Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS63\mts63_t1_z1.pdf


M E C H AN t K A
TEORETYCZN A
I  STOSOWAN A

1,  1 (1963)

BADANIE  WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH  NIEKTÓRYCH   TWORZYW SZTUCZNYCH

AN D R Z EJ  W I L C Z Y N S K I  (WARSZAWA)

1.  Oznaczenia

A  a m p lit u d a  drgań ,
A(a)  funkcja  rozkł adu  wł asnoś ci  czasowych,

A*,  A?  stał e,
a  wielkość  stał ego  naprę ż enia,

a
t
  stał a  materiał owa,

B*,B?  st ał e,
b  p r ę d ko ść  n arast an ia  n a p r ę ż en ia,

bj  st ał a  m ateriał owa,

O,  '- 'o> ' •' #   st ale,
c  a m p lit u d a  n ap rę ż en ia  u m o wn e go ,

D*,  E*  st ał e,
E  m o d u ł   Yo u n ga,

F
o
  sił a  obcią ż ają ca  ł a ń c u ch  czą stek,

e(a),  cx(e)  zależ n ość  p o m ię d zy  o d kszt ał cen iem  a  o bcią ż en iem  n i e -
zależ na  od  czasu,

G,  G*  st ał e,
h  liczba  n a t u r a ln a  >  1,  wielo kro t n o ść  x

0
  —  hx  w  r o zkł a -

dzie  G au ssa,
K„(x)  zm odyfikowan a  fun kcja  Bessela  r zę du  n,

k  st ał a  Bo lt zm an n a,
L   liczba  L o sc h m id t a ,
/   liczba  st o p n i  swobody  u kł a d u ,

m  liczba  zwią zków  doś wiadczaln ych,
N   liczba  aktywn ych  ł ań cu ch ów  czą steczek,
w,  liczba  jed n o st ek  m o n o m e r u  w  czą steczce  t wo rzywa,
ni  czę stość  obserwowan a,
n

t
  czę stość  t eo ret yczn a,

n
0
  ś r ed n ia  liczba  wią zań  c h em ic zn yc h  w  czą st eczce,

p  czę stość  zm ian y  obcią ż en ia,
p(%

2
,  1)  p r a wd o p o d o bień st wo  o d c h ylen ia  p r zyp a d ko we go ,



76  A.  WlLCZYŃ SKI

q  —  1 — M/ Mo  stopień  polimeryzacji,  gdzie M  oznacza liczbę jednostek
spolimeryzowanych,  a  M

o
  ogólną  liczbę  czą stek  przed

polimeryzacją,
f,  n  bł ąd  ś redni,  bł ąd  przypadkowy,

T   tem peratura  w  skali  Kelvina,
t  czas,

x  wartość  spodziewana  zmiennej  \ x\ ,
x

t
  zmienna  standaryzowana,

z,  z
a
,  z

s
  am plituda  drgań  tł umionych,

siy,  c i y  sinus  i  kosinus  cał kowy  wielkoś cią,

H,... ,t  pochodna  rzę du  j  wzglę dem  zmiennej  t,
a  stał a  czasowa  materiał u,  odwrotność  czasu  sprę ż ystego

nastę pstwa,
/?  moduł   logarytmu  stopnia  polimeryzacji,
f  miara  tł umienia,
y  stał a  Eulera,

y#> ónc  przesunię cie  fazowe,
e  cał kowite  odkształ cenie  jednostkowe,

e*  odkształ cenie peł zania,
e0  odkształ cenie  natychmiastowe,
e*  odkształ cenie  umowne,  natychmiastowe,
£  współ czynnik  tł umienia,
rj  współ czynnik  lepkoś ci,

6 (A)  prawdopodobień stwo pę knię cia ł ań cucha  czą steczek,
• 3-  czas,
i  wielokrotnoś ć,  ilość  wią zań  chemicznych  w  jednostce

monomeru,
x  współ czynnik,

/ l(ct), / l(n )  gę stość  prawdopodobień stwa  rozkł adu  wł asnoś ci  cza-
sowych,

% =  1 + e  wydł uż enie  wzglę dne,
[i  miara  rozrzutu,
v  odchylenie  ś rednie,

S(x)  rozkł ad  gę stoś ci  prawdopodobień stwa  zmiennej  x,
7t(ri)  rozkł ad gę stoś ci  prawdopodobień stwa  zmiennej cią gł ej n,
7i(X)  gę stość  prawdopodobień stwa  niepę knię cia,

T  okres  drgań  tł umionych,
a  naprę ż enie  rzeczywiste,

er*  naprę ż enie  umowne,
0(x)  cał ka  prawdopodobień stwa,

funkcja  historii  obcią ż enia,
X  logarytmiczny  dekrement tł umienia,
Q  pole  powierzchni.



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H   T WO R Z YW  SZ TU C Z N YC H   77

2.  Wstę p

Okres  ubiegł ych  trzydziestu  lat  charakteryzuje  znaczne  wzbogacenie  asor-
tym en tu  materiał ów  konstrukcyjnych.  Róż norodne  i  powszechne  zastosowanie
w  wielu  dziedzinach  techniki  zyskują   materiał y o  szczególnych  wł asnoś ciach
fizykalnych  i  mechanicznych,  odmiennych  czę sto  od  wł asnoś ci  klasycznych
materiał ów  konstrukcyjnych.  Szereg  cech  indywidualnych  wyodrę bnia  wś ród
tych  materiał ów  grupę   tworzyw  o  ł ań cuchowej  budowie  czą steczek.  C elem
naszej  pracy  jest  przeprowadzenie  próby  okreś lenia  pewnych  wł asnoś ci  tych
tworzyw  na  drodze  teoretycznej.

Jednym  ze  sposobów  okreś lenia  wł aś ciwoś ci  badanego materiał u jest  podanie
analogii  pomię dzy  zachowaniem  się   tego  materiał u  a  zachowaniem  się   innego
znanego  materiał u lub  ukł adu, wykazują cego  podobn e  wł aś ciwoś ci.  Jest  kwestią
umowy,  jakie  zwią zki  ma  odtwarzać  tego  rodzaju  model  mechaniczny.  D la
przykł adu  M.  REIN ER  [1] podaje  zwią zki  zarówno pomię dzy  tensorem naprę ż enia
i  odkształ cenia, jak  i  pomię dzy  dewiatorami  tych  wielkoś ci,  traktują c  je  jako
prawa równorzę dne. A.  R.  RŻ AN ICYN   [2] rozważa  zwią zki  pomię dzy n aprę ż en iem
a  odkształ ceniem,  podczas  gdy  ALF REY  [3]  bada  jedyn ie  zależ noś ci  pomię dzy
dewiatorami  naprę ż enia  i  odkształ cenia  i  uzasadnia  fizycznie  sł uszność  takiego
postę powania.  O  ile  jednak  w  trójosiowym  stanie  obcią ż enia  może  być  kwestią
dyskusji,  ze  wzglę du  na  brak  danych doś wiadczalnych, jakie  zwią zki  powinny
odtwarzać  modele  mechaniczne,  to  w  jednoosiowym  stanie  obcią ż enia  chodzi
zawsze o zwią zki  pomię dzy  naprę ż eniem i odkształ ceniem, co do czego  są   zgodn i
autorzy  cytowanych  prac  [1, 2, 3],

W  pracy  postaramy  się   ustalić  na  drodze  teoretycznej  zależ ność  pom ię dzy
naprę ż eniem,  odkształ ceniem  i  czasem  przyjmują c  do  rozważ ań  przesł an ki,
wynikają ce  ze  struktury  fizycznej  tworzyw  o  ł ań cuchowej  budowie  czą steczek
oraz  z  pewnego  ukł adu  modeli  mechanicznych  ciał a  stał ego.

W  pracy  uż ywać  bę dziemy  term in u  «sprę ż yste  n astę pstwo*  okreś lając  n im
zjawiska,  wywoł ane  wpł ywem  czasu  bą dź  na obcią ż enie,  bą dź  też  na odkształ ce-
nie,  czyli  zjawiska  relaksacji  i  opóź nienia  sprę ż ystego.

W  czę ś ci  koń cowej  pracy  dokonane  zostanie  porównanie" wyników  teore-
tycznych  z  doś wiadczalnymi,  wykazują ce  stosowalność  proponowanych  zależ -
noś ci  i  wyrywkowo  sprawdzają ce  sł uszność  teorii.

3.  Z ależ noś ci  podstawowe.  M odele  mechaniczne  ciał a  stał ego

M odelem  mechanicznym  nazywamy  ukł ad  pewnej  liczby  elementów  poł ą -
czonych  w  odpowiedni  sposób,  obrazują cych  wł asnoś ci  sprę ż ystoś ci,  lepkoś ci
i  plastycznoś ci.  Ze  wzglę du  n a  specyfikę   rozważ anych  materiał ów  ograniczono
się   w  pracy  do  modeli  nie  wykazują cych  zjawisk  plastycznoś ci.  U zyskan e
wyniki  koń cowe  odpowiadają   pewnemu  nieliniowemu  modelowi  ciał a  lepko—
sprę ż ystego.



78  A .  WlLCZYŃ SKI

N ajbardziej  ogólną  zależ ność  reologiczną  pomię dzy  obcią ż eniem  a odkształ -
ceniem  w  jednoosiowym  stanie  obcią ż enia  moż na  przedstawić  w  postaci:

(3.1)  ES
Jeż eli  wielkoś ci  a

t
> bj  są  funkcjami  zależ nymi  jedynie  od  czasu  lub  stał ymi,

równanie  (3.1) jest  liniowe,  natomiast jeż eli  zależą  one  również  od  naprę ż enia
lub  odkształ cenia,  równanie  staje  się  nieliniowe.  Zazwyczaj  jednak  wielkoś ci
a- „  bj  traktuje  się  jako  stał e  materiał owe, a  co  za  tym  idzie,  równanie  (3.1) jest
liniowe.  N ależy  jednak  zaznaczyć,  że  równanie  (3.1)}  nawet  w  przypadku
stał ych,  współ czynników  a

t
, bj  jest  jedynie  asymptotycznie  liniowe  dla  e  - »•   0.

Wynika  to  z  faktu,  że  naprę ż enie  rzeczywiste  a,  odniesione  do odkształ conego
pola  przekroju,  jest  funkcją

o  =  R(o*
)
e),

speł niają cą  warunek
limi?(ff*,  e) =   o- *,
«- *0

wobec  czego  dla  e  ^  0  współ czynniki «,-,  bj są  w  wyniku  zależ ne  od  odkształ -
cenia.

M odelami  mechanicznymi  rzą dzą  zależ noś ci  analogiczne  do  (3.1),  jednak
wskaź niki  przybierają  skoń czone  wartoś ci:  i,j  =  0,  1,  . . . , k;  ze  wzglę dów
praktycznych  przyjmuje  się  zazwyczaj  k  <  2.

P ewnym  dalszym  uogólnieniem  zagadnienia  jest  zasada superpozycji  Boltz-
m an n a,  którą  moż na  zapisać  w  postaci

t

(3.2)  e(t) =   e(er) +   /   a(p)W {t- &)  d&
o

przy  zał oż eniu, że  materiał  został   obcią ż ony w  chwili  t  =   0.  N ależy  tu  wyraź nie
zaznaczyć, że  zwią zek  (3.2) nawet w  przypadku  funkcji  liniowej  e(a) jest jedynie
asymptotycznie  liniowy  z  powodów  omówionych  w  uwagach  do  równania
(3.1).  F unkcję  W  okreś la  się  jako  funkcję  historii  obcią ż enia,

W  przypadku  szczególnym  dla

zależ ność  (3.2)  przedstawia  zachowanie  się  modelu standardowego  ciał a stał ego
pod  wpł ywem  obcią ż enia  a. Wielkość  a jest  tu  odwrotnoś cią  czasu  sprę ż ystego
nastę pstwa;  okreś la  się  ją  jako  stosunek  moduł u  Younga  do  współ czynnika
lepkoś ci  elementów  wystę pują cych  w  modelu  mechanicznym.  Przypadkowi
ogólniejszemu  odpowiada  funkcja  historii  obcią ż enia  w  postaci

(3.3)  y ( £ - #)

gdzie  a
t
  są  dowolnymi  współ czynnikami.



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H  T WO R Z YW  SZ TU C Z N YC H   79

Jak1  wykazał '  RŻ AN ICYN   [2],  zależ ność  (3.2)  z  funkcją   historii  obcią ż enia
w  postaci  (3.3) speł nia równanie  (3.1). W  przypadku  szczególnym,  jeż eli  funkcja
e((j) jest  funkcją   liniową ,  to  równanie  (3.2)  okazuje  się   równoważ ne  równaniu
(3.1)  ze  stał ymi  (dla  e  - +  0)  współ czynnikami.

Interpretacją   mechaniczną   równania  (3.2)  jest  model  zaproponowany  przez
T ,  ALFREYA  [3],  skł adają cy  się   z  nieskoń czonej' liczby  poł ą czonych  szeregowo
modeli  standardowych  ciał a  stał ego.

Badania przeprowadzone  przez  ALFREYA  [3] i wielu innych badaczy  wykazał y,
że  nie  moż na  dokł adnie  odtworzyć  wł asnoś ci  ciał   rzeczywistych  za  pomocą
pojedynczego  modelu.  Jest  to  zresztą   intuicyjnie  oczywiste.  Celem  dalszych
poszukiwań  może być  wię c jedynie  model mechaniczny  skł adają cy  się   z  pewn ej,
najlepiej  nieprzeliczalnej  liczby  modeli elementarnych, z których każ dy  wykazuje
pewne  wł asnoś ci  ciał a  badanego.

Przybliż ając  wyraż enie  (3.3)  za  pomocą   cał ki  moż emy  napisać

W (t—d)  =   J  A(a)e- "(t- 9>da.
o

M oż na  też  przedstawić  funkcję   (3.3)  inaczej,  co  w  obliczeniach  praktyczn ych
okazuje  się   dogodniejsze.  Mają c  mianowicie  pewien  rozkł ad  prawdopodobień -
stwa  wystę powania  stał ych  sprę ż ystego  nastę pstwa  w  materiale  tworzywa
A(a),  moż na  poszukiwać  funkcji  historii  obcią ż enia  jako  wartoś ci  spodziewa-
nej  wyraż enia

E

wzglę dem  funkcji  rozkł adu prawdopodobień stwa  A(a).  Otrzymuje  się   w  takim
przypadku

(3.4)

Zwią zek  (3.4)  jako  kombinacja  liniowa  funkcji  exp  [—a(t—# )]  m a  takie
same  wł asnoś ci  jak  zwią zek  (3.3),  to  znaczy,  zależ ność  (3.2)  z  funkcją   historii
obcią ż enia  (3.4)  speł nia  równanie  (3.1).  Wyraż enie  funkcji  historii  obcią ż enia
w  postaci  (3.4)  uż ywane  bę dzie  w  dalszych  rozważ aniach.

Pozostaje  do  wyjaś nienia  interpretacja  fizyczna  zależ noś ci  (3.2).  Z godn ie
z  ALFREYEM   [3]  omawiana  zależ ność  po  wprowadzeniu  funkcji  h istorii  obcią -
ż enia,  podanej  zwią zkiem  (3.4),  przedstawia  zachowanie  się   nieprzeliczalnego
zbioru  modeli  mechanicznych  ciał a  stał ego  pod  obcią ż eniem  <r. Z  kolei  je d e n
model  mechaniczny, jak  to.wyraź nie  wykazuje  ALF SEY  [3], odpowiada  przyję ciu
pewnego  prawa  pł ynię cia  materiał u,  którego  najprostszym  przykł adem  jest
model  cieczy  N ewtona,  skł adają cy  się   z  liniowego  tł um ika  h ydrau liczn ego.
Wobec  tego  wzór  (3.2)  z  funkcją   historii  obcią ż enia  podaną   przez  (3.4)  przed-
stawia  pł ynię cie  materiał u  utworzonego  z  nieprzeliczalnej  iloś ci  elem entów,



80  A.  WILCZYŃ SKI

których  pł ynię cie jest  okreś lone  prawem  wynikają cym  z  wł asnoś ci  fizycznych
m odelu  stan dardowego.  M oż na wię c  stwierdzić,  że wzór  (3.2) z funkcją   historii
obcią ż enia  (3.4) oddaje  zachowanie  się  ciał a rzeczywistego  z taką   dokł adnoś cią,
z  jaką   m odel  stan dardowy  przedstawia  prawo  pł ynię cia rozważ anych  tworzyw.

Badają c  równowagę   jednego  ł ań cucha  czą stek  tworzywa  pod  stał ym  obcią -
ż eniem  sił ą   F

o
  i  zakł adają c jego  powolny  ruch w  otaczają cym  oś rodku  liniowo

lepkim  o  współ czynniku  lepkoś ci  r]
0
 oraz  wprowadzają c  liniową   zależ ność po-

mię dzy  odkształ ceniem  i  sił ą   otrzymuje  się   zwią zek

F
o
  =  sE

0
+7]

0
8

t
e.

P rzez  E
o
  oznaczono t u  współ czynnik  sprę ż ystoś ci  ł ań cucha  czą stek.  Wprowa-

dzają c  liczbę   ł ań cuchów  wystę pują cych  w  jednostce  powierzchni  i  wyraż ając
sił ę   przez  n aprę ż en ie  moż na  napisać

(3.5)  a
o
=eE

o
+r}

o
8,e.

Zwią zek  (3.5) jest  identyczny  ze zwią zkiem  opisują cym  zachowanie się  modelu
stan dardowego  pod  dział aniem  stał ego  obcią ż enia.  N a  tej  podstawie  moż na
stwierdzić,  że model standardowy  ciał a stał ego dobrze przedstawia odkształ cenie
tworzyw  o dł ugich i  poplą tanych ł ań cuchach  czą stek;  moż na wię c  przypuszczać,
że  z  podobną   dokł adnoś cią  zależ ność  (3,2) z  funkcją   historii  (3.4) przedstawia
zachowanie  się   tworzywa  rzeczywistego  pod  warunkiem  takiego  dobrania
funkcji  A(a)  i  s{a)

y
 aby odpowiadał y  one zwią zkom  rzeczywiś cie  wystę pują cym

w  m ateriale.  T rzeba  wię c  okreś lić  funkcje  A{a)  i  e{a) stosownie  do  budowy
fizycznej  m ateriał u.

P rzy  zał oż eniu nieś ciś liwoś ci  materiał u i po pewnych  dalszych uproszczeniach
fizycznych  moż na  funkcję   e(c),  przedstawiają cą,  czę ść  sprę ż ystą   odkształ cenia
cał kowitego  i  niezależ ną   od czasu,  ł atwo  otrzymać  z  zależ noś ci  W. Kuhn a  [4]
w postaci

(3.6)  o(e)

gdzie  funkcja  <x(e)  jest  funkcją   odwrotną   wzglę dem  funkcji  e(a).
Z ależ ność  (3.6),  jakkolwiek  uzyskana  przy  dość  duż ych  uproszczeniach

fizycznych,  je st —ja k  wykazuje  doś wiadczen ie—w  znacznej  mierze  zgodna
z  rzeczywistoś cią   nawet  dla wydł uż eń  wię kszych  niż  100 %, jeś li  tylko  wydł u-
ż enia  takie  mogą   wystą pić  w  rozważ anym  materiale.

Oznaczają c  kT L  =   E/ 3,  moż na  otrzymać  funkcję   odwrotną   wzglę dem
(3.6)  w  postaci

1 1 / 2 1 1 ' 3  f i  ("i  /   \311/2\1/S

)  { [ I ( ) ]  }
W  przypadku  bardzo  mał ych  obcią ż eń  zamiast  zależ noś ci  (3.6)  przyjmuje

się   zwią zek  liniowy
(3.8)  tf(e)  =   3kT L e.



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H  T WO R Z YW  SZ T U C Z N YC H   81

D efiniują c  odkształ cenie  zależ ne  od  czasu  jako
t

(3.9)  e*  =   /  o(# )W {t- O)d&
o

moż na  dla  mał ych  obcią ż eń  uzyskać  zależ ność  przybliż oną   przyjmują c,  że  n a-
prę ż enie  rzeczywiste  jest  równe  naprę ż eniu  umownemu

(3.10)  er(0) -   <r.(0)

bez  ż adnych  dalszych  zał oż eń i  uproszczeń.  D la obcią ż eń, przy  których  zwią zek
(3.10)  nie  może  być  stosowany,  należy  w  oparciu  o  budowę   fizyczną   rozważ a-
nego  materiał u  okreś lić  naprę ż enie  rzeczywiste  w  zależ noś ci  od  n aprę ż en ia
umownego,  czyli  ustalić  funkcję

(3.11)  a(0)  =  JR(a
m
).

W  pierwszym  przybliż eniu  moż na  przyją ć  niezmienność  obję toś ci  tworzywa
w  czasie  odkształ cenia,  co  prowadzi  do  zwią zku

(3.12)  a(ff) =  kx+(# ).

Przy  wyprowadzaniu  wzoru  (3.12)  nie  ma  potrzeby  postulowania  czegokol-
wiek  o  budowie  wewnę trznej  rozważ anego  materiał u. W  dalszej  czę ś ci  pracy
ustalona zostanie zależ ność  (3.11)  bez  zał oż enia stał ej obję toś ci  materiał u  w  cza-
sie  odkształ cenia.

4.  P odstawy  fizyczne  doboru  modelu

4. 1.  R ozkł ad  prawdopodobień stwa  wł asnoś ci  czasowych  tworzyw  o  budowie  ł ań cuch owej.

Wychodzimy  z zależ noś ci F lory  [5], okreś lają cej  prawdopodobień stwo  powstania
ł ań cucha  skł adają cego  się   z  n  czł onów w  postaci

U(n)  = « { ?
(

D efiniujemy  nastę pnie  wielkość  stał ej  ft  jako  moduł   logarytmu  stopn ia  poli-
meryzacji,  pomnoż ony  przez  liczbę   wią zań  chemicznych  w  monomerze  two-
rzywa  c

|8 =   |lo g?|t  przy  q  <  1.

Wprowadzają c  teraz  warunek  normalizacji  rozkł adu  prawdopodobień stwa
otrzymuje  się   dla  dostatecznie duż ych n funkcję   aproksymują cą   gę stość  prawdo-
podobień stwa  dł ugoś ci ł ań cucha  czą stek  w  postaci  prawdopodobień stwa  o  roz-
kł adzie  cią gł ym

(4.1)  A(n)  =  fPtur'\

W  celu  uzyskania  zwią zku  pomię dzy  dł ugoś cią   ł ań cucha,  okreś loną   liczbą   n
jego  czł onów  oraz  wł asnoś ciami  lepkimi  roztworu  takich  czą steczek  ł ań cu-
chów,  moż na przyją ć  zależ ność  H ugginsa  [6]  obowią zują cą   dla  n iezbyt  m ał ych
n  w  postaci

6  M ech an ika  t eo r et yc zn a



82  A.  WIŁCZYŃ SKI

(4.2)
D efiniują c  wreszcie  m oduł   Younga  jako  wartość  wyraż enia  podanego  przez
R.  H ouwin ka  [7]

(4.3)

w  pun kcie A  =   1, otrzymuje  się   wyraż enie  na moduł  Younga  w postaci

E  =  3kT L .

Wzór  t en jest  sł uszny  dla  L   elementów  tworzą cych  jednostkę   obję toś ci.  N ato-
m iast  dla  jednego  elementu  moduł   Younga  wynosi

(4.4)  E
o
  =   3kT .

Z a  pomocą   zależ noś ci  (4.2)  i  (4.4)  otrzymuje  się   wartość  stał ej  czasowej  roz-
waż anego  tworzywa  w  postaci

(4.5)

Jest  ona  równa,  wedł ug  znanych wzorów,  podanych  n p .  w  pracy  Alfreya  [3],
odwrotn oś ci  czasu  sprę ż ystego  nastę pstwa  w  prostym  modelu  mechanicznym
ciał a  stał ego.

N astę pn ie,  korzystają c  z  zależ noś ci  (4.1)  i  (4.5),  moż na  okreś lić  funkcję
(3.4)  jako

00

(4.6)  W {t—ff)  =  ^   § .  f
0 J

e x p  [_,§«_- 2l(i_

T u t aj  przyję to  wartość  spodziewaną   wzglę dem  rozkł adu  prawdopodobień stwa
(4.1)  dla  uproszczenia  nie  wprowadzają c  wyraż enia  (4.5)  do  (4.1).

4. 2.  N aprę ż en ie rzeczywiste  w  tworzywach  sztucznych  o  budowie  ł ań cuchowej.  Z n a ją c

n aprę ż en ie  um owne  moż na  wyznaczyć  wartość  naprę ż enia  rzeczywistego
bez  wprowadzenia  warun ku  stał ej  obję toś ci  materiał u w  czasie  odkształ cenia.
Wystarczy  w  tym  celu  okreś lić  naprę ż enie  dział ają ce  w  materiale  nie  w  od-
niesieniu  do  pola  przekroju,  lecz  do  liczby  ł ań cuchów biorą cych  udział  w  od-
kształ ceniu  i  znajdują cych  się   w  jednostce  pola  przekroju  obcią ż onego.

W  celu  wyznaczenia  liczby  aktywnych  ł ań cuchów  moż na  się   posł uż yć  gę -
stoś cią   prawdopodobień stwa  E  rozkł adu  dł ugoś ci  poszczególnych  ł ań cuchów
w  stan ie  wydł uż onym,  podaną   przez  KU H N A  [4]  w  postaci

(4.7)  JW—J*  - *ft)\
A\ T t

T u t aj  wprowadzono  oznaczenie



BAD AN I E  WŁ ASN O Ś CI  M E C H AN I C Z N YC H  T WO R Z YW  SZ T U C Z N YC H   83

przy  czym  n
0
 jest  ś rednią   liczbą   czł onów (wią zań) w jednej czą steczce  tworzywa.

Rozkł ad  (4.7)  jest  oczywiś cie  rozkł adem  G aussa.
W  czasie  odkształ cenia najbardziej  naraż one  na  pę knię cie  są   ł ań cuchy n aj-

silniej  wyprostowane.  Stą d  prawdopodobień stwo  pę knię cia  poddan ej  odkształ -
ceniu  próbki  moż na  okreś lić  jako

CO

(4.8)  0(A) =  ZJE(x)dx.

W  zwią zku  (4.8)  wielkość  x
0
  oznacza  pewną   dł ugość  ł ań cucha,  powyż ej

której  ł atwo  może  nastą pić  pę knię cie.  Jako  pewne  przybliż enie  tej  wielkoś ci
moż na  przyją ć  wielokrotność  wielkoś ci  spodziewanej  \ x\  wzglę dem  rozkł adu
(4.7)  wiedzą c,  że  zgodnie z rozkł adem G aussa tylko  niewielka  liczba ł ań cuchów
może  mieć  dł ugość  wię kszą   od  tak  zdefiniowanej  dł ugoś ci  x

B
.

Wykonują c  dział anie  w  (4.8)  otrzymuje  się   za  pomocą   cał ki  prawdopodo-
bień stwa  wynik

(4.9)  0 ( A) «1 - «( & • ).

Zależ ność  (4.9), jakkolwiek  dokł adna, jednak  ze  wzglę du  n a  swój  charakter
nie  nadaje  się   do  stosowania  w  praktyce.  Z  tego  powodu, należy  ustalić  zależ-
ność  przybliż oną.

P rawdopodobień stwo  niepę knię cia  materiał u okreś la  wzór

P rzy  wzroś cie  wydł uż enia  o  dX zmiana  tego  prawdopodobień stwa  wynosi

D la  dostatecznie  duż ych x
0
  oraz  wielkoś ci  A  niezbyt  odbiegają cych  od jedn oś ci

moż na  przyją ć  zamiast  (4.11)  wartość  przybliż oną

(4.12)

w  której  wprowadzono  oznaczenie

N astę pnie,  zgodnie  z  prawem  wielkich  liczb  Bernoulliego,  zmiana  liczby  ł ań -
cuchów  przenoszą cych  obcią ż enie  przy  zmianie wydł uż enia n a  podstawie  (4.12)
wynosi:

(4.14)  ^

6 *



84  A.  WlLCZYŃ SKI

Cał kowanie  równania  (4.14)  daje

(4.15)  N   =  C
1
e>- .

D la  n iezbyt  wielkich  odkształ ceń,  przy  A <  2,  rozwinię cie  X- 1  w  szereg
i  zachowanie  dwóch  wyrazów  tego  rozwinię cia  prowadzi  przy  warunku
począ tkowym  N (0)  =   N

o
,  do  zależ noś ci

(4.16)  iV  =   iVoe-
G E*.

Przyjmując  w  (4.16)  podobnie  jak  przy  wyprowadzaniu  zwią zku  (3.5)
pł yn ię cie  liniowe

de*  =   r]O*(t)dt

otrzym uje  się  ostatecznie  zależ ność

(4.17)  N =N
o
e-

Gl
"

r
\

gdzie  przez  a
0
  oznaczono  cał kę

(4.18)  tf„- / *• (*)*-

Wychodząc  nastę pnie  z  warunku  równowagi

a(t)N =  a*{t)N
0
,

otrzym uje  się  dla  naprę ż enia  rzeczywistego  wzór

(4.19)  a{t) =   <7*(*)«G*%

w  którym ,  korzystając  z  (4.2)  i  (4.13),  wprowadzono  oznaczenie

W  t en  sposób  ustalono  zwią zek  typu  (3.11), pozwalają cy  ostatecznie  utworzyć
zależ ność  rzą dzą cą  obranym  modelem  mechanicznym  za  pomocą  wzorów
(3,2),  (3.7),  (4.6)  i  (4.19).  Biorąc  pod  uwagę  fakt,  że  naprę ż enie  a> odniesione
do  jedn ostki  pola  powierzchni,  pozostaje  do naprę ż enia  xa

(l
,  obcią ż ają cego  jeden

ł ań cuch  czą steczek  w  tym  samym  stosunku  co  odpowiednie  moduł y  sprę ż ys-
toś ci  E  i  E

o
,  zależ ność  ta  przybiera  postać

(4.21)  e = £(oO+/32- r̂ j  [cr(# )exp  \ - pn- ^ - {t- {f
o  6   *-

p o  jedn okrotn ym  cał kowaniu  otrzymujemy

t

(4.22)  6 =  e(o)+2- Cjf  f
b
f
b

W  praktyce  jedn ak  okazuje  się  dogodniejsze  cał kowanie  najpierw  wzglę dem
• &,  a  n astę pn ie  wzglę dem  n.



BAD AN I E  WŁ ASN O Ś CI  M E C H AN I C Z N YC H   T WO R Z VW  SZ T U C Z N YC H   85

5.  Zastosowanie techniczne

5.1.  Technicznie waż ne rodzaje  obcią ż enia. W  rozważ an iach  t e c h n ic zn yc h  wyst ę pu ją
zazwyczaj  obcią ż enia  dają ce  się  wyrazić  lub  przynajmniej  aproksymować
prostymi  fukcjami.  N ajczę ś ciej  wystę pują  obcią ż enia  typu

(5.1)  a*  =   «,

(5.2)  *• - & *,
(5.3)  a*  — c cos  pt

lub  też  kombinacje  tych  funkcji.  W  przypadku  gdy  moż na  przyjąć  zależ ność
(3.10),  daje  się  także  zcstosować  zasada  superpozycji  i  wystarczy  poszukiwać
rozwią zań  oddzielnie  dla  poszczególnych  rodzajów  obcią ż eń,  a  n astę pn ie  je
sumować.  Postę powanie  takie  ma  jedynie  sens  w  przypadku  szczególnym
dla  e -> 0.

D rugie  ograniczenie  zwią zane  jest  z  funkcją  e(ff).  D la  dostatecznie  mał ych
odkształ ceń  moż na wprawdzie  obliczyć  wielkość  £„,, lecz  sumując  ją  z  odkształ -
ceniem  e(ff)  należy  to  ostatnie  obliczyć  bez  stosowania  zasady  superpozycji
lu b  też  zastą pić  e(a)  przez  zależ ność  liniową,  odwrotną  do  (3.8).  G dy  n aprę-
ż enie  rzeczywiste  róż ni  się  w  sposób  istotny  od  umownego,  należy  korzystać
z  zależ noś ci  (4.19)  bez  stosowania  zasady  superpozycji.  Zależ ność  (4.19)  wpro-
wadzona  do  równania  (3.9j  nie  daje  się  scał kować  bez  pewnych  uproszczeń .

Przy  poszukiwaniu  naprę ż enia  rzeczywistego  moż na  wykorzystać  fakt,
że  G*  <̂  1. Pozwala  to  na  ograniczenie  się  do  pierwszych  wyrazów  rozwinię cia
(4.19)  w  szereg.

D la  obcią ż enia  (5.1)  otrzymuje  się  w  ten  sposób  po  wykonaniu  dział ań  wzór

(5.4)  ff(fl- a(l+  © ««*).

Postę pując  podobnie  z  obcią ż eniem  okreś lonym  przez  (5.2)  otrzym am y

(5.5)  <r(*)  =

Wreszcie  dla  obcią ż enia  (5.3)  po  wykonaniu  cał kowania  w  (4.18)  i  uwzglę d-
nieniu  jedynie  pierwszych  dwóch  wyrazów  rozwinię cia  otrzymuje  się

(5.6)  a(t)  s=  ccospł llĄ  —  sin  pt).

5.2.  Male  obcią ż enia.  Zał oż ymy  obecnie,  że  przez  term in  «male  obcią ż enia*
rozumieć  bę dziemy  przypadki,  gdy  zachodzi  zwią zek  (3.10).

D la  odkształ ceń  natychmiastowych  (tak  okreś lamy  odkształ cenia,  które  —
z  pominię ciem  skoń czonej  prę dkoś ci  rozchodzenia  się  zaburzenia  w  tworzywie
—  moż na  uważ ać  za  niezależ ne  od  czasu)  wystarczy  do  speł nienia  (3.10)
przyją ć,  że  obcią ż enia  są  mał e  zgodnie  z  (3.12).  P rzy  uwzglę dnieniu  wpł ywu
czasu  na  wielkość  odkształ cenia  należy  dodatkowo  ż ą dać,  aby  czas  badan ia
zjawiska  był   dostatecznie  mał y.  Ogólnie  stwierdzić  moż na,  że  o  tym ,  czy  czas



86  A.  WlLCZYŃ SKI

trwan ia  zjawiska  jest  dostatecznie  mał y,  decyduje  wielkość  iloczynu  C
0
(3t.

K on kret n e  wartoś ci  graniczne  iloczynu  C
o
ftt  zostaną  podane  przy  weryfikacji

doś wiadczalnej  wyników  pracy.  P rzy  powyż szych  zał oż eniach  moż na  wprowa-
dzając  zwią zek  (4.6)  do  (3.9) dla  obcią ż eń  (5.1),  (5.2) i  (5.3) okreś lić  wiel-
kość  e # .

D la  obcią ż enia  okreś lonego  przez  (5.1) otrzymuje  się

(5.7)  e#  ~ y[ l- 2( C. < )«:, ( 2l/ c3)],

gdzie  wprowadzono  oznaczenie

(5.8)  C
m
 =  C oiS.

D la  obcią ż enia  okreś lonego  zależ noś cią  (5.2)  otrzymujemy

(5.9)  e
m
  -

gdzie  jak  poprzedn io  wprowadzono  oznaczenie  (5.8).
P ostę pując  w  analogiczny  sposób  dla  obcią ż enia  (5.3) nie  moż na  okreś lić

wielkoś ci  e #   w  sposób  ś cisł y.  Otrzymuje  się  wartość  przybliż oną  w  postaci

(5.10)  e* =   A**mpt+B
#
ca&pt-   ~

gdzie  wprowadzon o  oznaczenia

Ł atwo  zauważ yć,  że ostatni  wyraz  w zwią zku  (5.10)  dla dostatecznie  duż ych
czasów  staje  się  pomijalny.

5.3.  Wyraż enie  jasymptotycrne  jdlal  mał ych  [obcią ż eń.  [Biorąc  pod uwagę  zależ ność
(5.7)  oraz  przyjmując  wyraż enie  asymptotyczne  na funkcję  K

2
(2]/ C

m
t)  przy

t  - * oo,  otrzymuje  się dla duż ych  czasów

(5.13)  £ #   =  | -   [ l - l / ^ C * * )
8 ^ - 2 ' ^ ] -

W  podobn y  sposób  moż na zamiast  (5.8)  otrzymać  sł uszną  dla  duż ych  czasów
zależ ność

(5.14)  a#  =  -

Wreszcie  dla  dostatecznie  duż ych  czasów  zamiast  zależ noś ci  (5.10) moż na
przyjąć

(5.15)  £ #  =   43? cos (pt- dm)-   - L Vn(



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H   TWOR Z YW  SZ TU C Z N YC H   87

gdzie  wprowadzono oznaczenia

(5.16)  AS =  VAk+Bj,  tg<5# =   ^

Łatwo  zauważ yć,  że zgodnie  z zależ noś cią   (5.7),  dla t =  0 także  i e #  =  0,
natomiast  prę dkość  odkształ cenia  dana  jest  przez  wzór

dte* =  2 - E  v

prowadzi  ona do  zwią zku  asymptotycznego  dla t  -> 0 w postaci

(5.17)  a, s# =   - p - .

Wyraż enie  asymptotyczne  uzyskane  ze zwią zku  (5.9) daje  dla mał ych  czasów

(5.18)  e *= l T

Z a  pomocą   zależ noś ci  (5.10)  moż na  otrzymać  zwią zek  obowią zują cy  dla
mał ych  wartoś ci  t  w  postaci

(5.19)  B
m
 =  A^ co&(pt- d

t
)—j.

Korzystają c  ze  zwią zków  (5.16)  i  wyraż eń  asymptotycznych  n a  funkcje
wystę pują ce  w  zależ noś ciach  (5.11)  i  (5.12)  moż na  otrzymać  dla p  >  1 wzór

(5.20)

a  dla  >̂  <̂  1 prostą   zależ ność

(5.21)
r

5.4.  Duże  obcią ż enia.  P rzez  okreś lenie  dstan  duż ych  obcią ż eń»  rozum iem y
taki  stan  naprę ż enia i  odkształ cenia, w którym  nie [moż na stosować  zależ noś ci
(3.10);  w  takim  przypadku  należy  we wzorze  (3.9) zastosować  zwią zki  (5.4),
(5.5) i  (5.6)  zamiast  (5.1),  (5.2) i  (5.3)  oraz  wprowadzić  zależ ność  (4.6).  Otrzy-
muje  się   wtedy  zamiast  (5.7) zależ ność

(5.22)

,j  a  I i  OfC*  A JC O- ilo  f\  - L Cl  n \  t  T1  (O  i



88  A.  WlLCZYŃ SKI

P odobn ie  zamiast  (5.9)  otrzymujemy

(5.23)  e *  -   -

-   —  (C

D la  obcią ż enia  (5.6)  nie  udaje  się,  w  ogólnym  wypadku,  otrzymać  wyniku
zam kn ię tego.  M oż na jednak  postę pując  podobnie jak  przy  rozważ aniu  mał ych
obcią ż eń  podać  wyraż enie  przybliż one  w  postaci

(5.24)  e*  =   A%sinpt+B^ cos  pt+D%sin  Ipt—E^ cos  2pt —

T u t aj  wprowadzon o  oznaczenia

5.5.  Wyraż enia  asymptotyczne  dla duż ych  obcią ż eń.  Wprowadzając  wyraż en ia  asym -
ptotyczn e  dla  zmodyfikowanych  funkcji  Bessela  przy  t  - *  oo  otrzymujemy
zam iast  (5.22)  zwią zek  w  postaci

(5.26)  t
#
~

P ostę pując  analogicznie zamiast  (5.23)  otrzymujemy

(5.27)  £ #   =

Rozważ ając  (5.24)  należ y,  przyjmując  dostatecznie  duże wartoś ci  t, pominąć
odkształ cenia  nieokresowe.  P rzy  takim  zał oż eniu  znajdujemy

(5.28)  £*  =   A% cos(pt—  d# )+B%s'm(2pt—y*),

gdzie  wprowadzono  oznaczenia

(5.29)  B?  :

Wyn ik  (5.28)  moż na  też  przedstawić  w  postaci  wzoru



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H   T WO R Z YW  SZ T U C Z N YC H   89

£#  =   F*(P;t)  COS [pt~  d(p,t)},

jednak  zł oż ona budowa  funkcji  F
#
(j>, t) i  ó(p,  t) uniemoż liwia jego zastosowanie.

Zależ ność  funkcji  t gy #   od  czę stoś ci  drgań  moż na  otrzymać  dla  dostateczn ie
duż ych  czę stoś ci  przy  C

%
\ 2p  4,  1  w  postaci

1 , 2 *
C

  l +
C

oraz  dla  mał ych  czę stotliwoś ci  drgań  przy  C#/ 2/ >

(5.31)  ^

5.6. Pole  pę tli  histerezy  mechanicznej.  Pole  pę tli  histerezy,  okreś lone  zwią zkami
(5.3)  i  (5.28), podzielić  moż na na  dwie  czę ś ci  zależ ne  odpowiednio  od am plitud

D la  czę ś ci  zależ nej  od  am plitudy  A%, zgodnie  z  [2],  moż na napisać

(5.32)  Q
l
  =  n

U wzglę dniając  (5.16)  otrzymuje  się

(5.33)  Q
1

D la  czę ś ci  pola  pę tli  histerezy  uzależ nionej  od  am plidudy  B#   moż na  znaleźć
wyraż enie

(5.34)  a
%
~Ą - cD

m
.

D la  wyprowadzenia  tej  zależ noś ci  wychodzimy  ze  wzorów  (5.5)  i  (5.28)
zapisanych  w  postaci

a =   a
0
 cos  mt,

e  =   e o sin  (2tot—d),

Z  pierwszego  z  tych  wzorów  okreś la  się  funkcje

sin  2wt  =  2 —  1/   1 — I —  I  oraz  coslmt  =   2  I —  I — 1 ,

które,  wprowadzone  w  drugą  z  podanych  zależ noś ci  wyjś ciowych,  pozwalają
uzyskać  krzywą  pę tli  histerezy  w  postaci

±
mm2

± 'j/ Z  l^ ScossM^ X-  llsina.
'  \ aj  L \ <*ol  i

Uż ywając  dla  uproszczenia  zmiennych  bezwymiarowych

e  er  ,  ,
y  — — ,  *  =   — ,  sin o  =   a,  cos o  =   o,

równanie  krzywej  pę tli  histerezy  moż na  przedstawić  w  postaci

y  m,  (1  - 2x>)  a±2b   \ / x\ l  - s?).



90 A.  WlLC Z YŃ SKI

Krzywa  ta  został a  pokazana  n a  rys.  1,  na  którym  wprowadzono  oznaczenia

1+6 . - 6
* 3  =

1+6

* y Wykonują c  cał kowanie otrzymuje  się
pole  powierzchni  zamknię tej  krzywą

Wzór  ten po  uwzglę dnieniu  wartoś ci
współ czynników  b,  e0  i  <r0  prowadzi
do  (5.34).  Stą d  za  pomocą   (5.33)
i  (5.34)  cał kowite  pole  pę tli  histere-
zy  wynosi

(5.35)  fl  =

W  celu lepszego  zobrazowania  wy-
niku  moż na  zależ ność  (5.35)  przed-
stawić  w  postaci

(5.36) Q =  Wo^+WiC3,

(5.3 7) w- . 3ca

zgo d n ie  ze  zwią zkami  (5.11)  i  (5.25).  Korzystają c  ze  wzorów  (5.11)  i  (5.25)
m o ż na  też  okreś lić  zależ noś ć  pola  pę tli  histerezy  od  czę stoś ci  drgań.  D la nie-
zbyt  m ał ych  czę stoś ci  czyli  dla  C # / p  <̂  1,  otrzymujemy

(5.38) Q  =

5.7.  Tł umienie  drgań  w tworzywach  o  ł ań cuchowej  budowie  czą steczek.  Wych o d zą c
ze  zn an ego  dla  rozważ anego  materiał u  pola  powierzchni  pę tli  histerezy
m o ż na  w  sposób  przybliż ony  wyznaczyć  logarytmiczny  dekrement  tł um ie-
n ia  drgań .

W  przypadku  drgań  tł umionych  przy  wzglę dnie  sł abych  zał oż eniach  wy-
ch ylen ie  moż na  przedstawić  w  postaci

*  =   Ae~ mcos  (pt- ó),
co  pozwala  przy  ograniczeniu  się   do  przebiegów  cią gł ych znaleź ć  zmianę  ampli-
t u d y  drgań  dla  pewnego  ustalonego  t

0
  i  w  jego  otoczeniu jako

(5.39)  «  -   z
o
e~«,

gdzie  Z =   dj(t).
Z  kolei  przez  analogię   d o  tł umienia  liniowego  logarytmiczny  dekrement

t ł u m ien ia  przybiera  postać

(5.40)
  x

=Cr



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H   T WO R Z YW  SZ T U C Z N YC H   91

lub

(5.41)  %  =   l o g ^ _ ,

gdzie  z
s
  okreś la  amplitudę  s- tego  cyklu  drgań  w  otoczeniu  pun ktu  t  —  t

0
.

N astę pnie,  definiując  miarę  tł umienia  jako

„2  „2

(5.42)  S- ^- gtt!

i posł ugując  się zwią zkami  (5.39), (5.40) i  (5.42), znajdujemy  zależ ność  pomię dzy
miarą  tł umienia  a  logarytmicznym  dekrementem  tł umienia

£  =   l- e~2x.

Przyjmując  nastę pnie  dla  dostatecznie  mał ych  wartoś ci  % jako  przybliż enie
funkcji  wykł adniczej  dwa  pierwsze  wyrazy  jej  rozwinię cia  w  szereg

«- • *-   1 - 2Z +  •••
otrzymuje  się

(5- 43)  X~jS-

Z  kolei,  przyjmując  proporcjonalność  pracy  do  kwadratu  amplitudy,  moż na
napisać

(5.44)  * • - * ! „ - K Q,

gdzieś? jest  okreś lone przez  (5.36), a «  oznacza pewien  współ czynnik. Zależ ność
(5.37)  należy  traktować jako  przybliż oną  biorąc  pod  uwagę  fakt,  że  w  procesie
tł umienia  drgań  swobodnych  wykres  tych  drgań  ma  postać  pewnej  spirali,
która jest  jedynie  zbliż ona, do  pę tli  histerezy  drgań  wymuszonych.

Uż ywając  zależ noś ci  (5.42),  (5.43)  i  (5.44)  oraz  przyjmując  z
s
  =  c  uzyskuje

się  ostatecznie

(5.45)  % =   u
o
+u

x
c,

przy  oznaczeniach

(5.46)  u
0
  =   xw

0
,  «x  =   xtDlt

gdzie  zv
0
  i  w

x
  okreś lone  są  odpowiednio  zwią zkami  (5.37).

Korzystając  z  poprzednio  otrzymanych  wyników  [podanych  zwią zkiem
(5.38)]  i  z  oznaczeń  (5.46),  otrzymujemy  w  podobny  sposób  dla  C%jp  <g  1
zależ ność  dekrementu  tł umienia  od  czę stoś ci  drgań  w  postaci

Pamię tać  jednak  należ y,  że  tylko  w  otoczeniu  pun ktu  t  =  t
0
  m oż na  uzn ać

logarytmiczny  dekrement tł umienia  za  stał y.  W  rzeczywistoś ci  jest  on  wyraź n ie
zależ ny  od  czasu.



92  A.  WILCZYŃ SKI

6.  Weryfikacja  doś wiadczalna

6.1.  Dobór stałych  materiałowych. W celu sprawdzenia  przydatnoś ci otrzymanych
wyników  do zastosowań  praktycznych  wykorzystano  doś wiadczenia  przeprowa-
dzone  przez  ALF REYA  i współ pracowników,  opublikowane  w  pracy [11].

D o  weryfikacji  wybrano  próby  przeprowadzone  na  technicznym  nylonie
66,  o  cię ż arze  wł aś ciwym  1.08- 1.14  G / cm 3  i  o  wilgotnoś ci  wzglę dnej  30%
w  tem peraturze  36.0°C,  poddanym  uprzednio  róż norodnej obróbce  mechanicz-
n ej,  a  co  za  tym  idzie,  o  róż nych  wł aś ciwoś ciach  fizycznych.  Próby  peł zania
prowadzon e  był y  przy  róż nych  obcią ż eniach  w aparacie umoż liwiają cym  zacho-
wanie  stał ego  napię cia,  niezależ nie  od  wielkoś ci  odkształ cenia.

Opublikowane  wyniki  są   ś rednią   arytmetyczną   danych,  uzyskanych  dla
poszczególnych  punktów  z  kilkudziesię ciu  próbek.

Z astosowan a  technika  laboratoryjna  i  aparatura  pomiarowa  pozwolił y  prak-
tycznie  uwolnić  się   od  bł ę dów  samego  pomiaru.  Pozostał   wię c  jedynie  bł ą d
niejednorodnoś ci  próbek,  bł ą d  nie do uniknię cia  przy  uż yciu  wł ókien technicz-
nych  w  badaniach  naukowych.

Przyjmujemy  nastę pują ce  wartoś ci  stał ych  materiał owych,  wystę pują cych
we  wzorze  (6.1).

a

E

c*
G *
e„

455  kG / cm 2

22200
0,5

0,019
1,07  •   10- 2

Tablica  1

910  kG / cm 2

38200
0,25

0,0101  .
2,6  •   10- 2

1370  kG / cm 2

20300
2,5
0,028

4,29  •   10- *

W  obliczeniach  zastosowano  wzór  roboczy  nadają cy  się  do uż ytku  praktycz-
nego  w  postaci

(6.1)  e =   eo+ - ~[l- 2(C# t)Kz(2]/ Cmł )+ G# at],

Wynika  on  z  (5.22)  przez  pominię cie  w  n im  wyrazów  mał ych  wyż szego
rzę du.  N a podstawie  danych  doś wiadczalnych  stwierdzamy,  że dla

(6.2)  C
m
t  < 15,

zamiast  zależ noś ci  (5.22)  moż na  stosować  zwią zek  (5.7).
P rzy  dobieraniu  stał ych w  zależ noś ciach  (5.7),  (5.13),  (5.22)  i  (5.26)  bardzo

pom ocn e  są   wykresy  funkcji  (rys.  2)

y=l—2tK
2
(2\ / t)

oraz  funkcji

y  =  1- 1, 77  *°'75exp  [ - 2j/ F ].



BAD AN I E  WŁ ASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H  TWOR Z YW  SZ TU C Z N YC H 93

W  praktyce  najł atwiej  jest  dobierać  poszukiwane  stał e w sposób  graficzny,
przy  czym  najdogodniej  jest  nanosić  dane  doś wiadczalne  na  wykres  funkcji:

y=l- 2tK
z
(2\ / T ).

Z  powodu  charakteru  proponowanej  zależ noś ci  nie  jest  rzeczą   moż liwą   roz-
wikł anie  jej ze wzglę du  na t.  Jednak  zastosowanie  metody  kolejnych  przy-

^S 0 , 6
<N|

II
ShO,4

0 2

n

1
J
1

/I
/

a
»——

;  • *-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0  II  12  i

o\ A
0,1  0,2  0.3  0,4  Q5  0,6  OJ  Q8  Q9  iO  1.1  1,2  T

Rys. 2

bliż eń  przy  począ tkowym  zał oż eniu  C # =  1  prowadzi  dość  prę dko  do celu.

D la  czasów  okreś lonych  nierównoś cią

(6.3)  C*t > 8
moż na  stosować  wyraż enie  (5.13)  wzglę dnie,  jeś li  nierówność  (6.2)  nie  jest
speł niona,  wyraż enie  (5.26).

Przyję cie  wzoru  przybliż onego  (6.1)  prowadzi  w praktyce  do bł ę dów  dużo
mniejszych  od  1 %.  Porównują c  wyniki  doś wiadczalne z wynikami  obliczonymi
z  tego  wzoru  znajdujemy  wartość  bł ę du  ś redniego

f - 1 , 4 7 %.

W  celu  lepszego  porównania wyników  doś wiadczalnych z wynikami  wynikają -
cymi z proponowanej  zależ noś ci  przeprowadzono test  %%  P earsona  sprawdzają c,
czy  rozkł ad  bł ę du  jest  zgodny  z  rozkł adem  n orm aln ym  G aussa.  C hodził o



9 4  A.  WlLCZYŃ SKI

przy  t ym  o  sprawdzenie  przydatnoś ci  proponowanego  wzoru,  a nie  o  sprawdze-
n ie  poprawnoś ci  doboru  stał ych  w  poszczególnych  przypadkach.  Zakł adają c
jednakową   rzeteln ość  wykonania  trzech  rozważ anych  zbiorów  doś wiadczeń  jak
również jednakową   rzetelność  doboru wszystkich  stał ych z tablicy  1, potraktowa-
n o  bł ę dy wystę pują ce  w tych  doś wiadczeniach jako  należ ą ce  do  jednego  zbioru.

P rzeprowadzon y  test  %2  stwierdził   przydatność  proponowanej  zależ noś ci
do  opisania  wyników  doś wiadczeń  oraz  okreś lił   prawdopodobień stwo  uzyskania
odchylenia  wię kszego  n iż  %2  na

W  tablicy  2  zestawiono  (w  lewych  kolumnach)  wyniki  uzyskane  przez
ALF REYA  i  współ pracowników  [11]  dla  każ dego  z  obcią ż eń  oraz  (w  prawych
kolum n ach)  odpowiednie  wyniki  uzyskane  ze  zwią zku  (6.1)  przy  uż yciu  współ -
czynników  wedł ug  tablicy  1.  W  celu  uproszczenia  zapisu  wyniki  pomnoż ono
przez  10*.

Tablica  2

a  kG / cm 2  455  910  1370

t min

0.1
0.25
0.5
1.0
2.25

4.25
8.0

15.0
30.0
60.0

120.0
180.0

'licy 3 podano

108
113
115
121
130

135
144
152
163
169

179
185

błę dy

108
110
113
118
127

136
146
156
162
168

178
189

wzglę dne,

r—  100

«ll

261
286
306
323
339

348
359
365
373
379

386
388

272
288
305
325
347

358
361
363
365
371

382
392

okreś lone

e
d
- >

H
430
450
460
476
484

494
500
506
514
518

518
524

zależ noś cią

e*
435
444
456
470
485

493
496
498
501
507

519
531

i  uszeregowane  w  siedmiu  klasach  bł ę dów.

Tablica  3

—  OO- 0.5  0.5- 1.0  1.0- 1.5  1.5- 2.0  2.0- 2.5  2.5- 3.0  3.0- oo

0.00
0.19
0.20
0.20

0.54
0.55
0.56
0.59
0.61

1.05
1.05
1.16
1.26
1.33

1.58
1.74

2.10
2.12
2.14
2.16
2.31

2.53
2.62
2.65
2.90

3.25
4.20



—  oo- O .5

B AD AN I E

0.5- 1.0

WŁ ASN OŚ CI

1.0- 1.5

M ECH AN ICZN YCH

1.5- 2.0

TWORZYW

2.0- 2.5

SZTU CZN YCH

2.5- 3.0

c. d. tablicy

3.0- 00

95

3

0.62
0.70
0.74
0.80
0.87

1.33
1.39

2.36
2.48

0.59  6.58  8.57  3.32  20.67  10.70  7.45

N a  podstawie  powyż szej  tablicy  obliczono  bł ąd  ś redni  f  =   1,47%.
Tablica  4  sł uży  do  obliczenia  wielkoś ci  # 2.

1.

2.

3.

4.

5.
6.

7.

r;

0.25
0.75
1.25
1.75
2.25
2.75
3.25

—1.22
—0.72
—0.22

0.28
0.78
1.28
1.78

(r  vV

1.49
0.52
0.048
0.078
0.61
1.54
3.16

7.446

Tablica

r j—f
H
  v

oo—0.915
—0- 915—0.443

—0.443- 0.028
0.028- 0.5

0.5- 0.97
0.97- 1.44
1.44- 0O

4

0.1802
0.1487
0.1823
0.1803
0.1425
0.0911
0.0749

1.0000

=   36  P(xi)

6.48
5.35

6.56

6.48
5.13
3.28
2.69

»,

4

10

7

2

7

4

2

36

( «< - «r)2

0.947
3.85
0.03
3.08
0.68
0.16
0.176

8.923

Opracowano  ją  wedł ug  pracy  W.  Romanowskiego  [12].
N a  jej  podstawie  uzyskano  wielkość  odchylenia  ś redniego  v  =  1,06  oraz

Z 2  = 8 , 9 2 3 .
Liczba  stopni  swobody  rozkł adu  wynosi  Z = 7 — 2  =   5,  gdyż  utworzon o

dwa  zwią zki  okreś lają ce  f  i  v  na  podstawie  danych  doś wiadczalnych.
Kryterium  róż nic  nieistotnych  mię dzy  rozkł adem  G aussa  a  rozkł adem

empirycznym  jest,  wedł ug  [12],

fc£ L< 3.
j/ 2/

Podstawiając  dane  liczbowe  otrzymujemy

1/2/
6.2.  Dyskusja  uzyskanych  wyników.  Wychodząc  z  najogólniejszych  zależ noś ci

reologicznych  i  budowy  fizycznej  tworzyw  sztucznych  o  budowie  ł ań cuchowej
wyprowadziliś my  w  pracy  nowe  zależ noś ci,  okreś lają ce  zachowanie  się  wspo-
mnianych  tworzyw  pod  prostym  obcią ż eniem jednoosiowym  róż nych  tech n icz-
nie  waż nych  typów.  N ależy  t u  zaznaczyć,  że  —  jak  t o  wykazuje  ALF R E Y  [3]  —
sposób uł oż enia ł ań cuchów czą steczek w przestrzeni nie ma decydują cego  wpł ywu
na wł asnoś ci sprę ż yste  i  lepkie  tworzywa.  Wobec  tego  zwią zki  podan e  w  pracy



96  A.  WlLCZYŃ SKI

powin n y  być  obowią zują ce  dla  wszystkich  tworzyw  o  budowie  ł ań cuchowej,
n ie  wykazują cych  zjawiska  wzmocnienia.

Biorą c  pod  uwagę   dwa rodzaje  bł ę dów  dominują cych  przy  porównywaniu
wyników  teoretycznych  i  doś wiadczalnych,  mianowicie  bł ą d  wynikają cy  z  nie-
jedn orodn oś ci  próbek  oraz  bł ą d  doboru  stał ych,  należy  wyniki  podane w po-
przedn im  pun kcie  uznać  za  pozytywne  i  zupeł nie  zadowalają ce.

Zastosowany  t est  %2  stwierdza  oczywiś cie  jedynie  dobrą   zgodność propono-
wan ych  zależ noś ci  z  danymi  doś wiadczalnymi,  uzyskanymi  w  konkretnym
przypadku.  Jeż eli  dalsze  wielokrotne  badania  potwierdzą   przydatność pro-
ponowanej  teorii,  t o należy  przypuszczać,  że zwią zki  uzyskane  w  pracy  mogą
znaleźć  duże  zastosowanie  w  opisywaniu  wł asnoś ci  mechanicznych  tworzyw
o  ł ań cuchowej  budowie  czą steczek.

D la  kon kretn ego  doś wiadczenia,  t o znaczy  dla nylonu  66 poddanego  próbie
peł zan ia  przy  rozcią ganiu  w  czasie  do 3 godzin,  moż na  stwierdzić  dodatkowo,
że  przy  czasach

(6.4)  C*t > 15

m oż na  zastosować  zależ ność  peł zania

w  postaci  analogicznej  do  proponowanej  przez  wielu  badaczy  zjawiska  peł zania
zależ noś ci  empirycznej,

(6.6)  s =  ś *+Camt,

która  daje  zupeł n ie  dobrą   zgodność  z  doś wiadczeniem.
D la  czasów  nie  speł niają cych  warunku  (6.4),  szczególnie  (6.3),  należy sto-

sować  zależ ność  (6.1).  Charakter  jej  powoduje  niestety  konieczność  poszuki-
wania  funkcji  aproksymują cej,  lepiej  nadają cej  się  do obliczeń.  Zwią zek (6.1)
n ie  pozwala,  w  celu  szukania  parametrów  funkcji  aproksymują cej,  na  zasto-
sowanie  ani  metody  najmniejszych  kwadratów,  ani  metod pokrewnych.  F unkcję
aproksymują cą   uzyskać  jednak  moż na  w  sp.osób  przybliż ony.  Proponujemy
stosować  tutaj  do  obliczeń  funkcję   przybliż oną

(6.6)  e =   e
B
+^ {cx

V
[- {C

%
t)]- ™  +G

%
at},

bardziej  odpowiadają cą   potrzebom  technicznym  i  dają cą   niewielkie  bł ę dy.
N a  uwagę   zasł uguje  wreszcie  fakt,  że  zgodnie  z  zależ noś cią   (5.35)  pole

powierzchn i  pę tli  histerezy  mechanicznej  roś nie  wraz  z  trzecia  potę gą   ampli-
t u d y  obcią ż enia,  co  również  wydaje  się   wskazywać  na  poprawność  uzyska-
nych  wyników.

N a  zakoń czenie  należy  zaznaczyć,  że  dalszym  etapem  w  badaniu  tworzyw
sztuczn ych  o  budowie  ł ań cuchowej  powinno  być  porównanie  na  podstawie
dostateczn ie  duż ej  liczby  przypadków  wyników  doś wiadczalnych  z  wynikami
uzyskanym i  z  proponowanych  zwią zków.  Konieczne  bę dzie  także  wyznaczenie



BAD AN I E  WŁASN OŚ CI  M E C H AN I C Z N YC H   TWOR Z YW  SZ TU C Z N YC H   97

szeregu stał ych n a drodze teoretycznej i porównanie ich z wynikami  doś wiadczeń,
gdyż  obecnie  stał e te wyznacza  się  dla każ dego  konkretnego  przypadku  oddziel-
n ie.

N astę pnym  krokiem  do  poznania  wł asnoś ci  tworzyw  sztucznych  był oby
poszukiwanie  teoretyczne  i  doś wiadczalne  sprawdzenie  prawa,  rzą dzą cego
zmianą   obję toś ci;  jest to konieczne  przy  badaniu  przestrzennego  stan u  odkształ -
cenia.  D o zagadnienia  tego  autor  ma zamiar  powrócić w swoich  dalszych  bada-
niach.

Wreszcie wydaje się  konieczne znalezienie  funkcji  odwrotnej  do (4.22) w opar-
ciu  o  metody  badań  równań  cał kowych.

Literatura  cytowana  w tekś cie

[I]  M .  REIN ER,  Reologia  teoretyczna, P WN , Warszawa  1958.

[2]  A.  P .  P ł KAH H LJblH ,  HeKomopbie  eonpocu  MexanUKU  cucmeM  decpopMUpyiotauxcH  eo epe-
MCHU,  M ocKBa  1948,

[3]  T .  ALFREY,  Mechanical Behavior  of  High  Polymers,  N ew- York- London  1948.

[4]  W.  KXJHN,  Ober  die  Gestalt fadenfSrmiger Molekule  in  L osungen, Kolloid  Z s.  68,  2,  1934.

[5]  J.  F LORY,  Molecular  size  distribution in  linear  condensation polymers,  J .  of  Am .  Chem .

Soc,  58,1936.
[6]  M . L.  H U G G IN S,  T he viscosity of  dilute  solutions of L ong- Chain  molecules,  J .  P h ys.  C hem .,

42,  911, 1938.

[7]  R.  H OU WIN K,  Elastomery  i  plastomery,  P WT ,  Warszawa  1953.

[8]  H . M .  PbDKHK, H . I L  rPAfllllTEftH ,  T a6Mifbimmeepajioa, cyMM,  pndoe u npouseedenuii,

MocKBa- JIeHHHrpafl  1951.

[9]  W.  G ROBN ER,  N .  H OF REITER,  Integmltaffel,  Springer- Verlag 1948.

[10]  E . ilH K E , <t>.  EM flEj  T aSjiutfbi  $yHKuuu  c $opj,iyjiaMU u KpuebiMU,  M ocK Ba- JT eH H H rpaa 1 9 4 8 .

[ I I ]  T .  ALF REY,  E.  CASTIF F ,  O'SHAUG HAN ESSY,  Generalized creep curves for  nylon, T ext .  R es.

J.,  23,  808,  1953.

[12]  W.  ROMAN OWSKI,  Zastosowanie statystyki  matematycznej w  doś wiadczalnictwie,  Warszawa

1951.

P  e 3 io  M e

HCCJIEAOBAHHH   MEXAHIMECKHX  CBOlł CTB  HEKOTOPBIX  m iAC TM AC C

P a6oTa  nocBH m eH a  onpeflejieH H M   TeopeTimecKH M   nyieiw  3aBHCHM0CTH  H anpniKeH H e —  flecjpop-

Maą HH   {(na  H eKOToporo  rana  njiacTM acc3  B  c jiyia e  o c e so r o  pacTH 5KenH H .

3H aiinTejii>H bie  3ai'pyflH eH H H   MaTeMaTiwecKoro  xa p a ic r ep a  conyTCTByramH e  n on tiT K aM  o n n caH iwi

MaKpOCKOnHMiOKHX ilBJICHUH  npOHCXOfl«mnX  B M aTepiiajie  H 3 OCHOBe  K3BecTHOH   MHKpOCTpyKTypbl

3acTaBJiHMT  uccjieflOBaTejieii  npHMeHHTb aH ajio rm i.  l i p a  accjieflOBaH H H   MexaH H ^ecKH X  C BO H C T B

peajibH wx  M aTapiianoB  TaKHMH   anajiorH H MH   H BJI H I OTC H   M exanH ^ecKH e  MoflenH   T Bepfloro  T ejia.

B  SToii  pa6oTe  aBTopoiw  Bi.i6paH a  M exaH iwecKan  MOflenb  TBepfloro  Tejia,  xapaK T epH 3ywm aH cfi

H enpepbiBH oii  (JiyH KunaS. yn p yr o r o  nocjieflSHCTBHH.  3T a (pyHKijHH   6 t i ji a  Bt iBea eH a  nyTeM   p a c -

cy>K,neHHH   ocHOBaHHbix  Ha H3BecTHotł  BH yrpeH H eH   CTpyrcrype  n jiacTm accbi,  TBK  »rro6bi

3aBHCHM0CTb  B03M0>KH0  npH6jlH>KeH:HyiO K

7  M e c h a n ika  t e o r e t yc z n a



98  A.  WlLCZYŃ SKI,

3aBHCHMocTn  aBTop  Bocnojib3OBajicji  3aKOHom  O jio p n  se -
poH TH oro  pacn peflen eH H Ji  MOjieicyjiapH oro  Beca  njiaccTMacbi  (csoflHiqHMCH   K  p acn p e# ejieH m o  fi)
H   cpopjviyjioii  Xn r r H H c a  cBfi3BiBaK)ineii  MOJieKyjuipi- ibiH   se c nnacTiviacct>i c ee BH 3KOC TM O.  B  pe3yjib-

n o jiyl!eH a  3aBHCHM0CTi>  Me>Kfly  HanpH>i<eHHeM, #e<f)opMau;neH   u  BpeiviwieM   B

(ii)  oóo3H atiaior  fJ>yHKU"Hio M ai< .H pnajibna,  a  C #   u  E  H BJM I O T C H  :
B  pa6oT e  n p iiBe# en bi  Taioice  3aBncł iMocTH   onpe,n;eiiHiom.He  necjpopMamm  fljra
m n x c s  n a  npaKTH Ke  H arpy30K  H   3aBHCHMocrn  ivie>Kfly  xexHmiecKHMH   nanpHSKCHHCM  (oTaeceH -
H Ł I M  K  ce^reH H io  oópa3u;a  B  Hanaji&HblH   MOMCHT  H arpy3Kji),  BpeiweHeiw  H  fleH CTBiiTejiBH biM  H a-

H cił cTByiomuM   Ha  H ccneflyeMŁiił   sneAieHT  B  npon3BOjibnbiM   MOMenT  H arpy3KH .
pe3ynbTaTbi  6Ł>IJIH   cBepeH bi  c  on brrabiM ii  fljiH   cn yqasi  n p o cT o ro  noji3aHHfl

o6Hapy>KeHO  yflOBneTBopiiTejiLH oe  cooTBeTCTBue  flamibix,  B  C BH 3H   C   ^ICM
B  pa6o T e  SaBHCHMOCTM   AJOJKIIO  CWHTaTb  npHrOflHŁIMII  flJlH   npHMeHeHHH  Ha npaKTH Ke.

S u m m a r y

I N VE S T I G AT I O N   O F   M E C H AN I C AL  P R O P E R T I E S
O F   C E R T AI N   TYP E S  O F   P LAST I C S

T h is  paper  is  aimed  at  determ ining  by  theoretical  consideration  th e  stress- strain  relation  for
a  certain  type  of  plastics  in  the  case  of  axial  tension.

Since  th e  attem pts  of  describing  the  macroscopic  phenomena  which  occur  in  the  material,
o n  t h e  basis  of  the  known  microstructure,  encounter  considerable  mathematical  difficulties,
t h e  corresponding  investigations  are  mostly  carried  out  by  employing  analogies.  I n  the  case  of
m echanical  properties  of  actual  materials  such  analogies  are  represented  by  mechanical  models
of  solids.  T h e  author  selected  a  mechanical  model  of  t h e  solid  body  which  is  characterized  by
a  continuous  function  of  the  elastic  aftereffect.  Th is  function  has  been  deduced  from  the  known
in tern al  structure  of  t h e plastic  so th at the relation  obtained  might  as well as possible  approximate
t h e  actual  con dition s.

I n  order  to obtain  t h e  relevant  relation  there  have  been  used  F lory's  law  of  probability  distri-
bution  of th e  molecular weight  of  t h e  plastic  (which reduces  to th e  /? distribution) and  the  H uggins
relation  connecting  t h e  molecular  weight  of  the  plastic  with  its  viscosity.  I n  conclusion  of
t h e  paper  t h e  author  obtained  the  relation  between  the  stress,  t h e  strain  and  the  time  in  th e
form

t

wh ere  Kt(u)  denotes t h e  M ac  D onald  function,  while  C#  and  E  are  material  constants. Also  th e
relation s  determ ining  th e  strain  produced  by  loadings  which  are  most  frequently  encountered
in  practice  have  been  obtained  as well  as  t h e  relations  between  the  technical  stress  (related  to th e
cross- section  of  the test  piece  at t h e  beginning  of  loading),  the  time  and  the  actual  stress  which
acts  on  t h e  tested  element  at  an  arbitrary  m om en t of  loading.  T h e  results  obtained  having  been
confronted  with  experiments  for  t h e  case  of  simple  tension creep showed  a  satisfactory  compati-
bility,  t h u s  t h e  relations  derived  in  the  paper  can  be  used  in  practical  applications.

P OLITECH N IKA  WARSZAWSKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  4  paź dziernika  1962  r-