Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z1\mts64_t2_z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 2  (1964)

STATECZNOŚĆ  RUCHU   UKŁADU   OSCYLATORÓW  PORU SZAJĄ CYCH  SIĘ
PO  BELCE  NA  SPRĘ Ż YSTYM   POD ŁOŻU

SYLWESTER  K A L I S K I  (WARSZAWA)

Wstę p

W  pracy  [1]  rozważ ony  został   problem  drgań  samowzbudnych  ukł adu
oscylatorów  mechanicznych  poruszają cych  się   po  powierzchni  pół przestrzen i
sprę ż ystej.  Wyznaczono  prę dkoś ci  krytyczne  oraz  obszary  niestatecznoś ci,
wewną trz  których  drgania  oscylatorów  mają   charakter  narastają cy.  P raca  [1]
niezależ nie  od  jej  bezpoś redniego  znaczenia  w  mechanice  stanowił a  wstę p
do  znacznie  ogólniejszego  zagadnienia  z  dziedziny  magnetosprę ż ystoś ci,  do-
tyczą cego  samowzbudnego  narastania  drgań  strumienia  elektronów  nad  dosko-
nał ym przewodnikiem sprę ż ystym  w pierwotnym  polu magnetycznym. Z agadn ie-
nie  to  stanowi  tem at  odrę bnej  publikacji.

Jednakże w  zwią zku  z  pracą   [1]  nasuwa  się   podobn e zagadnienie,  mianowicie
zagadnienie  statecznoś ci  ruchu  ukł adu  oscylatorów  poruszają cych  się   po  belce
na  podł ożu  sprę ż ystym.  Rozwią zanie  tego  zagadnienia  stanowi  cel  niniejszej
pracy.

Podobne  zagadnienie  był o  rozważ ane  w  pracy  [2]  przy  badaniu  ruch u  masy
poruszają cej  się   po  belce  na  podł ożu  sprę ż ystym  przy  dział aniu na  masę   okre-
sowej  sił y  wymuszają cej.  Rozważ ono  tam  również  kwestię   uresorowania  masy
jednakże  pod ką tem  drgań  wymuszonych,  nie  rozważ ano  natomiast  problem u
drgań  samowzbudnych.  P roblem  ruchu  masy  po  belce  rozpatrzon o  w  wie-
lu  pracach, których  nie  cytujemy  tutaj  (por.  n p.  [3]).

Sformuł owane  wyż ej  zagadnienie  posiada  liczne  bezpoś rednie  aspekty
praktyczne,  wspomnimy  tutaj  chociaż by  problem  statecznoś ci  pojazdów  ureso-
rowanych  na  szynach  itp.  P rę dkoś ci  krytyczne  ruchu  statecznego  są   w  takich
przypadkach  dość  wysokie,  jednakże  biorą c  pod  uwagę   coraz  to  wię ksze  sto-
sowane  prę dkoś ci  eksploatacyjne  zagadnienie  to  nabiera  coraz  wię kszej  wagi
praktycznej.

W  pracy  zastosujemy  metodykę   rozwią zania  opracowaną   w  [1].  P oza  t ym
ograniczymy  się   gwoli  przejrzystoś ci  wywodów  oraz  otrzymania  prostych
wyników  do  przypadku  najprostszego,  tj.  ukł adu  liniowych  oscylatorów  bez
tł umików, rozł oż onych równomiernie  oraz  poruszają cych  się   ze  stał ą   prę dkoś-
cią   U. Oczywiś cie uogólnienie  rezultatów  na przypadek  oscylatorów  rozł oż on ych
gę sto na odcinku bą dź  oscylatora  skupionego, jak  również  uwzglę dnienie  t ł u m ie-



SYLWESTER  KALISKI

nia  nie  przedstawia  przy  stosowanej  metodzie rozwią zania  ż adnych trudnoś ci.
Wyniki jakoś ciowe  nie ulegają   w zasadzie zmianie, pewne osobliwoś ci  wprowadza
jedyn ie  tł um ien ie, jeś li  osią ga  pewne  wartoś ci  krytyczne.

Inaczej  ma się   oczywiś cie  sprawa  z oscylatorami nieliniowymi; tutaj  pojawiają
się   trudn oś ci  dodatkowe  natury  zasadniczej. N iektóre jednak  przypadki  szcze-
gólne  zarówno  w  [1]  jak  i  w  rozpatrywanym  obecnie  problemie  moż na  roz-
wią zać;  odkł adamy je  do  dalszych  prac.

W  punkcie  drugim  niniejszej  pracy podajemy  równania wyjś ciowe,  w punkcie
trzecim  konstruujemy  rozwią zania  otrzymanych  równań  oraz  dyskutujemy
warun ki  niestatecznoś ci,  w  punkcie  czwartym  obliczamy  parametry  krytyczne
i  obszary  niestatecznoś ci  dla  róż nych  przebiegów  parametrów  wyjś ciowych
zadania,  wreszcie  w  punkcie  pią tym  podajemy  uogólnione  sformuł owanie
problem u  na  przypadek  oscylatorów  zł oż onych  o  kilku  stopniach  swobody.

2.  Równania  ruchu

Rozważ my  belkę   n a  podł ożu  sprę ż ystym,  po  której  porusza  się   gę sto  równo-
m iern ie  rozł oż ony  ukł ad  oscylatorów  mechanicznych  (rys.  1)  o  masie  m  oraz
stał ej  sprę ż ystej  c,  odniesionych  do  jednostki  dł ugoś ci  belki.

Rys.  1

U kł ad oscylatorów porusza się  w kierunku x
x
  ze stał ą  prę dkoś cią   U. Rozważ ymy

dwa  ukł ady  współ rzę dnych,  jeden  zwią zany  z  ruchomym  ukł adem  oscylato-
rów,  drugi  z belką   (rys.  2) .

Rys.  2

N iech  n a  belkę   dział a  ruchom e  okresowe  ciś nienie

(2.1)  p
i
(x

u
t)=ptfl»'<*- <»t>,



STATE C Z N OŚĆ  R U C H U   U KŁAD U   OSC YLATOR ÓW

analogicznie  na  ukł ad  oscylatorów

(2.2)  p
%
  {xo,  t)  =   p

e
^   ta.  -   v..o.

Ciś nienie  dział ają ce  na  ukł ad  oscylatorów  dział a  na  sprę ż yny  oscylatorów
w  pł aszczyź nie  kontaktu  z  belką   (rys.  1).

Równanie  ruchu  belki  przyjmie  w  zwią zku  z  t ym  postać

(2.3)  El^ '+ĝ   + by^ p^ t),

gdzie  El  oznacza  sztywność  belki,  Q masę   belki  n a  jednostkę   dł ugoś ci,  b  stalą
sprę ż ystą   podł oża  na  jednostkę   dł ugoś ci  belki.

Równania  ruchu  ukł adu  oscylatorów  mają   postać

(2.4)  my,  +  c [y
2
  -   y

iQ
)  =   0,

gdzie  y
w
  J e s t  przemieszczeniem  pun ktu  styku  oscylatora  z  belką .  F un kcje  y

2

oraz  3»2o zależą   od  x
2
  i  t.

Przy  drganiach  okresowych  y2  wyrazi  się   oczywiś cie  przez  yz0  za  pomocą
warunku  brzegowego

(2.5)  c(y
2
  — y

w
)  =  - p

2
(x^ ,  t).

Jeż eli  oba  ukł ady  współ rzę dnych,  tj.  dla  belki  i  oscylatorów  są   zwią zane
ze  sobą ,  wtedy  muszą   dodatkowo  zachodzić  zwią zki  zgodnoś ci  przem ieszczeń
y

x
  i y

20

  o r a z  zgodnoś ci  ciś nień  p
t
,  p

2
:

(2.6)  p!  =p
2
,  y

1
  =  —y

aa
.

Warunki  (2.6)  są   już  zapisane  w  jednolitym  ukł adzie  współ rzę dnych  (zwią za-
nym  z  belką ).

Zwią zki  pomię dzy  obu  ukł adami  współ rzę dnych  (rys.  2)  są   nastę pują ce:

(2.7)
  Xl

+
x
,=Ut,  y

gdzie  U  jest  prę dkoś cią   przemieszczania  się   ukł adu  oscylatorów  po  belce.
Przytoczone  wyż ej  oba  ukł ady  równań  oraz  zwią zki  (2.6)  i  (2.7)  okreś lają

w  peł ni  nasz  problem.  Bę dziemy  poszukiwali  takich  obszarów  zmiany  U,  przy
których rozwią zania  zagadnienia  w  postaci fal  bież ą cych  przestaną   być  stateczn e,
tj.  przy  których  am plitudy  drgań  bę dą   narastać  w  czasie.

Przejdź my  obecnie  do  dyskusji  rozwią zań  powyż szych  równań  oraz  warun ku
niestatecznoś ci  drgań .

3.  Rozwią zanie  równań  i  warunki  niestatecznoś ci  drgań

Rozwią zań  równań  (2.3)  i  (2.4)  poszukiwać  bę dziemy  w  postaci:

(3.1)  y
1
  sa ^ e ft O ft - u it ),  jy30  = _ Bei*i( *«- »i0j  yt  =  Ce'*«C*»- °»i),

Podstawiają c  (3.1)  do  ukł adu  równań  (2.3)  i  (2.4)  znajdujemy  wykorzystują c
(2.1)  i  (2.2)  oraz  (2.5)



SYLWESTER  KALISKI

( 3 - 2 )  A  ~ Eł ki -   e*f»!  +  b  ~   qią  (R -  oj)
gdzie

oraz

a-   a° ZS-   L  =   *  a°
2/2  c  m

gdzie  al =
Rozwią zania  niestateczne,  a  wię c  drgania  samowzbudne,  wystą pią   wtedy,

gdy
(3.5)  Im(kiVi)  > 0 .

D la  otrzymania  równania  charakterystycznego,  z  którego  wyznaczymy pa-
rametry  krytyczne  U,  zwią ż emy  oba  ukł ady rozwią zań  (3.2), (3.3) i (3.4) z wa-
runkami  (2.6)  i  (2.7).  Mianowicie  z pierwszego  z warunków  (2.6)  przy  wyko-
rzystaniu  również  pierwszego  z  warunków  (2.7) znajdujemy  w  jednolitym
ukł adzie  współ rzę dnych

(3.6)  *i + *« = 0 ,

ską d  przyjmiemy

(3.7)  k
1
=k,  & 2 = - &

oraz

(3.8)
  Vl

  +  v
z
=U.

N astę pnie  na podstawie  drugiego  z  warunków  (2.6)  oraz  (2.7)  otrzymamy
po  wykorzystaniu  (3.7)  oraz  pierwszego  z warunków  (2.6)

( 3 9 )
  1  = J _4 z ,̂

1
  '  gk*(R- vl)  mW  a\ vl
lub

(3.10)  w ! = = j R _ I | ^
rj  ag -  vi

gd zie  rj  =Q\ m.

U kł ad równań (3.8) i (3.10) stanowi ostateczny ukł ad równań  charakterystycz-
nych  wzglę dem  v

1
,v

i
,  z  którego  obliczyć  moż emy  U

kr
  oraz  obszary  niesta-

tecznoś ci.

Wprowadzają c  oznaczenia

( 3 n )
  *

  V  *





SYLWESTER  KALISKI

wodu  tego  nie  przytoczym y  tutaj,  gdyż  został   on  przedstawiony  w  pracy  [1],
sposób  zaś  postę powania w  naszym  przypadku  bę dzie  identyczny.  G dy  U  wzra-
stają c  osią gnie  ponownie  wartoś ci,  przy  których  pojawiają   się   pierwiastki  rze-
czywiste,  to  bę dzie  to  górna  granica  U  przedział u  (obszaru)  niestatecznoś ci
drgań .

Obszar  badan ia  rozwią zań  we  współ rzę dnych  v
lf
  v

z
  moż na  ograniczyć  dla

v
x
  do  pierwszej  ć wiartki  pł aszczyzny  zespolonej,  zaś  dla  v

2
  do  czwartej.

Z  pierwszego  z  równań  (3.12)  wynika,  że  rozwią zania  dla  Vi  muszą   mieć
postać

(3.14)  v
x
  = r 1 + i e ,  v2  —r2—ie.

P oza  t ym  z  drugiego  z  równań  (3.12)  wynika,  że  wielkoś ci

(3.15)  v
x
  —  — r

x
  4- t'e,  v

2
  =   — r t—te

jak  również

(3.16)  v
x
  =r

x
—ie,  v

2

czynią   zadość  ukł adowi  równań  (3.12),  przy  czym  dla  (3.15)  należy  zamiast
U  przyjmować  —U.  Stą d  wię c  wynika  poprawność  przyję tego  uproszcze-
nia  i  w  dalszym  cią gu  bę dziemy  badali  ukł ad  dla  postaci  rozwią zań  (3.14)
przy  r

x
,  r

2
  > 0  oraz  e  >  0,  tzn .  stosują c  opisaną   wyż ej  metodę   okreś lania

Âtr poprzez  poszukiwanie  krzywej  v
x
  = / (©») dla rzeczywistych~v

y
,  ~v

2
 i punktów

przecię cia  z  prostą   v
2
  =   U—v

x
. Ograniczymy  się   do  dodatnich © x,  v2,  t j.  do

pierwszej  ć wiartki  w  pł aszczyź nie  zmiennych  rzeczywistych  v
x
,  v

2
.

P rzejdziem y  obecnie  do  okreś lenia  liczbowego  krytycznych  prę dkoś ci  oraz
obszarów  niestatecznoś ci  rozwią zań  dla  róż nych  zakresów  zmiany  parametrów
naszego  ukł adu, co wyczerpie  moż liwe  praktyczne warianty  rozwią zań  problemu.

4.  P arametry  krytyczne —  obszary  niestatecznoś ci

W  celu  liczbowego  wyznaczenia  prę dkoś ci  krytycznych  oraz  obszarów  nie-
stateczn oś ci  przy  róż nych  param etrach  zadania  przeprowadzimy  tabelaryzację
równ an ia  (3.12)  (drugiego)  dla  róż nych  a2,  k  oraz  r\ , co  pozwoli  wyznaczyć
n um eryczn ie  przebieg  krzywych  v

x
  = / (w2),  gdzie  /

2(w2)  jest  prawą   stroną   dru-
giego z równań (3.12).  P rzy  sporzą dzaniu  tabeli  stosowano  dokł adność  moż liwą
do  otrzym an ia  n a  suwaku.  D ane  powyż sze  zestawione  został y  w  tablicy  1.

Z godn ie  z  dyskusją ,  przeprowadzoną   w  poprzednim punkcie, drgania  ukł adu
oscylatorów  są   niestateczn e  w  obszarze,  w  którym  ukł ad  równań  (3.12)  nie
posiada  rozwią zań  rzeczywistych.  G ranice  tego  obszaru  wyznaczamy  badają c
u kł adjrówn ań  (3.12)  dla  zm iennych  rzeczywistych  v

lt
  v

2
  i  poszukują c  takich

U  =  U
kT

,  przy  których  prosta  wa  =   U—vl jest  styczną   do  krzywej  vx  =f(v%).
Z auważ my  jeszcze,  że po  wyznaczeniu  na  podstawie  ukł adu  równań  (3.12)  [/ kr,
sam o  C/ kr  obliczam y  ze  stosunku  (3.11),  pamię tając  że  JR zależy  również  od  k,



o

cś
II

o
r - H

CS

II

o

II
• o

H

O

II

|
O

1
O

t A

r - H

O
T - .

O
* - *

II
5s

W

O

o
o

o

o

o

II

o

H
1
o

o
T- H

O

II
"a

es

o
T- H

O

O

co

T—1

0 0

O

II

o

o  *- *

O

O  - H

O

O
11  '

II  II
a;  er

o

o

o

o
o

o
T H

T
o

II
R-

00
11

> • <

o

CN

o
0
,8

O N

CO

o

o

o

o

o

ON

o

ON
oo
o

o

r - t

O

,2
0

O N

o

ON

o

o
oo
o

o
co

o

o
oo
o

no

ON

O

0
,9

o

CS

O

r/ 1

o

O

O

O

o

O N

o

vD

0
,9

NO
ON

O

O

co
O

CO

0 0
m
O

0 0
in
O

0 0
U")
o

g
o

oo
t n

O

0
,9

ro

0
,9

co
CO

O

O

1
2
5

i n
«* •

O

0
,4

• +
O

O

O

0 0

o

O N

ON

o

o

0
,9

o
o

o

CS

CS
co
o

co
o

NO
co
o

o

O

NO
C O

O

ON

o

0
,8

NO

O

1
1
6

ON

O

i n
CS
O

i n
C N |

O

O
CO

O

m
CS

o

HN

ON

O

o

o

1
1
4

i r ,

O
O

co

O

C O

O

O

o

co

O

NO
ON

O

O
NO

O

oo
o

O

O

O

o

o

o

ON

o

o
T- H

o

O N

O

T- H

a  o

8  es

8   o
CO

o  o
8   M 1

o o
* - <  C S

T- H

o

L T )
T- H

i r i

CS

O
N O

o
co

co
T- H

1
,0

T- H

„
CS

co
- *•

O

ft

rs
T- H

O

CS

1,
1

CS

CS

m
co

o
m

o

y

8

T- H

T- H

O

T- H
T- H

T- H
T- H

cs

T H

CS

o
o
T- t

NO

(  1

T- H

O
*-H
CS

o

C S

m
O

u- .

cs

I O

T- l

O

8

i
r -

T- H

T- H

O

c
r- >

O
T- H
T- H

1
,0

T- H

O

T- H

O

T- H

o
CM

O
T - ł

8



10 SYLWESTER  KALISKI

t zn .  od  dł ugoś ci  fali.  Ogólna  postać  wykresów  lewej  i  prawej  strony  drugiego
z  równ ań  (3.12)  podana jest  na  rys.  4.

a  1721  rk  b

IOr V2

Rys.  4

P rzebieg  krzywych  v
1
  —/ j, ^)  oraz wartoś ci  t / k r  dla kilku  wybranych  ukł adów

param etrów  a2, k  i  r\   z  tablicy  1  przedstawiony  jest  na  rys.  5.
Jeż eli  powtórzyć  konstrukcję   wyznaczania  U

kr
  przedstawioną   na  rys.  5  dla

zagę szczonych  wartoś ci  parametrów  k, przy  ustalonym  r\  oraz  danych  c, El,  b,

3 , 5

Ą D

1,0

1  -   tj- 10,0;  az=1,0;  R"!0a

2-   r/ - 1ft;  az=1,0;  R~10e

3-   i'1,0;  kz- t0'4;  a2- 0,1;  R- 103

2 ^ ;  a 2 = 5 ;  R=2- 10s

2,0 3J3 4,0 5,0  S

Rys.  5



ST AT E C Z N O ŚĆ  R U C H U   U KŁ AD U   OSC YLATOR ÓW 11

wtedy  moż na  zbudować  wykres  zależ noś ci  dolnej  (f/ kr)  i  górnej  granicy  zre-
dukowanego  obszaru  niestatecznoś ci  od  k.  Wykres  taki  w  skali  logarytmicznej
przedstawiony  został  na rys.  6, przy czym przyję to  róż ną  skalę   pionową   dla  dolnej

1,0

tog  * 2 / / 0 ~ 7

Rys.  6

i  górnej  granicy  zredukowanego  obszaru  niestatecznoś ci.  Poza  tym  przy-
ję to  pewne  k 2  charakterystyczne,  mianowicie  k 2  =   10~7  jako  wielkość  odnie-
sienia.  Wielkość  ta  został a  przyję ta  dowolnie,  tak  aby  odpowiadał a  pewnym
typowym  danym  praktycznym.

Rys.  7

Wykres  na  rys.  6  sporzą dzono  dla  ustalonego  r\ , mianowicie  r]
0
  =   1.  Aby

mieć  peł ny  obraz  przebiegu  zjawiska  na  rys.  7,  sporzą dzono  wykresy  przebiegu
obu  granic  zredukowanego  obszaru  niestatecznoś ci  w  funkcji  rj  (w  skali  loga-
rytmicznej)  przy  ustalonych  c,  El,  b  i  k  lub  inaczej  przy  ustalonych  warto-
ś ciach  a2  i  R.  Budują c  wykresy  przy  danych  param etrach a2  i  R  nie trzeba  spe-
cyfikować  wzajemnych  zwią zków  pomię dzy  c,  El,  b  i  k.  Jednakże  dla  wyzna-
czenia przebiegu  U

VT
 jako  funkcji  k (rys.  6) trzeba  był o przyją ć  ustalone  wartoś ci



12 SYLWESTER  KALISKI

c,  El,  b.  Wykresów  oddzielnych  dla  róż nych  wzajemnych  stosunków  c,  El,  b
nie  przytaczam y,  mieszczą  się  one  w  tablicy  1  przy  uzależ nianiu  v

x
,v

2
  wedł ug

param etrów  a2 oraz R.  Z rysunku  7  wynika,  że przy  rosną cym r\   (przy  ustalonych
pewn ych  wartoś ciach  pozostał ych  parametrów)  dolna  i  górna  granica  zredu-
kowanego  obszaru  niestatecznoś ci  zbiegają  się,  tzn .  obszar  niestatecznoś ci
maleje  do  zera,  przy  maleją cym  natomiast  r) na  odwrót  roś nie  do  nieskoń-
czonoś ci.  N ie  omawialiś my  rys.  6,  gdyż  przedstawia  on  U

kc
  dolne  i  górne

w  zależ noś ci  od  k,  nie  zaś  samo  £ / kr.  Korzystając  ze  zwią zku  (3.11)  sporzą-
dzono  na  rys.  8  wykres  przebiegu  U

kt
  dolne  i  górne jako  funkcję  k, tj.  zmianę,

w funkcji  k  dolnej  i górnej  granicy  obszaru  niestatecznoś ci. Wykres  sporzą dzono
w  oparciu  o  wykres  i  dane  z  rys.  6.  Z  rysunku  8 wynika,  że  przy  zmiennych k

log # vio- 7

Rys.  8

i  pewnych  ustalonych  wartoś ciach  pozostał ych  parametrów  f7kr  dolne  i  górne
posiadają  minima,  przy  czym  oba  minima  na  ogół   nie  pokrywają,  się,  leżą  na-
tom iast  blisko  siebie.

N a  podstawie  tablic  i  wykresów  przytoczonych  w  niniejszym  punkcie  moż na
w  zasadzie  prześ ledzić  przebieg  U

kr
  i  obszaru  niestatecznoś ci  w  zależ noś ci

od  zm ian y  i  wzajemnego  stosunku  wchodzą cych  w  rozwią zanie  parametrów
w  zakresach  ich  praktycznej  zmiennoś ci.  Z rozwią zań  tych  wynikają  nastę pu-
ją ce  wnioski:

1.  P rzy  ustalonych  k,  El,  b, c w  zależ noś ci  od r\   =   m\ ą dolna granica  obszaru
niestatecznoś ci  roś n ie  z r\   do  pewnej  asymptoty,  górna zaś  roś nie z  maleją cym r\
począ wszy  od  pewnej  wartoś ci  asymptotycznej  do nieskoń czonoś ci.  Obszar  nie-
dtatecznoś ci  maleje  przy  rosną cym  r\  do  zera  i  roś nie  przy  maleją cym  do  n ie-
skoń czon oś ci.

2.  P rzypadek  ruch u  sztywnej  masy  po  belce  otrzymamy  przy  danych  77,
k,  El,  b,  jeż eli  przyjąć  c  - > oo,  t j.  a2  - * 00.  Wtedy

(4.1) »} 1



ST AT E C Z N O ŚĆ  RU C H U   U KŁAD U   OSC YLATOR ÓW  13

i  górna  granica  obszaru  niestatecznoś ci  dą ży  do  nieskoń czonoś ci,  dolna  zaś
zmierza  do asymptoty  zależ nej  od pozostał ych parametrów (por. tablica  1).  Stą d
wniosek,  że  przy  przekroczeniu  Z7kr  ruch  bę dzie  niestateczny  dla  dolnego  U.

3.  Przy  ustalonych  r\ ,  El,  b, c  górna  i  dolna  granica  obszaru  niestatecznoś ci
posiadają   m inim um wzglę dem  k.  M inima te  są   na  ogół   poł oż one  blisko  siebie,
nie  pokrywają   się   jedn ak.

5.  O scylatory  o  kilku  stopn iach  swobody

N a  zakoń czenie  niniejszej  pracy  rozważ my  jeszcze  pokrótce  przypadek  bar-
dziej  zł oż onego  ukł adu  oscylatorów  poruszają cych  się   po  belce,  mianowicie
ukł adu  zł oż onego  z  oscylatorów  o  kilku  stopniach  swobody.  Tok  ogólny  roz-
wią zania  pozostaje  taki  sam  jak  poprzednio,  zmieni  się   jedynie  postać  prawej
strony  równania (3.9).  N a  przykł ad  dla  oscylatora  o  dwóch  stopniach  swobody
(rys.  9)  przyjmie  ona  postać

(c
x
  —  k

2
v\

mi
)  (Cj, +   c a  — &v\ m%  — c?)

Obraz  jakoś ciowy  rozwią zań  zachowuje  się   w  tym  przypadku  podobn ie  jak
dla  ukł adu  oscylatorów  o  jednym  stopniu" swobody  z  tym,  że  obecnie  dojdą
pewne  osobliwoś ci  zwią zane  z  dodatkowymi  czę stoś ciami  drgań  wł asnych
oscylatorów.  Poza  tym  przy  specjalnie  dobran ych  zwią zkach  pom ię dzy  pa-
rametrami  zadania  wynika  szereg  specjalnych  zwią zków  dotyczą cych  wzajem-
nego  stosunku  am plitud  mas  i  belki  itp.  Zagadnienia tego  hie  bę dziemy  rozwa-
ż ali  oddzielnie, ponieważ  w toku  rozwią zania  nie zachodzą  ż adne istotn e  zm iany.

Rys.  9

To  samo  dotyczy  kwestii  tł umienia  (tł umiki  oscylatorów  i  tł um ienie  w  belce)
oraz  ograniczonego  ukł adu  oscylatorów  bą dź  oscylatora  pojedynczego.  P rzy
uwzglę dnieniu  tł umienia  metoda  konstrukcji  rozwią zania  pozostaje  niezm ienio-
na,  natomiast  zmianie  ulegają   wyniki  iloś ciowe.  Jakoś ciowe  róż nice  otrzymuje
się   przy  pewnych  (stosunkowo  bardzo  duż ych)  krytycznych  wartoś ciach  t ł u -
mienia.  Aby  nie  komplikować  obrazu  dodatkowymi  param etram i,  w  pracy
rozważ aliś my  najprostszy  ukł ad.  Tok  rozwią zania,  jak  stwierdziliś my,  nie
ulega  zmianie.  Rozwią zanie  komplikuje  się   w  sposób  istotny  i  zm ienia  się
metoda  postę powania,  gdy  mamy  do  czynienia  z  oscylatorami  nieliniowym i.



14  SYLWESTER  K ALI SK I

N iektóre  jedn akże  przypadki  nieliniowych  oscylatorów  poruszają cych  się   po
belce  dają   się   stosunkowo  prosto  rozwią zać.  Zagadnienie  to  bę dzie  tem atem
osobnego  kom unikatu.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

[1].  S.  K AL I SK I ,  Self- excited  vibrations  of  an  oscillator system  moving  on  the  surface of  an elastic

half- space,  P roc.  Vibr.  P robl.,  w  druku.
[ 2] .  E .  F .  FoJIOCKOKOBj  A.  I I .  O H Jlu n O Bj  ycmauoeueiuuecH  KOAedmun Sa/ iKU  na  ynpyeoM

ocHObanuu npu  dsuoice)iuu  3py3a  c  nocmonuHoii  exopocmbw,  T p .  JlaSop.  raflpaBJi.  jviaiilHH,  AH

yC C P ,  B.  10,  1962.
[ 3] .  B.  M .  M ytiH H KOBj,  HcKomopue  Memobu pacuema  ynpyeux  cuctneM  na  KoneBauuH  npu  nod-

euoicHoii Haspy3Ke, H 3flaT.  J I H T ,  G rp.  Apx.,  MocKBa  1953.

P  e 3 io  m  e

YC T O H ^ H B O C T L  H BH 5KEH H H   C H C TE M BI  O C U H JI JM T O P O B
n o  BAJIKE  H A  ynpyroM   OCHOBAHHH

I 'accM OTpen a  3 a # a q a  o flBH WcenH H  cH creM bi  jiH H eiiH bix  OCU H JIJTH TOPOB  n o  6ajiKe

H a  yn p yr o M   ocuoBaH H H .  n oi< a3aH O,  MTO B 3TOM  cjiy^ae  cymecTByioT  o6jiacTH   CKopocTeń  H BU J K C H H H

CHCTeMŁI  OCIłHJIJIHTOpOBj n p u  KOTOpblX  nOHBJIHIOTCH   KOJie6aHHH   C CaM0B036y>KfleHHeM,  CJieflOBa-

BHHteHHe  H eycroOTH BO.  O n p e a e ji e n w  K P H T H ^ C C K H C  cKopocTH   fljia  HHWHeii  H   BepxH eft

oQjiaCTH   HeyCTOHIHBOCTH.  JXaW bl  AHarpaMMbI  3aBHCHMOCTH   KpHTH^eCKHX  CKOpOCTeS

OT  pa3H Ł ix  nepeivieH H bix  n apaiweTpos  CHCTeMbi.  O6cyjj<fleH   p afl  n peflejitH bix  cnyvasB,  H a n p .

>KecTK0H,  H e yn p yr o  n oflBeuleH n ofi  M a c c t i,  BectM a  SOJI BI I I OH   niaccw  H   T .  n .

S u m m a r y

STABILITY  OF   TH E  MOTION   OF  A SYSTEM   OF   OSCILLATORS
MOVING   ON   A BEAM   ON   ELASTIC  FOUNDATION

I n  t h e  p ap er  t h e  problem  of  t h e m ot ion of  a  system  of  lin ear  oscillators  m ovin g  on a  beam  on

elastic  foun dation  h a s  been  considered.  I t  is  shown  t h at  for  such  a  m otion th ere exist  dom ain s  of

velocity  of  t h e  m o t io n of  a  system  of  oscillators  for  which  selfvibrations  appear, t h u s  t h e m otion

is  u n st able.  T h e  critical  velocities  are  determ in ed for  t h e  u p p er  an d  lower  boun daries of  t h e  u n -

stable  d o m ain . T h e  diagram s  of  t h e  critical velocities  as  th e fun ction s  of  different  param eters  of

t h e  system  are  p lo t t ed  an d  several  lim it  cases  as,  for  example,  a m otion of  a  rigid  m ass  with out

sprin gin g  o r  a  m o t io n  of  a  very  large  m ass  are  discussed.

ZAKŁAD  BADANIA DRGAŃ
INSTYTUTU   PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW TECHNIKI  PAN

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  paź dziernika  1963  r.