Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z1\mts64_t2_z1.pdf


M E C H AN I KA.
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 2  (1964)

WYZNACZANIE  NAPRĘ Ż EŃ  NA PODSTAWIE  POMIARÓW  TYLKO  JEDNEJ
SKŁ ADOWEJ  ODKSZTAŁ CENIA

WOJCIECH   S Z C Z E P I K J S K I  (WARSZAWA)

D la  peł nego wyznaczenia  na drodze  doś wiadczalnej  rozkł adu naprę ż eń w  ele-
mentach pł askich dokonuje  się zwykle pomiaru trzech skł adowych  odkształ cenia.
N ajczę ś ciej  stosowaną  metodą  jest  naklejanie  w  szeregu  pun któw  badanego
obszaru  tzw.  rozetek tensometrów  oporowych.  Każ da  z rozetek  skł ada się z trzech
tensometrów  róż nie  skierowanych  na  pł aszczyź nie.  W  przypadkach  bardziej
zł oż onych,  gdy  w  badanym  obszarze  wystę pują  otwory  lub  wprowadzane  są
skupione  sił y  zewnę trzne,  zachodzi  konieczność  uż ycia  wielkiej  liczby  ten so-
metrów,  co znacznie  podnosi  koszt  badania  i  przedł uża  czas  pomiarów.  W n i-
niejszej  pracy  zaproponowano  nową  metodę  wyznaczania  rozkł adu  n aprę ż eń
na  podstawie  pomiarów  tylko  jednej  skł adowej  tensora  odkształ cenia,  na  przy-
kł ad  e

x
.

W  rozpatrywanym  obszarze  przyjmujemy  prostoką tny  ukł ad  współ rzę dnych
kartezjań skich  {x, y).  N astę pnie  obieramy  odpowiednio  gę stą  prostoką tną
siatkę  linii  x  =   const  i y  =   const  i w jej  wę zł owych  pun ktach  naklejamy  ten -
sometry  oporowe  skierowane  równolegle  do osi x.  Zamiast  zwykle  stosowanych
trzech  tensometrów  w  wę zł ach  siatki  mamy  zatem  tylko  jeden .

Stan  naprę ż enia  w  każ dym  punkcie  okreś lony  jest  trzem a  skł adowymi  n a-
prę ż enia  a

x
, <y

y
  i  T, które  muszą  speł niać  warunki  równowagi:

< »  &+ $- • •   &+£- <>•
Znając  z  pomiarów  wielkość  skł adowej  odkształ cenia  s

x
,  która  zwią zana  jest

z  naprę ż eniami  a
x
  i  a

y
  zależ noś cią

( 2 )  «* —  - fi(<y*~v<ry),

gdzie  E  jest  moduł em  Younga,  a  v  współ czynnikiem  Poissona,  m oż emy n ie-
wiadomą  a

x
  wyrazić  przez  e

x
  i a/ .

(3)  a
x
  =Ee

x
  + va

y
.

Podstawiając  wyraż enie  (3)  do pierwszego  z równań  równowagi  otrzym ujem y
liniowy  ukł ad  dwóch  równań  róż niczkowych  czą stkowych  z  dwiema  niewiado-
mymi  funkcjami  a

y
  i  T:

V  ;
  8x  ^   8y  8x-   By  ^   8x



40 WOJCIECH   SZCZEPIŃ SKI

U kł ad  ten jest  zawsze  hiperboliczny,  a wię c  ma dwie  rodziny  charakterystyk
rzeczywistych,  okreś lonych  równaniami

(5) i—\   v

Charakterystyki  są   wię c  prostoliniowe  i  tworzą   sieć  zł oż oną   z  dwóch  rodzin
równoległ ych  prostych.  Ką t  ich  nachylenia  wzglę dem  osi  x  zależy  od  wartoś ci
współ czynnika  Poissona  v. D la  v= l / 3  charakterystyki  pierwszej  rodziny, okre-
ś lonej  równaniem  (5),  tworzą   z  osią   x  ką t  a  =  60°,  a  charakterystyki  drugiej
rodzin y—ką t  p  =   180°- a  =   120°  (rys.  1).

Wzdł uż  charakterystyk  muszą   być  speł nione zależ noś ci  róż niczkowe

de,
vda

y
- {- \ / v  dr =  —  E- ~dx,

(6)

y
ex

G órna  zależ ność  odnosi  się   do  pierwszej  rodziny,  a  dolna  do  drugiej  rodziny
charakterystyk.

Obliczenie  rozkł adu naprę ż eń w  konkretnych  przypadkach  polega  na rozwią -
zywaniu  zagadnień brzegowych  typu  Cauchy'ego lub mieszanych dla równań (6).
Omówimy  t u  bardziej  szczegół owo  zagadnienie  typu  Cauchy'ego.

Jeż eli  rozpatrywany  obszar  ma  swobodną   nieobcią ż oną   krawę dź,  to  naj-
wygodniej  jest  rozpoczynać  obliczenia  od  tej  krawę dzi.  Zał óż my, że n a odcinku
AB  (rys.  2)  nieobcią ż onej  krawę dzi  zmierzono  naprę ż enia  za  pomocą   nakle-
jon ych  wzdł uż  niej  tensometrów.  Znane  są   wię c  na  tym  odcinku  wartoś ci
n aprę ż eń  d

x
,cf

y
  i  r.  D la  okreś lenia  tych  naprę ż eń  w  dowolnym  punkcie

krawę dzi  wystarczy  oczywiś cie  tylko  jeden  tensometr,  gdyż  jedno  z  naprę ż eń
gł ównych  jest  z  zał oż enia  równe  zeru,  a  kierunek  drugiego  naprę ż enia  gł ów-
nego  pokrywa  się   z  kierunkiem  krawę dzi.



WYZ N AC Z AN I E  N AP M JŻ EŃ   Z  P O M I AR Ó W  JE D N E J  SKŁAD OWEJ  OD KSZ TAŁ C E N I A 41

N ależy jednak  podkreś lić,  że  odcinek  AB,  od  którego  rozpoczynamy  rozwią -
zywanie  zagadnienia  Cauchy'ego,  może  leż eć  również  wewną trz  badan ego
obszaru.  W  takim  przypadku  należy  w  poszczególnych  punktach  tego  odcinka

Rys.  2

przyklejać  rozetki  tensometrow  w  celu  wyznaczenia  wszystkich  trzech  skł ado-
wych  a

x
,  a

y
  i  T. Jeż eli  wybrany  odcinek  AB  jest  osią   symetrii,  to  wystarczy

wzdł uż  niego  przyklejać  po  dwa  tensometry  w  poszczególnych  pun ktach ,  gdyż
kierunki  gł ówne  są   na  nim oczywiś cie  znane.

W przyję tym  ukł adzie współ rzę dnych prostoką tnych xiy  prowadzimy  z  p u n -
ktu  A  charakterystykę   pierwszej  rodziny,  a  z  pun ktu B  charakterystykę   drugiej
rodziny  aż  do  przecię cia  się   w  punkcie  C.  Ką ty  nachylenia  charakterystyk
są   okreś lone  wartoś cią   współ czynnika  Poissona  v.  N astę pn ie  rysujemy  we-
wną trz  pola ABC  siatkę   charakterystyk  w  taki  sposób,  aby jej  pun kty  wę zł owe
stanowią ce  jeden  szereg  leż ały  n a  wspólnej  prostej  y  =   con st.  Wzdł uż  otrzy-
manych w  ten sposób  prostych y  =   const naklejamy  w  odpowiednio  dobranych,
odległ oś ciach  tensometry,  a  nastę pnie  po  obcią ż eniu  mierzymy  wielkoś ci
odkształ cenia  s

x
.  Wartoś ci  pochodnej  de

x
jdx  w  punktach  wę zł owych  siatki

wyznaczamy  przez  róż niczkowanie  wykreś lne  krzywych  e
x
  =  e

x
  (x).  Z najomość

tych  pochodnych w  polu  ABC  oraz  wielkoś ci  n aprę ż eń  u ,  i  T na  linii  AB  wy-
starczają   do  wyznaczenia  naprę ż eń  w  cał ym trójką cie  ABC  przez  n um eryczn e
cał kowanie  równań  (6).

Przypuś ć my,  że  w  dwóch  są siednich  punktach  wę zł owych  1  i  2  siatki  cha-
rakterystyk  znamy  wielkoś ci  naprę ż eń  a

yX
  i  x

x
  oraz  d

n
  i  Ta.  P odam y  teraz

sposób  wyznaczenia  wielkoś ci  naprę ż eń  a
yM

  i  t
M
  w  punkcie  wę zł owym  M  są -

siadują cym  z  pun ktam i  1  i  2  (rys.  2).
Zastę pując  w  równaniach  (6) róż niczki  przez  róż nice  skoń czone  otrzym ujem y

ukł ad  równań  z  dwiema  niewiadomymi  a
yM

  i  %

Przez e'
xl
  i e'

xZ
 oznaczono wartoś ci, jakie przyjmuje  pochodna 8e

x
jdx  odpowiedn io

w  punktach  1 i  2.  W  celu  uzyskania  wię kszej  dokł adnoś ci należy  w  równ an iach



4 2 WOJC IEC H   SZCZEPIŃ SKI

{7)  podstawić  zamiast  e ^  i e'
x2i

 ś rednie wartoś ci  pochodnej  ds
x
\ dx  odpowiednio

pom ię dzy  pun ktam i  1 i  M  oraz  2 i  M.
Wartoś ci  n aprę ż eń w  punkcie  M  obliczamy  rozwią zując  ukł ad (7)  wzglę dem

a
yM  i  TM-   Skł adową   naprę ż enia  a

xM
  wyznaczamy  ze  wzoru  (3).

Obliczenia  rozpoczynamy  obierają c  kolejno  pary  punktów  1  i  2  n a  odcinku
AB.  Za. pomocą   równań  (7)  otrzymujemy  wartoś ci  naprę ż eń  w  wę zł ach  we-
wn ę trzn ych  siatki,  są siadują cych  z linią   AB.  Tworzą   one punkt wyjś cia  do obli-
czen ia  n astę pn ych  punktów  wę zł owych  również  za  pomocą   równań  (7). W  ten
sposób  m oż na  otrzymać  rozwią zanie  w  cał ym trójką cie  ABC.

W  celu  sprawdzenia  dokł adnoś ci  proponowanej  metody  obliczono  przy-
kł ad  dla  przypadku  pł askiego krą ż ka  ś ciskanego  dwiema  sił ami  wzdł uż  ś rednicy
(rys.  3).  Ze  wzglę du  na  symetrię   rozpatrzono  tylko  ć wiartkę   ograniczoną   do-

Rys.  3

d at n im i  poł osiami xi  y.  Jako podstawę   obliczenia  przyję to  teoretyczne wartoś ci
^ w z d ł u ż  liniijy  =   const  otrzym ane  dla  wartoś ci  y\ R  wzrastają cych  od  0 do  1
co  0, 1.  Wzdł uż  odcinka  AB  osi  symetrii  krą ż ka  przyję to  teoretyczny  rozkł ad
n aprę ż en ia  o

r
  N aprę ż en ie  styczne  r  jest  n a  odcinku  AB  równe  zeru.  D ane



WYZ N AC Z AN I E  N AP R Ę Ż EŃ   Z  P O M I AR Ó W  JE D N E J  SKŁ AD OWEJ  OD KSZ TAŁ C E N IA  43

te  wystarczają  do  obliczenia  naprę ż eń  w  cał ym  obszarze  ograniczonym  cha-
rakterystyką  drugiej  rodziny  BC  oraz  osiami  symetrii  AB  i  AD.

Rachunki  przeprowadza  się  w  podany  powyż ej  sposób  za  pomocą  równań
róż nicwych  (7).  Wartoś ci  a

yM
  dla  punktów  poł oż onych  na  osi  sym etrii  AD

znajdujemy  bezpoś rednio  z  drugiego  z  równań  (7),  gdyż  dla  pun któw  tych
x

M
  =   0.  Obliczenia  wykonano  przyjmując  gę stość  siatki  charakterystyk  jak  n a

rys.  3.  D la  zwię kszenia  dokł adnoś ci  obliczano  ś rednie  wartoś ci  pochodnej
8s

x
\ dx  pomię dzy  poszczególnymi  wę zł ami siatki.  Obliczenia  doprowadzono  do

prostej  yjR  = 0 , 6 .
Porównanie  otrzymanych  w  ten  sposób  naprę ż eń  z  ich  wielkoś ciami  teore-

tycznymi  wykazuje,  że  proponowana  metoda  jest  bardzo  dokł adna.  Róż nice
nie  przekraczają  3%.

P  e  3  IO  M  e

On P E flE JlE H H E  H AnP SD KEH H ń  H A  OCH OBE  3AM EPA  OflH Ofi  KOM I I OH EH Tfcl

flEc&OPM H POBAH H Oro  COCTOflH H fl

Mexofl  o n p en ejieH u n  nanpuJKCH H oro  COCTOJIH H H : n a  ociiOBe  3a,wepa  TOJIŁ KO
KOMnoneHTLi  Teii3opa  flecjpopM amin,  H an p.  e

x
.  OcHOBHan cucTeiHa  ypaBH eiin S  Bcerfla  r H n ep 6o jin -

• qecKoro Tuna  H   H Meei ^Ba ceMeiiCTBa  npHMOJijiHejiHBix  xapaKTepucTiiK,  on iicaiiH wx
( 5)  H  ( 6) .  HanpjDKCHHH   onpeflejiH ioTcH   113 p em ein iH   cooTBeTCTByiomefi  icpaesoii  3aaa iiH
xapaKTcpncTH K.  flaeTca  tracjieH H BiH   n piiM epj  noflTEep>KAaiomii  xo p o u lyio  TOMIIOCTŁ

S u m m a r y

D E T E R M I N I N G   O F   STRESSES  BASED   ON   M EASU RIN G   O F   ON E  STR AI N
C OM P ON EN T  ON LY

The  method  of  determining  the  state  of  stress  is  presented  when  measurements  of  only one
strain  component, e.g.  £ x are  kn own  T h e  fundamental  system of  equations(4)  is  always  of  a  hy-
perbolic  type  and  has  two  families  of  rectilinear  characteristics  determined  by  Eqs.  (5)  and  (6).
T h e stresses  are found  from  the solution  of the  corresponding  boundary  value problem  for  charac-
teristics.  G ood  accuracy  of  the  employed  method  is  confirmed  by  a  numerical  example.

ZAKŁ AD   MECHANIKI OŚ RODKÓW  CIĄ GŁ YCH
INSTYTUTU   PODSTAWOWYCH   PROBLEMÓW  TECH N IKI PAN

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  17  sierpnia  1963  r.