Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z2\mts64_t2_z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  2 (1965)

M ETOD A  PRZYBLIŻ ON EGO OBLICZAN IA  PROBLEMÓW  POCZĄ TKOWO- BRZEG O-

WYCH   W  ZASTOSOWAN IU   D O  N IESTACJON ARN YCH  ZAG ADN IEŃ   PRZEWOD N I-

CTWA  CIEPLN EG O

Z YG M U N T  T H R U N   (G D AŃ SK)

1.  U wagi  wstę pne

N ajbardziej  wyczerpują cym  uję ciem  ś cisł ych  rozwią zań  zagadnień  począ tko-
wo- brzegowych,  zwią zanych  z  równaniem  przewodnictwa  cieplnego,  rozwią -
zań  zarówno  bezpoś rednich,  jak  i  uzyskiwanych  poprzez  stosowanie  transfor-
macji  Laplace'a  lub  funkcji  G reena, jest  monografia  CARSLAWA  i  JAEGERA [1].
Zagadnienia  powyż sze  moż na  jednakże  rozwią zywać  i  na  innej  drodze.  D ane
zagadnienie  począ tkowo- brzegowe  moż na  na  przykł ad  róż nymi  sposobami
sprowadzić  do  zagadnienia  czysto  brzegowego.  Jednym  ze  sposobów  jest  pod-
wyż szanie  rzę du  równania  róż niczkowego  wraz  z  doł ą czeniem  dalszych  wa-
runków  brzegowych  czę sto  dowolnie  obranych  [6].  Po  takim  sprowadzeniu
moż na  się   już  posł uż yć  metodami  rozwinię tymi  dla  zagadnień  brzegowych.

D la  wielu  jednak  bardziej  skomplikowanych  problemów  począ tkowo- brze-
gowych  trzeba  się   w  praktyce  zadowolić  rozwią zaniami  przybliż onymi.  Rozwią -
zania  takie  są   czę sto  poż yteczne  i w  takich przypadkach,  w  których  rozwią zania
ś cisłe istnieją , lecz wyraż ają   się  w sposób  skomplikowany  przez funkcje  specjalne,
dla  których  brak  wystarczają cych  tablic.  Celem  niniejszej  pracy  jest  wprowa-
dzenie  pewnego  sposobu  wyznaczania  rozwią zań  przybliż onych,  który  nadaje
się   praktycznie  do  wszystkich  rodzajów  zagadnień  niestacjonarnego  przepł ywu
ciepł a  w  polach  ź ródł owych  i  bezź ródł owych  oraz  przy  dowolnych rozkł adach
tem peratur  począ tkowych.  Sposób  ten moż na również  z powodzeniem  stosować
do  niestacjonarnych  zagadnień  w  ciał ach  o  niejednorodnych  wł asnoś ciach
termicznych.  Rozszerzenie tego  sposobu  na inne  zagadnienia  począ tkowo- brze-
gowe  jest  proste.

Rozwią zań  przybliż onych  poszukuje  się   w  postaci  szeregu  zł oż onego z  ilo-
czynów  dwóch  rodzajów  funkcji:  funkcji  a

t
(t),  zmiennej  czasowej  t  oraz

funkcji  (pi(x
k
) współ rzę dnych  przestrzennych.  N a  począ tku  obliczeń zakł ada

się   funkcje  99,-   w  ten  sposób,  aż eby  speł niał y  one  dane  jednorodne  wa-
runki  brzegowe,  przy  czym -   funkcja  pierwsza  c?0(a?fc)  . musi  speł niać  nie-
jednorodne  warunki  zagadnienia.  N ie  znane  funkcje  czasowe  ai(t)  wyznacza
się   z  ukł adu  równań  róż niczkowych  oraz  z  warunku  począ tkowego  rozkł adu
temperatury.  U kł ad  równań  róż niczkowych  otrzymuje  się   z  warunków  orto-



60  ZYG MU N T  TH R U N

gonalnoś ci wszystkich funkcji  <pi(x
k
) do wyraż enia  otrzymanego  przez  wstawienie

przybliż onego  rozwią zania  do  równania  przewodnictwa  cieplnego.  W  tym
sensie  sposób  ten  moż na  uważ ać  jako  rozszerzenie  metody  G alerkina  [3,  5].
Speł nienie  danego  warunku  począ tkowego  sprowadza  się   do  zagadnienia  wa-
riacyjnego,  tj.  do  wyznaczenia  takiej  wartoś ci  funkcji  a-

t
{t  =  0),  dla  której

istnieje  minimum cał ki  (po danym  obszarze)  z  kwadratu  róż nicy  mię dzy  danym
począ tkowym  rozkł adem  temperatury,  a  rozkł adem  przybliż onym  w  chwili
t  -> 0  [wzór  (1.8)].

Omówioną   metodę   postę powania  przedstawimy  na  przykł adzie  zagadnień
dwuwymiarowych.

Zagadnieniami  dwuwymiarowymi  bę dziemy  tu  nazywali  takie  zagadnienia,
w  których  temperatura  jest  zależ na  od  współ rzę dnej  czasowej  t  i  od  dwóch
współ rzę dnych  przestrzennych  x

1
,x

i
:  T  =   T (t,x

1
,x^ .  Przepł yw  strumienia

cieplnego  bę dzie  tu  zachodził   w  pł aszczyznach  równoległ ych.  Jak  wiadomo1,
równaniem  przewodnictwa  cieplnego  w  takich  przypadkach  jest

8t  \  d t
  +

  8 t l  ~
w  obszarze  Q,  0  <x

r
  <  a

r
  (r =   1, 2)  przy  danych  warunkach  brzegowych

(1.2)  g+ / z, ( r- r, .)  =  o

wzdł uż  obwodu  obszaru  Q  oraz  przy  warunku  począ tkowym

(1.3)  r  = »/ ( *!, *, )  dla  t  =  0.

Powyż ej  wprowadzono  nastę pują ce  oznaczenia:
y  cię ż ar  wł aś ciwy  oś rodka,
c  ciepł o  wł aś ciwe,
h  współ czynnik  przejś cia  ciepł a  do  otoczenia,
K  zdolność  przewodzenia  ciepł a,

/ < **  •

—  =   x  współ czynnik  przewodzenia  cieplnego,

A  ciepł o  wytwarzane  przez jednostkę   obję toś ci.
T

r
  oznacza  tu  temperaturę   otoczenia, do którego odbywa  się   promieniowanie

ciepł a lub też, w przypadku h
r
  - >  oo,  oznacza daną   tem peraturę  wzdł uż rozpatry-

wanego  brzegu  obszaru.  T
r
  bę dziemy  przyjmowali  jako  niezależ ne  od  czasu.

D la  zagadnień,  dla  których  T
r
  =  T

r
(x

s
,  t)  oraz  A  =   A(x

s
,  i),  rozwią zanie

T (x
s
,  t)  ł atwo  otrzymamy  z  rozwią zania  F(x

s
,  X)  dla  tego  samego  problemu

przy  ustalonych  wartoś ciach  T
r
(x

s
,  X) oraz  A{x

s
,  X) za  pomocą   znanego2  twier-

dzenia  D uhamela:

(1.4)  T (x
s
,  t)  = / ( *, ) + J  -   F  (x

s>
 X,  t~X)dX,  s  =   1, 2, 3.

o
1  Por.  [2],  str.  9,  wzór  (1.1).
2  P o r .  [ 1 ] ,  s t r .  2 1 ,  •   . . • • ,.  .



N I E ST AC JO N AR N E  Z AG AD N IEN IA  P R Z EWOD N I C TWA  C IEP LN EG O  61

Przybliż one  rozwią zanie  zagadnienia  (1.1)  przy  warunkach  brzegowych
(1.2)  i  warunku  począ tkowym  (1.3)  przyjmujemy  w postaci:

F unkcję  c>o(»i,*a)  zakł adamy  tak,  aż eby  był o  speł nione  równanie
/  <9a  d2 \

.(1.6)  T l  +  T ^ ^ o ^ i . ^ )  =  0  dla  0 < x
r
 < a

t
,  r =  1,2,

wzdł uż  krawę dzi  obszaru Q.
Pozostają  do  speł nienia  równoś ci

w  obszarze  Q  oraz

na  brzegu  obszaru Q.
Warunek  począ tkowy  (1.3)  speł niony  jest  w ten  sposób,  aż eby

,«,) -   T * (x
lt
  *„  * = 0 ) }a  dXidx^ Q.

W  przypadkach  stacjonarnego  wytwarzania  ciepł a A =  A(x
1)
x

2
)  wyraż enie

Ajcy  z  równania  (1.7)  przejdzie  do pierwszego  równania  (1.6).  Jak  wynika
z  (1.6)  <p

o
(x

s
)  jest  rozwią zaniem  równania  Poissona  w przypadkach,  gdy  A(x

s
)

jest  stacjonarne.  Zajmiemy  się  rozwią zaniem  zagadnienia  (1.7) i  (1.8).  Funkcje
q>i(x

s
)  muszą  być pierwszymi  (i =  1,2,  ...,n)  funkcjami  ukł adu  zupeł nego

( t = l ,  2, . . . ,  n, ...) oraz  muszą  być  tak  dobrane, aby  speł niały  jednorodne wa-
runki brzegowe z  (1.7). Jeż eli  ponadto zaż ą damy,  aby  zamiast ś cisł ego speł nienia
równania róż niczkowego każ da funkcja  q>

k
 z osobna był a ortogonalna do wyraż enia

stanowią cego  lewą  stronę  równania  (1.7), to otrzymamy  ukł ad  nastę pują cych
zwyczajnych  równań  róż niczkowych:

(1.9)

gdzie  współ czynniki  oznaczają  nastę pują ce  wyraż enia  cał kowe:

A
ik
=  J j (p

i
(x

1
,x,

i
)(p

k
(x

1
,Xc

i
)dx

1
dx

2
,  B

ik
 = —\   \ x- ^ J(p

k
,

(1.10)

C f  d\ i  ,   „  f f
Cjjt  =   —  X- ^ ~2'(p

k
dX

1
UXc

i
,  £k

==

J\



62  ZYG M U N T  T H R U N

Do rozwią zania  ukł adu równań róż niczkowych  (1.9)  potrzebne  jest  n  warun-
ków  począ tkowych,  które  otrzymamy  z  (1.8)  w  postaci

czyli:

n

(1.11)  J ^  «i ( i  =   0)^4
 ik
  — J J  / ( * !, x

2
)q>k dx

1
dx

2

J
r  j  j  (p

o
(p

k
dx

1
dx

2
  = O.

/ = i  a  o

U kł ad  równań  róż niczkowych  (1.9)  z  warunkami  począ tkowymi  (1.11)
najlepiej  sprowadzić  do  ukł adu  równań  algebraicznych  stosują c  transformację
Laplace'a:

0 0  CO

a,(p) =  J  a
t
(t) e-

pt
dt,  Z

k
(p)  =   j  Z

k
(t)e-

p
'dt;

o  o

otrzymamy  w  ten  sposób

(1.12)

U kł ad  tych równań sprowadzi  się   do n niezależ nych  równań, jeż eli  za  funkcje
podstawowe  q>i(x

s
)  przyjmiemy  takie  funkcje  ortogonalne,  dla  których:

A
ik
  =   B

ik
  =  C

lk
  =   O  dla  i  ^   k,

*?! dx
2
  dla  i  =  kj

(1.13)
a

Otrzymamy  wtedy

(1.14)  a
k
(A

kk
p  + B

kk
  +  C**) — a

k
(t  =  0)A

kk
  — Z

k
  =  0

oraz  po  retransformacji:

( L 1 5 )

a
k  =  &k(t =  0)e  **  Jr~/ T ~\   Zk{*)e  klc  dr,  h== 1, 2, ..., »,

Stał e  a
k
(t  =  0)  wyznaczamy  z  (1.11):

(1.16)

a
k(t=O)  =  - r- j  jf(x

t
,x

i
)(p

k
dx

1
dx

i
  — - - Ę - \  j  f^ dxxdXi,  k=l,2,...,n.



N I E ST AC JO N AR N E  Z AG AD N I E N I A P R Z E WOD N I C TWA  C I EP LN EG O  63

Zastanówmy  się   jeszcze  nad  moż liwoś ciami  wyboru  podstawowych  funkcji
przybliż eń  g>i(x

s
).  Jak już  wspomniano, funkcje  te  muszą   przedstawiać  pierwsze

kolejne  elementy  ukł adu  zupeł nego  i  muszą   być  tak  dobrane,  aby  speł niał y
jedn orodn e  warunki  brzegowe  dla  danego zagadnienia. Jak  wyż ej  wykazaliś my,
szczególnie  korzystne  jest  przyję cie  funkcji  ortogonalnych. Warunek  ten  speł -
niają   w  szczególnoś ci  funkcje  trygonometryczne  i  wielomiany  ortogonalne  [7].
D użo  wskazówek  na  tem at  przyję cia  takich  funkcji  znajdujemy  w  literaturze
[3, 4]. Jeż eli mamy dane na przykł ad warunki brzegowe  T  =  0 wzdł uż wypukł e-
go brzegu  obszaru  opisanego analitycznie  kilkoma  krzywymi:  &

S
(XJ)  =  0 (s =   1,

2,  . . . , / ) ,  to  iloczyn  tych  funkcji  !F =  &i, &
2
,  ...,  0

S
  moż na  przyją ć  jako  czę ść

skł adową   szeregu  funkcji  przybliż eń:

Czę sto  moż na  przyją ć  także  róż ne  inne  kombinacje  wielomianów  lub  funkcji
trygonometrycznych.

2.  Przykł ady  dla  zagadnień  jednowymiarowych

2.1,  Obszar  o  warunkach  brzegowych  niejednorodnych,  temperatura  począ tkowa  f(x).

D la  obszaru  0  <  x  <  a  równania  zagadnienia  przyjmują   postać:

8T   8
2
T   .  „  n

- T T — «- 5-r  =  0  dla  0<x<a;
ot  8x

2

T =f(x)  dla  t = 0;
(2.1)  8T   .  ,.

Tx= °  d l a  * =   0 ;

T  =   T
t
  dh  x = a.

Zakł adamy  przybliż one  rozwią zanie  (1.5):

(2.2)  T *
Xli)

  =   <p
o
(x)  +  ^  a,(t)

9l
(*).

i

R ówn an ia  (1.6)  upraszczają   się   do

—yJ~ =   0  dla  0  <  x  <  a,

(2.3)  ———  =   0  dla  x  =  0,
v
  '  dx

<p
0
 =  2\   dla  x  =  a,

czyli  cj0 (x)  —  TV i  jest  st ał e.



64  ZYG MU N T  TH R U N

Równania  (1.7)  przybierają   postać:

a ^ = 0  d l a
1

(2.4)  - r-   V«iffii  =   O  dla  *  =   0,
<•

^  tfiCj;  =   0  dla  #  =   a.
i

tT ZX

Przyjmijmy  jako  funkcje  przybliż ają ce  ci;(„r) =   cos- ^—,  (i =   1, 2,  . , , , ») .

Speł niają   one  powyż sze  jednorodne  warunki  brzegowe  oraz  tworzą   ukł ad zu-
peł ny.  Poza  tym  są   to  funkcje  ortogonalne,  wię c  zagadnienie  sprowadza  się
do  ukł adu  niezależ nych  równań  (1.14).  Wyznaczmy  współ czynniki  (1.13)
tego  ukł adu

a

inx  ,  a

o

Ca — Zk =  0.
Z  (1.15)  otrzymamy

jlnY

a- i =   «,-  (t =   0) e  '

a  z  waru n ku  począ tkowego  (1.16)
a  i+ i

*' (' =  °) -   T / / W cos ̂   Jx +  (- 1)  2  4-
o

Ostatecznym  rozwią zaniem  przybliż onym  jest

Łatwo  zauważ yć,  że  dla  n  -+   oo jest  to  wynik  ś cisł y.  D la  warunku  brzego-
wego  zmiennego  w  czasie:  dla  x  =  a, \ T  =   T

x
(t),  rozwią zanie  ł atwo  moż na

otrzymać  z  powyż szego  z  pomocą   twierdzenia  D uhamela.

2.2.  Obszar,  którego  brzeg  promieniuje  ciepło  do  otoczenia. R ó wn an ia  zagadn ien ia
są   takie  sam e jak w  przykł adzie  powyż szym,  z wyją tkiem  waru n ku  brzegowego
dla  x  =   a,  który  m a  postać



N I E ST AC J O N AR N E  Z AG AD N I E N I A  P R E Z WOD N I C TWA  C I E P LN EG O  65

Pierwszą. czę ść  rozwią zania  przybliż onego  otrzymamy  z  równań  (1.6)

—=- £-   =   0  dla1 0  <  x  <  a,  ——•  =   0  dla x  =   0,
dx

i
  dx

—j—f-  h((p
0
— 2\ ) =   0  dla x  =   a

w  postaci  <p
0
  —  7"i •

Trudniej  jest  dobrać  drugą  czę ść  rozwią zania  przybliż onego  z  równań

(92 \   \ H

(2.5)  - kE

l - ^  +   M ^  ^ ^ =  0  dla  » =  a».

Jeż eli  przyjmiemy

c); (a;) =   cos <XjX, i  —  1, 2, . . . , n  .  (2.6)

to  takie  przyję cie  speł nia  warunek  brzegowy  dla  x  =   0.  D la  równoczesnego
speł nienia  warunku  brzegowego  przy x  =  a konieczne jest, aż eby  a(  (i =  1,
2 , . . . ,  n)  był y  dodatnim i  pierwiastkami  równania

tga, a =   A/a,.  (2.7)

Pierwiastki  te  są  stabelaryzowane  w  literaturze  [1].
F unkcje  (3.6)  są  ortogonalne i  tworzą  n pierwszych  funkcji  ukł adu  zamknię-

tego.  Wyznaczmy  współ czynniki  (1.10)  ukł adu  równań  (1.9):

Ą*  =   Ą*  -   0.  dla  *  ^  *;
stą d:

a,(i) =   a,(«  ==   0) exp  (—a? xt).  (2.8)

Z  warunku  począ tkowego  (1.16)  otrzymamy  ,

ostatecznie  więc

• *•

5  Mechanika teoretyczna 1  stosowana



66  ZYG MU N T  TH R U N

D la  n  ->  oo otrzymujemy  znowu  wynik  ś cisł y.  Podobnie ł atwo  otrzymujemy
w  ten  sposób  rozwią zania  w  przypadku,  gdy  warunki  brzegowe  są   odmienne,
na  przykł ad  gdy  dany  jest  stał y  strumień  ciepł a  Q  =   KdT jSx  wzdł uż  brzegu
x  =  a.

2.3.  Obszar  z  ciepłem  wytwarzanym.  R ówn an ie  róż n iczkowe  (1.1)  wraz  z  waru n -
kam i  gran iczn ym i  przyjmą   postać

~rrr—K- s- jT  = 0  dla  0  < x  <  a,
ot  cte2  cy

^ = 0  d l a *  =   O,  ~  + hT   =  0  dla  x =  a,
ex  ex
T   =  0  dla  t  =  0.

Rozważ my  najpierw  wypadek  ź ródeł   ciepł a  rozł oż onych  w  sposób  cią gł y,
niezmiennych  w  czasie:

A  =   A
Q
  =   const.

Zakł adamy  rozwią zanie  przybliż one  jak  uprzednio.  F unkcje  cp
o
(x)  otrzy-

mamy  z  równań

Łatwo  znajdujemy

Ponieważ szereg ̂   ^i^i  nia  speł niać równania  (2.5), to  moż emy  przyją ć  znowu
funkcje  fi(x)  w  postaci  wyraż eń  (2.6),  przy  czym  <x; są   znowu  pierwiastkami
równania  (2.7).  Wobec  tego  również  wyraż enie  (2.8)  nadal  jest  waż ne.  Stał e
a

t
(t  =   0)  wyznaczymy  z  (1.16):

• i(*  -   0) -   - j

Ostatecznym  rozwią zaniem  przybliż onym  jest

4 2 f l

Rozważ my  teraz  przypadek  ź ródeł   ciepł a  zmiennych  w  czasie:

A  =  A(t).

Rozwią zanie  dla  takiego  przypadku  moż emy  otrzymać  z  rozwią zania  poprzed-
niego  korzystają c  z  twierdzenia  D uhamela  (1.4).  Otrzymamy  wtedy  po
prostych  przeliczeniach

, • = 1,2  L  '  v  * "  0



N I E ST AC J O N AR N E  Z AG AD N IEN IA  P RZ EWOD N IC TWA  C I EP LN EG O  67

'  Rozwią ż emy  to  zadanie  jednakże  naszym  sposobem  bez  uciekania  się   do
poprzedniego  rozwią zania.  Zakł adamy  przybliż enie

Przyję liś my  tu  (p
o
(x)  =   0  ze  wzglę du  na  jednorodne  warunki  brzegowe  za-

gadnienia.  Z  powodu  zależ noś ci  od  czasu  funkcja  rozkł adu  ź ródeł   A(t)  wejdzie
teraz  w  skł ad  równań  (1.7);

- —  >  a,m;  =   O  dla  x  =  0,  T~ ~ H ~ "  /   ,  ^i?
5;  =   0  dla  x  =   a,

ox  ^ r- J  \ 8
X
  I  ^

aif,  =   0  d k  t  =  0.

F unkcje  CJ,(«)  zakł adamy  znowu  w  postaci  (2.6).  Wyznaczamy  współ czyn-
niki  w  wyraż eniach  (1.15).  Otrzymamy  jak  poprzednio

M amy  nastę pnie

z =   CA{t)  9 d x _

Ze  wzoru  (1.15)  otrzymamy

«,(«) =   «, ( «=  0) exp( -   «?«0 - |-   [ x f

oraz  z  ( 1.16) :

«x(<  =   0) =   0.

W  wyn iku  o st at eczn ym  o t rzym am y  wyraż en ie  n a  T *(x, t)  iden tyczn e  z rów-
n an iem  (2.10),  kt ó re  o t rzym aliś my  u p r zed n io  za  pom ocą   twierdzen ia  D u h a -
m ela.  D la  n  - > oo  wyn ik  staje  się   ś cisł y.

2.4.  Jednostkowe,  chwilowe  ź ródła  ciepta  wzdłuż  brzegu x =  |  obszaru.  R ówn an ie  róż-
n iczkowe  zagad n ien ia  wraz  z  waru n kam i  brzegowym i  m a  postać

dT
3t

\ x  —  0>
I;* =   a.

5*



68  Z YG M U N T  T H R U N

D any  warunek  począ tkowy  T  =   1 dla t  =  0, moż emy przedstawić  za pomocą
funkcji  D iraca  d(x— f).

Ze  wzglę du  na  jednorodne  warunki  brzegowe  zagadnienia  przyjmujemy
rozwią zanie  przybliż one

Wyznaczamy  współ czynniki  (1.10)

r  i%x  a  I m  \   r  inx  a  lin\

A
u
  = j  81^ —  ^ = 2 " ,  5„  =  «^- j  J  sin* —  ^  =   «2"( - j-

o  o

Ze  wzoru  (1.15)  mamy

[ / .  \  2  - i
oraz  z  (1.16)

.  .  2  r  ,  .  .  mx  ,  2  . inł -
aJ t =  0)  =   —  o(x — I ) sin —  a» =   — sm  — .K

  '  a  J
  K

  '  a  a  a
o

Rozwią zaniem  przybliż onym  jest

i f , „   =   —  >  exp  —  —I  Kt\  sin  sin  .

D la  n  - * oo otrzymujemy  wynik  ś cisł y3.  Rozwią zania  dla  zagadnień  podobnych
lecz  o róż nych  warunkach  brzegowych  i  począ tkowych  moż emy  równie  prosto
otrzymać  dobierają c  odpowiednio  funkcje  q>i(>c).

2.5.  Cienki  prę t  o  temperaturze  począ tkowej  f
0
.  Promieniowanie  z  pobocznicy  prę ta.

Jeż eli  prę t  jest  bardzo  cienki  to  w  jego  przekroju  poprzecznym  moż emy
przyją ć  równomierny  rozkł ad temperatury.  M amy  wtedy  do  czynienia  z linio-
wym  przepł ywem  ciepł a. Jeż eli  nie  ma promieniowania  na  bocznej powierzchni
prę ta, to wyznaczenie rozkł adu temperatury sprowadza  się   do zagadnień uprzed-
nio  rozpatrywanych.  Rozpatrzmy  tutaj  wpł yw  tej  utraty  ciepł a  przez  promie-
niowanie.  Równaniem  róż niczkowym  tego  zagadnienia  jest*

(iii)  n * r
H + , T m m 0 ,

gdzie  v — hOlycF; 0  jest  obwodem  prę ta  w  przekroju  poprzecznym,  F  po-
wierzchnią   przekroju  prę ta,  constant.

Przyję to  tu  zerową   temperaturę   otoczenia,  do  którego  ciepł o  promieniuje
z  bocznej  powierzchni  prę ta.  Przybliż one  rozwią zanie  moż emy  tu  otrzymać
w  sposób  dwojaki.

8  P or.  [1],  str.  298,  wzór  2.
4  P or.  [1],  str.  111, wzór  (2)



N I E ST AC JO N AR N E  Z AG AD N I EN I A  P R Z E WOD N I C TWA  C IEP LN EG O  69

1.  Podstawić  zał oż one rozwią zanie  przybliż one  do równania  (2.11).  Ze wzglę -
du  na  obecność  czł onu  vT   ukł ady równań  otrzymane  z zał oż enia  ortogonał noś ci
(1.9)  i  (1.12)  należy  wtedy  uzupeł nić.  D alsza  droga  p 3  'ę powania  jest  wtedy
analogiczna  do  uprzedn io  stosowanych.

2.  D rogą   podstawienia  T =  Ue~ vt  sprowadzić  moż na  róh  - nie  (2.11)  do
postaci :

8U

dt
= i  0.

Warunek  począ tkowy:  U=f
o
- +t  — 0.  Jeż eli  koń ce  prę ta  *  =   0  i  =   a

mają   być  utrzym an e  w  tem peraturze  zerowej,  to  otrzymamy  warunk'  brze-
gowe

U  =  0  dla  x  =  0  i  x  =  a.

Wyznaczmy  tu  rozwią zanie  przybliż one  drugim  sposobem.  Przyjmijmy

i

przy  czym  zał óż my  funkcje  q>i(x) w  postaci:

(2.12)  <pi(x)  =   (a—x)x\   i  —  1,  2 , . , . , » .

Lepsze  był oby  tu  przyję cie  <p
t
  =  sin  inxja.

Łatwo  rozwią zać  to  zadanie  i  pokazać,  że  otrzymalibyś my  w  wyniku  dla
n  ->  co rozwią zanie  ś cisłe

CO

(2.13)  U  — —  >  —  exp  — K I — \ t\   s i n — .
1 =1 , 3, 5, . . .   U  \   /   J

Zał óż my  tu jedn ak  dla  porównania  rozwią zanie  w  postaci  (2.12) i  przyjmijmy
dwa  pierwsze  przybliż enia

U*  =  a^ t)  (a- ~x)x  — a
2
(t)(a—x)  •

Obliczamy  współ czynniki  cał ko"'  . . .
a

x)W dx = | i  ,  A
lt
  =  4 8 1 =  J  (a- x)

2^3 ^  =
o  o

a  a

C  a 6  f  «3

=   I ( «—») a a : 4 ^ := - 777c,  B
11

  =  2x  \   (a—x)xdx  =  x- j- ,
o  o

f  a4

=   B 2 1 =   2?<  ( a — x)x
2
dx  =   x- -̂   >

/
2

(2fl  —  6x)(a —x)x2dx  =  x  ^ ? fl5>



70  ZYG MU N T  TH R U N

Jeż eli  przyjmiemy  x  =  Q.15 (co  odpowiada  w  przybliż eniu  przewodnictwu
stali  stopowej),  a  =  1,  to  otrzymamy  ukł ad  równań  (1.12)  w  postaci

• 1,5)  =   2a
x
(t  =  0) + a

2
(t  =   0),

4
=   a

x
(t  =   0) +   - =-  aM  =  0).

7

Po  rozwią zaniu  i  retransformacji  otrzymamy

a
1
(t) = a

1
(t  =  0) exp (—1,5  t)  — 0,5«2(ż  =   0)  [exp  ( — 6,3 t)— exp (— 1,51)];

U kł ad  równań  napiszemy  teraz  nastę pują co:

A
lx
a

x
(t  =  0) + A

12
a

i
(t  =   0)  = / o 5 n / 2 « ;

Po  podstawieniu  obliczonych  współ czynników  i  rozwią zaniu  otrzymamy
w  wyniku

a
x
{t  =   0) =   5/ 0,  a- lt  =  0)  =   0.

Znaczy to, że również a
2
(t)  =  0, czyli  otrzymaliś my  tylko  pierwsze  przybliż enie.

D la  otrzymania  nastę pnego  należ ało zał oż yć

U* =  a
1
(t)(a—x)x- \ - a

s
(t)(a  — x)x

!i
.

Z  pierwszego  przybliż enia  otrzymujemy  więc

Porównajmy  to  przybliż enie  z  pierwszym  wyrazem  szeregu  rozwią zania
ś cisł ego  (2.13):

4

D la  *  =   0,50  otrzymamy  z  obydwóch  wyraż eń
TT*  1 OK f  fi- lM  TT  1 974. f  ,,- 1,48*04

D la  /  =   1  otrzymamy  bł ąd  okoł o  3%,  dla  czasów  t  mniejszych  bł ąd  jeszcze
maleje,  dla  wię kszych  •—•  wzrasta.

Mając  rozwią zanie  przybliż one  U*(x, t)  wyznaczamy  przybliż ony  rozkł ad
temperatury  dla  rozważ anego  na  począ tku  prę ta  z  zależ noś ci:

71*  Tj*  p- vt
1  ix,t)  • —  ui.x,t)  U  .

3. Zagadnienie  dwuwymiarowe

3.1. Jednostkowe, chwilowe  ź ródło ciepła w prostoką cie.  N iech  w  miejscu  «x  =   £ x,
x

2
  — la  obszaru  prostoką tnego  0  < # ; <  ff;,  (i  =   1, 2),  w  chwili  t  =   A  dział a

ź ródło  ciepł a  o  wydajnoś ci  jednostkowej.  Równaniem  zagadnienia  jest  (1.1)



N I E ST AC JO N AR N E  Z AG AD N I E N I A P R Z E WOD N I C TWA  C IEP LN EG O  71

w  obszarze  0 < # ; < « ; ,  (/  =   1, 2).  N iech  bę dą   okreś lone  jednorodne  warunki
brzegowe:  dla  x

t
  =   0  i  # ( — «;,  (i=l,2),  T =   0.  Warunek  czasowy  moż emy

przedstawić  za  pomocą   funkcji  D iraca  nastę pują co:
W  chwili  t  =  X jest

A\ cy  =   3(«! -   li) 0(«, -   f „) d(t -   A).

Zakł adamy  rozwią zanie  przybliż one  ,

gdzie
oc,„  =   rmt\ a

x
,  a„  =   nnja^ .

7ł t  wzglę du  na jedn orodn e  warunki  brzegowe  funkcja  <Po(x
lt
x

2
)  =   0.  Przy-

ję ty  ukł ad  funkcji  jest  zupeł ny,  ortogonalny  i  speł nia  jednorodne  warunki
brzegowe  zagadnienia.  Wyznaczamy  współ czynniki  (1.13):

o  o

Jmnmn  —  « a m  I  I  ° m  (/ .„ .a^SU l 0C„

O  O

Oi  O2
n  n

'" J  J  '"   X  " 2 1 2  »  4  '
O  0

Ol  %

I C C . .
y  —- *•*  ,  I  I  IĄ  Q I *-\   fj  «-ł  n i  YI  /y  'V1  fi\ *  fi\ *

c v J  J
'  o o

Olfls

\   /  J  J  \   /   \   /

s

o  o

•   =   d(t—A)sina,„ |:1sina„ |2.

Z  zależ noś ci  (1.15)  otrzymamy

t

a
mn

  =  a
mn

(t  =  Q)e
  m

  ""  +   —- s in  a m ^ sin a ^ a J  ^ ( T —

Ponieważ  tem peratura począ tkowa  dla  i  =   0  w  prostoką cie jest  równa  zeru,
f(

x
i>%z) =  0> wię c  ze  wzoru  (1.16)  otrzymamy  a

mn
(t  =   0) =   0.  Wobec  tego

jest  .

_
  A
  sin<x

m
S

t
 Bin a n | 8  _-  <4+  «>- *>*  ,   n  n



72  ZYG MUN T  TH RU N

Rozwią zanie  ostateczne  otrzymamy  w  postaci:

X  expl- JOT2  —  +   —  (*—Wsin  i  s i n —- •

D la  r,  s  - •  oo  otrzymujemy  wynik  ś cisł y6  (tj.  funkcję  G reena).
D o  tego  samego  wyniku  moż emy  dojść  naszym  sposobem  na  innej  drodze.

Pokaż emy  tutaj  ten  wariant  rozwią zania.  Rozkł ad tem peratury  wywoł any  jed-
nostkowym  ź ródł em w  chwili  t  ==A  moż emy  bowiem  uważ ać  za  temperaturę
p o c zą t ko wą / ^,  »2)  =   <5(*i—£i)<5(*a—£2),  przesuwając  jednocześ nie  począ tek
rachuby  czasu  z  t  =  O do  chwili  t  =   X. Równanie  róż niczkowe  zagadnienia
(1.1)  i  (1.7)  bę dzie  wtedy  jednorodne,  nie  zawiera  bowiem  wyraż enia  Ajcy.
Wobec  tego  z  równania  (1.10)  otrzymamy  Z , =   0.  Zakł adając te  same  funkcje
aproksymacji  9>m„(ai,«2)  otrzymamy  z  zależ noś ci  (1.16)  nie  jak  uprzednio
««»(* =   0) =   0,  lecz

n,  a,

m n ( t  =   0) =   I  I 6(x1—
a

x
a

2
JJ

4
si n a m l^ si n a , , !^

Wobec  tego  w  wyn iku  ostateczn ym  o t rzym am y  zn ów  (4.1).
3.2.  Tarcza  prostoką tna  x =  ±  a

t
,'{i =  1,  2),  o róż nych  warunkach  brzegowych.  Promie-

niowanie  ciepł a  z  cał ej  powierzchni  tarczy  do otoczenia.  D la  m ał ej  gru boś ci  D  t a r -
czy  m oż na  przyjąć  ró wn o m iern y  rozkł ad  t e m p e r a t u r  w  przekroju  p o p rzecz-
n ym  i  równ an ie  róż n iczkowe  zagadn ien ia  przyjm ie  p o st a ć 6

fi  n\   v

gdzie  ^   =   ZhjcyD.
Warunki  brzegowe  zał óż my  nastę pują ce:

n rp

- —  =   0  dla  x
x
=  ±.a

x
>

T   =   0  dla  x
2
  =   ^ z&

2
 •

Temperatura  począ tkowa  jest  dowolna:  T  =  f(x
x
,x

2
)  dla  t  — 0.

Ze  wzglę du  na  dodatkowy  czł on  y?T   w  równaniu  (4.2),  należy  uzupeł nić
ukł ad  równań  (1.9)  w  nastę pują cy  sposób:

(3.3)  ^ \ j^ A
ik
  +

 a!
(B

ik
  + C

ik
 + fSAĄ - Z

k
~0,  k==l,2,...,n.

5  Por.  [1],  str.  149,  wzór  (1).
6  Por.  [1],  str.  229,  (3).



N I E ST AC J O N AR N E  Z AG AD N I EN I A  P R Z E WOD N I C TWA  C IEP LN EG O  73

W  zastosowaniu  do  zagadnienia  (3.2)  Z
k
  =   0.  Ze  wzglę du  na  jednorodne

warunki  brzegowe  zał oż ymy  tu  nastę pują ce  rozwią zanie  przybliż one:

Ograniczymy  się  tutaj  do  pierwszego  przybliż enia

9?i0i, *j)  =   (<Ą -   xl)  (xi -   2a|«J).

Ł atwo  sprawdzić,  że  zał oż enie to speł nia dane warunki  brzegowe.  Wyznaczamy
dalej  współ czynniki  równania  (3.2)  przyjmując  dla  uproszczenia  obliczeń
aj_  =   a2  =   1

i  i

£ ,  - f-   =  1,379965,

i  i

- - «  J  J ( 12«f- 4) (1

i  i

=   2x  J  J ^ - 2^ ) H l-
- i  - i

B
11
  +  C

n
  1303

A i  214

Z  transformacji  Laplace'a  równania  (3.2)  przy  powyż szych  danych  otrzy-
m am y:

1

(p +  6,0888« +  / u
2) '

Retransformacja  powyż szego  wzoru  daje  flx  =   ar(t  =   0) exp  [—(6,0888«+
].  Stał ą  cał kowania  a

x
(t  =  0)  otrzymamy  z  (1.16)

i  i

fll(t  =   0) =   1,38  J  / / ( * , , *,)  (1 - xl)  (xi -   2*?)dx,dx,.
- i  - i

Rozwią zaniem  przybliż onym  bę dzie
i  i

Z 1?***)  =   1,38  /   / / (*!, *»)  K  -   2*?) (1  - xl)dx
x
dx

2
  X

- i  - i

X  exp [- (
3.3. Prostopadł oś cian.  Rozważ my  prostopadł oś cian  0  <x

t
  <  a

it
  (i =  1, 2, 3,)

o  zerowej  tem peraturze ś cian bocznych, przy  czym niech w chwili  t  =  X w punk-
cie  I ;,  (i =   1, 2, 3), dział a  chwilowe,  jednostkowe  ź ródło  ciepł a. Jeż eli  przed-
stawimy  rozkł ad  tem peratury  wywoł any  ź ródł em  punktowym  za  pomocą
funkcji  D iraca

6(t  -   X)  6(x
1
  -   li)  d(x

2
  -   fa)  6(x3  -   £,)



74  ZYG MUN T  TH R U N

i  zał oż ymy  rozwią zanie  w  postaci;
OO  CO  0000  CO  00

: (t) sin  *-  sin  sin

t o  po analogicznych  dział aniach jak  dla zagadnienia  dwuwymiarowego  w  p. 3.1.
otrzymamy  w  wyniku  ś cisłe  rozwią zanie  (funkcję   G reena).

4.  Zagadnienia  w  współ rzę dnych  cylindrycznych  i  sferycznych

Jeż eli  rozważ amy  tylko  zagadnienia  osiowo- symetryczne,  to  równaniem
przewodnictwa  cieplnego  we  współ rzę dnych  cylindrycznych  (r, z)  bę dzie

3T  I d*T   1  8T .  d*T \   A
x
  '  ót  \   dr

2
  r  dr  3z

2
)  cy

w  obszarze:  0 < r < a ,  — 1 <  #  <  + 1 .

Warunki  brzegowe:

+  h
r
(T - T

r
)  = 0  dla  r  =   a,  — / < * < / ,

+   Az [( r -   r.)  ==   o  dla  * =   i/ ,
p rzy  czym  A, i  ftz  mogą   przyjm ować  wartoś ci  zera  i  oo. Waru n ek  począ tkowy

T =f(r,z)  dla  t =  0.

Przybliż one  rozwią zanie  przyjmujemy  w  postaci

(4.2)  T *, 2, f)  =   Vo(r,  Z) +  2J  *\ t$9i{r>*)•

Z akł adam y  taką   funkcję   c?0(r,  5:),  aż eby  był o  speł n io n e  równ an ie

O <r  <a
i  =   0  d la

I—/ < *< /
(4.3)  Hp.  + h,(<p

9
- T

r
)**  O  dla  r =   fl,

o/

- 7j—)-  h
x
(<p

0
  —  T z)  =   O  dla  af =   . i  /.

P ozostaje  do  speł n ien ia  ukł ad

0<r<a,
aitpi  —  A\ cy  =  yi  d la  j

%i<Pi  =  O  d la  #  =   ±   / .



N I E ST AC J O N AR N E  Z AG AD N IEN IA  P RZ EWOD N IC TWA  C I E P LN EG O  75

Warunek  począ tkowy  speł nimy  w  ten  sposób,  aż eby
a  I

ójjr[f(r,  x)- T *(r,  z, t =   O)]2 dr dz =  0.  (4.5)
o- /

W  przypadku  stacjonarnego  wytwarzania  ciepł a  przez  oś rodek  A  =  A(r,  z),
wyraż enie  A\ cy  zamiast, w  (4.4)  należy  umieś cić  w  (4.3).  U kł ad  równań  (1.9)
bę dzie  tu  miał  tę  samą  postać, lecz współ czynniki przyjmą  nastę pują ce  wartoś ci:

A
lk
  = j  j  rcptir, z)<p

k
{r,  z)drdz,  B

ik
  =  -   J  j

o  - i  o  - i

(4- 6)
a  l  a  I

Ctk =   —  \  w  - ^ - jVkdrdz,  Z
k
  —  I  \ —rcp

k
drdz.

0  - /   0  - /   '

U kł ad  równań  do  wyznaczenia  a,{t  —  0)  otrzymamy  z  warunków  (4.5):
n  a  1  a  1

(4.7)  £  at(t =   0) A
ik
 -   / /  rf(r, z) cp

k
drdz + fjr

Mk
drdz  =  0.

/ = i  o- i  o- i

Jeż eli  wybierzemy  jako  funkcje  przybliż eń  funkcje  ortogonalne  takie,  dla
których  A

ik
  =  B

ik
  =   C

tk
  =  0  dla  i  ^ d k,  to znowu  otrzymamy  ukł ad  wzajemnie

niezależ nych  równań  (1.9),  z  których  po  rozwią zaniu  uzyskamy  wyraż enia
(1.15),  a  stał e  a

k
(t  =  0)  wyznaczymy  nastę pują co:

a  I  u l ,

1  C  C  1  f  C
(4.8)  a

k
(t  =   0)  =   - j-   r / ( r , z)ę

k
drdz—- j—  r<p

o
<p

k
drdz.

K K o - ;  K K o - /
4.1.  Walec nieskoń czony. N iec h  równ an ie  róż n iczkowe,  warun ki  brzegowe i  tem -

p er a t u r a  począ tkowa  dan e  bę dą  n ast ę p u ją co:

3T   ld*T  1 8T \
  n

  ,.
- 5 7 - *  - Ó F +   — - 5-   = 0  d la  0 < r < a ,
ot  \ , or

%
  r  or  I

T   =   TV =   const  dla  r  =   fl,  T   =  f(r)  dla  i  =   0.

Rozwią zanie  przybliż one  (4.2)  przyjmujemy  nastę pują co:

F unkcja  (p
o
(r)  speł niają ca  (4.3)  przy  h

r
  - *  co,  jest  równa  cp

0
  =  T

t
  =  const.

Równania  (4.4)  przyjmą  postać:

2  fli^i  =   0  dla  r  — a.

Przyjmijmy  funkcje  przybliż eń  w  postaci  funkcji  Bessela  zerowego  rzę du

(4.9)
  Vt

(r)  =   J 0( a , r ) .



76  ZYG MU N T  TH R U N

Speł nienie  warunku  brzegowego  dla  r  =   a  wymaga,  aż eby

(4.10)  J 0( «i«)  =   0,

czyli  diii  =   1, 2, 3, ...)  muszą   być  kolejnymi  pierwiastkami  równania  (4.10).
Wiadomo  takż e,  że  równanie  to  nie  ma pierwiastków  podwójnych  ani  zespolo-
nych.  Wyznaczymy  współ czynniki  (4.6):

fĄ faĄ dr- jĄ faa),  A
tk
  =  B

tk
 =  C

tk
  =  0  dla  i ^  k,

o

Bti= - xj\ r̂   Jo («, r)  +  ̂ ( a, r)l  / „(«,r)dr  =  xa? ^„,  Zk =  0.
o

Z  zależ noś ci  (1.15)  mamy  af  =   a,(i  =   0) exp  ( — xv?t)  oraz  ze  wzoru  (4.8)

Ostatecznie  wynikiem  przybliż onym  jest

(4.11)  •   •

D la  »  - »•   oo otrzymujemy  znowu  wynik  ś cisł y7.  D la póź niejszego  porównania
powyż szego  wyniku  ś cisł ego  z  obliczeniem  przybliż onym  przejdź my  w  (4.11)
na  współ rzę dne  bezwymiarowe  xt/ a2  =  r,  aa

t
  =  /3,  oraz  zał óż my  f(r)  =  0.

Otrzymamy  wtedy  z  (4.11)

(4,2,   ^ ^

W  szczególnoś ci  dla  T =   0,3  i  r  =   0  mamy  T / T
x
  =  0,72.

Przyjmijmy  teraz  dla  rozwią zania  tego  samego  problemu  funkcje  przybliż eń
w  postaci:

(4.13)  C3((r) =   cos inrj2a,  i  =   1, 3, 5,  . . . , ».

Rozważ my  tylko  pierwsze  przybliż enie

T * =  r i + a 1 ( f) c o syr r / 2 a ; '

po  wyznaczeniu  współ czynników

A
X1
  =   a» (1 / 4 - 1  jn%  B

n
  =   «

7  Por.  [1]  str.  174,  wzór  (4), dla  T =   0.
8  Por.  [1] str.  175,  wykres  19.



N I E ST AC JO N AR N E  Z AG AD N I EN I A  P R Z E WOD N I C TWA  CIEP LN EG O  77

oraz po analogicznych obliczeniach jak  uprzednio otrzymamy w wyniku  pierwsze
przybliż enie

(4.14)

ir.v  / ?2
njj.  rp  W

Porównajmy  wynik  powyż szy  z  wynikiem  ś cisł ym  otrzymanym poprzednio.
W  tym  celu  zał óż my  f(r)  =  0  oraz  przyjmijmy  współ rzę dne  bezwymiarowe
xtjd

1  =   T,  aa.- ,  =  / ?;,  T =   0,3  oraz  r  =  0;  otrzymamy  wtedy

(4.15)  ~  = 0, 738,
1 1

w  odróż nieniu od wyniku  ś cisł ego  (4.12). T o  znaczy,  że już  z  pierwszego  przy-
bliż enia  z  wyraż enia  zamknię tego  (4.12)  w  stosunku  do  wyniku  ś cisł ego  z  sze-
regu  (4.11)  otrzymujemy  bł ą d  rzę du  tylko  2,5%.  D rugie  przybliż enie  nale-
ż ał oby  przyją ć  w  postaci

T * =T ^   + a
x
 (t) cos

G dybyś my  do  przybliż onego  rozwią zania  tego  samego  problemu  zamiast
(4.9)  lub  (4.13)  przyję li  jako  pierwsze  przybliż enie

to  po  analogicznych  obliczeniach  i  przy  tych  samych  danych  otrzymamy
T *\ T

X
=  0,623  zamiast  (4.12)  i  (4.13). Z powyż szych  wyników  wyraź nie  widać,

jak  bardzo  od  rodzaju  wyboru  funkcji  przybliż eń  <pi  zależy  zbież ność szeregów
kolejnych  przybliż eń.

4.2.  Walec  skoń czony.  N iech  zagadnienie  bę dzie  okreś lone  nastę pują cym  rów-
naniem  róż niczkowym  i  warunkami  granicznymi

oT   18
2
T   1  81  ,  8Z1  \   .  ,,  i  <~*z<^ i,

—  — w  ; — h  - 7TT  = 0  dla  {  .

8t  \ 8r
2
  r  8r  8z*]  {  0  <r<a;

T   =   0  dla  t  =   0,  T  =   1  dla  '  ,

Zakł adamy  rozwią zanie  przybliż one

a
mn

(t)Ą (<x,„r) cos-
m  n

które  speł nia warunki  brzegowe,  jeż eli  zał oż ymy, że  a„, są   kolejnymi  pierwiast-
kami  równania  (4.10)  oraz  m =   1, 3, 5, 7, . . .  Wyznaczamy  współ czynni-
ki  (4.6)  .



78  ZYG MU N T  TH KU N

A„
m
i

k
  =   B„„,i

k
 —  C

nmik
  =  O  d la  i  ^ n,  m  ^  k,

II  ni  *  t^  11  ni  i  f\   a ni  j  ł t  /   /   /   /

a  /

/i  -   f  f  nr  \   2  " ^ ^  J  r  _  /   tti  r2 /   \^nra/ im—  r j 0 ( a r j c o s  _.  araz  —  i- ^ - Jx\ (/ .na),
J  J  L I  L
0- !

B  - .*[(\ r
  d

*
Ą (a"r)  4-   dJ°(«»rA  J  U

  r
\ cos2  ™nB

'"""• " -
%
)  J  V  dr*

  +
  aV~\

M
  "  '  T l

dla  i  =   n,  k  =   m

Zależ ność  (1.15)  przybiera  postać

a  stał e  wyznaczamy  ze  wzoru  (4.8)
m- l

a
nm

(t  =   0)  =   —  8(  —  1)  [an
m
<x.

n
J

1
(a.

n
a)\ -

1
  •

Wynik  przybliż ony
m- l

8  V  V  (~~1)  - AtK/)  OT7rs:

•   cos  exp  \  —  xtZ l ;  mot.nJ1(a.na)
m= l,3,5...  n- 1,2,3...

i«+ m\
przybiera  wartość  ś cisłą   dla  n, m  - *•   oo9. W  analogiczny  sposób  moż emy otrzy-
mać  rozwią zania  przybliż one  dla  zagadnień  z  innymi  warunkami  brzegowymi,
temperaturą   począ tkową,  czy  też  z  dział aniem  ź ródeł   ciepł a  A.

4.3. Zagdanienia  we  współrzę dnych  sferycznych.  Jeż eli  rozkł ad  tem peratur  i  ź ró-
deł   ciepł a zależy  tylko  od  współ rzę dnej  r  i  od  czasu  t,  to  równaniem  przewod-
nictwa  cieplnego  bę dzie  jak  wiadomo

\   _ Ł
St  * \  dr*

  +
  r  8r)  cy

D la  otrzymania  przybliż onych  rozwią zań  zagadnień  zwią zanych  z  tym  rów-
naniem  moż na  zbudować  wzory  we  współ rzę dnych  sferycznych  analogiczne
do  uprzednio  wyprowadzonych  zależ noś ci.  Wzory  cał kowe  na  współ czynniki
równań  (1.9)  A

ik
,  B

ik
,  Ci

k
  bę dą   teraz  zawierał y  wyraż enie  r2dr  zamiast  rdr

jak  w  przypadku  współ rzę dnych  cylindrycznych.
Inną   drogą   rozwią zywania  tych  zagadnień jest  podstawienie  U  =   T r  do rów-

nania  (4.16),  przez  co  otrzymujemy  równanie  typu  (2.1),  które  już  rozwią zu-
jemy  sposobem  opisanym  w  p.  2.

8  Por.  [1],  str.  194,  wzór  (6).



N I E S T A C J O N A R N E  Z A G A D N I E N I A  P R Z E W O D N I C T W A  C I E P L N E G O  791

5.  N iejednorodność  wł asnoś ci  termicznych

Wł asnoś ci cieplne ciał  mogą   się  zmieniać z poł oż eniem i temperaturą . W ostat-
nim  przypadku  równanie  przewodnictwa  cieplnego  staje  się  nieliniowe.  W dal-
szym  cią gu  bę dziemy  rozważ ali  niejednorodność  wł asnoś ci  termicznych  ciał
w  zależ noś ci  tylko  od  współ rzę dnych  przestrzennych  K = K(x_),  c =   c(x

s
).

Zamiast  równania  (1.1)  otrzymamy  wtedy  dla  zagadnień  dwuwymiarowych
równanie  przewodnictwa  cieplnego  w  postaci

(5.1)  , * ( * , , * , ) _ • - _-

Warunek  począ tkowy  pozostaje  w  niezmienionej  postaci  (1.3),  a  warunki
brzegowe  (1.2) przyjmą   postać

(5.2)  dT I8x
r
 + h

r
(x)(T - T

r
)  = 0.

Przyjmujemy  rozwią zanie  przybliż one  (1.5). Funkcję  <p
o
(x

s
)  należy tak  przyją ć ,,

aż eby  speł niał a  ona  niejednorodne  warunki  brzegowe  (5.2)  oraz  równania

(5.3)  l ^ ^   + l ^ ^ ^ O  w  obszarze  0 < „   < «,

+   h,  («,) (c>0  -   T t) =  0  dla  *, =   0,  a„   /  -   1,2.

D ruga  czę ść  rozwią zania  ma speł niać  warunki

{yc\ x- \ .  XO)- T - ~'^ ~~  I J\ *(Xi 7 Xn\   ~  I  TT
Ct  L/ iAii  I  CA  i 1  Cf

(5.4)  X  \ at(t)(pi(x
1
,x

2
)  A  =   0  w  obszarze  0 <x

t
  <  a

h

i

[ H
g  1   vi

d:Kj  J  j—i
oraz  warunek  począ tkowy  (1.8).  W  przypadku  stacjonarnych  ź ródeł   ciepł a
wyraż enie  A  =   A(x

s
)  należy  zamiast  w  (5.4)  umieś cić  w  (5.3).  U kł ad  równań

róż niczkowych  obowią zuje  nadal  w  postaci  (1.9),  zmienia  się  jedynie  wartoś ć:
współ czynników

f  f
a

f- ł  I  I  I  IS  I  \ \   VI  /yi  | ł l  V  1/7 V  / 7V
f  1  r r.  II  •   '  I  I  I  J ^  I  ^  ^  ,  jA/  o  /   ^  I  l/ ^ Ł V  1  5  2  /   ^ ^  1  * * Ł H ^ P 2 J

(5- 5)
r  r  s  \  - r,  ,   5©i  i  .̂

C l t  =   —  K—  K(x1,  x2)   TT-   wk  dx1  ax2,  / t  =   \   \  A  wk  ,
f3  fl



80  ZYG MU N T  TH RU N

D alszy  tok  rozwią zywania  jest  identyczny  z  dotychczasowym  postę powa-
niem  i  zilustrowany  jest  poniż szym  przykł adem.

N ajprostszymi  typami  niejednorodnoś ci  wł asnoś ci  termicznych  ciał   w  za-
gadnieniach  jednowymiarowych  są :  K  =   K

o
x",  c  =  const  oraz  K  =   const,

yc  ==  (yc)
o
x

n
.  N ajważ niejszymi  przypadkami  praktycznie  są   takie,  dla  których

0 < « < l .  W  odróż nieniu  od  rozwią zań  ś cisł ych10  moż liwoś ci  otrzymania
rozwią zań  przybliż onych  niniejszym  sposobem  nie  są   ograniczone  do  naj-
prostszych  tylko  wyraż eń  na  zmienność  wł asnoś ci  termicznych.  Operacje
matematyczne  sprowadzają   się   tutaj  do  wyznaczenia  cał ek  [5.5),  które  w  przy-
padkach  skomplikowanych  moż na  rozwią zywać  numerycznie  oraz  do  rozwią -
zywania  ukł adu równań róż niczkowych  pierwszego rzę du  i to tylko  w  przypadku,
gdy  chodzi  o  wię kszą   liczbę   przybliż eń.

Przykł ad.  N iech  obszar  0  <  x  <  a  przedstawia  oś rodek  o  niejednorodnoś ci
wł asnoś ci  termicznych  wedł ug zależ noś ci:  K  =   K

B
x

11
*,  c  =   const. D ane  warunki

brzegowe,  począ tkowe  oraz  rozkł ad  ź ródeł   ciepł a  są   zgodne  z  równaniami

- ^ ' ^ 0  d I a  0 < x < a

T =f{x)  dla  * =   0,  T =T
1
  dla  *  =   0,  T  =  T a  dla  * =   a.

Przyjmijmy  pierwsze  przybliż enie  rozwią zania  w  postaci.

(5.6)  T * =  (p
o
(x) + a

1
(t)x(a—  x).

Funkcję   (p
o
(x) •  przyjmujemy  zgodnie  z  równaniami  (5.3),  które  wyraż ają   się

tutaj  nastę pują co:  ;

K
0
- j- \ yx  - j- ^ \ =  O  dla  0  <  *  <  a

<p
0
  =   7\   dla  x  —  0,  q>

0
  —  T

t
  dla  x  — a.

Otrzymamy  stą dę ?,,  =   (T %— 2\ ) \ / xj]/ a- \ - T ^ ^ .  Wyznaczmy  współ czynniki  (5.5).

a  a

A^  — yc  I x^ a—xfdx  — yc- ^ r.,  Z
x
—  I  ^(a;, f)a;(a— x)dx,

= -  f
0  L  J

C u  =   0.

Wzór  (1.15)  daje:

1 0  Por.  (1),  str.  332,  wzór  (10).



NIESTACJONARNE  ZAGADNIENIA  PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO  81

Stalą   cał kowania  «r1(if  =   0)  wyznaczamy  z  zależ noś ci  (1.16);

Podstawiają c  powyż sze  wyniki  do  wyraż enia  a
x
(t)  otrzymujemy  rozwią zanie

przybliż one  z  (5.6).

6.  Uwagi  koń cowe

Powyż szy  sposób  przybliż onego  obliczania  niestacjonarnych  zagadnień
przewodnictwa  cieplnego  może  być  z  powodzeniem  rozszerzony  na  inne pro-
blemy  począ tkowo- brzegowe.  D otyczy  to  w  szczególnoś ci  trudniejszych  za-
gadnień  zwią zanych  z  oś rodkami  niejednorodnymi,  gdzie  ś cisłe  rozwią zania
napotykają   na  trudnoś ci  natury  matematycznej.  Sposób  ten  może  być  też  sto-
sowany  tam,  gdzie  istnieją   co  prawda  rozwią zania  ś cisł e, lecz  wyraż ają   się   one
w  skomplikowany  sposób  przez  funkcje  specjalne,  dla  których  brak  wystarcza-
ją cych  tablic.  Obliczenie  powyż szym  przybliż onym  sposobem  sprowadza  się
praktycznie  do  obliczenia  odpowiednich  współ czynników  cał kowych  (A- ,

k
,

B
ik
,  C

ik
,  Z)  oraz  do  rozwią zania  ukł adu  zwyczajnych  równań  róż niczkowych.

W  zagadnieniach  zwią zanych  na przykł ad  z  równaniem  falowym  bę dą   to  rów-
nania  róż niczkowe  zwyczajne  drugiego  rzę du.  D la wyznaczenia  tylkb'pierwsze-
go  przybliż enia  lub  dla  wię kszej  iloś ci  przybliż eń,  lecz  przy  odpowiednim  do-
borze  funkcji  przybliż eń,  pozostaje  od  rozwią zania  tylko  jedno  równanie
róż niczkowe.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

[1]  H . S.  CARSLAW,  J. C.  JAEGER,  Conduction  of  Heat  in  Solids,  Oxford  1948.
[2]  W.  N OWACKI,  Zagadnienia  tennosprę ż ystoś ci,  Warszawa  1960.
[3]  JI.B.  K AH T O P O B H ^ J  E .H .  K P M J I O B , npuSmumeHHae  juemodbi  euctueio  ancuima,  MocKBa

1962.
[4]  L.  COLLATZ,  N umerische  Behandlung  von  Differentialgleichungen,  Berlin- G ottingen- H ei-

delberg  1955.
[5]  W.  N OWACKI,  Dynamika  budowli,  Warszawa  1961.
[6]  D . N .- G.  ALLEN ,  R. T .  SEVERN,  T he  application  of  relaxation  methods  to  the  solution  of

non- elliptic  partial  differential  equations,  Quart.  J.  Appl.  M ath.,  nr  4,  1951.
[7]  N . N .  LEBIED IEW,  Funkcje  specjalne  i  ich  zastosowanie,  Warszawa  1957.
[8]  J.  W.  G REEN ,  An  expansion  method  for  parabolic  partial  differential  equations,

J.  of  Res.,  N at.  Bureau  of  Standarts,  51  (1953).

s  Mechanika  teoretyczna  i  stosowana



82  ZYG M U N T  T I I R U N

P  e 3 io  M  e

METOfl  nP H BJIH »EH H OrO  PEIIIEHHfl  HA^AJILHO- KPAEBLIX

B  nPH MEH EH H H   K  HECTAIIHOHAPHO- KPAEBŁIM   3AflAHAM

TEIIJIOnPOBOflH OCTH

crrocoS  npH Sjiuwcemioro  penleiiH H   H aiajiLH O- KpaeBbix  3aą an  TeruionpoBOflHocTH .
pn6nnH <eH H oe  peiKeime  B  chopMe  pn ;ia  npoH3BefleiiHH   ^yH I< U H H .  3 T O T  cn ocoS  AIOH<HO

Hcnojii>30DaTb  p,na MH orux  Bo n p o c o s,  KacaiomaxcH   iiecT au n o n apn o ro  noTOKa  Ten.ua  npw  passnm-
H bix  HaMajiLHtix  TeivinepaTypaXj  i<an  H   p,mi  pa3JiH mibix  Kpacisbix  ycjioBi- ift,  B nonnx  c  HCTOMHHKOM
H   6e3  HCTomłi- iKa.  M O > K H O ,  TaKHM  cnoco6oM , nojiymiTL  pem cin iH   Taioi- ce  H   ^ J W  cpefl,  o6jiaflaiom n x

YCJIOBU H M H .

S u m m a r y

M E TH OD   OF   AP P ROXIM ATE  SO LU T I O N   OF   I N I T I AL  AN D   BOU N D ARY

P ROBLEM S  O F   N ON - STATION ARY  H E AT C O N D U C T I O N

A  method  of  obtaining  approximate  solutions  for  initial  and  boundary- value  problems  con-
cerning  conduction  of  heat  in solids  is  considered.  T h e approximate solutions  are assumed  in form
of  series  of  products of  functions.  T h e  method is  applicable  to many  problems  of  heat conduction
for  arbitrary  initial  temperature  distributions  and  boundary  conditions.  Problems  of  nonhomo-
geneous  solids  may  be  treated  in  the  same  way.

P O L I T E C H N I K A  G D AŃ SKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  19  lutego  1964.