Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z3\mts65_t3_z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3, 3  (1965) PRZEG LĄ D   PRAC  D OTYCZĄ CYCH   N OŚ N OŚ CI G RAN ICZN EJ ROZCIĄ G AN YCH   ELEM EN TÓW Z  KARBEM WOJCIECH   S Z C Z E P I Ń S KI  (WARSZAWA) 1.  Wstę p W  stanie  sprę ż ystym  nagł e  zm iany  przekroju  poprzecznego  wywoł ują   znaczną nierównom ierność  rozkł adu  n aprę ż eń.  M aksym aln e  naprę ż enia  w  osł abionym przekroju  mogą   znacznie  przewyż szać  naprę ż enia  ś rednie  obliczone  jako  iloraz sił y przez pole przekroju.  Tę  koncentrację  należy zawsze uwzglę dniać  przy  obliczaniu elementów  obcią ż onych  zmiennymi  sił ami, gdyż  ona  może być  przyczyną   powstania pę knię cia  zmę czeniowego. Istnieje  jedn ak  wiele  praktyczn ie  waż nych  przypadków,  gdy  rozpatrywany  ele- m en t  z  karbem  jest  obcią ż ony  w  sposób  stał y  lub  gdy  liczba  zmian  obcią ż enia  jest w  cał ym  okresie  pracy  elem en tu  niewielka.  P rzy  takim  obcią ż eniu  o  zniszczeniu bę dą   decydować  bą dź  to  odkształ cen ia plastyczne, bą dź  to kruche pę knię cie  powsta- ją ce  przy  pewnej  granicznej  wielkoś ci  obcią ż enia.  To  obcią ż enie nazywamy  noś noś cią graniczną .  Stosowan e  m etale  konstrukcyjne  mają   zwykle  dobre  wł asnoś ci  plas- tyczne  i  pę knię cie  powstaje  w  nich  dopiero  po  rozwinię ciu  się   duż ych  odkształ ceń plastycznych.  Z  tego  wzglę du  an aliza  n oś n oś ci  granicznej  oparta  n a  zał oż eniach teorii  plastycznoś ci  m a  duże  znaczenie  praktyczn e. Przy  nieduż ej  wartoś ci  sił y  rozcią gają cej  w  prę cie  istnieje  sprę ż ysty  stan  naprę - ż enia,  przy  czym  w  miejscu  zwę ż enia  powstaje  spię trzenie  naprę ż eń  (krzywa  1  n a rys.  la ) .  G dy  sił a rozcią gają ca  przekroczy  pewną   wielkość  P s ,  materiał   w  otoczeniu dn a  karbu  osią ga  stan  plastyczny.  D alsze  powię kszanie  sił y  powoduje  powstawanie obszaru  plastycznego  (krzywa  2).  Stanowi  tem u  odpowiada  n a  wykresie  rozcią - gania  (rys.  lb)  odcinek  ab.  Wykres  ten  począ tkowo  n a  odcinku  Oa  prostoliniowy ulega  teraz  zakrzywieniu,  ale  cał kowite  wydł uż enie  prę ta  jest  w  dalszym  cią gu niewielkie,  gdyż  w  ś rodkowej  czę ś ci  osł abionego  przekroju  m ateriał   znajduje  się w  stanie  sprę ż ystym.  W  m iarę   wzrostu  obcią ż enia  obszar  plastyczny  rozszerza  się i  wreszcie  dochodzi  do  osi  przy  sile  równej  P sl .  Od  tej  chwili  cał y  przekrój  po- przeczny  znajduje  się   w  stan ie  plastycznym  i  nawet  stosunkowo  niewielki  przyrost obcią ż enia  powoduje  duże  wydł uż enie  prę ta.  R ozkł ad  n aprę ż eń  osiowych  w  naj- wę ż szym  przekroju  przedstawia  krzywa  3  n a  rys.  la .  D alszy  wzrost  sił y  rozcią ga- ją cej  moż liwy  jest  tylko  dzię ki  zjawisku  wzmocnienia  m ateriał u, zwią zanemu  z  duż y- 52 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI mi  odkształ ceniami.  P o  osią gnię ciu  przez  sił ę   pewnej  wielkoś ci  P imx   nastę puje szybki  proces  prowadzą cy  do  zerwania  prę ta.  Wartość  sił y  P m i ) x  okreś la  n oś n ość graniczną   prę ta. Rys.  1 Teoretyczne  obliczenie  noś noś ci  granicznej  moż liwe  jest  przy  zał oż eniu,  że  ma- teriał  prę ta n ie wykazuje  wzmocnienia.  Jeż eli  w  warun ku  plastycznoś ci  przyjmiemy, że  granica  plastycznoś ci  ciał a  idealnie  plastycznego  pokrywa  się   z  granicą   plastycz- noś ci  rzeczywistego  m ateriał u,  to  jako  n oś n ość  graniczną   otrzym am y  wielkość sił y  P n   (rys.  1).  D o  rzeczywistej  wartoś ci  P m a x  moż emy  się   zbliż yć  zakł adają c  od- powiednio  wyż szą   granicę   plastycznoś ci.  Z wracamy  jedn ak  uwagę ,  że  dla  P  =   JP pl Rys.  2 prę t  doznaje  duż ych  odkształ ceń, a  wię c  szczególnie  w  kon strukcjach  maszynowych praktycznie  traci  wartość  uż ytkową.  D la  kon struktora  wyznaczenie  sił y  P vl   m a  wię c zasadnicze  znaczenie  i  w  stosunku  do  niej  powinien  obliczać  zapas  pewnoś ci. D la  pł askich  prę tów  osł abionych  obustron n ie  karbam i  teoretyczna  n oś n ość graniczna  może  być  wyznaczona  w  dwóch  skrajnych  przypadkach,  mianowicie  dla pł askiego  stan u  odkształ cenia  oraz  dla  pł askiego  stan u  n aprę ż en ia.  D o  warun ków pł askiego  stan u  odkształ cenia  zbliż amy  się ,  gdy  szerokość  26  (rys.  2)  prę ta  jest dostatecznie  duża  w  porówn an iu  z  wymiaram i  miejsca  osł abionego  karbem .  P rze- ciwnie,  gdy  szerokość  2b  jest  m ał a,  w  prę cie  wystę pują   warun ki  pł askiego  stan u N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R O Z C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 53 n aprę ż en ia.  I stotn ie  bowiem,  gdyby  prę t  skł adał   się   z  szeregu  cienkich  pł ytek o  ł ą cznej  gruboś ci  2b,  to  przy  wspólnym  rozcią ganiu  w  każ dej  z  pł ytek powstał oby w  okolicy  karbu  zn aczn e  zmniejszenie  gruboś ci  (rys.  3).  Jeż eli  jedn ak  prę t  stanowi jedn ą   cał oś ć,  to  powstan ie  takich  lokalnych  zwę ż eń  jest  niemoż liwe.  D la  b  P-   h w  przekrojach  dostatecznie  oddalon ych  od  czoł owych  powierzchni  z  =   ±b   od- kształ cenia  w  kierun ku  osi  z  są   bardzo  mał e,  rzę du  sprę ż ystych  odkształ ceń  przy- legają cych  grubszych  czę ś ci  prę ta.  M oż na  wię c  w  przybliż eniu  przyją ć,  że  przy znaczniejszych  odkształ cen iach  plastycznych  mamy  sz  =   0.  Przy  duż ym  b  w  prze- waż ają cej  czę ś ci  prę ta  panują   warun ki  zbliż one  do  pł askiego  stanu  odkształ cenia, co  zwią zane  jest  z  wystę powaniem  naprę ż enia  norm alnego  a z   =   0,5(ct x - \ -  do  warunku  plastycznoś ci Cał kowanie  przeprowadza  się   numerycznie  metodą   relaksacji  po  zastą pieniu róż niczek  róż nicami  skoń czonymi.  W  cał ym  badan ym  obszarze  przyjmuje  się   od- powiednio  gę stą   kwadratową   siatkę   i  wstę pnie  zakł ada wartoś ci  funkcji  ę   w  wę zł o- wych  pun ktach . N a  cał ym brzegu  obszaru  funkcja  q> jest  zn an a. Rozwią zanie  polega n a  obliczaniu  kolejnych  przybliż eń  funkcji  cp  do  chwili,  gdy  dwa  nastę pują ce  po sobie przybliż enia  są   wystarczają co  bliskie.  P rocedura ta jest  dł ugotrwał a i  ucią ż liwa, ale  stosują c  ją   udał o  się   rozwią zać  szereg  praktycznie  waż nych  przypadków. Jednym  z  rozwią zanych  w  pracy  [1]  zagadnień jest  rozcią ganie  prę ta  osł abionego dwoma  pół kolistymi  wycię ciami  (rys.  4).  D o  chwili,  gdy  cią głe  obcią ż enie  n a  koń- cach  prę ta  p  <  0,33  '2k,  cał y  m ateriał   znajduje  się   w  stanie  sprę ż ystym.  P rzy  po- wię kszaniu  obcią ż enia  powstają   w  najwę ż szym  miejscu  obustron n e  obszary  plas- tyczne.  N a  rysunku  zaznaczono  poł oż enie  granic  mię dzy  obszaram i  plastycznymi a  sprę ż ystą   czę ś cią   materiał u  dla  róż nych  wielkoś ci  stosun ku  p/ 2k.  Jak  zwrócił uwagę   R.  H I L L  [2]  dla  wartoś ci  p/ 2k  >  0,45  granice  te  są   dwukrotn ie  przecinane przez  n iektóre  linie  poś lizgu.  Z agadnienie  przestaje  być  statycznie  wyznaczalne i  przy  wyznaczaniu  granicy  mię dzy  obszarem  sprę ż ystym  i  plastycznym  należ ał oby uwzglę dnić  również  warunki  dla  prę dkoś ci  pł ynię cia.  Jedn akże  mim o  tego  braku N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R OZ C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 55 przebieg  rozchodzen ia  się   obszarów  plastycznych  znaleziony  przez  ALLEN A  i  Sou- TH WELLA  z  pewnoś cią   niewiele  odbiega  od  rzeczywistoś ci.  Przy  obcią ż eniu  p  = 0,60  - 2k  powstają   dwa  n owe  plastyczne  ją dra  n a  osi  prę ta  w  pewnej  odległ oś ci  od najwę ż szego  przekroju.  T e  dwa  nowe  obszary  rozszerzają   się   bardzo  szybko  i  przy obcią ż eniu  p  —  0,61  •   2/c  ł ą czą   się   z  obu  poprzednim i  obszaram i.  Od  tej  chwili zaczynają   się   duże  odkształ cenia  plastyczne  prę ta.  N oś n ość  graniczna  jest  wię c J_A TTTTTTl'p R ys.  4 okreś lona  wartoś cią   obcią ż enia  p  —  0,61  •   2fc.  Ś rednie  naprę ż enie  osiowe  w  naj- wę ż szym  przekroju  równ a  się   1,22  •  2k,  a  wię c  jest  znacznie  wię ksze  od  granicy plastycznoś ci  przy  jedn oosiowym  rozcią ganiu,  która  w  warunkach  pł askiego  stanu odkształ cenia  równ a  się   2k. I n n ym  przykł adem  podan ym  w  pracy  [1] jest  rozcią ganie  prę ta  z  ostrym  karbem ką towym.  Ten  sam  przypadek  został   przeliczany  przez  [D.  JU RIŚ ICA  [3]  w  inny sposób  z  uwzglę dnieniem  warun ku  nierozdzielnoś ci  również  w  obszarze  plastycz- nym .  P osł ugują c  się   maszyną   cyfrową   rozwią zano  od  razu  peł ny  ukł ad  równań róż nicowych  dla  wszystkich  wę zł ów  przyję tej  siatki.  Rysunek  5  pokazuje  rozcho- dzenie  się   obszarów  plastycznych.  Wynik  ten  niewiele  odbiega  od  rozwią zania ALLE N A  i  SOU TH WELLA.  Obszary  plastyczne  mają   kształ t  wą skich  pasm  i  ł ą czą   się n a  osi  prę ta  przy  obcią ż eniu p  =   0,59  •   2k,  pozostawiają c  w  ś rodku  sprę ż yste  ją dro. Odpowiednia  wartość  otrzym an a  w  pracy  [1]  wynosi p  =   0,64  •   2/c,  a  wię c  niewiele wię cej.  P otwierdzenie  istn ien ia  sprę ż ystego  ją d ra  otrzymał   JU RISIC  metodą   trawienia wzdł uż nego  przekroju  odkształ conego  prę ta.  Ś rednie  naprę ż enie  w  najwę ż szym przekroju  równ a  się   1,18-   2k. W.  Ż U KOWSKI  [4]  bad ał   doś wiadczalnie  proces  odkształ cenia  w  najwę ż szym przekroju  prę ta  z  karbem  o  zbliż onym  kształ cie  wycię cia  ką towego.  P om iarów odkształ ceń  dokon ywan o  n a  czoł owych  powierzchniach,  nan oszą c  n a  nich  za  po- 56 WOJCIECH   SZCZCPIŃ SKI mocą   mikrotwardoś cioraierza  szereg  gę sto  rozmieszczonych  pun któw;  odległ ość mię dzy  pun ktam i wynosił a  0,1  m m .  W  czasie  rozcią gania  odczytywano  za  pom ocą specjalnie  dostosowanego  m ikroskopu  o  100- krotnym  powię kszeniu  zm ianę   od- legł oś ci  pomię dzy  poszczególnymi  pun ktam i.  Stwierdzono,  że  odkształ cenia  plas- tyczne  obejmują   jedynie  mał y  odcinek  najwę ż szego  przekroju  bezpoś redn io  są sia- dują cy  z  dnem  karbu.  Wynik  ten  potwierdza  istnienie  ją d ra  sprę ż ystego,  n a  kt ó re wskazują   powyż sze  rozwią zania  numeryczne.  P om iary  Ż ukowskiego  wykazują ,  że ją dro  to  istnieje  przez  cał y  czas  procesu  odkształ cenia,  aż  do  rozdzielenia  obu czę ś ci prę ta. Jedn akże w  innej pracy  [11] dla karbu  o  innym ką cie  a  t a  sam a m etoda pom iaru  nie wykazał a  istnienia  sprę ż ystego  ją dra.  Jest  to  zwią zane  z  szerokoś cią   1c Rys.  6 czę ś ci  chwytowej  (rys.  2), która, jak  to  zapewne  uszł o uwagi  autora,  był a w  pierw- szym  przypadku  niedostateczna,  a  w  drugim  wystarczają co  duż a.  Z agadn ien ie  to omówimy  w  pun kcie  2.3. J. A.  JACOBS  [5]  podał   rozwią zanie  dla  prę ta  z  obustron n ym  karbem  w  postaci wą skiej  szczeliny, jaki  otrzymuje  się , gdy- kąt  wierzchoł kowy  a  karbu  z  rys.  5  równ a się   zeru.  Obliczenia  przeprowadzono  metodą   relaksacji  analogicznie ja k  w  pracy  [1]. Ten  sam  karb  szczelinowy  zbadali  A.  H . S.  AN G   i  G . N .  H AR P E R  [6]  m etodą relaksacji,  zaprogramowaną   n a  maszynę   cyfrową .  P rocedura  obliczeń  uwzglę dnia jednoczesne  wyznaczanie  naprę ż eń  i  odkształ ceń n a  podstawie  zwią zków  P ran dtla- Reussa.  N a  rysunku  6  pokazan o  granice  obszarów  plastycznych,  odpowiadają ce róż nym  wartoś ciom  ś redniego  naprę ż enia  a,  w  najwę ż szym  przekroju.  P rzy  et,,  — 1,24  *2/ c  obszary  plastyczne  ł ą czą   się   n a  osi  prę ta. W  pracy  Jacobsa  [5]  obliczenia  wykon an o  przy  róż nych  szerokoś ciach  czę ś ci chwytowej,  mianowicie  dla  c/ h —  2;  4  i  8.  We  wszystkich  przypadkach  otrzym an o sprę ż yste  ją d ro,  co  jak  wspom niano  nie  potwierdza  się   w  doś wiadczeniach  przy wystarczają co  duż ym  c.  Wyjaś nienie  tej  rozbież noś ci  wym aga  jeszcze  dalszych badań . N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R OZ C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 57 2.2.  Rozwią zania  sztywno- plastyczne. W  przypadku  gdy  karb  jest  dostatecznie  gł ę bo ki m oż na  oczekiwać ,  że powstają ce  u jego  dn a  obszary  plastyczne  bę dą   się  obustron n ie ł ą czyły  n a  osi  najwę ż szego  przekroju,  a  nie  jak  w  rozpatrywanych  poprzednio rozwią zaniach  w  pewnej  odległ oś ci  od  tego  przekroju  pozostawiają c  sprę ż yste ją d ro.  M oż na  wtedy  wyznaczyć  rozkł ad  naprę ż eń  wykorzystują c  teorię   pł askiego stan u  odkształ cenia ciał a  sztywno- plastycznego.  Jak wiadomo, w  stanie  plastycznym stan  n aprę ż en ia  w  są siedztwie  brzegu  jest  zależ ny  jedynie  od  istnieją cych  n a  nim warun ków.  K o n t u r  karbu  jest  brzegiem  swobodnym,  a  wię c  warunki  brzegowe  są n a  n im  jedn ozn aczn ie  okreś lone.  Rozwią zując  zagadnienie  brzegowe  typu  Cau- T~T Rys.  7 chy'ego  moż emy  wyznaczyć  z  obu  stron  symetryczne  siatki  linii  poś lizgu  aż  do spotkan ia  n a osi prę t a. M et o d a podan a przez  R.  H I L L A  [7] pozwala  obliczyć w  sposób numeryczny  rozkł ad  n aprę ż eń  i  n oś n ość  graniczną   dla  dowolnego  kształ tu  karbu. Jeż eli  zarys  karbu  utworzon y  jest  z  dwu  prostych  poł ą czonych  n a  dnie ł ukiem koł a  (rys.  7), to  n oś n ość  graniczna  może być  prosto  okreś lona  w  postaci  zamknię tej [7].  Linie poś lizgu  w  polu  ABAC  są   spiralami  logarytmicznymi,  a naprę ż enie  osiowe n a  odcinku  BC  równ a  się = 7k  1 +  ln  1 +4 )] . a  wię c  roś n ie  od  pu n kt u  B  do  C,  przy  czym  fc  =   h(e"—l). W  kwadracie  GFCF  panuje  jedn orodn y  stan  naprę ż enia,  a  siatka  linii  poś lizgu skł ada  się   z  dwóch  rodzin  prostych .  N a  odcinku  CG  naprę ż enie  osiowe  jest  wię c stał e  i  jak  wyn ika  z  zależ noś ci,  jakie  muszą   być  speł nione  wzdł uż  linii  poś lizgu, m a  on o  wielkość  ff y   =   2k{\ - \ - a). P o  scał kowaniu  n aprę ż eń  osiowych  wzdł uż  cał ej  dł ugoś ci  najwę ż szego  przekroju BG  otrzymujemy  sił ę   graniczną ( e « -P  = Akh [(1 + a)[(1 + a) —!(«• -1 - a) j , [j 58 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI a  wię c  wię kszą   cd  odpowiedniej  sił y  P o   =  4kh  dla  prę ta  bez  karbu  o  szerokoś ci  2h. Współ czynnik  zwię kszenia  sił y  dla  prę ta  z  karbem dla  róż nych  ką tów  a  przedstawiono  n a  rys.  8  w  zależ noś ci  od  stosunku  r/ h.  P osz- czególne  proste  dla  róż nych  a  mają   wspólną   obwiednię .  P un kt  stycznoś ci  każ dej prostej  z  obwiednią   odpowiada  stosunkowi  r/ h,  przy  którym  pu n kt  C  n a  rys.  7 2,5 2 , 0 1,0 90 0,4 0,8 Rys.  8 1 , 6 r/ h pokrywa  się   z  pun ktem  G  ś rodka  prę ta.  D la  jeszcze  wię kszych  wartoś ci  stosun ku r/ h  krań cowe  spirale  wychodzą ce  z  pun ktu  G  przecinają   ł uk  ABA  w  pewnej  od- legł oś ci  od jego  koń cowych  pun któw  A.  Sił a  graniczna  równ a  się   wtedy Wyraż enie  n a  współ czynnik  noś noś ci jest  jednocześ nie  równaniem  obwiedni  z  rys.  8. D rugi  skrajny  przypadek  karbu  z  rys.  7  otrzymujemy  dla  r  - * 0,  gdy  karb  przy- biera  formę   ostrego  ką towego  wycię cia.  R ozkł ad  naprę ż eń  osiowych  w  najwę ż szym przekroju jest  równomierny, a współ czynnik  zwię kszenia  noś noś ci  równ a  się  P/ P o   = 1+ ( T T / 2) — a  i  osią ga  najwię kszą   moż liwą   ze wszystkich  wartość  / m a x  =   l+ 7t / 2  = =   2,571  dla  karbu  szczelinowego  (a  =   0). N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R OZ C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 59 T o  znaczne  zwię kszenie  n oś n oś ci  granicznej  prę ta  z  karbem  w  stosunku  do  prę ta bez  wycię ć  o  szerokoś ci  równej  2h  tł umaczy  się   tym,  że  sprę ż yste  partie  materiał u w  są siedztwie  karbu  krę pują   swobodę   odkształ cania  poprzecznego  (zwę ż ania) m ateriał u  w  najwę ż szej  czę ś ci  prę ta.  Powstają   wskutek  tego  poprzeczne  naprę ż enia rozcią gają ce  a x ,  dzię ki  którym  m ateriał   przechodzi  w  stan  plastyczny  dopiero  przy naprę ż eniach  a y   wię kszych  od  2k. Ł atwo  sprawdzić  [7],  że  siatka  linii  poś lizgu  z  rys.  7 jest  kinematycznie  dopusz- czalna.  Jeż eli  przyjmiemy,  że  sztywne  czę ś ci  prę ta  oddalają   się   z  jednakową   prę d- koś cią   »0,  to wzdł uż zewnę trznych  linii poś lizgu  DEFG  moż emy  wyznaczyć  normalną do  nich  skł adową   prę dkoś ci.  P ozwala  to  wyznaczyć  prę dkoś ci  w  cał ym  polu  siatki linii  poś lizgu.  Skł adowe  styczne  prę dkoś ci  po  obu  stron ach  linii  DEFG  bę dą   oczy- wiś cie  róż ne,  gdyż  od  strony  obszaru  plastycznego  okreś lają   je  równania  G eiringer, a  od  strony  zewnę trznej  ruch  obszaru  sztywnego  jako  cał oś ci.  Linie  DEFG  są   wię c liniam i  niecią gł oś ci  prę dkoś ci.  N iecią gł ość  ta  koń czy  się   w  pun ktach  D  n a  swo- bodnej  powierzchni,  co  jest  kinematycznie  dopuszczalne. M oż liwe  jest  również  rozwią zanie  bez  linii  niecią gł oś ci  [8], pokazan e  n a  rys.  9a. N a  odcinku  CD  swobodnej  krawę dzi  prę dkoś ci  mogą   być  dane dowolnie. Aż eby nie był o  niecią gł oś ci  w  prę dkoś ciach,  m oż na  n a  przykł ad  przyją ć,  że  n a  odcinku  CD Rys.  9 skierowane  wzdł uż  linii  poś lizgu  j5  skł adowe  prę dkoś ci  pł ynię cia  rosną   liniowo  od zera  w  pun kcie  D  w  kierun ku  pu n kt u  C  przy  zał oż eniu,  że  górna  czę ść  prę ta  jest n ieruchom a.  P ewne  uwagi  n a  tem at  moż liwych  rozkł adów  prę dkoś ci  w  podobn ym przypadku  wystę pują cym  przy  wciskaniu  stempla  podał   G . J.  BYKOWCEW  [9].  T a niejednoznaczność  pola  prę dkoś ci  jest  typowa  dla  teorii  pł askiego  stanu  odkształ - cenia  oś rodka  sztywno- plastycznego.  Roztrzygnię cie,  które  z  nieskoń czonej  liczby moż liwych  rozwią zań  dla  prę dkoś ci  zachodzi  w  prę cie  z  rzeczywistego  materiał u, moż liwe  jest  obecnie,  ja k  się   wydaje,  jedynie  n a  drodze  doś wiadczalnej.  Ś cisła analiza  bowiem,  uwzglę dniają ca  wszystkie  mogą ce  mieć  wpł yw  n a  przebieg  procesu odkształ cenia  zjawiska,  ja k  sprę ż ystość  m ateriał u, wzmocnienie,  ś ciś liwość  a  nawet struktura  krystaliczna  m etalu  jest  w  obecnym  stanie  wiedzy  nieosią galna. Ciekawe  jest,  że  w  przypadku  karbu  niesymetrycznego  (rys.  9b)  pole  prę dkoś ci jest  okreś lone  jedn ozn aczn ie  [8].  Z ewnę trzne  linie  poś lizgu  ABC  są   liniami  nie- cią gł oś ci  prę dkoś ci. 60 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI Badania  doś wiadczalne  wykazują ,  że  rzeczywista  wielkość  f lzeaz   współ czynnika noś noś ci  prę ta  z  karbem  dobrze  zgadza  się  z  teoretyczną   wart oś cią /t e o l..  W. Ż u- KOWSKI  [10, 11] badał   prę ty z  karbem  o  kształ cie  ką towego  wycię cia  z  zaokrą gle- niem  n a dnie dla dwóch  wartoś ci  cał kowitego  ką ta  wycię cia  la  — 47°  i  102°.  P rę ty wykonane  był y  ze  ś redniowę glowej  stali.  D la prę tów  z  karbem  o  ką cie  102°  uzys- kan o  [11] st o su n e k/ r z o o z / / t e o r  =   0,95,  przy  czym  współ czynniki  wyznaczano  dla. stosunku  sił  zrywają cych.  D la  karbu  o ką cie  47°  zgodność  t a był a  znacznie  gorsza, ale  n ie zwrócono  uwagi  n a t o ,  że w  tym przypadku  szerokość  2c czę ś ci  chwytowej; prę ta  był a zbyt  m ał a.  Zagadnienie to omówimy  w p . 2.2. W  pracy  [12] stwierdzono' dla  karbu  pokazanego  n a  rys.  14  dla  począ tku  duż ych  odkształ ceń  plastycznych fmJftou  -   i - 0 5 .  a  d J a  sił   zrywają cych  ft zc jf ieov   -   0,88.  M ateriał em  badan ych prę tów  był o  aluminium.  P odobn e  wyniki  otrzym an o  dla  nieco  innego  kształ tu karbu  dla prę tów  z  mię kkiej  stali.  N ależy  jedn ak  wyraź nie  podkreś lić,  że wielkość BO  120  180°  CO Rys.  10 współ czynnika / r z e c z  zależy  od  czuł oś ci  m ateriał u n a  dział anie  karbu.  Szczególnie dotyczy  to  sił y zrywają cej.  Jak pokazał  F . A.  M C C L I N T O C K  [8] sił a t a zależy  również znacznie  od  wielkoś ci  próbki  (efekt  skali). W  pracy  [8] badan o  również  prę ty  osł abione  karbem  w  sposób  niesymetryczny. N a  rysunku  10  pokazan o  wyniki  badan ia  próbek  ze  stopu  aluminiowego,  osł a- bionych  niesymetrycznie  wycię ciami  ką towymi  zaokrą glonymi  n a  dnie.  P rę ty z  niesymetrycznymi  karbami  mają   mniejszy  rzeczywisty  współ czynnik  n oś n oś ci  od próbek  osł abionych  symetrycznie,  chociaż  współ czynniki  teoretyczne  mają   jedn a- kowe.  Badanie  doś wiadczalne  próbek  z niesymetrycznymi  karbam i  m a wię c  istotn e znaczenie  dla  okreś lenia  czuł oś ci  m ateriał u n a  dział anie  karbu. 2.3.  Wpływ  szerokoś ci  czę ś ci  chwytowych  prę ta. Osobnym  zagadnieniem  jest  ustalen ie minimalnej  szerokoś ci  2c  czę ś ci  prę ta  poza  karbem .  W  przekrojach  znacznie od- legł ych  od karbu,  w  których  m oż na  przyją ć,  że panuje  stan  zwykł ego  rozcią gan ia,, N OŚ N OŚĆ  GRANICZNA  ROZCIĄ GANYCH   ELEMENTÓW  Z KARBEM 61 szerokość  ta  wynika  z  prostego  warun ku,  że  naprę ż enie  rozcią gają ce  nie  może przekroczyć  wartoś ci  2/c. M am y  wię c  ejh  =  P/ P o .  Jednakże  tak  obliczona  szerokość 2c jest  z  pewnoś cią   zbyt  m ał a  dla  przekrojów  niezbyt  odległ ych  od  karbu.  C ał ko- witą   pewnoś ć, że w  przekrojach  tych  m aksym aln a  sił a okreś lona noś noś cią   graniczną karbu  może  być  przen iesion a  bez  przekroczenia  warun ku  plastycznoś ci,  moż emy uzyskać  budują c  przedł uż enie  stan u  naprę ż enia  w  karbie  n a  przylegają ce  do  niego obszary.  G dyby  bowiem  warun ek  plastycznoś ci  został   w  którymkolwiek  punkcie przekroczony,  znaczył oby  t o , że  m ateriał   póź niej  osią gnie  stan  plastyczny  w  karbie niż  w  jego  są siedztwie,  a  wię c  n oś n ość  graniczną   cał oś ci  okreś lał aby  noś ność  naj- sł abszego  miejsca  poza  karbem .  T aka  sytuacja  miał a  miejsce  w  jednym  z  badań W.  Ż ukowskiego,  om ówion ych  w  poprzedn im  punkcie. Sposób  zbudowan ia  przedł uż en ia siatki  linii  poś lizgu  podał   J. F . W.  BI SH OP  [13]. Jest  on  oparty  n a  jedn ym  z  podstawowych  twierdzeń  granicznych  teorii  oś rodka sztywno- plastycznego,  z  którego  wynika  wniosek,  że  noś ność  graniczna  okreś lona ir/ 2- a. vr/ 2- a. Rys.  11 z  dowolnego  rozkł adu  n aprę ż eń,  speł niają cego  równ an ia  równowagi  i  warun ki brzegowe  dla  n aprę ż eń  oraz  nigdzie  nie  przekraczają cego  warun ku  plastycznoś ci, nie  bę dzie  wię ksza  od  rzeczywistej  noś noś ci  granicznej.  Taki  dowolny  stan  na- prę ż en ia  nie  m usi  speł n iać warun ków  Kinematycznych  zagadnienia  i  nazywany  jest statycznie  dopuszczaln ym .  Z  wniosku  tego  bezpoś redn io  wynika  również  zasada,  że 62 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI dodanie  materiał u  nie  może  obniż yć  noś noś ci  granicznej  elementu.  W  dodan ych partiach  materiał u  moż emy  bowiem  zawsze  zał oż yć  zerowy  stan  n aprę ż en ia. Sposób  wyznaczania  bezpiecznej  szerokoś ci  2c  czę ś ci  chwytowych  prę ta  wyjaś ni- my  na  przykł adzie prę ta  z  ostrymi  wycię ciami  o ką cie  n—2a  (rys.  11). P rzedł uż enie siatki  linii  poś lizgu  w  karbie,  ograniczonej  skrajnymi  liniam i  ABOC  i  A'B'OC, D ys.  12 rozpoczniemy  od rozwią zania  zagadnienia  charakterystycznego,  okreś lonego  dan ym i wzdł uż  odcinków  linii  poś lizgu  OBA  i  OB'A'.  D an e  te  jedn ozn aczn ie  okreś lają stan  naprę ż enia  w  czworoką cie  krzywoliniowym  OADA'.  N astę pn ie  należy  roz- wią zać  zagadnienie  odwrotne  do  zagadnienia  brzegowego  C auchy'ego.  Z n ają c mianowicie  przebieg  linii  poś lizgu  AD  należy  wyznaczyć  kształ t swobodnego  brzegu AGM,  Brzeg  ten  jest  okreś lony  jednoznacznie.  D alsze  przedł uż anie  siatki  p o za c/ h °  Punkty obliczone 30°  S0°  90°  flD°  150°  180° U Rys.  13 linię   DM  moż liwe  jest  po  wprowadzeniu  pewnej  statycznie  dopuszczalnej  n ie- cią gł oś ci  naprę ż eń. P oprowadź my  trajektorię   naprę ż eń  gł ównych  GRG'  przez  dowolny  p u n kt  G krawę dzi  poniż ej  najszerszego  przekroju  FF'.  Z budujmy  nastę pnie  lustrzan e  odbicie tej  trajektorii  i  znajdują cej  się   n ad  nią   siatki  linii  poś lizgu  (rys.  12).  P odzielmy obydwie  trajektorie  n a  skoń czoną   liczbę   mał ych  odcinków,  n a  których  n aprę ż en ie N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R OZ C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 63 n orm aln e jest  w  przybliż eniu  stał e.  P ole  zawarte  pomię dzy  trajektoriam i  podzielmy n a  szereg  prostoką tn ych  i  trójką tnych  elementów  za  pomocą   prostych  przechodzą - cych  przez  pun kty  podział u  trajektorii.  W  elementach  trójką tnych  panuje  hydro- statyczny  stan  naprę ż enia,  a  w  prostoką tn ych  stan  dwuosiowego  rozcią gania,  przy czym  oba  n aprę ż en ia  gł ówne  są   równe  naprę ż eniom  norm alnym  przekazywanym w  poprzek  linii  GRG'  odpowiednio  n a  pionowy  i  poziomy  pasek,  których  przecię cie tworzy  dany  prostoką cik.  Zagę szczając  siatkę   pasków  otrzymujemy  w  granicy statycznie  dopuszczalne  cią głe  pole  naprę ż eń.  Obie  linie  graniczne  GRG'  są   liniami niecią gł oś ci  n aprę ż eń typu  statycznie  dopuszczalnego.  M oż na wykazać,  że  w ż adnym pun kcie  tego  pola  warun ek  plastycznoś ci  nie  bę dzie  przekroczony.  Jeż eli  wię c zał oż ymy,  że  ko n t u r  prę ta  m a  kształ t  linii  CAFG  i  jej  zwierciadlanego  odbicia wzglę dem  poziomej  linii  GG',  to  noś ność  graniczna  tej  czę ś ci  prę ta  nie bę dzie  niż sza b/ h- 2. Materiat: stop alum. PA 1 Rys.  14 niż  przekroju  CC  w  karbie.  M oż na jedn ak  z  ł atwoś cią   wykazać,  że  czę ść  kon t u ru prę ta  poniż ej  pu n kt ów  G  i  G'  mogą   tworzyć  również  dwie  proste  równoległ e  do osi  prę ta.  W  tym  przypadku  linią   niecią gł oś ci  naprę ż eń  bę dzie  również  poziom a prosta  GG'.  W  prostoką tn ej  czę ś ci  poniż ej  niej  panuje  stan  jednoosiowego  rozcią - gania.  Jak  powiedzian o  pu n kt y  G  i  G'  został y  wybrane  dowolnie.  Jeż eli  jedn ak czę ść  prę ta  poniż ej  nich  mają   ograniczać  proste  równoległ e  do  osi,  to  skrajne  poł o- ż enie  pun ktu  G  i  G'  okreś lają   pun kty  H  i  H',  dają ce  minimalną   dopuszczalną   sze- rokość  czę ś ci  chwytowych  prę ta,  równą   2/ J(1 Ą - a).  Ta  czę ść  prę ta  bę dzie  wtedy rozcią gana  równ om iern ie  rozł oż onym  naprę ż eniem  równym  2/c.  Jeż eli  kon tur  prę ta zostanie  utworzon y  przez  poprowadzen ie  prostych  pionowych  z  pun któw  F  i  F w  najszerszym  miejscu,  to  z  pewnoś cią   n oś n ość  graniczna  czę ś ci  prę ta  poza  karbem 64 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI nie  bę dzie  mniejsza  niż  przekroju  w  karbie.  K o n t u r  ten  zawiera  bowiem  wewną trz poprzednie  wystarczają co  mocne kon tury,  a  dodan ie  m ateriał u n ie  może  zmniejszyć noś noś ci  granicznej. W  powyż szy  sposób  w  pracy  [8]  wyznaczono  bezpieczną   szerokość  czę ś ci  chwy- towych  dla  prę ta  z  karbem  ką towym  (rys.  13). N a  rysunku  14  linią   cią głą   przedstawiono  wyniki  doś wiadczalnej  weryfikacji wpł ywu  szerokoś ci  2c  n a  noś ność  prę ta  z  karbem  pół kolistym  [12]. Z przedł uż enia siatki  linii  poś lizgu  w  obszar  sztywny  wynika  teoretyczny  stosunek  (c/ h teor   =   2,62. D la  cjh  >  2,62  teoretyczny  współ czynnik  noś noś ci,  wynikają cy  z  rys.  8,  równ a  się / tcor =   1=57.  D wie proste przerywane  AB  n a rys.  14 podają   odpowiednio  teoretyczne wartoś ci  umownych  naprę ż eń  zrywają cych  i  począ tku  plastycznego  pł ynię cia, a b X- U rrrhTT Rys.  15 obliczone  przez  pomnoż enie  odpowiednich  n aprę ż eń  dla  prę ta  bez  karbu  (c/ h =   1) przez / t o o r .  N a  odcinku  AE  rozwią zanie  z  rys.  7  i  8  może  być  uważ ane  za  górn ą ocenę   rzeczywistej  noś noś ci,  gdyż  jest  jedynie  kinematycznie  dopuszczalne.  G órn ą ocenę   n a  odcinku  CE  otrzym ano  z  kinematycznie  dopuszczalnego  schem atu  od- kształ cenia  pokazanego  n a  rys.  15b,  a  dolną   ocenę   n a  odcin ku  CD  ze  statycznie dopuszczalnego  niecią gł ego  pola  naprę ż eń  (rys.  15a).  Obydwa  pola  został y  podan e przez  W.  PRAG ERA  i  P . G .  H O D G E 'A  [29].  Krzywe  doś wiadczalne  dla  mał ych c/ h leżą   powyż ej  górnej  oceny,  ale  n a  ogół   zgodność jest  dość  dobra. 2.4.  Teoretyczna  analiza  procesu  odkształcenia  prę ta  z  karbem.  Przyjmują c  jedn o z  kinematycznie  dopuszczalnych  pól  prę dkoś ci,  wyznaczonych  w  sposób  podan y w  punkcie  2.2,  m oż na zbadać  cał y  proces  odkształ cenia w  karbie  aż  do  rozdzielenia obu  czę ś ci  prę ta.  E. H .  LE E [14]  zbadał   odkształ cenie  karbu  ką towego  o  ką cie 2 a  =   90°,  przyjmują c  pole prę dkoś ci  z  linią   niecią gł oś ci  mię dzy  obszarem  sztywnym i  plastycznym.  Zał óż my, że  doln a  czę ść  prę ta jest  n ieruchom a, a  górn a  porusza  się N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R O Z C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 65 z  prę dkoś cią   równ ą   2.  Linia  BE  (rys.  16)  m a  prę dkość  równą   jednoś ci,  skierowaną ku  górze.  P o lewej  stron ie rysun ku  pokazan o  siatkę   linii  poś lizgu  w  chwili  począ tko- wej.  M ateriał   poniż ej  skrajnej  linii  ACDE  znajduje  się   w  spoczynku.  P rę dkość wzdł uż  ACDE  i  wszystkich  linii  należ ą cych  do  tej  samej  rodziny jest  stał a  i  równa się   ]/ l.  Wzdł uż  linii  drugiej  rodziny  prostopadł ych do  ACDE  prę dkość  równa  się zeru. P oczą tkowym  odkształ ceniem  krawę dzi  AB  bę dzie  mał y  uskok  w  punkcie  A, gdyż  odcinek  AB  porusza  się   poziom o.  P o  prawej  stronie  rysunku  przedstawiono pole  linii  poś lizgu  w  zaawansowanym  stanie  procesu.  Plastyczne  pł ynię cie  jest teraz  ograniczone  do  znacznie  zmniejszonego  obszaru  A'C'D'E'B'.  Odcinek  AH począ tkowej  krawę dzi  AB  zają ł   nowe  poł oż enie AA',  a  odcinek  BH  przesuną ł   się Rys.  16 równolegle  w  poł oż en ie  KA'.  M ateriał   znajdują cy  się   poniż ej  chwilowej  granicy A'C'D'E',  ale  powyż ej  począ tkowej  granicy  ACDE,  został   odcią ż ony  i  przeszedł w  stan  sztywny,  ale  uprzedn io  dozn ał   duż ych  odkształ ceń  plastycznych.  Stan  n a- prę ż enia  w  poszczególnych  obszarach  chwilowej  siatki  linii  poś lizgu  jest  taki  sam, jak  w  odpowiednich  obszarach  począ tkowej  siatki.  Wielkość  naprę ż enia  osiowego w  najwę ż szym  miejscu  karbu  jest* stał a  i  równ a  się   ct y  =   2k{\ - \ - 7ij2—a).  Sił a  roz- cią gają ca  maleje  w  cią gu  cał ego  procesu. P rostolin iowość  nowej  krawę dzi  AA'  wynika  stą d,  że  prę dkość  n a  chwilowej granicy  sztywno- plastycznej  A'C  jest  stał a  w  czasie  cał ego  procesu.  Poł oż enie krawę dzi  m oż na  okreś lić  z  warun ku  stał ej  obję toś ci  materiał u. Przy  koń cu  procesu szerokość  w  miejscu  karbu  zan ikn ie do zera, a  nowe krawę dzie  przetną   się   w  punk- cie  P.  Warun ek  stał ej  obję toś ci,  wymagają cy  aby  zakreskowane  pola  był y  równe, daje  zwią zek s i n a ( 2 + c o s a ) ' okreś lają cy  poł oż en ie  zdeformowanej  krawę dzi. 5 Mechanika teoretyczna 66 WO J C I E C H   SZ C Z E P I Ń SKT Znają c  prę dkoś ci  pł ynię cia  w  dowolnej  chwili  moż emy  prześ ledzić  drogę   każ dej czą stki  materiał u i  wyznaczyć  odkształ cenie kwadratowej  siatki  pomyś lanej  w  m a- teriale.  Sposób  odkształ cenia  komplikuje  zmieniają cy  się   kierunek  ruchu  czą stek. Trudność  tę  pokon an o dzielą c  cał y  okres  aż  do  rozdzielenia prę ta  n a  8 jedn akowych odcinków  czasu  At.  Ruch  badanej  czą stki  m ateriał u  w  okresie  każ dego  z  tych przyrostów  okreś lano  jako  ś rednią   z  prę dkoś ci  wyznaczonych  n a  począ tku  i  koń cu rozpatrywanego  odcinka  czasu  At. N a  rysunku  17 pokazan o po lewej  stron ie począ tkową   kwadratową   siatkę   (t  =   0), a  po  prawej  stronie  siatkę   po  duż ym  odkształ ceniu  (t  =   3At),  gdy  redukcja  szero- koś ci  w  najwę ż szym  miejscu  wynosi  37,5%.  C harakterystyczne  jest  rozdzielanie Rys.  17 materiał u  na  dnie  karbu,  co  ł atwo  zauważ yć  z  koń cowego  poł oż en ia  B'  czą stek znajdują cych  się   począ tkowo  w  najbliż szym  są siedztwie  p u n kt u  B.  R óż ni  się   to od  zwykle  spotykanego  typu  kruchego  pę kania,  przy  którym  oprócz  energii  lokal- nego  pł ynię cia  plastycznego  musi  być  również  dostarczan a  z  zewną trz  znaczn a energia  zwią zana  z  powstawaniem  nowej  powierzchni.  T a  czę ść  energii  jest  jedn ak w  naszym  przypadku  bardzo  mał a  i  może  być  pom in ię ta  w  porówn an iu  z  energią odkształ cenia  plastycznego.  Z agadnienie  to  został o  przedyskutowan e  przez  M . E. M ERCH AN TA  [15]  w  zwią zku  z  procesem  tworzenia  się   wióra  przy  skrawaniu  m etali. P odobne  rozdzielanie  materiał u  obserwuje  się   również  przy  wciskaniu  klina w  oś ro- dek  plastyczny  [16],  ale  w  obydwu  tych  przypadkach  jest  on o  wywoł ane  wciska- niem  sztywnego  zaostrzonego  elementu  mię dzy  rozdzielane  czę ś ci  m ateriał u.  W  n a- szym  przypadku  materiał  jest  rozdzielany  rozcią ganiem  dzię ki  szczególnemu  kształ - towi  powierzchni.  D alej  zobaczymy,  że  w  rozwią zaniu  tego  samego  problem u  przy granicznym  przejś ciu  od  karbu  z  zaokrą glonym  dnem  do  karbu  ostrego  takie rozdzielanie  nie  wystę puje.  I nnym  przeciwnym  argum en tem  jest,  że  rozdzielanie powoduje  bardzo  duże  lokalne  odkształ cenia  plastyczne,  a  wię c  n a  rzeczywisty charakter  pł ynię cia  w  tym  obszarze  może  mieć  znaczny  wpł yw  wzmocnienie  m a- teriał u. P odobną   analizę   przeprowadził   E. H .  L E E [17]  również  dla  karbu  w  postaci wą skiego  wycię cia  prostoką tn ego.  N a  rysunku  18a  pokazan o  siatkę   linii  poś lizgu w  począ tkowej  chwili  procesu  pł ynię cia.  Z  rozwią zania  dla  prę dkoś ci  wynika,  że odcinek  BC  krawę dzi  przesuwa  się   w  sposób  sztywny,  zachowują c  poziom e  poł o- ż enie. Odcinek  CD  przesuwa  się   w  kierun ku  osi  prę ta  zachowują c  poł oż enie pion o- we.  Znają c  prę dkoś ci  tych odcinków moż emy znaleźć ich nowe poł oż enie p o  upł ywie N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R OZ C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 67 krótkiego  czasu  At.  M ię dzy  przesunię tymi  odcinkam i krawę dzi  powstanie  w  krawę - dzi  luka,  gdyż  czę ś ci  krawę dzi  przylegają ce  do  naroż nego  pun ktu  C  mają   róż nie skierowane  prę dkoś ci  odpowiednio  od  strony  odcin ka  poziomego  i  pionowego. Lu ka  t a  wypeł niana jest  przez  m ateriał   napł ywają cy  z  wnę trza  prę ta. Jeż eli  przyją ć, że  czą stki  tworzą ce  nowy  odcinek  krawę dzi  zachowują   w  rozpatrywanym  prze- dziale  czasu  At  począ tkową   prę dkość  pł ynię cia,  to  powstał oby  zaokrą glone  n aroże n a  dnie  karbu.  W  omawianej  pracy  przyję to,  że  nowy  odcinek  krawę dzi  tworzą dwie prostoliniowe  czę ś ci,  stanowią ce  przedł uż enie  przesunię tych  odcinków  BC  oraz CD  i  tworzą cych  ostre  prostoką tne  n aroż e. T aki  schemat  odkształ cenia jest  kine- matycznie  dopuszczalny.  Budują c  nastę pnie  siatkę   linii  poś lizgu  dla  nowej  konfigu- racji  karbu  m oż na  wyznaczyć  kolejne  poł oż enie krawę dzi,  odpowiadają ce  nowemu przyrostowi  czasu  At.  W  ten  sposób  dochodzimy  do  momentu,  gdy  pun kt  2V ko- lejnej  siatki  wypadnie  n a  osi  prę ta  (rys.  18b).  Od  tej  chwili  obszar  plastyczny  nie obejmuje  już  poziom ych  odcin ków  krawę dzi,  a  cał y  m ateriał   n a  zewną trz  skrajnej linii  poś lizgu  CEO  porusza  się   jak  sztywna  cał oś ć.  Pionowy  odcinek  CD'  prze- suwa  się  w  dalszym  cią gu  w  kierun ku  osi.  Ostatn ia faza  procesu zaczyna  się  w  chwili, gdy  pu n kt  F  siatki  dojdzie  do  osi  (rys.  18c).  Siatkę   linii  poś lizgu  tworzy  od  tej chwili  pole  jedn orodn ego  stan u  naprę ż enia  C"D"O,  a  pionowy  odcinek  krawę dzi C"D"  przesuwa  się   w  kierun ku  osi  z  prę dkoś cią   v  =   v a ,  a  wię c  równą   prę dkoś ci obu  sztywnych  czę ś ci  prę t a.  Zmniejsza  on  przy  tym  swą   dł ugoś ć.  Tworzą ce  się przy  tym  n owe  odcin ki  krawę dzi  są   prostoliniowe  i  nachylone  wzglę dem  osi  pod ką tem  26C34'.  N a  rysun ku  18d  pokazan o  kształ t  krawę dzi  w  róż nych  stadiach procesu  aż  do  rozdzielenia  obu  czę ś ci  prę ta. Jeż eli  karb  nie  m a  ostrego  zał am ania,  to  prę dkość  pł ynię cia  każ dego  pun ktu je st  okreś lona  jedn ozn aczn ie. A.  J.  WAN G   [18] zbadał  przypadek  karbu  pół kolistego stosują c  analogiczną   jak  w  powyż szych  pracach  m etodę   postę powania,  polegają cą n a  podziale  czasu  przebiegu  cał ego  procesu  T   n a  szereg  krótkich  odcinków  czasu, w  których  prę dkoś ci  m oż na  uważ ać  za  stał e.  N a  rysunku  19  pokazan o  kształ t kra- 5 * 68 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI wę dzi  karbu  w  kilku  fazach  procesu.  W  pracy  [19]  (por.  również  [20])  zbadan o odkształ cenie  kwadratowej  siatki  dla  tego  samego  karbu  (rys.  20).  N ie  m a  tu zjawiska  rozdzielenia  materiał u n a  dnie  karbu,  jakie  charakteryzował o  rozwią zanie z  rys.  17  dla  prę ta  z  ostrym  karbem . E. H .  LE E  i  A.  J.  WAN G   [21] rozwią zali  zagadnienie  przebiegu  procesu  odkształ - cania  prę ta  z  ostrym  karbem  ką towym  oraz  z  karbem  prostoką tn ym  w  odm ienny t= T Rys.  19 sposób  niż  w  pracach  [14]  i  [17].  Rozwią zanie  uzyskan o  ja ko  przejś cie  graniczne od  rozwią zania  dla  karbów  z  zaokrą glonymi  n aroż ami  przy  maleją cym  do  zera promieniu  zaokrą glenia.  Podejś cie  takie  usuwa  niejednoznaczność  kierun ku  pł y- nię cia  w  naroż ach.  W  obu  poprzednich  rozwią zaniach  niejednoznaczność  tę   wyko- rzystano  dla  przyję cia  najdogodniejszego  dla  obliczeń  schem atu  odkształ cenia. Z astosowana  teraz  m etoda  przejś cia  granicznego  daje  w  wyniku  powstan ie  za- Rys.  20 okrą glenia  krawę dzi  w  n arożu  natychm iast  po  rozpoczę ciu  procesu  odkształ can ia. N a  rysunku  21  pokazan o  liniami  cią gł ymi  kształ t  krawę dzi  karbu  ką towego  w  róż- nych  fazach  odkształ cania.  D la  porówn an ia  liniami  przerywanymi  zazn aczon o postacie  krawę dzi  w  tych  samych  chwilach,  otrzym ane  w  poprzedn io  omawianej N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R O Z C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 69 pracy  [14]. W  począ tkowej  fazie  obydwa  rozwią zania  są   bardzo  zbliż one.  Koń cowa faza  procesu  róż ni  się   jed n ak  znacznie.  M om en t  rozdzielenia  obu  czę ś ci  prę ta nastę puje  w  obecnym  rozwią zaniu  póź niej  niż  w  poprzedn im .  P odobn ie  dla  karbu Rys.  21 prostoką tn ego  (rys.  22)  od  razu  tworzy  się   zaokrą glenie  w  n aroż u.  M etoda  roz- wią zania,  polegają ca  n a  traktowan iu  ostrego  zał am ania krawę dzi  jako  granicznego przypadku  n aroża  zaokrą glon ego,  bardziej  odpowiada  warun kom  rzeczywistym, Rys.  22 gdyż  w  praktyce  niemoż liwe  jest  wykonanie  idealnie  ostrego  n aroż a,  odpowiada- ją cego  m atem atyczn ie  poję tej  osobliwoś ci. Wszystkie  powyż sze  rozwią zania  oparto  n a  zał oż eniu,  że  linie  poś lizgu  prze- cinają ce  się   w  ś rodku  najwę ż szego  przekroju  są   liniami  niecią gł oś ci  prę dkoś ci.  Jak 70  WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI już  poprzednio  wspom niano  rozkł ad  prę dkoś ci  jest  niejednoznaczny,  wobec  czego zał oż enie  to  jest  dość  dowolne.  W  rzeczywistych  m etalach  wykazują cych  wzmoc- nienie  pł ynię cie  obejmie  znacznie  wię kszy  obszar.  Jeż eli  bowiem  przyjmiemy,  że pierwszy  poś lizg  nastą pił  wzdł uż  wspomnianej  linii  niecią gł oś ci,  to  m ateriał   ulegnie tu  natychmiast  wzmocnieniu.  N iecią gł ość  prę dkoś ci  przeniesie  się   w  sł abszą   czę ść m ateriał u  na  zewną trz  linii  począ tkowej  itd.  Sł uszność  tego  rozum owan ia  potwier- dzają   doś wiadczalnie  otrzymane  metodą   trawienia  linie  poś lizgu  w  stalowym  prę cie z  karbem  [22]. Tą   samą   metodą   moż na  rozwią zać  zagadnienie  przebiegu  odkształ can ia  przy zał oż eniu  każ dego  innego  niecią gł ego  lub  cią gł ego  pola  prę dkoś ci  speł niają cego warunki  kinematyczne.  Jedn ak jak  się   wydaje,  n ikt  jeszcze  nie  podją ł   takiej  próby. 3.  Pł aski  stan  naprę ż enia Jak  wspomniano  n a  wstę pie,  w  uplastycznionej  czę ś ci  prę ta  panują   warun ki zbliż one  do  pł askiego  stanu  naprę ż enia,  jeż eli  wymiar  b  jest  dużo  mniejszy  od wymiaru  a.  P odobn ie jak  dla  pł askiego  stan u  odkształ cenia  m oż na  posł ugują c  się modelem  ciał a  sprę ż ysto- plastycznego  zbadać  rozchodzenie  się   obszarów  plastycz- nych.  Wyniki  prac  poś wię conych  tem u  zagadnieniu  oraz  ich  doś wiadczalną   wery- fikację   omówimy  w  punkcie  3.1.  Z nacznie  proś ciej  m oż na  wyznaczyć  n oś n ość graniczną   przyjmują c  model  ciał a  sztywno- plastycznego.  Z agadn ien iu  tem u  po- ś wię cono  pun kt  3.2. 3.1.  Rozwią zania  sprę ż ysto- plastyczne. Wyznaczanie  granic  obszarów  plastycznych  po- lega  n a  numerycznym  rozwią zaniu  jednocześ nie  równ ań  dla  obszarów  sprę ż ystych i  plastycznych  [1].  W  tych  ostatnich  warunek  plastycznoś ci  HuBERA- Misesa  m a teraz  postać P ozostał e  równania  są   takie  same,  jak  dla  pł askiego  stan u  odkształ cenia.  ALLE N i  SOU TH WELL  [1]  rozwią zali  przypadek  prę ta  z  pół kolistym i  wycię ciami  i  ostrym karbem  ką towym  o  ką cie  2ct =   90°.  N a  rysunku  23  przedstawion o  kolejne  fazy rozwijania  się   obszarów  plastycznych  w  pł ytce  z  karbem  pół kolistym .  P roces  ten jest  w  koń cowej  fazie  odmienny  niż  dla  tego  samego  kształ tu  karbu  w  warun kach pł askiego  stanu  odkształ cenia.  Poł ą czenie  postę pują cych  z  obu  stron  obszarów plastycznych  nastę puje  teraz  w  ś rodku  najwę ż szego  przekroju,  a  nie  w  znacznej  od niego  odległ oś ci, jak  to  pokazywał   rys.  4.  Wartość  ś redniego  n aprę ż en ia  osiowego w  najwę ż szym  przekroju  w  chwili  ł ą czenia się   obszarów  plastycznych  wynosi  a ym   = l,12crpl.  D la  karbu  ką towego  poł ą czenie obszarów  plastycznych  nastę puje  w  pewnej odległ oś ci  od  najwę ż szego  przekroju.  Wą tpliwoś ci  budzi  jed n ak  otrzym an a  ś rednia wartość  naprę ż eń  osiowych  w  najwę ż szym  przekroju  orym =   l,24crpl,  przewyż szają ca najwię kszą   moż liwą   wartość  o- max =   l,15crpl,  jaką   może  osią gnąć  naprę ż enie  n or- malne  zgodnie  z  powyż szym  warunkiem  plastycznoś ci. W  pracy  [23]  wyznaczono  teoretyczny  przebieg  rozchodzen ia  się   obszarów  plas- tycznych  w  rozcią ganej  cienkiej  pł ytce  osł abionej  symetrycznie  karbam i  szczelino- wymi. N OŚ N OŚĆ  G RANICZNA  ROZCIĄ GANYCH   ELEMENTÓW  Z KARBEM 71 P .  S.  TH EOCARIS  i  E.  M AR KETOS  [24,  25]  uzyskali  doś wiadczalne  potwierdzenie kształ tu  obszarów  plastycznych  i  przebiegu  procesu  ich  rozwijania  się ,  wyznaczo- nych  teoretycznie przez  ALLEN A  i  SOU TH WELLA.  W  obydwu  pracach badan a próbka 1 z karbam i  (rys.  24) wykon an a  był a ze  stali  o wysokiej  granicy  plastycznoś ci,  powyż ej której  krzywa  rozcią gania  przebiega  pł asko  aż  do  odkształ cenia  okoł o  2,5%. M ateriał   ten  m oż na  wię c  w  przybliż eniu  traktować  jako  sprę ż ysto- plastyczny  bez Rys.  23 Rys.  24 wzmocnienia.  D o polerowan ej  powierzchni  próbki  przyklejano  przezroczystą   pł ytkę 2  o  gruboś ci  3  m m  wykon an ą   z  m ateriał u czuł ego  elastooptycznie.  W  czasie  obcią - ż ania  pł ytka  2  dzię ki  m ał em u  moduł owi  Youn ga  cał y  czas  znajduje  się   w  stanie sprę ż ystym,  mim o  tego  że  w  próbce  1 pojawiają   się   obszary  plastyczne.  Obserwują c Rys.  25 pł ytkę   2  w  spolaryzowan ym  ś wietle  m oż na  wyznaczyć  w  każ dej  chwili  panują cy w  niej  stan  odkształ cen ia. Odkształ cenia te  są   oczywiś cie  takie  same jak  w  metalowej próbce,  gdyż  obie  pł ytki  są   sztywno  poł ą czone warstwą   kleju.  N astę pn ie  przyjmują c odpowiednie  zależ noś ci  mię dzy  przyrostam i  odkształ ceń  a  naprę ż eniami  m oż na 72 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI obliczyć  naprę ż enia  i  okreś lić  granicę   obszaru  plastycznego.  N a  rysunku  25  przed- stawiono  otrzymane  w  ten  sposób  [24]  granice  w  róż nych  fazach  rozcią gania  pł ytki z  karbam i  o  takim  samym  kształ cie ja k  na  rys.  23.  Jak  widać,  rozwią zanie  n um e- ryczne  daje  ten  sam  charakter  rozszerzania  się   obszarów  plastycznych,  jaki  otrzy- muje  się   z  badań  doś wiadczalnych.  P odobn a analiza  doś wiadczalna  przeprowadzon a w pracy  [25] dla  karbu  o kształ cie zbliż onym  do  ostrego  ką towego  wycię cia  również wykazuje  dużą   zgodność  obrazu  postę pują cych  granic  sprę ż ysto- plastycznych z  teoretycznymi  wynikami  Allena  i  Southwella. T a  sam a  m etoda  doś wiadczalna  został a  zastosowana  przez  R. T.  AU LT A  i  J.  W. SPRETN AKA  [26]  do  analizy  rozwijania  się   obszarów  plastycznych  w  molybdenowych cienkich  próbkach  osł abionych  karbam i. 3.2.  Rozwią zania  sztywno- plastyczne.  Z  wyż ej  przedstawionych  teoretycznych  roz- wią zań  sprę ż ysto- plastycznych  i  badań  doś wiadczalnych  wynika,  że  poł ą czenie obszarów  plastycznych  nastę puje  w  najwę ż szym  przekroju.  N ależy  wię c  oczekiwać, że  w  przeciwień stwie  do  przypadku  pł askiego  stan u  odkształ cenia  rozwią zania  te powinny  dawać  wyniki  bliskie  rozwią zaniom  sztywno- plastycznym. Oczywiste jest, że w  najwę ż szym  przekroju  obydwa  n aprę ż en ia n orm aln e, zarówn o równoległ e  jak  i  prostopadł e do  osi  prę ta,  są   rozcią gają ce.  Wynika  stą d  wniosek, że  jeż eli  przyjmiemy  warunek  plastycznoś ci  Treski,  przedstawiony  liniami  prze- Rys.  26 rywanymi  na  rys.  26,  to  współ czynnik  zwię kszenia  sił y  granicznej  P  w  stosun ku do  sił y  granicznej  P o   dla  prę ta  bez  karbu  musi  być  równy  jedn oś ci,  a  wię c /   = =   P/ P o   =  1.  Zniszczenie prę ta nastą pi  przez poś lizg  wzdł uż pł aszczyzn nachylonych pod  ką tem  45°  do  obu  powierzchni  blachy. W  przypadku  warunku  H ubera- M isesa,  przedstawionego  elipsą   n a  rys.  26,  n aprę - ż enie  osiowe  może  osią gnąć  maksymalną   wartość  a  =   l,15a vl .  Wynika  stą d,  że współ czynnik  /   może  być  zawarty  jedynie  w  granicach  1  «^ / <  1,15.  D okł adn e wyznaczenie  jego  wartoś ci  moż liwe  jest  w  wielu  przypadkach  przez  rozwią zanie zagadnienia  brzegowego  Cauchy'ego  dla  n aprę ż eń  w  sposób  podobn y  ja k  dla pł askiego  stanu  odkształ cenia.  Jedn akże  jak  wykazał   R.  H I L L  [27]  przy  pewnej konfiguracji  karbu  zniszczenie  prę ta  nastę puje  przez  utworzenie  się   w  najwę ż szym przekroju  lokalnego  pocienienia  blachy,  zwanego  szyjką . W  przypadku  karbu  ką towego  (rys.  27a)  siatkę   charakterystyk  (nie  bę dą cych teraz  liniami  poś lizgu)  wyznacza  się   rozpoczynają c  od  swobodnej  krawę dzi  AB, N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R O Z C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 73 n a  której  zn am y  obydwa  n aprę ż en ia  gł ówne  a 1   =   a pl ,  tf2  =   0.  Współ czynnik  / jest  okreś lony  zależ noś cią / =   p/ p 0   - —= - ( ] / l + 3 a i n » y + 3 o o 8 y ). 21/ 3 Rozwią zanie  to  jest  sł uszne  jedynie  dla  70°32'  <  a  <  90°.  D la  a  =   70°32'  cha- rakterystyka  AD  pokrywa  się   z  prostą   AA',  a  cał a  siatka  charakterystyk  redukuje się   do jednej  charakterystyki  AA'  (rys.  27b).  Współ czynnik /   osią ga  swą   najwię kszą moż liwą   wartoś ć,  / =   2/]/~3  =   1,15.  P lastyczne  pł ynię cie  sprowadza  się  jedynie  do b 7D°32'%071r R ys.  28 T aka  sam a  szyjka  tworzy  się   również  n a  ś rodkowym  odcinku  CC  (rys.  28) w  blachach  osł abionych  karbam i  zaokrą glonymi,  jeż eli  h  >  l, 07lr. Z agadnienie  wyznaczenia  dostatecznej  szerokoś ci  prę ta  w  przekrojach  oddalo- nych  od  karbu  został o  zbadan e  w  pracy  [13]  również  dla  omawianych  tu  cienkich prę tów.  M etoda  jest  analogiczna  do  omówionego  w  p.  2.3  przypadku  pł askiego stan u  odkształ cenia. Wykazan o,  że  dla  karbu  ką towego  zawsze  moż liwe jest  zbudo- wanie  przedł uż enia  pola  n aprę ż eń  w  obszar  sztywny. 74  WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI H .  F O R D   i  G .  LI AN I S  [28]  dla  oceny  dolnej  granicy  noś noś ci  prę ta  z  karbem zastosowali  metodę   budowy  statycznie  dopuszczalnych  pól  naprę ż eń,  podobn ie  jak to  poprzednio  przedstawiono  dla  pł askiego  stanu  odkształ cenia. 4.  Prę ty  o  poś redniej  szerokoś ci W  wielu  rzeczywistych  konstrukcjach  wymiar  2b  prę ta  nie jest  an i  n a  tyle  mał y, aby  powstał   pł aski  stan  naprę ż enia,  ani  dostatecznie  duż y,  aby  wytworzył   się pł aski  stan  odkształ cenia.  Powstaje  wobec  tego  waż ny  problem ,  kiedy  teoretyczne schematy  pł askiego  stanu  naprę ż enia i  pł askiego  stan u  odkształ cenia stanowić  mogą dobre  przybliż enie  rzeczywistych  warunków.  Teoretyczną   próbę   analizy  tego  za- gadnienia  podją ł   D . C.  D R U C K E R  [30]  w  oparciu  o  graniczn e  twierdzenia  teorii plastycznoś ci.  Analiza  taka,  polegają ca  n a  doborze  odpowiednich  pól  kinema- tycznie  lub  statycznie  dopuszczalnych,  może  dać jedyn ie  bardzo  przybliż oną   ocenę wielkoś ci  2b,  niezbę dnej  dla  powstania  stanu  zbliż onego  do  pł askiego  stan u  od- kształ cenia.  Cał kowicie  pewne  informacje  mogą   być  uzyskan e  jedynie  w  sposób doś wiadczalny. W.  Ż U KOWSKI  badał   wpł yw  gruboś ci  2b  n a  noś ność  prę ta  z  ostrym  karbem  ką to- wym.  W  pracy  [11] wykazano,  że  wielkość  sił y  zrywają cej,  odniesionej  do  jedn ostki dł ugoś ci  w  kierunku  wymiaru  2b,  m a  już  praktycznie  stał ą   wartość  dla  b/ h >  4. W  pracy  [10] badan o  zmianę  wielkoś ci  sił y, przy  której  zaczynają   się   duże odkształ - cenia plastyczne  w  zależ noś ci  od  wartoś ci  stosunku  bjh.  R ówn ież  i ta  sił a odniesiona do  jednostki  dł ugoś ci  jest  prawie  stał a  dla  bjh  >  4. W  pracy  [12]  otrzym ano,  że  dla  karbu  z  ł agodn ie  zaokrą glonymi  n aroż ami  już dla  b/ h >  2  wielkość  sił y  jednostkowej  jest  prawie  stał a. 5. Prę ty  o symetrii  obrotowej Jak  wiadom o, rozwią zanie  osiowo- symetrycznego  zagadnienia  teorii  plastycznoś ci cią gle  jeszcze  sprawia  duże  trudnoś ci.  D la  warun ku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa i  stowarzyszonego  z  nim  prawa  pł ynię cia  Levy'ego- M isesa  podstawowy  ukł ad równań  nie jest  typu  hiperbolicznego  [2], wobec  czego  nie  może  być  do jego  rozwią - zania  zastosowana  najbardziej  efektywna  w  teorii  plastycznoś ci  m etoda  charakte- rystyk.  Z agadnienie  bę dzie  jedn ak  typu  hiperbolicznego,  jeż eli  przyją ć  warun ek plastycznoś ci  Treski,  a  pon adto  zał oż yć,  że  stan  n aprę ż en ia  reprezentowany  jest w  przestrzeni  naprę ż eń gł ównych wył ą cznie przez pun kty  leż ą ce  n a jednej  z  krawę dzi sześ cioką tnej  pryzmy  odwzorowują cej  warunek  Treski.  Z ał oż enie to  odpowiada  tak zwanemu  warunkowi  peł nej  plastycznoś ci  H aara- K arm ana i  w  przypadku  osiowo- symetrycznego  zagadnienia  prowadzi  do  rozprzę ż enia  równ ań  dla  n aprę ż eń  i  prę d- koś ci.  P o  wyznaczeniu  naprę ż eń  m oż na obliczyć  obydwie  skł adowe  prę dkoś ci  pł y- nię cia:  promieniową   v r   i  osiową   i'z,  rozwią zując  ukł ad  skł adają cy  się   z  warun ku izotropii  i  warun ku  nieś ciś liwoś ci.  R.  T.  SH IELD   [31]  wykazał ,  że  charakterystyki dla  prę dkoś ci  pokrywają   się   z  charakterystykam i  dla  naprę ż eń,  podobn ie  jak w  pł askich  zagadnieniach  teorii  plastycznoś ci. N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R OZ C I Ą G AN YCH   ELEM EN TÓW  Z  KARBEM 75 o? ^ - — • / 2k _ -   1 8 1, 55 \  1 ,5 2 R ys.  29 W  pracy  [31]  SH IELD   po dał   rozwią zanie  problem u  wciskania  osiowo- symetrycz- nego  sztywnego  stem pla  w  pół przestrzeń  z  m ateriał u  idealnie  plastycznego.  Roz- wią zanie  to  po  zmianie  zn aków  n aprę ż eń jest  oczywiś cie  również  rozwią zaniem  dla F=PĄ 3,0 2 , 6 2 , 2 1 , 8 % A 1 , 0 °  Punkty  obliczone *  Punkty doś wiadczalne 30°  60° Rys. 30 so"  a rozcią ganego  osiowo- symetrycznego  prę ta  z  karbem  szczelinowym.  Wyznaczone został o  przedł uż enie  pola  n aprę ż eń  w  obszar  sztywny,  pozwalają ce  okreś lić  nie- zbę dną   ś rednicę   czę ś ci  chwytowych  prę ta  oraz  rozwią zanie  dla  prę dkoś ci  pł ynię cia m ateriał u. 76  WOJC I E C H   SZ C Z EP I Ń SKI W  pracy  [32]  podan o  przy  tych  samych  zał oż eniach ja k  w  [31]  rozwią zania  dla karbu  ką towego  o  róż nych  ką tach  oraz  dla  karbów  z  dnem  zaokrą glonym.  N a rysunku  29  pokazan o  siatkę   charakterystyk,  stanowią cych  jednocześ nie  linie  po- ś lizgu  dla  karbu  ką towego  o  ką cie  a  =   60°.  Otrzym ano ją   przez  kolejne  rozwią zy- wanie  zagadnień  brzegowych  dla  równań  róż niczkowych  charakterystyk.  W  przeci- wień stwie  do  pł askiego  stanu  odkształ cenia  zewnę trzna  linia  poś lizgu  BCDE  nie może  być  teraz  linią   niecią gł oś ci  prę dkoś ci.  Linia  cią gła  n a  rys.  30  pokazuje,  ja k zmienia  się   współ czynnik noś noś ci f teot   w  zależ noś ci  od  ką ta  a  karbu.  Linią   przery- waną   przedstawiono  wyniki  weryfikacji  doś wiadczalnej  n a  prę tach  z  mię kkiego aluminium.  W  omawianej  pracy  przeprowadzono  również  doś wiadczalną   analizę wpł ywu  ś rednicy  czę ś ci  chwytowych  prę ta  na jego  n oś n oś ć. Jest  godne  podkreś len ia, że  współ czynnik  noś noś ci  obliczony  w  opisany  sposób  dla  prę tów  osiowo- symet- rycznych  niewiele  róż ni  się   od  współ czynnika  dla  prę tów,  w  których  m am y  pł aski stan  odkształ cenia, jeż eli  kształ t  karbu  jest  taki  sam . Wymienimy  tu  jeszcze  pracę   E.  LEVIN A  [33],  w  której  po dan o  kinem atycznie dopuszczalne  pole  prę dkoś ci  dla  zagadnienia  wciskania  walcowego  stem pla.  P ole to  pozwala  ocenić  od  góry  noś ność  granicz ną   prę ta  z  karbem  szczelinowym.  Ocena ta  daje  wartość  / =   2,92  wobec  wartoś ci  / =   2,85  otrzymanej  przez  Ś H IELDA  [31]. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  D . N .  ALLEN   and  R.  SOU TH WELL,  Relaxation  methods  applied  to  engineering problems.  XI V. Plastic  straining in  two- dimensional  stress- system, P hil.  T ran s.  R oy.  S o c ,  A,  N o .  850,  242  (1950), 379- 414. 2.  R.  H I L L ,  T he  mathematical  theory  of  plasticity,  Oxford  1956. 3.  D .  JU R I SI S,  T wo- dimensional elastic- plastic stress  and  strain  analysis,  I n st.  M et .  K on st r, , U nivers.  Lubljana,  R ep.  P- 1698. 4.  B.  C .  JKyKOBCKHft,  PacnpedeAemte  detfiopjiiaifuu  u  uanpimceHuu  e  ruiocmix  nadpesamiux cmepoiamx  e  canni  c  oSzeMiiocmio  HanpnoicemoBo  cocmonHun>  AH   C C C P ,  IIpo6jieMM   npo^HOCTH B  MauiHHOCTpoeHHHj  Bfein.  2,  M O C K B S  1959. 5.  J. A.  JACOBS,  Relaxation  methods  applied  to  problems  of  plastic  flow.  I .  N otched  bai  under tension, P h il.  M ag.,  41  (1950),  349- 361. 6.  A.  H .  S.  AN G   an d  G . N .  H AR P E R ,  Analysis  of  contained plastic  flow  in  plane  solids,  P ro c. ASCE,  J.  E n g.  M ech.  D ivision,  30  (1964),  n o .  E M 5,  397^- 18. 7.  R.  H I L L ,  T he plastic  yielding  of  notched bars  wider  tension,  Q u art .  J .  M ech.  Appl.  M at h ., 2  (1949),  40. 8.  F . A.  M C C LI N TOC K,  On  notch sensitivity,  Welding  Journ al  R esearch  Suplem en t,  M ay  1961. 9.  F .  H .  BblKOBI^EB,  O  nose  cicopocmeu  npu  edatnueaHuu nnocKoio  utmajuna  e  n/ iactnuuecKoe nojiynpocmpaucmeo,  25(1961),  552- 553. 10.  B.  C .  ISKyKOBCKHilj  O  Koetfxfnmuemne ycmemin  u  xapamnepe  paenpoempauemtn  njiacmu- ueciaix  3OH  e  Habpemimux  cmepoicunx,  H 3B.  AH   C C C P ,  O T H ,  Ns  5,  1958,  116- 119. 11.  B.  C .  JKYKOBCKKM,  JJeifiopMupoeaHHoe coanonuue  u  npouHocmb  nnoaiux  Hadpesaunux anepOKiieu  npouuojibnou moAią umi,  Pac^eTM   Ha  npo^HOCTbj  B a n .  9,  M a n ir n 3,  M o c r a a  1963, 231- 252. 12.  W.  SZ CZ EP IŃ SKI,  J.  M IASTKOWSKI,  Doś wiadczalna  analiza  noś noś ci  granicznej  rozcią ganych pł askich  prę tów  z  karbem,  R ozpr.  Inż yn.,  13  (1965),  637- 652. 13.  J. F . W.  BI SH O P ,  On  the  complete  solution  to  problems  of  deformation  of  a  plastic- rigid material, J.  M ech.  P hys.  Solids,  2  (1953),  43- 53. 14.  E. H .  LEE, Plastic flow  in a  V- notched bar pulled in tension, J. Appl.  M ech.,  19  (1952),  331- 336. N OŚ N OŚĆ  GRANICZNA  ROZCIĄ GANYCH   ELEMENTÓW  Z   KARBEM   77 15.  M . E.  M ERCH AN T, Mechanics of the  metal cutting process.  I. Orthogonal cutting and a type 2 chip, J. Appl.  Phys., 16 (1945), 273. 16.  R. H I L L , E. H .  LEE  and  S. J.  TU PPER,  T he theory of wedge  indentation  of ductile  materials, P roc.  Roy.  Soc. of London,  A, 188  (1947), 273- 289. 17.  E. H .  LEE,  Plastic flow  in a rectangularly notched bar subjected  to  tension, J. Appl.  Mech,. 21  (1954),  140- 146. 18.  A. J.  WAN G ,  Plastic flow  in a deeply  notched bar  with semi- circular  root,  Q. Appl.  Math., 11  (1954), 427- 438. 19.  L.  G AR R ,  E. H .  LEE, A. J.  WAN G ,  T he  pattern  of plastic deformation  in a deeply notched bar with  semicircular roots, J. Appl.  Mech.,  23 (1956), 56- 58. 20.  W.  PRAG ER,  Probleme  der  Piastizitatstheorie,  Birkhauser  VerL,  Basel  und  Stuttgart  1955. 21.  E. H .  LEE,  A. J.  WAN G ,  Plastic flow  in deeply notched bars with sharp internal  angles,  Proc. 2nd  U .S. N at.  Congr. Appl.  M ech.,  1954,  489- 497. 22.  B. B.  H U N D Y,  Plane plasticity,  M etallurgia,  M arch  1954,  109- 118. 23.  L. D .  STIMPSON  and D .  EATON ,  T he extent of elasto- plastic  yielding at  the crack point of  an externally  notched plane  stress tensile specimen,  AR L 24, Office  of Aerospace Research, July 1963. 24.  P . S. TH EOCARIS, Experimantal solution of elastic- plastic plane stress problems,  J. Appl. Mech., 19  (1962), 735- 743. 25.  P . S.  THEOCARIS  and  E.  MARKETOS,  Elastic- plastic strain  and stress  distribution in  notched plates  under  plane  stress, J. M ech.  P hys.  Solids, 11 (1963), 411- 428. 26.  R. T.  AU LT  and  J. W.  SPRETN AK,  Initial yielding  and  fracture  in notched sheet  molybdenum, I n t.  J.  Mech.  Soi., 7  (1965),  87- 102. 27.  R. H I L L ,  On  discontinuous plastic  stales,  with  special  reference  to localized necking in thin shells, J. Mech.  P hys.  Solids, 1  (1952),  19- 30. 28.  H . F OR D , G . LIAN IS, Plastic yielding of notched strips under conditions  of plane stress,  ZAMP, 8  (1957),  360- 382. 29.  W.  PRAG ER,  P . G .  H OD G E,  T heory of perfectly plastic solids,  J. Wiley  Inc.,  New York 1951, 215- 216. 30.  D . C.  D RU CKER,  On  obtaining plane  strain  or plane  stress conditions in plasticity,  Proc. 2nd U .S.  N at. Congr.  Appl.  M ech.,  1954,  485- 488. 31.  R. T.  SH IELD ,  On  the plastic flow  of metals  under conditions of axial symmetry,  Proc. Roy. Soc.,  233 A,  N o . 1193  (1955),  267- 287. 32.  W.  SZCZEPIN SKI,  L.  D IETRICH ,  E.  DRESCHEROWA,  J.  MIASTOWSKI,  Plastyczne  pł ynię cie osiowo- symetrycznych rozcią ganych prę tów z  karbem,  (w  przygotowaniu). 33.  E. LEVIN ,  Indentation pressure of a  smooth  circular punch, Quart. Appl.  M ath.,  13  (1955), 133- 137. P  e  3  m  M e OB3OP  P ABOT,  KACAIOUI,HXCiI  H E C yilJE H  CITOCOEH OCTH   CTEP>KHEfi: C  BBI P E 3OM , nOABEP>KEH H BIX  PACTJD KEH H K) 06cy>KAaioTCH   ocH OBH we  T eopem raecK iie  ii  3KcnepiiMeH TajiBH Bie  paSoTbi,  KacaiomH ecH   n jiac- TiM ecKn x  sedwpM aiTH H   u  H ecym eii  CIIOCO6H OCTH   CTepjKHeft  c  Bbipe3OM 3  noflBep>iKeHHM.  flim  c i e p m i e H   S o ji t m o r o  pa3M epa  26  ( p n c .  1 ) , B  KOTOphix  c ym e c sye r  cocTOHHne 6jiH 3Koe  rmocKOiuy  fleibopM H poBainiOM y  C OC TOH H H W,  o6cy>KflaiOTCH   nocjieflOBaiejiBH O:  yn p yr o - njtacTiraecKH e  H   ^ ec T K O n jiac n wec K H e  p e m e n n H ,  BJiiM H iie  n in pH iibij  crep>KHH]  BHe  BŁ ipe3a, a  TaK>iKHH. B  cn y^iae  I M O C K H X  rmacTHHOK  c  Bbipe3amH j  noflBepH- ceHHWx  pacTH>iKHeH   npOMOKyTOHHOH   niH pH H bl  26.  ITpHBOflHTCH   TaKHCe  aKTyajIBHOe  COCTOKHHe  TeOpHH crepn cH eft  c  Bt ip e30M . 78  WOJC I E C H   SZ C Z EP IŃ SKI S u m m a r y A  SU RVEY  O F  PAPERS  D EALIN G  WITH   TH E PROBLEM OF   N OTCH ED   BARS  P U LLED   I N   TEN SION Presented  is  a  survey  of  theoretical  and  experimental papers  dealing  with  the  plastic  behaviour of  notched bars  pulled  in  tension.  F or  plain  strain  bars  discussed  are:  elastic- plastic  and  rigid- plastic  solutions,  the  influence  of  the  width  of  the  bar  outside  the  notch  and  an  analysis  of  the deformation  process  until  the  moment  of  collapse.  F or  plain  stress  bars,  also  elastic- plastic  and rigid- plastic  approach  is  described.  The  survey  includes  the  problem  of  bars  with  intermediate width.  Finally,  the  present  state  of  the  theory  of  axially  symmetric  bars  is  briefly  discussed. ZAKŁAD   M EC H AN IKI  OŚ R OD KÓW  CIĄ G ŁYCH IN STYTU TU   P OD STAWOWYCH   P R OBLE M ÓW T E C H N I K I  P AN Praca został a zł oż ona w  Redakcji  dnia  25  kwietnia  1965  r.