Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS65\MTS65_t3z3\mts65_t3_z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  3  (1965) P OWI ER Z C H N I OWE  KON STRU KCJE  PRĘ TOWE WITOLD   G U T K O W S K I  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Celem  niniejszej  pracy  jest  rozszerzenie  zastosowania  rachun ku  róż nicowego  do badań  analitycznych  n ad  regularnym i,  powierzchniowymi  ukł adam i  prę towymi. W  rozważ aniach  ogran iczon o się  jedynie  do analizy  statycznej, jakkolwiek wię kszość zależ noś ci  podan ych  w  niniejszej  pracy  m oż na  zastosować  do  zagadnień  dynamicz- nych. P odstawą   analizy  jest  geom etria  róż nicowa  powierzchniowej  siatki  punktów, której  podstawy  został y  podan e  przez  autora  w  pracy  [25]. P owierzchniowe  kon strukcje  prę towe  w  postaci  rusztów,  przekryć  walcowych  lub kulistych  zaczę to  stosować  w  poł owie  dziewię tnastego  wieku,  jedn akże  ze  wzglę du n a  poważ ne  trudn oś ci  w  technice  obliczeniowej  oraz  w  wykonaniu  konstrukcji metalowych  z  elementów  powtarzaln ych  zaczę to  je  stosować  na  wię kszą   skalę dopiero  w  latach  czterdziestych  naszego  stulecia. Teoretyczne  wyznaczanie  sił   i  przemieszczeń  w  tego  typu  konstrukcjach  (są   to konstrukcje  kratowe,  ram owe  i mieszane) nie przedstawia  merytorycznych trudnoś ci. Literatura  n a  ten  tem at jest  bardzo  obszern a;  istnieje  wiele  monografii  dotyczą cych tego  zagadnienia,  mię dzy  innym i  i  w  ję zyku  polskim  [6,  9,  27,  32,  45].  O  wiele uboż sza  jest  literatura  traktują ca  o  ram ach  w  zakresie  plastycznym,  ale  i  temu zagadnieniu  poś wię cone  są   n iektóre monografie, jak  n p . ksią ż ka  P . G .  H OD G E 'A [26]. Omawiane  kon strukcje  charakteryzuje  duża  liczba  prę tów  i  wę zł ów,  się gają ca setek,  a  nawet  tysię cy  w  jedn ym  ukł adzie.  F akt  ten  powoduje,  że  podstawowym problem em  staje  się   tech n ika  obliczeniowa,  n atom iast  n a  dalszy  plan  odsuwa  się analizę   teoretyczną   zagadnienia,  polegają cą   n a  badan iu  zależ noś ci  pomię dzy  sił ami wewnę trznymi  a  param etram i kształ tu. N iekiedy  nawet  rezygnuje  się   z  opracowania m etody  obliczeniowej,  a  przeprowadza  się   jedynie  badan ia  doś wiadczalne,  jak miał o  to  miejsce  z  dobrze  zn an ym i  n a  terenie  U SA  konstrukcjami  typu  «U nistrut» [18].  Wspom n ian e  trudn oś ci  sprawił y,  że  badan ia  n ad  konstrukcjami  prę towymi szł y  w  kierunku  pewnych  zał oż eń  upraszczają cych. Pierwsze  teoretyczne  rozważ an ia  n ad  powierzchniowymi  konstrukcjami  prę to- wymi  należy  wedł ug  S. P .  TIM OSH EN KI  [40]  przypisać  A.  F ÓP P LOWI  [17],  który w  r.  1892  podał   statyczną   analizę   walcowego  pokrycia  prę towego  z  wykrzyż owa- n iam i  (póź niej  zwanego  w  literaturze  przekryciem  typu  F oppla). Rozważ ania  swoje oparł   on  n a  zał oż eniach, że  przekrycie  jest  kratowe,  a  wię c  że  prę ty  poł ą czone są mię dzy  sobą   przegubam i  kulistymi.  Przy  takim  zał oż eniu rozwią zanie  sprowadzał o 80  WI T O LD   G U TKOWSKI się   do  rozkł adu  konstrukcji  n a  szereg  pł askich  kratown ic  obcią ż onych  w  swoich pł aszczyznach.  Schemat  statyczny  przyję ty  przez  F oppla  daleko  jedn ak  odbiega  od rzeczywistoś ci,  gdyż  sztywne  wę zły  ukł adu  mają   znaczny  wpł yw  n a  wartoś ci  sił w  prę tach. Z ał oż enia F oppla uś ciś lili  dopiero  w latach  pię ć dziesią tych  I. G . P O P Ó W [34]  i  W. A.  JERIAG IN A  [16] przyjmują c,  że  wę zły  pomię dzy  prę tami  leż ą cymi  n a ł ukach  są   sztywne.  Ich uproszczenia  obliczeniowe  polegał y  n a  grupowan iu  niewia- domych,  a  wię c  redukowaniu  liczby  równ ań  i  niewiadomych. Poza  wyż ej  wymienionymi  autoram i  dość  liczna  grupa  osób  zajmował a  się zagadnieniami  kopuł   ramowych,  rusztów,  regularnych  ram it p .  Z grupy  tej  należy wymienić  przede  wszystkim  prace  [7,  11,  36,  37,  38,  41, 43].  Obejmował y  one zagadnienia  statyki,  statecznoś ci  i  dynamiki  kopuł   ramowych  i  rusztów  przy  takich znacznie  upraszczają cych  analizę   zał oż eniach, ja k  pominię cie  sztywnoś ci  na roz- cią ganie,  sztywnoś ci  skrę cania  itp.  N awet  przy  takich  zał oż eniach badan ia  sprowa- dzał y  się   gł ównie  do  szukania  uproszczeń  w  rozwią zywaniu  ukł adów  równ ań . Treść  tych  prac  wykazuje  dobitnie, ja k  komplikuje  się   zagadnienie  wobec  braku odpowiedniego  zapisu  geometrii  i  konstrukcji. Z  chwilą   szerszego  zastosowania  elektronowych  maszyn  liczą cych  rozpowszech- nił y  się  metody  oparte n a rachunku macierzowym,  który  jest  najkorzystniejszy  przy programowaniu.  M etody  te  doczekał y  się   również  wnikliwych  opracowań ,  mię dzy innymi  przez  J. H .  ARG YRYSA  [1],  S.  O.  ASP LU N D A  [2]  czy  W.  D .  SZ AJKOWICZ A [39].  M etody  te  są   dogodne  przy  stosowaniu  maszyn  liczą cych,  niemniej  jedn ak mają   poważ ną   wadę   polegają cą   na  tym, że  uniemoż liwiają   w  znacznym  stopniu analizę   teoretyczną   konstrukcji. D alsza  metoda  polega  n a  zastę powaniu  regularnej  kon strukcji  prę towej  odpo- wiednią   konstrukcją   cią głą   (pł yty,  powł oki).  Sposób  taki  umoż liwia  korzystan ie z  gotowych,  czę sto  zamknię tych  wzorów.  M etoda t a  m a jedn ak  tę  wadę ,  że t ru dn o jest  ustalić  sztywność  zastę pczej  konstrukcji,  co powoduje,  że wyniki  stosowania  jej są   czę sto  problematyczne.  Przykł adem  zastosowania  tej  m etody  może  być  praca F .  LADERERA  [28]. N a  osobną   uwagę   zasł uguje  praca  C z.  WOŹ N IAKA  [47],  który  zapropon ował ciekawą   teorię  oś rodków  wł óknistych. Jakkolwiek  teoria ta dotyczy  oś rodka  cią gł ego, a  nie  dyskretnego,  to  w  przypadku  nieduż ych  wymiarów  «oczek»  siatki  (w po- równaniu  z  wymiarami  cał ej  konstrukcji)  może  dać zadowalają ce  wyniki. W  niniejszej  pracy  zastosowano  metodę   badan ia  powierzchniowych  konstrukcji prę towych  w  oparciu  o  rachun ek  róż nicowy. Pierwsze  uję cie  zagadnienia  statyki  konstrukcji  w  zapisie  róż nicowym  należy przypisać  K.  CLAPEYRON OWI  [10], który  rozpatrują c  belkę   n a  wielu  równ o  od- dalonych  podporach  wyprowadził   znane  równanie  trzech  m om en tów.  Szybki postę p  techniki  sprawił ,  że  zastosowanie  rach un ku  róż nic  poważ nie  rozwinę ło się   na  począ tku  XX  wieku,  w  szczególnoś ci  w] pracach  uczonych  niemieckich. Poniż ej  ograniczymy  się  jedynie  do wymienienia  waż niejszych  prac,  które  wniosł y nowe  elementy  do  tej  dziedziny. Jednym z pierwszych,  który  zastosował  rachun ek róż nic do zł oż onych  konstrukcji prę towych,  był  L.  M AN N   [30].  P odał   on rozwią zanie  pł askiej  ram y  typu  Vierendeel POWIERZCH N IOWE  KONSTRUKCJE  PRĘ TOWE  81 oraz  zbadał   powtarzaln y  element  konstrukcji  i  ze  wzglę du  n a jego  skoń czone  roz- m iary  podał   wszystkie  równ an ia  w  zapisie  róż nicowym.  P raca  zawiera  rozwią zania tych  równ ań  w  zakresie  statyki  i  statecznoś ci  dla  szeregu  rodzajów  obcią ż eń. R.  M ISES  i  J.  RATZERSD ORF ER  [31]  w  r.  1925  podali  teorię   statecznoś ci  pł askiego sł upa  kratowego  zł oż onego  z  jedn akowych  trójką tów.  Rozwią zania  zawarte  w  tej pracy  oparte  są   n a  rach un ku  róż nicowym,  a  otrzym an e  wyniki  uzależ nione  są   od liczby  segmentów  w  sł upie. N a  szczególną   uwagę   zasł uguje  ksią ż ka  F .  BLEICH A  i  E,  M ELAN A  [5]  wydana w  r.  1926  i  skł adają ca  się   z  dwóch  zasadniczych  czę ś ci.  Pierwsza  z  nich  zawiera teorię   róż nic,  sum  i  równ ań  róż nicowych  zwyczajnych,  liniowych  o  stał ych i  zmien- nych  współ czynnikach.  W  ram ach  teorii  równ ań  róż nicowych  poruszone  są   takie zagadnienia,  jak  transform acje  Laplace'a  oraz  obliczanie  równań  róż nicowych  za pom ocą   funkcji  wł aś ciwych.  Ostatn ie  rozdział y  pierwszej  czę ś ci  zawierają   szereg uwag  dotyczą cych  równ ań  róż nicowych  czą stkowych.  D ruga  czę ść  ksią ż ki  obej- muje  szereg  ciekawych  przykł adów  praktycznego  zastosowania  teorii  wył oż onej w  czę ś ci  pierwszej.  W  aspekcie  niniejszej  pracy  n a  uwagę   zasł ugują   zwł aszcza  za- gadnienia  pł askich  i  walcowych  rusztów  oraz  pł askich  tarcz  ramowych,  które autorzy  rozwią zują   za  pom ocą   równ ań  róż nicowych. Z agadnienie  te  są   stosunkowo proste,  ponieważ  rozpatrzon o  je  przy  pominię ciu  podatn oś ci  osiowej  i  sztywnoś ci skrę cania.  Jedyn ym  brakiem  omawianej  ksią ż ki  jest  zbyt powierzchowne  potrakto- wanie  problem u  warun ków  brzegowych.  N iemniej  jedn ak  stanowi  ona  do  dziś niezwykle  cenną   pozycję .  F . BLEI C H   opublikował   pon adto  szereg  prac  przyczyniają c się   do  dalszego  rozwoju  zastosowań  rach un ku  róż nicowego  w  statyce  budowli. N ależy  wspom nieć  tu  choć by  jego  pracę   n a  tem at  statecznoś ci  belki  podpartej  n a podporach  sprę ż ystych  [4]. W  ostatn ich  latach  niezwykle  szybko  rozwinę ło  się   budownictwo  metalowe z  elementów  powtarzaln ych.  Szereg  przykł adów  takich  konstrukcji  podaje  w  swych pracach  Z .  M AK O WSK I  [29].  D uże  zapotrzebowanie  na  tego  rodzaju  konstrukcje spowodował o,  że  zaczę to  pon own ie  zajmować  się   szerzej  stosowaniem  rachun ku róż nicowego.  P rzede  wszystkim  należy  wymienić  t u  ksią ż kę   W. A.  BOWIN A  [8] i  prace  D . L.  D E AN 'A  [12,  13,  14,  15]. W.  A.  BO WI N   W swojej  ksią ż ce  pierwszy  wpro- wadził   rach un ek  róż nicowy  do  zagadnień  wariacyjnych  w  mechanice  budowli. P odaje  on  przy  tym  szereg  oryginalnych  przykł adów  z  zakresu  dynamiki  i  sta- tecznoś ci  kon strukcji. D .  L.  D E AN   W swej  wcześ niejszej  pracy  [12]  podał   rozwią zanie  stoż kowej  siatki prę towej  obcią ż on ej. osiowo- symetrycznie,  ja k  i  szereg  innych  regularnych  kon- strukcji  powierzchniowych.  W  póź niejszej  pracy  podał   on  interesują ce  rozwią zania róż n ego  rodzaju  siatek  cię gnowych  mają cych  zastosowanie  w  konstrukcjach  wi- szą cych.  We  wszystkich  swych  pracach  autor  posł uguje  się   rachunkiem  róż nicowym wprowadzają c  czł ony  obrazują ce  obcią ż enia  w  postaci  delty  Kroneckera. W  latach  1959- 60  I.  BABU Ś KA  i  E.  YITASEK  [3,  42]  zaproponowali  —  w  oparciu o  teorię   dystrybucji  —  transformację   F ouriera  w  zastosowaniu  do  równ ań  róż ni- cowych.  N a  zakoń czenie  swych  prac  podali  on i  proste  przykł ady  rusztów  i  siatek prę towych. 6 Mechanika  teoretyczna 82 WITOLD   G U TKOWSKI W  Polsce  stosowanie  rachun ku  róż nicowego  w  mechanice  budowli  ma  swój począ tek  w  pracy  W.  WIERZBICKIEG O  [45].  Autor  rozważ ył   w  niej  ugię cie  szeregu prę tów  sztywno  ze  sobą   zł ą czonych  w  wę zł ach  i  leż ą cych  w  jednej  pł aszczyź nie. W.  N OWAC KI  podał   w  swej  ksią ż ce  rozwią zania  szeregu  jedn o-   i  dwuwymiarowych zagadnień  statyki  budowli  takich  jak  belka  na  sprę ż ystych  podporach  czy  ruszty regularne.  Osobną   grupę   zagadnień  stanowią   publikacje  autora  niniejszej  pracy. Obejmują   one  takie  zagadnienia, jak  stateczność  pryzmatycznych  powł ok  ram owo- kratowych  przy  róż nych  konfiguracjach  prę tów  [19,  21],  stateczność  sł upów  krato- wych  [20], statykę   przestrzennych  rusztów  kratowych  [22].  Ostatn ie  prace  obejmują już  elementy geometrii  róż nicowej  wykorzystanej  w  dalszych  rozdział ach  niniejszego opracowania  [23,  24,  25]. Jak już  wspomniano, powyż szy  przeglą d  nie jest  peł nym odzwierciedleniem  litera- tury  dotyczą cej  omawianego  tem atu. W  szczególnoś ci  nie  omówiliś my  tu  prac  typu konstrukcyjnego.  N ie  omówiliś my  również  szeregu  prac  nie  wnoszą cych  w  zasadzie nic  nowego  do  zastosowań  rachun ku  róż nicowego  w  mechanice  budowli. Rys.  1 Wymienione  prace, w  których  zastosowano  rach un ek  róż nic,  wskazują   wyraź nie n a  korzyś ci  wynikają ce  z jego  zastosowania.  Korzyś ci  te przede wszystkiem  polegają n a  zwartoś ci  zapisu,  co  daje  w  konsekwencji: —  moż liwoś ci  uproszczonych,  a  wię c  i  tań szych  obliczeń  numerycznych  zarówn o «rę cznych»  jak  i  maszynowych; —  moż liwoś ci  analizy  jakoś ciowej  i  iloś ciowej  poszczególnych  ukł adów. D latego  też  poniż ej  podję to  próbę   uję cia  regularnych,  prę towych  konstrukcji powierzchniowych  wspólnym  zapisem  z  moż liwoś cią   przechodzenia  w  granicy  do przypadków  szczególnych,  takich  ja k  powł oki  walcowe,  ruszty,  tarcze  itp. Ogólnie  rzecz  biorą c  liczba  rodzajów  siatek  prę towych jest  nieograniczona,  a  my bę dziemy  rozpatrywać  jedną   z  nich  podan ą   n a  rys.  1,  niemniej  jedn ak  m etoda poniż sza  mogł aby  być  z  powodzeniem  zastosowan a  i  do  innych  siatek  prę tów, n a  przykł ad  trójką tnych  czy  sześ cioką tnych. POWIERZCH N IOWE  KONSTRUKCJE  PRĘ TOWE  83 2.  Zał oż enia  i  oznaczenia Przez  «powierzchniową   konstrukcję   prę tową»  bę dziemy  rozumieli  ramę   lub kratę   o  prę tach  prostych,  której  wę zły  leżą   na  dowolnej  powierzchni.  U kł ady  o  co najmniej  jednej  krzywiź nie  róż nej  od  zera  nazwano  czę sto  powł okami  przez  ana- logię   do  powł ok  w  zrozumieniu  klasycznym.  D latego  też  przyję to  z  teorii  powł ok [33,  46]  takie  poję cia,  ja k  wycinek  powł oki,  grubość  powł oki,  powierzchnia  ś rod- kowa  itp. W  pracy  niniejszej  bę dziemy  rozpatrywać  jedynie  konstrukcje  przy  nastę - pują cych  zał oż eniach: a)  przemieszczenia  wę zł ów  są   mał e  w  stosunku  do  wymiarów  poprzecznych prę tów,  a  odkształ cenia  tych  ostatnich  mieszczą   się   w  ramach  prawa  H ooke'a, b)  obcią ż enia  zewnę trzne  nie  zmieniają   się   an i  co  do  wartoś ci,  ani co  do  kierunku wskutek  odkształ ceń  konstrukcji, c)  prę ty  są   proste,  pryzmatyczne  i  mają   skoń czone  sztywnoś ci  rozcią gania, zginania  i  skrę cania  oraz  nieskoń czoną   sztywność  ś cinania  (hipoteza  pł askich przekrojów), d)  prę ty  spotykają ce  się  w jedn ym  wę ź le oddział y wuja  n a siebie dowolnym  wekto- rem  sił y  i  dowolnym  wektorem  m om entu. e)  prę ty  w  siatce  są   tak  umieszczone,  że  ich  osie  geometryczne  przecinają   się w  geometrycznych  wę zł ach  siatki.  Kierunki  gł ównych  osi  bezwł adnoś ci  przekrojów prę tów  pokrywają   się   z  kierunkam i  stycznej  i  normalnej  do  siatki  w  punkcie  bę - dą cym  geometrycznym  ś rodkiem  prę ta, Zapis  rach un ku  róż nicowego  przyję liś my  wedł ug  róż nic  centralnych  stosują c oznaczenia A  r  \   /   ,  dx\   I  Ax\Au(x)  =  u\ xĄ - - j] (2.1) oraz A u (x)  =   v (x),  Sv (x) =  u(x)+a, (2.2)  Vv (x)  =   u (x),  Ś u (x) =  v(x)+r, Av(x)  =   Vw(x),  Su(x)  =   v(x)- \ - ct, gdzie (2.3)  a(x+w)  =   a{x),  r(x+co) =  —r(x). W  cał ej  pracy  wprowadziliś my  nastę pują ce  podstawowe oznaczenia: n,  m —  liczby  naturalne, a,  /? —•  liczby  cał kowite,  współ rzę dne  zbioru, A x w  — w  \ —w  i,  A  i  w =   ± 84 WI TOLD   G U TKOWSKI hi,  h t   odległ oś ci  pomię dzy  dwoma  są siednimi  pun ktam i  siatki  przy  usta- lonym  jednym  argumencie, t, i, n,  wzajemnie  prostopadł e wektory  jedn ostkowe, Rx, iJ 2  promienie  krzywizny, Ai,  A % ,  B±,   - Ba  współ czynniki  form  kwadratowych, Xi>  Xa  ką ty  ś rodkowe  w  koł ach  krzywiznowych, u,v,  w  skł adowe  wektora  przemieszczenia, E 2 ,  COL w2, # j , # 2  odkształ cenia  liniowe  siatki, h  " i  " a ^ j -   V/ 1G ! 2+ = o, 88  WITOLD   G U TKOWSKI R ównania  (3.13)  i  (3.18)  stanowią   ukł ad  równ ań  równowagi  rozpatrywan ego elementu.  U kł ad  ten  zawiera  sześć  niewiadomych  sił   i  sześć  niewiadomych  m o- mentów  wewnę trznych,  a  wię c  o  dwie  niewiadome  wię cej  niż  m a  analogiczny  ukł ad równ ań  nieskoń czenie  mał ego  wycinka  cienkiej  powł oki  i  tyle  samo  co  element oś rodka  wł óknistego  [47].  Róż nica  polega  n a  tym ,  że  w  klasycznej  teorii  powł ok nie  wystę pują   m om enty  o  wektorach  mają cych  kierunek  n orm aln ej.  P oza  tym powyż sze  równ an ia  przy  przejś ciu  do  granicy  z  wielkoś ciami  h x   i  h 2   przechodzą w  równanie  równowagi  wspomnianej,  klasycznej  teorii  powł ok,  oczywiś cie  p o  od- rzuceniu  momentów  dział ają cych  w  kierunku  n orm aln ej.  Z badajm y  przykł adowo przejś cie  do  granicy  równania  równowagi  rzutów  sił   n a  oś  t,  pam ię tają c,  że  sił y w  równaniach  klasycznej  teorii  powł ok  odniesione  są   do  jedn ostki  dł ugoś ci. Przyjmują c  oznaczenia  W.  W.  N OWOŻ YŁOWA  [33]  mamy N x   =  T x A 2 da % ,  Q x   =   N x A z da 2 ,  N 2   =   T % A x da x , T 2   są   T 2X A x da x ,  P,  =   q x A x A 2 da x da % , a  po  uwzglę dnieniu  powyż szych  uwag  otrzymamy 2 T X   8A,  SA X T ,A  N x   __ co pokrywa  się  z odpowiednim  równaniem klasycznej  teorii powł ok  obrotowych  [33]. 4.  Zwią zki  pomię dzy  sił ami  i  momentami wewnę trznymi  a odkształ ceniami i  przemieszczeniami  powierzchni  ś rodkowej Jak  już  wspomnieliś my  w  poprzedn im  pun kcie,  sił y  wewnę trzne  w  okreś lonych przekrojach  są   statycznie  równoważ ne  naprę ż eniom  wyznaczonym  zgodnie  z  h ipo- tezą   pł askich  przekrojów.  Przy  tych  zał oż eniach  zwią zki  pom ię dzy  sił ami  i  prze- mieszczeniami  moż emy  wyznaczyć  n a  podstawie  powszechnie  znanych  zależ noś ci teorii  zginania  prę tów  cienkich. Rozpatrzmy  w  tym  celu  prę t  ukł adu odkształ conego  (rys.  4)  przyjmują c  chwilowo oznaczenia  pomocnicze d x ,  <52  przemieszczenia  liniowe  wę zł ów  1  i  2  prostopadł e  do  osi  prę ta, Q 1 ,Q i   bezwzglę dne  ką ty  obrotów  wę zł ów  1  i  2,  wzglę dem  osi  prostopadł ych do  rysunku, i x ,  T 2  wzglę dne  ką ty  obrotów  wę zł ów  1  i  2  wzglę dem  osi  prostopadł ych  do rysunku. Pomię dzy  tymi  wielkoś ciami  zachodzą   zwią zki (4.1)  ——,—- - \- r 1  =  i2 1 ,  —^ —^ - \ - t *=  Q». n  h Wykorzystują c  znane  zwią zki  pomię dzy  wzglę dnymi  ką tami  ugię cia  a  sił ami i  m om entam i  n a  koń cach  prę ta  otrzymamy d i - d 1   Mh  T W UL. —a h d i - 8 1 h 1EI Mh '  1EI P O WI E R Z C H N I O WE  KON STR U KC JE  P R Ę TOWE 89 a  po  przekształ ceniach (4.2) T =  ^ ha, gdzie  H =   El/ h*. U wzglę dniając  fakt,  że  w  geometrii  powierzchniowej  siatki  punktów  wyzna- czyliś my  dla  poszczególnych  prę tów  wielkoś ci  (<52—ój), ( i32—Ą ),  ( Ą + , QS) ,  bę dą ce skł adowymi  wektora  odkształ cenia  liniowego  i  ką towego  (por.  praca  autora  [25]) A Rys.  4 w  funkcji  przemieszczeń  u,  v,  w  i  biorą c  pod  uwagę   znaki  poszczególnych  sił   we- wnę trznych  (rys.  4),  otrzym am y  nastę pują ce  zależ noś ci  okreś lają ce  cztery  sił y poprzeczne  i  cztery  m om en ty  zginają ce: 1 (4 . 3 ) 90  WITOLD  G U TKOWSKI - ^a/ j+j  —  xtt"!sii>+ł   —  X2t"i\   j t   y  j£~' gdzie: J- J- \ i i u iSo / a _ Zwią zki  okreś lają ce  sił y  norm alne i  momenty skrę cają ce  w  funkcji  przemieszczeń i  odkształ ceń  nie  wymagają  szczegół owego  omówienia. (4. 4) Powyż szy  sposób  nie  jest  jedynym  sposobem  wyznaczenia  zwią zków  pomię dzy sił ami  wewnę trznymi  i  przemieszczeniami. Zależ noś ci  t e  m oż na wyznaczyć  również dla  punktów  przy  argum entach cał kowitych. Jedn akże  droga  ta  prowadzi  do  wzo- rów  dość zł oż onych  i nie mają cych, ja k  się  zdaje,  wię kszego  znaczenia praktyczn ego. D la  zilustrowania  tego  sposobu  rozpatrzm y  zależ ność  pom ię dzy  wydł uż eniem wzglę dnym  s 1   i  sił ami  wewnę trznymi.  Zwią zek  ten  otrzym am y  wyznaczając  od-  " kształ cenie  elementu  powł oki  w  kierunku  t  (rys.  5).  P o  przekształ ceniach  otrzy- mamy Jak  widać,  powyż sza  zależ ność  przedstawia  sobą  zwią zek  w  postaci  liniowej kombinacji  sum  i  przyrostów  kilku  funkcji  sił  wewnę trznych,  co  poważ nie utrudn ia jej  stosowanie. N a  zakoń czenie rozważ ań  n ad  sił ami wewnę trznymi  należy  zwrócić  uwagę  n a to, że  tylko  zależ noś ci  okreś lają ce  sił y  n orm aln e (N 1}   N 2 )  przechodzą  w  granicy  w  od- POWIERZCH N IOWE  KONSTRUKCJE  PRĘ TOWE  91 powię dnie  wyraż enia  w  teorii  powł ok  cienkich,  oczywiś cie  przy  współ czynniku P oisson a  równym  zeru.  P ozostał e  sił y  i  m om enty  wewnę trzne  mają   granice  róż ne od  odpowiednich  wielkoś ci  w  powł okach  cienkich.  Wynika  to stą d,  że został y  one wyznaczone  z  ugię ć  prę ta  prostego,  który  w  granicy  nie osią ga  wycinka  powł oki ogólnie  biorą c  o  dwu  krzywiznach  róż nych  od  zera. 5.  Warunki  brzegowe Wszystkie  otrzym an e w  p .  3 równ an ia  równowagi  w  liczbie  sześ ciu  są   pierwszego rzę du  i to w odniesieniu do każ dej  z nie znanych funkcji  sił  wewnę trznych.  W punk- cie  4  wyznaczyliś my  z kolei  każ dą   z  dwunastu  funkcji  sił  wewnę trznych  przez rów- n an ia  pierwszego  rzę du w  odniesieniu do każ dego  z sześ ciu  przemieszczeń  liniowych i  ką towych.  Jeż eli  teraz  podstawim y  do  równ ań  równowagi  sił y  wyraż one  przez przemieszczenia,  to  otrzym am y  sześć  równań  drugiego  rzę du  wzglę dem  przemiesz- czeń.  Łą cznie  otrzym am y  wię c  ukł ad  równ ań  równoważ ny  jednemu  równaniu dwunastego  rzę du  wzglę dem  nie znanej  funkcji  rozwią zują cej. Przyjmijmy,  że linie  ko n t u ru  ograniczają ce  naszą   powł okę   leżą   w pł aszczyznach wyznaczonych  pun ktam i  o  współ rzę dnych  a =   const  lub  j3 =   const.  W  takich przypadkach  rozwią zanie  wspomnianego  ukł adu  równań  wymaga  znajomoś ci sześ ciu  warun ków  brzegowych  n a  każ dej  z  krawę dzi  wycinka  powł oki.  Poniż ej zajmiemy  się  warun kam i  brzegowymi  dla kilku  najczę ś ciej  spotykanych  przypadków ograniczają c  się  jedyn ie  do  brzegu  a =   a 0 .  Warun ki  dla  brzegów  a =  0,  /? =  / ?0 i  /? =   0  mają   postać  analogiczną . B r z e g  p o w ł o k i  s w o b o d n y .  Wszystkie  sześć  skł adowych  sił  i momen- tów  równ e  są   zeru, (5- 1)  N 1XoH   =   filao+ ł   -   T Uo+i  =   0,  M lxo+i  =   F l a o + 4  =   G l a o + ł  =  0. B r z e g  p o d p a r t y  p r z e g u b o w o  n i e p r z e s u w n i e  (przeguby kuliste) w.o  =   vXo  =  wao =   0,  QUt+i  •  - 1 +  G l a o + i  =  0, (5.2) 7\ «0+ .| •  y  -   # l 4 o + ł  =  0,  M 1Xa+h  =  0. B r z e g  c a ł k o w i c i e  u t w i e r d z o n y (5- 3)  K«o =   vXo  =   wa„ =   0,  KHeBwx  KoHCTpyii