Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z1\mts64_t2_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 2 (1964) PRZEGLĄ D   POLSKICH   PRAC  DOTYCZĄ CYCH   ZAG AD N IEŃ   Z  M IESZAN YMI WARUNKAMI  BRZEGOWYMI  W  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI ZBIGNIEW  O L E S I AK  (WARSZAWA) W  niniejszym  przeglą dzie  omówimy  pewną   klasę   zagadnień  z  mieszanymi warunkami  brzegowymi,  nazywaną   czasem  klasą   zagadnień  o  niecią gł ych warunkach  brzegowych.  Omawiać  bę dziemy  wię c  takie  rodzaje  mieszanych, warunków  brzegowych,  przy  których  punkty  nieregularne  brzegu  (zał omy) n ie pokrywają   się   z  punktam i  rozgraniczają cymi  róż ne  warunki  brzegowe.  Jed- nym  z licznych  przykł adów  zagadnień, których  w  tym  przeglą dzie  n ie  bę dziemy rozpatrywać,  bę dą   pł yty  prostoką tne  o  róż nych  warunkach  brzegowych  n a poszczególnych  bokach  brzegu  pł yty,  ale  jednakowe  na  danym  boku  prosto- ką ta. Rozpatrywać  bę dziemy  zagadnienia  z  mieszanymi  warunkami  brzegowym i w  mechanice  ciał a  stał ego  w  podanym  powyż ej  sensie,  opublikowane  przez autorów  polskich  w  czasopismach  krajowych  i  zagranicznych.  P race  te  moż na grupować  przyjmują c  za  pun kt  wyjś cia  róż ne  kryteria,  a  wię c  n a  przykł ad wedł ug  dział ów  mechaniki  stosowanej  jak  teoria  tarcz,  pł yt,  powł ok,  klasyczna teoria sprę ż ystoś ci,  termosprę ż ystość  itp. M oż na je  również omawiać w  porzą dku chronologicznym  ich  powstawania.  W  naszym  przeglą dzie  odn oś ne  prace bę dziemy  rozpatrywać  wedł ug  zastosowanych  m etod  m atem atycznych.  Wy- mień my  gł ówne  metody,  którymi  posł ugiwali  się   autorzy  prac,  a  wię c: 1)  sprowadzenie  zagadnienia  do  równań  cał kowych  pierwszego  rodzaju i  nastę pnie  przybliż one  lub  ś cisłe  (w  pewnych  prostszych  przypadkach)  ich rozwią zanie; 2)  sprowadzenie  zagadnienia  do  równań  cał kowych  drugiego  rodzaju; 3)  zastosowanie  metody  równań  cał kowych  singularnych; 4)  zastosowanie  cał ek  F ouriera  lub  H ankela  lub  m etody  transformacji  cał - kowych  z  nastę pują cym  rozwią zaniem  ukł adu  dualnych  równań  cał kowych lub  wyznaczeniem  współ czynników  w  ukł adzie  dualnych  szeregów; 5)  zastosowanie  metody  Wienera- H opfa. Pracą ,  która  w  Polsce  zapoczą tkowała  badania  nad  zagadnieniami  o  m ie- szanych  warunkach  brzegowych,  był   artykuł   W.  N OWACKIEG O  [1].  Z astoso- wana  metoda  sprowadzał a  zagadnienia  pł yty  z  mieszanymi  warun kam i  brze- gowymi  do  równania  cał kowego  pierwszego  rodzaju  lub  ukł adu  równ ań  cał ko- wych  pierwszego  rodzaju  w  zależ noś ci  od  tego,  ile  jest  odcinków  o  róż nych warunkach  brzegowych.  Autor  wymienionej  pracy  zajmuje  się   wię c,  w  dan ym 16 Z BIG N IEW  OLESIAK kon kretn ym  przypadku,  rozwią zaniem  równania  biharmonicznego  z  nastę pu- ją cymi  warun kam i  brzegowymi: w  =  0, dw (1.1) =   0  na czę ś ci  brzegu  pł yty, w  =  0,  V2w> = 0  na pozostał ej  czę ś ci  brzegu  pł yty. P owyż sze  warunki  brzegowe  odpowiadają  pł ycie na czę ś ci  brzegu  swobodnie podpartej,  a  na pozostał ej—utwierdzonej  zupeł nie.  N a wstę pie  rozważ ań  został przyję ty  tak zwany  «ukł ad  podstawowy»,  jakim  jest  pł yta  na cał ym  obwodzie swobodnie  podparta.  D obór  takiego,  a nie innego  ukł adu  podstawowego  jest uwarun kowan y  znajomoś cią  prostego  rozwią zania  zagadnienia  dla pł yty  swo- bodn ie  podpartej.  Korzystając  z  zasady  superpozycji  ugię cie  pł yty  moż na przedstawić  jako  sumę  ugię cia  od  dział ają cego  obcią ż enia  w p   dla  ukł adu  pod- stawowego  oraz  ugię cia  od  momentów utwierdzenia.  Oznacza  to, że wymagana jest  znajomość  funkcji  G reena, w tym  przypadku  ugię cia  pł yty  spowodowanego dział aniem  skupionego  m om entu  jednostkowego  na  brzegu  pł yty—ukł adu podstawowego.  Otrzymujemy  nastę pują ce  wyraż enie  na ugię cie  pł yty: (1.2) w(x,y)  = ! ;  x,y)d£, gdzie  zo x  jest  funkcją  G reen a od  momentu jednostkowego,  a M(x) momentem na  utwierdzonej  czę ś ci  brzegu  pł yty.  N ieznany rozkł ad momentu utwierdzenia zostanie  wyznaczony  z  warunku,  że kąt ugię cia  na utwierdzonej  czę ś ci  brzegu jest  równy  zeru,  czyli z  nastę pują cego  równania  cał kowego  pierwszego  rodzaju: (1.3) f dn d , dn W  in n ych  przypadkach  mieszanych  warunków  brzegowych,  w  szczególnoś ci dla  podpór  liniowych  wewną trz  obszaru  pł yty,  równanie  posiada  tę samą  po- Rys. 1 stać.  N a  ogół  powyż sze  równania  cał kowe rozwią zuje  się w sposób  przybliż ony sprowadzając  je  do  ukł adu  liniowych  równań  algebraicznych.  W  pracy  [1] przykł ad  i  dyskusję  rozwią zania  podano  dla pół pasma  pł ytowego,  w  którym czę ść  krótszego  brzegu  jest  utwierdzona  zupeł nie. M I E SZ AN E  WAR U N KI  BRZ EG OWE  17 M etodę   tę  W.  N OWACKI  i in n i  autorzy  rozszerzyli  na szereg  innych  przypad- ków.  Rozszerzenie  to  poszł o  w  trzech  kierunkach:  pierwszy  dotyczy  in n ych kształ tów  pł yt,  drugi  uwzglę dnia  drgania  i wyboczenie,  wreszcie  trzeci  przenosi metodę  na in n e zagadnienia,  mianowicie  na teorię  powł ok,  tarcz  i  klasyczne  za- gadnienia  teorii  sprę ż ystoś ci.  Wymienimy  prace W.N O WAC K I E G O  [2,3]  dotyczą ce pł yt  prostoką tnych  i  pł yt  o kształ tach, które  moż na  zł oż yć z  prostoką tów.  Roz- patrzono  tu  mię dzy  innymi  przypadek  pł yty  na  czę ś ci  brzegu  swobodnej, a  na  czę ś ci  swobodnie  podpartej.  Proste  przykł ady  mieszanych  warunków brzegowych  w  przypadku  dział ania  tem peratury  rozpatruje  Z.  T H R U N   [4], Zagadnienia  dynamiczne  i  utraty  statecznoś ci  dla  pł yty  prostoką tnej  został y rozpatrzone w  pracach  [5  i  6],  a  dla  pł yty  koł owej  w  pracach  [7  i 8].  Z agadnie- niami  drgań  i  statecznoś ci  pł yt  podpartych  w  przę ś le  i o niecią gł ych  warun kach brzegowych  zajmuje  się   S.  KALISKI  W  pracach  [11  i  12]. Z  innych  prac  wymie- nimy  [13 i 14], w których  rozpatrzono podpory  liniowe  w  obszarze  pł yty  koł owej oraz  pracę   [15],  w  której  zagadnienie  został o rozszerzone  na  przypadek  miesza- nych warunków  brzegowych  w  powł oce walcowej.  Rozszerzenie  metody  równań cał kowych  pierwszego  rodzaju  na  mieszane  zagadnienia  brzegowe  teorii  sprę - ż ystoś ci  ma  miejsce  w  pracach  W.  N OWACKIEG O  [9  i  10], Przez  zastosowanie  tego  samego  toku  rozumowania  co  poprzednio  do  pł yt ze  sprę ż ystym  utwierdzeniem  i  podparciem  oraz  pł yt  spoczywają cych  na  sprę - ż ystym  podł ożu  winklerowskim  W.  N OWACKI  i  S.  KALISKI  [16  i  17]  uzyskali nowe  rozszerzenie  samej  metody.  T ym  razem  zagadnienie  został o  sprowadzon e do  równania  cał kowego  drugiego  rodzaju  lub  ukł adu  tych  równań.  Referat na  ten  temat  został  wygł oszony  na  I X  Kongresie  M echaniki  Stosowanej  (Bruk- sela,  1956). Przypuś ć my  dla  przykł adu, że  tak jak  poprzednio  mamy  do  czynienia  z  pł ytą prostoką tną,  swobodnie  podpartą   jako  ukł adem  podstawowym.  Zał óż my  obec- nie,  że  na  odcinku  o- c  pł yta  jest  sprę ż yś cie  utwierdzona  (lecz  sztywnie  pod- parta);  moż emy  wtedy  przyją ć,  że  ką t  nachylenia  stycznej  do  powierzchn i na  zamocowanym  odcinku  jest  proporcjonalny  do  momentów  utwierdzen ia. Otrzymujemy  wię c  z  tego  warunku  nastę pują ce  równanie  cał kowe  drugiego rodzaju (1.4)  ^  =   - ską d  zostanie  wyznaczony  nieznany  rozkł ad  momentów  sprę ż ystego  utwier- dzenia. A.  KACN ER,  wykorzystują c  powyż szy  sposób  sprowadzenia  zagadnienia do  równań  cał kowych  drugiego  rodzaju,  uzyskał   rozwią zanie  zam kn ię te  dla pół pasma  pł ytowego  w  pewnym  szczególnym  przypadku  niecią gł oś ci  warunków podparcia  i  ustalił   osobliwoś ci  poszukiwanej  funkcji  momentu  brzegowego. Otrzymał   on  rozwią zanie  przechodzą c  do  granicy  z  wartoś cią   współ czynnika podatliwoś ci  [18,  19,  20].  W  pracy  [21]  rozwią zując  odpowiednie  równ an ie 2 Mechanika  teoretyczna 18  Z BIG N IEW  OLESIAK cał kowe  A.  KACN ER  podał   sposób  eliminowania  wpł ywu  osobliwoś ci  ją dra n a  dokł adn ość wyniku.  P race  [22,  23  i  24]  tego  autora  oparte  są   na  koncepcji dwóch  ukł adów podstawowych,  z których  uzyskuje  się   dwie  grupy  sprzę ż onych zwią zków  zawierają cych  wszystkie  nieznane  wielkoś ci  brzegowe,  zarówno statyczn e,  jak  i  geometryczne.  Zwią zki  te  pozwalają   na  ustalenie  charakteru osobliwoś ci  funkcji  rozwią zują cych  i  na  sprowadzenie  zagadnienia  do  równań cał kowych  drugiego  rodzaju. Sformuł owanie  zagadnienia  dla  mieszanych  warunków  brzegowych  w  teorii sprę ż ystoś ci  w  oparciu  o twierdzenie  Bettiego  z wykorzystaniem  funkcji  G reena podał   W.  N OWAC KI  w  pracy  [25]. H .  Z OR SKI  [26- 29]  przedyskutował   charakter  osobliwoś ci  powstają cych przy  róż n ych  kombinacjach  warunków  brzegowych  dla  pł yt  w  kształ cie pół - pł aszczyzny,  ć wiartki  pł aszczyzny  i  pół pasma pł ytowego, uwzglę dniając  również pł yty  anizotropowe  [28].  Sposób  rozwią zania  zagadnień  jest  nastę pują cy: autor  wprowadza  dwa  potencjał y  biharmoniczne,  za  pomocą   których  moż na wyrazić  ugię cie  i  ką t  nachylenia  stycznej  do  powierzchni  ugię cia  pł yty: (1.5) gdzie j^ w(x,0),  f(x)  =   w(x,  0). W  podobn y  sposób  wprowadzono  dwa  potencjał y  w  przypadku,  gdy  na brzegu  zn an e  jest  ugię cie  i  laplasjan  ugię cia: (1.6) gdzie H(x)  = V2 T O ( X,  0) . P o  zbadan iu wartoś ci  brzegowych  wprowadzonych  potencjał ów i  ich  pochod- nych  znalezione  został y odpowiednie wyraż enia  na  wielkoś ci  statyczne. W  opar- ciu  o  otrzym an e wzory  na odcinku, na którym  dane jest  ugię cie  i jego  laplasjan, dobran o  w  ten  sposób  ką t  ugię cia,  aby  był   speł niony  warunek  na  laplasjan ugię cia.  W  wyniku  otrzymano  równanie  cał kowe  silnie  osobliwe  pierwszego rodzaju  z  ją drem  C auchy'ego: P onieważ  ją dro  zawiera  jedynie  czę ść  charakterystyczną ,  równanie  rozwią zuje się   w  postaci  cał ek  okreś lonych.  W  podobny  sposób  H .  ZORSKI  otrzymał  roz- MIESZAN E  WARUNKI  BRZEGOWE  ]9 wią zanie  dla brzegu  na czę ś ci  utwierdzonego,  a na pozostał ej czę ś ci  swobodnego. Otrzymane  wyniki  pozwolił y  na  wyjaś nienie  szeregu  kwestii  zwią zanych  z  wy- stę pują cymi  osobliwoś ciami.  Przytoczono  szereg  zamknię tych  wyraż eń  na wielkoś ci  statyczne  i  geometryczne. W przypadku ć wierć plaszczyzny  rozpatrzon o zagadnienia,  gdy  jeden  brzeg  jest  swobodnie  podparty, a  drugi  podparty  w  spo- sób  niecią gł y.  Wyniki  pozwalają   również  n a  wyjaś nienie  osobliwoś ci  w  rogu pł yty.  M etodę   równań  cał kowych  singularnych  wykorzystano  jeszcze  w  pracy W.  PIECH OCKIEG O  i  H .  ZORSKIEG O  dotyczą cej  termosprę ż ystego  zagadnienia klina  [33]. W.  N OWACKI  [31]  wykorzystują c  wł asnoś ci  cał ek  H ankela  i  przedstawiają c rozkł ad  tem peratury  w  postaci  takiej  cał ki  rozwią zał   zagadnienie  term osprę ż y- stoś ci  dla  pół przestrzeni, w  której  na  pł aszczyź nie  ograniczają cej  tem peratura T   =   T o   dla  r  <  a,  natomiast jej  gradient  dT \ dz  — 0  dla  r  >  a.  M etoda t ran s- formacji  cał kowych  został a  zastosowana  w  wielu  pracach.  Sprowadzenie  za- gadnienie  brzegowego  do  rozwią zywania  dualnych  równań  cał kowych  zastoso- wano  w  kilku  przypadkach  zagadnień  z  mieszanymi  warunkami  brzegowym i; i  tak  zagadnienie  termosprę ż ystoś ci  dla  szczeliny  osiowo- symetrycznej  w  prze- strzeni  termosprę ż ystej  rozwią zano  w  pracy  [35].  N a  powierzchni  szczeliny dana  był a  tem peratura  albo  jej  gradient.  U kł ad  dualnych  równań  cał kowych otrzymujemy  w  sposób  nastę pują cy.  Przypuś ć my,  że  rozpatrujemy  przypadek pół przestrzeni  sprę ż ystej  ogrzanej  na  powierzchni  ograniczają cej  n a  kole  r  <  1 i  izolowanej  dla r  >  1.  Rozwią zanie  zagadnienia stacjonarnego  sprowadza  się   do rozwią zania  równania  Laplace'a  z  warunkami  brzegowymi P o  wykonaniu  transformacji  H ankela  zerowego  rzę du  na  równaniu  Laplace'a otrzymamy  równanie  róż niczkowe  zwyczajne którego  rozwią zaniem  jest P o  wstawieniu  powyż szego  wyraż enia  jako  funkcji  podcał kowej  do  wzoru  n a transformację   odwrotną   i  wykorzystaniu  warunków  brzegowych  otrzym am y nastę pują ce  równania,  zwane  dualnymi  równaniami  cał kowymi,  z  których wyznacza  się   nieznaną   funkcję J  SA(S)y o {rS)dS  =  C iy (r) t   r<\ , (1.8) 20  Z BI G N I EW  OLESIAK P on ieważ  rozwią zanie  tego  typu  równań jest  znane, wystarczy  obecnie,  przynaj- m niej  z  pun ktu  "widzenia  formalnego,  wstawić  obliczone  A(C)  do  wzoru  na T ( £ ,  z)  i  wykonać  transformację  odwrotną  otrzymując  rozkł ad  tem peratury. P odobn y  tok  postę powania  ma  miejsce  w  innych  przypadkach.  Przykł adem wykorzystan ia  tej  metody  jest  zastosowanie  jej  do  zagadnień  pł ytowych  [34] oraz  osiowo- symetrycznego  zagadnienia w teorii  sprę ż ystoś ci  [36]. P race  Z .  O R - Ł OSIA  [37  i  38]  również  traktują  o  zagadnieniu  szczeliny  i  naprę ż eniach  w  jej pobliż u. R.  SOŁ EC KI  [39]  otrzymał   rozwią zanie  dla  izotropowych  pł yt  prostoką tnych ze  szczeliną  równoległ ą  do jednego  z  brzegów  pł yty.  W  pracy  tej  rozpatrzono drgan ia  i  zginanie  pł yty  i  podano  przykł ady  oraz  odpowiednie  wykresy. W  cią gu  ostatnich  trzech  lat  rozwią zano  szereg  zagadnień  dotyczą cych  nie- cią gł ych  warunków  brzegowych  przez  sprowadzenie  ich  do równania  cał kowego typu  Wien era- H opfa,  które  nastę pnie  rozwią zuje  się  w  sposób  przybliż ony. Wykon an ie  transformacji  F ouriera  na  równaniu  róż niczkowym  czą stkowym sprowadza  je  na  ogół   do  nastę pują cego  problemu.  N ależy  znaleźć  nieznane funkcje  &+(a) i  lP- (o)  zwią zane  równaniem  funkcjonalnym (1.9)  A  (a) cp + (a) +  B(a)  W _(a) + C(a)  = 0 , które  jest  speł nione  w  paś mie  T_  <  x <  r + ,  —co  <  a <  oo  pł aszczyzny  ze- spolonej  a  — a- \ - ir  (parametr  transformacji).  P rzy  tym  T _ , a !F _ ( a ) w  pół pł aszczyź nie T < T + ;  funkcje A{a),  B(a)  i  C(a)  są  znanymi  funkcjami  a  regularnymi  w  rozpatrywanym paś m ie.  P odstawowe  przyję cie  przy  rozwią zywaniu  powyż szego równania, bę dą- cego  przypadkiem  szczególnym  zagadnienia  Riemanna- H ilberta, polega  n a  tak zwanej  faktoryzacji,  t o  znaczy  znalezieniu  funkcji  K + (a)  regularnej  i  nie posiadają cej  punktów  zerowych  w  pół pł aszczyź nie  x  >  r_  oraz  funkcji  K_(a) regularnej  i  nie  posiadają cej  zer  w  pół pł aszczyź nie  T < r +   i  speł niają cych zwią zek: A(ą )_  K + (a) B(a)  K_{a) W  prostszych  przypadkach  funkcje  K + (a)  i K_(a)  udaje  się  odgadną ć.  Istnieją również  in n e  metody  ich  wyznaczania.  W  wielu  zagadnieniach  moż na posł uż yć się  sposobem  przybliż onym  polegają cym  na  zastą pieniu  fun kcjiK + (a)  i  K_(d) prostszym i  speł niają cymi  nastę pują ce  wymagania: 1) nowe  funkcje  K + (a)  i K_(a)  nie róż nią się  znacznie od K + (a)  i K^ (a)  wzdł uż linii,  wzglę dem  których  dokonujemy  faktoryzacji, 2)  zachowują  się  tak  samo  dla  \ a\  -> 0  i  \ a\   -> oo, 3)  są  prostsze,  jeż eli  chodzi  o  rozkł ad  pierwiastków  równania  K + (a)  =   0, K_(a)  = 0 . Stosując  powyż szą metodę M . SOKOŁ OWSKI [40] podał  rozwią zanie  dla nieskoń- czonego pasma pł ytowego swobodnie  podpartego na szerokoś ci 26, a na pozostał ej czę ś ci  brzegu  zamocowanego  sprę ż yś cie.  Z  innych  prac  wymienimy  pracę MIESZAN E  WARUNKI  BRZEGOWE  21 M .  SOKOŁOWSKIEG O  [41];  rozwią zano  w  niej  zagadnienia  przewodnictwa  ciepl- nego  dla  dł ugiej  warstwy,  której  krawę dź  dolna  utrzymywana  jest  w  stał ej temperaturze,  krawę dź  górna  jest  czę ś ciowo  termicznie  izolowana,  a  n a  pozo- stał ej  czę ś ci wypł yw  ciepł a jest proporcjonalny  do tem peratury  brzegu  warstwy. Praca  [42]  tego  samego  autora  dotyczy  niecią gł ego  zagadnienia  brzegowego tarczy  o kształ cie  klina  na  czę ś ci  brzegu  podgrzanego,  a  na  czę ś ci  izolowanego (zagadnienie  przewodnictwa  cieplnego).  N aprę ż enia  w  sztywnie  utwierdzon ej warstwie  sprę ż ystej  znaleziono  w  pracy  [43].  N ieskoń czona  warstwa  sprę ż ysta jest  swobodna  na  czę ś ci  x  <  0  i  jest  ś ciskana  doskonale  sztywnymi  blokam i 0  krawę dziach  ostrych  lub  zakrzywionych  na  czę ś ci  x  >  0.  P odobn e  zagadnie- nie warstwy  sprę ż ystej  swobodnej  dla  x  <  0  i  ś ciskanej  w  ten  sposób,  że  prze- mieszczenia  u  i  v  są   odpowiednio  proporcjonalne  do  naprę ż eń  stycznych 1  normalnych  rozwią zał   M .  MATCZYŃ SKI  [44]; ten  sam  autor  rozwią zał   również zagadnienie  klina  sprę ż ystego  z  danymi  przemieszczeniami  n a  czę ś ci  brzegu [45].  M .  MATCZYŃ SKI i  M .  SOKOŁOWSKI  rozwią zali  ponadto  zagadnienie  pasma pł ytowego  na  czę ś ci  brzegu  sprę ż yś cie  utwierdzonego,  a  n a  czę ś ci  swobod- nego  [46], ,  Literatura  cytowana  w  tekś cie [I ]  W.  N OWACKI,  Pł yty  prostoką tne  o  mieszanych warunkach brzegowych,  Arch.  M ech.  St os., 3,  1951,  419. [2]  W.  N OWACKI,  Pł yty  prostoką tne  o  mieszanych warunkach brzegowych  (I I ),  Arch.  M ech . Stos.,  5,  1953,  193. [3].  W  N OWACKI,  T he problem  of  rectangular plates  with  mixed boundary conditions,  Biul.  P ol. Akad.  N auk,  seria  IV,  1,  1953,  10. [4] Z .  T H R U N ,  T ermiczne stany  odkształ cenia i naprę ż enia  w  cienkich pł ytach,  Arch.  M ech .  Stos. 6,  1954,  555. [5]  W.  N OWACKI,  Zagadnienia dynamiki  i statecznoś ci pł yty  prostoką tnej o mieszanych warunkach brzegowych,  Arch.  M ech.  Stos.,  7,  1955,  226. [6]  W.  N OWACKI,  Free vibrations  and buckling  of  a rectangular plate with discontinuous  boundary conditions,  Biul.  Pol.  Akad.  N auk,  seria  IV,  3,  1955,  159. [7]  W.  N OWACKI, Z .  OLESIAK, Pł yta  koł owana obwodzie czę ś ciowo utwierdzona zupeł nie i czę ś ciowo swobodnie  podparta, Arch.  M ech.  Stos.,  8,  1956,  233. [8]  W.  N OWACKI,  Z .  OLESIAK,  Vibrations buckling  and  bending  of  a  circular plate  clamped  along part  of  its  periphery and  simply supported  on  the  remaining part,  Biul.  Pol. Akad.  N auk.,  seria  IV, 5,  1956,  247. [9]  W.  N OWACKI,  O  pewnych zagadnieniach  brzegowych  teorii sprę ż ystoś ci,  Arch.  M ech .  Stos. 7,  1955,  483. [10]  W.  N OWACKI,  On  certain boundary  problems  of  the  theory  of  elasticity, Biul.  Pol.  Akad. N auk,  seria  IV,  3,  1955,  175. [ I I ]  S.  KALISKI,  Drgania pł yt  podpartych v> przę ś le i  o niecią gł ych  warunkach brzegowych, Biul. WAT,  28,  1954. [12]  S.  KALISKI,  Statecznoś ć pł yt  podpartych w  przę ś le  i  o  niecią gł ych warunkach brzegowych, Biul.  WAT,  35,  1954. [13]  Z,  OLESIAK,  A  bent circular plate with linear supports  inside the plate  region,  Arch.  M ech . Stos.,  9,  1957,  227. 22  Z BIG N IEW  OLESIAK [14]  Z .  OLESIAK,  Gebogcne Kreisplatte mit linearen  Stiitzen innerhalb  der Platte, Biul. Poi. Akad. N auk,  seria  IV,  5,  1957, 129. [15]  Z .  OLESIAK,  Discontinuous  boundary conditions and  linear  supports  in  statical problems of  cylindrical shells, Arch.  M ech.  Stos.,  9,  1957, 549. [16]  W.  N OWACKI,  S.  KALISKI,  Some problems of structural analysis of plates with  mixed boundary conditions, Biul.  Pol. Akad.  N auk,  seria  IV,  4,  19S6,  235. [17]  S.  KALI SKI ,  W.  N OWACKI,  Some problems of structural analysis of plates with mixed  boundary conditions,  Arch.  M ech.  Stos.,  8,  1956, 413. [18]  A.  KACN ER, A  closed solution in  the  case of a  semi- infinite plate strip with discontinuous bound- ary  conditions ( I ) ,  Arch.  M ech.  Stos.,  9,  1957,  371. [19]  A.  KACN ER, A  closed solution  in the case  of bending  of a semi- infinite plate strip  with  discon- tinuous  boundary conditions,  Biul. P ol. Akad.  N auk,  seria  IV,  6,  1958, 7. [20]  A.  KACN ER, A  closed solution  in the case of a semi- infinite plate  with  discontinuous  boundary conditions  ( I I ) , Arch.  M ech.  Stos.,  10,  1958,  57. [21]  A.  KAC N EB,  Metoda N ystroma- Gatissa w  zastosowaniu  do zagadnienia  zginania pł yt  o  nie- cią glych  warunkach brzegowych, Arch.  I n ż yn.  Lą dów., 4,  1958, 55. [22]  A.  KACN ER,  T he method of successive  approximations  applied to bending  of plates with  discon- tinuous boundary conditions,  Biul. P ol.  Akad.  N auk, seria IV, 6, 1958,  251. [23]  A.  KAC N ER,  Metoda  kolejnych przybliż eń  w  zastosowaniu  do  zginania  pł yt  o  niecią glych warunkach  brzegowych,  Arch.  I n ż yn.  Lą dów.  4,  1958,  397. [24]  A.  KACN ER,  Bending  of  semi—infinite  plate  strips  with  discontinuous  boundary  conditions, .Arch.  M ech .  Stos.,  12,  1960, 451. [25]  W.  N OWACKI,  Formulation of boundary problem of the  theory of elasticity with mixed  boundary conditions,  Biul.  Pol. Akad.  N auk,, seria  IV,  10,  1962, 71. [26]  H .  ZoiiSKi, Plates  with  discontinuous  supports,  Arch. M ech.  Stos.,  10, 1958,  271. £27]  H .  Z OR SKI , A  semi- infinite strip with discontinuous boundary  conditions,  Arch.  M ech.  Stos., 10,  1958, 371. [28]  H .  Z ORSKI,  Some cases  of bending of  anisotropic plates, Arch.  M ech.  Stos.,  11, 1959, 71. [29]  H .  Z OH SKI, Plates with discontinuous supports  (I ),  Biul. Pol. Akad. N auk, seria  IV,  6,  1958, 127. [30]  H .  Z ORSKI,  Plates  with  discontinuous  supports ( I I ) ,  Biul.  Pol. Akad.  N auk,  seria  IV,  6, 1958,  133. [31]  W.  N OWAC KI,  A  three- dimensional  thermoelastic  problem with  discontinuous  boundary  con- ditions,  Arch.  M ech.  Stos.,  9,  1957, 319. [32]  W.  N OWACKI,  A  boundary problem  of  heat conduction,  Biul. P ol. Akad.  N auk,  seria  IV,  5, 1957,  205, [33]  W.  P IECH OCKI, H . ZORSKI,  T hermoelastic problem for  a zvedge,  Biul. P ol.  Akad. N auk,  seria I V,  7,  1959,  555. [34]  Z.  OLESIAK,  Some cases of  infinite isotropicplates with mixed boundary conditions,  Arch.  M ech. Stos.,  12,  1960,  109. [35]  Z .  OLESIAK,  I . N .  SN ED D ON ,  T he  distribution  of thermal stress  in an infinite elastic  solid  con- taining  a penny- shaped crack, Arch. Rat. M ech.  Anal., 4,  1960, 238. [36]  G .  SZETER,  Osiowo- symetryczny problem  teorii  sprę ż ystoś ci  z  mieszanymi  warunkami brzegowymi,  Konferencja  Zakł adu  M echaniki  Oś rodków Cią gł ych  w  Krynicy  w  r. 1962, Z eszyty N a u k o we  P o lit ec h n iki  K rakowskiej, N r  2,  1946. [37]  Z .  O R Ł O Ś,  Szczelina przykrawę dziowa  w pół plaszczyź nie sprę ż ystej, Arch. I n ż yn. Lą dów., 6,  1960,  93. [38]  Z .  O R Ł O Ś,  Arbitrary  inclined crack  intersecting  the edge  of  an elastic semi- plane,  Biul.  Pol. Akad.  N auk,  seria  I V,  10,  1962, 371. [39]  R.  SOŁ ECKI, Bending  and  vibration of  an  isotropic  rectangular plate  with  a hinged slot, Acta JPolytechnica  Scandinavia,  318/ 1962. MIESZAN E  WARUNKI  BKZEGOWE  23 [40]  M.  SOKOŁOWSKI,  Some problems  of  a  plate  strip  - with  discontinuous boundary conditions, Arch.  M ech.  Stos.,  13,  1961,  239. [41]  M .  SOKOŁOWSKI,  A  thermoelastic problem for  a strip  with discontinuous  boundary  conditions, Arch.  M ech.  Stos.,  13,  1961,  337. [42]  M .  SOKOŁOWSKI,  Heat flow  in  a wedge  with discontinuous  boundary conditions,  Arch.  M ec h . Stos.,  13,  1961,  433. [43]  M .  SOKOŁOWSKI,  Stresses  in  a rigidly clamped plate  strip, Arch.  M ech. Stos., 14, 1962,  271. [44]  M .  MATCZYŃ SKI,  Plane state of stress  in  a plate strip with discontinuous  boundary  conditions, Biul.  Pol.  Akad.  N auk,  seria  IV,  10,  1962,  261. [45]  M .  MATCZYŃ SKI,  Klin  sprę ż ysty  o  niecią gł ych  warunkach  brzegowych,  Arch.  M ech . Stos.,  15,  (1963),  833. [46]  M .  MATCZYŃ SKI,  M .  SOKOŁOWSKI,  On  polynomial  solutions of  a  certain discontinuous boundary value  problem,  Biul.  P ol.  Akad.  N auk, seria  I V,  12,  1963 P  e 3 ro  M e OB 3 OP  n O JI LC K H X  P ABOT  KACAKDIUJOCCJI  3AflA^  C TI E P E P Ł I BH BI M I i KPAEBŁIM H   yC J I O BJ lSM J l  B  T E O P H H   YI I P y r O C T H JI aercH   oSaop  npn6jiii3H TejiŁH O  5 0 - TH   paGoT  IJOJIBCKH X  BBT O P O B.  PaSoTŁi B  coraacH H   c  MaxeMaTHiiecKHjviH   MeTOflaMit,  n p n  IIOM OIH H  KOToptix  p e m e n b i REVIEW  O F   T H E  P OLI SH   P AP E R S  C O N C E R N I N G  T H E  P R OBLEM S  WI T H D I SC ON TI N U OU S  BOU N D AR Y  C ON D I TI ON S  I N   T H E  TH E OR Y  O F   E LAST I C I T Y About  50  recent  papers  by  Polish  authors  on the above  problem  are  discussed.  Some m ath em a- tical  methods  of  solutions  are  presented. ZAKŁAD   MECHANIKI OŚ RODKÓW  CIĄ GŁYCH INSTYTUTU   PODSTAWOWYCH   PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  19  paź dziernika  1963  r.