcji  0  przyję to  zależ noś ci  pom ię dzy  naprę ż eniami a odkształ ce-
n iam i bą dź to w formie  [12]

bą dź  to (por.  [11])

(2.5)  y =  sign r  ^

gdzie

(2.6)  y =  m ax (y
la
,  y2 3 ) ,  r  =   m ax  ( T 1 3  ,  T 2 3 )

są  odpowiednio  m aksym aln ym  odkształ ceniem  postaciowym  i  maksymalnym  n a-
prę ż eniem  stycznym, a

j/ 2  ,  -   -
  T

  _2_

(2- 7)

ffi  =   J y -   l/ (tfi -   c 2 )
2 +   (cr2 -   (r3)

2  +   ( a . -   ffx)2  =   ] /   er? +   a\   -

intensywnoś cią  odkształ ceń i  intensywnoś cią  n aprę ż eń.
b)  R ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  powł oki  w  stanie  odkształ conym  przyję to

w  formie  podan ej  przez  ALEKSIEJEWA  [2]

• L(jsrH tfO =
 Oa

H,  ~(XH
ffl
sin<p)  =  g(X,  Y)X,

ClJy  CIA.

gdzie  X,  Y ja k  n a  rys.  1, q(X,  Y) oznacza  obcią ż enie  norm alne  n a  jedn ostkę  p o -
wierzchni, a H grubość  powł oki po odkształ ceniu.

c)  Z a l e ż n o ś ci  g e o m e t r y c z n e .  Z godnie z rys.  1 odkształ cenia umow-
n e  wyniosą  (por.  [11,  12,  29])

n*  p  dS
1
- dS

10
_dX  cos

w
  _X- r  H- H,

dS
iB
  dr  cos  q,  "  " a  r  '  "ó  H

x
  '

gdzie  dS
w
,  dS

t
 oznacza  dł ugość elementu poł udn ika powł oki przed i po odkształ ce-

n iu,  H
x
  grubość  powł oki przed  odkształ ceniem, ip i r jak  n a  rys. 1.

We  wszystkich  powyż szych  wzorach

(2.10)  Ej  =

S  M echanika  teoretyczn a



66 JAN U SZ  ORKISZ

oznaczają   gł ówne odkształ cenia naturalne, cf
u
  c 2, c 3  gł ówne naprę ż enia rzeczywiste  —•

odpowiednio  w kierunku  poł udnikowym,  równoleż nikowym  i prostopadł ym  do  gru-
boś ci  powł oki;  K, K

u
  ,usą  t o  stał e  materiał owe.

Y.y

Rys.  1, Powł oka  —  przed  odkształ ceniem  i po  odkształ ceniu

D la  uproszczenia  wprowadzono  wielkoś ci  bezwymiarowe  (rys. 1):

- — A  Y A  H

Ai  K
t
  tli

(2- 11)

gdzie  I,  i] są  współ rzę dnymi  pun ktu powł oki przed,  a x, y po  deformacji;  R
x
 oznacza

dowolny  wymiar  charakteryzują cy  powł okę   przed  odkształ ceniem,  A  dowolny  nie-
mianowany  param etr  najczę ś ciej  przyjmowany  jako  równy  jednoś ci.  P on adto  zdefi-
niowano  bezwymiarowe  wielkoś ci  naprę ż eń  i  obcią ż enia;  dla przypadku  (2.4):

(2.12)

a  dla  (2.5)

(2.13)
  P

j  =
2K'

/  -   1 2

- - Ą rą tf^Y),

Y)

Przy  takich  zał oż eniach  podane  wyż ej  równania  przyjmą   postać  ([11,  12]):
równania  fizyczne

(2.14a)  A= - j8f-1 (



O D C I Ą Ż E N IE  W  P O WŁ O K ACH   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZ TAŁ C E N I ACH   N IESPRĘ Ż YSTYCH   67

dla  przypadku  (2.4)  oraz

(2.14b)  pi  - ( - « .-   2e 3) ",  p,  »  ( -   8,- s-  2 e 3 y ' -
1 ( s 2 -   e3)

dla  przypadku  (2.5)  przy  p
x
>p

2
,

(2.14c)  ft  =   -   ( 8| -   B s ) "" 1 ^ +   2e 3) ,  />. =   ( 8 |  -   a s y

dla  przypadku  (2.5)  przy  (p
2
>Pi);

równ an ia  równ owagi

(2.15a)
  2

zwią zki  geometryczne

(2,16a)  Bj  =   li

P on adt o  z  geometrii  powł oki  (rys.  1)  widoczne  są  zwią zki

(2.17a)

(2.17b)

przy  czym  JJ =   • ??(£) jest  zn an ą  funkcją  okreś lają cą  kształ t powł oki przed  odkształ ce-
n iem .  R ówn an ia  (2.14), (2.15a), (2.16a),  (2.17a)  w  najogólniejszym  przypadku  dają
się  sprowadzić  do  u kł adu  4  równ ań  typu

dx  ,  .  dy

(2.18)
""•   _  /•   e t .  v  „   l  „ 1  d<P

  f
  , t -   ,  s

z  niewiadom ym i funkcjami  x( |) , y(g),  / i(£),  (p(lf). P rawa  stron a  równ ań  (2.18)  jest
zależ na  od tego  spoś ród  równ ań  (2.14), które wykorzystaliś my.  W szczególnych przy-
padkach  równ an ia  (2.18)  mogą  przyjąć  nieco prostszą  postać, ale  zawsze  pozostają
ucią ż liwe  i poza p aro m a najprostszym i  przypadkam i  nie  daja  się  efektywnie  scał ko-
wać.  R ówn an ie  (2.18)  wraz  z  wyprowadzeniem  podaje  A.  S.  G RIG ORIEW  [11,. 12].
Opisują  one  przypadek  powł oki,  w  którym  p

x
  >  0,  p

2
  >  0.

Jeś li  w  powł oce tworzy  się  strefa  pofał dowana p
x
  >  0  i p

2
  =  0,  to  ukł ad  wyjś cio-

wych  równ ań  (2.14),  (2.15)  i  (2.16)  ulegnie  pewnej  zm ianie.  I  tak  w  równaniach
fizycznych  (2.14) należy  przyjąć  p

2
  =   0;  drugie  z  równ ań  (2.16) ze wzglę du  n a skoń-

czoną  szerokość  Ą  fał du  należy  zastą pić  zwią zkiem

(2.16b)  5'a  =   r0( l  +   e a ) .

przy  czym  współ rzę dne X,  Y  odnoszą  się  t u  nie  do  rzeczywistej  pofał dowanej, lecz
do  pewnej  fikcyjnej  gł adkiej  powł oki  «uś redniają cej»  fał dy.  Powł okę  taką  utwo-
rzył by system nici zaczepionych z jednej strony do  dna  powł oki,  a  z  drugiej  do  gra-
nicy  pomię dzy obszaram i.  Wreszcie  równ an ia  równowagi  przyjmą  postać:

(2.15b)  oiHS
2
  =   const,  ~(oiHS

2
sincp)  =   q{X,  Y)x6.

dJi.

5*



68 JAN U SZ  ORKISZ

Równania  powyż sze  i  otrzymany  nastę pnie podstawowy  ukł ad  równ ań  typu  (2.18),
choć nieco prostszy,  podał  A.  S.  G RIG ORIEW  [11].

Celem  niniejszej  pracy  jest podanie odpowiednika  równ ań  (2.18) dla  przypadku
odcią ż enia  zarówno  w  obszarze  czystego  rozcią gania  jak  i  w  obszarze  pofał dowa-
nym.

3.  Podstawowy  ukł ad  równań  odcią ż enia  dla  powł oki

Przyjmijmy,  że w  procesie  obcią ż ania  osią gnię ty  został  pewien  stan, który  oznacz-
my  gwiazdką.  Wprowadź my  nastę pnie  zgodnie  z  rys.  2  nowe  wielkoś ci

(3,1)  Oj =  aj—Oj,  8j  =  ef  — Sj,  j  =   1,  2,  3,

przy  czym  z  (2.2) wynika,  że  <r3 =   0.  Tu ć r0, e} oznaczają  odpowiednio  wielkość  n a-
prę ż eń i odkształ ceń gł ównych w  nowym,  a <fj,  sj  w  starym  ukł adzie  współ rzę dnych.

Rys.  2.  Przebieg  procesu  obcią ż ania  i  odcią ż ania  powł oki

Przyjmijmy  pon adto,  zgodnie  z  poprzednimi  oznaczeniami  (2.7),  liniowe  prawo
odcią ż enia

(3.2)  ą  =   Stu
gdzie  E jest  moduł em  sprę ż ystoś ci  ekstrapolowanym  n a zakres  duż ych odkształ ceń.
N a  podstawie  (2.1)  i  (2.3)  moż emy  napisać

(3.3)  |L «£=«• ,

(3.4)  ?! + ;

Zwią zki  (3.2),  (3.3) i  (3.4) tworzą  ukł ad  równań fizycznych  dla  przypadku  odcią-
ż enia.  Wprowadzając  jak  poprzednio  [zależ noś ci  (2.12) lub  (2.13)] wielkoś ci  bezwy-
miarowe  otrzymujemy  stąd

(3.5)  Pi  =  —kCez +  Ze,,),  p
t
  =   fc(?9-   es),



O D C I Ą Ż E N IE  W  P O WŁ O K ACH   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZ TAŁ C E N I ACH   N IESP RĘ Ż YSTYCH   69

gdzie  zależ nie  od  prawa  obcią ż ania

(3.6)  k  =  T W t  j e ś li  P r z y « ć  ( 2 4 )  J  ( 2 - 1 2 )  l u b

(3.7)  k  -   - ^ - ,  jeś li  zachodzi  (2.5)  i  (2.13).

Zwią zki  geometryczne  n a  podstawie  (2.16a)  i  (3.1)  moż na zapisać  w  postaci:

— _ „ .  .  dx  cos f  dx  c o s  y>  dx*  c o s q>
e±   —  £j.  —  Ei  —•   m  ~j-   — — —  —  Jn  —j-   =   I n  —- .  —,

dĘ ,  coscp*  dt,  cosę)  dx  cosip*

\ *  "\ *   7t*

(3.8)  5F8 =   s* — e 2 =   In - r —  In —  =   In —  =   a* — a ,
§  §  x

e8  =   aJ -   e3  =   In A* -   In A  - »ln - S-  -   j8* -   j8.

Wprowadzono  tu  dodatkowo  oznaczenia

(3.9)  a  =   s2  =   l n j ,  a*  =   e*  =   l n - C,  /3  =   £ 3 =   ln/ (,  /9* =   s?  =   ln ^ ,

Stąd  ze  zwią zków  (3.5),  (3.8),  (3.9)  otrzymamy  wyraż enia  dla  rzeczywistych  bezwy-
miarowych  naprę ż eń

Pi  =   Pt  - Pi"Pt  + *( «•  +  2/ S*)- fc(«  + 2/ 3),
( "  }  P2=pl- P*  =  pi- k(a*-

Podstawiając  te wyraż enia  do  (2.15) otrzymujemy  równania równowagi  w  przypadku
odcią ż enia  w  nastę pują cej  postaci:

U kł ad  równ ań  (2.17a),  (3.4) i  (3.1 la) przy  wykorzystaniu  zwią zków  (3.8) i  (3.9)  daje
się  sprowadzić  do  nastę pują cej  postaci  odpowiadają cej  równaniom  (2.18)

dx  |  cos q>  dy  |  sin cp
dC  xh  cos y) '  di  xh  cos f  '

dh  _  ,
(3.12a)  «



"70  J A N U S Z  O R K I S Z

lub  w  formie  bardziej  dogodnej  do  (numerycznych) obliczeń

dx  _  £   cos ę  dy  _ dx
~Ę  =   ~  ~dl  =   1Ę g< p'

dh
—  -   h

d<p _dx  Ahk  i'i- r- »^V»  W
  x

dC  di  [z£ — (a +  2 0 ] cos cp

W  równaniach  tych

(3.13)  zt  =   — - ^ ł -   +   — — — h  —•
k  d£  x*  d%  h*

. 3 * = 4  +  (a
są  znanymi funkcjami  zależ nymi jedynie  od  wiellcoś ci  charakteryzują cych  stan,  od
którego  rozpoczę ło  się  odcią ż enie. W przypadku  gdy  Q(x,  y) = Q = const,  czyli
przy  stał ym wewnę trznym  ciś nieniu w  powł oce,  czwarte z równań  (3.12a) i  (3.12b)
daje  się  scalkować  i  przyjmuje  postać

(3- 14)  s i n 9 = WM = & + m-
gdzie

(3.15a)  F = ~-

lu b

(3.15b)  F  =

jest  bezwymiarowym  odpowiednikiem  wypadkowej  sił y P  zaczepionej  do  krawę dzi
powł oki  (np.  do  dn a) .

Równania  (3.12) są rozwią zaniem  postawionego  w pracy  zadania dla przypadku,
gdy p

x
 > 0 i p% > 0.  D la  otrzymania  analogicznych  równ ań w przypadku  obszaru

pofał dowanego,  gdzie p
2
 = 0,  korzystając  ze  zwią zków  (3.10)  obliczamy  najpierw

(3.16)  Pi=°k(zt- 3p),

przy  czym

(3- 17)  J*- j(



O D C I Ą Ż E N IE  W  P O WŁ O K ACH   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZ TAŁ C EN I ACH   N IESPRĘ Ż YSTYCH   71

z  tym ,  że  jeś li  obszar  pofał dowany  istniał   również  w  procesie  obcią ż ania,  należy
w  (3.17)  dodatkowo  przyjąć  p%  — 0.  R ówn an ia równowagi  (2.15b) po przejś ciu n a
wielkoś ci  bezwymiarowe  [por.  (2.11),  (2.12),  (2.13)]  i  podstawieniu  (3.16)  przyjmą
p o st ać :

=*  coast,

gdzie

U kł ad  równ ań  (2.17a),  (3.4)  i  (3.11b)  przy  wykorzystaniu  zwią zków  (3.8)  i  (3.9),
z  tym  że  wielkość  e 2  okreś la  się  z  równ an ia  (2.16b) wyraż onego  w  wielkoś ciach  bez-
wymiarowych  —  daje  się  sprowadzić  do  postaci :

dx  _  £/ >! cos q>  _  ezi  + z "  cos c>
dC  C  cos f  ~  h2 cos f  ''

dy  _
(3.19)  ~dj=

d<p  _
di  ~  ~JkC'h

2
cosy  '

gdzie  C  =  p[h'x'  jest  stał ą  wyznaczaną  z  warun ków  cią gł oś ci  obszaru  pofał dowa-
n ego z  obszarem ,  gdzie  p

x
  >  0  i  p

2
  >  0.

Warun ek  dla  obliczenia  odkształ ceń s2  przyjmuje  postać

(3.20)  1 +  e2 =  - £-  » fte- ^* +  - *).

R ówn an ia  (3.19)  stan owią  rozwią zanie  postawionego  w  pracy  zadan ia  dla  strefy
fał dów,  tj.  gdy  p

x
  >  0, p

%
  >  0.  W  ogólnym  przypadku  ukł ad  równ ań  (3.19) jest  n a

tyle  zł oż ony, że  rozwią zywać  go  trzeba  numerycznie, w  szczególnoś ci  jedn ak,  gdy
Q(x,y)  =   Q  =   con st,  daje  się  on  rozwią zać  stosun kowo  prosto.  Wówczas  trzecie
z  równ ań  (3.19)  przyjmuje  p o st ać :

(3- 21)  s i n  ,,  =   _
2kC

Stąd n a podstawie zwią zku  (2.17a) przy przyję tym  n a rys.  1 kształ cie powł oki (cos ę  <
<  0)  m am y:

(3.22)  y  =  y'-
-   (m2f +  n 2 ) 2



72  JAN U SZ  ORKIS Z

gdzie

O  FA

C 3 2 3 >  m*-   "2

Cał kę   wystę pują cą   w  równaniu  (3.22)  m oż na  przedstawić  za  pomocą ,  kombinacj
cał ek  eliptycznych  zależ nie  od  wartoś ci  stał ych  mz,  n2.  Tak  n p.  (por.  [3])

(3.24)  y =  /   + / (*') -   j/fl* +  b* \ E(y, co) - 1  F(y, co)J +  * j / ^ p ~ 5 .

gdzie

f{x>)  =

(3  25)  y  =   arc  sm- 7-   | /   - =   ?,  y  =   a rc s m- r- 1/   - 5  TH>  <W —
A  H/   ^2  J_  ^- 2'  *  A  1/   «2  _|_  v'2

ża= ^- (2fcC "-

W  dalszym  cią gu  z  czwartego  z  równań  (3.19)  zakł adają c,  iż  z\ ,  z$  i  zj  są   znany-
mi  funkcjami  od  I  obliczamy  (równanie przestę pne)
(3.26)  h  =  h(C).

N atom iast  z  pierwszego  uwzglę dniając  zwią zki  (3.21),  (3.23),  (3.26)  mamy
x  i  „

(3.27)  - 7 = = = = = =   - r__dl,.
J  l/ l  — (m 2i2 +   n 2) 2  c o sy  J  hŁ (u)

Równanie to  daje  brakują cy  zwią zek  pomię dzy  x  a  |  i  chociaż wyznaczyć  go m oż na
tylko  numerycznie, to jedn ak  ukł ad  (3.19) jest  tym  samym  efektywnie  rozwią zany.

4.  Odkształ cenia  i  naprę ż enia  resztkowe

Jak  wiadomo,  w  konstrukcjach  pracują cych  w  zakresie  plastycznym  po  zdję ciu
obcią ż enia  na  ogół  pozostają   pewne naprę ż enia, tworzą ce  samozrównoważ ony  ukł ad
statyczny  i pewne  odkształ cenia resztkowe.  Zbadajmy  jak  ta  sprawa  przedstawia  się
w  rozpatrywanych  przez  nas  powł okach. Aby  okreś lić  warun ki  istnienia  naprę ż eń
resztkowych, rozwią ż my wzglę dem p

x
  ip

2
  ukł ad równ ań równowagi  (2.15a),  przyjmu-

ją c  Q(x,y)  =   0,  ską d  otrzymamy:

....  C  C  d  (  1  \
(4.1)  p 1  =   - r - :  ,  Pz — - ,  7- 1-xhsmtp  h  dx

gdzie  C  jest  stał ą   cał kowania.  Jeś li  przyją ć

hK [
lub odpowiednio c -   ^ m ^ d l a

to  stał a  C odpowiada  wypadkowej  sile  P  dział ają cej  n a  dno  (lub  krawę dź)  powł oki
(rys.  1).  Przy  braku  obcią ż enia  wystę powanie  sił y  P,  a  co  za  tym  idzie  naprę ż eń



O D C I Ą Ż E N IE  W  P O WŁ O K ACH   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZ TAŁ C EN I ACH   N IESP RĘ Ż YSTYCH   73

resztkowych,  zwią zane  jest  z reakcją  nieprzesuwnych  den  (jeś li  istnieją  dwa,  a nie
jedn o jak  n a  rys.  1) powł oki. Jeś li  zatem  warun ki  brzegowe  zezwalają  n a  swobodny
wzajemny  przesuw  den , to  n aprę ż en ia  resztkowe  nie  wystą pią.  W  przeciwnym  przy-
pad ku  należy je  wyznaczyć  zakł adając przy  dn ach reakcje  P,  których wielkość  okreś-
la  się z  warun ków  nieprzesuwnoś ci  tych  den  (por.  [10]).

N atom iast  okreś lenie  odkształ ceń resztkowych  jest  bardziej  zł oż one.  M oż na je  co
prawda  wyznaczyć  (najczę ś ciej  numerycznie) z ukł adów równ ań  (3.12) i (3.19)  jako
graniczny  przypadek  dla  Q(x,  y)  zmierzają cego  do zera, jest  to jedn ak  droga  bardzo
ż m udna  [trzeba  t u  zaznaczyć,  że w takim  przypadku  należy  w  obliczeniach  przyjąć
za  Q(x,y)  choć by  bardzo  m ał ą, ale róż ną  od zera  wielkoś ć,  gdyż przy  rozpatrywaniu
wiotkich  powł ok  czyni  się  milczą ce  zał oż enie, że  zachowują  one  swą  formę  dzię ki
istnieniu  pewnego  niewielkiego  ciś nienia wewnę trznego].  Jeś li  jedn ak  po  zdję ciu  ob-
cią ż enia  n aprę ż en ia w  powł oce zerują  się,  to przy  dodatkowym  zał oż eniu, że  maksy-
m aln e  odkształ cen ia we  wszystkich  pun ktach  powł oki został y  osią gnię te  w procesie
obcią ż ania, co zach odzi n p . w  przypadku,  gdy  odcią ż enie w  cał ej powł oce odbywa  się
proporcjon aln ie  do  jedn ego  tylko  param etru  Q

a
,  gdzie  Q(x,y)  =  Q

o
m(x,  y),  — od-

kształ cenie resztkowe  m oż na wyznaczyć  w prosty  sposób  z równ ań  (3.10)  przyjmując

(4.3)  Pi  = 0,  p 2 =  0,

oraz  z warun ku  nieś ciś liwoś ci  (2.3).  Otrzymamy  stą d:

(4.4)  ^.- „• - / j.- iftĵ :,   ga =   «*+ £ Lr^!  i^p

R ezultaty  te są sł uszne  zarówn o  w przypadku,  gdy  proces  odcią ż enia  zachodzi  wg
równ ań  (3.12) ja k  i  (3.19)  z  tym  jedn ak,  że jeś li  przy  odcią ż aniu  dana  czę ść  po-
wł oki  znajdował a  się  w  strefie  fał dów,  należy  dodatkowo przyjąć  p$ =  0. Z  równań
(4.4)  otrzym ujem y:

(4.5)  x = x*e  3 &  ,  h = h*e  3fc  ,

gdzie  wę ż ykiem  ozn aczon o ja k  poprzedn io  stan  po  cał kowitym, odcią ż eniu.  Trzecią
wielkość  (y  lub y) decydują cą  o formie  powł oki  obliczymy  z równ ań  (3.12)  i  (3.19)
otrzymując  jedn akowo

, .  , .  dy  i  sin<p  P*~ 2P*

'  d£  x*h*  c o s y

przy  czym

dx
  2P

*- ~P*
(4.7)  c o sc j  =  - —- e  3fe  c o sy*.

W  wyraż eniu  tym  poch odn ą  dx/ dx*  obliczamy  ze zwią zków  (4.5)



74  JAN U SZ  ORKISZ

Pochodne  dp*Idi  i  d p |/ d |  obliczamy  dla konkretnych przyję tych  zwią zków  fizycz-
nych.  Tak  n p.  na  podstawie  (2.14a),  (2.16a)  i  (3.9):

iff
(4- 9)

przy  czym

(4.10)  ,

Jeś li  ponadto pf  =   0,  to

am
A*ln/ z*

Jak widać, pochodna dx/ dx* jest funkcją   jedynie  znanych wielkoś ci i moż na ją   okreś-
lić  w  każ dym  punkcie  powł oki, a  stą d  na  podstawie  (4.6)  i  (4.7)  obliczyć  współ -
rzę dną   y.

5.  Proste  przykł ady

D la  ilustracji  i  choć by  pobież nej  jakoś ciowej  oceny  problemu  podamy  kilka
prostych  przykł adów,  w  których  przy  przyję tych  poprzednio  zał oż eniach m oż na
otrzymać  ś cisłe  rezultaty.  Rozwią zania  dla  tych  przypadków  w  procesie  obcią ż ania
moż na  znaleźć n p. w pracy  [12]. I  tak  weź my  pod  uwagę  powł okę  kolistą   o promie-
niu  począ tkowym  R

2
  i  gruboś ci  począ tkowej  H

x
  poddan ą   równomiernemu ciś nie-

niu  wewnę trznemu  o  stał ej  wartoś ci  q.  Przyją wszy,  iż  obcią ż enie  zachodzi w  myśl
zwią zku  (2.4),  wprowadź my  bezwymiarowe  wielkoś ci

« n  v-   a  o-   qRl  h- ~  o - A

gdzie  o1 oznacza  naprę ż enie  rzeczywiste,  R —  promień,  H- —gruboś ć  powł oki  od-
kształ conej.  Zachodzą   tu  nastę pują ce  zwią zki:

(5.2)  m e  =   e i = e 2 =   y

Z  równania  równowagi

-   lnA  e  ską dK  f

na  podstawie  (2.4),  (5.1),  (5.2)  i  (5.3)

(5.4)  e  =   2/ i3(— 2\ nhy,  ską d  g m a x  =   2l- f-l  dla  h =   e



O D C I Ą Ż E N IE  W  P O WŁ O K AC H   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZ TAŁC EN IAC H   N IESPRĘ Ż YSTYCH   75

Równania  odcią ż enia w bezwymiarowych  wielkoś ciach  podobnie jak  w punkcie 3
przyjmujemy  w  postaci liniowej  i przy  uwzglę dnieniu  (3.6) i (5.3) mamy:

(5.5)  ^ i -

ską d
(5.6)  Q =  2hs[pf- k(ef+lnh)],

gdzie  jak poprzedn io  wielkoś ci  z  gwiazdką   odpowiadają   począ tkowi  odcią ż enia.
Przyjmują c  2 =  0  otrzymamy  wielkoś ci  resztkowe

D la  otrzymania wykresów przyję to  konkretne wartoś ci  liczbowe  K
t
  =  3820  kG / cm 2,

E  =  2  •   10°  kG / cm 2, k =  5500,  / x — 1/3  odpowiadają ce  ś rednim  wartoś ciom  stali
w  doś wiadczeniach  D avisa  [5].  Stą d  n p .  przy  peł nym  odcią ż eniu

(5.8)  / źmax =  1,00126 A*.

P odobn ie  znikomy  okazuje  się   w tym  przypadku  wpł yw  odcią ż enia  na  a czy R.
Wyniki przedstawiono n a  rys.  3. Linia  cią gła  oznacza  obszar  stateczny, linia  przery-
wan a  niestateczny.  P okazan o  dwa  przypadki  odcią ż enia  przy  obcią ż eniu  maksy-
malnym  Q* = Q

max
  i  przy  obcią ż eniu  Q* <   gm a x .

Jako  drugi  przykł ad rozpatrzon o nieskoń czenie dł ugą  powł okę  walcową   poddaną
stał emu  ciś nieniu  wewnę trznemu  o wielkoś ci  q. P odobnie jak  poprzednio R

t
 i  H

x

oraz  R i H oznaczają   odpowiednio prom ień i grubość  powł oki przed i po odkształ -
ceniu.  Tym  razem  przyję to,  iż obcią ż enie  zachodzi w myśl  prawa  (2.ł 4c)  (cr2 >   er,).
Przyjmują c  oznaczenia bezwymiarowe  (2.13) i  (5.1) z równań równowagi  mamy

(5.9)  .  * - * * - - $ •.

Analogicznie  jak  dla  powł oki  kolistej  otrzymujemy  E
1
 =  0,  e2 =  — e3 =  —  In h,

Q — Ijh oraz

(5.10)  Q- - =  h2 (- 2  In h)",

ską d

Odcią ż enie  zachodzi w  myśl  zwią zku:

(5.11)  p*- p
2

gdzie  k  okreś lone  jest  równ oś cią   (3.7),  ską d  nastę pnie

(5.12)  Q -   i

Przyjmują c  2 =  0  otrzymujemy  wielkoś ci  resztkowe

/ r n > ,  ~  "  __  *  Pz  J.  Ł *  2fc  ~  _ j _  1k
3 2

  ,2k'  '  h*



P,Q

1,0

0,8

as-

Ofl

0,2

0,2  0,4  0 , 6

\
\

\
\

-

, /

,  _ —r *  i

Q2  0,1

b)

\
\

\

/
/

/
/

/ '

I  I  [_

A  i t\
\   i

N
\V

I  !
!|

0,8
i

10  h

Rys.  3.  Powł oka  kulista:

r
5 , 0

4 , 0

3 , 0

2 , 0

1,0-

\

\

\

\
\

i  i

c)

\
\

\
\

X .

0,2  0,4  0,6  Q

proces  obcią ż ania, obszar  stateczny;  pro-
ces  obcią ż ania,  obszar  niestateczny;  proces  odcią ż ania;

a -  naprę ż enie jako  funkcja  obcią ż enia,  b -   wykresy  funkcji  p(h)  i  Q(h),  c -   wykres  funkcji  r(Q)

[76]



ODCIĄ Ż ENIE  W  POWŁOKACH   PRZY  DUŻ YCH   ODKSZTAŁCENIACH   NIESPRĘ Ż YSTYCH 77

Wyn iki  powyż szych  rozważ ań  przy  przyję ciu  kon kretn ych  wartoś ci  liczbowych  ja k
w  poprzedn im  przykł adzie  pokazan o  n a  rys.  4.

N

\

O  0,1  0,2  0,3  0,1  0,5  Q 0,1  0,4  0,6  0,8  1,0  f,

9

4,0

3,0

2 , 0

to-

\
\

r  \
\

\

o)

\
\

\

1  I  I  .

0,1  0,2  0,3  0,4 0,5  Q

Rys.  4.  Powł oka  walcowa  nieskoń czenie  dł uga  obcią ż ona  parciem  wewnę trznym:
proces  obcią ż ania,  obszar  stateczny;  - —•   proces  obcią ż ania,  obszar  niestateczny;

proces  odcią ż ania;
a -   n aprę ż en ie  p 2  jako  funkcja  obcią ż enia,  b -   wykresy  funkcji  p,(h)  i  QQ>),  o -   wykres  funkcji  q(Q)

R ozpatrzon o  równ ież  powlokę   jak  w  przykł adzie  drugim,  lecz  obcią ż oną   jedynie
sił ami  P  przył oż on ymi  do  jej  koń ców.  Przyjmują c  jak  poprzednio  oznaczenia  bez-
wymiarowe  i  uwzglę dniając  (3, l5b)  moż emy  napisać  równ an ie  równ owagi:

(5.14) Pi  = =   0.



78 JAN U SZ  ORKISZ

W procesie  obcią ż ania  przy  speł nieniu  (2.14b)  mamy

(5.15)  e 2 =   e 3 =   — yfx  =   ln g  =   Inh

oraz

(5.16)  F =  h?(—3\ nhy.

Równanie  odcią ż enia  w  bezwymiarowych  wielkoś ciach  ma  postać

(5.17)  P* — Pi =   3& (e* — es).
ską d  nastę pnie

(5.18)

x
X

\

0,2

Rys.  5.  Powloką   walcowa,  nieskoń czenie  dł uga, rozcią gana  osiowo:  proces  obcią -
ż ania,  obszar  stateczny;  proces  obcią ż ania,  obszar  niestateczny;  p ro -

ces  odcią ż ania;
a -   naprę ż enie  p !  jako  funkcja  obcią ż enia,  b- wykr e sy  funkcji  p^ h),  P(h)

Przyjmują c  F =   0  otrzymujemy  wielkoś ci  resztkowe

(5.19)  e 2 = e 8 = : e ;
Pi
3P

Odpowiednie wykresy dla  wartoś ci  liczbowych  z  poprzednich  przykł adów  pokaza-
no  na  rys.  5.

6.  Uwagi  koń cowe

Jak  ł atwo  zauważ yć,  w  podanych  wyż ej  przykł adach  przy  duż ych  (rzę du  kilku-
nastu  do  kilkudziesię ciu  procent)  odkształ ceniach  metalowej  powł oki  odcią ż enie
prawie  nie wpływa  na jej  kształ t, a odkształ cenia nawet przy peł nym odcią ż eniu nie-
mal nie róż nią   się   od  wartoś ci  osią gnię tych  w  procesie  obcią ż ania  (h  SJ  h*, Q  W  Q*)



OD CIĄ Ż EN IE  W  POWŁOKACH   P RZ Y  D U Ż YCH   OD KSZTAŁCEN IACH  NIESPREŻ YSTYCH   79

M oż na  wię c  przypuszczać,  że  zjawisko  to  wystą pi  również  i  przy  bardziej  skompli-
kowanych  kształ tach  powł oki  i  rodzajach  obcią ż enia.  Jednakże  w  odróż nieniu  od
przytoczonych wyż ej przykł adów w ogólnym  przypadku  nawet w procesie odcią ż ania
naprę ż enia  zazwyczaj  nie  są   liniowymi  funkcjami  obcią ż enia  (obcią ż enie  nie  jest
proste  w  sensie  Iliuszina). Powoduje  to  m.in. moż liwość  pojawienia  się   obszaru po-
fał dowań,  nawet jeś li  przedtem  go  nie  był o,  a pon adto wią że  się  zazwyczaj  z bardzo
ucią ż liwymi  obliczeniami  rachunkowymi.  Spróbujmy  jednak  w  oparciu  o  wnioski,
jakie  nasuwają   przytoczone  przykł ady,  okreś lić  warunki,  przy  których  naprę ż enia
Pi  i Pi  w  każ dym  dowolnie  obranym  punkcie  powł oki  bę dą   z  dostatecznym  przy-
bliż eniem  liniowymi  funkcjami  obcią ż enia,  co  równocześ nie  zabezpieczy  powł okę
przed  powstaniem  strefy  fał dów.

Rozpatrzmy  w  tym  celu  wyjś ciowe  równania  powł oki

(6.1)  - j—  (xhpi)  <•=   hp
2
,  - j- (xhp

x
  sin<p) —  Q(x,  y)x.

Z ał óż m y,  że  obcią ż enie  zmniejszać  się   bę dzie  proporcjonalnie  do  jednego  para-
m etru  <2o) B^zie

(6.2)  Q(x,y)  =  Q
o
m(x,  y).

Wówczas  z  równań  (6.1)  otrzymamy

, < «  n  n  lmJx,y)xix  C
(.0.5)  p% =  Ua  ;  ;  ;  :  .

xh  sin cp  xh  sin ę

F izycznie  stał a  C ja k  wiadomo  (3.14)  i  (3.15)  oznacza  wypadkową   sił ę  przył oż oną
do  dna  (lub  krawę dzi)  powł oki, przy  czym  może  to  być  zarówno  dane  obcią ż enie
n a  przesuwnym  denku jak  i  reakcja  w  przypadku  zamocowania. Aby  utrzymać pro-
porcjonalność p

x
  do  jednego  tylko  param etru  Q

o
,  należy  przyją ć,  że  warunki  brze-

gowe  zezwalają   n a  swobodny  przesuw  dn a  powł oki,  a  jeż eli  przykł ada  się   sił ę ,  to
zmienia  się   ona  proporcjonalnie  do  Q

Q
,  czyli

(6.4)  C=Q
r
ą .

Wówczas  moż na  napisać

(6.5)  Pi=Qofi,

gdzie

Z  pierwszego  z  równ ań  (6.1)  otrzymamy  wtedy

(6- 6)
  Pi

  -   2 o / 2 !
gdzie

Jeś li przy tym okazał oby się , iż w procesie obcią ż ania odkształ cenia na cał ej  wysokoś ci
powł oki był y znaczne, to zgodnie z wynikami  rozpatrywanych  przykł adów moż na by



p
0,3

0,8

0,4

0,2

6)

*

•   _

- 1,0  1,2  - 1,-f  - (,6  - 1,8 2,0

Rys.  6.  a -  Kształ t powł oki  przed odkształ ceniem,

b -  Wykresy  naprę ż eń  w  powł oce  stoż kowej  przy  odcią ż aniu

po  odkształ ceniu

—  Pil  <- Pt-

Rys.  1.  Powł oka  zmieniają ca  w istotny  sposób  swój kształ t przy  odcią ż aniu:
odcią ż eniem,  po  czę ś ciowym  odcią ż eniu

przed

[80]



ODCIĄ Ż EN IE  W  POWŁOKACH   PRZY  DUŻ YCH   ODKSZTAŁCENIACH   NIESPRĘ Ż YSTYCH   81

z  dość  dobrym  przybliż eniem  przyją ć,  że przy  odcią ż eniu deformacja  nie zmienia się ,

czyli  że

(6.7)  x  «  x*,  h  xh*,  <px  cp*,  f
x
  »/ • ,  / a  g  / * .

P rzy  takich  zał oż eniach  n aprę ż en ia  p
x
  i  p

%
  bę dą   liniowymi  funkcjami  obcią ż enia

i  wyrażą   się   wzoram i:

(6.8)  J>i =  G o 4 ,  / ».=   fio- 4.

Wzory  (6.7)  i  (6.8)  dają   elem entarn e rozwią zanie  problem u  odcią ż enia,  przy  poda-

nych  wyż ej  zał oż en iach upraszczają cych.  P rzykł adem powł oki  rozwią zanej  w  myśl

wzorów  (6.7)  i  (6.8)  m oże  być  (zob.  [22])  powł oka  stoż kowa  (rys.  6)  obcią ż ona

parciem  wewnę trznym  gazu  wzrastają cym  do  wielkoś ci  Q  (bezwym.),  a  nastę pnie

maleją cym  stopn iowo  do  0.  R ysunek  6a  pokazuje  kształ t  tej  powł oki  przy  maksy-

m aln ym  obcią ż eniu  i  zgodn ie  z  (6.7)  także  po  odcią ż eniu,  rys.  6b  przedstawia  roz-

kł ad  n aprę ż eń  wzdł uż  powł oki  przy  zmniejszaniu  się   Q. Przedstawione wyż ej (6.7),

(6.8) rozważ anie  zawiera  m i n . jako  przypadki  szczególne  obcią ż enie powł oki stał ym

parciem  wewnę trznym  lub  rozcią ganie  sił ą   skupioną .  Jako  przykł ad przypadku,  do

którego  przeprowadzon e  wyż ej  uproszczone  rozum owanie  nie  da  się   zastosować,

m oż na  podać  powł okę   obcią ż oną   parciem  hydrostatycznym ,  przy  czym  odcią ż enie

odbywa  się   n a  skutek  ubytku  cieczy  (rys.  7).

Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  J. E.  AD KIN S,  R . S . R I VLI N ,  P hil.  Tran s.  A,  244 (1952).
2.  C. A.  AJlEKCEEBj  Kojihiieo6pa3uax  ynpyzan  Meju6pana  nod  beucmmieu nonepeunou  CUAU,

npuAooiceHHou  K oicecntKOMy  • ą eumpanuio pacnoAooicennoMy  ducicy,  H H J K .  C 6.  AH   C C C P ,  10 (1951).
3.  P. F .  BYRD ,  M . D .  F RIED MAN ,  H andbook  of Elliptic  Integrals  for  Engineers  and Physicists

Springer,  Berlin- G ottingen- H eidelberg  1954.
4.  E. A.  D AVIS,  Increase  of  stress with permanent strain  and stress- strain  relations  in the  plastic

state for  copper under combined  stresses, Trans. ASM E,  65 (1943),  A- 187.
5.  E. S.  D AVIS,  Yielding andfacture ofmedium carbon steel undei•  combined stress,].  Appl.  Mech.,

1, 1954.
6.  H . H .  <t>EflHK, Ee3MOMeHtnjł bie opmompomtue  O6OMOHKH epaufemiH npu 6oAbuiux decfiopM

TpyflM   Bcecoio3Hoii  KoiicpepemjiiH   no  Teopmi  njiacTHH   H  oSoJioieK,  KiieB 1962.
7.  H . H .  ttEflH K,  HeKomopbte  3adanu  paenoeecun opmomponnux  auAundpunecKUx

npu  SoAbuiux  detfiopMatfUfix,  TeopHfl  oSonoieK  H   nnacTHH,  H3fl.  AH  Apiw C C P ,  SpeBaHb 1964.
8.  A.  G LEYZAL,  Plastic deformation of  a  circular diaphragm  under  pressure,  J.  Appl.  Mech.,

3, 1948.
9.  A. C.  FpHrOPBEB,  HccAedoeame paSomu  KpyiAou MCM^ pauu  npu  6oAbtuux  npozuoax  3a

npedeAOM  ynpyeocmu,  H H K .  C 6., (1951).
10.  A. C .  FPH ropLEBj  HanpnoiceHHoe  cocmofmue 6e3MOMeHmuux  tfuAUHdpuiecKux  o6oAoneK

npu  6ojibuiux  deffiopMayujix,  I lpin u i.  MaT.  M ex. 6,  21  (1957).
11.  A. C.  FPHroPBEBj  Paeuoeecue  6e3MOMeHtnHou  O6OAOHKU  epaufenun  npu 6oAbuiux  detfopMa-

ijunx,  npHKJi.  M ax. M ex., 6,  25  (1961).
12.  A. S.  G RIQORIEW,  T he stress  state  and the  carrying  capacity  of flexible  plates  and  shells

at  large  deformations,  N orth- H olland  Publ.  C o., Amsterdam,  PWN , Warszawa  1964,  repr.
N on- classical  Shells  Problems,  P roc.  IASS  Symp.,  Warsaw,  sept.  1963.

1 3 .  A. B.  TyBEH KO  H   flpo  FIueeMamuHecKue  cmpoumeAhHue  KOHcmpyKifuu,  T o e .  H tafl.  J I H T . n o
QrpoHT.  Apx.  H  C ip o m .  M aT.,  MocKBa 1963.

6  Mechanika  teoretyczna



82  JAN U SZ  O R K I SZ

14.  O .  Xo *M AH 3  T .  CAXC,  Beedenue  e  meopuw  sjtacmumiocmu  ÓJIB  uuoiceuepoe,  F H T H ,

MocKBa  1957.

15.  H .  B.  K E n n E H j  Eo/ ibtuue  npozuBu  KpyzAoii  miacmuimu  nod  deucmeucM  pa&HOMCpuozo  pac-

npede/ ieimoio  baenmun,  H ayiiH bie  Tpyflbi  M n H 3  7- 8,  1957.

16.'  H .  B.  K E n n E H ,  Koneunue  decpopMauuu  6c3MOMenmHou  OBOJW HKU epaufenun  nod  deuanaucM

sudpocmctmimecKoeo  dasjienun,  C 6.  P a c i e i t i  Ha  npomrocTb,  M ain rH 3,  M . ,  6,  1960.

17.  A  . H .  KPMJIOB, JlemfuuonpuBjimicmnux  ewiucjieminx,  H 3# . AH   C C C P ,  Jleum rrpafl  1933.

18.  W.  T .  LAN KF ORD ,  E.  SEFBELL,  Some  problems  in  unstable plastic flow  under biaxial  tensions.

M etals  Technol,  August  1947.

19.  H .  C .  M AM E J I O B ,  EoMume  nposuBu  opmomponuou  juejiicpanu,  H I D K .  >K.  AH   C C C P 3  1,  3

(1963).

20.  Z .  M ARC IN IAK,  Analiza  statecznoś ci  cienkoś ciennej  powł oki  walcowej poddanej  rozcią ganiu

w  stanie  plastycznym,  R ozpr.  I n ż yn .,  10  (1959).

21.  A.  N AD AI ,  T heory  of  flow  and fracture  of  solids, N ew  York- Toron to- Lon don  1950.

22.  K,  O P K H I I I J  Eojihiuue  de0opMatfuu  6e3MOMewnmix  KonunecKux  OBOAOHCK  epaufetam,  H H > K

>K.  AH   C C C P ,  5  (1965).

23.  SL .  O P K H I I I ,  Paenoaecue 6c3MOMeumuux  OBOAOHCK  epaufeuun  m  Kaynyno  nodoBnwx  Mamepua-

JIOB, M ae.  AH   C C C P ,  O T H ,  4(1965).

24.  F .  OTTO,  R .  TROSTEL,  Zugbeanspmchte  Konstruktionen,  U llstein  F achverlag,  F ran kfurt-

Berlin  1962.

25.  10.  T .  I I AH O B K O ,  H .  H .  F YE AH O BA,  ycmoummocmb  u  Ko/ iedoSamm  ynpyeux cucmeM,

HBĘ .  rrayKa,  MocKBa  1964.

26.  T R AN - LYU - C Z O N G,  H 3 B . AH   C C C P ,  O T H .  M ex.  i  M am .,  1964.

27.  L.  TRELOAR,  T he physics  of  rubber elasticity,  Oxford  1948.

28.  N .  A.  WE I L ,  Approximation  to  plastic  behavior  of  circular  membrans,  P ro c.  of  Th e  ASC E

83  (1957),  1139.

29.  N .  A.  WE I L ,  Rupture  characteristics  of  safety  diaphragms,  J.  Appl.  M ech.,  26  (1959),  621.

30.  N .  A.  WE I L ,  T ensile  instability  of  thin- walled cylinders  of  finite  length,  I n t .  J.  M ech.  Sci.

P ergamon  Press  Ltd.,  5  (1963),  487- 506.

31.  A.  N .  WE I L ,  N .  M .  N EWM AR K,  L arge  plastic  deformations  of  circular  membrans,  J.  Appl.

M ech.,  4,  1955.

32.  Z .  WESOŁOWSKI,  T he  axially  symmetric  problem  of  stability  loss  of  an  elastic  bar  subject  to

tension,  Arch.  M ech.  Stos.,  3,  15  (1963).

33.  A.  E.  G R E E N   an d  J.  E.  AD K I N S,  L arge  elastic  deformations  and  nonlinear  continuum

mechanics,  C laren don  P ress,  Oxford  1960.

P  e  3  IO  M  e

nPOEJIEMA  PA3rPY3KH   OCE- CHMMETPH^IECKHX BE3MOMEHTHBIX
OEOJIO^EK  BPAIĘ EHHH  n P H   EOJIBUIHX H E Yn P yrH X

CymecTByromiie pp  CHX n o p paSoTM , n o  BOJIBIHHM H eynpyraM   fledpopM aiTH fiM oce- C

o6ojio*ieK  BpamenH H ,  nocBH meH hi n poijeccy  H arpy3KH .  B HacTOfimeft  >Ke  p a So ie  pacciwaTpHBaexcH

Bonpoc  o  pa3rpy3i<e  Tai<nx  o6ojiOMei<,  T.e.  pacinnpH ioTCH   B  STOM  CMWcne  pa6oTM   [11  H   12].

3T0M   n pefln oiiaraercH   JiHSeftHfclfi  3aKOH   pa3rpy3KH   ( B KOopflHuaTHOH   cucTeiwe  jiorapudp-

e([)opiviaLiHH  —  fleftcTBH TejitH H e  H anpH >i<eram)3  T . C . paccyn<fleHHH   OTH OCH TCH J  Tem

K  MeTaJijH- wecKHW  o6ojio^iKaM.  B  pe3yntTaTe  paccy>i<fleHHH   nojiy^eH O  flH dpdpepen-

ypaBHeHHe  n p o qec c a  pa3rpy3i< n  paccMaTpHBaeMLix  o 6o n o q eK :  (3.12)  B  cjiyqae

(Ti  >  0  ii  ff2  >  0,  a  Taione  (3- 19)  B iaK  Ha3WBaeMoft  3one  CKnaflOKj  Korfla  ax  >  0  H   cr2  =   0 .

'  Kpoiwe  TorOj  n poBoflin ca  anajiii3  BO3MO>KHOCTH   yn p o m e iin n  STH X  ypaBiieHHH  H   naiOTCH

HH   iiecKojiBKHX  caivibix  n pocTbix  c n y^ a e n .



O D C I Ą Ż E N IE  W  P O WŁ O K AC H   P R Z Y  D U Ż YCH   OD KSZ TAŁ C EN I AC H   N IESPRĘ Ż YSTYCH   83

S u m m a r y

U N LOAD IN G   PROCESS OF   TH E ROTATION ALLY  SYM M ETRIC  MEMBRAN E SH ELLS
WI TH   LAR G E  D EF ORM ATION S

All  the papers dealing  with  large  unelastic deformations  of rotationally symmetric shells  in  mem-
brane state of stress  are concerned with the loading process.  In the present paper being  the  extension
of  the results given in [11 and  12] the unloading process of such shells is investigated.  Since only me-
tallic shells  are considered  the linear  unloading law  (in the logarithmic strain — true stress  coordi-
nates) is assumed.  The  differential  equation  (3.12) is obtained for the case <y

r
>  0, and n2 >  0, and

equation  (3.19) in folded  zone where  a
1
 >  0 and cr2 =  0.  Moreover, an analysis  of possible  simpli-

fication  of these equations is given. The exact solutions of some simple particular cases are presented.

KATED RA  STATYKI  BU D O WLI
I  WYTR Z YM AŁ OŚ CI  M ATE R I AŁ ÓW

P O LI T E C H N I K I  KR AKOWSKI E J

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  5  lipca  1964  r.