Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z3\mts64_t2_z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  2  (1964)

ZASADA  BETTIEG O JAKO  POD STAWA  WARUNKÓW  MOD ELOWYCH

^MARIAN   J A N U S Z  (G LIWICE)

1.  Uwagi  ogólne.  Zasada  Bettiego

P ublikacja  niniejsza  m a  n a  celu  zwrócenie  wię kszej  niż  dotychozas  uwagi  n a mo-
ż liwość  wszechstronnego  uwzglę dnienia  odpowiednioś ci  modelowej  przy  bada-
niach  konstrukcji  inż ynierskich  n a  m odelach.  C hodzi  również  o  przedstawienie
zasady  Bettiego  ja ko  podbudowy  teoretycznej  owej  odpowiednioś ci.  Zagadnienia
te  był y już  poruszon e  w  jedn ym  z  rozdział ów  obszerniejszej  pracy  autora  [1]. Z po-
wodu  bardzo  m ał ego n akł adu  sprawa  powyż sza  jedn ak  nie  został a  należ ycie  upo-
wszechniona.  Stą d  też  zapewne  wynika  fakt,  iż  w  literaturze przedm iotu odpowie-
dniość  modelową   traktuje  się   czę sto  ja ko  zagadnienie  nowe  i  w  zakresie  ograni-
czonym .  W  pracy  obecnej  wyniki  teoretyczne zilustrowano  przykł adam i  liczbowymi.

W  celu  wyznaczenia  pewnych  wielkoś ci  statycznych,  wystę pują cych  w  prę towym
ukł adzie  konstrukcyjnym ,  za  pom ocą   badań  modelowych  należy  sporzą dzić  model
obiektu  rzeczywistego  i  to  zazwyczaj  z  odmiennego m ateriał u. Przez termin  «model»
rozumiemy  w  tym  przypadku  pomniejszony  i  geometryoznie  podobn y  materialny
obraz  odpowiadają cy  ukł adowi  Tzeczywistemu  w  taki  sposób,  aż eby  wielkoś ci
statyczne  wyznaczone  dla  m odelu  mogł y  być  ł atwo  obliczone  dla  obiektu  rzeczy-
wistego  przez  uwzglę dnienie  odpowiednich  podział ek.  D latego  wymiary  m odelu
powin n y  być  tak  dobran e,  aby  stosunek  odpowiadają cych  sobie,  a  róż nych  od  zera
skł adników  wzoru  n a przemieszczenie w  obiekcie rzeczywistym  i  modelu  wyraż ał   się
tą   samą   liczbą .

Wspom n ian y  wzór  n a  przemieszczenie  m oż na  wyprowadzić  n p.  za  pomocą
zasady  Bettiego,  której  treść  wyraża  zn an a  równ oś ć:

0- 1)

Symbole  P
}
  i  Q

k
  oznaczają   tu  wielkoś ci  skupionych  obcią ż eń  statycznych  dział a-

ją cych  n a rozpatrywan y  ukł ad,  n atom iast  symbolami  p
JK

  i  q
u
  oznaczono  odpowied-

nie  przemieszczenia;  pierwszy  indeks  okreś la  miejsce  i  kierunek  przemieszczenia,
drugi  zaś  przyczynę   jego  powstan ia.

W  dowolnym  przypadku  obcią ż enia  ukł adu  prę towego  energię   sprę ż ystą   U

przedstawić  m o ż na  za  pom ocą   nastę pują cych  wielkoś ci  statycznych:  sił a  podł uż-

n a  S, m om en t skrę cają cy  K, dwa  m om en ty zginają ce  M  i  N   oraz  dwie  sił y  ś cinają ce

T   i  Q  (rys.  1,  gdzie  osie  y  i  z  są   gł ównymi  ś rodkowymi  osiami  bezwł adnoś ci  prze-

sz



36 M AR I AN   J AN U S Z

kroju,  a  oś  x  jest  zgodna  w  danym  miejscu  z  osią   elem entu).  Energia  sprę ż ysta

ukł adu  ma, jak  wiadom o,  postać  nastę pują cą:

_  1  i  O  Cł o  1  I  JV  Cło  1  J  lvi  u o  .

GA

Rys..  1

Korzystają c  ze  znanych  wzorów  n a  energię   sprę ż ystą   moż emy  zasadę   Bettiego
dla  ukł adu  przestrzennego  wyrazić  w  nastę pują cy  sposób:

(1.3) *

2.  P rzem ieszczen ia rzeczywiste  i  m odelowe; ogólny  warun ek  odpowiednioś ci modelowej

G dy  grupę   sił  /   stanowi  tylko jedn a  sił a P,  a  badan y  ukł ad jest  ukł adem liniowo
sprę ż ystym,  czyli podlegają cym  uogólnionem u prawu  H o o ke'a,  to m oż na n apisać, że

Sj  =  PS},  Kj  =  PK],  MJ  =  PM°J,  N j  =  PN °,  Q
s
  =   PQ%  T =PT °j,

gdzie  Sj,  Kj,  Mj,  N °,  Q% T °
}
  pochodzą   od  niemianowanej  sił y jedn ostkowej.  Je-

ż eli jest  to  faktycznie  sił a, wtedy  Sj,  Qj,  T j  są   wielkoś ciami  n iem ian owan ym i. Jeś li
sił a jedn ostkowa  bę dzie  m om entem , to  wielkoś ci  te  bę dą   miał y  wymiar  1/ dł ugoś ć.
W  pierwszym  przypadku  Mj,  N j,  Kj  mają   wymiar  dł ugoś ci,  w  drugim  zaś  przy-
padku  są   niemianowane.  Sił a jedn ostkowa  jest  m om en tem wtedy,  gdy  i  sił a  P  jest
m om entem .  Przez  sił ę  P  bowiem  należy  rozumieć  sił ę   uogólnioną .  R ówn an ie  (1.3)
przybierze  teraz  postać  nastę pują cą:

^

EL
•  ds

PQJQK
'"~GA~

ds
PT °jT

K

'• '  GA
ds,



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAK O  P OD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH   37

skąd

1
N ależy  mieć  zawsze  n a  uwadze,  że  Sj,  Kj,  Mj  itd.  pochodzą  od  dział ania sił y

P  =   1,  stanowią cej  teraz  cał kowitą  grupę  sił   / .  W  ten  sposób  dla  danego  ukł adu
prę towego  liniowo  sprę ż ystego  obcią ż onego  uogólnionymi  sił ami  Q

K
  grupy  K  zna-

leziono  przemieszczenie  okreś lonego  pun ktu  ;.

N awią zując  teraz  do  uwag  ogólnych,  sformuł owanych  w  odniesieniu  do  badań
modelowych  n a  począ tku  poprzedn iego  pun ktu,  obliczymy  wartość  liczbową  sto-
sun ków  pom ię dzy  odpowiadają cymi  sobie  skł adnikami  wzoru  na  przemieszczenie
dla  pewnego  pu n kt u  obiektu  rzeczywistego  i  analogicznego  pun ktu n a modelu. Jak
już  wiadom o,  stosun ki  te  muszą  być  równ e.  Jeż eli  przemieszczenie  jakiegoś  pun-
ktu  obiektu  rzeczywistego  jest  a'+b'+c'+...,  a  przemieszczenie  analogicznego
pun ktu  n a  m odelu  jest  a"- \ - b"J

r
c"+...  oraz  jeś li  dla  wszystkich  moż liwych  a',

b', c',...  m a  być

a' + b' +  ć  +   ...  ,
a" +  b"  + c" +  ...  '

to  musi  równocześ nie  zachodzić  równość

a>  =  A'  i i  _  _ 7
a"  b"  c"  • "

Oznaczając  przez  p',
K
  przemieszczenie  dowolnego  / - tego  pun ktu  obiektu  rzeczy-

wistego  pod  dział aniem  grupy  sił   K,  a  przez  p'/
K
  —  analogiczne  przemieszczenie

n a  m odelu,  otrzym am y  wedł ug  wzoru  (2.1)

p'.
K
  =   I  *  *  ds' +   )  — * £  -  dś  +   ) —̂ - rjr— dś  +

r  N T K  r  ,  Q°,Q'
K
  r  ,  T °,T '

K
  , ,

j  te>  ly  J  (j  A.  J  \ J  A

C  SJS'K  . „  C  K°j"K'ź  , , .  C  M°J"M'J[  ,,,

PtK = J  "ihjn- dL t" + J  ^  *  ds" + j  £"r*  s  +

- j-   I  ~T T T i—  ds"  - f-   I  Xy'  •   j)—77-  ds"  - f-   I  X
z
  —  ds".

Wielkoś ci  Sj,  Qj  i  T j  są  jedn akowe  dla  obiektu  rzeczywistego  i  dla  modelu, po-
nieważ  w  obydwóch  przypadkach  pochodzą  od  niemianowej  sił y  jednostkowej.
N atom iast  S'

K
=£  S&,  Q'

K
^ QK  i  T '

K
^ T x,  bowiem  sił y  K,  dział ają ce  n a  obiekt

rzeczywisty  i  n a  m odel  nie  są  identyczne,  lecz  pozostają  do  siebie  w  pewnym  sto-
sun ku.  M om en ty  Kj'  i  Kj",  M?  i  Mj"  oraz  N ?  i  N j",  jakkolwiek  wywoł ane  jed-



38  M AR I AN   JAN U SZ

nakową   sił ą  jednostkową ,  są   jednak  róż ne  w  obiekcie  i  modelu  z  powodu  róż nicy
wymiarów,  a  tym  samym  róż nicy  ram ion  w jednym  i  drugim  przypadku.

Ką ty  obrotu  <p  wyraż ają   nastę pują ce  wzory:

W  celu  wyznaczenia  <p'
iK

  i  ę \ ź  dział amy  momentem  jednostkowym  w  miejscu
i  kierunku  tych  przemieszczeń,  zarówno  w  ukł adzie rzeczywistym,  jak  modelowym.

W  wyraż eniu  ostatnim  Sj  ,  Q°,  i  T j  pochodzą   od  m om entu  jednostkowego,
wię c  —  jak  już  wspomniano  uprzednio  —  mają   one  wymiar  l/ dł ugoś ć,  są   wobec
tego  róż ne  w  obydwóch  ukł adach. N atom iast  momenty  K°,, Mj  i N j,  jako  wywo-
ł ane  niemianowanym  momentem  jednostkowym,  są   niemianowane,  są   zatem  je-
dnakowe w obydwóch  ukł adach, mimo że wielkoś ci K

K
,  M

K
  i N

K
  są   róż ne dla  obiektu

i  modelu  z  wiadomego  powodu.
Wprowadź my  obecnie  podział kę   rozpię toś ci  i  ram ion

podział kę   pól  przekrojów

podział kę   momentów  bezwł adnoś ci

A'  _
7/   —  a>

IŁ- -  1L~-   c  -
Jll  'y!  TU  h>   S1H  C

oraz  podział kę   tylko  sił   obcią ż ają cych  (a  nie  momentów  obcią ż ają cych)

pn J >

zatem  dla  momentów  obcią ż ają cych  bę dzie

P's'

Wprowadź my  również  podział kę   stał ych  sprę ż ystoś ci,  ponieważ  obiekt  rzeczy-
wisty  i  model  sporzą dzone  są   n a  ogół  z  róż nych  materiał ów,

W   _  ( ? _



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAKO  POD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYC H   39

Wyznaczmy  n astę pn ie  wartoś ci  liczbowe  stosun ków  odpowiadają cych  sobie
skł adników,  które  wystę pują  we  wzorach  n a  przemieszczenie  w  ukł adzie  rzeczy-
wistym  i  m odelowym .  Otrzym am y  nastę pują ce  wyraż enia,  w  których  pojedyncze
kreski  '  u  góry  odnoszą  się  d o  obiektu  rzeczywistego,  a podwójne  "  — do m odelu:

dS
fJ E'A'  _fn

J  E'i;
  as

  fi?  J  E%
  as

ei'

)
K
  G'A'

  ds
  _x'

y
  fn  J

X
*  G'A'

  ds
  H'

Z
 fn

n
y
  ag  r  ,  T jT il  „   «»  ag

dla  ką tów zaś:

J i r l 7 "*  /   J~Wc!~ds  fn2

=   £   J
f  S°J"S'K  , „ 7

a e
'  f  K°JKK  . , , ~ Z

C
'

J  1FTAir  dS  J ̂ C1'  dS

f  M°jM'K  ds'  f  N°jN'«  ds'
J  E'I'

y

  dS
  fi?  J ~1Ż X  fn*

ei
z

rpOrrjif

•   f  ><%• "  4  f

J
Q7QK  # .  "y

G"A"  ""  J  y  G"A"

W  badan iach  m odelowych,  jak  już  stwiei'dzono,  dla  przesunięć  rzeczywistych
i  modelowych  musi  być speł niona  równość

fi^ _fi?  _fi?_• ^L3= = ^.  f]L  — '
>
ś - Ź L

ae  ~~ gc  eiy  ei
z
  ~~  x

y
'  ag  ~  x'

z
  ag  '

a  dla ką tów  o bro t u  —  równ ość

ae  ~~ "gc  ~   eiy ~   ei
%
 ~  x'

y
  ag~   x'

z
  ag

Obydwie  ostatn ie  równ oś ci  sprowadzają  się do jednej  nastę pują cej:

ae~~  gc  ~"eiy  ~  ei
z
 ~  %'  '  ag ~   x'J  ag  '



4 0  i:, 1 .  i  •  M A R I A N   J A N U S Z  ..

Jeż eli  rozważ any  ukł ad  prę towy  jest  np. kratownicą ,  to  róż ny  od zera jest  tylko
skł adnik.pochodzą cy  od. siły  podł uż nej  S;  inne  skł adniki  nie  wchodzą   w rachubę .
Wobec  tego

PjK
=:
fn

=a
  Ą ! » ? _ . / . _ ­ i  a

Puc  ae  '  9tK  ae  "  n
a  stą d

(2.3)  p
iK
  =   ap

iK
  ,  <p

iK
  =   —  acp

iK
 .

Przemieszczenie  rzeczywiste  obliczamy  mnoż ą c  pomierzone  przemieszczenie  mo-
delowe przez  współ czynnik  wynikają cy  z uwzglę dnienia przyję tych  dla modelu  podział ek.

M odel jedn ak  musi  być  tak  wykonany,  aż eby  wszystkie  podział ki  modelowe  speł -
niał y  warunek  (2.2), który  m oż na  uzn ać  za  ogólny  warun ek  odpowiednioś ci  m ode-
lowej.  Warto  podkreś lić,  że  warunek  ten  jest  wynikiem  zastosowania  wzoru  (2.1)
do  wyraż enia  przemieszczeń  rzeczywistych  i modelowych,  a wzór  ten  wyprowadzon o
w  oparciu  o  zasadę   wzajemnoś ci  przemieszczeń  Bettiego.  Z asada  wzajemnoś ci
przemieszczeń  okazał a  się   zatem  cał kowicie  przydatn a  do  zbudowan ia  podstaw
teoretycznych  dla  odpowiednioś ci  modelowej  ukł adów  prę towych,  podlegają cych
uogólnionemu  prawu  H ooke'a.  N ależ ało  tylko  tę   ogólnie  znaną   zasadę   wyrazić
za  pomocą   wielkoś ci  wewnę trznych,  jak  to  uwidoczniono  w  równaniu  (1.2).  U do-
wodniono  zarazem  znacznie  szerszą   uniwersalność  zasady  wzajemnoś ci  przemiesz-
czeń,  aniż eli jej  się   to  ogólnie  przypisuje.  Z asada  wzajemnoś ci  przemieszczeń  m oże
sł usznie  współ zawodniczyć  z  najogólniejszą   w  mechanice  zasadą   prac  przygoto-
wanych.  Zwrócenie  uwagi  n a  ogólną   przydatn ość  omawianej  zasady  był o  mię dzy
innymi  także  celem  niniejszej  pracy.

G dyby  chodził o o  wielkoś ci  statyczne  w  ukł adach prę towych  liniowo  sprę ż ystych,
to  przy  badaniach  modelowych  wyraż amy  je  przeważ nie  za  pomocą   przemieszczeń
mierzonych  na  modelach.  W  celu  uzyskania  wielkoś ci  statycznych,  odnoszą cych  się
do  obiektów  rzeczywistych,'  należy  pom ierzone  przemieszczenia  modelowe  prze-
rachować  na  rzeczywiste  wedł ug  wzorów  (2.3).  Samo  wyznaczanie  wielkoś ci  sta-
tycznych  za  pomocą   badań  modelowych  nie jest  obję te  zakresem  niniejszej  pracy,
mają cej  za  zadanie  gł ównie  podan ie  warunków,  którym  powinien  czynić  zadość
model,  aż eby  nadawał  się   do  wyznaczenia  tych  wielkoś ci.  Rozważ ania  dokł adniejsze,
dotyczą ce  modelowego  okreś lenia  wielkoś ci  statycznych  zarówno  dla  ukł adów
pł askich jak  i  przestrzennych, zawarte  są   w  obszernej  m onografii  autora  [1], a  także
w  pracach  [2,  3,  4  i  5],  Krótki  zarys  obliczania  tych  wielkoś ci  z  pom iarów  m o-
delowych  podan o  dla  orientacji  w  p .  5  niniejszej  pracy.

3.  Waru n ki  modelowe  dla  ukł adów  pł askich

Aż eby  bardziej  szczegół owo  podać  warunki  odpowiednioś ci  modelowej,  wyni-
kają ce  z  równoś ci  (2.1), podzielimy  wszystkie  zagadnienia  n a pł askie  i  przestrzenne.
W  zagadnieniach  pł askich jest



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAK O  P OD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH   41

wobec  tego  warun ek  odpowiednioś ci  przybiera  postać  nastę pują cą:

di)  Ę Ą .
ae  eiy  K

S
  ag

Wpł yw  sił y  podł uż n ej i  poprzecznej  n a  wielkoś ci  przemieszczeń jest  bardzo  mał y,
wskutek  czego  czę sto  go  pomijamy,  a  uwzglę dniamy  tylko  wpł yw  m om entu  zgi-
nają cego.  Wówczas  dla  przesunięć  bę dzie

PiK  ._  Jn
ó  _

—  .  —  Cl.
PiK

dla  ką tów  obrotu  zaś

' f 2  1

<P'ik  "  £',.  ~  «  ""

Wtedy  podział ki / ,  n,  e, i
y
  przyjmujemy  jako  od siebie  niezależ ne.

Jeż eli  jedn ak  zależy  n am  n a  uwzglę dnieniu  wię kszej  dokł adnoś ci, to  biorąc  n p.
pod  uwagę  wpł yw  sił y  podł uż n ej  i  m om en tu  zginają cego  musimy  tak  wykonać
m odel,  aż eby  jego  podział ki  speł niały  warunek

J^
  =

  JJL   c z y l i  „2  =   i^  albo  an*  =  i.  =   - &  =  - fA*  =  a \ ,

skąd  / j2 =   - ~-  lub  ostatecznie  n =   ~fr ,
y,  y

gdzie  Y
y
  i  r'y  są  gł ównymi  ś rodkowymi  ram ion am i  bezwł adnoś ci  przekroju  obiek-

tu  rzeczywistego  i  m odelu  w  odniesieniu  do  osi  y  (rys.  1). D la  uwzglę dnienia  zatem
przy  modelowym  wyznaczaniu  wielkoś ci  statycznych  wpł ywu  sił y  podł uż nej  i  mo-
m en tu  zginają cego  należy  tak  dobrać  przekrój  poprzeczny  modelu,  aż eby  stosu-
n ek  ram ion  bezwł adnoś ci  przekrojów  obiektu  i  modelu  był   równy  podział ce dł u-
goś ci.  P odział kę  pól  a  przyjmujemy  niezależ nie  od  n.  Wtedy  bę dzie

fn*  _  fn
3
  _ fn  _  fn2  _  fił _  f  _  1

;  —  - -   —>  —  (X  O r a Z  ;  —  r-   —  Ct3
eiy  aem  ae  ei

y
  aen*  ae  n

zatem znowu

P;K  _fn  _  .  (p\ j^   _  1

PIK
  a e  C

PIK
  n

Przy  równoczesnym  uwzglę dnieniu  także  sił y  poprzecznej  powinien  być  dla

m odelu  speł niony  warun ek

czyli

g
e

G'

G"
E"
E'

fn
ae

E'

2(1+ ;

<  fn
<  ag  '

2(1 + / i
/ )  E"

")  E"  1  +  n"
E'  1 +   M'



42  MARIAN   JAN U SZ

gdzie  fi'  jest  współ czynnikiem  P oissona  m ateriał u  obiektu,  a  ix"  m ateriał u m odelu.

W  celu  uwzglę dnienia  również  wpł ywu  sił y  poprzecznej  przekrój  poprzeczny  m o-

delu  powinien  być  zatem  tak  dobrany,  aż eby  był   speł niony  ostatn i  warun ek.  Wtedy

także  g  =   ex'
x
jx'j,  czyli

tc'J  ag  ae

Ponieważ  stosunek  ( 1+ ; u ") / ( l+ / / )  jest  w  praktyce  zawsze  róż ny  od  x'Ja',',
przeto  dla  speł nienia  ostatniego  warun ku  musimy  zmienić  nieco  kształ t  przekroju
poprzecznego  w  modelu, przy  czym  również  speł niać  się   musi  warunek  r'

y
/ r'

y
  =   n;

nie  trzeba  jedn ak  zważ ać  zupeł nie  n a  stosunek  pól  a,  albowiem  wielkość  t a  nie
wystę puje  w  omawianym  warunku.

P odan o  w  ten  sposób  zależ noś ci,  jakie  muszą   zachodzić  pomię dzy  podział kam i
modelu  pł askiego  ukł adu prę towego,  aż eby  speł niony był   ogólny  warunek  odpowie-
dnioś ci  modelowej,  wyraż ony  w  (2.2).  G dy  przyjmiemy  podział kę   n  dla  rozpię toś ci
i  ram ion ,  podział kę   pól  a  i  podział kę   sił / ,  to  podział ka  m om en tów  bezwł adnoś ci
musi mieć postać i

y
  =   an2, co bę dzie  miał o miejsce  zawsze przy  zachowaniu  warun ku

r
'yl

r
'y  —

  n
-   Jednakże  podział ki  n,  a  \  f  m oż na  zawsze  przyjmować  jako  dowolne

i  od  siebie  niezależ ne.  Inaczej  nieco  przedstawia  się   sprawa  podział ki  m oduł ów
sprę ż ystoś ci  podł uż nej e, o ile pragniemy  uwzglę dnić  wpł yw  sił y poprzecznej.  P odział -
ka  e  musi  wtedy  speł niać  warunek  X'JK'

Z
'  =   g\ e  =   ( 1 + / / ' ) / ( ! + / "')>   m e  zależy  za-

tem  od  poprzednich,  nie jest już  jedn ak  dowolna.  N ie  zachodzi  potrzeba  zwracania
n a  to  uwagi,  gdy  godzimy  się   n a  opuszczenie  nieznacznego  zresztą   Wpł ywu  sił y
poprzecznej.  Wtedy  podział ki n, a, / i  e  mogą   być  uważ ane  za  dowolne  i  niezależ ne.
D owolność  podział ki  e  jest  szczególnie  dogodna,  gdyż  nie  musimy  krę pować  się
wówczas  zależ noś cią   x'

x
/ x'

x
' =   (l+ / / ")/ (l- + - / «')>  nie  musimy  tym  samym  korygować

poprzecznego  przekroju  modelowego  ani  też  dobierać  dla  modelu  specjalnego
m ateriał u.

W  praktyce  badań  modelowych  dla  pł askich  ukł adów  prę towych  z  reguł y  zatem
opuszczamy  wpł yw  sił y  poprzecznej,  gdyż  daje  on  róż nice,  które  kwalifikują   się
do  rzę du  wielkoś ci  pomijalnych.  N ajczę ś ciej  uwzglę dniamy  wył ą cznie  wpł yw  m o-
m entu  zginają cego  i  mamy  wówczas  a  =fn3/ ei

y
.  D la  zwię kszenia  dokł adnoś ci

moż emy  uwzglę dnić  wpł yw  sił y  podł uż nej  przy  r
y
/ r'

y
'  =  n. W  tym  ostatn im  przy-

padku  wygodnie  bę dzie,  gdy  odpowiedniość  modelową

ei
y
  ae

nieco  zmodyfikujemy  i  zał oż ymy  a  — n2  oraz  i
y
  =   n.  Otrzym am y  wię c

en*  an  '

co  oczywiś cie  jest  równ ozn aczn e  ze  speł nieniem  warun ku  modelowego  dla  równ o-
czesnego  uwzglę dnienia  wpł ywu  m om en tu  zginają cego  i  sił y  podł uż nej.  P ostę po-
wanie  takie  uł atwia  praktyczny  dobór  gruboś ci  m odelu.



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAKO  P OD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH   43

4.  P rzykł ad y  liczbowe

Przykł ad  1.  D an a  jest  belka  rzeczywista  o  kształ cie  dź wigara  stalowego  IN P 10.
Z aprojektować  odpowiedni  przekrój  modelu  z  pł yty  celuloidowej.  Przekrój  belki
rzeczywistej  charakteryzują   nastę pują ce  wartoś ci:  pole  A'  =   10,6  cm 2, moment
bezwł adnoś ci  I'

y
 =   174  cm 4,  ramię   bezwł adnoś ci  r'

y
 =   4,01  cm.

Przyjmijmy  podział kę   dł ugoś ci  n  —  10.  Przekrój  modelu  przy  podział ce  pól
a  — n

2  i  podział ce  m om en tów  bezwł adnoś ci  i
y
  =   n 4  wyznaczymy  nastę pują co:

powierzchnia  przekroju  A"  =  —  => —-   =   ~ -   =   0,106 cm 2,

/ '  / '  174
m om en t  bezwł adnoś ci  I

f
'  =   - f- =   - \  —  -   =   0,0174 cm 4.

b"  h"
3

Przyjmujemy  prostoką tny  przekrój  modelu, zatem  A"  =  b"h",  zaś  I'
y
'  =

1.2*

A
"

h
"

2  w  u  u"  - . / l^7  _/12

12- -   W o b e c  * h  \  ̂ l/
wię c

Ram ię   bezwł adnoś ci  przekroju  modelowego  wynosi  r'
y
  =   0,401  cm, zatem  w  od-

niesieniu  do  r'
y
  =   4,01  cm  wypada  w  skali  dł ugoś ci  n  —  10, jak  być  powinno  dla

równoczesnego  uwzglę dnienia  wpł ywu  m om entu  zginają cego  i  sił y  podł uż nej.
Jednakże  model  należy  wykonać  z  pł yty  celuloidowej  o  gruboś ci  0,0734  nie
spotykanej  w  h an dlu,  albowiem  pł yty  te  wyrabia  się   o  gruboś ciach  co  0,5  mm.

Trudność  tę   ominiemy,  gdy  przyjmiemy  z  góry  grubość  modelu  b",  a  podział kę
dł ugoś ci  n  obliczymy  odpowiednio.  M amy  w  tym  celu  do  dyspozycji  nastę pują ce
zależ noś ci:

b"h"n
2
=- A',  A'h"

2
n

2
  =  l2I'

y

o  niewiadomych  h"  i  n.  N iewiadome  te  wyznaczymy  w  postaci:

12/ : - b"
h"  —• * y

\   b"- h"  •A'
2
  '

Zakł adają c  b"  =   0,1  cm  wyznaczymy  wysokość  przekroju  modelu

Przykł ad  2.  Wyznaczyć  modelową   skalę   ugię ć  belki  jak  n a  rys.  2.
Belka  wzdł uż  cał ej  dł ugoś ci  m a  stał y  m om ent  bezwł adnoś ci  I'

y
 =   15 700  cm 4.  Jest

wykon an a  ze  stali  o  stał ej  sprę ż ystoś ci  JE" =   2 100 000  kG / cm 2.
M odel  belki  wykon an o  z  celuloidu  o  gruboś ci  2  mm, skalę   dł ugoś ci  zastosowano

1  : 20,  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  modelowego  I'
y
  =   1,6  cm 4,  stał a  sprę ż y-

stoś ci  m odelu  E"  =   25000  kG / cm 2, model  obcią ż ono  sił ą   1,0  kG .



44 MARIAN   JAN U SZ

1,6

Podział ki  modelowe  mają   nastę pują ce  wartoś ci:  dla  dł ugoś ci  n  =   20,  dla  stał ej

2- 100000  o .  .,  .  .  A  ,  .  .  15  700sprę ż ystoś ci  e =   .  •   =   84,  dla  m om en tu  bezwł adnoś ci  i
y
  =

25  U00
OAAA

=   9 820,  dla  sił  / =   - ^ -   =   8000.

U wzglę dniając  tylko  wpł yw  m om en tu  zginają cego  otrzym am y
fn

%
  _  8000  •  203

a =   ——  = =   77,6.

A

3.90

1

P=8

7,80

OT

2
3,90 m

1 B

Rys.  2

Przykł ad  3.  Wyznaczyć  modelową   skalę   ugię ć  dla  ramy  jak  n a  rys.  3  z  uwzglę d-

nieniem  wpł ywu  m om en tu  zginają cego  i  sił y  podł uż n ej.  Z astosowan o  nastę pują ce

podział ki  modelowe:  dla  s i ł / =   1,  dla  dł ugoś ci  n  =   50,  dla  stał ych  sprę ż ystoś ci

podł uż nych  e  —  84,  dla  powierzchni  przekrojów  a  — 215.  P odział ki  te  musiał y  być

tak  dobrane,  aż eby  skala  ram ion  bezwł adnoś ci  dla  przekrojów  był a  równ a  skali

dł ugoś ci  dla  modelu.

Rys.  3

M odel  wykonano  z  celuloidu  o  gruboś ci  0,3  cm  i  wysokoś ci  0,9  cm.  M o m en t

bezwł adnoś ci  prę tów  ramy  jest  stał y  i  jedn akowy.  P odział ka  ugię ć  m a  wartość

fn 1- 50
= 0,00277.

ae  215- 84

Przykł ady  powyż sze  zaczerpnię te  został y  z  pracy  O.  D Ą BROWSKIEGO  [3].

5.  Warunki  modelowe  dla  ukł adów  przestrzennych

Przechodzą c  z  kolei  do  przestrzennych  ukł adów  prę towych  należy  stwierdzić
n a  wstę pie,  że  ogólny  warunek  odpowiednioś ci  modelowej  (2.2)

1

ae

7Ja 1

ag



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAKO  P OD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH   45

nie  zawsze  musi  być  bran y  w  cał oś ci  pod  uwagę.  Jeż eli  mamy  n p.  do  czynienia
z  kratownicą,  w  której  prę tach  wystę pują  tylko  sił y  podł uż ne,  wtedy  wymagania
wynikają ce  z  uwzglę dnienia  m om en tu  skrę cają cego,  momentów  zginają cych  i  sił
poprzecznych  odpadają,  wobec  tego

PIK  / "  tyiK  *-
£J
rr  =   - —  =   a  o r a z  - Ł j?-   =   —  a.

PIK
  a e

  <PIK
  n

Jeż eli n p. nie dział ają  w  ukł adzie sił y podł uż ne i momenty skrę cają ce  i nie  uwzglę d-
niamy  wpł ywu  sił  poprzecznych, wówczas  model  musi  speł nić warunek

n
%  w3

ei
y
  "  et,  '

co zachodzi  wtedy,  gdy  i
y
  =   i

z
,  czyli l'

y
\ I'

y
'  =   I'

z
jl'

z
'  albo  A'r'

y
*lA"ry

l  =   A'r'
x

l
jA"T 'J\

lub  a(r
y

l
lr

y
*)  =  a(r'/ / r

J

z
'
2
),  a  więc  ostatecznie  gdy

(5- 1)  yr  = y>=Q-

M odel  w  takim  przypadku  musi  być  tak  sporzą dzony,  aż eby  stosunki  gł ównych
centralnych  ram ion  bezwł adnoś ci  przekrojów  poprzecznych  w  obiekcie  i  modelu
był y  sobie  równ e.  Wówczas  bę dzie  także

G dybyś my  chcieli  uwzglę dnić  przy  nieistnieją cym  cią gle  momencie  skrę cają cym
oraz  przy  uwzglę dnieniu  wpł ywu  sił   poprzecznych jeszcze  sił ę  podł uż ną, to  zgod-
nie  z  poprzedn im i  rozważ aniami  musiał oby  być  r'

y
jr[!  =   r'Jr'J =   §  =   n,  a  wtedy

fn
3
laeQ

2
  = fnjae,  czyli

PIK  _  fa  _  „   fK  —  Ł n
PIK  ae  q>

iK
  n

Stosunki  ram ion  bezwł adnoś ci  przekrojów  poprzecznych  w  obiekcie  rzeczywi-
stym  i  m odelu  musiał yby  być  nie  tylko  równ e,  ale  po n ad t o  równe  skali  dł ugoś ci
m odelu.

D la  uwzglę dnienia  wpł ywu  sił   poprzecznych  przy  nieistnieją cym  momencie
skrę cają cym  musiał by  być  speł niony  warunek

N ajlepiej  był oby  przyjąć  k  —  I,  czyli  sporzą dzić  model  jako  wierne  pomniejsze-
nie  geometryczne  obiektu  rzeczywistego,  tzn.  w  jednakowej  skali  dla  rozpię toś ci
i  wymiarów  poprzecznych,  a  tym  samym  zachować  ten  sam  kształ t  przekroju,
jaki  m a  on  w  obiekcie  rzeczywistym.  Był oby  to  moż liwe,  gdyby  obiekt  i  model
sporzą dzone  był y  z  tego  samego  m ateriał u.  Skoro jedn ak  w  rzeczywistoś ci  JA' i=-  fi",
t o  m oż na  uzyskać  racjonalny  m odel  dla  uwzglę dnienia  wpł ywu  sił   poprzecznych
n a  wyznaczane  wielkoś ci  statyczne  przez  odpowiednie  skorygowanie  kształ tu prze-



46  M AR I AN   J AN U SZ

kroju  modelu,  zachowując  jedn ak  Q =   n,  a  nie  zważ ając  n a  skalę  przekroju  po-
przecznego  a.

G dy  speł niony  bę dzie  warunek

wtedy  także  g  =   ek,  a  zatem  znowu

PJ*  _ fiL  «  n  7, <   ^ 5 _  /   _
  ł   „

- 77-   U,  i db  —77  U .
PIK  W   <PiK  ae  n

Rozważ my  wreszcie  wpł yw  m om en tu  skrę cają cego.  N ajproś ciej  przedstawia  się
t a  sprawa  w  przypadku  przekroju  koł owego  lub  pierś cieniowego,  ponieważ  wów-
czas  wchodzi  w  grę  biegunowy  m om en t  bezwł adnoś ci,  zaś  c  =   C/ C"  jest  wtedy
stosunkiem biegunowych  momentów bezwł adnoś ci przekroju  poprzecznego  w  obiek-
cie  i  modelu.  D la  przekroju  koł owego jest  wtedy

TT  Z ) ' 4

32
nD"*-

7lD
%

4
n D"*

D'
2

8
D"

2

A'
A"

D'
2

D"
2c =

T,
"3 2  4  8

Jeż eli  dla  wszelkich  wymiarów  poprzecznych zastosujemy  t ę  samą  skalę  dł ugoś ci,
wtedy  D'2ID"2  =   n2,  więc  c =  an2.

G dy  po  uwzglę dnieniu  wszystkich  omówionych  do  tej  pory  wpł ywów  stosun ek
odpowiadają cych  sobie  przemieszczeń  n a  obiekcie  i  m odelu  wynosił   fn/ ae,  to  po-
winno  być  i  obecnie  tak  samo,  wobec  czego  musiał aby  zachodzić  równ ość

fn  fn3  _  fn3  _  fn
ae  ~  gc  agn

2
  ag '

Z  ostatniego  wzoru  widoczne jest,  iż  musiał oby  być  wtedy  także

e  =  g,  czyli  —  =   — S 7  =   ł

i  model  musiał by  być  sporzą dzony  z  tego  samego  m ateriał u  co  obiekt  rzeczywisty.
Wówczas  uwzglę dnienie  sił y  poprzecznej  przedstawiał oby  się  również  bardzo  pro-
sto.  Wystarczył oby  zachować  podobień stwo  przekroju  rzeczywistego  do  przekroju
modelowego,  aż eby  był   speł niony  warunek  konieczny  przy  uwzglę dnianiu  wpł ywu
sił y poprzeoznej

^ Ł   —  —  —  lf=  1

gdyż  dla  obiektu  rzeczywistego  i  m odelu  z  tego  samego  m ateriał u jest  zawsze

£   =  !± ifl'= l,

a  wartość  tego  stosunku, jak  to  uprzednio stwierdzono, jest  także  równ a  wartoś ci  k.



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAKO  POD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH   47

W  postę powan iu  laboratoryjnym  niemoż liwe  jest  jedn ak  sporzą dzanie  modelu
z  tego  samego  m ateriał u, z  którego  m a  się   wykon ać  n aturaln y  obiekt  budowlany.
M ateriał   nadają cy  się   do  sporzą dzan ia  modeli  powinien  być  ł atwy  do  obróbki,
przecinania  i  pon own ego  sklejania.  M oże  to  być  pleksiglas,  celuloid,  ostatecznie
dobra  tektura,  ale  nie  n p.  kam ień  n aturaln y,  beton  lub  stal.  Widać  z  tego,  że
wykonanie  m odelu nadają cego  się   do  uwzglę dnienia  wszystkich  wpł ywów  jest  dosyć
kł opotliwe.

Jednakże  w  badan iach  modelowych,  podobn ie  zresztą   jak  w  analitycznych  spo-
sobach  wyznaczania  wielkoś ci  statycznych,  n iektóre  wpł ywy  uważ amy  za  prze-
waż ają ce  i  te  uwzglę dniamy,  a  inne jako  mniej  waż ne  pomijamy,  wtedy  zaś  wymia-
rowanie  modelu  znacznie  się   upraszcza.

W  dą ż eniu  do  uzyskania  moż liwie  najogólniejszych  warunków  modelowania
przestrzennych  ukł adów  prę towych  uwzglę dnijmy  równoczesne  dział anie momentu
skrę cają cego  K  oraz  dwóch  m om en tów  zginają cych  M  i N ,  a  inne wpł ywy  n a  razie
pomijamy.  M odel  speł niać  musi  wtedy  warunek

gc  ~  ei
y
  ~  ei

z
'

albo

(5.2)  gc  =  ei
y
  =  ei

z
.

W  t y m  p r z y p a d k u  m u s i  z a c h o d z i ć  r ó w n o ś ć  i
y
  =  i

z
,  czyli  I'

y
jl'

y
  =  I'JI'

Z
'  a l b o

r
'y

2
/

r
'y'

2  =   K2/ r'z'2>  t o z a ś d a je  z n a n y  ju ż  w a r u n e k  ( 5. 1) w  p o st a c i  r'
y
\ r'

y
  =  r'

z
\ r

z
  =  Q.

W i a d o m o ,  że  c  =   C/ C",  je d n a k ż e  d l a  p r z e k r o jó w  n i e k o ł o wyc h  C  n ie  je st

b i e gu n o wy m  m o m e n t e m  b e z wł a d n o ś c i,  lec z  p e wn ą   wa r t o ś c ią   za st ę p c zą   o  t y m

s a m y m  wym i a r z e  ( we d ł u g  S a i n t - Ve n a n t a ),  m i a n o wi c i e

• A*  A*  A
z

W  takim  razie

A  f  "I"-   Y  I*  f  &
——  ...  J .

  r
_  .  _  jja  y  ^  —

A  " 3  «  2_J—  ł * '  ̂ ffi(  V  %—1—  I*  *  |  O

Wstawiają c  ostatn ią   wartość  do  równ an ia  (5.2) i uwzglę dniają c,  że  i
y
  =   i,

otrzym am y  gc  =  gas/ Q2 =   eac2,  a  stą d  a =  Q2 ]/ e/ e,  czyli

G dy  model  czyni  zadość  warun kom  (5.1)  i  (5.3),  wtedy  zachodzi równość (5.2),

n atom iast

—7>-   —  — -   —  a,  —77  —   ̂—  a.
Piz  aeQ

i
  cp

iK
  aeQ  n

W  ostatn im  rozważ an iu  charakterystyczne  jest  t o , że  dla  uwzglę dnienia  m om entu
skrę cają cego  ł ą cznie z  dwom a  m om en tam i zginają cymi  należy  zastosować  specjalną
podział kę   pól,  zależ ną   od  m ateriał u obiektu  i  m odelu.



48  M AR I AN   J AN U SZ

G dyby  chodził o  o  równoczesne  uwzglę dnienie  jeszcze  wpł ywu  sił y  podł uż n ej,

to  zgodnie  z  poprzednią   uwagą   musiał oby  być

Q =  n,  czyli  a  =  ił

wobec  czego

PIK
  ae

  <P"K
  n

Aż eby,  na  koniec,  ł ą cznie z  wymienionymi  wpł ywami  mógł  być jeszcze  uwzglę d-

niony  wpł yw  sił y  poprzecznej,  powinien  speł niać  się   dodatkowo  znany  już  zresztą

warunek

*i  ?fi _. JE  1+ M"

co  z  powodu  fx' ^   JX"  realizujemy  przez  odpowiednią   korektę   kształ tu  przekroju
poprzecznego  w  modelu.

W  celu  wyznaczenia  zatem  pewnej  wielkoś ci  statycznej  za  pomocą   badań  m ode-
lowych  dla  jakiegoś  przestrzennego  ukł adu  prę towego,  podlegają cego  uogóln io-
nemu  prawu  H ooke'a,  przy  uwzglę dnieniu  wszystkich  wpł ywów  wewnę trznych,
jak  sił y  podł uż nej,  m om entu  skrę cają cego,  dwóch  m om en tów  zginają cych  i  dwóch
sił   poprzecznych,  należy  wykonać  model,  który  powinien  wykazywać  nastę pują ce
wł asnoś ci:

Skala  pól  przekroju  poprzecznego  m odelu  okreś lona  jest  stosun kiem

amr
fli/ l±JlL

gdzie  n  oznacza  dowolnie  przyję tą   skalę   dł ugoś ci, / *' jest  współ czynnikiem  zwę ż enia
poprzecznego  dla  m ateriał u,  z  którego  m a  być  wykonany  obiekt  rzeczywisty,  a
fj,"  współ czynnikiem  dla  materiał u,  z jakiego  m a  być  sporzą dzony  m odel.  _

Stosunki  gł ównych  centralnych  ram ion  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego
w  obiekcie  rzeczywistym  i  modelu  powinny  czynić  zadość  równ an iu

JV  __ _[z
,,  —=   .,  Q  n.
y  z

Kształ t  przekroju  poprzecznego  w  m odelu  m a  być  t ak  dobran y,  aby  zachodził a
równość

Hy  _  %'
t
  g  1  +   [i"

gdzie  Ky  i  y.y  oznaczają   tzw.  «współ czynniki  ksztaltu»,  wynikają ce  z  uwzglę dnienia
sił y poprzecznej  Q  (rys.  1), zaś  x'

z
  i  x'

z
'  są   takim i  współ czynnikami  dla sił y poprzecz-

nej  T .  Wszelkie  zmiany  kształ tu  przekroju  poprzecznego  w  m odelu,  dokon ywan e
ze  wzglę du  n a  zachowanie  ostatniego  warunku,  n ie  mogą   spowodować  zm iany
wartoś ci  Q =  n,  albowiem  obecnie  musi  być  koniecznie  przestrzegana  wyż ej  okre-
ś lona  skala  pól  a.



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAKO  P OD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH 49

Z  chwilą   speł nienia  wymienionych  warun ków  stosunek  przemieszczeń  rzeczy-
wistych  do  modelowych  wyraża  się   znanym już  zwią zkiem

PIK

pik
-  =  - — =  a  oraz

ae
PlK

w  kt ó r ym / jest  dowolnie  przyję tą   podział ką   sił , zaś  e podział ką   stał ych  sprę ż ystoś ci
podł uż n ej,  okreś loną   m ateriał em  obiektu  rzeczywistego  i  modelu,  a  zwią zaną   ze
skalą   stał ych  sprę ż ystoś ci  poprzecznej  równ an iem

e

W  ten  sposób  ustalon o  warun ki  modelowe  dla  najogólniejszego  przypadku  prze-
strzennego  ukł adu  prę towego.

6.  P rzykł ad y  liczbowe

Przykł ad  1.  Z aprojektować  m odel  dla  jedn o komorowej  ramy  o  wę zł ach  prze-
suwnych,  podan ej  n a rys.  4. P rzekrój  prę tów  poziom ych  m a  wymiary  10x25  cm
z  bokiem  dł uż szym  równoległ ym  do  osi  z. P rzekrój  sł upów  m a  wymiary  10x 20 cm
i  bok  dł uż szy  równoległ y  do  osi  x.

z

Rys. 4 Rys. 5

W  tym  przypadku  przy  projektowan iu  m odelu  wystarczy  uwzglę dnić  wył ą cznie
wpł yw  m om en tu zginają cego,  gdyż jest  to  wpł yw  dominują cy.  Jak  wiadomo,  wpł yw
ten  bę dzie  uwzglę dniony,  gdy speł niać  się  bę dzie  warunek  i

y
 =  U,  tzn .  gdy po-

dział ki  gł ównych  centralnych  m om en tów  bezwł adnoś ci  przekroju  dla  obiektu  rze-
czywistego i m odelu  bę dą   sobie  równ e.

a)  Sł upy.  D la  obiekt u :
m om en t  bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi  y

,_  10x20 3

y
  ~  12~ ~

m om en t  bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi  z

r
,  2 0 x l 0 3

12

=   6600  cm*,

=   1666  cm 4.

4  M echanika  teoretyczna



50 M ARIAN   JAN U SZ

Przyję to  przekrój  sł upa  w  m odelu  o  wymiarach  0, 4x0, 8  cm .  Wobec  tego

- ,  0, 4- 0, 83

12
=   0,017067  cm 1,

Podział ki  modelowe  dla  m om en tów  bezwł adnoś ci  w  sł upach  mają   wobec  tego

wartoś ci:

6600
0,0171

=   390 625,
1666

0,00426
=   390625.

z  Wymagany  zatem  warunek  modelowy  dla  sł upów jest speł niony,

b)  P rę ty  poziom e:
M om en ty  bezwł adnoś ci  w  obiekcie  rzeczywistym

12
: =   13  000  cm

4,  I'
t
  =

25

12
= 2082  cm 4.

Przyję to  przekrój  prę tów  poziomych  w  m odelu  0,4x  1,0  cm,

_J  zatem

0 , 4 xl 3  1  ,  , „   lxO , 4 3  16
'  —-   cm

4
  /  = ť  -   =

12  ~ 30  '
  z
  12  3000

cm4

n atom iast

' V Yff

13 Q0
° -  390 625  i -  A  -

  2
°

8 2
  -  390 625

"0^334 ~
 39
°
 625
'
  h

 ~ ~W ~~ "O^O53T ~
 39
°
  625

'
czyli  i

y
  =   4.

Przy  sposobnoś ci  należy  wyjaś nić,  że warunek  4-  =   4  m usi  się   speł niać dla wszyst-
kich  prę tów  ukł adu  nie  tylko  w  ten  sposób,  że  wielkoś ci  te  bę dą   jedn akowe  dla
poszczególnych  prę tów z osobna, ale również wartoś ci  liczbowe  stosunków  i

y
  =  l'

y
JIy  ,

4  =   Ijr
z
'  muszą   być  sobie  równe  i  jedn akowe  dla  wszystkich  prę tów.

Podział kę   dł ugoś ci  przyję to  n  =  12,5,  model  wykon an o  z  celuloidu  o  stał ej  sprę -
ż ystoś ci  podł uż nej E"  =   18 000  kG / cm 2. Jeż eli  przyjmiemy  E'  =   2  100 000 kG / cm 2,
to  podział ka  e =   E'jE"  —  116,6.  Z akł adają c  po n adt o  skalę   sił   / =   1000,  otrzy-
mamy  nastę pują cą   podział kę   przemieszczeń  modelowych

a  =
fn

3
  _  1000x 12,53

eL  ~  "H 6,6x~390^25
=   0,00365.

Przykł ad  2.  Wyznaczyć  podział kę   przemieszczeń  modelowych  dla  kratown icy
przestrzennej  z  wę zł ami  sztywnymi  jak  n a  rys.  7.

Wymiarowanie  modelu  kratownicy  musi  się   odbyć  z  uwzglę dnieniem  m om en tu
zginają cego,  albowiem  kratownica  m a  wę zły  sztywne,  a  także  z  uwzglę dnieniem
sił y  podł uż nej,  gdyż t a  m a  poważ ny  wpł yw  w  prę tach  kratown icy.

Speł niony  zatem  musi  być  warunek  fn/ ae  =  fns/ ei'  =  fn3/ ei",  co  zajdzie,  gdy
i

y
  =   4  a  pon adto, gdy  r'

y
\ r'y  =  r'

t
jr'

M
'  =   Q  =   n,  tzn .  gdy  wartoś ci  liczbowe  stosun ków



ZASAD A  BETTIEG O  JAKO  PODSTAWA WARUNKÓW  MODELOWYCH 51

gł ównych  cen traln ych  ram ion  bezwł adnoś ci  przekroju  w  obiekcie  rzeczywistym
i  m odelu  bę dą   sobie  równ e  i  równ e  skali  dł ugoś ci.  Ten  ostatn i  warunek  speł ni  się ,
jeż eli  do  wym iarów  przekroju  modelowego  zastosujemy  skalę   dł ugoś ci.  Wtedy
bę dzie

zatem
a  — n

1  oraz  i
y
  —  i

z
  —  «*,

fnjrPe  =  frł lri^ e  =  fjne  =   a.

Rys.  7

Przyjmują c  / =   1000,  n  =   50,  e =   116,6  otrzym am y

1000
a  = . =   0,17.50x116, 6

Ostatnie  przykł ady  liczbowe  przytoczon o  z  pracy  T .  KOLBN D OWICZA  [4].

7.  Obliczanie  wielkoś ci  statycznych. Zakoń czenie

G ł ównym  celem  niniejszej  pracy  był o wykazanie  przydatnoś ci zasady  wzajemnoś ci
przemieszczeń  Bettiego  d o  wyprowadzenia  odpowiednioś ci  modelowej,  a  nastę pnie
podan ie  warun ków,  którym  m odel  musi  czynić  zadoś ć,  aż eby  w  ogóle  nadawał   się
do  modelowego  wyznaczania  wielkoś ci  statycznych.  Jak  już  wspomniano  w  p .  2,
ogran iczon o  się   z  góry  do  takiego  zakresu  pracy,  a pom in ię to rozumowania  prowa-
dzą ce  do  wzorów  sł uż ą cych  do  modelowego  ustalan ia  samych  wielkoś ci  statycz-
nych.  Jedn akże  dla  tym  lepszej  ilustracji  podan ych  warunków  modelowych  przej-
dziemy  obliczanie  wielkoś ci  wewnę trznych  w  oparciu  o  gotowe  wzory,  omówione
dokł adn ie  w  pracy  [1].

M oż na  udowodn ić równ ież  za  pom ocą   zasady  Bettiego,  że  moment zginają cy  M,
sił ę   poprzeczną   T   i  sił ę   podł uż ną   S  m oż na  wyznaczyć  za  pomocą   badań  mode-
lowych  wedł ug  wzorów:

w U

Wzory  t e  wynikają   z  tzw.  m etody  przemieszczeń  wymuszonych  (por.  [1]).  We
wzorach  tych  P  jest  sił ą   wywoł ują cą   poszukiwane  wielkoś ci  statyczne,  zaś  m,  t  i  s
są   to  przemieszczenia  odpowiadają ce  sile  P,  a  wywoł ane  w  modelowym  ukł adzie
pom ocn iczym  wskutek  wymuszenia  specjalnymi  deform atoram i  przemieszczeń
P,  w  i  u jako  odpowiadają cych  poszukiwanym  wielkoś ciom  statycznym.



52  MARIAN   JAN U SZ

Wielkoś ci  statyczne,  wyraż one  przytoczonymi  przykł adowo  wzoram i,  m oż na
odnieść  do  rzeczywistego  obiektu  budowlan ego;  bę dą   to  wielkoś ci  rzeczywiste.
M oż na  je  odnieść  także  do  modelu,  wówczas  bę dą   to  wielkoś ci  m odelowe.  D la
zaznaczenia  tej  róż nicy  wyrazimy  wielkoś ci  rzeczywiste  wzoram i

M
'- P'

m
'  r- p'

r
  s'  =  F-

M  - P  y ,  2  - P  - r ,  ^   - P  u,,

a  modelowe
m"  t"  i"

TLfll  nil"1  T"'  pn  O"  P "
M  = P  fr,  T  - P  v,,  S  - P  v,.

W  praktyce  chodzi  tylko  o  wielkoś ci  rzeczywiste,  a  do  ich  obliczenia  znam y  je-
dynie  obcią ż enie  rzeczywiste  P'.  P otrzebne  n atom iast  przemieszczenia  rzeczywiste
otrzymamy  mnoż ąc  pomierzone  przemieszczenia  m odelowe  przez  odpowiedn i
współ czynnik  a,  gdy  mamy  n a  myś li  przesunię cia,  oraz  przez  a/ n, jeś li  m am y  n a
myś li  obroty.  Wobec  tego  m oż na  napisać.

a  (}"  aw  w  au  u

M oment  zginają cy  rzeczywisty  obliczamy  m noż ąc  sił ę   rzeczywistą   P'  przez
m"njB",  gdzie  m"  i  / J"  są   przemieszczeniami  pom ierzonym i  n a  modelu,  n  zaś  jest
skalą   dł ugoś ci modelu. Liczba  m"njfi"  m a  wymiar  dł ugoś ci.

P odobnie  postę pujemy  przy  obliczaniu  drugiego  m om en tu zginają cego  i  m om en tu
skrę cają cego  w  ukł adzie  przestrzennym.

Sił ę   poprzeczną   lub  podł uż ną   obliczamy  m n oż ąc  sił ę   rzeczywistą   P'  przez  t"/ w"
albo  przez  s"/ u",  gdzie  t",  w",  s"  i  w"  są   znanymi  przemieszczeniami  modelowymi.
Wielkoś ci  t"/ w"  i  s"lu"  są   niem ianowane.

Wynika  stą d,  że jedynie  podział ka dł ugoś ci n wchodzi  bezpoś rednio  do  obliczania
wielkoś ci  statycznych. Wpł yw  innych  podział ek jest  poś redni  i  kryje  się   w  warun -
kach  modelowych.  N ie należy jedn ak  są dzić,  że stosun ek  e =   E'jE"  albo  g  =   G'jG"
jest  tu  w  ogóle  bez  znaczenia.  G dyby  chodził o  o  uwzglę dnienie  wpł ywu  m om en tu
skrę cają cego  lub  sił y  poprzecznej,  to  należ ał oby  wł aś ciwie  wykon ać  model  z  tego
samego  materiał u  co  obiekt  rzeczywisty,  gdyż  potrzebn a  wówczas  równ ość  e  =  g
zachodził aby  dla  / i'  =   fi".  Ponieważ  w  praktyce  laboratoryjnej  jest  to  niemoż liwe,
przeto  wykonują c  model  z  innego  m ateriał u  musimy  zmienić  kształ t  przekroju
poprzecznego  w  modelu w  ten  sposób,  aby  speł nił a  się   równ ość  x'

y
/ x'y =  x'

z
/ x'

z
'  =

=   gje  =   (l- ł - fj,")l(l- \ - p.'), a  zm iana  t a  zależ na jest  zarówn o  od  e jak  i  g.

W  ten  sam  sposób  obliczalibyś my  wielkoś ci  statyczne  i  w  oparciu  o  t ak  sam o
zbudowaną   odpowiedniość  modelową   stosują c  jaką kolwiek  inną   m etodę   badań
modelowych,  n p. m etodę  przegubową   (por. praca  1), byle  tylko  poszukiwane  wiel-
koś ci  statyczne  wyraż ane  był y  za  pomocą   przemieszczeń  mierzonych  n a  m odelu
obiektu  rzeczywistego.



Z ASAD A  BE T T I E G O  JAKO  P OD STAWA  WAR U N K Ó W  M OD ELOWYCH   53

P rzedstawion a  m etoda  m odelowego  obliczania  wielkoś ci  statycznych  dla  ukł adów
prę towych  może  być  rozszerzon a  n a  ukł ady  pł ytowe  i  powierzchniowe.  Pozytywne
wyniki  w  tym  zakresie  m a  również  T .  K O LE N D O WI C Z .

Badan ia  m odelowe  obejmować  mogą   zarówn o  ukł ady  obcią ż one  sił ami  uogól-
nionym i,  jak  i  n araż one  n a  dział anie  wpł ywów  niemechanicznych,  n p.  n a  fypł yw
zmiany  tem peratury,  osiadan ia  podpór,  skurczu  beton u  itp.  Stronę   praktyczną   tych
badań  modelowych  opracował   O.  M I C H E JD A  [5]  projektują c  specjalne  i  precyzyjne
przyrzą dy.  O.  M I C H E JD A ograniczył  się  jedn ak  w swojej  pracy  tylko  do ukł adów pł as-
kich.  Badan ia  m odelowe  wpł ywów  niemechanicznych  n a  ukł ady przestrzenne  w  rea-
lizacji  praktycznej  oczekują   jeszcze  n a  wszechstronne  opracowanie.  Stron a  teore-
tyczna  tychże  badań  w  oparciu  o  zasadę   Bettiego  został a  podan a  w  pracy  [1].

Wymienić  m oż na  wiele  jeszcze  innych  zagadnień  z  zakresu  badań  modelowych
wymagają cych  praktycznego  i  laboratoryjnego  opracowania.  D o  nich  należy  n p .
bardzo  ciekawa  m etoda  przegubowa.  N iejeden  tem at  pracy  doktorskiej  i  habili-
tacyjnej  może  dotyczyć  tej  problem atyki.  Tem atów  tych  unika  się   niestety  u  nas
gł ównie  ze  wzglę du  n a  t o ,  że  wymagają   one  duż ego  n akł adu pracy  i  są   kosztowne.
Wynikają   stą d  oczywiste  szkody,  gdyż  badan ia  n a  modelach  zezwalają   n a  bardziej
wnikliwy  wglą d  w  pracę   konstrukcji  (szczególnie  budowlanych),  co  z  kolei  rzeczy
mogł oby  wpł yną ć  n a  bardziej  ekonomiczne  projektowanie,  zgodne  z  istotnym  po-
stę pem  technicznym .

D o  sporzą dzan ia  modeli  najlepiej  nadaje  się   celuloid.  Jest  to  materiał   wystar-
czają co  izotropowy,  o granicy  sprę ż ystoś ci  okoł o 250 kG / cm 2, pł ynnoś ci 400 kG / cm 2,
doraź nej  wytrzymał oś ci  25 000  kG / cm 2,  współ czynnik  P oissona  wynosi  0,42.  C e-
luloid  daje  się   ł atwo  obrabiać  pił ką   i  noż em,  a  skleja  się   ł atwo  acetonem.  Jest  t o
m ateriał   krajowy,  a  wię c  dostę pny.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

[1]  M.  JAN U SZ,  T eoria  badań  midilawych  ustrojów  statycznie  niewyznaczalnych,  Wrocł awskie
Towarzystwo  N aukowe,  Wrocł aw 1952.

[2]  M .  JAN U SZ,  Z  teorii modelowych  badań  wpł ywów niemechanicznych  w  ukł adach  prę towych,
Księ ga  Jubileuszowa  dla uczczenia  zasł ug  naukowych  pfof.  M . T .  H ubera,  G dań sk 1950.

[3]  O.  D Ą BROWSKI,  Statyka  modelowa  pelnoś ciennych  pł askich  ukł adów  prę towych,  praca
doktorska,  nieopublikowana,  Wrocł aw 1958.

[4]  T.  KOLEN D D WICZ,  Statyka  imdeł owa  ukł adów prę towych przestrzennych, Wrocł awskie  To-
warzystwo  N aukowe,  Wrocł aw 1963.

[5]  O .  MtCHEJDA,  Badania  modelowe  wpł ywów  niemechanicznych  w  ustrojach  prę towych,
praca  doktorska,  nieopublikowana,  Czę stochowa 1960.

P  e  3  M   M e

EETTH   B  KA^ECTBE  OCHOBBI flJU I yCJIOBH ft  MOflEJIHPOBAHHil

C  ijejiBio  MOflejitH oro  onpefleneH H H   crauraecKEK  Beraran H ,  BbiCTynawmiK
JiH H eteo- yn pyroH   cHCTeiwe, H3roiOBJiHeM   MOflenB  # eHCTBiiTejn.Horo  ofoeKTa. 3 i a
HMCTŁ  oceBOe  H a^epTaH H e  reoMeTpHMecKH   noflo6H oe  c fleiicTBH TejibH H M j a  Bce  pa3mepbi



54  M ARIAN   JAN U SZ

flon>KH bi  6biTŁ  laK  n oflo6paiibi3  I T O S M  OTHOineHHe  cooTBeTCTByiomirc  nepeMemeH H Ji
H   MOflejiH   BbipaH OJioct  TeM  >Ke  *JH CJIOM,  He3aBHCHiwo  OT  Mecra  3TH X  nepeMemeHHH   H
CHJI. 'LIllCJieHHOe 3HaqeHHe 3T0r0  OTHOIHeHHH  3SBHCHT HCKJIIOtlHTejIŁHO OT npHHHTbK MaCUITa60B
I I  yiiHTbiBaeMbix  o6o6meiiH bix  BH yTpeH nnx  seJiPWHH,  KaK BjiHHiomHX  n a  HCKOMbie CTaTHiecKHe

T orfla  TOiKe  3Ha*ieHHe  flojraotti  HiweTB  u  OTHOineHHH   OTAejibHbix  cnaraeM bix  B
Ha  nepeMemeHHH  B fleił cTBH TeJibH OM  o6tei<Te  H  N ioppnu.  3 T O KacaeTCH   Tai<  nepememeH H H   i<ai<
H   yrn oB  n oBopoia  n p n  fle(|)opM aL(H H .

BbipaweH ue  # J I H   yn o M su yio ro  n epeM em eim n  B flencTBH TejiBH OM  o6Łei<Te  H  MO^enH   n o n y^ eiio
Ha  ocHOBe  H3BecTHoro  n pH t m an a  B3aHMH0dH   nepeMemeHHH   E e r r a .

OiH ouieH H e  cooTBeTCTByiomnx  yrao B  n o Bo p o ia  B oSteKTe  H   MOflerai,  B n  pa3  Meiibnie  oTHOuie-
H H H   nepeMemeHHHj  r ^ e  n —  MaciHTa6  fljtH iibi  o c e so r o

S u m m a r y

BETTTS  P RIN CIP LE  AS  A  BASIS  O F   M OD EL  CON D ITION S

To  determine static ą uantities  of  a  linear  elastic  bar  system, we  make  a  model  of  an actual struc-
ture. This  model  must have an axial outline geometrically  similar  to that of  the actual  structure and
all  its  dimensions  must  be  so  determined  that  the ratio  of  the corresponding  displacements  of  the
actual  structure  and  the  model  are the same,  independent  of  the place  of  those  displacements  and
the  position  of  forces.

This  ratio  depends  on  the  accepted  scalę   and  the  generalized  static  ą uantities  only  and  should
eą ual  the ratio  of  corresponding  ą uantities  of  the actual structure  and  the model. This  applies  both
to  the  deformations  of  translations  and  the  rotations.

The  expression for  the  displacement  of  the actual  structure  and  the model  has  been  obtained  on
the  ground  of  the  well  known  Betti  reciprocal  theorem  for  displacements.

The  ratio  of  the corresponding  rotation  angles  of  the actual  structure  and  the model  is  n  times
smaller  than  the ratio  of  translations  where  n  is  the scalę   of  the linear  scalę   of  the  model.

P OLI TE C H N I KA  Ś LĄ SKA,  G LI WI C E

Praca  został a zł oż ona  w  Redakcji dnia 20 maja 1964  r.