Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS63\mts63_t1_z2.pdf M E C H   A N I K  A T E O R E T YC Z N A I  S T O S O W AN A 2,  1  (1963) PODSTAWOWE  ZAG AD N IEN IA  LEPKOPLASTYCZN OŚ CI P.  P E R Z Y N A  (WARSZAWA) Wstę p W  wielu  istnieją cych  teoriach  plastycznoś ci  zakł ada  się ,  że  zwią zki  fizykalne mię dzy  tensorem  naprę ż enia  a  tensorem  odkształ cenia  są   niezależ ne  od  czasu. Zał oż enie  to jest  celowo  przyję tym  ograniczeniem.  Jest  ono  gł ówną   przyczyną trudnoś ci,  jakie  się   wył onił y  przy  opisywaniu  wł asnoś ci  materiał ów  rzeczy- wistych. Trudnoś ci  te  wystą piły  zwł aszcza  w  ostatnich  latach,  które  przyniosł y  duży rozwój  dynamicznych  zagadnień  teorii  plastycznoś ci.  Podstawowe  zał oż enie wszystkich  teorii  plastycznoś ci  o  niezależ noś ci  równań  stanu  od  czasu  un ie- moż liwia  jednoczesny  opis  wł asnoś ci  plastycznych,  materiał u  i  jego  wł asnoś ci Teologicznych. N ie  trzeba  chyba  popierać  przykł adami  twierdzenia,  że  w  wielu  zagadn ie- niach  praktycznych  o rzeczywistym  zachowaniu  się   materiał u mogą   decydować w  równym  stopniu  efekty  plastyczne  jak  i  efekty  reologiczne.  M oż na  nawet pójść  dalej  i powiedzieć,  że  dla  wielu  konstrukcyjnie  waż nych  materiał ów  efekty reologiczne  wystę pują   znacznie  wyraź niej  po  osią gnię ciu  przez  m ateriał   stan u plastycznego. Truizmem  stał o  się   twierdzenie,  że  każ dy  materiał   wykazuje  w  mniejszym lub  wię kszym  stopniu  wł asnoś ci  lepkie.  Wpł yw  wł asnoś ci  lepkich  m ateriał u w  pewnych  zagadnieniach  może być  cał kowicie nieistotny,  natom iast  wpł yw  t en dla  tego samego  materiał u ale dla innego zagadnienia może okazać się   decydują cy. Obydwie  dyscypliny  —  reologia  i  teoria  plastycznoś ci  —  zajmują   się   opisem bardzo  waż nych  wł asnoś ci  mechanicznych  materiał ów  konstrukcyjnych.  Każ da z  nich stworzył a  wł aś ciwe  dla  swych  celów  sposoby  badań i  rozwinę ła  się   w  ra- mach pewnych  zał oż eń, które niestety nie zawsze w praktyce mogą   być speł n ion e. Wyniki  badań  reologii  są   ograniczone  tylko  do  takich  przypadków,  w  których odkształ cenia  plastyczne  nie  mają   decydują cego  znaczenia.  N atom iast  wyniki badań  teorii  plastycznoś ci  pozwalają   na  wł aś ciwy  opis  tylko  takich  zagadn ień , w  których  wpł yw  efektów  Teologicznych  moż na  uważ ać  za  nieistotny.  M ówią c inaczej,  przy  stosowaniu  metod  reologii  należy  ograniczyć  się   tylko  do  badan ia stanów  naprę ż enia,  które  nie  wywoł ują   plastycznego  pł ynię cia  m ateriał u,  sto- P I OTR  PERZYNA sują c  zaś  m etody  teorii  plastycznoś ci  trzeba  się   ograniczyć  do  zagadnień  quasi- statycznych,  których  przebieg  w  czasie  jest  jednak  na  tyle  krótki,  aby  nie  wy- stą piły  wyraź nie  efekty  peł zania  czy  relaksacji. Ostatn ie  badania  w  zakresie  opisu  dynamicznych  wł asnoś ci  materiał ów wykazał y, że stosowanie  metod teorii plastycznoś ci  nie uwzglę dniają cych  efektów Teologicznych prowadzi do  zbyt duż ych rozbież noś ci  mię dzy  wynikami  teoretycz- n ym i  a  rezultatm i  doś wiadczalnymi1. P o  tym  krótkim  wstę pie  nie  trzeba  bę dzie  chyba  wskazywać  na  korzyś ci, jakie  uzyskamy  opisują c  jednocześ nie  efekty  reologiczne  i  plastyczne.  Wł aś nie lepkoplastyczność  postawił a  sobie  takie  szerokie  zadanie.  Zanim  przejdziemy do bliż szego przedstawienia  metod badań lepkoplastycznoś ci,  chcemy podkreś lić, że  n ie  bę dą   to  m etody  ani  reologii,  ani  teorii  plastycznoś ci.  Przekonamy  się , że specyfika  zagadnienia i skomplikowany  charakter sprzę ż enia  efektów  reologicz- nych  i  plastycznych  wymagają   specjalnych  metod  opartych na wnikliwej  analizie fizyki  materiał ów  oraz  wł asnych  oryginalnych  opisów  matematycznych. Ł ą czne  traktowanie  zjawisk  Teologicznych  i  zjawisk  plastycznych  stwarza jedn ak  ogrom ne  trudn oś ci.  U wzglę dnienie  lepkoś ci  materiał u  wprowadza  za- leż ność stanów naprę ż enia i  odkształ cenia od czasu, natomiast wł asnoś ci plastycz- ne  m ateriał u  uzależ niają   t e  stany  od  drogi  obcią ż enia.  U wzglę dniając  jedn o- cześ nie  wł asnoś ci  lepkie  i  plastyczne  otrzymujemy  wię c  zależ ność  od  drogi i  czasu.  Wszystkie  procesy  odkształ cania  w  lepkoplastycznoś ci  bę dą   zależ ne od  historii,  która jest  zdeterminowana  drogą   obcią ż enia  i  czasem.  N a  róż nych drogach  i  dla  róż nych  czasów  przebiegu  danego  procesu  otrzymywać  bę dziemy w  lepkoplastycznoś ci  róż ne  rezultaty. C elem  tego  przeglą du  jest  wskazanie  nowych  zagadnień,  które  charakte- ryzują   się   sprzę ż onym  traktowaniem  zjawisk  Teologicznych  i  plastycznych, oraz  przedstawienie  gł ównych  kierunków,  w  jakich  rozwijają   się   metody  badań lepkoplastycznoś ci. N ie moż na jeszcze  w  tej  chwili mówić o teorii lepkoplastycznoś ci jako  o ukształ - towanej  i  rozwinię tej  dyscyplinie  naukowej.  M oż na  już  jednak  wyodrę bnić w  niej  pewne  kierun ki  badań,  które  róż nią   się   ogólnoś cią   podejś cia  do  zagad- n ien ia  i  stawiają   sobie  odm ienne  zadania. P odstawowym  problem em  lepkoplastycznoś ci  jest  okreś lenie  odpowiedniego kryterium  uplastycznienia  dla  materiał u  sprę ż ystolepkiego.  Zagadnienie nastę p- ne to sformuł owanie równań konstytutywnych  czyli zwią zków  fizykalnych  mię dzy ten sorem  naprę ż enia  a  tensorem  odkształ cenia. Aby  przedstawić  bliż ej  powyż sze  zagadnienia,  wprowadzimy  wyraź ne  roz- róż n ien ie  m ię dzy  materiał em  sprę ż ysto- lepkoplastycznym  a  sprę ż ysto/ lepko- 1  Stwierdzen ie  t o  odnosi  się   zarówno  d o  róż nego  rodzaju  teorii  pł ynię cia, jak  i  teorii  odkształ - cen iowych .  T rzeba  zaznaczyć,  że  nie  brak  prac,  które  starają   się   opisywać  zagadnienia  dyna- m iczn e posł ugują c  się   zwią zkami  fizykalnymi  teorii  odkształ ceniowej,  sł usznej  tylko  w  przypadku obcią ż en ia  proporcjon aln ego.  W  ż adnym  zagadnieniu  dynamicznym,  w  którym  wystę puje  roz- przest rzen ian ie  się  fal  naprę ż enia, zał oż enie o proporcjonalnym  obcią ż eniu  n ie może być  speł nione. P O D ST AWO WE  Z AG AD N I E N I A LE P K O P LAST YC Z N O Ś CI plastycznym.  Sprą ż ysto- lepkoplastycznym  bę dziemy  nazywać  taki  m ateriał , który  wykazuje  wyraź ne  wł asnoś ci  lepkie  zarówno  w  obszarach  sprę ż ystych, jak  również  w  obszarach  uplastycznionych.  N atom iast  sprę ż ystojlepkoplastycz- nym  bę dziemy  nazywać  taki  materiał ,  który  posiada  wł asnoś ci  lepkie  tylko w  obszarach  plastycznych. Rozróż nienie  to  wprowadzili  P . M .  N AG H D I  i  S.  A.  M U R C H   w  pracy  [18]. Jest  oczywiste,  że  poję cie  materiał u  sprę ż yste/ lepkoplastycznego  jest  celową idealizacją ,  która  pozwala  na  daleko  idą ce  uproszczenie  rozważ ań.  Wystarczy tu  zwrócić  uwagę   na  zagadnienie  doboru  odpowiedniego  kryterium  uplastycz- nienia. Okreś lenie  warunku  plastycznoś ci  dla  materiał u  sprę ż ysto- lepkoplastycznego bę dzie  niezmiernie trudn e i  do  chwili  obecnej  problem t en n ie  został  cał kowicie rozwią zany.  Przyję cie  materiał u  sprę ż ysta/ lepkoplastycznego  rozwią zuje  n a- tychmiast  to  zagadnienie,  bo  począ tkowy  warunek  plastycznoś ci  moż na  przyją ć taki  sam  jak  w  teorii  pł ynię cia.  Trudn oś ci  powstają   dopiero  przy  rozważ aniu zmiany  powierzchni  pł ynię cia  w  czasie  procesu  odkształ cenia  ciał a  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego. Wprowadzone  rozróż nienie  sugeruje  podział   naszych  rozważ ań  n a  dwie czę ś ci.  W  czę ś ci  pierwszej  przedyskutujemy  metody  opisu  zachowania  się materiał ów  sprę ż ysto- lepkoplastycznych.  Czę ść  druga  bę dzie  dotyczył a  m a- teriał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  i  pokaże  wykorzystanie  tego  m odelu do  opisu  dynamicznych  wł asnoś ci  materiał ów  plastycznych. W  obydwu  czę ś ciach rozważ ania bę dą   prowadzone przy zał oż eniu, że  gradien ty przemieszczenia  rozpatrywanych  procesów  odkształ cenia  są   nieskoń czenie mał e (por. definicja  w monografii  C.  TRUESDELLA i  R.  T O U P I N A  [39]).  Ograni- czymy  się   ponadto do studiowania  tylko  izotermicznych  procesów  odkształ cenia i  bę dziemy  zakł adać, że  materiał  jest  izotropowy  i  jedn orodn y. I.  MATERIAŁ SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNY 1. Zachowanie się   materiał u w  obszarach  sprę ż ysto- lepkich W  ukł adzie  ortogonalnych  współ rzę dnych  kartezjań skich  oznaczmy  ten sor odkształ cenia  przez  e;/- ,  a  tensor  naprę ż enia  przez  ery.  Bę dziemy  zakł adać, że  tensor  odkształ cenia  e,y  dla  ciał a  sprę ż ysto- lepkoplastycznego  moż na  przed- stawić  w  postaci  sumy (1- 1)  «u- «&+ «&+ «&• gdzie  efy  oznaczają   skł adowe  odkształ cenia  sprę ż ystego,  sfj  skł adowe  lepkie i  sfj  skł adowe  plastyczne. Trzeba  wyraź nie  podkreś lić,  że  równanie  (1.1)  n ie jest  w  ogólnoś ci speł n ion e. Bę dziemy  je  traktowali  jako  podstawowe  zał oż enie  upraszczają ce. P I O T R  PERZYNA W  dalszym  cią gu  bę dziemy  posł ugiwać  się  zdefiniowanymi  nastę pują ca dewiatorami  odkształ cenia i naprę ż enia (1.2)  e tJ  =   stj—edi } ,  e = (1.3)  Stj =  Oij—sdij,  s =   1l 3 a i! , gdzie  d t j  oznacza  symbol  Kroneckera. Skł adowe  tensora  prę dkoś ci  zmiany  odkształ cenia i  naprę ż enia  oznaczymy odpowiedn io  przez  śy  i  a tl   (kropka  oznacza  tu  róż niczkowanie  wzglę dem czasu). Z agadnienia  liniowej  teorii  lepkosprę ż ystoś ci  są szeroko  opracowane w wielu m on ografiach  i  artykuł ach  przeglą dowych.  Wymienimy  tu  tylko  kilka  ostat- n ich  prac  podstawowych,  które  przynoszą  systematyczną  analizę  zwią zków fizykalnych  mię dzy tensorem naprę ż enia i tensorem odkształ cenia dla ciał  sprę ż y- stolepkich  w  ram ach  zał oż eń  teorii  liniowej.  Są to prace  D . R.  BLANDA  [3], B.  D .  COLEMAN A  i  W.  N OLLA  [6]  oraz  M . E.  G U RTIN A  i  E.  STERNBERGA  [9]. T a m  też moż na  znaleź ć  obszerną  literaturę  dotyczą cą  tych  zagadnień. Przyjmując  oznaczenia  z  pracy  [9] zwią zki  fizykalne  mię dzy  tensorem  od- kształ cenia i tensorem naprę ż enia w obszarach  sprę ż ystolepkich  moż na  zapisać w  postaci (1.4)  e  ̂ =  * gdzie  (x i  K. ozaczają  odpowiednie  stał e  sprę ż yste  materiał u,  tj.  moduł  od- kształ cenia  postaciowego  i  obję toś ciowy. Wykorzystując  t o  spostrzeż enie  moż emy  w  prosty  sposób  wydzielić  lepkie skł adowe  odkształ cenia.  N a podstawie  zwią zków  (1.4)- (1.5)  otrzymamy (por. P .  M .  N AG H D I  i-  S.  A.  M U R C H ,  [18]), 8  P I OTR  PERZYNA Rozważ my  zm ianę  powierzchni  pł ynię cia  w  czasie.  Obliczając  pochodną wzglę dem  czasu  funkcji  /   otrzymamy Jeż eli  rozpatrywany  stan  jest  stanem  sprę ż ysto- lepkoplastycznym  i  ulega zm ian ie  takiej,  że  /   <  0,  to  zmiana  taka  prowadzi  do  stanu  sprę ż ystolep- kiego,  ponieważ f- \ - fdt  daje  nową  wartość  funkcji  /   mniejszą  od  zera.  Taką zm ianę  stan u  naprę ż enia  bę dziemy  nazywać  procesem odcią ż ania.  W  czasie takiego  procesu  nie  ma  przyrostów  odkształ cenia  plastycznego,  a  więc  ej}  =   0, a  to  pocią ga  za  sobą  równość  k  =  0,  gdyż  nie  może  być  zmiany  param etru wzmocnienia,  jeż eli  eg-  =   0. P onieważ  /3  może  być  wyraż one  za  pomocą  zwią zków  fizykalnych  (1.7)- (1.8)  jako  funkcja  prę dkoś ci  zmiany  naprę ż enia  (Ty, przeto  moż na  wprowadzić nastę pują cy  operator (2.3)  jtw- JL ^ +p. M oż emy  obecnie  zapisać  matematyczny  warunek  dla  procesu  odcią ż ania w  postaci (2.4)  / = 0 ,   JS(av)<0 . Z m ian ę  stanu  naprę ż enia  od  pewnego  stanu  sprę ż ysto- lepkoplastycznego do  in n ego  stan u  sprę ż ysto- lepkoplastycznego,  której  nie  towarzyszą  ż adne przyrosty  odkształ cenia  plastycznego,  bę dziemy  nazywać  procesem  neutralnym. Stan  n eutraln y  bę dzie  się  realizował ,  jeż eli (2.5)  / = 0 ,   £ ( * ( , ) - 0. Aktywny  proces  obcią ż ania, któremu  towarzyszy  przyrost  odkształ ceń  plas- tycznych,  wystę puje,  jeż eli (2.6)  / - 0,  JS(&,j)>Q. Rozpatrując  powierzchnię  pł ynię cia  w  dziewię ciowymiarowej  przestrzeni n aprę ż eń  zauważ ymy  ł atwo,  że  neutralny  proces  nie  odpowiada  kierunkowi przyrostu  naprę ż enia  a- ^ dt stycznemu  do  powierzchni  pł ynię cia  w  rozpatry- wan ym  punkcie,  co  miał o  miejsce  w  teorii  pł ynię cia. St an  n eutraln y  bę dzie  się  obecnie  realizował ,  jeż eli  wektor  przyrostu  na- prę ż en ia  ć ftjdt  bę dzie  odchylony  od  kierunku  normalnego  do  powierzchni pł ynię cia  o  kąt  &,  który  okreś la  równanie (2.7)  &  =   arc cos da, af  w POD STAWOWE  ZAGADNIENIA  LEPKOPLASTYCZN OŚ CI Wyraż enie  (2.7)  wskazuje  na  przyczynę   zmiany  kryteriów  obcią ż ania  dla lepkoplastycznoś ci  w  porównaniu  z  kryteriami  klasycznej  teorii  plastycznoś ci. Przyczyną   tą  jest  wpł yw  lepkoś ci  materiał u  na warunek  plastycznoś ci. Znane  jest  również  zjawisko  wpł ywu  prę dkoś ci  odkształ cenia  n a  warun ek plastycznoś ci.  Bę dzie  ono  szczegół owo  wyjaś nione  w  drugiej  czę ś ci  pracy. M .  REIN ER  [34] przedyskutował   osią gnię cie  stan u  plastycznego  przy  stał ym obcią ż eniu,  a  wię c  zbadał   moż liwoś ci  uplastycznienia  się   materiał u  w  procesie peł zania. Oryginalną   koncepcję   zbadania  kryteriów  uplastycznienia  lub  ogólniej  kry- teriów  osią gnię cia  stanu  krytycznego  zaproponowali W.  OLSZAK i Z .  BYCH AWSKI w  pracach  [21],  [22]. Podstawą   tej koncepcji jest  spostrzeż enie, że o zniszczeniu niektórych  ciał   sprę ż ystolepkich  decyduje  nie  tylko  energia  sprę ż ysta,  ale również  prę dkość  zmiany  energii  dysypacji. Zanalizowano  przykł ady  modeli,  które  ulegają   zniszczeniu,  kiedy  prę dkość zmiany  energii  dysypacji  osią ga  pewną   okreś loną   wartoś ć.  D la  takich  m odeli decydują cy  jest  wpł yw  prę dkoś ci  odkształ cenia. D la  przeprowadzenia  analizy  dość  szerokiej  klasy  ciał   rzeczywistych  autorzy pracy  [22] zaproponowali  nastę pują cy  warunek  osią gnię cia  stan u  krytyczn ego 2 (2.8)  W E +W D   =  &  lub  (co B +co D )W   = k*, jeż eli (2.9)  co E W =W E>   a D W =W D , gdzie  W E   jest  zredukowaną   energią   sprę ż ystą   odkształ cenia  czysto  postacio- wego,  a  W D   prę dkoś cią   zmiany  energii  dysypacji,  ale  wyraż oną   w  wymiarze energii.  Wielkoś ci  co E , co D  i k są   pewnymi  stał ymi  wł aś ciwymi  dla rozważ anego materiał u. W  pracy  [22] rozważ ono  kilka  przypadków  modeli  i  zanalizowano  dla  n ich szczegół owo  postać  kryterium  (2.8). 3.  Definicja  materiału statecznego Wydaje  się , że  najogólniejszym  podejś ciem  do  zagadnienia  opisu  wł asnoś ci ciał   sprę ż ysto- lepkoplastycznych  jest  koncepcja  D . C. DRUCKERA  przedstawion a w  pracy  [7]. D .  C.  D RU CKER  wykorzystał   pewne  spostrzeż enia  z  teorii  plastyczn oś ci. Wskazał   on na to,  że chcą c  dać jednolity i jedn ozn aczn y opis  wł asnoś ci  lepkich i  plastycznych  trzeba  wprowadzić  pewne  podstawowe  postulaty,  które  są celowo  przyję tymi  ograniczeniami. Okazuje  się , że wprowadzają c  postulat  o materiale statecznym  m oż na  otrzy- mać  podstawowe  warunki,  których  speł nienie  pozwala  na  logiczne  wyprowa- a  N ależy  jednak  zaznaczyć,  że poję cie  osią gnię cia  stan u  krytycznego  jest  w  pracy  [22]  rozu- miane  ogólniej  niż osią gnię cie  stanu  plastycznego.  Stan  plastyczny  może  być jed n ym  z  przy- padków  szczególnych  stanu  krytycznego. 10 P I O T R  PERZYNA dzenie  zwią zków  fizykalnych.  Warunki  te  ograniczają   rozważ ania  do  pewnej klasy  materiał ów,  ale jednocześ nie umoż liwiają   konsekwentny  opis matematyczny klasy  wybran ej. Rozważ my  ciał o  o obję toś ci  V  ograniczone regularną   powierzchnią   S, poddane dział aniu  sił   powierzchniowych  T; i  sił  masowych  P ( , które  są   funkcjami  czasu. Wywoł ane  tym i  warunkam i  brzegowymi  stany  przemieszczenia  w,-,  odkształ ce- n ia  e t j  i  naprę ż enia  oy,  są   również  funkcjami  czasu. P rzyjmijmy,  że  warunki  brzegowe  ulegają   pewnym  wariacjom  i  są   okreś lone sił am i  powierzchniowymi  Tj+ zlT,-   i  sił ami  masowymi  Pi- \ - AP it   którym  od- powiadają :  stan  przemieszczenia  u^ - Aui,  stan  odkształ cenia  E^ Ą - AE ̂ i  stan n aprę ż en ia  a^ Ą - Aai]. Podstawową   definicję   statecznego  materiał u  niesprę ż ystego  (sprę ż ysto- lepkoplastycznego)  moż na  wyrazić  Jako  nastę pują cy  postulat  D ruckera: Praca  wykonana  przez  przyrost  sil  zewnę trznych  na  odpowiednich przyrostach skł adowych  wektora  przemieszczenia  musi  być  nieujemna. D efinicję   tę   moż na  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci  matematycznej: /   [JAT i Au i dS+ 0 jeż eli  t  =  0  oznacza  chwilę   przył oż enia  przyrostów  sił   zewnę trznych. w R ys.  2 Czę sto  wygodniej  jest  wprowadzić  dwie  róż ne  drogi  obcią ż enia  J1/ 1^  Pp> i  Tp>, Pf2',  które  zaczynają   się   róż nić  od  chwili  t  —  0  (rys.  2).  Wtedy  definicję {3.1)  zapisać  moż na  w  postaci: (3.2) t =   0   S Jeż eli  w wyraż eniach  (3.1) i  (3.2) czas  t k   nie jest ograniczony ż adnym dodatko- wym  warun kiem  i  może  być  zał oż ony  dowolnie  wielki,  wtedy  mówimy  o  (Sta- tecznoś ci  w  duż ym »,  natom iast ograniczają c  czas  t k   do  bardzo  bliskiego  są sied:- t wa  chwili  t  =   0  otrzymujemy  matematyczną   postać  wyraż ają cą   ((Stateczność w  m ał ym ». Wykorzystują c  zasadę   prac  przygotowanych  moż na  sił y  powierzchniowe, sił y  obję toś ciowe  i  prę dkość  zastą pić  naprę ż eniami i  prę dkoś ciami  odkształ cenia. P O D ST AWO WE  Z AG AD N I E N I A  LE P K O P LAST YC Z N O Ś CI 11 Zasada  prac  przygotowanych  stwierdza,  że  dla  dowolnych  cią gł ych  prę dkoś ci • Ui  zachodzi  równość (3.3) T ,utdS+  f 'PtutdV  = gdzie  T it   Pt,  dij  reprezentują   ukł ad  wielkoś ci  statycznych  bę dą cych  w  równ o- wadze,  a  Mj,  śy  są   zgodnym  ukł adem  kinematycznym.  N ależy  podkreś lić,  że ukł ady  wielkoś ci  statycznych  i  kinematycznych  nie  są   z  sobą   zwią zane. Zakł adają c,  że  rozpatrujemy  tylko  jedn orodn e  stany  naprę ż enia  i  odkształ - cenia  i  wykorzystują c  zasadę   prac  przygotowanych  (3.3),  na  podstawie  (3.2) otrzymamy  warunek (3. 4) /  w- < 4.  Wypukł ość  powierzchni  pł ynię cia W  celu  wykazania,  że  w  teorii  ciał   sprę ż ysto- lepkoplastycznych  przyjmować należy  wypukł ą ,  powierzchnię   pł ynię cia,  wykorzystujemy  warunek  (3.4)  wy- nikają cy  z  postulatu  D ruckera. Zał óż my,  że  stan  a\ f  jest  identyczny  ze  stanem  stacjonarnym  afj  w  chwili t  =   0,  a  stan  off  bę dzie  stanem  zmiennym  w  czasie  i  stan  ten  oznaczymy przez   0. Jeż eli  zał oż ymy,  że At =  £ 2 —^  jest  dostatecznie  mał e  (ograniczamy  się bowiem  do  ż ą dania  ((Statecznoś ci w  mał ym»), wtedy  nierówność  (4.4)  wystarcza^ do  speł n ien ia  nierównoś ci  (4.2). Aby  przeprowadzić  peł ną  dyskusję  zagadnienia  dotyczą cego  wypukł oś ci powierzchn i  pł ynię cia, wprowadzimy  zgodnie z pracą  P. M .  N AG H D IEG O i  S.  A. M U R C H A  [18]  poję cie  szybkiej  drogi obcią ż enia i chwilowej  powierzchni  pł ynię cia. Szybką  drogą  obcią ż enia  w  dziewię ciowymiarowej  przestrzeni  naprę ż eń bę dziemy  nazywać  taki  przebieg  skoń czonej  zmiany  stanu  naprę ż enia,  który realizuje  się  w czasie  nieskoń czenie  krótkim i  podczas  którego  parametr pozostaje  niezmieniony (4.5) D la  szybkiej  drogi  obcią ż enia  zachowanie  się  powierzchni  pł ynię cia  jest dokł adnie  takie  sam o  jak  w  klasycznej  teorii  pł ynię cia  dla  zwykł ej  drogi. Chwilową  powierzchnię  pł ynię cia  zdefiniujemy  nastę pują co.  Zał óż my, że w  dan ym  czasie  t a   ^  0  mamy  stan,  który  charakteryzują  zmienne  a\ f,  sf/ "\ K ( 0 > ,  / 3( fl),  taki  że  ciał o  jest  sprę ż ystolepkie (4.6)  f{a\ f,elł "W\ ^)< Q. Równanie (4.7)  / ( < Ty, e r ) ^W, « ( B ) )  =  0 bę dziemy  nazywać  chwilową  powierzchnią  pł ynię cia  odpowiadają cą  stanowi, który  reprezen towan y jest  w  przestrzeni  naprę ż enia  pun ktem A  (rys.  4).  Trze- ba  zaznaczyć,  że stan A zależy  nie tylko  od  skł adowych  tensora  naprę ż enia,  ale okreś lony  jest  również  wielkoś ciami  ( e$ a \   / 3(fl\   «( a)),  które  opisują  historię obcią ż enia  charakteryzują cą  się drogą  obcią ż enia,  wzdł uż  której  był a  realizo- wan a  zm ian a  aktualnego  stanu,  oraz  czasem, w którym  pun kt  A  został   osią g- n ię ty. PODSTAWOWE  ZAGADNIENIA  LEPKOPLASTYCZN OŚ CI  13 Zał óż my,  że  realizowane  jest  obcią ż anie  w  czasie  t  >  t a   i  od  chwili  t x   >  £o towarzyszy  mu  przyrost  odkształ cenia plastycznego  sfj dt,  n astę pn ie  rozpoczyna się  odcią ż anie  i  w  chwili  t  =   t k   stan  naprę ż enia  wraca  do  stanu  wyjś ciowego or}"1.  Zastosowanie  nierównoś ci  (4.4)  do  zamknię tego  cyklu  obcią ż enia  w  czasie t a   <  t  <  t k   prowadzi  do  nierównoś ci D la  dowolnego  szybkiego  cyklu  obcią ż enia  na  podstawie  (4,5)  powierzchnia pł ynię cia  jest  identyczna  z  chwilową  powierzchnią  pł ynię cia (4.9)  Hm  f(, 0™,  »<«>) =   / fl . Jeż eli  przyjmiemy,  że  wielkość  {xI J}lk jest  funkcją  cią głą  w  pun kcie  t  =  t a , wtedy  wprowadzając  oznaczenie 'ft (4.10)  W£ - / v(i&)* m o ż na  ł atwo  wykazać,  że  w  p r zyp a d ku  gr a n ic zn ym  t k   - *•   t a ,  At  —*  0,  A{3  —» 0 m a m y (4.11) Stąd  wnioskujemy,  że  nierówność  (4.8)  dla  szybkich  dróg  obcią ż enia  moż na przyjąć  w  takiej  samej  postaci jak  w  klasycznej  teorii  pł ynię cia. W  szczególnoś ci jeż eli  przyjmiemy  t a   równe  zeru  i  a\ f  potraktujemy  jako  dowolny  pun kt  w  ob- szarze  sprę ż ystolepkim  identyczny  z  o*,  wtedy  mamy (4.12)  (tfu- a® 6&  >  0 . D la  szybkich  dróg  obcią ż enia  kierunek  eft  jest  ustalony  i  niezależ ny  od czasu. Rozważ ając  wszystkie  moż liwe  szybkie  drogi  obcią ż enia  od  dowolnego pun ktu  a* w  obszarze  sprę ż ystolepkim  do pun ktu  ffy  na  chwilowej  powierzchn i pł ynię cia/ j,  ==  0,  moż na  w  oparciu  o  nierównoś ci  (4.12)  udowodn ić  wypukł ość chwilowej  powierzchni  pł ynię cia. Kierunek  kfj  dla  wszystkich  szybkich  dróg  obcią ż enia  jest  ortogonalny  do chwilowej  powierzchni  pł ynię cia. Ponieważ  powyż sze  uzasadnienie wypukł oś ci  chwilowej  powierzchni pł ynię cia jest  sł uszne  dla  każ dego  pun ktu  i  dla  każ dej  drogi  w  przestrzen i  n aprę ż eń, to  wynika  stąd  wniosek,  że  powierzchnia  pł ynię cia  / . =  0  musi  być  również wypukł a.  Prowadzi  to  z  kolei  do  wniosku,  że  wypukł ość  powierzchni  pł ynię cia nie jest  zależ na  ani  od  drogi,  ani  od  czasu. Podobnej  konkluzji  nie  moż na  wypowiedzieć  odnoś nie  ortogonalnoś ci  wek- tora  ś fj.  Wektor  efj jest  ortogonalny  do  powierzchni  pł ynię cia  tylko  dla  szyb- 14 P I O T R  PERZYNA kich  dróg  obcią ż enia.  D la  rzeczywistych  dróg  obcią ż enia  kierunek  wektora  £y pozostaje  kwestią  dyskusyjną. S.  Kierunek wektora  prę dkoś ci  odkształ cenia plastycznego Rozważ my  obecnie  drogę  obcią ż enia  w  przestrzeni  naprę ż eń.  Zał óż my,  że p u n kt  reprezentują cy  aktualny  stan  naprę ż enia  porusza  się  po  tej  samej drodze  z  róż nymi  prę dkoś ciami.  Czasy  cał ego  procesu  obcią ż enia  wzdł uż tej  samej  drogi  bę dą  róż ne,  co  powoduje  również  inne  efekty  Teologiczne. Badając  zagadnienie  osią gnię cia  stanu  plastycznego  zauważ ymy,  że  bę dzie się  on  realizował  w  róż nych pun ktach drogi  i bę dzie  okreś lony  róż nymi  powierz- ch n iam i  pł ynię cia.  W  wyniku  róż nych  efektów  Teologicznych  na  tej  samej drodze  obcią ż enia  otrzymujemy  pewną  rodzinę  powierzchni  pł ynię cia  zależ ną od  param et ru |3. W  celu  uproszczenia  rozważ ań  zał óż my, że  wszystkie  powierzchnie  pł ynię cia rozważ anej  rodziny  przechodzą  przez  ten  sam  punkt,  n p.  punkt  A  na  rys.  4. Wtedy  ł atwo  zauważ ymy,  że  rzeczywisty  kierunek  wektora  prę dkoś ci  odkształ - cenia  plastycznego  może  być  odchylony  od  kierunku  normalnego  do  chwilowej powierzchn i  pł ynię cia  i  zawiera  się  w  stoż ku,  którego  rozwartość  zależ na  jest od  wielkoś ci  {W }' o k . Wykorzystując  nierówność  (4.4)  do  rozważ anego  obecnie  przypadku  z  rys.  4 i  zakł adają c,  że  dla  t  =  0  zachodzi  równość  ffy  =  CT* wnioskujemy,  że  maksy- m alny  kąt  rozwarcia  stoż ka  jest  funkcją F- 0 Wpł yw  efektów  Teologicznych  n a  zmianę  powierzchni  pł ynię cia  prowadzi do  pewnej  nieoznaczonoś ci.  Poł oż enie  aktualnej  powierzchni  pł ynię cia  w  prze- strzen i  naprę ż eń  nie  jest  bowiem  znane  i  nie  wiadomo,  w  którym  punkcie drogi  obcią ż enia  nastą pi  uplastycznienie.  Kierunek  hiperpł aszczyzny  stycznej do  aktualnej  powierzchni  pł ynię cia w  rozważ anym  punkcie  nie jest  ś ciś le  okreś- ś lony. P O D ST AWO WE  Z AG AD N I E N I A  LE P K O P LAST YC Z N O Ś CI  15 Peł ną   dyskusję   tych  kwestii  przyniosł a  praca  P. N .  N AG H D I'EG O  i  S.  A. MUECHA  [18]. Autorzy  pracy  [18]  zwrócili  również  uwagę   na  pewne  wnioski  dotyczą ce teorii  plastycznoś ci  nie  uwzglę dniają cej  efektów  reologicznych,  ale  dopuszcza- ją cej  istnienie  nieregularnych  powierzchni  pł ynię cia.  W  takiej  teorii  wektor prę dkoś ci  odkształ cenia  plastycznego  efj  leży  wewną trz  wachlarza  utworzone- go  przez  normalne  do  gł adkich  powierzchni  tworzą cych  «naroże  plastyczne)). Eksperymentator,  który  zauważ y,  że  badany  wektor  przyrostu  odkształ cenia plastycznego  ma  róż ny  kierunek  od  kierunku  normalnego  do  oczekiwanej powierzchni  pł ynię cia  lub  że  kierunek  ten  zmienia  się   w  pewnych  granicach, wyprowadzi  w  oparciu  o  klasyczną   teorię   plastycznoś ci  wniosek,  że  w  rozwa- ż anym  punkcie  istnieje  tzw.  anaroże  plastycznej),  podczas  gdy  w  ś wietle  teorii lepkoplastycznoś ci  powierzchnia  pł ynię cia  jest  regularna. 6. Zwią zki  fizykalne  mię dzy  tensorem  naprę ż enia i tensorem  odkształ cen ia Zakł adają c,  że  wektor  prę dkoś ci  odkształ cenia  plastycznego  efj  jest  skiero- wany  wzdł uż  normalnej  zewnę trznej  do  chwilowej  powierzchni  pł ynię cia / =   0,  P .  M .  N AG H D I  i  S.  A.  MU RCH   [18]  zaproponowali  nastę pują cy  zwią zek: (6.1) Okreś lając  A (6.2) Wprowadzają c (6.3) z  warunku A oznaczenie h  = 8f 8eL 8f i  % 3a u   ' otrzymamy 8akl  *'  80 df  df ..I  df  \ 8a m „  dx  \   da m ) 1 OB^ „  oa mn   ox  \  ou pq   i i  biorą c  pod  uwagę   kryteria  dla  obcią ż ania  dostajemy 0,  jeż eli  / < 0 , h(  J3((T ij) > — - ,  jeż eli  /   =   0 , Otfy przy  czym  symbol  <»> jest  zdefiniowany  nastę pują co: ( 6 . 5 )  < * > = f ° '  JCŻ eli  X< 0> \ x,  jeż eli  x  > 0  . W  wyprowadzonych  zwią zkach  (6.4)  nie  uwzglę dniono  trudnoś ci  wynika- ją cych  z  nieokreś lonoś ci  kierunku  wektora  efj  do  aktualnej  powierzchni  pł ynie- 16  P I OTR  PERZYN A cia  w  czasie  procesu  odkształ cenia.  Przyczyną   tej  nieoznaczonoś ci  jest  wpł yw efektów  Teologicznych  na  postać  powierzchni  pł ynię cia. Efekty  te  moż na  uwzglę dnić  wprowadzają c  nastę pują cą   zależ ność  (por. P .  M .  N AG H D I  i  S.  A.  M U R C H ,  [18]): (6.6)  ^ w  której  funkcja  / „   jest  powierzchnią   pł ynię cia,  opisują cą   tylko  izotropową zm ian ę   warunku  plastycznoś ci,  a  druga  funkcja  g  okreś la  taką  'zmianę   kierunku wektora  efj, jaka  jest  dopuszczalna  i  która  wynika  z  poprzednio  dyskutowanych przyczyn .  Wielkoś ci  L   i  M  są   skalarnymi  funkcjami  zależ nymi  od  {̂ /}(1„- 7.  D yskusja  i  wnioski Koń cząc  opis  m etod  pierwszego  kierunku  chcemy  zwrócić  uwagę   n a  kilka podstawowych  zagadnień, wykazać jego zalety  i  wady  oraz  zanalizować  nie  roz- wią zane  do  tej  pory  problemy. T rzeba  zaznaczyć,  że  metody  opisują ce  zachowanie  się   ciał   sprę ż ysto- lepko- plastyczn ych  nie  stanowią   jeszcze  narzę dzia,  za  pomocą   którego  moż na  rozwią - zywać  praktycznie  waż ne  problemy  brzegowe.  Kierunek  ten  postawił   sobie bardzo  ogólne  zadanie,  wymagają ce  jeszcze  wielu  badań  i  prac.  Wiele  kwestii pozostał o  n ie  wyjaś nionych,  niektóre  są   tylko  zasygnalizowane. Zaletą   tego  kierun ku  jest  jego  gł ę boka  wartość  poznawcza,  wskazanie  na podstawowe  trudn oś ci  i  stworzenie  ogólnie  chyba  sł usznej  i  konsekwentnej drogi  postę powania.  Jego  niezaprzeczalnym  sukcesem  jest  zbudowanie  ogól- n ych  podstaw  szeroko  rozumianych  zagadnień  lepkoplastycznoś ci. Ś ledząc  rozwój  podstaw  tego  kierunku  widzimy  wyraź nie,  ile  problemów pozostał o  jeszcze  do  rozwią zania. Jako  zagadnienie  podstawowe  należy  wymienić  przede  wszystkim  szczegół o- wą   dyskusję   i  zbadanie  kryterium  uplastycznienia  ciał   sprę ż ystolepkich, sprecyzowanie  postaci  funkcji  reprezentują cej  warunek  plastycznoś ci  i pokazanie jej  zależ noś ci  od  efektów  Teologicznych.  Z  tym  zagadnieniem  wią że  się   kwestia zm ian y  powierzchni  pł ynię cia  w  zależ noś ci  od  róż nych  czasów  trwania  drogi obcią ż enia.  Rozwią zanie  tego  zagadnienia  usunie  nieoznaczonoś ć,  o  której  po- przedn io  był a  mowa.  P eł ne  wyjaś nienie  i  dyskusja  kwestii  ortogonalnoś ci  wek- tora  przyrostu  odkształ cenia  plastycznego,  zbadanie  charakteru  równań  stanu dla bardziej  kon kretn ych przykł adów materiał ów rzeczywistych  — oto  dalsze  za- gadn ien ia. D o  zagadnień  podstawowych  zaliczyć  trzeba  również  dyskusję   sł usznoś ci podstawowej  hipotezy,  którą   wyraża  zwią zek  (1.1). M oż na  t u  również  wymienić  problemy,  które  pozwolą   na  rozszerzenie  sł usz- noś ci  rozważ ań  i  wyników  już  uzyskanych. P ierwszym  z  n ich  bę dzie  uogólnienie  lub  zbadanie  na  nowo  tych  samych problem ów  przy  zał oż eniu  odkształ ceń  skoń czonych  i  rozszerzenie  rozważ ań n a  procesy  n ieizoterm iczn e. P O D ST AWO WE  Z AG AD N I E N I A  LBP K O P Ł AST YC 2N O Ś CI  17 D o  tej  pory  nie  ma  peł nego  opracowania  podstawowych  zagadnień  dotyczą - cych  termodynamiki  odkształ ceń  sprę ż ysto- lepkoplastycznych.  Wydaje  się , że jest  to  kwestia  również  podstawowa,  gdyż  jej  rozstrzygnię cie  pozwoli  oprzeć wszystkie  rozważ ania  natury  fenomenologicznej  n a  bardziej  ś cisł ych  podsta- wach  fizykalnych. Pozostaje  też  otwarta  kwestia  jednoznacznoś ci  rozwią zania  podstawowego problem u  brzegowego  lepkoplastycznoś ci. N ie  opracowano  również  do  tej  pory  twierdzeń  wariacyjnych,  które  pozwo- lił yby  na  konsekwentne  stosowanie  metod  przybliż onych. I I .  MATERIAŁ  SPRĘ Ż YSTO/ LEPKOPLASTYCZNY 1.  Podstawowe  zał oż enia Badania  tego  kierunku  był y  zapoczą tkowane  wcześ niej  niż  badania  kierunku poprzedniego.  Ogólne  podstawy  rozwoju  zagadnień  lepkoplastycznych  w  ra- mach  tego  kierunku  dał a  praca  K.  HOHENEMSERA  i  W.  PRAGERA  [11]  w  roku 1932  (patrz  również  W.  PRAGER  [31,  32]). N ie  od  razu  jednak  praca  ta  spotkał a  się   z  peł nym  zrozumieniem.  Wydaje się ,  że  dł ugo był a niedoceniana. Zainteresowano się   nią   dopiero  w  latach  1948- 1950,  kiedy  to  W.  W.  SOKOŁOWSKI  [36,  38]  a  nastę pnie  L.  E .  M ALVERN [16] wykazali,  że  w  oparciu  o  zał oż enie  K.  H ohenemsera  i  W.  P ragera  m oż na opisać  pewne  wł asnoś ci  dynamiczne  materiał ów  wraż liwych  na  prę dkość  od- kształ cenia.  D otyczył o  to  jednak  tylko  problemów  jednowymiarowych. Szersze  rozwinię cie  idei  K.  H ohenemsera  i  W.  P ragera  przyniosł y  prace [26,  27,  29]. D zię ki  przyję ciu  zał oż enia,  że  materiał   posiada  cechy  lepkie  dopiero  po uplastycznieniu,  a  w  obszarach  sprę ż ystych  cechy  te  są   nieistotne,  podstawowe koncepcje  opisu  wł asnoś ci  lepkoplastycznych  róż nią   się   od  metod  kierunku poprzedniego. Zał oż ymy,  że  prę dkość  odkształ cenia  moż na  rozł oż yć  n a  czę ść  sprę ż ystą 1  niesprę ż ystą: ( i . i )  8 U =,kfj+ą . Czę ść  niesprę ż ystą   prę dkoś ci  odkształ cenia  oznaczona  przez  efj  reprezen tuje sprzę ż enie  efektów  lepkich  i  plastycznych. 2.  Ogólne  zwią zki  fizykalne Ponieważ  w  obszarach  sprę ż ystych  materiał   n ie  posiada  cech  lepkich,  to dobór  odpowiedniego  kryterium  uplastycznienia  bę dzie  znacznie  prostszy niż  dla  materiał u  sprę ż ysto- lepkoplastycznego. Począ tkowy  warunek  plastycznoś ci,  który  nazwiemy  statycznym  kryterium uplastycznienia,  nie  bę dzie  się   róż nił   od  znanych  kryteriów  plastycznoś ci  w  kla- sycznej  teorii  plastycznoś ci. 2 Mechanika Teoretyczna  i  Stosowana 18  P I OTR  PERZYN A Aby  nasze  rozważ ania  miał y  charakter  dostatecznie  ogólny,  wprowadzimy statyczną   funkcję   uplastycznienia  w  nastę pują cej  postaci: (2.1) gdzie  funkcja  / (oy,  efj)  zależy  od  stanu  naprę ż enia  Cy  i  od  stanu  odkształ - cenia  plastycznego  efj.  P arametr  %  jest  zdefiniowany  wyraż eniem • 5 (2 . 2 )  ( Wielkość  ta  nazywana  jest  parametrem  wzmocnienia  (dokł adny  opis  dwóch podstawowych  definicji  parametru  x  moż na  znaleźć  w  ksią ż ce  R.  H I LLA  [10] lub  w  pracy  P . M .  N AG H D I  [17]). O powierzchni pł ynię cia F  =  0, rozważ anej  w  dziewię ciowymiarowej  przestrze- ni  n aprę ż eń,  zakł adamy,  że  jest  regularna  i  wypukł a. W  pracy  [29]  zaproponowano  nastę pują ce  zwią zki  fizykalne  opisują ce  ma- teriał   sprę ż ysto/ lepkoplastyczny (2- 3) F unkcja  0  (F)  powinna  być  dobrana na podstawie  rezultatów  badań  doś wiad- czalnych,  dotyczą cych  dynamicznych  wł asnoś ci  materiał ów.  Odpowiedni  dobór funkcji  0(F)  pozwala  na  opis  wpł ywu  prę dkoś ci  odkształ cenia  na  granicę plastycznoś ci  materiał u.  Zagadnienie  wyboru  funkcji  0{F)  w  oparciu  o  wyniki doś wiadczeń  został o  szczegół owo  przedyskutowane  w  pracy  [27]. Wygodniej  bę dzie  zapisać  zwią zki  fizykalne  w  trochę   innej  postaci 1  df (2.4)  '  ^  daii k "   =   JK° H ' gdzie  obecnie  y  =   y°/ a:  oznacza  stał ą  materiał u. Równania  stanu  (2.4)  wprowadzają   zał oż enie,  że  prę dkość  odkształ cenia niesprę ż ystego  jest  funkcją   stan u  naprę ż enia  bę dą cego  róż nicą   mię dzy  stanem rzeczywistym,  a  stanem  odpowiadają cym  statycznemu  warunkowi  uplastycz- n ien ia.  F unkcja róż nicy  stanu  naprę ż enia wytwarza  prę dkość  odkształ cenia nie- sprę ż ystego  zgodnie  z prawem  lepkoś ci  M axwella.  Sprę ż yste  skł adowe  tensora odkształ cenia  są   niezależ ne  od  prę dkoś ci  odkształ cenia. Zwią zki  fizykalne  (2.4)  opisują   również  wzmocnienie  materiał u.  D zię ki wprowadzonej  funkcji  F  moż na  opisać  wzmocnienie  zarówno  izotropowe  jak i  an izotropowe. PODSTAWOWE  ZAGADNIENIA  LEPKOPLASTYCZNOŚ CI  19 Aby  dać  bliż szą  dyskusję  zwią zku  (2.4),  rozważ my  tylko  niesprę ż ystą  czę ść prę dkoś ci  odkształ cenia: (2.5) Po  prostych  przekształ ceniach  z  równania  (2.5)  otrzymamy gdzie  I\   =   4"ś (/ś £/   jest  drugim  niezmiennikiem  niesprę ż ystego  ten sora  prę d- koś ci  odkształ cenia. Zwią zek  (2.6)  przedstawia  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci  dla  ciał a sprę ż ysto/ lepkoplastycznego,  które wykazuje  izotropowe  i anizotropowe  wzmoc- nienie.  Opisuje  jednocześ nie  zależ ność  kryterium  plastycznoś ci  od  prę dkoś ci odkształ cenia. Równanie  (2.6)  okreś la  zmianę  aktualnej  powierzchn i  pł ynię cia  w  czasie dynamicznego  procesu  odkształ cenia  niesprę ż ystego.  Z m ian a  ta jest  spowodo- wana  izotropowym  i  anizotropowym  wzmocnieniem  m ateriał u  oraz  wpł ywem efektów  reologicznych,  które  w  analizowanym  przypadku  oddział ywają  przez wpł yw  prę dkoś ci  odkształ cenia. N a  podstawie  równań  (2.4)  moż na  ł atwo  wykazać,  że  prę dkość  odkształ cenia niesprę ż ystego,  traktowana  jako  wektor  w  dziewię cio wymiarowej  przestrzen i naprę ż eń, jest  zawsze  skierowana  wzdł uż  norm alnej  do  aktualnej,  dynamicznej powierzchni  pł ynię cia. 3.  Szczególne  przypadki  zwią zków  fizykalnych Zbadamy  obecnie kilka  przypadków  szczególnych  zwią zków  fizykalnych  (2.4). Jako  pierwszy  przykł ad  zanalizujemy  relacje  opisują ce  zachowanie  się  m ateriał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  wykazują cego  wzmocnienie  izotropowe.  W  tym celu  zał óż my,  że  funkcja  F  ma  postać (3.1)   F gdzie  funkcja  / (cr,^) zależy  obecnie  tylko  od  stanu  naprę ż enia. Jeż eli  ograniczy- my nasze rozważ ania  do  warunku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa, tzn .  przyjmiemy / (°y)  =   (^2)1/2>  gdzie  J 2   jest  drugim  niezmiennikiem  dewiatora  naprę ż enia, wtedy  zwią zki  (2.4)  dają3 3  Podobną postać zwią zków fizykalnych  badał   ostatnio  S.  K AL I SK I  W pracy  przygotowanej  d o druku.  Róż nica  mię dzy  równaniami  (3.2)  i  zależ noś ciami  S.  Kaliskiego  polega  tylko  n a  definicji parametru  wzmocnienia  x. 20  P IOTR  PERZYNA (3.2) ha = Z godn ie  z  (2.6)  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci  ma  obecnie  postać (3 . 3 ) D la stan u jednowymiarowego  równania konstytutywne  (3.2) prowadzą   do nas- tę pują cego  prawa: (3- 4)  ^ gdzie  y*  — 2yj}/ 3,  (p(sp) =   ]/ 3x(W p ),  s  oznacza  odkształ cenie,  a  naprę ż enie i  E  m oduł   Younga. P rawo  (3.4)  był o po  raz  pierwszy  wprowadzone  przez  L. E.  MALVERNA  [16]. Wyraż enie  (3.3)  w  przypadku  zagadnienia  jednowymiarowego  daje  zwią zek (3.5)  * gdzie  a =   cp(ep)  jest  statyczną   charakterystyką   materiał u  dla  prostego  rozcią - gania. Jako  drugi  przypadek  zbadamy  zwią zki  fizykalne  opisują ce  sprę ż ysto- lepko- idealnie  plastyczny  materiał .  Przypadek  ten  otrzymamy  przez  wprowadzenie zał oż enia,  że  funkcja  F  n ie  zależy  od  odkształ ceń, czyli (3 . 6 ) gdzie  J 3   jest  trzecim  niezmiennikiem  dewiatora  naprę ż enia,  a  c  oznacza  stał ą m ateriał u. Równania  (2.4)  moż na  obecnie  zapisać  nastę pują co: 1  . T gdzie  y  —  y°jc.  Zwią zki  (3.7)  był y po raz  pierwszy  wprowadzone  i  szczegół owo zbadan e  w  pracy  [26]. D yn am iczn y  warunek  plastycznoś ci  wynikają cy  ze  zwią zków  (3.7)  ma  postać P O D ST AWO WE  Z AG AD N I EN I A  LE P K O P LAST YC Z N O Ś CI  21 Zakł adają c  dalej (3.9)  J ? - J T T - 1 ' otrzymujemy  odpowiednio  nastę pują ce  równania  kon stytutywn e  i  dynamiczny warunek  plastycznoś ci  (por.  [26]): (3.10)  2 ' " (3.11)  ygr  = Kiedy  odkształ cenia  sprę ż yste  są   mał e  w  porównaniu  z  odkształ ceniami niesprę ż ystymi,  wtedy  równania  (3.10)  dla  funkcji  liniowej  $(- F) =   F  dają zwią zki  fizykalne  zaproponowane  przez  K.  HOHEN EMSERA  i  W.  PRAGERA  [11]. U wzglę dniając  odkształ cenia  sprę ż yste  i  zakł adają c  nadal  liniową   postać funkcji  <[>(F)  =  F  otrzymujemy  na  podstawie  równań (3.10)  równania  fizykalne, które  był y  szczegół owo  badane  przez  A.  M .  FREUDEN THALA  [8]. D la  stanów  jednowymiarowych  równania  (3.10)  i  (3.11)  dają   odpowiednio zwią zki (3.12)  ś = (3- 13)  a = Zwią zek  (3.12)  opisuje  zależ noś ci  dynamiczne  zachodzą ce  mię dzy  n aprę ż e- niami  i  odkształ ceniami  w  materiale  sprę ż ysto- lepko- idealnie  plastycznym . Prawo  to  w  przypadku  liniowej  funkcji  [0(a/ a o )  — l]  został o  wykorzystane przez W. W.  SOKOŁOWSKIEG O  [36, 38]  do  rozwią zania  zagadnienia  rozprzestrze- niania  się   fal  naprę ż enia  w  prę cie. W.  PRAGER  W ksią ż ce  [32] wykazał , że  równania  stanu  dla  ciał a lepko- idealnie- plastycznego  i  dla  ciał a  idealnie  plastycznego  są   wzglę dem  siebie  w  takim samym  zwią zku  jak  równania  stanu  cieczy  lepkiej  i  idealnej. W  pracy  [29]  przedstawiono  ogólną   metodę   otrzymania  równań  klasycznej teorii  pł ynię cia  z  równań  opisują cych  materiał   sprę ż ysto/ lepkoplastyczny. Aby  to  wykazać  bliż ej  zał óż my,  że  y  ->  oo.  F izykalnie  zał oż enie  to  oznacza pozbawienie  ciał a  wł asnoś ci  lepkich.  Wtedy  zgodnie  z  równaniem  (2.6)  otrzy- mujemy (3- 14)  / (%>«&)  =   «  lub  * — 0 . Warunek  (3.14)  jest  klasycznym  kryterium  plastycznoś ci  w  teorii  opisują cej izotropowe  i  anizotropowe  wzmocnienie  m ateriał u.  Z  warunku  (3.14)  i  n a 22  P I O T R  PERZYN A podstawie  definicji  funkcji  &(F)  [por.  równania  (2.4)]  w  przypadku  granicz- nym,  kiedy  y  - *  oo  mamy  $>{F)  - * 0.  Wtedy  iloczyn  y&(F) =   A  jest  nie- okreś lonym  parametrem  i  otrzymujemy  nastę pują cy  zwią zek: (3.15)  %  =  AMj- P arametr  A  moż na okreś lić  z  warunku,  że punkt, który  w  przestrzeni naprę - ż eń  obrazuje  aktualny  stan  obcią ż enia,  musi  się   znajdować  na  powierzchni pł ynię cia (3.16)  Ą dj,  $)  =  0 . Stą d Po  uwzglę dnieniu  zwią zku  (3.15)  i  speł nieniu  równania  (3.17)  dostajemy wzór  znany  z  teorii  pł ynię cia (patrz P. M .  N AG H D I  [17]) nm  A-   __WidaM)aM_ W  przypadku  materiał u  sprę ż ysto/ lepko- idealnie  plastycznego  przez  podsta- wienie  rezultatu  (3.11)  do  zwią zków  fizykalnych  (3.10)  dostajemy (3.19)  ś f t = j / i| Przyjmują c  nastę pnie  w  (3.19)  y =   oo  otrzymujemy  równania  stanu (3.20)  $ j opisują ce  zachowanie  się   nieś ciś liwego  materiał u  idealnie  plastycznego  (por. W.  PRAGER  [32]).  Równania  (3.20)  są   sł uszne  tylko  wtedy,  kiedy  prę dkość odkształ cenia  nie  znika. 4.  Dynamiczny  warunek  statecznoś ci  dla  materiału  niesprę ż ystego G ł ównym  celem  wyprowadzonych  zwią zków  fizykalnych  dla  materiał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  był a moż liwość opisu pewnych wł asnoś ci dynamicz- nych.  D latego  warto  się   zastanowić  nad  modyfikacją   definicji  materiał u  sta- tecznego  z  uwzglę dnieniem  sił  bezwł adnoś ci. Zagadnienie  to  rozwią zał   D . C.  DRUCKER  W  pracy  [7].  Rozszerzona  defi- nicja  prowadzi  do  nastę pują cego  warunku  (por.  z  definicją   [I- (3.4)]): (* (4.1)  f  {f  [ol?- aW ][k,™- ą >]dv}dt+{f ̂ eluM- ^ fdv}  ̂ > 0, t—O  V  V gdzie  przez  Q oznaczono gę stość  materiał u. P O D ST AWO WE  Z AG AD N I E N I A  LE P K O P LAST YC Z N O Ś CI  23 Wyraz  drugi  w  nierównoś ci  (4.1)  jest  róż nicą  wartoś ci  cał ki  obję toś ciowej liczonej  dla  chwili  t  — t k   \   dla  chwili  począ tkowej  t  =  0. Oczywiś cie,  w  każ dym  przypadku  prę dkość  M{2)  dla  dowolnego  pun ktu ciał a jest w  chwili  t  =  0 taka  sama jak  prę dkoś ć  M}1',  stąd  drugi  wyraz  w  nierów- noś ci  (4.1)  jest  nieujemny  dla  dowolnego  czasu  t  =   t k .  D latego  nierówność [I- (3.4)]  ma  wię ksze  znaczenie. W  konkluzji  widać,  że  uwzglę dnienie  sił  bezwł adnoś ci nie  wpł ywa  n a  wnioski wynikają ce  z  warunku  o  materiale  statecznym  odnoś nie  zwią zków  fizykalnych. 5.  Wybór  funkcji  3>(2?) i  okreś lenie  stał ych Peł na  analiza  doboru  funkcji  &(F)  w  zwią zkach  fizykalnych  sprę ż ysto/ lepko- plastycznych  oparta  na  podstawie  badań  doś wiadczalnych  dotyczą cych  dy- namicznych  wł asnoś ci  materiał u  przeprowadzona  został a  w  pracy  [27],  Jed- nocześ nie  okreś lone  został y  fizykalne  stał e  materiał u. Zanalizowano  szczegół owo  pięć  róż nych  funkcji (5.1) (5.2) (5.3)  ®{F)  =   exp  F—l, N (5.4)  0(F)^ ^ a = l N (5.5)  J Trzeba  podkreś lić,  że  nie  prowadzono  doś wiadczalnych  badań  dynam icz- nych  dla  zł oż onych  stanów  naprę ż enia.  Wszystkie  dotychczasowe  rezultaty eksperymentalne  był y  otrzymane  przy  speł nieniu  warunków  dla  stan u  jedn o- wymiarowego. W  celu  umoż liwienia  analizy  róż nych  funkcji  @(F)  [wzory  (5.1)- (5.5)] i  okreś lenia  odpowiednich  stał ych  wprowadzono  hipotezę  o  podobień stwie krzywych  a—e  i  j/ jg  — )/ / £  . H ipoteza  ta  pozwolił a  na  okreś lenie  stał ych  w  zależ noś ciach  opisują cych zł oż ony  stan naprę ż enia  w  oparciu  o wyniki  dla  prostego  rozcią gania  lub  ś ciska- nia, 6.  Proces  relaksacji  dla  zł oż onego  stanu  naprę ż enia Aby  przedyskutować  proces  relaksacji  dla  zł oż onego  stanu  naprę ż enia,  roz- waż ymy  ciał o  sprę ż ysto/ lepkoplastyczne  o  obję toś ci  V,  ograniczone  regularną powierzchnią  S.  Zbadajmy  najpierw  proces obcią ż ania, w  którym  sił y  powierz- chniowe  T t   są  dane  na  powierzchni  S 1}   a  na  pozostał ej  czę ś ci  powierzchn i 24  .  .  P I O T K  PERZYN A Ą   =   S—S 1   sił y  powierzchniowe  znikają .  Po  procesie  obcią ż ania  nastę puje proces  relaksacji, w  którym  prę dkoś ci  w;  zerują   się   na  powierzchni  S u   a  sił y powierzchniowe  nadal  znikają   n a  pozostał ej  czę ś ci  powierzchni    =   Y^f]"^!?'>Aa.  Przyjmijmy  nastę pnie, że  proces  relaksacji  zaczyna  się   w  chwili  t  —  0.  Wtedy  równanie  róż niczkowe (6.9)  może być  zastą pione  nieliniowym  równaniem  cał kowym  Volterry  drugiego rodzaju (6.10) Zakł adają c,  że  wyraż enie  podcał kowe  j/ j2 0 ( - !- r?  l )  speł nia  warunek Lipschitza (6.11)  fc?. W  pracy  [26]  zbadano  rozwią zania  równań  relaksacyjnych  dla  róż n ych funkcji  0(F).  U dowodniono  również,  że  nierówność  Lipschitza  jest  speł niona dla  wszystkich  funkcji  (5.1)- (5.5). 26  P I O T R  PERZYNA 7.  Rozwią zania  problemów  brzegowych M im o  skomplikowanego  charakteru  zwią zków  fizykalnych  opisują cych zachowanie  się   m ateriał u  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  udał o  się   rozwią zać kilka  waż nych  problemów  brzegowych  dla  zł oż onego  stanu  naprę ż enia. Z agadnieniami  jednowymiarowym i  zajmowano  się   wcześ niej  i  istnieje  już kilka  prac  przeglą dowych,  w  których  moż na  znaleź ć  krytyczną   ocenę   wyników (patrz  n p .  [12,  30]). N ie  podam y  tu  również  peł nego  przeglą du  rozwią zań  uzyskanych  dla  zł o- ż onego  stan u  naprę ż enia.  Przedstawimy  tylko  pewne  wyniki  podstawowe. Peł ną   dyskusję   zagadnienia  rozprzestrzeniania  się   fal  naprę ż enia  w  oś rodku sprę ż ysto/ lepkoplastycznym  w  oparciu  o zwią zki  fizykalne  (3.10)  dla  wszystkich wprowadzonych  funkcji  $(F),  (5.1)- (5.5)  podają   prace  [24,  25,  28].  Wy- kazano,  że  cztery  rodzaje  fal:  fala  sferyczna,  cylindryczna  fala  promieniowa, cylindryczna  fala  ś cinania  i  fala  pł aska  w  pół przestrzeni  dają   się   sprowadzić do  jedn ego  zagadnienia  matematycznego.  N aturalnie  metody  rozwią zania tego  zagadnienia  są   róż ne w obszarach  sprę ż ystych  i w  obszarach  niesprę ż ystych. Rozwią zanie  problemu  rozprzestrzeniania  się   sferycznych  i  cylindrycznych fal  naprę ż enia  w  oś rodku  opisanym  zwią zkami  (3.10),  ale  dla  liniowej  funkcji &(F)  przedyskutowano  w  pracach  [20,  23].  P odobnym  zagadnieniem  dla  fali cylindrycznej  zajmował   się   L.  W.  N I K I T I N   [19]. Okazał o  się ,  że  stosowanie  równań  fizykalnych  ciał a  sprę ż ysto/ lepkoplastycz- nego  do  zagadnień  brzegowych  pł yt  jest  zbyt  skomplikowane.  N ie  moż na uzyskać  rozwią zań,  które  mogł yby  być  wykorzystane  w  praktyce  inż ynierskiej. D latego  W.  PRAG ER  zaproponował   w  pracy  [33]  pewną   linearyzację   równań stan u,  polegają cą   n a  zastą pieniu  warunku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  wa- run kiem  odcinkami  liniowym,  tzn .  warunkiem  Treski.  Linearyzacja  ta  dotyczy przypadku,  kiedy W  oparciu  o  tę  koncepcję  E. J.  APPLEBY i  W.  PRAG ER  [1]  rozwią zali  zagadnie- n ie  zginania  pł yty  koł owej  lepko- sztywnoplastycznej,  swobodnie  podpartej na  brzegu  i  równomiernie  obcią ż onej. Krytyczną   ocenę   wyników  uzyskanych  dla  belek  w  oparciu  o  model  lepko- sztywnoplastyczny  dają   prace  P .  S.  SYMONDSA  i  S.  R.  BODNERA  [4,  5], w  których  również  porównano  wyniki  teoretyczne  z  rezultatami  doś wiad- czaln ym i. Rozwią zania  innych  zagadnień  dynamicznych  bą dź  quasi- statycznych  dla oś rodka  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  przyniosł y prace,  [2,13,14,  15, 37, 40, 41]. 8.  Wnioski  koń cowe Oceniają c  krytycznie  dorobek  kierunku  drugiego  chcemy  zwrócić  uwagę na  kilka  podstawowych  kwestii  dyskusyjnych. PODSTAWOWE  ZAGADNIENIA  LEPKOPLASTYCZNOŚ CI  27 Poważ ne  zastrzeż enia  budzi  podstawowe  zał oż enie, że  materiał   w  obszarach nieuplastycznionych  nie  posiada  wł asnoś ci  lepkich.  N a  obronę   tej  hipotezy moż na  przytoczyć  przykł ady  metali,  które  wykazują   wyraź niejsze  wł asnoś ci lepkie  po  uplastycznieniu  niż  przed  uplastycznieniem.  D obrymi  przykł adam i mogą   tu być mię kka  stal  i  czyste  ż elazo.  N ie  znaczy  to jednak,  że metale te  nie posiadają   zupeł nie  wł asnoś ci  lepkich  w  obszarach  nieuplastycznionych. D alszą   kwestią   dyskusyjną   jest  zał oż enie, że wektor  prę dkoś ci  odkształ cenia niesprę ż ystego  efj  jest  ortogonalny  do  aktualnej  powierzchni  pł ynię cia,  co prowadzi  w  efekcie  do koncepcji  potencjał u  plastycznego.  Zał oż enie  to  ogra- nicza  wpł yw  efektów  Teologicznych  na  warunek  plastycznoś ci. W  rozwoju  kierunku  drugiego  brak  opracowań  podstaw  opartych  na term o- dynamice nieodwracalnych procesów  odkształ cenia lub  na fizyce  metali. Ostatn ie badania  wskazują ,  że  wiele  zjawisk  dynamicznych  moż na  wyjaś nić  na  bazie teorii  dyslokacji  (por. n p .  [35]). N ie  został a również  dotychczas  zbadana jednoznaczność  rozwią zania  podsta- wowego  zagadnienia  brzegowego  dla  oś rodka  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego. N ie  ma też  ogólnych  opracowań  metod  przybliż onych  opartych  o  twier- dzenia  wariacyjne. Zaletą   tego  kierunku  jest  oparcie  teoretycznych  rezultatów  o bazę   wyników doś wiadczalnych.  P rzeprowadzona  konfrontacja  wyników  wskazuje  na  moż li- wość  dobrego  opisu  wielu  zjawisk  dynamicznych. U zyskane  już  rozwią zania  problemów  brzegowych  stwarzają   perspektywy zastosowania  metod  tego  kierunku  do  rozwią zywania  waż nych  dla  praktyki zagadnień. Literatura  cytowana  w  tekś cie [ I ]  E. J. APPLEBY  and W.  PRAG ER, A  problem invisco- plosticity, J. Appl.  M ech., 29 (1962),  381. [2]  J.  BEJDA,  Analysis  of  deformation in  a  short visco- plastic cylinder  striking  a  rigid target, Arch.  Mech.  Stos.,  15  (1963). [3]  D . R.  BLAN D,  T he  T heory  of  L inear  Viscoelasticity,  Pergamon  P ress,  N ew  York  1960. [4]  S. R.  BODNER  and  P . S.  SYMON D S,  Plastic  deformations in  impact and  impulsive loading  of beams, w:  « Plasticity »,  (Ed.  by  E. H .  Lee  and  P . S.  Symonds), P ergamon  Press,  N ew  York, Oxford,  London  and  Paris  1960,  488. [5]  S. R.  BODNER  and  P. S.  SYMON D S,  Experimental and theoretical investigation  of  the  plastic deformation of  cantilever  beams subjected  to  impulsive loading, J.  Appl.  M ech.,  29  (1962),  719. [6]  B.  D .  COLEMAN   and  W.  N O LL,  Foundations of  linear viscoelasticity, Reviews  of  M odern Physics,  33  (1961),  239. [7]  D . C.  DRUCKER,  A  definition  of  stable inelastic material,  J.  Appl.  M ech.,  26  (1959),  101. [8]  A. M.  FREUDENTHAL,  T he  Mathematical  T heories of  the  Inelastic  Continuum,  H an dbuch der  Physik,  VI  (1958),  Springer- Verlag,  Berlin. [9]  M .  G U RTIN   and  E.  STEHNBERG,  On  the  linear  theory  of  viscoelasticity, Arch.  Rational M ech.  Anal.,  11  (1962),  20. [1  0]  R.  H I L L ,  T he  Mathematical  T heory of  Plasticity,  Oxford  1950. [II]  K.  HOHENEMSER  and  W.  PRAGER,  t)ber  die  Ansatze  der  Mechanik  isotroper  Kontinua, Z. A. M . M.,  12  (1932),  216. [12]  H . G .  H OP KI N S,  Dynamic  anelastic  deformations  of  metals,  Appl.  M echs.  Reviews,  14 (1961). 28  P I O T R  PERZYN A [13]  B.H . KyKyfl>iH3.  Panaoiw.;  1961. [15]  H . G .  LAN D AU ,  J. H . WEiNERand  E. E. ZWICKY,  T hermal stress in  viscoelastic- plastic plate zuith temperature — dependent yield  stress,  J .  Appl.  M ech.,  27 (1960), 297. [16]  L . E.  M.ALVERN ,  T he propagation  of  longitudinal waves of  plastic  deformation in  a  bar  of material  exhibiting  a  strain- rate  effect,  J.  Appl.  M ech.,  18  (1951), 203. [17]  P .  M .  N AG H D I ,  Stress- strain  relations in  plasticity  and  thermoplasticity, w:  «Plasticity» (E d.  by  E. H .  Lee  an d  P . S.  Symonds),  Pergamon  Press,  N ew  York,  Oxford,  London  and P aris  I 960,  121. [18]  P .  M .  N AG H D I and  S.  A.  M U R C I I ,  On the mechanical  behavior of viscoelastic/ plastic  solids, Tech n ical  Report,  U n iversity  of  California,  Berkeley  1963. [19]  JI .B.  H H KH TH H ,  Pacnpocmpaueuue  ynpyio- ex3Ko- n/ iacmimecKUX  aonu  e  mojicmocmeimou mpyde,  H 3D . By3- o Bj  MantH H ocipoeuH e,  3  (1958), 14. [20]  W.  OLSZAK  an d  P.  PERZYN A,  Propagation of spherical waves in  a  non- homogeneous  elastic— visco- plastic  medium,  Colloque  I n tern ation al  C .N .R.S.,  M arseille  1961,  67;  Bull.  Acad.  Polon. Sci.,  Serie  ScL  Tech .,  9,  (1961), 509. [21]  W.  OLSZAK,  On  critical states  in viscoelasticity,  [w  wydawn.] Progress in Applied  M ech a- n ics- T he  P rager  Anniversary  Volume, M ac  M illan,  N ew  York  1963. [22]  W.  OLSZAK,  Z .  BYCH AWSKI,  Kryterium  zniszczenia  ciał   sprę ż ystolepkich,  w  druku. [23]  P .  PERZYN A,  Stress  waves  in  a  homogeneous  elastic- visco—plastic  medium, Arch.  M ech. Stos.,  11  (1959),  441. [24]  P .  PERZYN A,  Propagation  of  shock  waves  in  non—homogeneous  elastic- visco- plastic  bodies,. Arch .  M ech .  Stos.,  13  (1961),  851. [25]  P .  PERZYN A,  Propagation  of  shock  waves  in  elastic- ^ uisco- plastic  medium  of  a  definite non- homogeneity type,  Arch.  M ech .  Stos.  14  (1962), 93. [26]  P .  PERZYN A,  T he  constitutive  equations  for  rate  sensitive plastic  materials, Quart.  AppL M ath .,  20  (1963),  321. [27]  P .  PERZYN A,  T he  study  of  the  dynamical behavior of  rate  sensitive plastic  naterials,  Arch,. M ech .  Stos.,  15  (1963), 113. [28]  P .  PERZYN A,  On  the propagation  of stress waves in a rate sensitive plastic medium,  Z.A.M .P.,. 14  (1963), 241. [29]  P .  PERZYN A,  T he constitutive equations for  work—hardening and rate sensitive plastic materials, P roc.  Vibr.  P rob.,  4  (1963), 281. [30]  H . J.  PLASS  an d  E. A.  RIP P ERG ER,  Current  research on  plastic  wave propagation  at  the University  of  T exas,  P arts  I  and  I I , w:  <( Plasticity»  (Ed.  by  E. M .  Lee  an d  P . S.  Sym onds). P ergam on  P ress.  N ew York,  Oxford,  Lon don  and  Paris  1960, 453. [31]  W.  PRAG ER,  Mecanique des  solides isotropes au dela  du  dovmine elastique,  M emorial  Sci. M at h .,  87 (1937). [32]  W.  PRAG ER,  Introduction  to  Mechanics of  Cantinua, G in n  an d  Company,  Boston  1961. £33]  W.  PRAG ER,  L inearization  in  visco- plasticity,  Osterr.  I n g.  Archiv.,  1961,  152. [34]  M .  R EI N ER , Plastic  yielding  in  anelasticity, J.  M ech.  P hys.  Solids, 8  (1960), 255. [35]  J . A.  SI M M O N S,  F .  HAUSER  an d J. E.  D OR N ,  Mathematical  T heories  of  Plastic Deformation under  Impulsive  L oading, U niversity of  California,  P ublications  in  Engineering,  vol.  5,  1962,  177. [36.]  B.B.  COKOJIODCKHH,  PacnpocmpatieHue  ynpyzo- enmo- nnacnMHecKUx  BOJIH  e  cmepotcH/ ix, .H OKJI.  AH   C C C P ,  60  (1948), 775. [37]  B.B.  COKOJIOBCKHH,  PacnpocmpaueHue muimdpUHecKUx  eojiu edema eynpyia- en3K0- njiacmu- necKoiX  cpede,  flora.  AH   C C C P ,  60  (1948); 1325. [38]  B.B.  COKOJIOBCKHHJ  PacnpocmpaneHUe  ynpyzo- enmo- nnacmuHecKUX  eom  e cmepoKHfix, i.  M aT.  Mex.;,  12  (1948j,  3. PODSTAWOWE  ZAGADNIENIA  LEPKOPLASTYCZNOŚ CI  29 [39]  C.  TRU ESD ELL  and  R. A.  T O U P I N ,  T he  Classical Field  T heories, w:  H andbuch  der  Physik, HI/ 1  (1960),  Springer- Verlag,  Berlin. [40]  T .  WIERZBICKI,  A  thick- walled  elasto^ uisco- plastic  spherical  container  under  stress  and • displacement  boundary value  conditions, Arch.  M ech.  Stos.,  15  (1963),  297. [41]  T . WIF.RZBICKI,  Impulsive  loading  of  a  spherical  container  with  rigid- plastic and  strain- rate  sensitive material, Arch.  M ech.  Stos.,  15  (1963). P  e  3 io  M  e OCHOBHBIE  BOnPOCŁ I  B£ 3K 0- n itAC T H raK 0C TH FjiaBHOH   usnuo  p aG o ibi  nsmieicn  npeflCTaBJieH ije  OCH OBH BIX  H an paBueH ira  p a3BH rn a  B H S K O - nnacTH qaocTH ,  H OBOH  orpacjiH   MexaHHKn cnnoiflH oK  cpeflbi,  nbiTaiom eiicH   n aTb  coBM eeraoe  o rt n - • camie  peojionwecKH X  H  iuiacTpraecKnx  CBOH CTB  M aTepaajia. IIInpOKO  05cy>KfleHbI  OCHOBbI  TeOpHHj  KpHTepKft  ItFiaCTH^HOCTH  II  < J ) H 3 H T : I e c K H e  3aBHCHM0CTH B  n epBoii  TOCTH   a a n ai- iaJiH3  CBOH CTB  ynpyro- BH SKO- nnacTH 'iecKHX  Teji,  KOTopwe 3(}xJ)2KTti  flo  H  n ocjie  B03HHKHOBennji  njiacTH ^ecKH X  H e$opM auH H . ycn oBiie  nuacTHMiiocTH   B 3aBHCiiMOciH   OT BH 3I< H X  CBOH:CTB  H  iiccn c^oBaufci  Kpn - narpy3KH . riyieM   BBeaeHHH   rrocTyjiaTa  J3|paKepa  06  ycTofhtHBOM   MaTepnajie  flOKa3ana  BbinyKJiocTB  n o - BepxHOCiH   TeKyiiecTH   H   BŁ mefleiibi  yc n o Bn a  pa3pemajoiH H e  HCcjiefloBaTB  HanpH>KeHHH  H  fle- • cJiopMaił HH   u  BMHBHTb  pa3JiH ^H n  BbiTeKaiomae  H3 oflH ospeM eH H oro  BJIHHHHa  peojiorn M ecKiix H   nuaCTH^eCKHX  3(f>c|)eKTOB. Bo  BTopoK  ^acTii  paSoTw  # aH   o63op  MeTOflOB  onHcaHHH   ynpyro/ BH aKO- njiacTH ^ecKiix  Ma- Tepn ajioB,  KOTopwe  npoH BJiaM T  H CH O  BbipaaceH H Ł ie  peon orirqecK H e  CBOHCTBa  TOJIBKO  JI H I I I B B  nnacTH iecKH X  oBjiacTH flx,  a  TaKJKe  offoop  ^wioMeH OJiorH ^iecKH x  (pusiwecKH X  3aBHCHMocTeii, BUHHHHe  ci- copocTH  fle(popM ai4H H  Ha n pefleji  nnacTH^HOCTH. flviH aM H M ecKH e  ycjioBH H   njiaci'nqHOCTH   H   t̂eTKO  BbiHBJieH   xapaKTep  3aBHCHMOCTH 3THX  yCJIOBHH   OT  CKOpOCTH  flei|)OpM aLCH H . IIOKasaH Oj  UTO H3  O^mnX  (pHSH^eCKHX 3aBHCHMOCTeil, onH CbiBaramH x H 30TponH oe  H  aaH 3OTponH oe ypo^H eH H e H  BJI U H H I I C CKopocTH  ne<|)opM amiH , MO>KHO MHoro  H H Tepeciibix  ^jacTHBix  cjry^aeB. MTO B npeflejiBHOM   cjiyqae,  Korfla  nocTOHHHaH   M aiepn aira  y- +oo,  n o n y^ aio T - c a  H3BecTHbie  TeopnH   n jiacTiraecKoro  T e i e n n a . IIoflpoSH O  npoanajiu3H poBaH   n p o ijecc  pejiancanH H   flna  cno>KH oro  H anpa>KeH H oro  COCTOH H H H H   noKa3aH bi  meTOflbi  H H TerpH poBaH na  penaKcaiiH OH H Bix  ypaBH emift. B  Kon qe  BTopoft  qacTH   npoBefleH   KpaTKidi  o63op  pemeH KH   KpaeBbix  3aflau. B  3aKJiioqHTejibHOH   tiacTH   a a n  KpiiTiraecKHH;  aHajiH3  o cu o sH bix  yn p o m a K m iix H   H epenieH H bix  3aflaqj  a  TaK>Ke  o 6m a H   H a6pocoK  nepcneKTH B  flajiŁ H eił ulero  pa3BiiTH H BaHHH. S u m m a r y F U N D AM E N T AL  P ROBLEM S  IN   VI SC O- P LASTI C I TY T h e  aim of  the paper  is to  show  th e fundamental  trends  of  visco- plasticity,  representing  a  new branch  of  continuous  media  mechanics,  which  attempts  to  describe  simultaneously  the  rheolo- gical  and  plastic  properties  of  materials. F undamental  problems, like  the yield  criterion and  the constitutive equations have been  exten- sively  discussed  in  the  paper. 30  P I O T R  PBRZYNA I n  t h e  first  p art  of  t h e  paper  t h e  properties  of  elasto- visco- piastic  bodies  are  described,  t h e Theological  effects  appearing  both before  and  after  t h e yield  point, th e  yield  condition  depending on  viscous  properties  is  discussed. I n troducin g t h e D rucker postulate concerning stable materials, t h e convexity  of the yield  surface can  be  proved,  and  som e  conditions  are  derived  which  enable  us  to  determine the  direction  of t h e  rate  of  plastic  deformation  vector. G en eral  constitutive  equation s have  been  shown,  and  differences  resulting  from  simultaneous Theological  and  plastic  influences  have  been  stressed. T h e  second  p art  of  t h e  paper  presen ts  a  review  of  some  properties  of  elasto/ visco- plastic  m a- terials,  i.e.  m aterials  wh ich  reveal  explicit  Theological  properties  in  the  plastic  region  only. P henomenological  con stitutive  equations  describing  t h e  influence  of  the  strain  rate  on  th e yield lim it  are given. D yn am ical yield  conditions are discussed,  an d their  dependence on th e strain rat e  is  em phasized.  It h as  been  proved  that from  t h e general  constitutive  equations  describing  the isotropic and  an isotropic work  hardening and  the influence  of the strain  rate, n um erous interesting special  cases  can be derived.  I t can be shown, furthermore, th at th e case, when t h e material constant y  t en d s  t o  infinity,  correspon ds  to  t h e  well  known  theory  of  plastic  flow. D etailed  analysis  of  t h e  relaxation  process  in the  case  of  a  general  state  of  stress  is  followed  by t h e  dem on stration  of  effective  methods  of  integration  of  t h e  relaxation  equations.  A  short review  of  solution s  of  t h e  boundary  value  problem s  concludes  th is  part  of  t h e  paper. F in al  rem arks  are  devoted  t o  a critical  analysis  of  basic  assumptions,  to  the  unsolved  problems of  visco- plasticity  and  t o  general  outlines  of  th e probable  future  development  in  this  field  of  me- chanics. ZAKŁAD  M ECH ANIKI  OŚ RODKÓW  CIĄ GŁYCH IP P T  P AN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji 'dnia 3 maja  1963  r.