Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS64\MTS64_t2z3\mts64_t2_z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 3,  2  (1964) OSCYLACJE  RAKIETY  LEC Ą C EJ  P O TORZ E  F ALISTYM   W  ATM OSF ERZE  Z I E M I 1 JE R Z Y  M A R Y N I A K  (WARSZAWA) 1.  Wstę p W  wielu  pracach rozpatrywan e jest  zagadnienie powrotu  rakiet  n a  ziemię  i  wejś cie rakiet  czy  też  pojazdów  kosmicznych  w  atmosferę   ziemi. STALON Y- D OBR Z AŃ SKI  [10]  rozpatrują c  wejś cie  rakiety  do  atmosfery  ziemi stwierdza,  że wpł yw  atmosfery  n a t o r  lotu uwidacznia  się   dopiero  poniż ej  wysokoś ci 97  km .  Wysokość  t ę   nazywa  «wysokoś cią   efektywną »  i  uważ a,  że  dopiero  od  niej może  być  rozpatrywan y  lot  pojazdu  kosmicznego  ja ko  wejś cie  do  atmosfery.  Ze wzglę du  n a  t o r  wejś cie  pojazdów  kosmicznych  (rakiet) w  atmosferę   ziemi  dzielimy n a :  wejś cie  po  torze  balistycznym,  wejś cie  po  spirali  (szybowanie  n a  wysokoś ci równoważ nej)  i  wejś cie  p o  torze  falistym.  P odział   ten  jest  wł aś ciwy  również  dla rakiet  dalekiego  zasię gu. R akieta  szybują ca  leci  lotem  ś lizgowym  n a  wysokoś ci,  która  został a  nazwana przez  SAN G ERA  «wysokoś cią   równ oważ n ą ».  Wysokość  t a  maleje  ze  wzrostem  ob- cią ż enia  jedn ostkowego  powierzchni  noś nej  i  zmniejszeniem  prę dkoś ci  lotu  [2]. Sił a  n oś na  n iezbę dna  do  lotu  tej  rakiety  równoważy  róż nicę   cię ż aru  i  sił y  odś rod- kowej  wywoł anej  krzywoliniowym  ruchem  wokół  ziem i;  wtedy  lot jest  moż liwy  dla bardzo  mał ych ką tów  t o ru . Tor  rakiety  lecą cej  po  torze  falistym  stanowi  szereg  odcinków  toru  balistycznego poł ą czonych  ze  sobą   fazą   rykoszetowania. P rzy  każ dym  «skoku»  m in im aln a  wysokość  toru  rakiety  jest  zawsze  mniejsza od  «wysokoś ci  równoważ nej)),  n a  której  m ogł aby  lecieć  rakieta  szybują ca  z  taką samą   prę dkoś cią   i  z  tym  samym  współ czynnikiem  sił y  noś nej.  Lot  rakiety  p o  torze falistym  jest  moż liwy  wtedy,  gdy  ką t  t o ru  n a  począ tku  skoku  nie  przewyż sza  12° [2] i  gdy  rakieta  dysponuje  sił ą   noś ną   (ma powierzchnie noś ne). Z agadnieniem  rakiet  lecą cych  p o  torze  falistym  pierwszy  zajmował   się   SAN G ER nazywają c  taką   rakietę   «rakietą   rykoszetują cą ».  W  dalszym  cią gu  n ad  zagadnie- n iam i  lotu  «rakiety  rykoszetują cej»  pracowali  F R I E D R I C H   i  D O R E  [1],  a  nastę pnie TOBAK  i  ALLE N   [3]  rozpatrywali  stateczność  dynamiczną . P onieważ  «rykoszetowanie»  zwią zane  jest  z  ruchem n a  granicy  dwóch  oś rodków, a  rakieta  porusza  się   wł aś ciwie  w  jedn ym  oś rodku,  to  jest  w  atmosferze  ziemi 1  F ragment  niniejszej  pracy  był   przedstawiony  na  IV  Ogólnopolskiej  Konferencji  Techniki Rakietowej  i  Astronautyki  w  Katowicach  w  1963 r. 72  JERZY  MARYNIAK o  zmiennej gę stoś ci,  wię c  sł uszniej jest  uż ywać  zwrotu  «rakieta  lecą ca  po  torze  fali- stym». W  niniejszej  pracy  przeprowadzono  analizę   ruchu  i  oscylacji  ką ta  n atarcia  ra- kiety  poruszają cej  się   w  atmosferze  ziemi  po  torze  falistym.  Oparto  się   n a  zał oż e- niach  przyję tych  przez  TOBAKA  i  ALLEN A  W pracy  [3] i  przyję to  cią gł ość  atmosfery. TOBAK  i  ALLEN   W oparciu  o  pracę   [1] obliczyli  współ rzę dne t o ru  rakiety  i  oscylacje Rys.  1.  Tory  rakiet  dalekiego  zasię gu,  , 4- rakieta  balistyczna,  P - rakieta  szybują ca,  C - rakieta lecą ca  po torze  falistym  (rakieta  rykoszetują ca) ką ta  n atarcia  wokół   ś rodka  cię ż koś ci  rakiety.  Analizę   przeprowadzili  n a  przykł a- dzie  rakiety  rykoszetują cej  przyjmują c  «niecią gł y»  m odel  atmosfery.  Powyż sze zał oż enie  wprowadza  osobliwość  w  chwili  począ tkowej,  co  rzutuje  n a  rozwią zanie zagadnienia.  U niknię cie uproszczeń  stosowanych  w  pracy  [3]  dał o  w  rozwią zaniach znaczne  róż nice  nie  tylko  iloś ciowe  ale  i  jakoś ciowe. Przyję te  oznaczenia c  _  dCm  pochodna  współ czynnika  momentu  pochylają cego  wzglę dem  ką ta da  natarcia, dCm Cmi  = "T7JT)  pochodna  współ czynnika  momentu  pochylają cego  wzglę dem  prę dko- - ~y—  ś ci  zmiany  ką ta  natarcia, r m   — dCm  pochodna  współ czynnika  momentu  pochylają cego  wzglę dem  ką ta ód  wychylenia  steru, dCm Cm q   =  ——,—r-   pochodna  współ czynnika  momentu  pochylają cego  wzglę dem  ką towej d l  I  prę dkoś ci  pochylenia, Cx  współ czynnik  oporu Cz  współ czynnik  sił y  noś nej, Cm  współ czynnik  momentu, k Cz x   =  —?  pochodna  współ czynnika  sił y  noś nej  wzglę dem  ką ta  natarcia, da g  [m/ sek2]  przyspieszenie  ziemskie, h  [m]  wysokość  lotu, / [ k G m se k 2 ]  moment  bezwł adnoś ci, /   [m]  dł ugość  rakiety, OSCYLACJE  RAKIETY  LECĄ CEJ P O TORZE  FALISTYM  W  ATMOSFERZE  ZIEMI 73 kG sek2 masa  rakiety, Q  [kG ]  cię ż ar  rakiety, =   _LgK2  [kG / m2]  ciś nienie  dynamiczne, Pz [kG ] Px [kG ] Pz/ Px R [m] SW\ s [m] t  [sek] K  [m/ sek] V E   [m/ sek] X [ m ] j -  [m] yE [m] a [rad] a £  [rad] a s   [rad] a 0  [rad] P  [n r*] y [rad] yE  [rad] ys  [rad] yz  [rad] <5  [rad] 0 [rad] sił a  noś na, opór, doskonał oś ć,  ' promień  ziemi, powierzchnia  noś na, droga  (dł ugość toru), czas, prę dkość  lotu, prę dkość  lotu  począ tkowa  (przy  wejś ciu), dł ugość  mierzona  wzdł uż  ziemi, wysokość  nad powierzchnią  ziemi, wysokość  począ tkowa, kąt  natarcia, kąt  natarcia  począ tkowy  (przy  wejś ciu), kąt  natarcia  statyczny, kąt  natarcia  oscylują cy, współ czynnik  gę stoś ci  powietrza, kąt  toru, kąt  toru  począ tkowy  (przy  wejś ciu), kąt  toru  statyczny, kąt  toru  zastę pczy, kąt  wychylenia  steru, kąt  pochylenia  rakiety, gę stość  powietrza, [m]  promień  bezwł adnoś ci. 2.  Równania  ruchu  i  zał oż enia  ogólne R uch  rakiety  poruszają cej  się  w  atmosferze  został   opisany  równaniami  przed- stawionymi  przez  TOBAKA  i  ALLE N A [3]. Ogólne  równ an ie  ruch u przy  zał oż eniu, że w  każ dym  cyklu  oscylacji  prę dkość V i  ciś nienie  dynamiczne  q  pozostają  niezmienne,  został y  uję te  przez  Tobaka  i  Alle- n a  w  postaci  dwóch  u kł ad ó w: pierwszy  ukł ad  okreś lają cy  tor  ś rodka  cię ż koś ci  rakiety  (wł aś ciwie  ukł ad  ten odpowiada  wolnym  oscylacjom,  tzn . charakteryzuje  tor falisty  rakiety) — mV—  CxqS  + mg sin y s   = 0, (2.1) mVy s - Ą - gSllCm^  + i — g  cos y s   =  0, vj- 0' 74 JERZY  MARYN IAK drugi  ukł ad  okreś lają cy  oscylacje  rakiety  wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci  (ukł ad  ten odpowiada  oscylacjom  szybkim) (2 . 2 ) -   qSl lcmx  a0 +  On, - ^  +   Cm j  ^ - 1  =  0, Odpowiednie  ką ty  oznaczono  n a  rys.  2.  (por.  [3]  i  [1].) Rys.  2.  Oznaczenia  ką tów  i  wielkoś ci  począ tkowych Przy  dalszym  rozpatrywaniu  ruch u  rakiety  «rykoszetują cej»  od  atmosfery,  której t o r  przedstawia  linię   falistą   o  maleją cej  am plitudzie,  przyję to  nastę pują ce  zał oż e- n ia  upraszczają ce  [3]: a)  współ czynniki  aerodynamiczne  są   niezależ ne  od  liczby  M ach a  (lot  odbywa  się z  prę dkoś cią   ~ 4000  m/ sek), b)  współ czynnik oporu  Cx jest niezależ ny  od ką ta  n atarcia i prę dkoś ci pochylenia, c) stosunek  sił y noś nej  do  oporu jest  wielkoś cią   stał ą , d)  pom inię to  skł adnik  m — g)  zawierają cy  róż nicę   sił y  odś rodkowej R + y i  skł adowej  cię ż aru  rakiety. P rę dkość lotu  V  i  gę stość  powietrza  Q wyrazimy  za  pom ocą   funkcji  ką ta  t o r u  y; gę stość  powietrza  zmienia  się   wraz  z wysokoś cią O SC YLAC JE  R AKI E TY  LECĄ CEJ  P O  T O R Z E  F ALISTYM   W  ATMOSF ERZE  Z I E M I  75 gdzie „   f)  17S  VCr  spVa/ m*  / i '  '   r  6700  • D rugie  równ an ie  u kł adu  (2.1)  po  uproszczeniu  m a  post ać; dy s   1 dl  2 podstawiając  do  powyż szego  równ an ia  zależ ność  n a  ^  i  zależ ność  kinematyczną dy  dy  dy s po  scał kowaniu  otrzym am y Korzystając  z  powyż szej  zależ noś ci  otrzym am y (2.4)  Q =   6o   e- fy  =   - ^  (cos y s   -   cos y E )  +   8o   e* y * • Wyraż enie  n a  zm ian ę  gę stoś ci  w  funkcji  ką ta  toru  (2.4)  róż ni  się  od  przyję tego w  pracach [1] i  [3] skł adnikiem Q 0  e~$ y E. Skł adnik ten został  również pominię ty wcześ- niej  w  pracach  SAN G ERA  dotyczą cych  rakiety  rykoszetują cej.  U wzglę dnienie  tego skł adn ika  w  niniejszej  pracy  rzutuje  n a  tok  rozwią zywania  zagadnienia  i  daje  nie tylko zmiany iloś ciowe,  ale i zasadnicze jakoś ciowe. P rę dkość  lot u  V  znajdujemy  z  pierwszego  i  drugiego  równ an ia  (2.1)  w  postaci (2.5)  F = F £ e ( ^ ~ y £ ) ^ . Pz 3.  Tor  ś rodka  cię ż koś ci  rakiety Tor  ś rodka  cię ż koś ci  rakiety  w  czasie jednego  skoku  okreś lamy  za pomocą  współ - rzę dnych  x,  y  i  drogi  s. R ówn an ie  (2.3)  po  przekształ ceniu  przyjmie  p o st ać: Q 0 SCz 2mfi  (cos ys  -   cos  y £ ) + ponieważ  w  powyż szym  wyraż eniu  - ^ —̂ -  e  ?3>B  jest  wielkoś cią  mał ą  i  stał ą  dla 2mp danego  skoku,  więc  wprowadzam y  kąt  zastę pczy (3.1) - 40° 6 0 BO  X [km] Rys. 3.  Tor ś rodka cię ż koś ci rakiety o obcią ż eniu jednostkowym  Q/ S =  100 kG / m 2 lecą cej  po torze falistym  z  wysokoś ci  począ tkowej  30 000  m  i  45 000  m h [ km] - 12.2° • &=100kG/ m!  Ą - Z00k6/ m2  - §=. 25- 20 ~40  x[ kmf- 2 0 - 1 0 30 Rys.  4.  Tor  ś rodka  cię ż koś ci  rakiety  o  obcią ż eniu  jednostkowym  Q/ S  =  100  kG / m 2,  200  kG / m 2 i  300  kG / m 2  lecą cej  po  torze falistym  z wysokoś ci  począ tkowej  30 000 m [76] O SC YL AC JE  R AKI E TY  LECĄ CEJ  P O  T O R Z E  F ALISTYM   W  ATMOSF ERZE  Z I E M I 77 który  szczególnie  w  dalszej  czę ś ci  uproś ci  i  umoż liwi  analityczne  rozwią zanie  za- gadnienia. Współ rzę dne  toru  ś rodka  cię ż koś ci  mają  postać (3.2) =±- W  \ \ Ys Q 0 SCz 2/ M/ ?(cosys  —  cosyz) 1 In tg(y,/ 2) +  tg(y,/ 2) tgft/ ,/ 2)- tg(y,/ 2) / Ssiny, Wielkość  skł adnika  M Ł ~ ^ 2mp In IĄ t g( y, / 2 ) - t g( yf / 2 ) jest  mał a,  lecz  nie może być  pomijana  w  stosun- ku  do  róż nicy  (cos y s   — cos y E ).  Kąt  toru y s   jest zawarty  w granicach — y E   <  y s <  yE, gdzie  y£  jest  ką tem  począ tkowym  (wejś cia)  n a  danej  wysokoś ci  i  dla  rakiety  «ry- koszetują cej»  osią ga  wartość  ~  12°.  U wzglę dnienie  tego  wyraż enia  pozwala  w  od- róż nieniu  od  pracy  [3]  n a  obliczenie  współ rzę dnych  toru  n a  dowolnej  wysokoś ci lotu  rakiety  o  róż nych  obcią ż eniach  jednostkowych  Q/ S  (rys.  3  i  4). 4.  Oscylacje  wokół   ś rodka  cię ż koś ci rakiety Oscylacje  rakiety  wokół   ś rodka  cię ż koś ci  opisane  są  ukł adem równań  (2.2), który po  uwzglę dnieniu  uproszczeń  przyjmuje  postać: (4.1) Id -   qSl\ Cm(la+  Cmq%-   +  Cmi^ r)  • • = 0, a — y  =   0. W  dalszym  cią gu  pomijane  są  indeksy  s i 0, tak że  a oznacza oscylują cy  kąt  n atarcia y  zmienny  kąt  t o ru  ś rodka  cię ż koś ci  rakiety. P o  przekształ ceniu  ukł adu  równ ań  (4.1)  otrzymujemy  równanie  oscylacji  ką ta n atarcia  a  w  funkcji  czasu  o  postaci (4.2)  5(0 + / i (0 h (t) + / , (0 a (0 =  0, gdzie  współ czynniki f x {t)  i / 2(ż)  są  niejawnymi  funkcjami  czasu  przez  Q i  V  i  wyra- ż ają  się  zależ noś ciami (4.3) 21 f*(t)  = dl  QVS\   Cm.Czl  ( Q VSl\ * 21 78  J E R Z Y  M AR YN I AK W  przypadku  oscylacji  rakiety  lecą cej  po  torze  falistym  wygodniej  jest  równ an ie (4.2) przedstawić  w  funkcji  ką ta  toru  y  niż rozpatrywać  w  funkcji  czasu. Przechodzimy  n a  nowe  zmienne  y: da  ,  dy (AA) P o  podstawieniu  zależ noś ci  (4.4)  do  równ an ia  (4.2)  otrzym am y (4.5)  a"(y) [^ j  +  a' (y)/ x (y) ^  +  ^ j  + / 2 (y) a (y) .  0. Oznaczają c  przez otrzymamy (4.6)  a"  (y) I  (cos y  -   cos y E )  +  - ^ —  ̂ e~»y E   +  a'  ( y) / 3 (y) +   a (y)ft(y)  =  0. Wprowadzamy  zależ ność  (3.1)  n a  zastę pczy  ką t  t o ru  y x   i  "obliczamy  funkcję / a ( r )  i/ ł ( y) S  otrzymamy (4.7)  / s  (y)  -   (cos y -   cos yzf  (1 -   sin y)  I  - ^ -  -   •   ^ — Ł I - I  I + , /   .fez +   (cos y  -   cos  yz) (4.8)  h  (y) =  (cos y -   cos y  [ Stosują c  podstawienie -   (cos y -   cos yz) ĵ sm y +  —  ^ - j ̂ j . y - li  f,(y)dy (4.9)  a(y)  =  ae  ye otrzymamy  równ an ie  (4.6)  w  postaci (4.10)  a"(cos y -   cos y z f  +  a |jL/ § (y) -   i / J  (y) + / 4 (y)j =  0, które  n ie  posiada  skł adn ika  z  pierwszą   poch odn ą . O SC YLAC JE  R AKI E TY  LEC Ą C EJ  P O  T O R Z E  F ALISTYM   W  ATM OSF ERZE  Z I E M I  79 Wprowadzam y  oznaczenia ( 4.H )  * - • T& (4.12)  K t   • • (4.13)  K s   • • 'z  Cz  \ a}' Cm* ' i  obliczamy  funkcję   przy  a  otrzymują c M(y)  =  - Ę / I  (y)  +  / ,  (y)  — - ^ /i  (y)  =   (cos y  cos  yz) 2  — cos y Ą   +  K s +   (cos y  — cos y z )  [sin y  (1  — sin y) iś^  — sin y • W  wyraż eniu  n a  M(y)  współ czynniki  K i 'pK z >K 1 ,  po  pominię ciu  skł adników mał ych  dostaniem y (4.14)  M{y)  =  (cos y—cos  y z ) 2 ^ 3 +   (cos y — cos  yx)K2. W  pracy  [3]  odpowiedn ik  wyraż enia  (4.14)  m a  post ać: M(y)   =   "  1"  T T  % > c o s  y  —  c o s y E   4 ( c o s y  —  c o s  y E ) c o  d la  w a r u n k ó w  we jś c ia  i  wyjś c ia  ze  s k o k u ,  t z n . gd y y  =   y E   l u b y  —  —y E   d a je o so b l i wo ś ci  i  r z u t u je  n a r o z wi ą z a n ie  r ó w n a n i a . R ó w n a n i e  ( 4. 10)  p r z yjm i e  p o s t a ć ( 4. 15)  < z"( co s y  — c o s  y z ) 2  +   a [ fc o s  y — c o s  y z ) 2 ^ 3 +   ( c o s y - -  c o s  yz)K2]  =  0. P o wyż sze  r ó w n a n i e  je st  r ó w n a n i e m  r ó ż n i c z k o wym  z wyc z a jn ym  d r u gie go  r z ę du o  z m i e n n yc h ws p ó ł c z y n n i k a c h .  P o n i e wa ż k ą t  t o r u y je st  z a wa r t y  m i ę d zy  wi e lk o ś c i a m i: d l a  fa zy  we jś c ia YE  >  Y  >  0, dla  fazy  wyjś cia 0  >  y  >  - y E , a  ką t  y E   x  12°  oraz  yz  M  13,8°  wyraż enie  ( c o sy—c o syz)  przedstawiają ce  sobą gał ą ź  kosinusoidy  zastą piono  sieczną dla  fazy  wejś cia 1 cos y  — cos yz  «  (yz  — y)  - «• dla  fazy  wyjś cia c o s  y  -   c o s Y Z K  (y z Ą - y)- 1 r\ y z J r  — Stosują c  powyż sze  uproszczenia  równ an ie  (4.15)  przyjmie  postać =   0. 1 80  JERZY  MARYN IAK Stosując  zamianę  zmiennych  y z ^ f  y = r\   i  oznaczając (4.16)  *  =   ~ ^ — otrzymamy (4.17)  a V  +  a (rj2K s  + r]x 2 )  =  0. Wielkoś ci  liczbowe  współ czynników  w  przypadku  rozpatrywanej  rakiety  są na- stę pują ce:  x 2  ~   5560,  £ 3 =   132.  P o rozdzieleniu  współ czynnika  przy  a  n a  dwie funkcje  i  zostawieniu  po stronie  lewej  wartoś ci  znaczą cych  otrzymamy (4.18) Z  rozwią zania  powyż szego  równania  przy  pominię ciu  prawej  strony  otrzymamy pierwsze  przybliż enie (4.19) Rozwią zanie  powyż szego  równania  jest  kombinacją  liniową  funkcji  Bessela pierwszego  i  drugiego  rodzaju  zerowego  rzę du (4.20)  a(rj)  = C^ rj  J o [2]/ ^]  +  C 2 ]/ ^ Y Q [2 j / ^ ] . D alsze  przybliż enia  otrzymamy  zastę pując  równanie  (4.18)  równaniem  cał kowym Volterry  drugiego  rodzaju  w  postaci a O) = +  C^ y z   - y  F 0 [ 2 / ^ ( y ,  - y ) ] - gdzie K   (V «  =  ( 4 -   %*a) " l/ ^ ]/ yTTf {r0 [2 ] / ^ ] /„  [2 l A ^ -   / o[2 D alsze  przybliż enia  obliczamy  rozwią zując  równanie  cał kowe  Volterry  metodą kolejnych  przybliż eń.  Już w  drugim  przybliż eniu  wartość  cał ki  jest  mał a  i  może być  pominię ta. W przypadku  rakiety  rozpatrywanej  dla przykł adu wartość  liczbowa cał ki  dla y =  0 wynosi  —7,3 - 10~3,  co w  stosunku  do  1,17 wartoś ci  a(y)  obliczo- nej  w  pierwszym  przybliż eniu  stanowi  poniż ej  1%.  Widzimy,  że  uwzglę dnienie prawej  strony  równania  daje  nieznaczne  poprawki  i  jako  rozwią zanie  równania (4.17)  przyjmujemy  pierwsze  przybliż enie: (4.21)  a(y) =  e*W/ j  {C x  J o  [2/ ^ j]  + C 2 Yo O SC YLAC JE  R AKI E TY  LECĄ CEJ  P O  T O R Z E  F ALISTYM  W  ATMOSF ERZE  Z I E M I  81 Obliczymy  teraz  wykł adnik  potę gowy  przy  e,  funkcję   ip(y).  F unkcja  t a jest  scał - kowan a  bez  uproszczeń : y  y V(Y)=- jj  Kj 3 (y)dy=- ~K 1 J  [cos  y -   cos  y z ) 2   - (4.22)  — sin y  (cos y  — cos y z ) 2  +   (cos y — cos yz) 3] dy, f  (y) =  -   y  Ki  KYB - v)fh+  ( r l -   y 2 ) ^  +   ( ył  -   ys)  / *J, gdzie  p o  uproszczeniu ,«! =   —2  +   5 cos yz  — 4 cos 2 yz  +   cos 3  y z , 3  1 ft  =   - J ~   c o s  y* +   - jc o s2 y 2 , 2  4  1  „ / "s  =  - j -   - j cos yz +   — cos 2  yz . Wykł adnik  potę gowy  f(y) przedstawiony  przez  funkcję   (4.22) jest  parabolą .  N ato- m iast wykł adnik potę gowy  uzyskany  w pracy  [3] ma postać V>(.Y)A=  - ^ KI(YE- Y)> tzn .  zmienia  się   liniowo  w zależ noś oi  od  y i  tym  samym  wywoł uje  silny  wzrost tł um ien ia  w  fazie  wyjś cia,  co  jest  sprzeczne  z  fizycznym  wyjaś nieniem  zjawiska. Stał e  C x  i  C 2  wyznaczamy  dla  warun ków  począ tkowych.  W  niniejszej  pracy rozpatrzon o  dwa  przypadki: Przypadek  A. R akieta  n a  począ tku  skoku  (w  fazie  wejś cia)  leci  n a  okreś lonym ką cie  n atarcia  a E  i  bez  prę dkoś ci  ką towej  — odpowiada  to warunkom  przyję tym w  pracy  [3]. Przypadek  B. R akieta  wchodzi  n a  okreś lonym  ką cie  n atarcia  « j i z  okreś loną prę dkoś cią   ką tową   q E . Przypadek  A.  Stał e  C y   i  C 3 wyznaczamy  dla  warunków  począ tkowych: gdy Y  — YE>   t o   a —  a E ,  da/ dt  = 0 z  równ an ia  (4.21)  p o  uwzglę dnieniu  (4.22). Oscylacje  ką ta  n atarcia  wokół   ś rodka  cię ż koś ci  rakiety  w funkcji  ką ta  toru y wyraż ają   się   zależ noś cią (4.23)  a(y)  = gdzie — y z  — y  —- d la  fazy  wejś cia,  tzn.  y E  > y >  0, =   yz  +   y  —•  dla  fazy  wyjś cia  tzn.  0 > y >   — YE> ip(y)  —•  przedstawione  wyraż eniem  (4.22), €  Mechanika  teoretyczna 82  J E R Z Y  M AR YN I AK (4.24)  Ą  -   [1 -   (y, -   y£ ) ( Ak^  +   2 y£ Klft,  +   3 y |  # 1 / M B ) ] Yo  (/ i2)  -   p,  71 (4.25)  G 2 =   [1 -   (y2  - Prę dkość ką tową  przy wyjś ciu  (na koń cu skoku)  obliczamy  przez  zróż niczkowanie wyraż enia  (4.24)  wzglę dem  czasu  i  podstawieniu y  =   - VE- (da\   lda\ \ dt  /y  =   -   7£   \ dy  j'y  =   -   y£   \  dt  Jy  =   -   IE SCZQ O   - l e Odpowiednie  wyniki  otrzymane  w  pracy  [3]  dla  oscylacji  ką ta  n atarcia  w  przy- padku  A  są  nastę pują ce: dla  fazy  wejś cia,  y E   ^   y  ^  0, «  (Y)A  =   <*E &(v*  - v ) Jo [2 ]/ «2  (YE  ~  y)] dla  fazy  wyjś cia,  0  >  y  >  — y£ , 1  + a  prę dkość  ką towa  przy  wyjś ciu Róż nice w  wynikach' prac niniejszej  i  [3], przedstawionych  poprzedn io,  są  znaczne i  zostaną  omówione  poniż ej.  • Przypadek  B.  Stale  C x   i  C 2  wyznaczamy  dla  warunków  począ tkowych: gdy  y  =  y E ,  to  a =   a E ,  ~   ==   q E . z  równania  (4.21)  po  uwzglę dnieniu  (4.22). Oscylacje  ką ta  natarcia  w  przypadku  wejś cia  z  okreś loną  prę dkoś cią  ką tową mają  postać (4.27) «(y) -   «(y),- o +  | r  «*W " j / ^ 4 ^  G  ̂i 7« W)   ̂t 2 V/ « '̂] -   7o 0O  ô[2 gdzie  a ( y) g = 0  oznacza  oscylacje  ką ta  natarcia  przedstawione  zależ noś cią  (4.23) w  przypadku  A; O SC YLAC JE  RAKIETY  LECĄ CEJ  P O  TOR Z E  F ALISTYM   W  ATMOSF ERZE  Z I E M I  83 P rę dkość  ką towa  przy  wyjś ciu  ma  postać: gdzie  q ą - 0   jest  prę dkoś cią   ką tową   przedstawioną   zależ noś cią   (4.26) w  przypadku  A. 5.  Przykł ad  liczbowy Obliczenia  przykł adowe  i  porównawcze  wykonano  dla  rakiety  o  danych  geo- metrycznych  i  aerodynamicznych  przyję tych  przez  TOBAKA  i  ALLEN A  [3]. Rozpatrywano  rakietę   posiadają cą   kadł ub  stoż kowy  o  dł ugoś ci  /  =   15 m,  skrzy- dł a  delta  o  mał ym  wydł uż eniu,  obcią ż enie  jednostkowe  powierzchni  noś nej Q/ S  =   100  kG / m 2; 200  kG / m 2 i  300  kG / m 2. Przyję to  kadł ub jednolity  o  momencie 1  /  /  \ 2 bezwł adnoś ci  I  — —  m l2,  gdzie  —  = 2 2 . 22  \ aj D an e  aerodynamiczne  są   nastę pują ce:  doskonał ość Pz/ Px  =   6.  Począ tkowy  ką t n atarcia  a E   —  5°,  zapas  statecznoś ci  3%; 9llm  —  _ ! Cz  '  Cz  ~  10 '  Cz~~  ~2;  Cz*  ~ ~ 6 ; począ tkowy  ką t t o ru y E   =  12,2°, zasię g  ~  7400  km, prę dkość  max V E   «  4350  m/ sek. Obliczenia  wykonano  dla  wyników  otrzymanych  w  niniejszej  pracy  i  na  wspól- nych  wykresach  porówn an o  z  wynikami  otrzymanymi  w  pracy  [3]. Tor  lotu  rakiety  o  obcią ż eniu  jednostkowym  Q/ S  =   100  kG / m 2  obliczono  wg wzorów  (3.2)  dla  dwóch  wysokoś ci  45 000  rn  oraz  30 000  m  i  przedstawiono  na rys.  3,  n a  którym  wykreś lono  również  tor  obliczony  ze  wzorów  Tobaka  i  Allena [3]  oznaczają c  go  n a  wykresie  przez  A  i  T . N a  podstawie  wzorów  (3.2)  obliczono  charakter  skoku  rakiety  n a  wysokoś ci 30 000  m  dla  trzech  obcią ż eń  powierzchni  noś nej  Q/ S  =   100  kG / m 2,  dla  200  kG / m a i  300  kG / m 2  i  przedstawiono  n a  rys.  4.  Jak  wynika  z  obu  wykresów  róż nice  spo- wodowane  uwzglę dnieniem  wysokoś ci  wejś cia  są   znaczne.  Wyniki  otrzymane w  niniejszej  pracy  pozwalają   n a  obliczenie  toru  podczas  dowolnego  skoku  n a  do- wolnej  wysokoś ci.  Zmniejszenie  wysokoś ci  wejś cia  (rys.  3) jak  również  zmniejsze- nie  obcią ż enia  jednostkowego  powierzchni  noś nej  powodują   skrócenie  skoku. Oscylacje  ką ta  n atarcia  rakiety  lecą cej  po  torze  falistym,  która  przy  wejś ciu  nie posiada  prę dkoś ci  ką towej,  obliczono  ze  wzoru  (4.23)  i  zmianę   stosunku  a/ aE przedstawiono  n a  wykresach. N a  rysunku  5 przedstawiono  obwiednie  maksymalnych  amplitud oscylacji  ką ta na- tarcia  w  czasie  jednego  skoku  dla  rakiety  lecą cej  po  torze  falistym  o  obcią ż eniu jednostkowym  Q/ S  —  100  kG / m 2,  rozpoczynają cej  wejś cie  n a  wysokoś ci  y E   — *=  45 000  m  i  30 000  m i  porówn an o je  z  wykresem  obwiedni  obliczonej  ze  wzorów Tobaka  i  Allena  w  [3],  :  \   ;  i  • .:  .  . C harakter  oscylacji  ką ta  natarcia  dla  powyż szych  warunków  przedstawiono n a  rys.  6  a/ a E   w  funkcji  ką ta  toru  y  ii n a  rys.  7  w  funkcji  dł ugoś ci  skoku.:  $. 6 * 84 J E R Z Y  M AR YN I AK =  45000 m Rys.  5. Obwiednie  amplitud  oscylacji  ką ta  natarcia wokół  ś rodka  cię ż koś ci  rakiety  w  funkcji  ką ta toru  dla wysokoś ci  począ tkowej  30 000  m i  45 000  m i  w  przypadku  Tobaka  i  Allena 0,5 - 0,5 - w AiT 1 U XA y/ l- \ \ / J 30000m \ 0.205  \ J / \ J0,200 Z' 1  N \ \ 0,195 \ = 45000m \ "A / 0,185.  1 ̂ ^ f i Rys.  6.  Charakter  oscylacji  ką ta  natarcia  rakiety  w  funkcji  ką ta  toru  przy  obcią ż eniu  jedno- stkowym  rakiety  Q/ S =   100 kG / m 2 Jak  widzimy  z rys.  5, 6 i 7 róż nice wynikają ce  z  obliczeń wg  pracy  niniejszej  i  pracy [3] nie tylko  mają   charakter iloś ciowy, ale  róż nią   się   zasadniczo jakoś ciowo  (rys.  5). Am plituda  oscylacji  ką ta  natarcia wg  pracy  [3] jest bardzo  silnie  tł um ion a  bez  wzglę - du  n a  wysokość  zarówno  w  fazie  wejś cia, jak  i  przy  wyjś ciu.  . . . .  ,  • O SC YLAC JE  RAKI ETY  LECĄ CEJ  P O  T O R Z E  F ALISTYM   W  ATM OSF ERZE  Z I E M I 85 Wedł ug  niniejszej  pracy  am plituda  oscylacji  ką ta  n atarcia  zależy  od  wysokoś ci i  przy  wyjś ciu  tł umienie  maleje.  N a  wysokoś ciach  powyż ej  45 000  m  tł umienie  jest m ał o  efektywne  i  wartość  oscylują cego  ką ta  n atarcia  przewyż sza  ką t  n atarcia  przy wejś ciu.  Zmniejszenie  wysokoś ci  powoduje  wzrost  tł umienia  (rys.  5)  i  wzrost  czę - stoś ci  oscylacji  (rys.  7)  (wpł ywa  podobn ie jak  wzrost  sztywnoś ci  zawieszenia  w  ukł a- - W  • Rys.  7.  Charakter  oscylacji  ką ta  natarcia  rakiety  w  funkcji  przebytej  odległ oś ci  przy  obcią ż eniu jednostkowym  rakiety  QjS  =  100  kG / m a dzie  m echanicznym );  potwierdza  to  wyniki  otrzym an e  przez  H oriuchTego  w  pracy {7]  i  zaprzecza  wyn ikom  T obaka  i  Allena  [3].  D la  wysokoś ci  30 000  m  wykonano obliczenia  przy  trzech wartoś ciach  obcią ż enia jednostkowego  tzn. Q/ S =   100  kG / m 2 i  300  kG / m 2. N a  rysun ku  8  przedstawion o  obwiednie  maksymalnych  amplitud  oscylacji  ką ta n atarcia,  n a  rys.  9  ch arakter  oscylacji  w  funkcji  ką ta  toru  y. Wzrost  obcią ż enia  jedn ostkowego  powoduje  niewielkie  zmniejszenie  tł um ienia {rys.  8)  i  znaczne  zmniejszenie  czę stoś ci  oscylacji  (wpł ywa  podobn ie jak  zwię ksze- n ie  masy  przy  stał ej  sztywnoś ci  zawieszenia  w  ukł adzie  mechanicznym). N a  podstawie  wzoru  (4.26)  przeprowadzon o  obliczenia  ką towej  prę dkoś ci  pochy- lan ia  w  chwili  wyjś cia  z  dan ego  skoku,  w  przypadku  gdy  rakieta  lecą ca  p o  torze falistym  wchodzi  bez  prę dkoś ci  ką towej. D o  ostatecznego  obliczenia  (da/ dt) dla  y  —  —y E   przyję to  prę dkoś ci  począ tkowe V E ,  odpowiadają ce  lotowi  rakiety  rykoszetują cej  o  danym  obcią ż eniu  jedn ostko- 86 J E R Z Y  M AR YN I AK a/ a t Rys.  8.  Obwiednie oscylacji  ką ta  natarcia rakiety  w funkcji  ką ta  toru  dla wysokoś ci  począ tkowej 30 000 m Rys.  9.  Charakter oscylacji  ką ta  natarcia rakiety  w funkcji  ką ta  toru  dla wysokoś ci  począ tkowej 30 000 m wym  n a  wysokoś ci  równoważ nej  [2].  P oczą tkowy  ką t  n atarcia  przyję to  dla  wszyst- kich  przypadków  a E   =   5°.  Tak  obliczone  prę dkoś ci  ką towe  pochylan ia  mają   war- toś ci  podan e  w  tablicy  1. Jak  wynika  że wzoru  (4.26) i  tablicy  1 rakieta  lecą ca  po  torze falistym  wychodzą c z  każ dego  skoku  kozioł kuje  mim o wejś cia  bez  prę dkoś ci  ką towej.  P rę dkość  ką towa OSCYLACJE  RAKIETY  LECĄ CEJ  PO  TORZE  FALISTYM   W  ATMOSFERZE  ZIEMI 87 Tablica 1 h m TOBAK  I  ALLE N 45 000 30 000 30 000 30 000 QIS kG / m a 100 100 100 200 300 V E m/ sek. 4350 1855 1855 695 985 1300 l/ m l,0110- « 9  - 10-8 4,76'10- ° 3,09- 10-° T Czas  jednego obrotu  rakiety godz. 35 14,9 10,7 3,2 4,25, 4,97 wzrasta  w  m iarę   zbliż ania  się   do  ziemi, jak  również  wraz  ze  zmniejszeniem  się   ob- cią ż enia  jedn ostkowego  rakiety. Sł uszne wię c  był o rozpatrzen ie przypadku  B,  gdy  rakieta  rozpoczyna  skok  z okre- ś loną   prę dkoś cią   ką tową.  N a  podstawie  wzoru  (4.27)  obliczono  charakter  oscy- lacji  ką ta  n atarcia  rakiety  rykoszetują cej  o  obcią ż eniu  jednostkowym  QjS  = =   100  kG / m 2  i  200  kG / m 2,  rozpoczynają cej  skok  n a  wysokoś ci  30 000  m .  Obli- czenia  wykon an o  dla  począ tkowej  prę dkoś ci  ką towej  zmieniają cej  się   od  —0,08 rad/ sek  do  + 0, 08 rad/ sek  i przedstawiono  n a rys.  10 i  11. - 0,5 - 1 0  • Rys.  10. Charakter  oscylacji  ką ta  natarcia  rakiety  w  funkcji  przebytej  odległ oś ci  dla  rakiety rozpoczynają cej  skok  z  prę dkoś cią   ką tową   n a wysokoś ci  30 000 m przy  obcią ż eniu jednostkowym Q/ S =  100 kG / m 3;  a E  =  5°  i  VE  =  695 m/ sek  , .  .'  \ .  \ JER Z Y  MARYN IAK N a  rysunkach  10  i  11  widzimy, że  prę dkoś ci ką towe  w  zakresie  do  ±   0,01  rad/ sek wpł ywają   bardzo  m ał o  n a  charakter  oscylacji  i  praktyczn ie  biorą c  wpł yw  ten  m oż na pom in ą ć.  Wię ksze  prę koś ci  ką towe,  tzn .  q E >  | ± 0 , 0 1 |  rad/ sek.,  powodują   wzrost amplitudy  oscylacji  ką ta  n atarcia  nie  wpł ywają c  zasadniczo  n a  czę stość  oscylacji i  charakter  tł umienia. - 1 , 0 Rys.  11.  Charakter  oscylacji  ką ta  natarcia  rakiety w  funkcji  przebytej  odległ oś ci dla  rakiety roz- poczynają cej  skok  z  prę dkoś cią   ką tową   n a wysokoś ci  30 000 m przy  obcią ż eniu jednostkowym QIS  =  200  kG / m 2;  a E   =  5°  i  V E   =   985  m/ sek Literatura  cytowana  w  tekś cie [1]  H . R.  F RIED RICB,  F . J.  D ORE,  T he dynamie motion  of  a  missile  descending through the  at- mosphere,  Jour. Aero,  Sci., vol.  22,  N r  9,  1955  r. [2]  F . H.  AJIJIEH ,  runep3eyKoeue  nojtemu  u  npoÓAeMU eo3Bpatą eHUH,  IIpoSjieM bi flBH >KeH na rjiaBH oii  iiacTH   paKeTW  flajitH oro  fleiicTBH H ,  M ocKBa  1959.  P r zed r u k  z J o u r .  Ae r o .  Sci,  4,  1958. [3]  M .  TOBAK,  H . J .  ALLEN ,  Dynamie  stability  of  wehicles traversing  ascending  o rdescending paths  through the atmosphere. [4] H . J .  ALLEN ,  A. J.  EG G ERS,  A study of the motion and  aerodynamic heating of ballistic missiles entering  the EartKs  atmosphere at  high supersonic speeds,  N ACA  R ept.  1381, 1958. [5]  M . M .  M O E ,  An  approximation to  the  rentry  trajectory,  ARS  Journal,  N r  1,  1960. [6] A. J.  EG G ERS, T. J.  WON G ,  Motion  and heating of  lifting  yehicles daring  atmosphere entry, ARS  J.  N r  10,  1961.  . ' .  - OSCYLACJE  RAKIETY  LECĄ CEJ  P O  TORZE  FALISTYM  W  ATMOSFERZE  ZIEMI  89 [7]  F . Y.  H OR I U C H I , A  parametric  study  of  the  dynamie  motion of  a  spinning  and  nonspinning re- entry  yehicle  with non linear aerodynamic  characteristies,  Balist.  Missile  and  Aerospace  Technol, vol.  4,  Reantry.  N ew  York- London,  Acad.  Press  1961. [8]  R.  BLU M ,  Re- entry  trajectories: flat" earth  approximation,  ARS  J.  N r  4,  1962. [9]  B. J. D AYMAN ,  J. M . BRAYSHAW,  D . A.  N ELSON ,  T. L.BABIN EAU X,  T he influence of shapeaero- dynamic damping  of  oscillatory  motion during planet atmosphere  entry and measurement ofpitch  dam- ping  at  large oscillation  amplitudes  (Inter  planetary  Miss  Conf.,  9th  Annual  Amer.  Astronaut.  Soc. M eet., Los  Angeles, Calif. Jan  15th- 17th  1963).  Pasadena, Calif., Jet  Propuls. lab.  California  Inst. Technal.  1963. [10]  J.  STALON Y- D OBRZAŃ SKI,  Effect  of  re- entry technią ue on  the  design of  a  space  yehicle, J.  Techn.  Session  P repr.  Amer.  Astronaut.  Soc.  N r  59. [11]  N . N .  LEBIED IEW,  Funkcje  specjalne i  ich  zastosowania,  PWN ,  Warszawa,  1957. [12]  E :  K A M K E ,  CnpaeouHUK  no  oSbimosewibiM  du0^ epeną uajibHUM ypasnenujuit,  M ocitBa 1961. [13]  W.  POG ORZELSKI, Równania cał kowe  i  ich  zastosowania,  PWN ,  Warszawa  1953. P  e 3  IO  M e OCU .H JIJLqU .H H   PAKBTLI  OTH )KyiIIEH CJI  B  ATM OC OE P E  3E M JI H   n o BOJI H OOEP A3H OH   TP AEKTOP H H B  pa6oTe  npoBefleH   aH ajin3  /rBH>KeHHH   H  ocirHJiJiHnHii yrjia  aiaKH   paKeTbi  flBH wymeflcH  B  aT- Moccbepe  3em Jin  n o  BOJiHoo6pa3Hoft  TpaeKTopHH.  r i p n  pacciwoTpeHHH   ocnH JurainiH   yrjia  aiaKH paneTW  n o OTHomeHmo K neH Tpy  THHcedH   nojiy^eH O  o6tiKH oaeH H oe flH (J)(J)epeH qH anbH oe ypaBH e- HHe  BToporo  nopflflKa  c  nepeMeHHbiMH   KoacbdpHUHeHTaMii.  I lep Bo e  npn6jin>KeHHe B  BHfle  jiHHeHHOił  KOM6Hiiarj;HH   dpyHKUjai  Beccejra  n epBo ro  H  BToporo  pofla  H yneBoro cneflyiomH e  npnSjiHJKeHHH  n o n yt ieH t i  nyTeiw 3aMeH ti HHdpd)epeHu;HajibHoro ypaBH eroM  H H TerpaJit- HbiM   ypaBH emieM   Bon tT eppLi  BToporo  pofla. J [ J W  3aflaH iioii  paKeTbi  npoH3BefleHW  pacweTbi, a pe3yjiBTaTbi  cpaBHeHbi c pe3yjn>TaTaiviH   T O E A K A I I  AnJlEH A  B  pa6oTe  [3]. H a  STOH   OCH OBC oTiweMeHbi 3HaqHTejibHbie, He  TOJIBKO H O  H  Ka"iecTBeHHbie,  (pH3HqeciKynieiicH   n o  BOJiHoo6pa3Hoii  TpaeKTopHH   Ha  npoii3BOJibHoft  Bbicoie. S u m m a r y OSCILLATORY  M OTION   OF   A  SKIP  ROCKET  I N   TH E  EARTH 'S  ATMOSPH ERE In  the present paper the analysis  of  the  motion and the osdllations  of  the  incidence angle of  a skip rocket moving in the earth's atmosphere is examined. An ordinary  differential  eą uation  of the  second order  with  variable  coefBcients  has  been  obtained  by considering  the  osdllations  of  the  incidence angle  of the rocket  with  respect to the centre of  gravity. The flrst approximation is given in the form of a linear combination of  the Bessel funetions  of the flrst  and second kind and zero order, the second approximation  is  obtained  replacing  the  differential  eą uation  by  the  Volterra  integral  eą uation of  the  second  kind. The  example  calculations  has  been  performed  for  a  given  rocket  and  has  been  compared  with the  results  of  M.  TOBAK  and  H . J.  ALLEN   [3]. The  results  prove  considerable  quantitative  as  well  as  qualitative  differences  having  a  physical justiflcation.  The  obtained  results  hoł d  for  a  skip  rocket flying along  a wavy  path  on  any  altitude.