Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS63\mts63_t1_z1.pdf Z .  OSIŃ SKI 3.  x- \ - R(x, x)- \ - S(x)  =   0,  jak  w  p .  2,  ale  przy  zał oż eniach  gwarantują cych istn ien ie  rozwią zań  okresowych; 4.  xĄ - R{pc,  x)- \ - m^ {x)  =   0,  równanie  o  mieszanej  nieliniowej  charakterystyce tł um ien ia  i  liniowej  charakterystyce  sprę ż ystej  przy  zał oż eniach  gwarantują- cych  gaś niecie  rozwią zań; 5.  x- \ - R(x,  x)- \ - oj2(x) =  0,  jak  w  p .  4,  ale  przy  zał oż eniach  gwarantują cych istn ien ie  rozwią zań  okresowych; 6.  x- \ - R(x)Ą - S(x)  =   0,  równanie  z  nieliniową  charakterystyką  tł umienia i  nieliniową  charakterystyką  sprę ż ystą  przy  zał oż eniach  gwarantują cych  ga- ś niecie  rozwią zań; 7.  $+ i?(;«)+ »S(tf) — 0,  jak  w  p .  6,  ale  przy  zał oż eniach  gwarantują cych istn ien ie  rozwią zań  okresowych; 8.  x- \ - S(x)  =   0,  równanie  z  nieliniową  charakterystyką  sprę ż ystą  bez  t ł u- m ien ia; 9.  x- \ - ax- \ - S(x)  =   0,  równanie  z  liniową  charakterystyką  tł um ienia  i  nieli- niową  charakterystyką  sprę ż ystą; 10.  x- \ - R(x)~\ - msx =   0,  równanie  z  nieliniową  charakterystyką  tł umienia i  liniową  charakterystyką  spę ż ystą  przy  zał oż eniach  gwarantują cych  gaś niecie rozwią zań; 11.  x- {- R(x)- {- a>zx =   0,  jak  w  p .  10,  ale  przy  zał oż eniach  gwarantują cych istn ien ie  rozwią zań  okresowych. D la  każ dego  równania  podajemy  podstawowe  twierdzenia  dotyczą ce  zacho- wania  się  rozwią zań,  rozwią zanie  ś cisłe  lub  przybliż one  (jeż eli  takie  są znane), uwagi  o  wł asnoś ciach  ruch u  oraz  o  zastosowaniu  równania  w  zagadnieniach tech n iczn ych . Ogólnych  warunków  istnienia  rozwią zań  nie  podajemy  przyjmują c,  że  są one  speł n ione i  że  istnieją  rozwią zania  badanych  równań. W  opisie  wł asnoś ci  równań  wymieniamy  nazwiska  autorów,  którzy  podali odpowiednie  rozwią zania  bą dź  twierdzenia.  Opracowanie  oparte jest  na  biblio- grafii  wydrukowanej  n a  koń cu  pracy. 2.1.  .  , ;  x + R(x,x) + S(x)  =   0  . Równanie  powyż sze  został o  zbadane  przez  S.  Z I E M BĘ  W  pracy  [49]  przy nastę pują cych  zał oż eniach:  S(x)  iR(x,  x)  są  funkcjami  analitycznymi,  S(—x)  = =   -   S(x),  5( 0)  =   0,  S(x)x  >  0 dla x  #   0; ^ jj&  >  0 dla każ dego x,  R(x,  0) =   0 dlakaż dego  x;  R(—- x, x)  =   R(x,  x)  dla  wszystkich  x,  x,  R{x,  —x)  =   — R{x,  x) dla x  =£  o, R(x,  x)x  >  0  dla  *  >  0,  ^ '.  ^  >  0  dla  każ dego  x. Wykazano,  że  ruch  jest  ograniczony,  a  więc gdzie  E(t a )  jest  energią  cał kowitą w  chwili  począ tkowej,  a  V  funkcją  okreś lają cą en ergię  potencjalną.  ;  ; P RZ EG LĄ D   N I E L I N I O WYC H   R Ó WN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U KŁ AD ÓW  AU T O N O M I C Z N YC H   9 Ruch  jest  gasną cy,  czyli  • Hm x(i)  =   O,  Hm * (i)  =  O, lim x( i)  =   0,  l i m i ? ( ż ) = 0. Zbadano  charakter  punktu  osobliwego  ( 0, 0) .  Stwierdzono,  że  w  przypadku h  >  k  >  0, punkt osobliwy jest  punktem wę zł owym  statecznym,  a w  przypadku 0  <  h  <  k  —  punktem  ogniskowym  statecznym.  Symbole  h  i  k  okreś lone  są z  rozwinię ć  funkcji  S(x)  i  R(x,x)  w  szeregi  potę gowe  w  nastę pują cy  sposób: R(x,  x)  = S(x)- W pracy podana został a analiza przebiegu  trajektorii  fazowych  przez  porówna- nie  ich  z  trajektoriami  równań  liniowych  oraz  przykł ady  badania  ruch u  za pomocą   metody  6. x+[ikl\   1 —cos  I arc tg ~I  sign x+ ft/   y  — sin arc tg l y  I  =   0 .2.2. Równanie jest  podane  przez  Z.  OSIŃ SKIEGO  W  pracy  [29];  opisuje  ono  ruch drgają cy  masy  poruszają cej  się   po  prostoliniowej  prowadnicy.  Sił a  sprę ż ysta pochodzi  od  rozcią ganej  sprę ż yny  o  stał ej  k,  której  punkt  zamocowania  leży poza  osią   prowadnicy  (rys.  1).  Rozproszenie  energii  nastę puje  przez  tarcie suche  proporcjonalne do nacisku  m a- sy  na  prowadnicę . Rys.  1 Rys.  2 Charakterystyka  tł umienia zależy  tylko  od  znaku  prę dkoś ci  i  od  wychylenia w  sposób  przedstawiony  na  rys.  2.  Charakterystyka  sprę ż ysta  jest  sztywn a (rys.  3) 10 Z .  OSIŃ SKI 2.3. [ m  lx\ 1  (x\ —  (xf  tg y>+ mg cos I j  I tg ̂   sign xĄ - mg sin I j  I  =   0 .Równanie  został o  podan e  przez  Z.  OSIŃ SKIEGO  W  pracy  [29]. Opisuje  ono ruch  wahadł a  matematycznego  z  uwzglę dnieniem  oporu  powietrza  i  oporu tarcia  suchego  w  przegubie  walcowym  proporcjonalnego  do  nacisku  w  prze- gubie  (rys. 4). Charakterystyka  tł umienia przebiega  wedł ug  rys. 5,  charaktery- styka  sprę ż ysta  miekica  (sinusoidalna)  wedł ug  rys.  6. 2.4.  mx+lx^ +kx*3  =  0 dla  W J > 0 ,  k >  0,  / ^ 0 ,  przy  zał oż eniu, że (a)  ( - * ) • =   - x\  ( - * ) '=   - **,  ( - «)' — *». S.  Z I E M BA  w  pracy  [48]  poszukuje  szczególnych  przypadków,  dla  których moż na  znaleźć  równanie  trajektorii  fazowej  w  zamknię tej  postaci.  Przypadki takie  zachodzą ,  jeż eli  istnieją   odpo- wiednie  zwią zki  mię dzy  wykł adni- kam i. W* ) \ Rys.  5 Rys.  6 P R Z EG LĄ D   N I E L I N I O WYC H  R Ó WN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U K Ł AD Ó W  AU T O N O M I C Z N YC H   11 Przyjmują c  ze wzglę du na zał oż enie  (a), że wykł adnik a okreś lony jest  wzorem otrzymamy  na  ft  i  y  wzory fl_2iV+ l  (2 P ~2M+l f  y ~ Suma  N - \ - M powinna  być  liczbą   nieparzystą . D la  takich  wykł adników  otrzymujemy  równania  trajektorii  &(x,x)  — w  postaci gdzie du oraz v =   a/ 2 ,  a  =   —2/ / «  ,  6 =   — 1h\ m . 2.5.  OT*+ / *v*a+ ^*a4- ^"  =   0 dla  m >  0,  /  >  0,  )̂ >  0,  k  >  0  i  przy  zał oż eniu, że (a) (- *")=   - * ',   (- *)* =   - ** S.  ZIEMBA  w  pracy  [48]  poszukuje  szczególnych  przypadków,  w  których moż na  znaleźć  równanie  trajektorii  fazowej  w  zamknię tej  postaci.  P rzypadki takie  zachodzą ,  jeż eli  istnieją   odpowiednie  zwią zki  mię dzy  wykł adnikami cc, P, y  i  <5. Jeż eli  przyjmiemy  ze  wzglę du  na zał oż enie  (a),  że wykł adnik  a  okreś lony jest wzorem 2»+ l a ~  2m+l ' t o  o t rzym am y  n a  / ?,  y  i  Ó  wzory: 2JV+ 1  _  2JV+ 1 ^  ~  2M + 1  '  N + ^ f + l  ' Suma  M+N   powinna  być  nieparzysta.  D la  takich  wykł adników  równanie trajektorii &(x,x)  = 0 ma  postać 12  Z .  OSIŃ SKI gdzie oraz «(*)  =   *a *- «l + 1> ,  v  =   a/ 2,  r  =  dl2,  a=- 2l\ m,  b  =   - 2/ e/ wz, c =   ~2plm.. 3.1. *+ / (*>*)*+ *(*) « 0 . D la  r ó wn a n ia  t e go  N . L E VI N SO N   i  O. K .  S M I T H   W  pracy  [18] podają   n astę pują ce t wie r d z e n ie  o  ist n ie n iu  rozwią zań  okresowych . J eż eli  fun kcja  ^(a;) jest  okreś lona  i  cią gła  w  p rzed ziale  (— oo,  + o o ) ;  xg(x)  >  0 d la  x  ^  0;  fun kcja  f(x,  v)  je st  cią gła  dla  wszystkich  x,v  oraz  sp eł n ia  waru n ki 00 ' . Lipsch itza  dla  wszystkich  v;  jg(x)dx=  co  i  / (O,  0)  < 0  oraz  istnieje  takie o x 0   > 0 ,  że  f(x,v)  ^  0 dla  \ x\  ^ x Q ;  istnieje  takie  M,  że  dla  \ x\  < # 0  jest f(x,  v)  >   — M  i  takie  xx  >  xB,  że J  f(x,v)dx gdzie  v  =v(x)  jest  dowolną   dodatnią   funkcją   maleją cą,  to  równanie  (3.1)  ma co  najmniej  jedn o  rozwią zanie  okresowe. A.  D .  D R AG I LE W  [12]  podaje,  że  zamiast  stał ej  lOMx o   moż na wzią ć  Ą Mx a - \ - a, gdzie  a  jest  dowolną   stał ą   dodatnią . T a m  też  znajduje  się   nastę pują ce  twierdzenie:  jeż eli  równanie  (3.1)  ma rozwią zanie  okresowe,  to  także  równanie X+f*( X ,  x)x+g(x)  e=  0, gdzie  f(x,  x)  ^ f*(x,  x), ma rozwią zanie  okresowe. T e m u  sam em u  zagadnieniu  poś wię cona  jest  także  praca  A.  DE  CASTRO  [7]. N iektórym  szczególnym  zagadnieniom  poś wię cone  są   prace  E.  i  H .  CARTANÓW [4]  oraz  A.  A.  AN D RON OWA  [1]  i  R.  REISSIG A  [32]. 3.2.  x+f(x)x+g(x)  =  0. Jest  to  uogólnione  równanie  Lien arda.  D la  równania  tego  typu  Lienarda w  pracy  [19]  podaje  kryteria  istnienia  jednego  statecznego  rozwią zania,  które podajemy  w  uję ciu  Babakowa  [2]: 1) f(x)  powinno  być  funkcją   parzystą ,  a  g(x)  • —  nieparzystą ; 2)  / (O)  <  0; 3)  xg{x)  >  0  dla  wszystkich  x;, X 4)  F(x)  —  f f(x)dx  - y  00,  gd y  x  - > 00; o 5)  funkcja  F(x)  ma  jedn o  miejsce  zerowe  w  punkcie  *  =   a  >  0  i  m onoto- n iczn ie  roś n ie  dla  x  >  a. PRZEGLĄD   N IELIN IOWYCH   RÓWNAŃ   RÓŻ NICZKOWYCH   DRGAŃ   UKŁ ADÓW  AUTONOMICZNYCH   13 W  pracy A.  F .  F I LI P OWA  [13] znajduje  się  twierdzenie  o istn ien iu  granicznego cyklu  dla  powyż szego  równania. Równanie  ma  stateczny  cykl  graniczny,  jeż eli  funkcje  / (x)  i  g(x)  są  cią gł e, ±00 g(x)  ma  znak  x,  J  g(x)dx  =   oo  i  jeż eli  po  zmianie  zmiennych o *  X dla  x  >  0  jg(i)  di  =  z x (x)  i  J f(C)dg  =  F(x)  =   F x (z x ), o  o a  dla  x  <  O jg(C)dtj  =   z 2 (x)  i  / / ( £ ) ^ f  =   F(x)  —  F 2 (z 2 ), o  o funkcje  F x   i  F 2  speł niają  warunki  nastę pują ce: a)  przy  mał ych  z  (z  <  <5) F x (z)  <  F 2 (z)  i  nie  wszę dzie  F x (z)  =   F 2 (z), F x (z)  <  a]/ z,  F 2 (z)  >  —a]/ 'z  dla  a  < y 8 "; b)  istnieje  taka wartość  s0,  że o i  przy  .?  >  z 0   F x (z)  >  ^ ( z ) ,  F x (z)  >  — a / s ,  ^ ( sr )  <  a]/ z,  gdzie  a  <  j/ 8 W  pracy  A.  W.  D RAG ILEWA  [12]  znajduje  się  twierdzenie  nastę pują ce: Jeż eli  równanie  powyż sze  ma  rozwią zanie  okresowe,  t o  również  równ an ie u x- \ - F(x)+x  =   O, w  którym  F(u)  =  jf(x)dx,  ma  rozwią zanie  okresowe. o T ym  samym  równaniem  zajmuje  się  również  W.  S.  IWAN ÓW  [15],  I .  L MASSERA  [23]  oraz  G .  SANSONE  [36]. 4.1.  x+W (x)0(x)+x- =  0. Równanie  został o  zbadane  przez  S.  ZIEMBĘ  W  pracy  [47]  przy  zał oż eniach W (— x)  =   W x ^  0  dla  wszystkich  x; &( — x)=—0(x),  $ ( 0 ) = 0 ,  0(x)  >  0  d l a . * > 0 ; dla  0  <  *x  <  *2  jest   l P(x)0(x i )  >   lF(x)0(x x )  >  0,  a dla  0  ^  \ x x \   <  fal  jest  0  <  \ W (x x )0(x)\   <  ^ ( ^ ^ ( x ) ! . Charakter  funkcji  W (x) i  0(x),  zgodny  z  powyż szymi  zał oż eniami,  przedsta- wiony  jest  na  rysunkach  7  i  8. Równanie to znajduje  zastosowanie  do opisania  ruchu  mechanicznego  m odelu ciał a  stał ego  niesprę ż ystego.  W  cytowanej  pracy  podan o  wykreś lny  sposób wyznaczenia  trajektorii  fazowych. P rzy  podanych  zał oż eniach  ruch  jest  gasną cy  i  pun kt  ruchomy  zm ierza  do poł oż enia  równowagi,  gdy  r  —•   oo. 14 Z .  OSIŃ SKI Z badan o  charakter  pun ktu  osobliwego  i  wysnuto  wnioski  o naprzemiennoś ci ruch u: 1)  jeż eli  [W (O)0'(Q)]  <  2,  to  pun kt  osobliwy  jest  punktem  ogniskowym stateczn ym ; 2)  jeś li  [l)f(O)0'(O)]  > 2 ,  to  pun kt  osobliwy  jest  punktem  wę zł owym  sta- teczn ym . R ys.  7 Rys.  8 W  przypadku  pierwszym  trajektorie  mają   w  otoczeniu  punktu  osobliwego kształ t  spirali  i  ruch jest  ruchem  naprzemiennym  (liczba  miejsc  zerowych  jest nieograniczenie  wielka).  W  przypadku  drugim  pun kt  od  pewnej  chwili  zmierza asymptotycznie  do  poł oż enia lównowagi  nie przechodzą c  przez  poł oż enie  zerowe,  czyli ruch  jest  nienaprzemienny. Przeprowadzono  porównanie  trajektorii  fa- zowych  omawianego  równania  z  trajektoria- m i  w  przypadku  tł umienia  wiskotycznego. Jak  widać  z rys.  9,  trajektorie  te  są   silniej zakrzywione  ku  ś rodkowi,  czyli  że  ruch  jest silniej  tł umiony  niż  w  przypadku; tł umienia wiskotycznego.  W  pracy  [47]  przedyskuto- wano  także  kierunki  elementów  liniowych n a  pł aszczyź nie  fazowej. •   .  . 4.2.  x- {- f(x)(p(x)- {~a>  x  =   0. R ówn an ie jest  podan e przez  S.  Z I E M BĘ  w  pracy  [47]. Przez zamianę   zmiennej niezależ nej  T =   cot  otrzymamy  równanie  analogiczne- do  (4.1): d 2 x  - s   ^ A   l^ \   i  _  n  "  • \ d r  I  •   , - Rys.  9 P R Z EG LĄ D   N I E L I N I O WYC H   R Ó WN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U K Ł AD Ó W  AU T O N O M I C Z N YC H   15 4 . 3 . Ax+[^ +\ F(x)][B+F(x)]x+Cx  =* 0. Równanie powyż sze należy do typu 4.1.  Zanalizował  jeS.  ZIEMEAW  [47]  przy zał oż eniach: A  > 0 ,  C > 0 ,  5 > 0 ,  j3  > 0 ; a)  = dla) >   O dla  wszystkich  x;   l F(x ± )  < F(—x)  s=  F(x)  ^  O  dla  wszystkich  x. W  pracy  zbadano  zagadnienie  naprzemiennoś ci  ruch u.  W  przypadku 1)  F(0)  =   0  i  Ffa)  <  F(x 2 )  dla  0  <  x x   <  x 2 , czyli  w  przypadku  analogicznym  do  tł umienia  sztywnego  przy  tł um ien iu  czysto wiskotycznym  stwierdzamy,  że  przy  / J2.B2 <  4AC  ruch  jest  n aprzem ien n y (liczba  miejsc  zerowych  jest  nieskoń czenie  wielka),  a  przy  fi2B2'  ^  4 AC  pun kt przechodzi  co  najwyż ej  raz  przez  poł oż enie równowagi  i  od  tego  miejsca  jest nienaprzemienny  niezależ nie  od  warunków  począ tkowych. W  przypadku 2)  F(0)  >  0  i  F(xj)  >  F(x 2 )  dla  Q <  x 1   <  x t , czyli  w  przypadku  analogicznym  do  tł umienia  mię kkiego  przy  tł um ien iu  czysto wiskotycznym  stwierdzamy,  że  jeż eli  J3B >  2\ / AC,  to  rozwią zanie  ma  co najwyż ej  jedno  miejsce  zerowe. Jeż eli  B- \ - F(0)  <  2]/ AC,  to  ruch  jest  naprzem ienny  (rozwią zanie  m a  n ie- skoń czenie  wiele  miejsc  zerowych). Jeż eli PB  <  2 }/ AC  < (i [B+F(0)],  to rozwią zanie  m a skoń czoną   liczbę   miejsc zerowych,  niezależ ną   od  warunków  począ tkowych  i  od  pewnej  chwili  ru ch jest  nienaprzemienny. 4.4. - \ - F x x =   0  dla  xx  >  0, —F 2 x  = 0  dla  xx  <  0. Równanie  to  podał   Z .  OSIŃ SKI w pracy  [29]. Opisuje  ono ruch  drga- ją cy  masy  przy  tarciu  suchym  (Cou- lomba) proporcjonalnym do przemie- szczenia  x.  Opór  taki  wystę puje  przy drganiach  masy  na  sprę ż ynie  wielo- pierś cieniowej  i  na resorze piórowym. P odobny  charakter m a tarcie w  prze- gubach dź wigni obcią ż onej  masą  drga- ją cą   i  podpartej  sprę ż yś cie. Charakterystyka  tł um ien ia  przebiega  wedł ug  rys.  10.  C harakterystyka  sprę - ż ysta  jest  liniowa. Rozwią zanie  równania  dla  ruchu  od  poł oż enia  równowagi: x  =  C 1   cos cojż - j-  Ca s i n  w- iP • xx=0 i R(x,x) 9 'XX=0 U r , * A  gl X Rys.  10 16  Z .  OSIŃ SKI D la  ruchu  do  poł oż enia  równowagi x  =   C 3 cos gdzie „ 4 ,  «| W ł a s n o ś ci  r u c h u .  1.  Przemieszczenie  x(ź)  ma  co  najwyż ej  jedno miejsce  zerowe  przy  k  <  F 2  lub  nieskoń czenie  wiele  miejsc  zerowych  przy k>F i . 2.  Kolejne  amplitudy  zmieniają   się   wedł ug  postę pu  geometrycznego. 3.  Przesunię cie  ś rodka  drgań  nie  wystę puje. 4.  Ruch  ukł adu  przy  k  >  F 2   ustaje  po  upł ywie  nieograniczenie  dł ugiego czasu. 5.  Okres  drgań jest  stał y i  róż ny  od  okresu  drgań  bez tarcia: _  2T Z I  CO  UJ  \   i- r- ,—«• T   =  - =— + ̂ —  przy  m  =  ykm. co  yZct)!  2 c o 2 / 4.5.  x+axx2- }- bx  =  0. Równanie  powyż sze  został o  podane  w  zbiorze  E.  KAMKEG O  [16],  s.  553 P rzez  podstawienie  p(x)  =  x(t)  otrzymujemy  równanie  Bernoulliego bx  —  0 . 4.6.  x- \ - xx—x^ A- ax  =   0,  a  >  0. Równanie to i jego rozwią zanie podaje  P.  PAIN LEVE.  Cytujemy je za E.  KAMKEM [16]  (s.  548). Rozwią zanie  ma  postać: 2  \   3 gdzie 5.1.  Jij- f coF(x) x+co2x  =   0. Równanie  Lienarda  z  liniową   charakterystyką   sprę ż ystą.  D la równania  tego G .  SAN SON E  [35, 38]  podaje  kryteria  istnienia  rozwią zań  okresowych. N a  charakterystykę   tł umienia  nał oż one  są   warunki:  F(x)  jest  funkcją   cią głą w  przedziale  (—oo,  oo);  istnieją   dwie  takie  liczby ó_ t   <  0  i    0,  że  F(x)  <  0  dla  <5_i <  *  <    0  dla  *  <  iLj,,  *  >  6_j.  oraz  F (ó_ x)  =   ^ ( ó ^ =   0. Powyż sze  zał oż enia  okreś lają   charakter  funkcji  F(x),  której  wykres  przed- stawiono  n a  rys.  11. PRZEG LĄ D   N I E L I N I O WYC H   R Ó WN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U K Ł AD Ó W  AU T O N O M I C Z N YC H   17 M oż liwe  są   nastę pują ce  przypadki: 1.  Jeż eli  obok  zał oż eń  (a)  speł niony  jest  jeszcze  dla  każ dego  x  warun ek X x0(x)  <  0, gdzie  0{x)  — j  F(s)ds,  to równanie nie m a rozwią zania  okresowego. o 2.  Jeż eli  obok  zał oż enia  (a)  speł nione  są   jeszcze  warunki:  istnieje  takie *o  >  <5n  że  4iVxo+ 4iV 2  <  [®(x 0 ) — 0{d 1 )f,  gdzie  N  =   |f P ( ^ ) |+   Ki*(f5_1)l; istnieje  x 0   <  6_ x ,  takie  że  4iV> 0|+ 4iV 2  <  [®(x o )<0(ó__ 1 )f,  lim  0{x)  =   co oraz  lim  |0( «) |  =   co, to równanie ma co najmniej  jedn o  rozwią zanie  okresowe. X- *— co G .  SANSONE  i  I.  L.  MASSERA  podali  takż e  twierdzenie  o  istnieniu  jedyn ego rozwią zania  okresowego  [37,  22]: W*) Rys.  11 3.  Jeż eli speł nione są  zał oż enia (a) i funkcja  F{x) nie jest rosną ca  w  przedziale (—co,  0)  oraz  nie jest  maleją ca  w  (0, oo), to równ an ie  ma  jedn o  i  tylko  jed n o rozwią zanie  okresowe. 5.2.  x—/ j,(l—x2)x+x=0. Jest  to równanie  VAN   DER  P OLA  [30, 31].  Równanie  należy  do typu  równ an ia Lien arda  (5.1) i  speł nia  zał oż enia zapewniają ce  istnienie  jedyn ego  stateczn ego rozwią zania  okresowego. Równanie  rozwią zuje  się  za pomocą   metody  mał ego  param etru  (/ i jest  przyj- mowane  jako  mał y  param etr).  Podajemy  rozwią zanie  w  drugim  przybliż en iu uzyskane  metodą   Krył owa- Bogoliubowa  [3]: L td x  =   a cos  (wtĄ - d) —  - hpr- sin  3 (cut- j- O),32 gdzie a  = a a   exp  (/ it 12) 2  Mechanika  teoretyczna 18 Z .  OSIŃ SKI Rozwią zanie  okresowe  otrzymujemy  dla  a =   2.  M a  ono  postać x  =   2 cos  (mt+d)- ^ - sin  3(mt)+0). 5.3.  x- ~A(l  — x2)x- {- x  =   0  p r z y  A - + o o . R ówn an ie  ma  postać  równania  drgań  relaksacyjnych.  Badaniem  wł asnoś ci takiego równania przy bardzo  duż ych  oraz rosną cych  nieograniczenie  wartoś ciach A  zajmowali  się   w  szczególnoś ci  A.  A.  D OROD N ICYN   [11]  i  M . L.  CARTWIG H T [5].  Podają   oni  przybliż one  wzory  na okres  drgań.  Podajemy  wzór  n a  ok- res  drgań  wedł ug  pracy  BOG OLIUBOWA i  M ITKOPOLSKIEG O  [3]: T  =  1,613706 A+ 7,01432  A~ 1/ 3- 22  In A V W  przypadku  bardzo  duż ych  wartoś ci X  moż na  po  zamianie  zmiennych x  = =  h- j,  t  =   ex,  przejść  do  równania (a)  j j __^_^_o . Analiza  ruch u  na  pł aszczyź nie  fazo- wej  wskazuje  na istnienie  w  tym  przy- Rys.  12  padku  cyklu  granicznego  o  specjalnym charakterze, rys.  12. Krzywa  / jest  okre- ś lona  równaniem  (a).  Cykl  graniczny  skł ada  się   z  dwóch  odcinków  krzywej PiP%  i  P3- P4  oraz  z  dwóch  odcinków  pionowych  P 4 P i  i  i V V 6.1.  x+R(x)+S(x)  =   0. P ewn e  wł asnoś ci  tego  równania  został y  zbadane  przez  S.  Z IEM BĘ   W  pracy [48],  P oczynione  został y  przy  tym  zał oż enia  dodatniej  dysypacji  w  przedziale n ieogran iczon ym .  Zał oż enia,  te  są   nastę pują ce:  R(x)  =   —R(x),  R(x)x  >  0  dla dR(x)  ^ x>0, dx R(0)  =   0  oraz  S(- x)  =   S(x),  S(x)x >  0  dla  *  >  0, dS(x) dx >  0 ,   5(0)  =  0. C harakterystyka  tł um ien ia  jest  wię c  asymetryczna  i  ma  pochodną   stale rosną cą.  P odobn e wł asnoś ci  ma charakterystyka  sprę ż ysta.  P rzy tych zał oż eniach wykazan o  ograniczoność  ruch u,  mianowicie: ) ,  \ x(t)  I <  F gdzie  F(x)  jest  funkcją   okreś lają cą   energię   potencjalną   ukł adu,  a  E(t 0 )  cał ko- witą   en ergię   począ tkową. PRZEGLĄD   N IELIN IOWYCH   RÓWNAŃ   RÓŻ NICZKOWYCH  DRGAŃ   UKŁ ADÓW  AUTON OMICZN YCH   19 Wykazano  też,  że  rozwią zanie  ma charakter  gasną cy,  to  znaczy,  że lim  [E(t)] =  0,  lim  [*(*)] =  0, lim  [*(*)] =  0,  lim  [ « ( * ) ] — 0. t—4- 0O  £—>0O W  tejże  pracy  przedyskutowano  charakter  pun ktu  osobliwego.  P u n kt oso- bliwy  jest  punktem  wę zł owym  statecznym, jeż eli  A > a >   0,  a  punktem  ogni- skowym  statecznym, jeż eli  0 < h    0,  co2 > 0  oraz R(x)x (a) S(x)x  > 0 5(0) x  > 0 ) = 0 } w  przedziale  (—V lt w  przedziale  (—X lt   +X 2 ). Charakterystyki  mają  postać  przedstawioną  na  rys.  13 i  14.  P ostać ta ograni- czona jest tylko  warunkiem cią gł oś ci i zał oż eniami (a) w ograniczonym przedziale. SM Rys.  13 Rys.  14 Postać  charakterystyk  poza  okreś lonym  przedział em nie  jest  istotna  dla ruch u rozpoczynają cego  się  przy  odpowiednio  ograniczonych  warunkach  począ tko- wych. 2 0 Z .  OSI Ń SKI. W  tych  warun kach  przemieszczenie  x{t)  ma  nieskoń czoną   liczbę   miejsc  ze- rowych,  gdy  a  <  2co,  oraz  skoń czoną   liczbę   miejsc  zerowych,  gdy  a  >  2co. W  tym  drugim  przypadku  może  istnieć  co  najmniej  jedno  miejsce  zerowe  n ie- zależ nie  od  warunków  począ tkowych  lub  skoń czona  liczba  miejsc  zerowych, zależ na  od  warunków  począ tkowych. W  pracy  podan o  geometryczne  kryterium  oceny  liczby  miejsc  zerowych w  postaci  tzw.  «prostej  krytycznej»  oraz  «prostej  pomocniczej»  Zastosowanie tego  kryterium  pozwala  ocenić  liczbę   miejsc  zerowych  bezpoś rednio  z  postaci charakterystyk,  które  mogą   być  dane  w  postaci  wykreś lnej  (np. z  doś wiadczeń )- 6.2. Aói+ [B+ V (x)  *] +  [C+f(x)]x = 0, A  >  0,  B  > 0 ,  C  5*0. Równanie  należy  do  typu  (6.1).  Przy  speł nieniu  zał oż eń  podanych  tamże ogólne  wł asnoś ci  równania  (6.1)  są   zachowane  (ograniczonoś ć,  gaś niecie,  cha- rakter  pun ktu  osobliwego).  W  pracy  [48]  S.  ZIEM BA  podaje  analizę   zagadnienia n aprzem ien n oś ci  powyż szego  równania. Okreś lono  charakterystykę   sprę ż ystą   jako  sztywną   (rys.  15),  jeż eli / ( - * ) = / ( *)  > 0  dla  x # 0 ,  / (0)  =   0, f(x)  >  0  dla  x  >  0, =   oo W*) R ys.  115 i  jako  mię kką   (rys.  16),  jeż eli / ( —* ) =  i(«) > 0 / (*)  < 0 Rys.  16 dla  x  ^  0,  / (0)  >  0, / ( )  dla  x  >  0,  lim/ (»)  =   0. Podobnie  charakterystyka  tł umienia  jest  sztywna,  jeż eli c> (- *) =   ę {x)  > 0  dla  x^ 0,  c>(0) =   0,vc) 99' (*)  >  0  dla  *  >  0,  lim  *  =   00 PRZEG LĄ D   N I E L I N I O WYC H   R Ó WN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U K Ł AD Ó W  AU T O N O M I C Z N YC H   21 oraz  mię kka,  jeż eli (p( — x)  =  (p(x)  d la  x ^ 0 ,  cp(0) (p'(0) =   0,    0,  lim  [ =   0 . Zanalizowano  i  ustalon o  kryteria  naprzem iennoś ci  w  czterech  przypadkach skojarzenia  charakterystyki: 1)  mię kka  sprę ż ysta,  sztywna  tł um ien ia; 2)  sztywna  sprę ż ysta,  mię kka  tł um ien ia; 3)  sztywna  sprę ż ysta,  sztywna  tł um ien ia; 4)  mię kka  sprę ż ysta,  mię kka tł um ien ia. Stwierdza  się ,  że  zależ nie  od  postaci  charakterystyk  i  ich  skojarzenia  m oż emy ustalić  nastę pują ce  przypadki  ruch u: 1.  Ruch  z  jedn ym  co  najwyż ej  miejscem  zerowym .  P rzy  odpowiedn im  do- borze  warunków  począ tkowych  pun kt  ruchom y  nie  przechodzi  w  ogóle  p rzez poł oż enie  równowagi  (rys.  17). 2.  Ruch ze  skoń czoną   liczbą   miejsc  zerowych.  P un kt, zależ n ie  od  warun ków począ tkowych,  może  przejść  skoń czoną   liczbę   razy  przez  poł oż enie  równ owagi, przy  czym  od  pewnej  chwili  dalszy  ruch jest  n ien aprzem ien n y  (rys.  18). Rys.  17 Rys.  18 3.  Ruch  z  nieskoń czoną   liczbą   miejsc  zerowych,  czyli  ru ch  n aprzem ien n y (rys.  19). 4.  Ruch  n ien aprzem ien n y  przez  pewien  skoń czony  okres  czasu,  a  n astę pn ie ruch  naprzem ienny  z  nieskoń czoną   liczbą   miejsc  zerowych  (rys.  20). Rys.  19  Rys.  20 6 - 3 -   mx+W +kx?  =  0,  m > 0 ,  k  >  0,  /  >  0. S.  ZIEM BA  w  pracy  [48]  poszukuje  szczególnych  przypadków,  w  których moż na  znaleźć  równanie  trajektorii  w  postaci  zam knię tej.  P rzypadki  takie  za- 22  Z .  OSIŃ SKI chodzą ,  jeż eli  istnieje  odpowiedni  zwią zek  mię dzy  wykł adnikami  a  i  (i. Jeż eli przyjmiemy,  ze  wzglę du  na  antysymetrię   charakterystyki,  że  wykł adnik  a  ma po st ać: 2 n + l a== gdzie  n,  m  oznaczają   liczby  n aturaln e  lub  zero,  to  wykł adnik  /? powinien  mieć postać: D la  takich  wykł adników  równanie  trajektorii  0(x,  x)  =   0  ma  postać *»+ [ C + e xp  *",(«)]« =   0, gdzie («) = f - u+b1   v —l przy  oznaczeniach a  —  —21\ m,  b =   —2kjm,  v =  a/ 2. 6.4.  x- \ - axx- \ - bx3  =   0. Równanie  podan e  przez  E.  KAMKEG O  [16]  (s.  551). P rzez  podstawienie \   y  — ;  ™  \ .   )  ł   i n  rt- 1 sprowadzim y  równanie  to  do  równania flM + 2w2+ flM + i =   0, którego  rozwią zanie  moż na  wyrazić  za  pomocą   kwadratury •   r  udu J  2u 2 +au+b   +   1 - 2u 2 +au+b 6.5.  x+(3a+x)x- xs+axz+2a2x  =   0. Równanie  został o  podane  przez  P .  PAIN LEVE;  cytujemy  je  za  E.  KAM KEM [16]  (s.  548).  Rozwią zanie  ma  postać, gdzie —- «- "*- (- C,  dla  a  #   0, a C^+ Ca  dla  a  =   0. P RZ EG LĄ D   N I E L I N I O WYC H   R Ó WN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U K Ł AD Ó W  AU T O N O M I C Z N YC H   23 6.6.  .  x+a$?+b  sinx  =   0. Równanie wahadł a matematycznego  z  oporem  proporcjonalnym  do  kwadratu prę dkoś ci  (  o  stał ym  kierunku)  został o zbadane przez  F . A.  WILLERSA [45]. P o- dajemy  je  za  E.  KAMKEM   [16].  Rozwią zanie  moż na  przedstawić  za  pomocą kwadratury r  dx * = / ±   y  C ^ ' +  ^ ( Z a  s i n x ) 6.7.  x- \ - ax\ x\ - \ - b sins;  =   0. Równanie  wahadł a  matematycznego  z  uwzglę dnieniem  oporu  powietrza był o  badane  przez  F .  A:  WILLERSA  [45]. Podajemy  je  za  E .  KAMKEM   [16]. Rozwią zanie  moż na  otrzymać  przez  zł oż enie  rozwią zań  dwóch  równań x- \ - ax 2 - Ą - b sina:  ==   0  dla  *  >  0 oraz x—ax 2 +b  sina;  ==   0  dla  x  <  0 (por.  równanie  6.6.). 7.1.  x+R(x)+S(x)  =  0. R ówn an ie  t o  został o  zbad an e  po d  ką tem  widzen ia  istn ien ia  rozwią zań  o kre- sowych  przez  R.  R E I SSI G A  W  pracy  [33]. Z ał oż en ia  są   n astę pują ce: 1)  R(x)  i  S(x)  cią głe  wraz  ze  swym i  p o ch o d n ym i, R'(x)  i  S'(x)  dla  wszystkich  wartoś ci  xix. 2)  R(x)x  <  0  dla  \ x\  ^   U  >  0, R{x)x  >  0  dla  |*|  >  F   >  C7  >  0,  • R(x)  >  &  >  0  dla  x  >  V. 3)  S(x)x  >  0  dla  *  #   0, S(x)  >  —f+d  dla  x  ^ X  >  0, S(x)  < —i?—(5  dla  a: < —  X, gdzie F  =  max  i?(*)  >  0 / =   min  R(x)  < 0  \ 0  }  w  P r z e d z i a l e  zamknię tym  \ x\ 4)  Funkcja  J(x) =   /   S(s)ds  roś nie  silnie  monotonicznie.  Charakterystyka o tł umienia  ma  postać  pokazaną   na  rys.  21. U dowodniono,  że  istnieje  moż liwość  ustalenia  się   drgań  okresowych  (sa- mowzbudnych)  oraz  podano  konstrukcję   pierś cienia,  wewną trz  którego wszyst- kie  trajektorie  bą dź  są   zamknię te,  bą dź  asymptotycznie  zmierzają   do  trajektorii zamknię tej. 2 4 Z .  OSIŃ SKI 7.2.  x+x\ x\ - qx+x—p2x3  =   0. Równaniem  tym  zajmowali  się   G .  KRALL  [17]  i  J.  CECCON I  [8, 9].  P rzy  do- stateczn ie  mał ych  ą   >  0  i  p  >  0  równanie  ma  co  najmniej  jedn o  rozwią zanie okresowe. 8.1.  x- Ą - S(x)  =  0. Rozwią zanie  sprowadza  się   do  kwadratur  (por.  n p .  [2, 7]) dx =  r ±l/ - 2fS(x)dx+C x - V Rys.  21 Z ał oż ymy,  że  warunki  począ tkowe  są   nastę pują ce:  dla  t  =   0,  x  =   x 0   i  *  =   0 jeż eli  przy  tym  równanie - 2J  S(x)dx+C 1   =  0 : m a  pierwiastki  pojedyncze  x x   i  x 2 ,  to  dla  x x   może  być  rozwią zane  przez  odpowiednie  funkcje  specjalne. Zał oż enia:  x 0   ^  0, x 0   j^   0, A  i  B  stał e  dowolne,  B ^ O . Jeż eli  przy  oznaczeniu  D 2 =   (A+2Bxl)2- \ - 4B'xl, 1)  0  ^   D  ^   A,  to  rozwią zanie  wyraża  się   przez  funkcje  eliptyczn e; 2)  D  =  0,  A  T^ 0  lub  D  =  A  #   0,  to  rozwią zanie  wyraża  się   przez  funkcje wykł adnicze; 3)  D  =  A  —  0,  to  rozwią zanie  wyraża  się   przez  funkcje  wym iern e. H .  SCH OLZ  podaje  rozwią zanie  dla  tych  przypadków. 9.1.  mx+2hx+di  0,  a2  >  0. Pewne  wł asnoś ci  powyż szego  równania  został y  zbadane  w  pracy  R.  G U T O W- SKIEGO  [14].  Zał oż enia  dotyczą ce  charakterystyki  sprę ż ystej  są   nastę pują ce; (0) =   0,  lim  (A/ a)«. 2.  P rzy  charakterystyce  ((absolutnie  sztywnej»,  to znaczy  speł niają cej wa- run ek  (a)  dla  dowolnych x z przedział u  (0,  oo),  warunkiem  istnienia  nieskoń- czonej  liczby  rozwią zań  jest h\ a  < 1 . Warun ek  ten jest  analogiczny  do  odpowiedniego  warunku  dla  równoważ nego równ an ia  liniowego. 3.  D la  charakterystyki  ((absolutnie  mię kkiej », to  znaczy  speł niają cej  warunek (b)  x—q>(x)  > 0 dla  wszystkich  x  z  przedział u  (0,  oo)  oraz  dla charakterystyki  ((mię kkiej dla prawie  wszystkich  *»,  to  znaczy  speł niają cej  warunek  (b)  z wyją tkiem  co  naj- wyż ej  skoń czonego  otoczenia pun ktu x =  0,  warunkiem  istnienia  nieskoń czonej liczby  rozwią zań  jest  istnienie  takiej  prostej  y =  fix,  która  leży  cał kowicie poniż ej  ę {x)  dla x >  0,  przy  czym W  pracy  powyż szej  podano  także  oszacowanie  odległ oś ci  miejsc  zerowych, pewn e  wnioski  dotyczą ce  zanikania  wychyleń  oraz  przybliż oną   metodę  rozwią - zania  przez  przekształ cenie  go  w  równanie  cał kowe  typu  Volterry. 9.2.  x+ax+smx—p  = 0,  a >  0,  /8 > 0. Równanie wystę puje  w szeregu  zagadnień dynamiki i elektrotechniki. Jakoś cio- wa  analiza  równania  (kryteria  istnienia  rozwią zań  okresowych)  oraz  biblio- grafia  znajduje  się  w  pracy  [39]. 10.1.  ^ + i?( *) + ft j%  =  0. P rzy  zał oż eniu, że R(x)x  > 0 i  R(0)  =  0 w  przedziale  ( — V,  - \ - V) ograni- czonym  lub nieograniczonym,  niektóre  wł asnoś ci  równania  został y  zbadane przez  Z .  OSIŃ SKIEGO  [28].  P raca  ta jest  rozszerzeniem  prac  G .  SANSONEGO i  S.  Z I E M BY  (JÓwnanie  10.2). Jeż eli  charakterystykę   tł um ien ia  przedstawimy  w  postaci R(x)  =   ax- \ - cp(x), to,  niezależ nie  od  znaku  (*)., 1)  dla  a <   2co  ru ch  ma  nieskoń czenie  wiele  miejsc  zerowych, 2)  dla a >   2co  ru c h  ma skoń czoną   liczbę   miejsc  zerowych. Jeż eli   0,  t o przemieszczenie  ma  co  najwyż ej  jedn o  miejsce  zerowe niezależ nie  od warunków  począ tkowych. Jeż eli  cp(x)x < 0 w  cał ym  przedziale  lub  w jego  czę ś ci,  to przemieszczenie m oże  m ieć  wię cej  n iż jedn o  miejsce  zerowe.  Ocenę  liczby  miejsc  zerowych  mo- że  uł atwić  podan e  przez  autora  kryterium  geometryczne  w postaci  tzw.  «pro- stej  krytycznej».  •   ;  • .'• • • P R Z E G LĄD   N I E L I N I O WYC H   R ÓWN AŃ   R ÓŻ N I C Z KOWYCH   D RG AŃ   U KŁ AD ÓW  AU T O N O M I C Z N YC H   27 Jest  to  przypadek  szczególny  równania  6.1. 10.2.  Ax+[B+F(x)]x+Cx  =   0. Wł asnoś ci  powyż szego  równania  został y  zbadane  przez  W. E.  M I LN E 'A  [24] i  G .  SANSONEGO  [31] przy  zał oż eniach A  >  0,  B  > 0 ,  C > 0 ; F (0) =   0,  F{- x)  =   F(x),  F(x) >  0  dla  x  >  0. Zał oż enia  odnoś nie  _F(#) odpowiadają  sztywnej  charakterystyce  tł um ien ia (rys.  22 i  23). Rys.  22 Rys.  23 .  Waż niejsze  wł asnoś ci równania podajemy  za G .  SAN SON EM: 1.  F unkcje  x, x, x  są  ograniczone  w  przedziale  (t 0 ,  oo). 2.  W  skoń czonym  przedziale  funkcje  x(t), x(t)  n ie  mogą  mieć  pun któw przegię cia. 3.  M ię dzy  dwoma  miejscami  zerowymi  prę dkoś ci  x(ł ) jest tylko  jeden  pun kt zerowy  x(t). 4.  £(/ ) nie  może  być  równe  zeru  w  ż adnym  przedziale. 5.  Rozwią zanie  jest  gasną ce,  czyli lim E(t)  =   0,  Hm x(t) =   0,  lim»(«)  =   0. t- *oo D la  B2~Ą - AC  > 0: 6.  F unkcja x(t)  ma tylko jedn o  miejsce  zerowe  w  przedziale  swego  istn ien ia. 7.  F unkcja x(t)  i  jej  pochodne  poczynając  od  pewnego  t  są  m onotoniczn e i  dą żą  do zera,  gdy t  ~*  oo. D la  B2- ^ AC  < 0: 8.  x(t)  ma  nieskoń czenie  wiele  miejsc  zerowych. 9.  Mię dzy  dwoma  miejscami  zerowymi  przemieszczenia  x(t)  istnieje  tylko jedn o  miejsce  zerowe  x(t). 28 Z .  OSIŃ SKI T ym  sam ym  równaniem  zajmuje  się   G .  SESTIN I  w  pracy  [41], w  której  podaje oszacowanie  rozwią zań  w  przypadkach  B2 — Ą AC  >  0,  B2~4AC  =   0 oraz  B2—4- AC  <  0. S.  Z I EM BA  w  pracy  [46]  zbadał  powyż sze równanie  dla  pewnej  klasy  mię kkich charakterystyk  tł um ien ia. Zakł adają c,  że F(0)  >  0  (rys.  24) i że speł nione są   pozostał e zał oż enia, G . SAN - SONE  dowodzi,  że  wł asnoś ci  1- 5  zachodzą   i  w  tym  przypadku. Odn oś n ie  zagadnienia  naprzemiennosci  moż liwe  są   cztery  przypadki: 1.  D la B  >  2]/ AC  istnieje  co najwyż ej  jedn o  miejsce  zerowe  przemieszczenia niezależ nie  od  wartoś ci  F(0). 2.  D la  0  <  F(0)  < 2 ] / Z C  oraz  B+F(Q)  <  2]/ ~AC  istnieje  nieskoń czenie wiele  miejsc  zerowych  przemieszczenia. R ys.  24  Rys.  25 3.  D la  0  <  .F(0)  <  2}/ A~C  oraz  0  <_2 j/ ZĆ —.F (O)  <  B  <  2/ AC,  a  także dla  ^ ( 0)  >  2]/ AC  oraz  0  <  B  ^  2 ^ AC  istnieje  moż liwoś ć,  że  ruch  ma  skoń- czoną ,  wię kszą   od  jednoś ci  liczbę   miejsc  zerowych. 10.3.  x+R(x)+Kx  =   0. Równanie  został o  zbadane  przez  K.  SZPUNARA  W  pracy  [47],  przy  zał oż eniu, że  charakterystyka  tł um ienia  jest  nieliniową ,  nieparzystą   funkcją   prę dkoś ci, którą   moż na  przedstawić  w  postaci gdzie b 2n+1   > 0 ,  n =   0 , 1 , 2 ,  ..., oraz  że  K  >  0. C harakterystyka  tł um ienia jest  wię c  sztywna  (rys.  25). Autor  szuka  rozwią zania  w  postaci  szeregu  potę gowego  (w  otoczeniu  punktu osobliwego)  w  postaci P H Z E G L Ą D   N IELIN IOWYCH  RÓWN AŃ   RÓŻ NICZKOWYCH  DRGAŃ   UKŁADÓW  AU TON OM ICZN YCH   2 9 gdzie  p  =   x.  Badają c  wł asnoś ci  tego  szeregu  autor  dochodzi  do  nastę pują cych wniosków: jeż eli  b\ —4- K  <  0,  to rozwią zanie  ma charakter oscylacyjny  (naprze^- mienny),  a  jeż eli  6|—AK  >  0,  to  rozwią zanie  ma  charakter  nieoscylacyjny. Wnioski  są   analogiczne  do wniosków  uzys- kanych  przez  E.  M I L N E 'A  [24]  i  G .  SAN - SONEGO  [34]. Jeż eli  rozwią zanie  jest  oscylacyjne,  to przedział   czasu  mię dzy  dwoma  kolejnymi krań cowymi wychyleniami  zmierza do war- toś ci  granicznej  okreś lonej  wzorem 10.4. x+R(x)+x = 0. R ys.  26 Równaniem  takim zajmował   się   G .  M ALG ARIN I  W  pracy  [21]  przy  poniż szych zał oż eniach: =   oo,  R(x)x>0, R(0)  = R(x)  jest  funkcją   cią głą   dla  — co  <  x  <  co, R'(x)  >  0  oraz  xR"(x)  <  0. Charakterystyka taka został a nazwana subwiskotyczną   (rys. 26). Konsekwencją tych  zał oż eń jest,  że I im X M ALG ARIN I  dowodzi, że jeż eli  k x   >  2 i  k %   >  2,  to  ruch  nie  ma  miejsc  zerowych niezależ nie  od  warunków  począ tkowych,  a  jeż eli  0  <  k x   <  2,  0  <  k %   <  2, to  ruch  jest  podobny  do  ruchu  przy  tarciu  suchym  i  liczba  miejsc  zerowych zależ y  od  warunków  począ tkowych.  I st- nieje  dmartwa  strefa»,  podobn ie  jak przy  tarciu  suchym. 10.5.  xĄ - 2e\ x\m- xx- \ - x  =  0 dla  0  <  m  <  1. G .  M ALG ARIN I  W  pracy  [21]  podaje uwagi  dotyczą ce  zachowania  się   trajek- torii  powyż szego  równania  na  podsta- wie  ogólnego  twierdzenia  dotyczą cego równania  10.4. Rys. 27 10.6.  x- \ - a  sign x- \ - mzx =   0. D rgania tł umione tarciem suchym o charakterystyce  tł um ienia  przedstawion ej na  rys.  27  podajemy  za  I. M .  BABAKOWEM   [2]. a W) a 0 i X 3 0 Z .  OSIŃ SKI Rozwią zanie  równania:  dla  x  <  0  mamy  x  =   a- \ - C x  cos co£- t- C2 sin ot,  a  dla «  >  0  m am y  A; =   —aJrC 1   cos  a> i+ C 2 sin  mt. W ł a s n o ś ci  r u c h u .  1.  Ruch jest  okresowy  o  okresie  T  =   2,n\ (a  nie- zależ n ym  od  sił y  tarcia. 2.  Ś rodek  drgań  przemieszcza  się  o  wielkość  a  w  stronę  dodatnich x,  gdy x  <  0,  w  stron ę  ujemnych  x,  gdy  x  >  0. 3.  Am plituda  maleje  w  postę pie  arytmetycznym  za  każ dym  wahnię ciem  o 2a. 4.  D rgan ia  wygasają  po  skoń czonej  liczbie  wahnię ć. 10.7. xĄ - ~x2s'\ gnx- \ - ctj2x  =3  0. D rgan ia  tł um ione  są  oporem  powietrza  lub  pł ynu  w  warunkach  przepł ywu burzliwego.  Równanie  został o zbadane  przez  W.  E.  M I L N E 'A  [24].  Rozwią zu- je  się  je  w  kwadraturach  [20]: dx = r ± Z n aki  górn e  odpowiedają  ruchowi  z  prę dkoś cią  dodatnią,  x  >  0,  a  dolne ruch owi  z  prę dkoś cią  ujemną,  *  <  0.  Kolejne  maksymalne  amplitudy  moż na wyznaczyć  za  pomocą  wykresu  (rys.  28). Jf ——  m- \ Ł \ R ys.  28 Okres  drgań  zależ ny  jest  od  amplitudy  począ tkowej.  Wyznaczamy  go  za pomocą  m etody  mał ego  param etru.  Pół okres  ruchu,  liczony  dla  warunków począ tkowych  x 0   >  0,  x  =   0,  wynosi co\ 24 7 ' PRZEGLĄ D   N IELIN IOWYCH  RÓWNAŃ   RÓŻ NICZKOWYCH  DRGAŃ  UKŁADÓW  AU TON OMICZN YCH   31 10.8.  x+3ax—2x3+2a2x  =  0. Badaniem  tego  równania  zajmował   się   PAIN LEVE.  Podajemy  rozwią zanie za  E.  KAM KEM   [16]  (s.  548): x  = 10.9. Badaniem  równania  .zajmował   się   PAIN LEVE.  Podajemy  rozwią zanie  za E.  KAM KEM   [16]  (s.  547): x =  tPC}e- * a »(C l e- " t +C i ,  0, - 1 ). 10.10. x+ax\ x bx- \ - ex  =  0,  a  >  0,  b  >  0,  c  >  0. D rgania  tł umione  oporem  wiskotycznym  i  oporem  powietrza  om ówione został y  przez  KAMKEG O  [16]  (s. 552). 10.11  x + a i + ( ? f + o A = 0 ,  a > 0 ,  /3 >  0  lub  / 3 < 0 . Równanie  to  zbadał   Z .  OSIŃ SKI  w  pracy  [27]. P odan o  rozwią zanie  metodą mał ego  parametru  (/? —  mał y  parametr)  w  I I  przybliż eniu. Rozwią zanie  w  I  przybliż eniu  ma  postać * ,  = cos (Xt+O), gdzie  a Q   i  6 są   am p lid u d ą   i  fazą   począ tkową,  a l =  \ f  —b/ Za, to rozwią zanie jest oscylacyjne  i okresowe. Jeż eli u 0   ^ .b/ Za, to  rozwią zanie  jest  nieoscylacyjne. D la  w„  =   —b\ 2a  otrzymujemy  ruch  nieoscylacyjny  ze  stał ą   prę dkoś cią. W  odniesieniu  do  oznaczeń  równania  wyjś ciowego  obszar  warunków  po- •   Rys.  30 Rys.  31 czą tkowych  x 0 ,  x 0 ,  dla  których  istnieją   rozwią zania  oscylacyjne  i  okresowe, został  zakreskowany  na rys.  31. Rozwią zania nieoscylacyjne  odpowiadają   obszaro- wi  niezakreskowanemu  oraz  punktowi  (0, 0)  (rozwią zanie  trywialne). N a  zakoń czenie  przedstawiamy  krótki,  syntetyczny  przeglą d  równań  w  po- staci  tablicy  1 z podkreś leniem  problemów  zbadanych i takich, które —  zdaniem autora  —  należ ał oby  zbadać. Tabela  1 T yp  równ an ia Wł asnoś ci  zbadane Wł asnoś ci,  które  należ ał oby  zbadać 1.  x+R(x,x)  -   0 2.  x  +R(x,x)+S(x)  = RG (Rozwią zanie gasną ce) Ograniczonoś ć,  charakter pun ktu oso- bliwego  dla  charakterystyk  rosną cych wraz  z  x  i  x  i  an ty symetrycznych. Równania  trajektorii  fazowych  w  po- staci zamknię tej dla szczególnych przy- padków. Wpł yw  funkcji  R(x,  x)  na  charakter rozwią zań.  Kryteria odpowiadają ce  ru - ch om  okresowym,  gasną cym  it p. Ograniczoność  i  naprzem ienność dla in n ych  charakterystyk. Typ  równania Wł asnoś ci  zbadane Wł asnoś ci,  które  należ ał oby  zbadać Sformuł owano  równania  ruchu w  szczególnych  przypadkach  ru ch u wahadł a  i ruch u  po  prowadnicy. Rozwią zanie  równań  ru ch u  i  analiza przypadków  mają cych  zastosowan ie tech n iczn e. 3.35  +R(x,x)  +S(x)  =•   0  G dy  R(x, x)  =*f(x,x)x,  twierdzenie  Warun ki  istnienia  rozwią zań  okreso- R O (Rozwią zanie  okresowe) o  istnieniu  co  najmniej  jednego  roz- wią zania  okresowego;  gdy  R(x,x)  «• =  f(x,  &),  twierdzenie  o  istnieniu  je- dnego  rozwią zania  okresowego- wych w  przypadku,  gdy  funkcja  R(.x, x) m a  inną  postać. 4 . 3  +R(x, x) +to>x  -   0 R G D la R(x,  x) +  W(x)(P(«) charakter pun k- tów  osobliwych  oraz  zagadnienia  n a- przemiennoś ci  dla  charakterystyk  szty- wnych.  Rozwią zano  przypadek  szcze- gólny  tarcia  suchego  proporcjonalnego do przemieszczenia. N iektóre szczegól- ne  przypadki  maja  rozwią zanie  ś cisł e. Analiza  jakoś ciowa  "w  przypadku ogólniejszych  zał oż eń  dla  R(x,x).  N a- przem ienność  przy  in n ych  charaktery- stykach .  Rozwią zanie  w  szczególnych przypadkach  mają cych  zastosowanie tech n iczn e. 5.ś"  +R(x,x)  +a'x  =•   O  D la  funkcji  R(.x,x)  =   .  HJIHnOBj  JJocmamonnue ycAoeun  cyiaecmeasamlx ycmoimu&ozo  npedejibnozo  ifUKjia djiH  ypaenenuH  emopoeo  nopnÓKa,  MaT.  C6opHHi<3 T . , 30  (72), N° 11, 30 (1952), 172. [14]  R.  G U TOWSKI,  Free vibration of  a  system of  one degree  of freedom with  nonlinear  elastic characteristic,  taking  into  consideration  linear viscous  damping,  Arch.  M ech.  Stos.,  9  (1957). [15]  B.C .  HBAHOB,  OóocHOeaiMe  OÓHOU  zunomesu Van  der Pola  e  meoptlu  aemoKOjieBaHuii, yie n kie  3anHCKH., J l . r . y.  C .M .H .  10, 1940,  111- 119. [16]  E .  KAM KE,  Differentialgleichungen,  L osungsmethoden  mid  L b'sungen,  Leipzig  1951. [17]  G .  KRALL,  Dinamica ed aerodinamica  dei fill,  I I I . Probierni  non lineari  della  vibrazioni. visibili,  Rend.  Ace.  N az. Lincei,  5,  8  (1948),  197- 203. [18]  N .  LEVIN SON ,  O. K.  SM I TH ,  A  general equation  for  relaxation oscillations,  D uke  M ath. J, ,  9  (1942),  382- 403. [19]  A.  LIEN ARD ,  Etude  des  oscilations  entretenues,  Revue  G en. de  1'Electricitś,  23  (1928), 901- 946. [20]  J l . r .  JIOftllbflHCKHft,  A. H .  JlyPH E,  Kypc  meopemunecKou  MexanuKU,  MocKBa  1948. [21]  G .  M ALQARIN I,  Studio  asintotico del  moto d'un  oscilatore  elastico  con  resistanza  di  tip subviscoso,  Rendiconti  Instituto  Lombardo,  86  (1953). [22]  I . L.  MASSERA,  Sur un  theorhne  de G.  Sansone  sur I'equation  de L ienard, Boll.  U n .  M at. I tal.,  3,  9  (1951),  367- 369. [23]  I . L.  MASSERA,  Sur un  theoreme  de G.  Sansone  sur I'equation  de L ienard,  Boll.  U n .  M at. I tal.,  ser.  3,  9  (1951),  367. [24]  F .  M I L N E ,  Oregon  Publication,  2,  1923. [25]  B.B.  HEMblUKHH, B.B.  CTEIIAHOB,  Kanecmeetman  meopu/ i duf/ icJJepeHifuasibHux  ypae- nemiii s   MocKBa  1950. [26]  Z .  OSIŃ SKI,  Kryteria  naprzemiennoś d  ruchu drgają cego  ukł adu  o jednym  stopniu swobody z  nieliniową   silą   sprę ż ystą i  nieliniowym  tł umieniem,  Zagadnienia  D rgań  N ieliniowych,  Warsza- wa  1961. [27]  Z .  OSIŃ SKI,  Drgania  ukł adu  o jednym  stopniu swobody  przy  tł umieniu  nieliniowym,  Roz- prawa  doktorska,  Warszawa  1959. PRZEGLĄ D   N IELIN IOWYCH   RÓWNAŃ   RÓŻ NICZKOWYCH   DRGAŃ   UKŁADÓW  AUTON OMICZN YCH   35 [28]  Z .  OSIŃ SKI,  O  naprzemiennoś ci  ruchu przy  pewnym  tł umieniu nieliniowym, R ozpr.  I n ż yn ., 2,  8  (1960). [29]  Z .  OSIŃ SKI,  W pł yw  tarcia  suchego  na  ruchy  drgają ce  ukł adów  mechanicznych,  Arch t Bud.  M asz.  1,  7  (1960.) [30]  B.  VAN   DER  P O L ,  T he  non- linear  theory  of  electrical  oscillations, P roc.  I n st.  Radio  Eng.,. 22  (1931),  1051- 1086. [31]  B.  VAN   DER  P O L , Sur  les  oscillations de relaxation,  P h il.  M agazine, 2,  7  (1926), 978- 992. [32]  R.  REISSIO,  Ober die Eindeutigkeit gemisser Relaxatians- schwingimgen,  Z . ang. M at h .  M ech ., 7/ 8,  38  (1958). [33]  R.  REISSIO,  Selbsterregung  eines einjachen Sckwingcrs,  M ath .  N ach r.,  3,  15  (1956). [34]  G .  SAN SON E,  Equazioni  differenziali  el  campo  reale,  1949. [35]  G .  SANSONE,  Sopra  Vequazione di  L ienard  delie  oscillazioni  di  rilassamento, An n .  M at . pura  ed  app.,  4,  28  (1949), 153- 181. [36]  G .  SAN SON E,  Soluzioni periodiche  dell'equazione  di L ienard, Calcolo  del periodo, R en d. Sem . M at.  U niv. P olit.  Torin o,  10, 1950- 51. [37]  G .  SAN SON E,  Soluzioni periodiche  dell' equazione di L ienard, R end.  Sem. M at . U n iv.  P olit. Torin o,  10  (1950- 51), 155- 71. [38]  G .  SAN SON E,  Sopra  una  classe  di  equazioni di  L ienard prive  di  integrali  periodici,  R en do. AC C .  N az.  Lincei,  8,  6  (1949),  156- 160. [39]  G .  SANSONE,  R.  C ON TI ,  Equazioni  differenziali  non  lineari,  Roma  1956. [40]  H .  SCH OLZ,  Ober  die  L osung  des  Anfangsproblems  y+Ay+2Bys,  y(0) =   y D , j>(0) =  j ' 0 > Osterreichisches  Ing.- Archiv,  2,  Wien  1961. [41]  G .  SESTIN I,  Valutazione  asintotiche per  una  problema  della  dinamica non—lineare,  Qua- derno  sc.  del  Conv.  M atem ,  di  M odena,  1952,  M odena  1953, 63- 78. [42]  W. W.  STIEPAN OW,  Równania  róż niczkowe,  P WN ,  Warszawa  1956. [43]  K.  SZPU N AR,  O  równaniu  róż niczkowym  d2xjdt- \ - a(dxjdtyĄ - bx=Q,  Zeszyty  N aukowe Akademii  G órniczo- H utniczej,  n r  25,  Kraków  1959. [44]  K.  SZPUN AR,  Drgania  swobodne ukł adu  o jednym  stopniu  swobody  przy  silnie  nieliniowym tł umieniu, Zeszyty  N aukowe  Akademii  G órniczo- H utniczej,  n r  28,  Kraków  1961. [45]  F . A.  WI LLER S,  Zeitschrift  fur  I n strum en ten kun de,  53  (1933),  501- 506. [46]  S.  ZIEM BA,  F ree  vibration  with  damping of  marked non—linear  character,  Arch .  M ech . Stos.,  5,  9  (1957). [47]  S.  ZIEM BA,  Drgania sivobodne przy  uiozglę dniemu  mikroodksstalceń plastycznych,  Z agadn ie- nia  D rgań  N ieliniowych, P WN ,  Warszawa  1961. [48]  S.  ZIEMBA,  Free vibration of systems  of  one  degree of freedom  zvith  non- linear elastic characte- ristic and  non- linear viscous- type  damping, Arch.  M ech .  Stos.,  2,  10  (1958). [49]  S.  ZIEM BA,  Vibrations  of  mechanical systems  with  one  degree of  freedom, and generalised forces  not  depending  in  an explicit  vianner on time, Arch.  M ech.  Stos.  5,  10  (1958). [50]  S.  ZIEM BA,  Analiza  drgań ,  Warszawa  1957. P  e  3  io  M e  . 0B30P  HEJIHHEHHBIX flH *tt>EPEH Li;H AJIBH LIX yPABH EH H ft  KOJIEBAH H jł ABTOHOMHLIX  CHCTEM   C OflH Ofi  CTEIIEH LIO CBOBOflLI B  paSoTe  AaeicH   o63Op  cOBpeineH H oro  COCTOH H H H   HccjiefloBaHHH   B  o6jiacTH flH (f)(J>epeH miaiu,H fcix  ypaBH eH H ii  KOJie6aHHH   aBTOHOMHLrx  cH crem  c  OH H OH   cTeneH Bio  C BO - 6O H Ł I .  O 63o p  ocHOBaH   Ha  aH ajin3e  5 0 - H   SirojiH orpacfiirqecKH X  H C T O I M H K O B ,  yKa3aH ret.ix B  paG oTe.  YpaBHeHHH   pa3fleJieH bi  Ha  11  r p yn r r ,  n p m e M   pa3fleji  H a  r p yr n r bi  BLrreK aei  H 3 ftj  KacawmHXCH   yn p yr o ń  xapaKTepiicTH KH   H   xapaKTepH clH KH   3aTyxaH H H .  P a c - npeanojiojKeH H H j  rapaH TH pywm H e  cyiqecrBOBaH H e  aBTOKOJieSaHHii  n 36  Z .  OSIŃ SKI rapaiiTiipyroiH H e  3aTyxaiin e  pein eH iriŁ  AH ajiM iipyeTM   37  ypaBH eH iiii  H JI H   S O I I H I Ka>Kfloro  Tł ina  ypaBneH H H  flaioTCH  ocHOBHbie Teopeiwbi,  Kacaiom iiecn  noBefleiiH H   pen ieH H ii, p eo leH H a  I I irpH6jin>KeHHfeie  penieH H H 3  ecHH   TaKOBbi  iM Becrabi,  3aiwe*iaHira  o  C BOH C T- Bax  3 B H H « H K H   H  o  npHMSHSHKHX K  TexmraecKH M   3afla^aM .  B  Kâ KflOM   c n y^ a e  yxaaaH bi  n epBO- I I C TO^H H KH . B  3aKJiio^eH H e  npiiBOflH Tca  Taojii- ma  c  K P ST K H M  cHHTeTH^ecKHM  o63opoM   r p yn n rzę e  noflqepKH BaioTcH   y>Ke  H ccjieflosaH H bie  3ap,amt 3   a  Taioi- ce  TC ,  KOTOpwe  HeoSxoflHMO S u m m a r y SU RVEY  ON   N ON - LIN EAR  D I F F E R E N T I AL  EQU ATION S  OF   T H E  VIBRATION S OF   AU TON OM OU S SYSTEM S  WI T H   ON E  D EG REE  OF   F R ED OM A  survey  is  given  of  the  recent  investigations  cencerned  with  non- linear  differential  equa- tions  of  vibrations  of  autonomous  systems  with  one  degree  of  freedom.  Fifty  papers  from th e  relevant  literature  of  the  subject  are  reported.  The  equations  considered  are  subdivided in to  eleven  groups  according  to  th e assumptions  concerning the elastic  and damping  character- istics.  Also  the  assumption  assuring  the  existence  of  selfexcited  vibrations  is  distinguished from  those  assuring  t h e  attenuation  of  th e  solutions.  I n  all,  37  equations  of  various  types are  analysed. T h e  fundamental  theorems  concerning t h e  behaviour  of  the  solutions,  the  exact  solutions  or th e  approximate  ones,  remarks  on  th e  properties  of  motion  and  on  the  application  in technical problems  are  given  for  each  type  of  the  equations. T h e  table  at t h e  end  of  the paper  contains a short synthetic survey  of  the groups  of  differential equations, special emphasis being laid on such problems as have already been investigated;  problems t o  be  tackled  have  also  been  mentioned. Praca  został a  zlo&ona  w  Redakcji  dnia  2  paź dziernika  1962  r-