Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z1\mts64_t2_z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  2  (1964) ZWIĄ ZKI  FIZYCZN E  DLA  MATERIAŁ U   SPRĘ Ż YSTEGO Z  WIĘ ZAMI  G EOMETRYCZNO- TERMICZNYMI ZBIGNIEW  W E S O Ł O W S KI  (WARSZAWA) Wiele  materiał ów  zachowują cych  wł asnoś ci  sprę ż yste  również  przy  duż ych odkształ ceniach  wykazuje  bardzo  nieznaczną  ś ciś liwość  odpowiadają cą  współ - czynnikowi  Poissona  bliskiemu  0,5.  Są  to  przede  wszystkim,  tzw.  m ateriał y gumopodobne.  P rzy  ich  rozpatrywaniu  wyprowadza  się  zwykle  zał oż enie o  nieś ciś liwoś ci,  co  zresztą  znacznie  upraszcza  obliczenia. Wię kszość  rozpatrzonych  dotychczas  zagadnień  dotyczy  przypadku,  gdy proces  odkształ cenia jest  izotermiczny.  Przejś cie  do  innych  procesów  nie  na- strę cza  trudnoś ci,  jeś li  przyją ć,  że  rozpatrywany  nieś ciś liwy  materiał   nie  wy- kazuje  rozszerzalnoś ci  termicznej.  Jest  to  jednak  zał oż enie  dość  sztuczn e. Jeś li  natomiast  materiał  wykazuje  rozszerzalność  termiczną, to  zwią zki  fizyczne przyjmują  inną  postać  i  zachodzą  istotne  róż nice  mię dzy  procesem  izoter- micznym,  a  procesem  nieizotermicznym. W  niniejszej  pracy  wskaż emy  na te  róż nice jak  również  na  pewne  wynikają ce z  nich  konsekwencje. 1.  G eom etria  odkształ cenia  i  zwią zki  fizyczne Oznaczmy  przez  P  typowy  punkt  ciał a  nieodkształ conego  B.  W  procesie odkształ cenia  ciał o  B  przechodzi  w  ciał o  odkształ cone B,  a  typowy  pun kt  P w  punkt  P.  Tem peraturę  pun ktu  P  oraz  P  oznaczymy  odpowiednio  przez  T oraz  T .  Wprowadź my  ustalony  kartezjań ski  ukł ad  współ rzę dnych  oraz  współ - rzę dne  konwekcyjne  6{.  Oznaczając  przez  xi  oraz  yi  kartezjań skie  współ rzę dne punktu  P  oraz  P  mamy nn  "  _ ^m. £ ^m.  a  _  fom  tym K  ]  giJ  ~  3d1  8dJ'  giJ~  3d'  86*' (1- 2)  «y- - 2- ( ł < / - ł < / )» gdzie  gtj  oraz gy  oznaczają  tensory  metryczne  w  B  oraz  B,  a  e^  jest  tensorem, odkształ cenia.  Symetryczny  tensor  drugiego  rzę du  sy  ma  3  n iezm ien n iki. 26  Z BI G N I EW  WESOŁ OWSKI D la  naszych  celów  najdogodniejsze  jest  zdefiniowanie  tych  niezmienników zwią zkami (1.3)  h  = Z"grs»  h  -   SrsgtS h,  h=gl°g- Pierwiastek  z  niezmiennika  73 jest  stosunkiem  gę stoś ci  Q ciał a  B  do gę stoś ci  Q ciał a  B. Stan  naprę ż enia  ciał a  B  scharakteryzowany  jest  tensorem  naprę ż enia xv> (odniesionym  do  jednostki  powierzchni  w  ciele  odkształ conym  J5).  Współ - rzę dne  sił y  P  dział ają cej  na jednostkę  powierzchni  o normalnej  n wyraż ają  się przez  tensor  T'J  wzorem (1.4)  F  ma- flm. Rozpatrujemy  ciał o  sprę ż yste  o  dowolnej  nieliniowej  charakterystyce  fi- zycznej.  Stan  ciał a  sprę ż ystego  okreś la  siedem  niezależ nych  parametrów  stanu. Jak  pokazano  np. w  [1], parametry  te mogą  być  wybrane  w  sposób  w  zasadzie dowolny  spoś ród  14  wielkoś ci:  sześ ciu  współ rzę dnych  tensora  odkształ cenia By,  sześ ciu  współ rzę dnych  tensora  naprę ż enia  riJ,  temperatury  bezwzglę dnej T  oraz  odniesionej  do jednostki  masy  ciał a  entropii  S. Do  celów  niniejszej  pracy  najdogodniejsze  jest  przyję cie  za niezależ ne  para- metry  stanu  współ rzę dnych  tensora  odkształ cenia  ŝ   oraz  temperatury  T . Zgodnie z pierwszą i drugą zasadą termodynamiki mamy toż samość (por.  np.  [1]) gdzie  funkcja  F(etj, T ) jest  energią  swobodną,  odniesioną  do  jednostki  masy rozpatrywanego  ciał a. Róż niczki  de^ ,  dT   moż na  formalnie  traktować  jako  wektory  siedmiowy- miarowej  przestrzeni wektorowej  F 7 . W przypadku gdy róż niczki te są  wzajemnie niezależ ne,  z  (1.5) wynika r u  SF  8F Q  ÓEij  Cl Zwią zki  (1.6)  obowią zują  w  przypadku,  gdy  każ da  zmiana  wielkoś ci  gy  oraz T  jest  kinematycznie  dopuszczalna.  Współ rzę dne  tensora  naprę ż enia  riJ  oraz entropia  S  są  wtedy  jednoznacznie1  okreś lone  przez  współ rzę dne  tensora  od- kształ cenia  £ y  i temperaturę  T . Tak jednak  nie jest, jeś li  współ rzę dne  te i tem- peratura  nie  są  niezależ ne. Zał óż my,  że  w  rozpatrywanym  ciele  istnieją  wię zy  geometryczno- termiczne. W  szczególnych  przypadkach  mogą  one wyraż ać warunek  nieś ciś liwoś ci, ograni- czenie  odkształ cenia  przez  struny  zanurzone  w  materiale  itp.  Przyjmiemy,  że wię zy  te  wyraż ają  się  zwią zkami n 7 ,  f K (E lJ ,T ,r i J,S)=Q,  £ = 0 , l , 2 , . . . , M ,  M < 7 , 1  P ewn em u  stanowi  odniesienia,  n p .  stanowi  B,  przypisujemy  entropię  >b' =   0.  W ten  sposób przechodzim y  do  operowania  tylko  przyrostami  entropii. ZWIĄ ZKI  FIZYCZN E  27 Sześć  współ rzę dnych  tensora  odkształ cenia  ey  oraz  tem peraturę   T   traktujem y jako  zmienne  niezależ ne,  a  T'J  oraz  S  jako  ich  funkcje.  Zwią zki  (1.7)  stanowią wię c  pewne  wię zy  narzucone  na  ey  oraz  T .  To  usprawiedliwia  nazwę   wią zy geometryczno- termiczne.  Obliczają c  róż niczkę   zupeł ną   (1.7)  mamy (1.8) ( " o "  +   W ~T s~Ł   ^~5~F~T—idsij  +   \ - K7fr  + - s- 7T- T7fr  + - ^ - - T 7?r  dT   =   0. W  tym  przypadku  róż niczek  day,  dT   nie  moż na  wię c traktować  jako  wektory niezależ ne.  Rozwią zaniem  (1.5)  jest  teraz2 M ^ T =   1 BT  ZJ  PKBT  ZJ  PK\ 8T Zwią zki  (1.9)  pozwalają   wyznaczyć  współ rzę dne  tensora  naprę ż enia  ru  oraz entropię   S1  jako  funkcje  współ rzę dnych  tensora  odkształ cenia  gy  oraz  tem pe- ratury  T . okreś lone  są   z  dokł adnoś cią   do  M  skalarnych,  parametrów  p K ,  które mogą   być  interpretowane  jako  mnoż niki  Lagran ge'a.  D la  M  = 0  zwią zki  (1.9) przechodzą   w  zwią zki  dla  materiał u bez  wię zów  (1.6). W  nastę pnych  rozdział ach  zostaną   rozpatrzone  pewne  przypadki  szczególne zwią zków  (1.7)  i  wynikają cych  z  nich  zwią zków  fizycznych  (1.9). 2.  P rzypadek  szczególny  wię zów  geometryczno- termicznych Zajmiemy  się  tutaj  pewnym  szczególnym  przypadkiem  wię zów  geom etryczn o- termicznych  (1.7).  Zał oż ymy  mianowicie,  że  tem peratura  i  odkształ cenie  są zwią zane  zwią zkiem  jawnym,  a  nie  za  poś rednictwem  naprę ż enia  i  en tropii. 2  Równanie  wektorowe  ̂ =   0,  A -   1 ,   2, . . . , n, k przy  speł nionych N  <  n  niezależ nych  zwią zkach k m a  rozwią zanie gdzie p K są   wzajemnie  niezależ nymi  skalarnymi  mnoż nikami. 28  Z BI G N I E W  WESOŁOWSKI P odczas  gdy  wię zy  (1.7) zależ ały  od  prawa  fizycznego,  wię zy  rozpatrywane w  niniejszym  rozdziale  od tego  prawa  nie zależ ą . D la  uproszczenia  rozważ ań  chwilowo  zał oż ymy,  że  konwekcyjny  ukł ad współ rzę dn ych  0' pokrywa  się  w B z ukł adem x t .  Zgodnie z (1.1)  oraz (1.2) jest 8xj eU  —  "o"2 / 2  \  8x t   8xj P owstaje  pytan ie,  jaką   postać  ma najogólniejszy  zwią zek  pomię dzy tempera- turą   a odkształ ceniem . Ograniczają c  się  do przypadku,  gdy temparatura  zależy tylko  od  odkształ cenia (a nie od prę dkoś ci  odkształ cenia,  przyś pieszenia  itd.), taką   najogólniejszą   postacią   jest (2.3)  T =H(d yi ldxj). Z ależ ność  (2.3) jest  naturalnym uogólnieniem  wprowadzanych  czę sto  wię zów geom etrycznych,  których, najprostszym  przykł adem jest równanie  nieś ciś liwoś ci. W  szczególnym  przypadku wię zy (2.3) mogą  wyraż ać rozszerzalność  obję toś ciową zależ ną   tylko  od tem peratury.  F unkcja  H  może  w  sposób  istotny  zależ eć  od poł oż enia  ciał a  B  wzglę dem  ukł adu  x t .  Tak jest  n p. w przypadku,  gdy ciał o B  wykazuje  anizotropię . G radien ty  odkształ cenia zgodnie z (2.2) okreś lają   cał kowicie tensor odkształ ce- n ia  Bij.  T en so r  odkształ cenia s { j  nie okreś la  jednak  jednoznacznie  gradientów odkształ cenia.  Zdawać  by  się  wię c  mogł o,  że postulowana  zależ ność  (2.3) jest ogólniejsza  od zależ noś ci  T  =   T(ey).  N iż ej  wykaż emy,  że tak nie jest. Zał óż my,  że  ciał o  B  doznał o  pewnego  sztywnego  obrotu  okreś lonego  orto- gonalną   macierzą   ay  dokoł a  począ tku  ukł adu. W  ustalonym  poprzednio  orto- gonalnym  kartezjań skim  ukł adzie  współ rzę dnych  pun kt  P  po  obrocie  ciał a J3 m a  współ rzę dne, które  oznaczymy  przez ^ t .  Zachodzą   zwią zki (2.4)  y t   =  Ofiyj,  dy t l8x k   =  a tJ   8yj/ dx k , (2.5)  a ir a ir =b u . P odczas  sztywnego  obrotu  tem peratura  punktu  P  nie  ulega  zmianie.  Jest wię c (2.6)  H(8 yi l8x k )  =H(a tJ 8y J ldx k ). P rzedstawim y  macierz  Syt/ dxk  jako  iloczyn  macierzy  ortogonalnej  qij  oraz m acierzy  symetrycznej  s,j.  Takie  przedstawienie  jest  zawsze  moż liwe  (por. n p .  [3, 4]). Jest  wię c (2.7)  8y t l8x k   =  q ir s rk , (2.8)  8yildx k =a ip q pr s rk . Zawsze  moż na  tak  wybrać  obrót  ciał a  B  okreś lony  ortogonalną   macierzą a t j,  że a ir   q rk   =  § ik .  W  tym  przypadku  gradienty  odkształ cenia dyildxk  tworzą macierz  symetryczną   i  jest (2.9)  Sy i j8x k   =s ik . ZWIĄ ZKI  FIZYCZNE  29 Przyjmując  to  poł oż enie  ciał a  B  za  poł oż enie  wyjś ciowe  zgodnie  z  (2.3) oraz (2.6)  mamy (2.10)  T =H{s ik )=H( aiJ s Jk ). D la  dowolnego  materiał u tem peratura nie  jest  więc  funkcją  niesymetrycznej macierzy  gradientów  odkształ cenia 8yil8x kt   a funkcją  symetrycznej  macierzy .v;j- . Chociaż  dalsze  rozważ ania  moż na  prowadzić  w  oparciu  o  macierz  s^ ,  wy- godniejsze  jest  in n e  podejś cie.  Z (2.7) wynika  mianowicie (2.11)  s„s A   = 2 s u —  8tk. Kwadrat  macierzy  Sij jest  więc  okreś lony jednoznacznie przez  macierz  ten sora odkształ cenia  £ 0- .  Okreś lone  są też jednoznacznie  kwadraty  wartoś ci  wł asnych macierzy  s(J-  (równe  wartoś ciom  wł asnym  macierzy  sy) .  Same  wartoś ci  wł asne okreś lone  są  jednak  tylko  z  dokł adnoś cią  do  znaku.  N iejednoznaczność  ta wynika  stą d,  że  rozkł ad  (2.7) nie jest  rozkł adem  jedyn ym .  M oż na  jedn ak  tak dobrać obrót ciał a JS, aby macierz sy był a dodatnio  okreś lona. W tym  przypadku wszystkie  trzy  wartoś ci  wł asne  macierzy  s^  są  dodatn ie i  sama  macierz  Sy jest okreś lona  jednoznacznie  przez  macierz  tensora  odkształ cenia  ey.  W  dalszych rozważ aniach  bę dziemy  zakł adali, że zachodzi  ten wł aś nie  przypadek. Zgodnie  z  powyż szymi  uwagami  nie zawę ż ając  ogólnoś ci  moż na  przyjąć (2.12)  T  =  T (e tJ ). Wię zy  geometryczno- termiczne  (2.12) równoważ ne  są wię zom  postulowan ym w  (2.3)  dla wszystkich  materiał ów, w tym  również  sprę ż ystych  anizotropowych. Bliż sze  okreś lenie  postaci  (2.12)  moż liwe jest  dopiero po okreś leniu  typu  anizo- tropii.  W  dalszych  wzorach  okreś limy  (2.12)  dla  materiał u  izotropowego. Ograniczamy  się teraz  do rozpatrywania  m ateriał u izotropowego.  D la  takiego materiał u  obrót  ciał a  B  wzglę dem  ustalonego  ukł adu Xi nie  może  spowodować zmiany  postaci  zwią zku  (2.12).  N iech  ciał o  B  dozna  obrotu  sztywnego  okreś lo- nego  ortogonalną  macierzą  dy.  N owe  współ rzę dne  pun ktu  P  i  nowe  współ - rzę dne  tensora  ey  wyznaczone  z  (2.2) mają  postać (2.13)  Xt- dyXj, (2.14)  Jij  =a ip a Jq e m . Zgodnie  z  przeprowadzoną  wyż ej  analizą  mamy (2.15)  T (a iJ )=T (e ij ) > (2.16)  T {e i] )=T {d lp & ii s Pi ). F unkcja  J"(ey)  jest  więc  skalarową  funkcją  macierzy  «y,  n iezm ien n iczą wzglę dem  przekształ cenia  ortogonalnego  tej  macierzy.  Stąd  wynika,  że  T moż e  być funkcją  tylko  niezmienników  macierzy  e^ .  Skorzystamy  teraz  z  n ie- zmienników  odkształ cenia  I lt   7a ,  / 3  okreś lonych  zwią zkami  (1.3).  D la  ciał a izotropowego  jest  więc  ostatecznie (2.17)  r 30  Z BIG N IEW  WESOŁ OWSKI l u b  p o  r o zwią za n iu  wzglę d em  I 3 ( 2.18) Z wią zek  (2.18)  bę d ziemy  in t erp ret o wali  jako  u ogóln ion e  prawo  ro zszerzal- n o ś ci  t e r m ic zn e j. W  o gó ln ym  p rzyp ad ku  prawo  to okreś la  obję tość  jako  funkcję: t e m p e r a t u r y  i  p ierwszyc h  d wó c h  n iezm ien n ikó w  st an u  odkształ cen ia. W  szcze- gó ln ym  p r z yp a d ku  q>(I u   7a>  T )  =  {Ix,  I 2,  T ) s  1 przech o d zi w  wa r u n ek n ieś ciś liwo ś ci.  P o n ie wa ż  p r zy  T   =   T ,  I x   =  / 2  =   3  m am y  J 3  =   1  (ciał o  5 ) , m u si  b yć (2.19)  p ( 3 , 3, f 1)  = 1 . Z e  wzglę du  na swój  t en so ro wy  ch arakt er zwią zki  (2.12)  i  (2.17)  są  p rawd ziwe w  ka ż d ym  u kł a d zie  wsp ó ł r zę d n yc h. 3.  P rzypadki  szczegół owe 3.1.  Uogólnione  prawo  rozszerzalnoś ci  termicznej.  P rzejd ziem y  obecn ie  do  ro zp a- t r z e n ia  zwią zków  fizyczn ych  dla  ciał a  izo t ro po wego  w  p rzyp ad ku ,  gdy obo- wią zu je  u o gó ln io n e  prawo  rozszerzaln oś ci  t erm iczn ej  (2.18).  Z godn ie  z (1.7) m a m y (3.1)  / = / 3 - ^ ( 71 ) / 2 ; T ) = 0 . W  ogólnym  przypadku  ciał a  sprę ż ystego  izotropowego  energia  swobodna  F jest  funkcją  trzech  niezmienników  stanu  odkształ cenia I 1 ,I 2 ,I a   oraz tempera- tury  T .  W  przypadku  rozpatrywanym  tutaj  ze  wzglę du  na  istnienie  zwią zku (3.1)  moż na,  nie  zwę ż ając  ogólnoś ci,  przyjąć  F  = F(I 1 ,  72,  T). Zgodnie z  (1.9) i  (3.1)  mamy  więc (3.2) gd zie  p'  je st  dowoln ą  fun kcją  skalarn ą,  po d czas  gdy  fun kcje  W ± ,  W z , ^ 3 , o r a z  bij  o kr eś lo ne  są  zwią zkam i. FiF  ?)F  8F  8F p.3,   y «— ł r-   y - =2 e S '  v'= 2e£ '  w'̂ w; V  ~(g"t'- i"i")g„- ZWIĄ ZKI  FKYCZN E  31 Ozn aczając  p  =   2qp'cp m am y  ostateczn ie (3.5)  *- *• +£&• 3.2.  Rozszerzalność  obję toś ciowa  niezależ na  od  odkształ cenia.  Z ał óż my  o be c n ie  że m at eriał   wykazuje  t erm iczn ą  rozszerzaln ość  obję toś ciową  n iezależ ną  o d  o d - kształ cen ia (3.6) Zwią zek  ten  przedstawia  jedn o  równanie  wię zów.  Zapisując  je  w  postaci  takiej jak  (3.1)  mamy (3.7) Zwią zek  (3.7) bę dziemy  traktować  jako  szczególny  przypadek  zwią zku  (3.1). Zgodnie  z  (3.2)  jest  więc (3.8)  T "  =   W &V +  W t  W   + p' ?agv,  S = W0  + 2p'cp Ś jL - Oznaczają c  p  =  W 3 p'  mamy  ostatecznie (3.9)  rV (3- 10)  s  =  W j ^ Przy  cp(T ) s  1  równanie  (3.7)  przechodzi  w  warunek  nieś ciś liwoś ci.  W  t ym przypadku  dcp\ dT  = 0  i  entropia  S  okreś lona  jest  przez  (3.10)  jedn ozn aczn ie. Zaskakują cy  fakt,  że  przy  dcpjdT  #   0  entropia  (ś ciś lej  —  przyrost  en tropii) okreś lona jest  z  dokł adnoś cią  do pewnej  funkcji  skalarnej,  moż na ł atwo  wyjaś nić w  przypadku,  gdy  do  rozpatrywanego  ciał a  o  jednostkowej  masie  przył oż one jest  tylko  stał e  ciś nienie  hydrostatyczne  q  =   const.  P rzy  wzroś cie  tem peratury o  dT   ciał o  wykonuje  pracę   zależ ną   od  ciś nienia  q,  doprowadzone  ciepł o  m usi wię c  też od  tego  ciś nienia zależ eć. Stą d wynika, że  wzrost  entropii  spowodowan y wzrostem  tem peratury  zależy  od  ciś nienia  q. Z  faktem  tym  wią że  się   bezpoś rednio  kwestia  jednoznacznoś ci  energii  we- wnę trznej  U(I X ,  / a , 7 3 )  S)  oraz  energii  swobodnej  F{I X,  1^ ,1^ , T ).  Obie  t e funkcje  są   jednoznacznie  okreś lone  przez  param etry  stanu  7^  / a ,  I 3  oraz  S lub  też  I u   I % , I s   oraz  T.  Jednak  wtedy  gdy  energia  swobodna  F  nie  zależy od  funkcji  p,  t o  energia  wewnę trzna  zależy  od  funkcji  p  za  poś redn ictwem entropii  S. Sytuacja  podobna  do  opisanej  zachodzi  w  rozpatrzon ym  wyż ej  przypadku, gdy  obowią zuje  uogólnione  prawo  rozszerzalnoś ci  term iczn ej. 32  ZBIG N IEW  WESOŁOWSKI 4.  Inflacja  i  rozcią gnię cie  rury  walcowej 4.1.  Założ enia  i  zwią zki  ogólne.  Przejdziemy  obecnie  do  rozwią zania  przykł adu. R ura  walcowa  o  prom ieniu  wewnę trznym  a,  zewnę trznym  i  i  o  dł ugoś ci / , okreś lona  dalej  jako  ciał o  B,  wykonana jest z izotropowego i jednorodnego ma- teriał u  sprę ż ystego.  O materiale  tym  zakł adamy,  że  jest  nieś ciś liwy  i  że  wyka- zuje  obję toś ciową   rozszerzalność  termiczną   zależ ną   tylko  od  tem peratury. Rozpatrywana  rura  doznaje  skoń czonego  rozcią gnię cia  w  kierunku  swojej osi  oraz  inflacji,  t j.  zwię kszenia  promienia  wewnę trznego  i  zewnę trznego. N a  skutek  tego  odkształ cenia przechodzi ona w  rurę   o wymiarach  odpowiednio a,  b  oraz  I okreś laną   dalej  jako  ciał o B.  Wprowadź my  parametry  A oraz  JJ,  zde- finiowane  równoś ciami (4.1)  A  = / / / ,  p  =   a\ d. W  przypadku  materiał u  nieś ciś liwego  (rozpatrzonym  n p.  w  [2])  parametry X oraz  JX  okreś lają   cał kowicie geometrię   odkształ cenia niezależ nie  od  charakteru procesu  B  - *•   B  i  niezależ nie  od  zwią zków  fizycznych.  W  przypadku  materiał u wykazują cego  rozszerzalność  termiczną   parametry  te  nie  okreś lają   jednoznacz- nie  geom etrii  odkształ cenia.  P rzy  rozpatrywaniu  takiego  materiał u  konieczna jest  znajomość  charakteru  procesu  B  -> B,  rozkł adu tem peratur  itp., jak  rów- nież  znajomość  zwią zków  fizycznych.  W  dalszym  cią gu  pracy  przy  przejś ciu  do efektywnego  rozwią zania  okreś lać  bę dziemy  zarówno  charakter  procesu  jak i  zwią zki  fizyczne. W  ciele  B  budujemy  walcowy  ukł ad  współ rzę dnych  O1  =   (r, • &,  z).  Współ - rzę dne  te  uważ ać  bę dziemy  za  współ rzę dne  konwekcyjne. Ten sor  metryczny  gy  w  B  jest '1  0  0" (4.2)  g tJ   =  Or* .0  0  1. Z akł adamy,  że  odkształ cenie jest  osiowo- symetryczne  i  a)  przemieszczenie prom ien iowe typowego  punktu P jest  tylko  funkcją   r,  b) przemieszczenie  osiowe p u n kt u P jest tylko funkcją   z. Z godn ie  z  powyż szymi  zał oż eniami  mamy (4.3)  x 1   = r Q c o s # ,  xa  =rQ  sim?,  x3  =   zlX,  Q  =Q(r), przy  czym (4.4)  Q(a)=llp, gdzie  Q(r)  jest  pewną   na  razie  nieokreś loną   funkcją   zmiennej  r. T en sor  metryczny  g tJ   w  ciele B  okreś lony  jest  zwią zkiem  (1.1).  Korzystają c z  (4.3)  m am y \ {Q  + rQrf  0  0 (4- 5)  hj  - 0  r>0 2  0 0  0  l/ A2. ZWIĄ ZKI  FIZYCZNE  33 Tensory  metryczne gu oraz gi}  okreś lają   stan  odkształ cenia  ciał a  B.  T en sor odkształ cenia  ey  i jego  niezmienniki  I x , J a ,  73  mają   postać 1 2 (4.6)  B,j^~(g,j- gv)=   O O 0 —  C 0 )2 ) 1- 0  * 0 - l / A2 . h  =   g"gr.  =   (Q  +  r (4.7)  / a  -   g, sg rs h  =  & (Q Przejdziemy  teraz  do uł oż enia równania  róż niczkowego,  jakie  speł nia  funkcja Q(r)  oraz  do  wyznaczenia  stanu  naprę ż enia  w  rozpatrywanym  walcu.  Z godnie z  zał oż eniem,  że  materiał   wykazuje  rozszerzalność  obję toś ciową   zależ ną   tylko od temperatury  T,  mamy (4.8)  Q/ Q =   ? (T ). Trzeci  niezmiennik  stanu  odkształ cenia  I 3  jest kwadratem  stosunku  gę stoś ci ciał a B do  gę stoś ci  ciał a  B.  Wykorzystują c  (4.7)  oraz  (4.8)  mamy  ostatecznie (4.9)  h -     =   W 1   Q- * +  W 2  Q- *  [A2 +  (Q  +  rQ r )~*]  +p, Równania  równowagi  ciał a  B,  mają ce  postać (4.11)  V , T " = 0 , gdzie  V,-  oznacza  róż niczkowanie  kowariantne  wzglę dem  0'  w  B,  ze  wzglę du na  osiową   symetrię   rozpatrywanego  zagadnienia  sprowadzają   się   do  jedn ego równania (4.12)  Ł  r "  + 1  ( T" _  r* ̂   =   0 , 3  Mechanika  teoretyczna 34  Z BI G N I EW  WESOŁ OWSKI Podstawiając  (4.10) do (4.12) mamy (4.13)  Jr +   7  [(Q +  ^ 2  -   Q~"]{li\  +  Aa y, )  =   o. P rzyjmiemy,  że  zewnę trzna  powierzchnia  rozpatrywanego  cylindra  r =  6 jest  wolna  od  obcią ż enia,  a  powierzchnia  wewnę trzna  r—a  jest  obcią ż ona obcią ż eniem  cią gł ym  q  (ciś nieniem  hydrostatycznym).  Warunki  brzegowe sprowadzają  się  do (4.14)  rn\ r .„=- q,  A- s- O. P odan e  w  tym  punkcie  zwią zki  pozwalają  wyznaczyć  efektywnie  stan  od- kształ cenia  i  naprę ż enia,  jeż eli  tylko  okreś lony  jest  termiczny  charakter  pro- cesu  B  -> B.  W  nastę pnych  punktach  skoncentrujemy  uwagę  na  dwu  skrajnie róż n ych  przypadkach.  W  przypadku  pierwszym  zachodzi  ustalony  przepł yw ciepł a  spowodowany  róż nicą  tem peratur  na  powierzchni  r—  a  oraz  powierzch- n i  r  =   b.  W  przypadku  drugim  proces  B  - * B  jest  procesem  adiabatycznym. 4,2. Ustalony  przepł yw  ciepł a.  N iech  na  powierzchniach  r =   a  oraz  r=b  pa- nują  stał e  tem peratury  T a   oraz  T b .  Po  dostatecznie  dł ugim  czasie  wewną trz rozpatrywanego  ciał a  ustali  się  rozkł ad  tem peratury  okreś lony  równaniem przewodn ictwa (4.15)  Vr  # •  =  {), gdzie  Rl  są  współ rzę dnymi  wektora  strumienia  cieplnego  odniesionego  do jedn ostki  powierzchni  ciał a  odkształ conego.  Wektor  ten ,  jak  pokazano  n p. w  [3], dla  ciał a izotropowego  moż na przedstawić  w nastę pują cej  postaci: (4.16)  Rl  = (C x dj+  C,sj4- C,«J«j)V'T, gdzie  VJ  oznacza  róż niczkowanie  kontrawariantne  w  B,  a  C x,  C a  oraz  C3  są funkcjami  trzech  niezmienników  (1- 7)  oraz  trzech  niezmienników  termiczno- odkształ ceniowych (4.17)  / 4  =   V £TVfT,  J„  =  e jVt J W,  J„  = eJe5V(TVr. Podstawiając  (4.16)  do  (4.15)  otrzymujemy  ostatecznie (4.18)  V;  [ ( d 3 j  +   C 2ej  +   C 34eJ)V JT]  =   0. Równania  (4.9), (4.13)  oraz  (4.18)  tworzą  ukł ad trzech  równań  róż niczkowych z  trzem a  niewiadomymi  funkcjami  T (r),  Q(r)  oraz p(r).  W  celu  rozwią zania  te- go  ukł adu  najwygodniej  jest  korzystając  z  (4.9)  wyrazić  tem peraturę  T (r)  przez funkcję  Q(r),  T   —  T (Q(r), r)  i  otrzymany  wynik  podstawić  do  (4.18).  Otrzy- muje  się  w  ten  sposób  równanie  róż niczkowe  zwyczajne  z  jedną  tylko  niewia- domą  Q(r).  P o  wyznaczeniu  z  tego  równania  funkcji  Q(r)  moż na  podstawiając Q(r)  do  (4.1.3)  wyznaczyć  funkcję  p(r). ZWIĄ ZKI  FIZYCZNE  35 Równania  róż niczkowe  (4.9), (4.13)  oraz  (4.18)  są  na  ogół   nieliniowe.  Z  tego powodu  rozwią zali  moż na  na  ogół   poszukiwać  tylko  na  drodze  n um eryczn ej. Wskaż emy  tutaj  na  prosty  przykł ad,  który  udaje  się  rozwią zać  an alityczn ie. Przyjmiemy  mianowicie (4.19)   a  wię c  geometrię   odkształ cenia.  Mają c  funkcję   O(r) moż na  z kolei  ł atwo  okreś lić  zgodnie  z  (4.9)  funkcję   ą (r),  a  wię c  i  T (r),  a  n a- stę pnie  za  po nocą   (4.10)  tensor  riJ. Jak się  zdaje, dotychczas nie zaproponowano ż adnej postaci funkcji  F(I 1 , I 2 , T ) dla  materiał ów  sprę ż ystych  wykazują cych  rozszerzalność  termiczną .  U n iem o - ż liwia  to  wykonanie  konkretnych  obliczeń  dla  takiego  m ateriał u. Literatura  cytowana  w  tekś cie [1].  H . H .  roJIbflEH EJlAT, HeKomopue  eonpocu  Mexammu  de^ opMUpyeMbixcped,  MocKBa  1955. [2]  A.  E.  G R E E N ,  W.  Z ERN A,  T heoretical Elasticity,  Oxford  1954. [3]  A. E.  G REEN ,  J . E.  AD KI N S,  L arge  Elastic  Deformations,  Oxford  1960. [4]  C.  TRU ESD ELL,  R.  T O O P I N ,  T he Classical  Field  T heory,  F lugge's  Encyclopedia of  P hysics. Vol.  I I I / l,  Berlin  1960. P  e  3  K>  M e OH 3H ^E C KH E  YPABHEHHH   &JIX  YllP yr O r O  TEJIA C  rEOMETPHMECKH- TEIDIOBLIMH  CB&3HMH HeoKHiwaeiviocTH   H BJIH CTCH   ^acTHfciM   cnyqaeM   reoMeTpjreecKH - TemiOBMX  cBH 3eii T*/j  S,  T )  =   0 .  B  pa6oTe  BtiBefleH ti  (J)H 3niecKH e ypaBHeHHH   flJM   yn p yr o r o  maTe- xapaKTepH 3yK>merocH   TaKHMH  cBH3aMH   ( B  o6meM   c n yq a e  H  B  c n ysa e  H 30Tpon H oro  Ma- Tepn ajia),  a  3aTeiw  pem eH a  3afla^a  o  KOHê Hoiw  pacTH H ceiniH   H  H H ipjum an  TOJicrocrreH H oii  T py6bi H 3  M aTepaajia  n poH BJiH wm ero  CBOH CTBO  TeiuiOBoii  paciimpHeMOCTH,  P em eH H e  flaH O  R J I H   H 33H - TportH oft  fle(popjviainH j  n p n CTaL(HOHapHOM  n oroK e 38  Z BI G N I EW  WESOŁ OWSKI S u m m a r y C O N ST I T U T I VE  E Q U AT I O N S  F OR  E LASTI C  M ATERIALS WI T H   TH E R M O- G E OM E TR IC  C ON STR AI N TS T h e  incompressibility  condition  constitutes  a  particular  case  of  thermo- geometric  constraints of  the  form  / (£ jj> T'J>  S,  T ) — 0.  I n  the  paper  the  constitutive  equations  are  established  which • correspond  to  elastic  bodies  characterized  by  such  constraints (for  both  the general  case  and  the • case of  isotropic  bodies);  moreover,  the solutions  are given to the problem  of finite  stretching  and inflation  of  a  thick—walled  cylinder  made  of  thermally  expanding  materials.  Th e  solutions  apply t o  adiabatic  deformations  and  to  deformations  with  steady  radial  heat  flow. ZAKŁ AD   MECH AN IKI OŚ RODKÓW  CIĄ GŁ YCH IN STYTU TU   PODSTAWOWYCH   PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  listopada 1963  r.