Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z2\mts65_t3_z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  3  (1965)

TEN SOR  KELVIN A- SOMIG LIANY DLA  CIAŁA  LEPKOSPRĘ ZYSTEGO

E U G E N   S O  Ó S  (BU KARESZT)

G U R T I N   i  STERN BERG   [1]  uogólnili  rozwią zanie  P apkowicza- N eubera  [2,  3]  na

przypadek  m ateriał u  lepkosprę ż ystego  w  zakresie  quasi- statycznym.  STERN BERG
i  K H O Z AE  [4]  wyznaczyli,  stosują c  pewien  proces  graniczny,  stan  naprę ż enia  i  od-
kształ cenia  wywoł any  dział aniem  sił y  skupionej  n a  nieograniczone  ciał o  lepko-
sprę ż yste,  uogólniają c  w  ten  sposób  poję cie  ten sora  Kervina- Somigliany  [5- 7].
Ten  sam problem w  zakresie  dynamicznym został  rozwią zany  przez  N OWACKIEG O  [8].

D la  powtórn ego  wyprowadzen ia  wyników  podan ych  w  pracy  [4] posł uż ymy  się
m etodą   zastosowaną   przez  SAN D RU   [9,  10]  do  wyznaczenia  tensora  Kelvina- Somi-
gliany  dla  ciał a  sprę ż ystego.  W  tym  celu  posł uż ymy  się   wł asnoś ciami  funkcji
D iraca.

N iech

i

(1)  0 ( r , O =   f  f(r,t- r)dy,(r,T )

bę dzie  splotem  Riemanna- Stjeltiesa  funkcji  q>(r,t)i  ip(r,t),  co  moż emy  także
zapisać  w  postaci

(2)  6=(p^ rdy).

Przy  speł nieniu  warun ków  twierdzenia  1.2  pracy  [1]  mamy

cpyd(ip+d)  =   cpXdip+yXdd  cp^ dH  =  <p  cp^ df- 1  =  H,

przy  czym  H(t)  oznacza  funkcję   H eaviside'a  [11],  a  ę ~x  jest  przekształ ceniem
odwrotn ym  Stjeltiesa  funkcji  95 [1].

Peł ny  ukł ad  równ ań  dla  nieograniczonego  ciał a  lepkosprę ż ystego  ma  postać

(4)  2sij

R ówn an ie  równ owagi

(5)  - OUJ

R ówn an ia  stan u  typu  relaksacyjnego

(6)
  Sij

  =   e
ij
- ^ dG

1
,  a

kk
  =

O)  ,  , Sij  =   ffy  i^ Okk^ ij,  \   eij  =  ejj—  —



32  EU G EN   Soós

Warun ki  brzegowe

(8)  lim u(r , 0  =   0,  Hm cry(r , 0  =   0.
|r]- >oo  |r|- *oo

W  powyż szych  równaniach  wf  są   skł adowymi  wektora  przemieszczenia  u,  e y  i  o^
oznaczają   zaś  skł adowe  tensorów  odkształ cenia  i  n aprę ż en ia.  F

t
  są   skł adowymi

sił y  masowej  F   w  kartezjań skim  ukł adzie  współ rzę dnych  (x
1)
x

2
,x

i
),  a  G x( 0  oraz

G 2( 0
  s ^  funkcjami  relaksacji  dla  ś cinania  i  ś ciskania  izotropowego.  Z akł adam y,

że Gt(t)  >  0.
Z godnie  z  twierdzeniem  9.4  pracy  [1]  wektor

(9)  u  =

jest  rozwią zaniem  ukł adu  równ ań  (4- 7), jeś li

(10)  A<p =  —ir- f,  A^   =  ~f,  gdzie  i^

D la  otrzymania  ten sora  Kelvina- Somigliany  przedstawiamy  sił ę   skupioną   F
w  postaci

(11)  F =  Fb{t)H(t)ik>

gdzie  i
k
  jest  wektorem  jednostkowym  osi  Ox

k
,  a  d(r)==d(x

1
)d(x

2
)d(x

3
)  jest  uogól-

nioną   funkcją   D iraca  [11].
Posł ugują c  się   zwią zkiem  podan ym  w  pracy  [11]

(12)  r<5(r) =   0

i  równaniami  (3),  (11)  tejże  pracy  otrzymujemy

(13)  Atp  -   0,  A<\ >  = i -

N a  podstawie  (8)  i  (13)  wynika  stą d,  że  cp  =   0.
W  oparciu  o  zwią zek  (por.  [11])

(14)  A~

otrzymujemy  ze  zwią zków  (13)

(15) J

R ówn an ia  (12)  i  (14)  należy  oczywiś cie  rozpatrywać  z  uwzglę dnieniem  sensu
funkcji  uogólnionych  [11].

Z  równ ań  (3),  (9)  i  (15)  dochodzim y  do  nastę pują cych  wyraż eń  n a  skł adowe
ten sora  Kelvina- Somigliany



T E N SO R  K E L VI N A- S O M I G L I ANY  D LA  C IAŁA  LEPKOSPRĘ Ż YSTEGO  33

gdzie  wprowadzon o  oznaczenia

(17)  J i ( 0  =   Gl\ t),  Q,(t)  =  ( 2 G 1 + G 2 ) "
1 .

W  ciele  sprę ż ystym  G 2  =   2/ uH(t),  G2  =   3kH(t)  i  równ an ia  (16)  i  (17)  prowadzą

do  zn an ych  wzorów  n a  skł adowe  ten sora  Kelvina- Somigliany.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  M. E.  G U R TI N ,  E.  STERN BERG , On  the  linear theory of  visco- elasticity,  Arch.  Rat.  Mech. and
Anal.,  4,  11  (1962).

2.  JI .  <t>.  IlAnKOBHM,  T eopun ynpyeocmu,  06opoHTH3,  1939.

3.  H . N EU BER,  Ein neuer Ansatz zur L osung raumlicher Probleme der Elastizitatstheorie, Z.A.M .M .,
4.  15  (1934).

4.  E.  STERNBERG ,  A.  KH OZ AIE,  On  Green's  functions  and  Saint- Venant's principle in  the  linear
visco- elasticity,  Arch.  R at.  Mech.  and  Anal.,  2,  15  (1964).

5.  W. THOMSON , N ote  on the integration of theequations of equilibrium of an elastic solid, Cambridge
and  D oublin  M ath.  Journal,  3  (1884).

6.  Lord  KELVIN ,  P . G .  TAIT,  T reatise on  N atural  Philosophy,  Cambridge  1923.
7.  C.  SOMIG LIANA,  Sopra Vequilibrio diun  corpo  elastico isotropo,  II N uovo Cimento, Ser. 3,  1885.
8.  W.  N OWACKI,  Stress propagation in  an  infinite visco- elastic  body produced  by  a  time  variable

point force,  Arch.  M ech.  Stos.,  6,  11  (1959).
9.  N .  SAN D RU ,  Asupra  actiunii  unei forte  concentrate  in  spatiul elastic nemarginit,  Com.  Acad.

R.P.R.,  12,  12  (1963).
10.  N .  S AN D R U ,  O  deucmeuu  nepeMemux  eo  epeAiemt cocpedomoueHHux  CUJI  e  ueoBpammeHHOM

ynpyioM npocmpahcmee,  BIOJI.  IlojibCKoił   Anafl.  HayK3  C ep.  Tex.  HayK,  I ,  2(1964).
11.  H .  M .  TEJiŁOAHrj;,  r .  E .  I U H J I O B,  06o6ufeHHbie  $ymwu,  BKOI.  I ,  M ocm a  1958.

P  e 3K>   M e

T E H 30P  KEJIBBHHA- COMHJIB.HHA  .qjIS  B a 3 K O yn p yr o r O  TEJIA

H cnoJiB3yH   o6o6m eH H oe  p e n ie m ie  LTanKOBirea- H eiiBepa  (9)  u  (10)  H  CBoiicTBa  o6o6meH H oii
dpyHKirjHH   flapaKa  (12) H  (14) on peflejin ercH   TeH3op  KejiŁBHHa- CoMHjrBHHa  (17)  fljia  Bfl3Ko- ynpy-
r o r o  Tena  B  rtH H eftH oit H  KBa3HCTaTirqecK0H   o6n acT ax.

S u m m a r y

TH E  KELVIN - SOM IG LIANA  TEN SOR  F OR  A  VISCO- ELASTIC  MATERIAL

U sing  the generalised  Papkovitch- N euber  solution  (9), (10) and  the properties  of  the  generalised
function  of  D irac  (12),  (14)  we  determine  the  Kelvin- Somigliana  tensor  (17)  for  a  visco- elastic
material  in  the  linear  quasi- static  theory.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  12  grudnia 1964  r.

3  Mechanika  teoretyczna