Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z3\mts64_t2_z3.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 3  ,  2  (1964) KATASTROFA  BUDOWLANA  JAKO  PRZYPAD EK  UN ORMOWAN Y WITOLD   W I E R Z B I C K I  (WARSZAWA) P owierzchowny  obserwator  katastrofy  budowlanej  ocenia  ją   zwykł e  jako  nie- szczę ś liwy  wypadek,  którego  przyczyny  czę sto  nie  są   zrozumiał e.  Ludzie  jedn ak odpowiedzialni  za  bezpieczeń stwo  budowli  muszą   zdobyć  dla jego  oceny  informacje dotyczą ce  losów  i  zach owan ia  się   budowli  w  ogóle  i  n a  tej  podstawie  muszą   usta- lić  w  stosun ku  d o  dan ego  obiektu  wymagania,  którym  powinien  on  odpowiadać. W  ten  sposób  przestajemy  uważ ać  katastrofę   budowlaną   za  niezrozumiał e zdarze- nie,  lecz  zaczynam y  ją   traktować  jako  tzw. przypadek  unormowany, którego  wystą - pieniu  odpowiada  pewne  un orm owan e,  a  wię c  podlegają ce  ocenie  prawdopodo- bień stwo  (por.  [1]). Spoś ród  okolicznoś ci,  które  mogą   wywoł ać  katastrofę   budowli,  są   takie,  które —jak  poż ar  lub  trzę sienie  ziemi—- bezpoś rednio  nie zależą   ani  od jej  konstrukcji,  ani od  jej  wykon an ia,  oraz  takie,  które  wł aś nie  od  nich  zależ ą. Czynnikami tego  ostat- niego  rodzaju  są   obcią ż enia  budowli,  jej  odkształ cenia  oraz  wystę pują ce  w  niej naprę ż enia  lub,  ogólnie  mówią c,  wewnę trzne  sił y  uogólnione.  Te  trzy  czynniki  są w  zasadzie  ze  sobą   zwią zane,  m oż na jedn ak  n a  ogół  oceniać je  od  siebie  niezależ nie. Obcią ż enia  budyn ków  są   w  tej  chwili  tak  sprecyzowane  (por.  n p.  [2]),  że  tylko rzadko  mogą   być  uważ ane  za  dzieł o przypadku.  P odobn ie odkształ cenia konstrukcji budowlan ych  n a  ogół   nie  wystę pują   jako  samodzielny  czynnik  bezpieozeń stwa. Stą d  za  czyn n ik  decydują cy  w  sprawie  bezpieczeń stwa  budowli  należy  uważ ać przede  wszystkim  czynnik  sił   wewnę trznych  i  ich  stosunek  do  wł asnoś ci  mecha- nicznych  m ateriał u, z  którego  wykon an a  jest  budowla.  Ponieważ  jedn ak  wyniki p ró b  n ad  wł asnoś ciami  mechanicznymi m ateriał ów  budowlanych  są   dzieł em  przy- padku,  który  n orm uje  statystyka  tych  pró b,  musimy  roozpatrywać  bezpieczeń stwo budowli  ja ko  zagadn ien ie  prawdopodobień stwa  un orm owan ego. N iż ej  przytoczon e  rozważ an ia  szczegół owe  bę dą   stanowił y  uzasadnienie  tego twierdzenia,  przy  czym  za  katastrofę   bę dziemy  uważ ali  takie  zmiany  w  konstrukcji, poza  cał kiem  powierzchownym i,  do  których  dopuś cić  nie  chcemy. Wymiary  poszczególnych  elementów  konstrukcji  stalowych  sprawdzamy  zwykle n a  podstawie  wzoru (1)  a  <  k, w  którym  a  oznacza  n aprę ż en ie  wystę pują ce  w  dan ym  punkcie  budowli,  a  k  na- prę ż enie  dopuszczaln e. WITOLD   WIERZBICKI Jak  widać  ze  wzoru  ( ł )  obliczenia  wytrzymał oś ciowe  odbywają   się   w  dwóch etapach.  W  pierwszym,  n a  podstawie  reguł  mechaniki  budowli  wyznaczamy  naprę - ż enia, które  uważ amy  za  istotnie  wystę pują ce  w  danym  punkcie  budowli,  w  drugim natomiast  porównywujemy  te  naprę ż enia  z  naprę ż eniami  uważ anymi  za  dopusz- czalne.  Obliczenia  pierwszego  etapu  czę sto,  a  obliczenia  drugiego  etapu  —  zawsze oparte  być  muszą   n a  danych  wzię tych  z  doś wiadczenia. Przy  doś wiadczalnym  badaniu  jakiegoś  materiał u  budowlanego  poszczególne wyniki  prób  wytrzymał oś ciowych  nie  są ,  jak  wiadomo,  identyczne.  P ochodzi  to z  powodu  wielu  nie  dają cych  się   bliż ej  okreś lić  przyczyn  w  ten  sposób,  iż  każ dy wynik  próby  wytrzymał oś ciowej  musi  być  uważ any  za  dzieł o  przypadku,  a  wię c za  wielkość losową .  Wkraczamy  w  ten  sposób  w  sferę   rachun ku  prawdopodobień- stwa  i  statystyki  matematycznej. Wyniki  próby  wytrzymał oś ciowej  moż emy  przedstawić  za  pomocą   równania (rys.  1) (2)  y=f(AR), gdzie  pod  AR  rozumiemy  odchylenia  wytrzymał oś ci  m ateriał u R  od  ś redniej  war- toś ci  tej  wytrzymał oś ci  R o ,  a  y  oznacza tzw.  gę stość  prawdopodobień stwa  wystę po- wania  tych  odchyleń.  F unkcji  (2)  moż na  nadać  kształ t  krzywej  G aussa,  krzywej P earsona  I I I  rodzaju  lub  innej  w  zależ noś ci  od  rodzaju  materiał u, z  jakim  mamy do  czynienia,  oraz  od  rodzaju  przeprowadzanych  prób. R(AR) Rys.  1 W  podobny  sposób  postę pujemy,  gdy  mamy  do  czynienia  z  wynikami  prób dla  naprę ż eń  R  na  granicy  plastycznoś ci  stali. Krzywe,  których  typ  podany  jest  n a  rys.  1,  stanowią   pun kt  wyjś cia  do  badan ia bezpieczeń stwa  konstrukcji  n a  podstawie  metody  probabilistycznej  (por.  [3]). Przypuś ć my,  że  mamy  sprawdzić  wymiary  prę ta  stalowego  rozcią ganego  osiowo, a  wykres  na  rys.  2.  przedstawia  krzywą   prawdopodobień stwa  dla  naprę ż eń  R  n a granicy  wytrzymał oś ci  na  rozcią ganie  stali,  z  której  ten  prę t  jest  wykonany. Przyjmujemy,  że  krzywa  prawdopodobień stwa  jest  krzywą   G aussa  i  że  jest  od- niesiona  do  ukł adu współ rzę dnych  AROY.  Od  pun ktu  O  odkł adamy  odcinek  OO t równy  wartoś ci  ś redniej  arytmetycznej  R Q   z  poszczególnych  wyników  R  prób  wy- trzymał oś ciowych  i  znajdujemy  nowy  ukł ad  osi  współ rzę dnych  RO 1 Y X . Oceniamy  bezpieczeń stwo  rozpatrywanego  elementu  budowli  za  pom ocą   pewnej liczby  p,  którą   nazywamy  wskaź nikiem  bezpieczeń stwa, a  która  wyraża  prawdo- K AT AST R O F A  BU D O WLAN A  JAK O  P R Z YP AD E K  U N ORM OWAN Y podobień stwo,  że  katastrofa  tego  elementu nie  bę dzie  miał a  miejsca.  Z a  ewentualną katastrofę   uważ amy  w  tym  wypadku  rozerwanie  osiowe  rozcią ganego  prę ta. Aby  znaleźć  n aprę ż en ie  dopuszczalne  a  =   k  odpowiadają ce  przyję temu  a priori wskaź nikowi  bezpieczeń stwa,  odkł adam y  n a  rys.  2  odcinek  O X B  wyraż ają cy  nie- R(AR) zn an e naprę ż enie a. P ole BB'O'C'D  bę dzie w  tych  warun kach  wyraż ało prawdopodo- bień stwo  Q,  że  n aprę ż en ie  R  n a  granicy  wytrzymał oś ci  stali  n a  rozcią ganie  zawarte jest  w  granicach  od  a  d o  co,  a  wię c  prawdopodobień stwo,  że  R  jest  wię ksze  od  a, czyli  inaczej  mówią c,  że  przy  pewnym  0 ze  wzglę du  przede  wszystkim  n a  n aturę  współ czynników  a  oraz  ze  wzglę du  n a  ich mał e  wartoś ci. K AT AST R O F A  BU D O WLAN A  JAK O  P R Z YP AD E K  U N ORM OWAN Y  11 W  ukł adach  stalowych  statycznie  niewyznaczalnych,  n p .  w  ram ach,  naprę ż enie graniczne  wyraża  się   wzorem (12)  a g gdzie  Pi  są   t o  przyrosty  n aprę ż en ia  ff0  wystę pują ce  w  danym  miejscu  ukł adu  sta- tycznie  niewyznaczalnego  z  powodu  wah ań  we  współ czynniku  sprę ż ystoś ci  E  lub z  powodu  n iedokł adn oś ci  w  wymiarach  konstrukcji.  Odpowiednio  Q 2   bę dzie  tu wyraż ać  prawdopodobień stwo,  że  poszczególne  przyrosty  procentowe  wywoł ane przez  t e  przyczyny  nie przekroczą   każ dy  z  osobn a  wartoś ci /?,-. Iloczyn (13)  Q'  =  Q 1 - Q t wyraża  prawdopodobień stwo,  że  ż aden  z  przyrostów  af  lub  /?;  nie  zostanie  prze- kroczon y. N a  to  wię c  aby  dan a  kon strukcja  stalowa  statycznie  wyznaczalna  lub  statycznie niewyznaczalna  n ie  dozn ał a  katastrofy,  potrzeba  przy  traktowan iu  katastrofy  jako przypadku  un orm owan ego  zbiegu  dwóch  niezależ nych  od  siebie  faktów  nastę pu- ją cych: A)  aby  n aprę ż en ie  a  w  pewnym  pun kcie  danej  konstrukcji  nie  przekraczał o n a- prę ż en ia  granicznego  a g   w  tym  pun kcie,  przy  czym  przez  Q'  oznaczamy  prawdo- podobień stwo  tego  faktu, B)  aby  wytrzym ał ość  m ateriał u R  nie  był a  niniejsza  od  naprę ż enia  a 0 ,  przy  czym prawdopodobień stwo  tego  faktu  wyraża  się   wielkoś cią   Q 3 . Stą d (14)  Q  =Q'Q S , gdzie Q  wyraż a, ja k  poprzedn io, prawdopodobień stwo  że  dany  element  konstruk- cyjny  n ie  dozn a  katastrofy. Wzorowi  (14)  m oż emy  n adać  również  postać (15)  Q  =  Q x QzQ s . P rzyrównują c  d o  siebie  dwa  róż ne  wyraż enia  n a  prawdopodobień stwo,  że  kon- strukcji  nie  grozi  niebezpieczeń stwo,  dochodzim y  do  równ ań (16)  Q'Q s   =  p. lub (17)  Ą f l2 Ą   =   p. W  przypadku  prę ta  rozcią ganego  osiowo,  gdy  zał oż enia  n a  podstawie  których został   zbudowan y  wzór  (8)  n ie  są   cał kowicie  speł nione, musimy  równanie  (5)  za- stą pić  przez  równ an ie  (17). R ozpatrujem y  dalej  przypadek  prę ta  rozcią ganego  osiowo,, kiedy  tylko  zał oż enie pł askich  przekrojów  i prawo  H o o ke'a nie  są   cał kowicie  speł nione. Wzór  (11)  przybiera  w  tych  warun kach  postać (18)  a g   =   cro(l  +   a x  +   a 2) ,  . 12 WITOLD  WIERZBICKI gdzie  %  charakteryzuje  przyrost  naprę ż enia  c 0  spowodowany  niecał kowitym speł nieniem  się   zał oż enia  pł askich  przekrojów,  a  a 2  przyrost  wywoł any  n iecał ko- witym urzeczywistnieniem  się  prawa H ooke'a. Wyobraż amy  sobie,  że  najbardziej  zwichrzony  przekrój  poprzeczny  prę ta  rozcią - ganego  zawarty  został  mię dzy  dwie  pł aszczyzny  prostopadł e do  osi  prę ta  i  oddalon e od  siebie  o  b  (rys.  3).  Odległ ość  b jest  oczywiś cie  wielkoś cią   losową   i  niech  bę dzie b 0   ś rednią   arytmetyczną   pomiarów  tej  wielkoś ci.  Przyjmujemy,  że  o d ch ylen ia/ !b= =   b—b 0  grupują   się   wedł ug prawa  G aussa, przy  czym Ab g   jest  odchyleniem  granicz- X  i /   1 1 1 i A^/ JŁ: >**• —  1  ̂ ~ \ 1 1 J y d o, Yi y bo Y \ 0 G1 G  i ab b(&b) Rys.  3 Rys.  4 nym  (rys.  4).  P rawdopodobień stwo,  że  przyrost  n aprę ż en ia  c 0  spowodowany  nie- cał kowitym  speł nieniem się   zał oż enia pł askich  przekrojów  n ie  przekroczy  wartoś ci Gcd^   uważ amy  za  równe  prawdopodobień stwu,  że  odchylenie  Ab  nie  przekroczy Abg  i  że  odległ ość  b  nie  przekroczy  odległ oś ci  granicznej  b g   = podobień stwo  to  wyraża  się   polem  O^ GG'  i  wynosi P rawdo- (19) P rawu  H ooke'a  nadajemy  w  tym  wypadku  postać (20) - e gdzie  e  oznacza  wydł uż enie  jedn ostkowe. Ponieważ  współ czynnik  E  otrzymujemy  z  doś wiadczenia,  to  moż emy  przyją ć, że  odchylenia  AE  poszczególnych  jego  wartoś ci  od  ś redniej  arytmetycznej  AE= =   E—E o   grupują   się  również wedł ug krzywej  G aussa  (rys.  5). P rawdopodobień stwo, że  przyrost  naprę ż enia  a 0   spowodowany  niecał kowitym  urzeczywistnieniem  się prawa  H ooke'a  nie  przekroczy  wartoś ci    a  otrzym ana  z  niego wartość  cr0 =   k  bę dzie  n aprę ż en iem  dopuszczalnym . Jeż eli  za  katastrofę  uważ amy  n ie  rozerwanie  się  prę ta,  lecz  przekroczenie  przez wystę pują ce  w  n im  n aprę ż en ia  granicy  plastycznoś ci  R,  należy  we  wzorze  (23) zastą pić  R o   przez  R o   i  ewentualnie  zmienić  wartość  wskaź nika  bezpieczeń stwa  p. Wówczas  zam iast  korzystać  z  krzywej  prawdopodobień stwa  dla  R  (rys.  2), musimy uciec  się  do  odpowiedniej  krzywej  dla  R. Korzystam y  dalej  z  równ an ia  (17)  do  wyznaczenia  współ czynnika  bezpieczeń stwa n  w  przypadku  elem entów  zginanych. N ajwię ksze  n aprę ż en ia  n orm aln e  w  belce  wyraż ają  się  jak  wiadomo  wzorem M_ W (24) a =  - gdzie  M  oznacza  m om en t  zginają cy,  a  W   wskaź nik  wytrzymał oś ci. Przyjmujemy,  podobn ie  ja k  w  zadan iu  poprzedn im ,  że  spoś ród  zał oż eń,  n a których  oparty  jest  wzór  (24),  nie  jest  cał kowicie  urzeczywistnione  tylko  zał oż enie pł askich  przekrojów  i  prawo  H ooke'a. N a  podstawie  pewnych  obliczeń  z  dziedziny  teorii  sprę ż ystoś ci  m oż na  przyją ć, że  najwię ksza  róż n ica  m ię dzy  naprę ż eniem  obliczonym  dla  belki  zginanej,  z  jednej stron y  przy  oparciu  się  n a  zał oż eniu  pł askich  przekrojów,  z  drugiej  zaś  z  po- 14 WITOLD   WIERZBICKI minię ciem  tego  zał oż enia,  dochodzi  do  10%.  P rawdopodobień stwo,  że  t a  róż n ica nie  bę dzie  wię ksza, m oż na  w  tych  warunkach  uważ ać  za  równe  1, czyli  za  pewn oś ć. A  wię c  wielkoś ci  a>i  i  a ;  dotyczą ce  niecał kowitego  speł nienia  się   zał oż enia  pł askich przekrojów  bę dą   równe (25)  0)4 =   1.  «4  =   0,100. Przyrost  ctscr0  naprę ż enia  cr0  obliczonego  ze  wzoru  (24), wywoł any  niecał kowitym speł nieniem  się   prawa  H ooke'a,  a  wię c  równ an ia  (20),  odpowiada  granicznem u przyrostowi AE g   w rozumieniu rys.  5. M oż emy wię c  tu przyją ć,  podobn ie ja k  w  przy- padku  prę ta  rozcią ganego,  że  współ czynnikowi  przyrostu  naprę ż eń  «2,  wywoł anemu niecał kowitym urzeczywistnieniem  się   prawa  H o o ke'a, odpowiada  prawdopodobień - stwo  wyraż one  wzorem  (21). W  tych  warunkach  wzory  (10)  i  (11)  dają : Rozumieją c  przez  katastrofę   belki  wypadek,  gdy  naprę ż enie  n a  granicy  plastycz- noś ci  belki  został o  przekroczone  w  pewnym  pun kcie  belki,  uciekamy  się   do  wy- kresu  G aussa  dla  odchyleń  AR  (rys.  6).  Odkł adamy  tu  odcinek  ff g   i  wówczas  pole 1 R(AR) Rys.  6 B"C"C'D  bę dzie  wyraż ało  prawdopodobień stwo,  że  naprę ż enie  R  nie  bę dzie  mniej- sze  od  a g ,  czyli  że 1  1  - Wstawiają c  otrzym ane  wyraż enia  m a  a g ,  co2, w^   i Qs  do  równ an ia  (17)  otrzym u- jem y. (2 8 ) ri-  +  i. =  p. Stą d  obliczamy  naprę ż enie  dopuszczalne  k  i  odpowiedn i  współ czynnik  bezpie- czeń stwa  n. N ajogólniejszym  sposobem  wyznaczenia  wskaź nika  bezpieczeń stwa  p,  w  przy- padku  gdy  statystyka  katastrof  z  budowlam i  danego  typu  jest  uboga,  m oże  być zastosowanie  równ an ia (29)  K b (l- p)  =  K oPo> K AT AST R O F A  BU D OWLAN A  JAKO  P R Z YP AD E K U N ORM OWAN Y 15 które  powstał o  z  przyrówn an ia  do  siebie  oczekiwań  matematycznych  skutków ekonom icznych  dwóch  katastrof,  z  których jedn a jest katastrofą   budowlaną ,  a  druga katastrofą   in n ego  rodzaju  lepiej  zbadan ą   ze  statystycznego  pun ktu widzenia;  tu  K b oznacza  straty,  jakie  m oże  spowodować  katastrofa  elementu  budowlanego,  K o   — straty,  jakie  m oże  spowodować  katastrofa,  z  którą   daną   katastrofę   budowlaną porównujemy,  a  p 0   —•   prawdopodobień stwo  tej  katastrofy. Przy  stosowan iu  m etody  probabilistycznej  do  rozwią zywania  zadań  praktyki inż ynierskiej  okazał o  się ,  że  współ czynniki  a ;  m oż na  uważ ać  w  wielu  wypadkach za  wielkoś ci  nielosowe,  a  wię c  przyjmować,  że  poszczególne  prawdopodobień stwa a>i  są   równ e  1  i  że  wobec  tego  niekiedy  również  i  Q'  —  1.  W  tych  warunkach m etoda  probabilistyczn a  n abiera  cech  m etody  tylko  w  poł owie  probabilistycznej, a  wię c  metody  pół probabilistycznej.  Okazał o  się   również,  że  liczba  współ czynników cii  może  być  w  m etodzie  pół probabilistycznej  znacznie  wię ksza  niż  w  metodzie probabilistycznej. P rzechodzą c  od  m etody  probabilistycznej  d o  m etody  pół probabilistycznej  przyj- mujemy,  że  w  równ an iu  (17)  iloczyn  Q X Q^   — Q'  —  1,  wobec  czego  równanie  t o przybiera postać ( 3 0 )  A> =   ;>, przy  czym  wielkość  Q 3   zachowuje  t u  ten  sam  sens  co  poprzedn io, tzn .  wyraża  się n a  rys.  7  polem  BB'0'C'D. R ys.  7 M etoda  pół probabilistyczn a,  podobn ie  jak  i  probabilistyczna,  zabezpiecza  bu- dowlę   przed  katastrofą   n iejako  dwiema  d ro gam i:  z  jednej  strony  przez  wprowa- dzenie współ czynników  przyrostu  a  korygują cych  jakby  ogólnie  przyję te  wzory  wy- trzymał oś ciowe,  z  drugiej  zaś  przez  wybór  wł aś ciwego  wskaź nika  bezpieczeń stwa  p. D wie  te  drogi  zmierzają ce  do  tego  samego  celu  w  zasadzie  nie  są   od  siebie  zależ- n e.  O  ile  jed n ak  n ie  rozporzą dzamy  dostateczną   liczbą   obserwacji  i  doś wiadczeń, wówczas  pewne  uzależ nienie  tych  dróg  od  siebie  uł atwia  wyznaczenie  wł aś ciwych n aprę ż eń  dopuszczaln ych.  W  szczególnoś ci  stosują c  m etodę   pół probabilistyczna uciekam y  się   d o  tego  ś rodka.  R obim y  t o  mają c  przede  wszystkim  n a  uwadze  sta- lowe  prę ty  rozcią gane  i  zginane  i  przyjmują c  za  katastrofę   przekroczenie  przez n aprę ż en ie  w  pewn ym  pun kcie  granicy  plastycznoś ci  R. 16 WITOLD   WIERZBICKI G dybyś my  znali  wszystkie  przyczyny  mogą ce  spowodować  zwię kszenie  naprę ż eń ff0 w stosunku  do ich wartoś ci  otrzymanych ze wzorów  (8) lub  (24), wówczas  n aprę - ż enie  graniczne (31)  a g   =  cro musiał oby  być  uważ ane  za  równe  najwię kszej  wartoś ci  naprę ż enia  R,  czyli  przy zał oż eniu  że  naprę ż enia  dopuszczalne  są   cał kowicie wyzyskane,  mielibyś my  dla  ich wyznaczenia  równanie (32) k (l  +   max _^a)  =   max  R. Znaczył oby  to,  że  przy  ff0  =   og  katastrofa  nieuchronnie nastą pi,  czyli  że wskaź- nik  bezpieczeń stwa  p  równa  się   0. Ponieważ  jedn ak  niepodobna  za  pomocą   samych  współ czynników  a  uchwycić wszystkich  okolicznoś ci  zwię kszają cych  naprę ż enia  a 0 ,  musimy  uważ ać  róż nicę (33)  a p   =   m a x  R — a g (rys.  8)  za  przyrost  naprę ż enia  a g ,  wystę pują cy  z  prawdopodobień stwem  Q  =  p, a  wywoł any  okolicznoś ciami  nie  dają cymi  się   ują ć  przez  współ czynniki  a. Rys.  8 Współ czynniki  przyrostu  naprę ż eń  a  są   obliczane  n a  podstawie  zasad  m echaniki budowli  przy  zastosowaniu  tolerancji  ustalonej  przez  normalizację   krajową   lub mię dzynarodową.  Przy  ich  obliczaniu  staramy  się ,  aby  suma  ^ a ;  był a  moż liwie najbliż sza  wielkoś ci  uzyskanej  ze  wzoru  (11)  przy  a =   k  =   1400  kG / cm 2.  Przyj- mują c,  że  wszystkie  wchodzą ce  tu  w  grę   współ czynniki  został y  w  danym  przy- padku  uwzglę dnione i że wszystkie prę ty  obliczone n a podstawie  naprę ż enia dopusz- czalnego  k  =   1400  kG / cm 2 zdał y  swój  egzamin  w  praktyce  budowalnej,  moż emy wprowadzić  do  poszczególnych  współ czynników  a t   pewne  korektywy  w  ten  spo- sób,  aby  suma  ^ a t   odpowiadał a  równaniu  (11). D ą ż ymy  dalej  do  tego,  aby  dla  powodów  wymienionych  wyż ej  wskaź nik  bezpie- czeń stwa  p  jak  najlepiej  odpowiadał ,  wedł ug  krzywej  prawdopodobień stwa  zbu- dowanej  dla  naprę ż eń R  n a  granicy  plastycznoś ci,  naprę ż eniu granicznemu obliczo- nemu  ze  wzoru  (11)  n a  podstawie  przyję tego  w  obowią zują cych  przepisach n aprę - ż enia  dopuszczalnego  k  =   1400  kG / cm 2. Przy  wyborze  wskaź nika  bezpieczeń stwa decydujemy  się   mianowicie  w  tym  wypadku  n a  zastosowanie  w  równ an iu  (30) P  — 0,8,  ponieważ  polu  Q  =   0,8  n a  krzywych  prawdopodobień stwa  odpowiada K AT AST R O F A  BU D OWLAN A  JAKO  P R Z YP AD E K  U N ORM OWAN Y  17 ta  sama  wartość  R  =  2338  kG / cm 2  niezależ nie  od  tego,  czy  mamy  do  czynienia z  wielobokiem  prawdopodobień stwa,  trójką tem  prawdopodobień stwa,  krzywą G aussa,  czy  z  krzywą   P earsona  I I I  rodzaju;  liczbę   tę   cechuje  wię c  niezależ ność od  statystycznego  opracowania  wyników  badań  n ad  zmiennoś cią   wielkoś ci  R. Poza  tym  w  tych  czę ś ciach  krzywych  prawdopodobień stwa,  którym  odpowiada pole  Q  =   0,8,  dokł adność  odczytów  jest  najwię ksza  (por.  [3],  s.  159). Aby  móc katastrofę   m ostu  stalowego  uważ ać  również  za przypadek  unormowany, musimy  w  obliczeniach  naprę ż eń zastą pić  wzory  (8) i  (24) przez  wzory (34)  * = _ ,  « r — r , gdzie  #   oznacza  pewien  współ czynnik  dynamiczny,  czyli  stosunek  odkształ ceń m ostu  pod  obcią ż eniem  ruchomym  do  odkształ ceń pod  obcią ż eniem  stał ym. Rozu- miemy  tu  przez  katastrofę ,  t ak  jak  wyż ej,  przekroczenie  przez  naprę ż enie  nor- malne  granicy  plastycznoś ci. Współ czynnik  dynamiczny  wyraż amy  za  pomocą   wzoru (35)  ^ = 1  +   2~T gdzie  a  oznacza  am plitudę   drgań  pionowych  przy  najwię kszym  ugię ciu  mostu, a  /   —  wielkość  ugię cia  statycznego. Ze  wzglę du  na  sposób  dział ania  dynamicznego  cię ż arów  na  most  należy  współ - czynnik  #   uważ ać  za  wielkość  losową .  Jako  wielkość  losową   zadania  bę dziemy w  szczególnoś ci  traktowali  drugi  skł adnik  dwumianu  (35),  czyli  wielkość (36)  a< L^Tf Mają c  na  widoku  probabilistyczne  uję cie  zagadnienia  bezpieczeń stwa  mostu stalowego  przy  obcią ż eniu  dynamicznym  musimy  sporzą dzić  dla  wielkoś ci  a d   wy- kres  rozkł adu  gę stoś ci  prawdopodobień stw. Korzystamy  tu  z  danych  zawartych  w  literaturze  specjalnej,  w znacznym  stopniu z  danych  Lesochina. Wartoś ci  a d , które uwzglę dniamy,  dotyczą   mostów  kratowych o  rozpię toś ciach  zawartych  w  granicach  od  45  do  100  m  (por.  [4]). D ane  te  traktu- jemy  dalej  jedn akowo,  niezależ nie  od  ź ródeł,  z  których  został y  zaczerpnię te, i  nie- zależ nie  od  rozpię toś ci  m ostów  zawartych  w  omówionych  wyż ej  granicach.  Budu- jemy  wię c  histogram  wystę powania  czę stoś ci  wzglę dnych  njEn  wielkoś ci  (36)  oraz odpowiednią   krzywą   prawdopodobień stwa  (rys.  9).  N a  rys.  10  przedstawiają cym schemat  omawianej  krzywej  równolegle  do  osi  O,  Y x   odł oż one  są   gę stoś ci  prawdo- podobień stw,  a  odcinek  a d0   przedstawiają cy  ś rednią   wartość  a d   oznacza  odległ ość począ tku  ukł adu  współ rzę dnych  od  osi  krzywej. Wyznaczenie  dopuszczalnego  naprę ż enia  k  dla  pewnego  elementu  mostu  stalo- wego  lub  też  wyznaczenie  współ czynnika  bezpieczeń stwa  n  dla  tego  elementu  wy- maga  ustalenia  dla  naprę ż eń  a  wartoś ci  granicznej.  Robi  się   to  n a  podstawie  wzoru (3 7 )   ff,   = 2  Mechanika  teoretyczna 18 WITOLD   WIERZBICKI gdzie  a  oznaczają   współ czynniki  przyrostu  naprę ż eń,  wyraż ają ce  każ dy  z  o so bn a Bą dź  najwię kszy  moż liwy  procentowy  przyrost  n aprę ż en ia  ff0  obliczonego  ze  wzo- rów  (8) i  (24)  (współ czynniki  a t ),  bą dź  też  wpł yw  czynnika  dynamicznego  (współ - czynnik  a d ). n/ Zni 4000 3000 0,195  m- 0,220 0?45  0,295 Rys  9 0,345 0,395 0,445 Współ czynniki  a  poza  współ czynnikiem  a d   charakteryzują cym  dynamiczne dział anie  obcią ż enia  mogą   być  traktowan e  bą dź  ja ko  graniczne  wartoś ci  nielosowe odpowiednich  przyrostów  naprę ż enia  (metoda  pół probabilistyczna), bą dź  też  ja ko wartoś ci,  których  nieprzekroczenie  wyraża  się   dla  każ dego  z  nich  pewnym  praw- dopodobień stwem  w  (metoda  probabilistyczna). Rys.  10 Łą cznie  prawdopodobień stwo,  że  ż aden  z  procentowych  przyrostów  n aprę ż en ia a 0   nie  przekroczy  w  przypadku  obcią ż enia  statycznego  wartoś ci  a h   wyraża  się w  myśl  twierdzenia  o  mnoż eniu  prawdopodobień stw  iloczynem (38)  .  O ,  =  ZZo>,. O  ile  współ czynniki  a t   uważ amy  za wielkoś ci  nielosowe,  to  odpowiednie  prawdo- podobień stwa  a>i  i  prawdopodobień stwo  Q s   równ e  są   1. K AT AST R O F A  BU D O WL AN A  JAKO  P R Z YP AD E K  U N ORM OWAN Y 19 Przyrost  naprę ż enia  ff0  spowodowany  czynnikami  dynamicznymi  obcią ż enia wyraż a, jak  był o  powiedziane  poprzednio, współ czynnik  oznaczony wyż ej przez  a d . Wzorowi  (37)  moż emy  wobec  tego  nadać  postać (39)  tff- i wyraż ają   prawdopodobień stwo,  że  poszczególne  współ czynniki  a  nie  przekroczą pewnych  wartoś ci  (por.  [3]). We  wzorach  (55)  i  (56)  wielkoś ci  N   są   proporcjonalne  do  obcią ż enia  sklepienia, a  wię c  wstawiają c  tu  naprę ż enia  a g   =   R s ,  odpowiadają ce  prawdopodobień stwu  Q dla  danego  przekroju  pę knię cia,  moż emy  znaleźć  ze  wzorów (57)  R,  =   2N / h, (58)  *. - 2^( 1+ 2*0, noś ność  graniczną   sklepienia  n a  podstawie jego  gruboś ci  lub  odwrotnie, dla  danego obcią ż enia  znaleźć  odpowiednią   grubość  sklepienia. Przytoczony  sposób  rozum owania  sprecyzujemy  n a  przykł adzie  ł uku  betono- wego  o  przekroju  poprzecznym  prostoką tnym,  osi  kolistej,  rozpię toś ci  teoretycz- nej  /  =   20  m,  o  strzał ce /   =   5m  i  szerokoś ci  ł uku  1  m.  W  wezgł owiach  wysokość przekroju  tego  ł uku  wynosi  1,44  m,  a  w  zworniku  0,80  m.  Ką t  ś rodkowy  poł owy ł uku  zawiera  53°  (rys.  21). Sprawdzamy,  czy  te  wymiary  poprzeczne  ł uku  są   dostateczne  przy  obcią ż eniu q  =   40  t/ m. N a  rysunku  21 a  podan e  są   współ rzę dne  punktów  ograniczają cych  ś rodkową trzecią   czę ść  wysokoś ci  przekroju  zwornikowego  i  wezgł owiowego  oraz  kierunki AB  i  BC  linii  dział ania reakcji  K A   i  H  tych  przekrojów.  Cię ż ar  wł asny  ł uku  wynosi 2,4  t/ m 3.  Ramię   d  wypadkowej  obcią ż enia  jednej  poł owy  ł uku  wzglę dem  ś rodka zwornika  bę dzie  się   tu  wyraż ało  wzorem ,  j _  183, 82+   50,30 q K  }  a ~  31,26  +   10, 03?* gdzie  q  oznacza  obcią ż enie  jednostkowe  przypadają ce  na  1  m b  rozpię toś ci  ł uku. 28 WITOLD  WIERZBICKI Z  podobień stwa  trójką tów  A a A'B  i  K A ,W ,H  (rys.  21b)  znajdujemy  sił y  K A   i  H. Przyjmujemy,  że  beton ,  z  którego  wykonano  sklepienie, jest  m arki  «250».  Krzy- wa  prawdopodobień stwa  G aussa  dla  niego  podan a  został a  w  pracy  [3],  s.  160, a  kształ t  jej  odpowiada  rys.  20. Rys.  21 Mają c  na  widoku  przykł adowy  charakter  dalszych  obliczeń  przyjmujemy  w  da- nym  wypadku  p  =   0,8.  Liczba  t a  został a  wyż ej  um otywowan a  dla  konstrukcji stalowych  i  ż elbetowych,  a  stosowanie  jej  dla  elementów  konstrukcyjnych  jedn o- cześ nie  ś ciskanych  i  zginanych  został o  wyjaś nione  w  pracy  [5].  R ównież  współ - czynniki  przyrostu  naprę ż eń  a  przyjmujemy  tu  n a  podstawie  pewnej  analogii  wa- run ków  pracy  mię dzy  ł ukiem  betonowym  a  kon strukcjam i  ż elbetowymi;  są   to współ czynniki  nastę pują ce: a x   współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  n aprę ż en ia  wywoł any  przez  bł ę dy w  wymiarach  przekroju  poprzecznego  ł uku  (dla  zworn ika  a x  =   0,06,  a  dla wezgł owia  a x   — 0,10); a 2  współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  naprę ż enia  wywoł any  nieś cisł ym ustaleniem pun ktu zaczepienia sił y podł uż nej  w  ł uku  (dla zworn ika  a 2  =   0,10, a  dla  wezgł owia  a 2  =   0,15); a 3  współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  n aprę ż en ia  spowodowany  róż nicą tem peratur  w  róż nych  czę ś ciach  powierzchni  ł uku  (a a   =   0,20); a 4  współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  n aprę ż en ia  spowodowan y  przez wahan ia  współ czynnika  sprę ż ystoś ci  E  ( a 4  =   0,15); a 6  współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  n aprę ż en ia  spowodowany  odchy- leniami  od  zał oż enia  pł askich  przekrojów  ( a 5  =   0,15); a s   współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  n aprę ż en ia  spowodowany  róż nicą wł asnoś ci  sprę ż ystych  beton u  n a  szerokoś ci  sklepienia  (oc„   =   0,25); a 7   współ czynnik  charakteryzują cy  przyrost  n aprę ż en ia  spowodowan y  warun - kam i  utwierdzenia  ł uku  (dla  wezgł owia  a 7  =   0,20). K AT AST R O F A  BU D O WLAN A  JAKO  P R Z YP AD E K  U N ORM OWAN Y  20 M am y  stąd  dla  zworn ika  £a  =   0,86,  a  dla  wezgł owia  £a  =   1.20. P roste  sr  przedstawiają  n a  rys.  21  przekroje  poprzeczne  w  zworniku  i  w  wezgł o- wiach.  P rosta  BC  przechodzi  przez  górny  p u n kt  rdzenia  przekroju  w  zworniku i  okreś la  kierun ek  reakcji  H  zworn ika,  a  pro st a  A 0 B  przez  dolny  pun kt  rdzenia w  wezgł owiu  i  okreś la  kierun ek  K A   reakcji  wezgł owia. Z e  wzoru  (59)  znajdujemy  d—  5,14  m,  a  m ian own ik  tego  wzoru  oznaczają cy wypadkową  obcią ż enia  poł owy  ł uku  daje  W  — 431  t.  W  trójką cie  A 0 A'B  kąt  fi  = = 42°40',  a  wobec  tego  trójkąt  sił  n a rys.  21b  daje (60)  H  =   387  t,  K A   =  586  t. Wzór  (56)  doprowadza  w  tych  warun kach  d o  najwię kszych  naprę ż eń  ś ciskają- cych  n a  krawę dziach  s: (61)  w  zworn iku  a g   = 1 7 9  =   s d 8 0  kG / cm 2, w  wezgł owiach  a g   =   178  =   «*sl80 kG / cm 2. Z  drugiej  stron y  przy  p  ==  0,8  prawdopodobień stwo  Q  =   \ fp  =   0,93,  czemu odpowiada  n a  wykresie  krzywej  G aussa  dla  beton u  «250»  wytrzymał ość  beton u n a  ś ciskanie  R s   m  180  kG / cm 2. A  więc  m oż na  przyją ć,  że  wymiary  sklepienia  odpowiadają  jego  obcią ż eniu. G dyby  się  okazał o, że  n aprę ż en ia  a g   są  tu  dużo  mniejsze  od  i?^ i  że  wobec  tego wymiary  poprzeczn e  sklepienia  powinny  być  zmniejszone,  trzeba  by  skorzystać ze  sposobu  kolejnych  przybliż eń,  w  szczególnoś ci  należ ał oby; 1)  n a  podstawie  ustalon ych  wartoś ci  R s   wyznaczyć  ze  wzoru  (58) nowe, odmien- n e  od  zał oż onych  wartoś ci  h; 2)  n a  podstawie  nowych  wartoś ci  h  znaleźć  nowe  wartoś ci  H  i  K A ; 3)  n a  podstawie  nowych  wartoś ci  H  i  K A   ustalić  ostateczne  gruboś ci  sklepienia. Katastrofa  m u ru  podporowego  polega  bą dź  n a  przesuwaniu  się,  bą dź  też  n a wywracaniu  się  m u ru .  Aby  m óc  tę  katastrofę  uważ ać  za  przypadek  unorm owany, musimy  um ieć  ocenić  sił y  dział ają ce  n a  m u r  oraz  prawdopodobień stwa  ich  wystę- powan ia. W  naszych  rozważ an iach  ograniczamy  się  do  badan ia  samej  tylko  statecznoś ci m uru  podporowego  pomijając  kwestię  wypierania  grun tu  spod  fundamentu  i  wy- trzymał oś ci  m uru.  Aby  n ie  wprowadzać  okolicznoś ci  nieistotnych  dla  zagadnienia, rozpatrujem y  m ur  o  przekroju  poprzecznym  prostoką tn ym  wykonany  z m ateriał u jedn orodn ego  (rys.  22);  C  oznacza  n a  rysun ku  cię ż ar  cał ego  m uru,  Z  parcie  ziemi n a  m ur,  a  2ft  m om en t  wywracają cy. C hodzi  o  ustalen ie  warun ków,  przy  których  m ur  podporowy  bę dzie  zabezpie- czony  zarówn o  przed  przesunię ciem  się  po  pł aszczyź nie  AA'  jak  i  przed  obrotem wzglę dem  pu n kt u  A'. Wartoś ci  parcia  ziemi  n a  m u r  i  m om en tu  wywracają cego  n a  ogół   są  ze  sobą zwią zane,  gdyż każ dej  wartoś ci  parcia  n a  m ur  zarówn o  cał kowitego  Z jak  i  czą stko- wego  ZlZ  odpowiada  m o m en t  Zr  lub  AZx,  gdzie  x  oznacza  ram ię  m om en tu. N ie m a  więc  potrzeby  uważ ać  m om en tu  SOi za  wielkość  losową. 30 WITOLD   WIERZBICKI Bę dziemy  dalej  rozumieli  silę   Z jako  sił ę  poziom ą   i ja ko  rzeczywiste  parcie  ziemi n a  m ur,  tzn .  parcie  geostatyczne  (parcie  w  spokoju).  Wprowadzam y  do  zadan ia parcie  geostatyczne  mają c  n a  widoku  istnienie  pewnej  zależ noś ci  mię dzy  tym  par- ciem,  a  parciem  geodynamicznym  (parciem  w  stanie  równowagi  granicznej),  dają - cym się   ł atwo  obliczyć  z  prostych  wzorów  statyki  budowli  i  stanowią cym  najczę ś ciej uż ywany  w  praktyce  inż ynierskiej  schemat  obliczenia  parcia  ziemi  n a  m u r  p o d p o - rowy. Zastanawiają c  się   n ad  moż liwoś ciami  zastosowania  m etody  pół probabilistycznej do  badan ia  statecznoś ci  m urów  podporowych  musimy  liczyć  się   z  faktem ,  że  teoria B> parcia  geostatycznego  nie jest  jeszcze  n a  tyle  rozwinię ta,  aby  bezpoś redn ie  stoso- wanie  jej  dla  celów  praktyki  był o  ł atwe,  i  z  tego  powodu  musimy  oprzeć  się   tu przede  wszystkim  n a  doś wiadczeniach.  N ależy  przy  tym  zaznaczyć,  że  dla  celu, o  który  n am  chodzi, potrzebn a jest  bezpoś rednia  znajomość  parcia  geostatycznego, a  nie jedynie  zdobycie  danych,  które,  jak  współ czynnik  P oisson a dla  masy  ziemnej, mają   dopiero  sł uż yć  do  wyznaczenia  tego  parcia. Rys.  23 Korzystam y  tu  z  wyników  doś wiadozeń  zorganizowanych  w  1955  r.  w  I n stytucie Podstawowych  P roblem ów  Techniki  P AN ,  a  dotyczą cych  geostatycznego  parcia piasku  wiś lanego Z s   n a  ś cianę   o  wysokoś ci  0,95  m  i  szerokoś ci  0,60  m .  Wielkość Z s   jako  otrzym an a z  doś wiadczenia  musi  być  uważ ana  za  wielkość losową . R ozrzut jej  odpowiada  krzywej  prawdopodobień stwa  G aussa  przedstawionej  n a  rys.  23. KATASTROFA  BUDOWLANA  JAKO  PRZYPADEK  UNORMOWANY 31 T u  n a  osi  poziom ej  odł oż one  został y  poszczególne  wartoś ci  Z „   a  n a  osi  pionowej gę stoś ci  prawdopodobień stw  ich  wystę powania  (por.  [7]). Linie  przerywan e  i  odpowiedn ie  liczby  dotyczą   historogramu  otrzymanego z  doś wiadczenia. Rys.  24 Z ał ą czona  tablica  daje  zależ ność  mię dzy  wzię tymi  z  rys.  23  wartoś ciami  parcia Z sg   uważ anymi  za  graniczne  i  prawdopodobień stwami  ii,  którym  one  odpowiadają , a  które  przedstawion e  są   ja ko  powierzchnie  zakreskowane  n a  rys.  24. Tablica  1 Q 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 Z 160,0 160,5 160,8 161,2 161,4 161,2 N ie  m a  powodu,  aby  wskaź nik  bezpieczeń stwa  p  odpowiadają cy  statecznoś ci m uru  podporowego  był   róż ny  od  wskaź nika  odpowiadają cego  bezpieczeń stwu m uru  ze  wzglę du  n a jego  wytrzymał oś ć,  a  wię c  praktycznie  n a  ś ciskanie  mimoś ro- dowe.  Z  drugiej  stron y,  wskaź nik  bezpieczeń stwa  przy  ś ciskaniu  mimoś rodowym m uru  m oż na  uważ ać  za  t aki  sam ,  jak  wskaź nik  bezpieczeń stwa  dla  konstrukcji ż elbetowych,  który  przyjmujemy  w  pewnych  warun kach  pracy  konstrukcji  za  równy ^  =   0,8  (praca  [3],  s.  136). Wskaź nikowi  p  =   0,8  odpowiada  wedł ug  krzywej  G aussa  wartość  graniczna Z sg =  161,1;  dotyczy  o n a  przedniej  ś ciany  skrzyni  uż ytej  do  doś wiadczenia,  o którym  był a  m owa,  a  wię c  ś ciany  o  wysokoś ci  0,95  m .  N atom iast m u r  podporowy przecię tnej  kon strukcji  posiada  zwykle wysokość  znacznie wię kszą   i  dlatego  z  otrzy- m an ych  w  I n stytucie  P odstawowych  P roblem ów  Techniki  wyników  m oż na  wł aś ci- wie  korzystać  dopiero  po  zastosowan iu  zasady  podobień stwa.  Ponieważ  jedn ak dla  parcia  geostatycznego  zasada  podobień stwa  nie  może  n am  jeszcze  dostarczyć potrzebn ych  wzorów,  uciekam y  się   tu  do  interpolacji  lub  ekstrapolacji.  T a  ostat- n ia  om ówion a  został a  w  praoy  [8].  W  dan ym  wypadku  korzystam y  ze  wzoru (62) c x h*  t g( 30°- / ?)  + t g ( 4 5 °- / ?) 32  WITOLD  WIERZBICKI gdzie  h  oznacza  wysokość  ś ciany,  /?  kąt  chropowatoś ci  i  c x   pewien  współ czynnik stał y,  a  więc  niezależ ny  od wysokoś ci  ś ciany. Aby  wyznaczyć  stał ą  c lt   wstawiamy  do  wzoru  (62) wielkoś ci  odpowiadają ce  om ó- wionemu  doś wiadczeniu,  wykonanemu  w  Instytucie  P odstawowych  P roblem ów Techniki; przyjmujemy  tu wysokość  ś ciany  za  równą  h —  1 m ,  a  kąt  ch ropowatoś ci za  równy  /? =   12°,  co  stanowi  2/ 3  ką ta  tarcia  gł adkiej  powierzchni  kam iennej  po drugiej  powierzchni  kamiennej,  który  równ a  się  18°  i  który  wchodzi  w  grę  przy napeł nieniu  skrzyni  przeznaczonej  do  doś wiadczeń  z  piaskiem .  D la  parcia  geo- statycznego  Z s  wprowadzamy  tu  wartość  Zsg  =   161,1  k G   odpowiadają cą  praw- dopodobień stwu  £2 =   0,8. Otrzymujemy  w  tych  warun kach  c x  =   1336  kG / m 3,  wobec  czego  wzór  (62)  dla wszystkich  Q  =   0,8  i  dowolnej  wysokoś ci  m uru  przybiera  postać 1 ( 63)  Z sg   =  ^ • • D la  szerokoś ci  m uru  1  m  q  =   2353  kG / m 3. Jeż eli  oznaczymy  przez  Z o  dopuszczalne  ze  wzglę du  n a  przesuwanie  m uru  parcie ziemi,  wówczas  moż emy  ustalić  zależ ność (64)  Z S 8 =   Z o ( l +   i » , gdzie  a  są  to  współ czynniki  przyrostu  parcia  Z o ,  doprowadzają ce  je  do  wartoś ci Z ig ,  tj.  wartoś ci  odpowiadają cej  przyję temu  wskaź nikowi  bezpieczeń stwa  p  =  0,8. Współ czynniki  a  charakteryzują  takie  okolicznoś ci  pracy  m uru  podporowego, jak  wilgotność  ziemi, jej  zagę szczenie,  chropowatość  powierzchni  m uru,  a  przede wszystkim  róż nicę  mię dzy  rzeczywistym  parciem  ziemi  n a  m ur,  czyli  parciem  geo- statycznym,  a  przeważ nie  stosowanym  w  obliczeniach  statycznych  parciem  geody- namicznym.  Współ czynnik  przyrostu  parcia  a  =  a d   charakteryzują cy  tę  ostatn ią okoliczność  ustalamy  n a  podstawie  omówionego  wyż ej  doś wiadczenia.  W  tym  celu przyjmujemy,  że  we  wzorze  (64)  w  sumie £a  wszystkie  współ czynniki  a  są  równ e zeru  z  wyją tkiem  samego  tylko  współ czynnika  a d   i  że  parcie  dopuszczalne  Z o  jest równe  wł aś nie  parciu  geodynamicznemu  Z,,, obliczonemu  ze  wzorów  C oulom ba lub wzorów  pokrewnych. D la  geodynamicznego  parcia  poziomego  przy  naziomie  nieobcią ż onym  m am y znany wzór (65) gdzie  y  oznacza  cię ż ar  jednostkowy  ziemi,  a  ip  kąt  tarcia  wewnę trznego.  Jeż eli wstawimy  do  wzoru  (65)  liczby  odpowiadają ce  opisan em u  doś wiadczeniu,  to  otrzy- mamy (66)  Z d   =   145,6  kG . N atom iast  graniczna  wartość  parcia  geostatycznego  odczytan a  z  krzywej  G aussa, przedstawionej  na rys. 23, i  odpowiadają ca  wskaź nikowi  bezpieczeń stwa/;  =   Q  =   0,8 wynosi,  jak  był o  powiedziane  wyż ej, (67)  Z sg   =   161,1  kG . K AT AST R O F A  BU D O WLAN A  JAKO  P R Z YP AD E K  U N OR M OWAN Y  33 A  wię c  wstawiają c  do  wzoru  (64) wielkoś ci  (66) i  (67) oraz  Z o =   Zt  i  Za  =  ad znajdujemy,  że (68)  161,1  =   145,6 ( l +   K ejie30- 6eT0H H bie  coopy> KeH H H ,  cBOflbi  H   o n o p H b i e  CTeH KH.  H ccJieflO BaH H e  6e3on acH OC TH   OTflejibH bix KOH CTpyKą H OH H bK sjieM eH TOB  n p o n 3Be fle H o  T an  n o BepoH TH OCTH OMy,  K a n  H   n o  n ojiyBepoH TH OC T- HOMy S u m m a r y STRU CTU RE  COLLAPSE  AS A  N OR M ED   EVEN T D ue  to the  application  of the  probability  calculus  and the mathematical  statistics,  the collapse of  a structure may be considered  what is termed a normed event. This  has  been proved  on the basis of  the  estimated  safety  of  main  engineering  structures,  e.g.  steel  and concrete  structures,  vaults and  retaining walls. The safety  of individual  elements  of the structure has been  analysed  by means of  both  the probabilistic  and semi- probabilistic  methods.