Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z2\mts64_t2_z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  STOSOWANA 2, 2 (1964) OBCIĄ Ż ENIA  DYNAMICZNE  BELEK.  BELKA  TIMOSHENKI KRZYSZTOF   W I L M A Ń S KI  (ŁÓDŹ) Oznaczenia Ai  cał kowity  przekrój  belki, A s   przekrój  sprowadzony  dla  ś cinania, J e   moment  bezwł adnoś ci  przekroju  dla  zginania, / ;  moment  bezwł adnoś ci  przekroju  dla  bezwł adnoś ci  obrotowej, -i  / SJ«Cj =   1/   ~f  szybkość  fali  podł uż nej, c2  =   1/   —77  szybkość  fali  poprzecznej, =   1/   ~A,  promień  bezwł adnoś ci  przekroju, 24 I  d ł u go ść  belki, • nn a "  =   T  ' w  u gię c ie  c a ł ko wit e  o si  o bo ję t n ej  zgin a n ia , zuj,  u gię c ie  osi  o bo ję t n e j,  sp o wo d o wa n e  m o m e n t e m  gn ą c ym, w s   u gię c ie  osi  o bo ję t n e j,  sp o wo d o wa n e  sił a m i  t n ą c ym i, ro  t r a n sfo r m a t a  u gię cia  w, x,  t  wsp ó ł r z ę d ne  m iejsca  i  c zasu , X  Ct =   —  ,  r  =  —  współ rzę dne  bezwymiarowe  miejsca  i  czasu, p  parametr  transformacji, M  moment  gną cy, M o   zewnę trzny  moment  obcią ż ają cy, 0  sił a  poprzeczna q(x)  zewnę trzne  obcią ż enie  cią gł e, a>  czę stotliwość  drgań  belki, wn i»  wm  czę stotliwość  drgań  belki  pierwszego  i  drugiego  rodzaju  dla  fal  har- monicznych, 6 * 84  KRZYSZTOF   WILM AŃ SKI rj(t)  funkcja  jednostkowa  H eaviside'a, / „ , ,  / ,„   funkcje  Bessela  pierwszego  rodzaju  rzę du  m od  argum entu, odpowied- nio  rzeczywistego  i  urojonego, E, C  moduł   Younga  i  m oduł   odkształ cenia  postaciowego. 1.  Wstęp Rozwój  przemysł u  oraz  budowa  urzą dzeń  szczególnie  naraż onych  na  obcią- ż enia  dynamiczne  wywoł ały  konieczność  uś ciś lenia  metod  obliczeniowych, stosowanych  w  klasycznej  wytrzymał oś ci  materiał ów.  W  1914  r.  H .  LAM B [34]  zwrócił   uwagę,  że  nawet  w  najprostszym  przypadku  belki  obcią ż onej udarowo  elementarne  równanie  drgań,  podane  przez  BERN OU LLIEG O  i  EULERA nie  jest  prawdziwe.  W  powyż szym  równaniu  EJ  oznacza sztywność  na zginanie, QA  masę  belki  na jednostkę  dł ugoś ci,  w  ugię cie,  x,  t  współ rzę dne  odpowiednio miejsca  i  czasu. Równanie to prowadzi  do wyniku  ś wiadczą cego,  że wpł yw  nagle przył oż onego obcią ż enia  rozchodzi  się  z  szybkoś cią  nieskoń czoną.  W  celu  wyeliminowania tego  bł ę du  nie  zrezygnowano  z  metod  wytrzymał oś ciowych  i  zgodnie  z  pro- pozycją  S.  P.  TIM OSH EN KI  [47]  wprowadzono  do  równania  Bernoulliego- Eulera  poprawki  uwzglę dniają ce  wpł yw  sił   poprzecznych  na  ugię cie  oraz  sił y bezwł adnoś ci  obrotowej  (poprawka  Rayleigha).  M im o  że  teoria  równania  T i- moshenki  jest  znacznie  bardziej  skomplikowana  od  elem entarnej,  to  jedn ak jest  ona  znacznie  prostsza  od  rozwią zania  trójwymiarowego  ukł adu  równań liniowych  teorii  sprę ż ystoś ci. 2.  P odstawowy  ukł ad  równań N iech  ABCD  bę dzie  elementem  ograniczonym  przez  dwa  przekroje  belki pryzmatycznej,  prostopadł e  do  nieodkształ conej  osi  belki  Ox,  odległ e  od  siebie o  dx.  Wtedy  zwią zki  fizyczne  (przy  zał oż eniu  sł usznoś ci  hipotezy  pł askich przekrojów)  mają  postać: <2U  M- - FT ~ b (2.2)  Q =  GAS  * J , gdzie  w  — to b - \ - w s   jest  cał kowitym  ugię ciem  belki. Równania  równowagi  elementu  przedstawionego  na  rys.  1  prowadzą  do  za- leż noś ci: '  2?- *• .£- • «• O BC I Ą Ż E N IE  D YN AM IC Z N E  BELEK.  BELKA  TI M OSH E N KI 85 (2.4) 8x ~  ~   e   ' 88f8x  ' U kł ad  równań  (2.1)- (2.4)  stanowi  podstawowe  wzory  teorii  Timoshenki. Są   one  cytowane  w  róż nej  postaci,  jednak  najczę ś ciej  spotykane  jest  równanie opisują ce  ugię cie  w.  Po  wyeliminowaniu  z  wyż ej  przytoczonych  równań  zu6, w s ,  Mi  Q  otrzymujemy  (postać  jednorodna—•  q(x) =  0)  [31],  [47]: (2.5) Rys.  1 + • Ą cl 8*w  _  „ I  • "•   VM   ~-   " • Zastanowimy  się   obecnie  nad  sensem  fizycznym  współ czynników  c\   i  c\ . 3 .  D owód  falowoś ci  równania  Timoshenki Charakter  fizyczny  równania  (2.5) po raz  pierwszy  zbadali  w  1942 r.  J.  PRES- COTT  [43]  i  W.  FLU G G E  [20].  Poniż ej  przytoczymy  rozważ ania  przeprowadzone przez  J.  S.  U F LJAN D A  [49]  w  oparciu  o  metodę   transformacji  Laplace'a. Zał óż my,  ż e: (3.1) wtedy (3.2) w(x, p)  =   J  w(x, t)e~ptdt, w[x,t)  • = Br gdzie  symbol  (Br)  oznacza kontur  Bromwicha- Wagnera  na pł aszczyź nie zmien- nej  zespolonej  p  (rys.  2).  Prosta  okreś lona  symbolem  (Br)  ogranicza  obszar wartoś ci p,  dla  których  transformata  ugię cia  w(x, p) jest  analityczna.  Wszystkie punkty  osobliwe  w(x,p)  znajdują   się   po  lewej  stronie  tej  prostej. K R Z YSZ T O F   WI L M AŃ S KI Jeś li  operację   opisaną   zwią zkiem  (3.1)  wykonamy  nad  równaniem  (2.5), to  otrzymamy: i - l Rys.  2 Rozwią zaniem  tego  równania  jest  funkcja: (3.4)  »(«, ; gdzie (3.5)  ni =  ±   M]/ pyp±   N ]/ p2  — a,  Ai  są   stał ymi  cał kowania. Transformatę   odwrotną   (3.2)  okreś limy  dla  prę ta  pół nieskoń czonego  x  >  0. Wtedy  (3.4)  przechodzi  w  zwią zek: (3.6)  w(x, p)  =   Aj  (p) e~"iX  - \ - A 2 (p) e~"> x , gdzie  Re  n x   >  0  i  Re  n 2   >  0. Rozwią zaniem  równania  (2.6)  dla  tego  przypadku  jest  funkcja: (3.7) w(x,  t)  =   ~ - "*]  e" |m am y  zależ noś ć: i  dla  dostatecznie  duż ego  R  moż na  napisać: OBC I Ą Ż E N IE  D YN AM I C Z N E  BELEK.  BELKA  TIM OSH EN KI  87 (3.8)  w  =  w 1 - \ - w i   =  - =—.  I A 1 [p)t%Y>p\ t  \ exp[e 1 x)dp gdzie lim  B X   =  0,  lim  £ 2 =   0. G d y  lim  A x   (p)  =  lim  ^42(^>) =   0,  t o  z  twierdzen ia  Jo rd an a  otrzym ujem y: |p|- >co  |p|- *oo 10!  =  0  dla  i < ~ ,  w2 =   0  dla  i <  —. A  więc  efekt  obcią ż enia  rozprzestrzenia  się  w  prę cie  w  postaci  dwóch  fal o szybkoś ciach  c x   i c 2.  Charakter tego ruchu falowego  zbadali:  w 1947 r.  J. L. B. COOPER  [9], póź niej  H .  SCHIRMER  [46]  oraz  B. BUDIANSKY i  R. W.  LEONARD   [7]. Ta  ostatnia praca  oparta jest  na metodzie  charakterystyk  zastosowanej  zarówno do  belki  nieskoń czonej,  jak  i  skoń czonej. 4.  D rgania  wł asne  belki N ajwię ksza  liczba  prac  dotyczy  rozwią zania  równania  Timoshenki  dla  przy- padku  drgań  wł asnych.  Róż nią  się  one  zarówno  warunkami  brzegowymi,  jak i  metodami rozwią zań. Pierwsze  w)fniki  dotyczą ce  belek  nieskoń czonych został y podane  przez  E. T .  KRUSZEWSKIEG O  [32]  i  R. A.  ANDERSONA  [1].  Prace  ra- dzieckie  dotyczą  gł ównie  pojedynczych  fal  harmonicznych  [19,  29, 42],  Ocenę wpł ywu  wprowadzonych  poprawek  na  czę stotliwość  drgań  przeprowadził po  raz  pierwszy  TIM OSH EN KO  we  wspomnianej  pracy  [47]. To  samo zagadnienie rozpatrywali  R. D .  M I N D LI N   i  H .  D ERESIEWICZ  [39], V.  PETROVSICY [40],  T. C. HUAŃ G   [26],  Ten  ostatni  autor  wprowadził   do  analizy  drgań  wł asnych metodę G alerkina  i  zwią zaną  z  nią  metodę  wariacyjną  Ritza  [27].  Przy  pomocy nume- rycznej  metody  M yklestada- Thomsona,  polegają cej  na  podziale  masy  belki na  n  mas  skupionych,  T .  C.  HUAN G   i  N . C.  Wu  obliczyli  drgania  wł asne  belki o zmiennym przekroju  [25, 28]. Okazuje  się,  że wyniki  róż nią  się  w  tym  przy- padku  o  2- 30%  od  rozwią zań  wg  teorii  klasycznej.  Rozbież ność  jest  tym wię ksza,  im  wyż szy  jest  numer  rozpatrywanej  harmoniki.  ".  • Wreszcie  D . J.  WEID M AN N   [51]  omówił  przypadek  belki  o  przekroju  cienko- ś ciennego  dwuteownika  z  dwoma  osiami  symetrii.  Rozwią zań  poszukiwał w  postaci rozkł adu zaburzeń  na pojedyncze  fale  harmoniczne.  Wyniki  odbiegają od  klasycznych  nawet  o  40%. Poniż ej  przytoczymy  analizę  czę stotliwoś ci  drgań  w  oparciu  o  rozwią zanie równania  Timoshenki  w  postaci  pojedynczej  fali  harmonicznej.  D la  belki K R Z YSZ T O F   WI M AŃ S KI swobodnie  podpartej  ukł ad  równań  (2.1)- (2.4)  zapisujemy  w  nastę pują cej formie: 1  82w  d2W b (4.1) 8x 2   c\ '  8t 2   "  8x %  ' 8x c\ Szukamy  rozwią zania  w  postaci w  =  A  sin a. n x sin cot (4.2)  8w b 8x =   B cos a.„x sin mt - n=  1,  2,  3,  . . . , gdzie  /  jest  dł ugoś cią   belki.  Po  podstawieniu  (4.2)  do  (4.1)  otrzymujemy: (4.3)  A ( 4 -   «• ) +  Ba„ =  0, U kł ad  równań  jednorodnych  (4.3)  ma  rozwią zanie  nietrywialne,  jeś li =   0, co  prowadzi  do  równania: «2  +  a* =  0. 2 J  J Rozwią zanie  otrzymujemy  w  postaci: (4.4.1)  co n   = (4.4.2)  co, l2   = ł atwo wykazać  (por. n p.  [42]), że  czę stotliwość  w,,! jest zawsze  mniejsza  od czę - stotliwoś ci  otrzymywanych  wg  teorii  klasycznej.  Obniż enie  czę stotliwoś ci  w ia w  stosunku  do  wyników  klasycznych  okazuje  się   tym  wię ksze,  im  krótsze są   fale  odkształ ceń. D la czę stotliwoś ci  pierwszej  fali  wynosi  ono  n p.  2%,  ' ale już  dla  pią tej  harmoniki  się ga  25%.  Czę stotliwość  drugiego  rodzaju  co„2 jest bardzo  znaczna  i  jest  porównywalna  z  a>nl  tylko  dla  bardzo  krótkić li  fal (w  porównaniu  z  wymiarami  przekroju  poprzecznego  belki)!  i - :l O BC I Ą Ż E N IE  D YN AM I C Z N E  BELEK.  BE LKA  TI M OSH E N KI  89 5.  D rgania  wymuszone Wyznaczenie  ugię ć,  ką tów  obrotów  stycznych,  sił  uogólnionych  oraz  czę sto- tliwoś ci  w  przypadku  obcią ż enia  belki  czynnikami  wymuszają cymi  drgania sprowadza  się   do  rozwią zania  pewnego  zagadnienia  granicznego  dla  równań Timoshenki. M etody rozwią zań  są  róż ne w zależ noś ci od typu zadania. Wszystkie rozwią zania  ś cisłe  otrzymano  dotą d  w  oparciu  o  metodę   transformacji  cał ko- wych.  Ze  wzglę du  n a  trudnoś ci  matematyczne  wię kszość  prac  dotyczy  belek nieskoń czonych  i  pół nieskoń czonych. Ponieważ  w  zagadnieniu  obok  zmiennej  miejsca  wystę puje  czas  t, wię c  czę sto stosowaną   jest  transformacja  Laplace'a.  Omówimy  pokrótce  przypadek  belki pół nieskoń czonej,  obcią ż onej  na  koń cu  swobodnie  podpartym  momentem H eaviside'a  M(0,  t)  =  M Q r)(t).  Zagadnienie  to  został o rozwią zane  przez  F LU G - GEGO  i  ZAJĄ CA  [21].  Podstawowe  równania  Timoshenki  (2.1)- (2.4)  po  prze- transformowaniu  i  uwzglę dnieniu  warunków  granicznych  prowadzą   do  nastę - pują cych  zwią zków: (5.1) (5.2)  M 1 ( | (5.3)  M 2 (i, p) =  ^  [l -   (l ~  j ^ f ]  e x P  (~  n*  *)• gdzie M(Ę , p)  =   - M (|,  T) C ^ 1  «T,  I  =   —,  T =   - ^ (5.4) i.fc2 iC2 M oż na wykazać  (por. p .  3), że  M 1 ( | : , T)  =   0,  gdy  T  <  | ,  oraz  Afa(|,  T) =   0, gdy  r  <  ź icjcz).  A wię c moment gną cy  rozchodzi się   w  postaci  dwóch  fal  o róż- nych  szybkoś ciach  frontów.  Poszukiwanie  transformat  odwrotnych  Mt(C,p) w  pracy  [21]  przeprowadzono  w  oparciu  o  rozkł ad funkcji  w  szereg  potę gowy. Przedstawimy  Mi{i,p)  w  postaci  rozkł adu  w  szereg  wzglę dem Otrzymamy: (5.5)  M gdzie n \   [bp 2  WL1  I1  M  Je x pL  b 4  nl 7 Mechanika  teoretyczna  i  stosowana 90  KRZYSZTOW  WILM AŃ SKI oraz Wykorzystują c  twierdzenia 2)  J2- 1 {e- >»  o)]̂ )  są  dodatnimi  pierwiastkami  równania (5.8)  ( a a ) 2 - ^ ) ( c o2 - ^ )2 ) - a )2 =   0. Pozostaje  do  okreś lenia  transformacja  odwrotna.  Wykorzystamy  do  tego asymptotyczną  metodę  okresu  stacjonarnego.  D la  przykł adu  wyznaczymy momenty  zginają ce  stosując  wzór  (2.1): oo (5.9)  M =  ~  f  [1 +  Ai(p) cos K r )  +  A, (p) cos (»|T)] *- «  ^  . —  oo M etoda  Kelvina  pozwala  obliczać  cał ki  typu (5.10)  fl» Zakł ada się,  że funkcja  trygonometryczna jest  funkcją  szybko  oscylują cą  w prze- dziale  cał kowania,  gdy  funkcja  (p(C) zmienia  się  stosunkowo  nieznacznie. Prócz tego  musi  być  speł niony  warunek: [  '  [ |/ "( WD h gdzie  £ 0  jest  punktem  stacjonarnym. Zgodnie  z  dowodem  przeprowadzonym  przez  STOKESA  najwię kszą  czę ść swej  wartoś ci  cał ka  przyjmuje  wtedy  w  otoczeniu  punktów  stacjonarnych, tzn.  takich,  w  których  df(S)jdC  =   0. G dy  istnieje  jeden  pun kt  stacjonarny  $ =   | 0  t o : (5.1.2) 92 K R Z YSZ T O F   WI L M AŃ S KI W  wykł adniku  bierzemy  znak  górny, jeś li/ "(fo)  >  0  i  dolny, je ś li/"  (£ 0) <  0. Aby  okreś lić  cał kę  (5.9)  powyż szą  metodą,  rozł oż ymy  cał kę  na  sumę  dwu wyrazów  o  postaci (5.13) M CO (5.14) M 2  = (p) cos & , (5.15)  M  =  M 1 +M t . Jeś li  we  wzorze  (5.10) podstawimy / (f)  =   co x x—p^ ,  to  przybliż enie  uzyskane wyż ej  omówioną  metodą  dla  (5.13)  i  (5.14)  bę dzie  miał o  postać: (5.16)  M x   • Pr y/ T an d 2 co 1 dp* - ł - ^ l i ^ Jl  dla  p=p u Zwią zki  (5.16)- (5.17)  są  dostatecznie  ś cisł e,  o  ile  speł niony  jest  warunek (5.11),  tzn .: (5.18) [  d*o> x  \ T < vr\   ~W~ i  I  r  I  P= Px W  powyż szych  wzorach  p x   i  p 2   są  pierwiastkami  równ ań : 1  J   dp  ~  x'  dp  r  ' W pracy  [30]  JON ES przeprowadził  szczegół ową  analizę  zwią zków  otrzymanych powyż szą  metodą  i  wykonał   specjalne  przybliż enia  dla  tych  zbiorów  wartoś ci ( |,  T),  gdzie  ogólna  metoda jest  zbyt  mał o dokł adna. Wreszcie  sinusowa  i kosinusowa  transformacja  F ouriera został a wykorzystana w  pracy  BOLEYA  [4]  do  belki  pół nieskoń czonej obcią ż onej  momentem H eavi- side'a. Omówione  metody  transformacyjne  nie  wyczerpują  poszukiwanych  dróg rozwią zania  zagadnienia  Timoshenki.  B. A.  BOLEY  zastosował   [3]  do równania ugię cia  metodę analizy  energetycznej,  tzn .  sprowadził  zagadnienie  do  poszuki- wania  wartoś ci  minimalnej  pewnej  cał ki. N a  zakoń czenie  należy  wspomnieć  o  pracach  A.  I .  CIEJTLIN A  [8]  i  S. H . CRANDALLA  [10]  dotyczą cych  belek  na sprę ż ystym  podł oż u.  Przyję li  oni w  rów- naniach dodatkowy wyraz  (kw) okreś lają cy  odpór podł oża Winklera  o podatnoś ci k  na  skutek  wystę pują cego  po  obcią ż eniu  ugię cia  belki.  C I E JTLI N   otrzymał rozwią zanie  za  pomocą  kosinusowej  transformacji  F ouriera  dla  sił y  Pd(t) w  postaci  cał ek  oznaczonych  i  omówił   moż liwość  uogólnienia  rozwią zania  na OBCIĄ Ż ENIE  DYNAMICZNE  BELEK.  BELKA  TIMOSHENKI  93 obcią ż enia  trwają ce  w  czasie  za  pomocą   cał ki  D uhamela.  CRANDALL zają ł   się w  pierwszym  rzę dzie  okreś leniem  okresów  drgań  wł asnych  i  wymuszonych sił ą   pulsują cą   Peiat  i ruchomą .  T a  ostatnia przesuwa  się   po  belce  ze  stalą   szyb- koś cią   v.  Wyznaczono  krytyczne  prę dkoś ci  ruchu  sił y.  Praca  zawiera  obszerną analizę   numeryczną . Warto tu jeszcze  wspomnieć o uogólnieniu metody Timoshenki na  zagadnienie zginania  dynamicznego  pł yt. Pierwsza  próba należy  do  UFLJAN DA  [49].  N astę pnie zaję li  się   tym  zagadnieniem  R. D .  M I N D LI N   [38]  i  H .  ZORSKI [52, 53]. Ten ostatni  omówił   zagadnienie  Cauchy'ego  dla  bifalowego  równania  Timoshenki. Jego  rozwią zanie  otrzymał   za  pomocą   odpowiedniej  toż samoś ci  cał kowej. D o  rozwią zań  osobliwych  dla  obcią ż eń  skupionych  zastosował   całkową   trans- formację   Laplace'a.  Został y  również  omówione  charakterystyki  rozpatrywa- nego  równania. 6.  Zakoń czenie Jak  widać  z  powyż szych  rozważ ań,  wprowadzone  poprawki  spowodował y w równaniu drgań belki  istotną  zmianę  jakoś ciową. U dał o się  uchwycić,  potwier- dzony  doś wiadczalnie,  falowy  charakter  zjawiska  oraz  z  dostateczną   dokł adno- ś cią   moż na  był o  przedyskutować  wyniki  w  otoczeniu  frontów  fal. Jednak  w  rozważ aniach  belek  obcią ż onych  dynamicznie  wystę puje  poważ na luka.  N ie  udał o  się   mianowicie  uzyskać  dotą d  przejrzystej  metody  rozwią zania dla  belki  skoń czonej.  Prócz  metody  charakterystyk,  ilustrują cej  interferencję fal  odkształ ceń  wskutek  odbicia  tych  fal  od  granic  oś rodków  w  belkach  skoń- czonych,  ż aden  inny  sposób  nie  doprowadził   do  efektywnych  wyników.  D alsze rozważ ania  teoretyczne  powinny  być  zwrócone  chyba  przede  wszystkim  w  tym kierunku. Również  zbyt  ską py  materiał  doś wiadczalny  nie  pozwala  korygować  iloś cio- wych  rozważ ań  teoretycznych  w  zestawieniu  ze  stanem  rzeczywistym.  I  to był by  drugi,  podstawowy  kierunek rozwoju  tej  dziedziny  dynamiki  ciał a stał ego. Literatura  cytowana  w  tekś cie [1]  R. A.  AN DERSON , Flexural vibrations in  uniform beams  according  to  the  T imoshenko  theory J.  Appl.  M ech.,  D ezember  1953  (vol.  20). [2]  D .  BAN CROFT,  T he  velocity  of  longitudinal  waves in  cylindrical  bars,  Physical  Review,  59' (1941). [3]  B. A.  BOLEY,  An  approximate  theory  of lateral impact  on beams,  J. Appl.  M ech.,  22(1955). [4]  B. A.  BOLEY,  On  the use of sine  transforms in  T imoshenko —  beam impact  problems,  J.  Appl. M ech.,  24  (1957). [5]  B. A.  BOLEY,  C. G .  C H AO,  Some  solutions  of  the  T imoshenko — beam equations, J.  Appl M ech.,  22  (1955). [6]  B. A.  BOLEY,  R. E.  H EN IN G ER,  V. P.  ZIM N OCH ,  An  energy  theory  of  transverse  impact on  beams,  ON R  Report,  Project  N R —  064 —  355.  January  1952. 94  K R Z YSZ T O F   WI L M AŃ S KI [7]  B.  BU D IAN SKY,  R . W.  LE O N AR D ,  On  traveling  waves  in  beams,  R e p o r t  1173,  N AC A T N 2874,  1953. [8]  A. H . U EH TJ1H H   „O  e/ iunnuu edema  u  umpijUu  epaiaenun  npu  KOAeSaiiunx  Gajixu Ha ynpyzOM ocHoeanUu",  H s f l .  AH .  C C C P ,  n M M , 2 5  (1961). [9]  J.  L. B.  C O O P E R ,  T he  propagation  of  elastic  waves  in  a  rod,  P h il.  M a g.  ser  7,  31  (1947). [10]  S. H .  C R AN D ALL,  T he  T hnoshenko  beam  on  an  elastic  foundation  J.  E n gin .  M e c h .  D iv., O ctober  1962. [11]  S. H .  C R AN D ALL,  A.  YI L D I Z ,  Random  vibration  of  beams,  J.  Appl.  M e c h .  J u n e  1962 (vol.  29). [12]  D AN A  YO U N G ,  R. P .  F E LG AR ,  T ables  of  characteristic  functions  representing  normal  modes of  vibration  of  a  beam,  T h e  U n iversit y  of  T e xa s  P u bl.  N r  4913. [13]  J.  F .  D AVI D SO N ,  Impact  buckling  of  deep  beams  in  pure  bending  Q u a r t .  J.  M e c h .  Ap p l. M a t h . ,  8  (1955). [14]  T .  D AVI D SON ,  J . H .  M E I E R ,  Impact  a  prismatical  bars,  P r o c .  of  t h e  SE SA,  4  (1946). [15]  M . A.  D E N G L E R ,  M .  G O L AN D ,  T ransverse, impact  of  long  beams,  including  rotatory  inertia and  shear  effects,  P r o c .  of  t h e  F irst  U S  N a t io n a l  C o n gress  of  Ap p lied  M ec h a n ic s  1951. [16]  M . A.  D E N G L E R ,  M .  G O L AN D ,  P . D .  WI K E R SH AM ,  Propagation  of  elastic  impact  in  beams in  betiding,  J.  Appl.  M ec h . ,  22  (1955). [17]  C . L .  D O L P H   On  the  T hnoshenko  beam  vibration,  Q u a r t ,  of  Ap p l.  M a t h .  12  (1954). [18]  J.  D O R R ,  Der  unendliche,  federnd  gebettete  Balken  unter  dem  Einfluss  einer  gleichformig bewegten  L ast,  I n g.—•  Archiv,  14  (1943). [19]  M . I I I .  O H E K C E P J  O6yueme  BAUHHUH uuepuuu  8paufenun u nepepe3ueaiouinx  cu/ i  na nonepen- Hbie KOJieSanuH  cmepotcun  Konennou  OMUHU, H m K en epubiH   cSopHHK,  23  (1956). [20]  W.  F LU G G E  Die  Ausbreitung  von  Biegungswellen  in  Stdben,  Z AM M ,  22  (1942). [21]  W.  F LO G G E ,  E . E .  Z AJAC ,  Bending  impact  waves  in  beams,  I n g.- Arch iv,  1959. [22]  G .  H E R R M AN N ,  Forced  motions  of  T imoshenko  beams,  J .  Ap p l.  M e c h . ,  22  (1955). [23]  G . W.  H O U SN E R ,  W.  K .  T so ,  Dynamic  Behavior  of  Supercritically  L oaded  Struts,  J . E n gin .  M ec h .  D iv.,  O ct o ber  1962. [24]  C .  H O W E ,  R .  H O W E ,  L .  R AU C H ,  Application  of  the  electric  differential  analyzer  to  the oscillation  of  beams,  including  shear  and  rotatory  inertia,  E xt .  M e m o .  U M M  —  79,  U n iver sit y  of M ich igan  R esearch . [25]  T .  C .  H U AN G ,  Application  of  variational  methods  to  the  vibration  of  plates  including  ro- tatory  inertia  and  shear,  P r o c .  of  t h e  Seven t h  M id we st e r n  M ec h a n ic s  C on feren ce,  Se p t e m be r 1961,  N o r t h - H o lla nd  P u blish in g  C o m p a n y  —  Am st er d a m . [26]  T .  C .  H U AN G   T he  effect  of  rotatory  inertia  and  of  shear  deformation  on  the  frequency  and normal  mode  equations  of  uniform  beams  with  siple  end  conditions,  J .  Ap p l.  M e c h . ,  28  (1961). [27]  T .  C.  HtfANG,  Effect  of  rotatory  inertia  and  shear  on  the  vibration  of  beams  treated  by  the approximate  methods  of  Ritz  and  Galerkin,  P r o c .  of  t h e  3d  U S  N a t io n a l  C o n gress of  Ap p lied  M e - chan ics,  1958. [28]  T .  C.  H U AN G ,  N . C .  Wtr,  Approximate  analysis  of  flexural  vibrations  of  beams,  P r o c . of  t h e  Seven t h  M id west ern  M ech an ics  C on feren ce,  Se p t e m be r  1961,  N o r t h - H o lla nd  P u blish in g C o m p a n y —  Am st erd am . [29]  M . B .  XBM H rH H ,  B/ rumue  cdemoe  u  unepuuu  epaią enun  na  uacmomy  useuBuux  Ko/ ie6aHuu ynpysux  cmepoiaieu,  H mKeiiepH MH   wcypnaji,  4 ,  3  1,1963). [30]  R . P .  JO N E S,  T ransient  flexural  stresses  in  an  infinite  beam,  Q u a r t .  J.  M e c h .  Ap p l. M a t h . ,  1955. [31]  H .  K O LSK Y,  Stress  waves  in  solids,  Oxford  1953. [32]  E . T .  KR U SZ E WSKI ,  Effect  of  transverse  shear  and  rotary  inertia  on  the  natural  frequency of  a  uniform  beam,  N AC A T N   1909;  1949. [33]  E . J I .  KYAPflBlj.EB,  06  yueme  edeuzoe u  uuepuuu  epaią euun  na U3iu6ubie  KOMÓOHUH  ynpymx 6ajioK,  M e x.  I I  M a iiń in .,  5,  1960. [34]  H .  L AM B ;  P r o c .  R o y.  Soc.  ser.  A93  (1917). [35]  H . L .  M AS O N ,  Impact  on  beams,  J .  Ap p l.  M e c h . ,  58  (1936) OBC I Ą Ż E N IE  D YN AM IC Z N E  BELEK.  BELKA  TIM OSH EN KI  95 [36]  J.  M I K L O W I T Z ,  Flexural  wave  solutions  of  coupled  equations  representing  the  more  exact theory  of  bending,  J.  Appl.  M ech.,  D ezember  1953. [37]  J.  M I K L O W I T Z ,  On  the use of  approximate  theories of  an  elastic  rod in problems  of  longitu- dinal  impact,  J.  Appl.  M ech.,  25  (1958). [38]  R. D .  M I N D LI N ,  Influence of  rotatory  inertia  and  shear on flexural  motions of  isotropic elastic plates,  J.  Appl.  M ech.,  18  (1951). [39]  R. D .  M I N D LI N ,  H .  DEKESIEWICZ,  T imoshenko's shear  coefficient  for  flexural  vibrations of  beams,  P roc.  of  th e  2nd  U S  N ational  Congress  of  Applied  Mechanics  1954. [40]  V.  P&TROVSKY,  Vliv  smiku a setrvacnych  momentu na vlastni kmitoć et prismatickych  noś niku, Stroivenstri,  n r  6,  1960. [41]  H . J.  PLASS,  C, C.  STEYER,  Studies on  L ongitudinal and Bending W aves  in  long  Elastic Rods,  T h e  U niversity  of  Texas,  Report  CM- 860,  1956. [42]  C.fl.  EtoHoMAPEB  H  flpyriie, Pacuemu ua npomocmb  « MawUHocmpoemiu, M auirn33  T. 3, MocKBa  19S9. [43]  J.  PRESCOTT,  Elastic waves and vibrations  of  thin rods,  Phil.  Mag., ser.  7,  33  (1942). [44]  A.  ROBIN SON ,  Shock  transmission  in  beams, Aeronautical  Research  Council  Technical Report  N .  2265,  M inistry  of  Supply,  London  1950. [45]  E. A.  RIPPERG ER,  H .  N .  ABRAMSON,  A  Study  of  the  propagation  of flexural  waves in elastic beams,  J.  Appl.  M ech.,  24  (1957). [46]  H .  SCH IRMER,  Vber  Biegewellen in  Stiiben, Ing.- Archiv,  20  (1952). [47]  S. P.  TIM OSH EN KO,  On  the correction  for  shear of  the  differential equation  for transvere vibrations  of  prismatic  Bars,  in  Collected  Papers,  1922. [48]  R. W.  TR AI LL- N ASH,  A. R.  COLLAR,  T he effect  of  shear flexibility  and rotary inertia  on the  bending vibrations  of  beams,  Quart.  J.  M ech.  Appl.,  M ath.,  2,  6  (1953). [49]  i l . C .  y<5>JmH,U, Pacnpocmpaueuue  eo/ iu  npu nonepeumix  KOjieSanunx  cmepoicueu  u macmuH, ripsn oi.  M a i.  M e x o  12  (1948). [50]  I.  VIG N ESS,  T ransverse waves in beams,  Proc. of the  Society for  Experimental  Stress  Analysis, 8  (1951). [51]  D EEN E  J.  WEID M AN ,  T he effects of shear deformations  and cross- sectional  distortion on the natural frequencies  of  wide —flanged  beams,  Proc.  of  the  Seventh.  Midwestern  Mechanics  Con- ference,  September  1961;  N orth- H olland  Publishing  C om pany,—Am sterdam . [52]  H .  ZORSKI,  Zagadnienie  Cauchy'ego i drgania  nieograniczonej pł yty  cienkiej,  Cz. I,  Biuletyn WAT,  1,  72,  1957. [53]  H .  ZORSKI,  Zagadnienie  Cauchy'ego i drgania nieograniczonej  pł yty  cienkiej,  cz. I I ,  Biuletyn WAT,  4,  75,  1957. P  e 3K>   M  e J J H H AM M E C K Afl  H ArP Y3K A  BAJIOK.  EAJIKA  TH M OU IEH KH P aSoTa  fiBimsica  o63opoM   pem eiiH ii  ypaBH eH iuł   Tiaiom eH KH ,  onH CMBaioimix  rrporiiS  6ajiKH n pH  flH H aM M recKH X H arpy3Kax.  B  n .  3,  ocH OBbiBanct  n a  paScue  ydMBiHfla  [49] HOKa3HBaeTca BojteoBOH   xapaKTep  HBJieHHJi,  ecjin  B  ypaBHeHHC  n por:n 6a  BepH yjiJin- 3iiJiepa  BBecTK  n on paB- ijnorre H   3aH iia  [21] u  fl>K0H - ca  [30]. B  3aKJiiotieHHe B n . 6 yi