Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS63\mts63_t1_z2.pdf M E  C H A N I K  A T E O R E T YC Z N A I  S T O S O WAN A 2,  1 (1964) MODEL ELEKTRYCZNY TENSORA N APRĘ Ż EŃ HENRYK  D Z I A T L I K  (WARSZAWA) Wstę p Trwał oś ć,  lekkość  i  taniość  konstrukcji  technicznych  moż na  osią gnąć  tylko na  podstawie  wnikliwej  analizy  rozkł adu  naprę ż eń  i  odkształ ceń  wystę pują- cych  w  konstrukcji  pod  dział aniem  obcią ż eń.  W  prostych  przypadkach  do wyznaczania  naprę ż eń  wystarczają   metody  nauki  o  wytrzymał oś ci  materiał ów, oparte  na  hipotezie  liniowego  rozkł adu  naprę ż eń  w  badanych  przekrojach, które  pozostają   pł askie  również  po  odkształ ceniu  elementu  [1].  Zał oż enia te  są bliskie  rzeczywistoś ci  tylko  w  takich  elementach,  w  których  wymiary  prze- krojów  są   bardzo  mał e  w  porównaniu  z  dł ugoś cią   elementu,  a wię c  w  zasadzie metody  wytrzymał oś ci  materiał ów mogą   być  stosowane  tylko  do prę tów  i  belek. W  wię kszoś ci  elementów  konstrukcyjnych  rozkł ad  naprę ż eń  nie  jest  jedn ak - liniowy,  lecz  tworzy  pole  naprę ż eń  o  skomplikowanej  budowie.  Wymagania współ czesnej  techniki  nie  mogą   być  wię c  zaspokojone  metodami  wytrzymał oś ci materiał ów  i  zmuszają   do  szukania  ś cisł ych  rozwią zań  opartych  n a  teorii  sprę - ż ystoś ci,  która  pozwala  wyznaczyć  rozkł ad  naprę ż eń  bardziej  zbliż ony  do rzeczywistoś ci.  D zię ki  dobrej  zgodnoś ci  teorii  ze  zjawiskami  zachodzą cymi w  rzeczywistych  konstrukcjach  metody  teorii  sprę ż ystoś ci  moż na  stosować do  wszelkich  elementów  konstrukcyjnych,  w  których  naprę ż enia  nie  wywoł ują odkształ ceń trwał ych. Jeż eli jednak nie moż na pominą ć faktu  powstania odkształ - ceń  trwał ych,  to  należy  stosować  metody  teorii  plastycznoś ci,  znajdują ce  się zresztą   jeszcze  w  począ tkowej  fazie  swego  rozwoju. Przedmiotem  naszych  rozważ ań  bę dzie  teoria  sprę ż ystoś ci,  która  został a znakomicie  opracowana  w  czasie  swego  przeszł o  stuletniego  rozwoju  i  dzisiaj stanowi  wypróbowane  narzę dzie  do  badania  rozkł adu  naprę ż eń  i  odkształ ceń w  elementach konstrukcyjnych  o dowolnej  postaci. Jednak struktura m atem atycz- na  teorii  sprę ż ystoś ci,  zawierają ca  wiele  ukł adów  równań  róż niczkowych,  jest bardzo  skomplikowana  i  nastrę cza  ogromne  trudnoś ci  przy  rozwią zywaniu zagadnień  praktycznych.  Jednym  ze  sposobów  uproszczenia  zagadn ien ia  jest sprowadzenie  go —  w  miarę   moż noś ci —  do  ukł adu  pł askiego.  M am y  wtedy do  czynienia  z  dwiema  zmiennymi  niezależ nymi  i,  po  wprowadzen iu  bihar- monicznej  funkcji  naprę ż eń,  z  ukł adem trzech  równań  róż n iczkowych;  jedn ak i  wtedy  bezpoś rednie  rozwią zanie  zagadnień  bynajmniej  nie  jest  ł atwe. 116  H EN RYK D Z IATLIK 2.  Badan ie  naprę ż eń  i  odkształ ceń  na  modelach Ze  wzglę du  na  trudnoś ci  matematyczne  od  dawna  stosuje  się   róż ne  metody doś wiadczalne  do  rozwią zywania  zagadnień  teorii  sprę ż ystoś ci. N iewą tpliwie  najlepiej  opracowaną   metodą   badania  naprę ż eń  na  modelach jest  elastooptyka  [2,  3],  która  pozwala  na  bezpoś rednie  wyznaczanie  linii jednakowego  nachylenia  osi  naprę ż eń  gł ównych  (izokliny)  i  linii  jednakowej róż nicy  naprę ż eń  gł ównych  (izochromy).  Badania  elastooptyczne  wymagają jedn ak  precyzyjnych  urzą dzeń  do  obróbki  modeli  i  kosztownej  aparatury  po- miarowej,  a  szczegół owe  opracowanie  wyników  pochł ania  dużo  czasu  i  wymaga personelu  o  wysokich  kwalifikacjach  technicznych. Równolegle  z  metodą   elastooptyki  (lub  czasem  niezależ nie  od  niej)  stosuje się   m etody  kruchych  pokryć,  analogii  elektrycznej  i  analogii  bł onowej.  Spoś ród in n ych  doś wiadczalnych  metod  moż na  jeszcze  wymienić  metodę   rentgenogra- ficzną   i  tensometryczną   [3]. Z n an e  m etody  doś wiadczalne  poparte  analizą   matematyczną   pozwalają   na rozwią zanie  wielu  zagadnień  teorii  sprę ż ystoś ci,  jednak  najczę ś ciej  kosztem ogromnego  nakł adu  pracy  laboratoryjnej  i  rachunkowej.  W  ostatnich  czasach rozpoczę to  wię c  próby  rozwią zywania  zagadnień  pł askich  teorii  sprę ż ystoś ci za  pomocą   ukł adów  elektrycznych,  w  których  prą dy'  lub  napię cia  speł niają równania  biharm on iczn e  [9,  10]. U kł ady  elektryczne  przystosowane  do  rozwią zywania  równań  okreś lonego typu  stanowią   wyspecjalizowane  maszyny  matematyczne  wymagają ce  jednak speł niania  warunków  brzegowych  danego  zagadnienia  metodą   kolejnych  przy- bliż eń.  Ze  wzglę du  na  bardzo  sł abą   zbież ność  szeregów  wyraż ają cych  warunki brzegowe  funkcji  naprę ż eń  rozwią zywanie  zagadnień  pł askich  teorii  sprę ż y- stoś ci  nawet  przy  uż yciu  maszyn  matematycznych  bynajmniej  nie  jest  ł atwe. T rudn oś ci  doś wiadczalnych  metod  badania  naprę ż eń  na  modelach  wynikają najczę ś ciej  stą d,  że  wytworzenie  pewnego  pola  wielkoś ci  fizycznych,  n p.  pola prą dów  w  modelach  elektrycznych,  analogicznego  do  pola  naprę ż eń,  nie  pro- wadzi  bezpoś rednio  do  wytworzenia  warunków  brzegowych  analogicznych do  tych, jakie  istnieją   w  stanie  naprę ż enia  oryginał u.  Speł nienie  analogii  we- wn ą trz  modelu  nie  zapewnia  jeszcze  istnienia  analogii  na  jego  brzegach,  czyli wł aś ciwie  przy  każ dym  modelowaniu  znanymi  metodami wystę pują   dwa  zagad- n ien ia:  jedn o  zwią zane  z  analogią   naprę ż eń  wewną trz  ciał a,  a  drugie  —  z  ana- logią   naprę ż eń  n a  jego  brzegach  i  tylko  równoczesne  speł nienie  tych  analogii umoż liwia  rozwią zanie  zagadnienia. N owa  m etoda  modelowania  elektrycznego  naprę ż eń,  opracowana  przez autora w I n stytucie  G ospodarki Wodnej, pozwala  zbudować taki model elektrycz- ny  stan u  naprę ż enia,  w  którym  analogie  obcią ż enia  na  brzegach  pocią gają   za sobą   autom atycznie  speł nienie  analogii  naprę ż eń  wewną trz  modelu. 3.  Prą dy  zmienne  wielofazowe  w  modelowaniu  elektrycznym W  modelowaniu  elektrycznym  tensora  naprę ż eń  zastosowane  są   ukł ady prą dów  wielofazowych  [11]  znanych  z  teorii  prą dów  zmiennych.  Pewne  szcze- M O D E L  ELEKTRYCZN Y  TEN SORA  N AP R Ę Ż EŃ   117 goł y,  które  są   potrzebne  do  dalszych  rozważ ań,  wymagają   jednak  bliż szego omówienia. Przede  wszystkim  pod  ukł adem  wielofazowych  prą dów  zmiennych  należy rozumieć  każ dy  ukł ad  wieloprzewodowy  odbiornika  zasilanego  prą dami  sinu- soidalnymi  przesunię tymi  w  fazie  wzglę dem  siebie,  podczas  gdy  zwykł e  znacze- nie  tej  nazwy  jest  zwią zane  raczej  z  ukł adem  generatora.  N iewą tpliwie  takie rozumienie  term inu  «ukł ad  wielofazowy*  pochodzi  z  silnego  zwią zania  tego ukł adu  z  energetyką ,  gdyż  z  reguł y  w  rozdziale  energii  elektrycznej  ukł adem nadrzę dnym  jest  ukł ad  generatora,  natomiast  ukł ad  odbiornika  jest  ukł adem podporzą dkowanym. W  naszej  pracy  natomiast, w  której  chodzi  o modelowanie  elektryczne,  ukł a- dem  podstawowym  jest  odbiornik  (model),  do  którego  powinien  być  przysto- sowany  generator.  Jeż eli  n p .  do  modelu  doprowadzone  są   trzy  prą dy  zm ienne, to powiemy,  że ukł ad  jest  trójfazowy,  chociaż  te  trzy  prą dy  mogą ^być  pobran e z  generatora,  który  ma  cztery  lub  wię cej  faz.  W  ogóle  korzystnie  jest  mieć  do dyspozycji  generator  o  duż ej  liczbie  faz,  n p .  36,  moż na wówczas  bowiem  otrzy- mać  z  niego  każ dy  ukł ad  wielofazowy  odbiornika  o  mniejszej  liczbie  faz  prze- sunię tych  wzglę dem  siebie  o  dowolne  ką ty,  bę dą ce  wielokrotnoś cią   10°.  Takim generatorem  może  być  n p.  silnik  asynchroniczny  z  zatrzym anym  wirnikiem. Jeż eli wirnik  ma 36 ż ł obków, to w polu wirują cym  silnika  wytwarza  się  w  każ dym prę cie  ż ł obka  sił a  elektromotoryczna  przesunię ta  o  10°  wzglę dem  sił y  elektro- motorycznej  indukowanej  w  prę cie  są siedniego  ż ł obka. Moż na  również  przyją ć  jako  generator  prą dów  wielofazowych  dł ugą   linię pół falową   wykonaną   w  postaci  ł ań cucha  wielu  czwórników  —  w  każ dym  z  ta- kich  czwórników  prą d  i  napię cie  są   przesunię te  wzglę dem,  prą dów  i  napię ć innych  czwórników.  G eneratorem  prą dów  wielofazowych  może  być  każ dy ukł ad  elektryczny  odpowiedniej  mocy, który  może  dostarczyć  daną   z  góry  liczbę prą dów  o  znanym  natę ż eniu,  przesunię tych  wzglę dem  siebie  o  wyznaczone ką ty  przesunię cia  fazowego. Wedł ug  podstawowej  wł asnoś ci  prą dów  zmiennych  wielofazowych  suma arytmetyczna  prą dów  chwilowych  i  suma  geometryczna  wektorów  przedsta- wirją cych  prą dy  sinusoidalne  są   zawsze  równe  zeru  [5].  T e  wł asnoś ci  mają również  prą dy m- fazowego  odbiornika pobrane z  w- fazowego  generatora  i  wobec tego  jest  rzeczą   oczywistą ,  że  ukł ad  trzech  faz  odbiornika  doprowadzanych  z generatora  czterofazowego  moż na  traktować  jako  ukł ad  prą du  trójfazowego. Konsekwentnie,  ukł ad dwóch  faz  odbiornika  dwuzaciskowego  przył ą czony  do generatora  wielofazowego,  n p.  trójfazowego,  należy  nazwać  ukł adem  prą du dwufazowego.  W  literaturze  technicznej  jednak  taki  ukł ad  nazywa  się   zwykle prą dem  jednofazowym  —  prawdopodobnie  dlatego,  że  stanowi  wł aś ciwie  jeden obwód.  D o prą du jednofazowego  w  praktycznej  elektrotechnice nie jest  potrzeb- na interpretacja wektorowa,  gdyż nie ma w nim dostrzegalnego  w  zastosowaniach przesunię cia  fazowego. W  modelowaniu  elektrycznym  naprę ż eń  bę dziemy  traktować  obwód  dwu- biegunowego  odbiornika  konsekwentnie  jako  ukł ad  prą du  dwufazowego,  jak 118  H EN RYK D ZIATLIK również  bę dziemy  stosowali  do  tego  ukł adu  interpretację   wektorową .  Prą d dwufazowy  przedstawiamy  za  pomocą   dwóch wektorów  równych  co do  wielkoś ci lecz  o  przeciwnych  zwrotach.  Inaczej  mówią c  przyjmujemy,  że  do  jednego zacisku  odbiornika  doprowadzamy  jeden  prą d  ukł adu  dwufazowego,  a  do drugiego  zacisku  —  drugi  taki  sam  prą d,  lecz  przesunię ty  w  fazie  o  180°. W  zwią zku  z  przedstawieniem  prą dów  wielofazowych  za  pomocą   wektorów należy jeszcze  zwrócić uwagę  na pewną   specyficzną   cechę  modelu  elektrycznego, której  na  ogół   nie  mają   zwykł e  odbiorniki  prą du  wielofazowego.  Odbiorniki t e  są   poł ą czone wewną trz  w  gwiazdę   lub  wielobok,  a  punkt  wę zł owy  gwiazdy lub  boki  wieloboku  są   punktami  lub  liniami,  do  których  dopł ywają   prą dy wszystkich  faz  ukł adu. Wektory  reprezentują ce  prą dy  są   zrównoważ one,  a zatem ich  sum a jest  równa  zeru.  Suma  momentów tych  wektorów jest  też  równa  zeru, ponieważ  wszystkie  wektory  lub  ich  linie  dział ania  przecinają   się   w  jednym pun kcie. W  m odelu  elektrycznym  natomiast  wielofazowy  ukł ad  prą dów  zmiennych jest  doprowadzony  nie  do  pun ktu  wę zł owego,  lecz  do  pewnych  miejsc  obszaru pł askiego,  w  którym  nastę puje  spł yw  prą dów  wszystkich  faz.  W  tym  przypadku odbiorn ikiem jest  cał y  obszar,  który  moż na nazwać  obszarem  wę zł owym,  a  wek- tory  prą dów  doprowadzonych  do  obszaru  są   zwią zane  nie  z  jednym  punktem wę zł owym,  lecz  z  punktam i  przył ą czenia  prą du  do  obszaru.  Wobec  tego  powi- n ien  być  speł niony  warunek  znikania  momentu  ukł adu  wektorów.  Warunek t en  m oż na jedn ak  speł nić zawsze,  ponieważ  wszystkie wektory  mogą   być obróco- n e  dokoł a swych pun któw  zaczepienia o taki ką t,  ż eby  ich linie  dział ania przeszł y przez jeden  pun kt.  Jak  wiadomo,  obrót  wektorów  prą du  nastę puje  przy  zmianie począ tku  rachuby  czasu. 4.  Gę stość prą du P rą d  stał y w  przewodniku jest  okreś lony  przez  pole wektorowe  gę stoś ci  prą du 8  [4, 5,  6],  czyli  wektora,  którego  strum ień  przez  dowolną   powierzchnię   jest równy  prą dowi  / : Z godnie  z  tą   definicją   prą d  stał y  jest  wielkoś cią   skalarną ,  a  gę stość  prą du jest wektorem,  który ma ten sam kierunek co wektor  pola elektrycznego  E w prze- wodn iku  o  przewodnoś ci  wł aś ciwej  y. 8  =   y E . Pole  elektryczne  prą du  stacjonarnego jest  polem potencjalnym,  tak iż natę ż e- n ie  E  tego  pola  może  być  wyraż one  jako  gradient  potencjał u  0: E  =   —  grad. Poję cie  gę stoś ci  prą du,  wprowadzone  do  rozważ ań  nad  rozkł adem  prą du stacjonarnego  w  przewodniku,  nie  daje  się   bezpoś rednio  zastosować  do  przy- M OD EL  ELEKTRYCZNY  TENSORA  NAPRĘ Ż EŃ   119 padku  prą du  zmiennego.  Wynika  to  chociaż by  z  ukł adu  równań  M axwella dla  prą dów  quasi- stacjonarnych: . „   4JT  1  3B r o t H   =   — 8 ,  ro t E  =   —  ; c  c  8t  ' divB  =   0 ,  d ivD   =   4TEO  ; D   =  eE ,gdzie  H   oznacza  natę ż enie  pola  magnetycznego,  B  indukcję   magnetyczną , E  natę ż enie  pola  elektrycznego,  D   indukcję   elektryczną ,  8  gę stość  prą du, o  gę stość  ł adunków  elektrycznych,  fi  przenikalność  magnetyczną   i  e  przen i- kalność  dielektryczną   oś rodka. Przyjmują c  istnienie  potencjał u  wektorowego  A  pola  magnetycznego,  B  = rot  A,  otrzymujemy 1  ri ro t E  =   — — —  rot A , c  ot czyli Wyraż enie  w  nawiasie  jest  wię c  polem  bezwirowym  o  pewnym  potencjale  0. M oż na  je  przedstawić  jako  gradient  potencjał u 1  8 A  = ską d Obecność  pochodnej  potencjał u  wektorowego  w  tym  wyraż eniu  ś wiadczy o  tym,  że  pole  elektryczne  prą dów  quasi—stacjonarnych,  a  tym  sam ym  i  po- le  gę stoś ci  prą du  zmiennego,  nie  jest  polem  potencjalnym. W  przypadku  prą dów  zmiennych  gę stość  prą du  n ie  jest  wektorem  tak  jak w  przypadku  prą du  stał ego,  lecz  wielkoś cią   fizyczną   o  innym  charakterze, który  wyjaś nimy  w  toku  dalszych  rozważ ań. N ajprostszym  przykł adem prą du  jest  prą d  w  prę cie  przewodzą cym  o  stał ym przekroju.  Jeż eli jest  to prą d  stał y, to gę stość prą du  <5  otrzymamy  dzielą c  prą d  I przez  pole  przekroju  S  prostopadł ego  do  osi  prę ta: T ak  postę pujemy  w  praktycznej  elektrotechnice  chcą c  obliczyć  n p .  gę stość prą du  w  przewodach  sieci  lub  maszyn  elektrycznych,  przy  czym  zupeł n ie  ginie "wektorowy  charakter  gę stoś ci  prą du.  W  elektrotechnice  teoretycznej  n atom iast 120 H EN RYK  D ZIATLIK waż niejsza  jest  zależ ność  odwrotna,  która  pozwala  okreś lić  prą d  /   jako  iloczyn skalarny  wektora  gę stoś ci  prą du  i  wektora  powierzchni  przekroju albo /   =   5S cos a . N a  rysun ku  1  przedstawiono  prę t  wykonany  z  materiał u  przewodzą cego o  przewodnoś ci  wł aś ciwej  znacznie  mniejszej  niż  przewodność  metalowych elektrod przył ą czonych do czoł owych powierzchni prę ta. Ze wzglę du na  symetrię Rys.  1 gę stość  prą du  8 jest  wszę dzie  jednakowa  i  skierowana  wzdł uż  osi  prę ta.  P rzez przekrój  prostopadł y  do  jego  osi  pł ynie  prą d  /   =   8 •  S  =   dS cos 0°  =   6S* P rzez  przekrój  nachylony  5' ,  którego  normalna  tworzy  ką t  a  z  osią   prę ta,, pł ynie  prą d  / '  =   8- S'  =   dS'  cosct,  ale  ponieważ  S'  =  Sjcosa,  wię c S T   =   d- • cosa =   8S  =   I . cos a Wynik  ten  moż na  był o przewidzieć  z  góry,  ponieważ  przez  dowolny  przekrój prostopadł y  lub  ukoś ny  pł ynie  ten  sam  prą d  / . W  drugim  przypadku  przedstawionym  na  rys.  2  do  tego  samego  prę ta przył ą czony  jest  prą d  zmienny  dwufazowy  I x ,  I 2.  Jeż eli  chcemy  wyznaczyć prą d  w  prę cie  w  ten  sam  sposób  jak  poprzednio,  tj.  jako  iloczyn  gę stoś ci Rys.  2 prą du  i  przekroju,  to musimy  przyją ć  (jak  to  wykaż emy  w  nastę pnym  punkcie),, że  gę stość  prą du  jest  tensorem,  który  dział ają c  na  wektor  powierzchni  S daje  wektor  I : (  —  6 y , x ,KB. W  rezultacie  dokonanego  wycię cia  w  pł ytce  otrzymaliś my  nieskoń czenie mał y  obszar  wę zł owy  AOB,  do  którego  doprowadzony  jest  prą d  zmienny  trój- fazowy  I x ,I y ,I x ,...  W  obszarze tym  został  zachowany  taki sam  stan  elektryczny, jaki  istniał  w  nim  przed  dokonaniem  wycię cia. Chcemy  teraz  wyrazić  skł adowe  prą du  l x ,  przez  skł adowe  prą dów  I *, I j, . N iech  /,  m oznaczają   kosinusy  kierunkowe osią ;'. Rzutują c wektory  na oś x'  otrzy- mujemy  równanie  wartoś ci  bezwzglę dnych = 0 . Podstawiają c  do  tych  równań  prą dy  wyraż one  przez  gę stoś ci  prą du  zmiennego otrzymamy ó x , x ,AB  =  d xx 0Bl—d yx 0Bm—d xy OAl- t- d yy> OAm, d yx ,AB  =   d xx 0Bm+d yx 0Bl—d xy OAm—dyyOAL Jeż eli  podzielimy  t e  równania  przez  AB  i  uwzglę dnimy,  że  OAjAB  =   m oraz  OBjAB  =  I, to  otrzymamy  zależ noś ci  mię dzy  gę stoś ciami  prą du  zm ien- nego  i  kosinusami  kierunkowymi: 5 X , X ,  =  d xx l 2 —5y X lm—d dy x ,  =   ó xx lm- \ - d yx l 2—d Wyraż enia  te  podają   prawo  transformacji  skł adowych  tensora  przy  przejś ciu z ukł adu współ rzę dnych x, y  do ukł adu współ rzę dnych ,\ / ,j>', który został  obróco- ny  tak,  że  oś x'  tworzy  z  osiami x, y  ką ty  o  kosinusach  kierunkowych  I, m. Wprowadzają c  nowe  oznaczenia x  =  x 1 ,  y=x i9   l = l u ,  m  =  l 2n ,  x'  =  n,  y'  =  • >], 124  H EN RYK  D ZIATLIK moż emy  napisać  powyż sze  wzory  w  ogólnie  przyję tej  postaci  tensorowej: r>=2 s= 2 " "  = =   / 1  / i  "rs^ rn'sn > r = \   s =  l r =  2  s= 2 \ =   Z  2  ó l l Ten sor  gę stoś ci  prą du  zmiennego  jest  tensorem  symetrycznym,  czyli  d rs   = =   ó sr .  D la  przeprowadzenia  dowodu  należy  uwzglę dnić  omówiony  w  poprzed- n im  rozdziale  warunek  równowagi  momentów  wektorów  prą du  zmiennego. P rą d  zm ien n y  trójfazowy,  doprowadzoy  do  trójką tnego  prostopadł oś cianu AOB  (rys.  1)  speł nia ten  warunek,  ponieważ  wedł ug  zał oż enia prą dy  zmienne wielofazowe  I x ,  I 2, ..., I „  doprowadzone  do obszaru  wę zł owego  W  mają   takie prze- sunię cia  fazowe,  że  suma  momentów  wektorów  prą dów  zmiennych  wzglę dem dowolnego  pun ktu  jest  równa  zeru. P onieważ  moż na  przyją ć,  że  na  nieskoń czenie  mał ych  ś ciankach  trójką tnego prostopadł oś cianu  gę stoś ci  prą du  są   rozł oż one równomiernie, to  moż na  również zał oż yć,  że  punkty  zaczepienia  wektorów  prą du  leżą   na ś rodkach  boków  trójką ta. W  trójką cie  prostoką tnym  AOB  symetralne  boków  O A  i  OB  przecinają   się w  ś rodku  trzeciego  boku  BA.  Ś rodek ten obieramy jako  punkt, wzglę dem  którego obliczamy  m om en ty  wektorów  prą du.  Przez  punkt  ten  przechodzą   linie  dzia- ł ania  wszystkich  skł adowych  normalnych  I xx ,  I yy ,  \ x , xl   oraz  skł adowa  styczna \ y , x >,  a  wię c  m om enty  tych  czterech  skł adowych  są   równe  zeru. M om en ty  wzglę dem  ś rodka  boku  AB  dają   tylko  skł adowe  styczne  I , ,  i  l yx prą dów  zmiennych  doprowadzonych  do  boków  OA  i  OB.  Równanie  równo- wagi  m om entów  m a  postać A  D A   O B   MA  n «  O A  n u xy  v/.fv  -   T  Uy x   i / u  „   —  u  , czyli d xy   =   6 yx , co  d o wo d zi,  że  t e n so r  gę stoś ci  p r ą du  jest  t en so r em  sym et r yc zn ym .  Z  r a c h u n ku t en so r o wego  wia d o m o ,  że  t e n so r  sym et ryczn y  posiada  w  p r zyp a d ku  pł askim d wie  e kst r e m a ln e  wa r t o ś ci  skł ad o wych  n o r m a ln yc h :  n ajwię kszą   ó x   i  n ajm n iejszą <52. Wp r o wa d za m y  n o wy  u kł ad  wspó ł rzę dn ych,  w  kt ó r yc h  oś  x  m a  kieru n ek zgo d n y  z  kie r u n kie m  wyst ę po wan ia  m aksim u m  gę stoś ci  p r ą du  d x>   a  oś  y  m a kie r u n e k  odpowiadają cy  m i n i m u m  gę stoś ci  p r ą du  6 2 ,  Skł adowe  n o r m a ln e i  stycz- n e  gę stoś ci  p r ą du  zm ien n ego  w  t ym  ukł adzie  wsp ó ł r zę d n ych  są   wyraż one  rów- n a n i a m i : U m i e ś ć my  w  p u n kc ie  O  ( w  począ tku  u kł ad u  wsp ó ł rzę d n ych)  bard zo  m ał ą i  b a r d z o  cien ką   p ł yt kę   o  p o wierzc h n i  S  ( m o ż emy  n p . wyo brazić  sobie,  że  cał y M O D E L  ELEKTRYCZN Y  TEN SORA  N AP R Ę Ż EŃ   125 oś rodek  przewodzą cy  jest  cieczą,  a  pł ytka  jest  wykonana  z  materiał u  o  takiej przewodnoś ci  wł aś ciwej,  jaką  ma  ciecz  —  wówczas  obecność  pł ytki  w  naczyniu nie  naruszy  stan u  elektrycznego  oś rodka). Jeż eli  pł ytka jest  prostopadł a do  osi x, tzn .  kierunki  jej  normalnej  i  osi  x  są  zgodne,  to  przez  pł ytkę  pł ynie  prąd Po  ustawieniu  pł ytki  prostopadle  do  osi  y  pł ynie  przez  nią  prąd  zmienny la  =   <52S  przesunię ty  w  fazie  o  90°.  Przez  pł ytkę  nachyloną  dowolnie,  której normalna  ma  kosinusy  kierunkowe  ZŁ  i  Z2, pł ynie  prąd  zmienny  I  przesunię ty w  fazie  o kąt  na  ogół  inny  niż  kąt  nachylenia  pł ytki; lecz  zależ ny  od  tego  ką ta. Wektor  prą du  I  moż emy  rozł oż yć na  dwie  skł adowe,  normalną  I„  i  styczną  I,, których  wartoś ci  bezwzglę dne  otrzymamy  mnoż ąc  równania  gę stoś ci  prą du przez  S: d„s =  djis+d.ą s,  d t s=  (d.- d^ hks. Skł adowe  prą du  zmiennego  /   są  więc  wyraż one  wzorami I n  = 1,11+1,11,  I t  =  {h- I^ kk- Wektor  prą du  /   moż na  rozł oż yć  na  kierunki  osi  x  i  y.  Skł adowe  wzdł uż tych  osi  mają  wartość l x   =   l„li- \ - l t lz,  J y   =   i n 4—i, / i. Podstawiając  odpowiednie  wielkoś ci  I„  i  / ,  otrzymamy  nowe  równania I x  =  {iJ\ ~\ - iA)k+{h- h)kkh, i,  =   (i„ą +i t ą )k- (i 1 - i i )i 1 kh, które  po  uwzglę dnieniu  równoś ci  Z?+Zf  =   1  i  uproszczeniu  przyjmują  postać J x   =  IJ U   Iy =  I 2 l z .  Z  równań  tych  otrzymujemy  po  wyrugowaniu  Zlf  Z2 równa- nie  elipsy P  P J l  i 2 Z  powyż szych  równań  wynika,  że  przy  obracaniu  pł ytki  £   w  każ dym  jej poł oż eniu  przepł ywa  przez  nią  prąd  zmienny  o takiej  wartoś ci  i takim  przesun ię- ciu  fazy,  że  koniec  wektora  tego  prą du  zakreś la  elipsę.  Równanie  tej  elipsy moż na  również  otrzymać  na  innej  drodze  w  wyniku  rozważ ań  nad  stanem elektrycznym  oś rodka  przewodzą cego  prąd  zmienny  wielofazowy. Pod  wpł ywem  prą dów  zmiennych  i lt   i 2 ,  i 3   ukł adu  wielofazowego,  doprowa- dzonych  do  pł askiego  przewodnika,  powstaje  w  nim  zmienne  pole  elektryczne, a  ś ciś lej  pole  prą du  elektrycznego.  Jeż eli  czę stotliwość  prą dów  / =   co[2n  nie jest  bardzo  wielka, to  moż na pominąć prą dy  przesunię cia  M axwella  i  traktować pole jako  quasi- stacjonarne,  które  w  każ dej  rozważ anej  chwili  t  jest  polem  po- tencjalnym.  Potencjał   pola  w  każ dym  punkcie  przewodnika  moż na  obliczyć stosując  metodę  obliczania  pojemnoś ci  wielofazowej  linii  napowietrznej  lub kablowej,  istnieje  bowiem  ś cisła  analogia  mię dzy  ł adunkiem  O  =  CU  w  polu elektrostatycznym  a  prą dem  I  ~  yU  w  polu  elektrycznym  prą du  [5]. 126  H EN RYK D ZIATLIK Wobec  liniowej  zależ noś ci  potencjał u  w  danym  punkcie  od prą dów  (ł adun- ków)  moż na — stosują c  zasadę   superpozycji  — wyrazić  potencjał   p  wzorem P  —  «l w  którym  a lt   a 2 , a s , ...  są   współ czynnikami  zależ nymi  tylko  od współ rzę dnych wybranego  pun ktu. G radien t  potencjał u  (i  proporcjonalna  do  niej  gę stość  prą du)  okreś lony jest  pochodną   czą stkową   potencjał u  w  kierunku  normalnej  n  do  linii  ekwi- potencjalnej  przechodzą cej  przez  pun kt  M. Skł adowe  gradientu  potencjał u w  kierunku  osi x  i y  mają   postać Bp  da x   .  8a 2   . Podstawiają c ii  =   1%  s.m(a> t- \ - < p2)  , i„  =  I„  sin(cot+(p n ) otrzym am y  na g r a d ^  wzór _(8a l '8a x Wyraż enia  w  nawiasach  są   tylko  funkcjami  poł oż enia  rozważ anego  pun ktu M(x,  y).  Oznaczają c  je  przez  A x {x, y)  i  A 2 (x,y)  moż emy  skł adową   gradientu potencjał u  n a  osi  x  wyrazić  równaniem gradxj>  =   A^ mcot- j- A^ coaojt. W  podobn y  sposób  otrzymujemy  skł adową   gradientu  w  kierunku  osi y: Znają c  te  skł adowe  moż emy  wyznaczyć  gradient  potencjał u  w  dowolnym kierunku  tworzą cym  z  osią   x  ką t  cp. Przez  pomnoż enie  obu  stron  równania przez  przewodność  wł aś ciwą   y  otrzymujemy  skł adowe  gę stoś ci  prą du  w kie- run ku  osi x  i  y: d x   = yA t   sin wt+yA 2   cos cot, d y  =  yB x sinwt- \ - yB 2 coscot. P o  wyrugowaniu  zmiennej  cat otrzymujemy  równanie  elipsy: - y^A -̂ A^y  =  0. M O D E L  ELEKTRYCZN Y  TEN SORA  N AP R Ę Ż EŃ   127 Elipsę   tę  moż emy  uważ ać  za  linię ,  którą   zakreś la  koniec  wirują cego  wektora wartoś ci  chwilowej  gę stoś ci  prą du.  M oż na  wykazać,  że  taki  wirują cy  wektor jest  równoważ ny  rozpatrzonemu  wyż ej  tensorowi  gę stoś ci  prą du. Tak  wię c  gę stość  prą du  zmiennego  w  obszarze  wę zł owym,  do  którego  do- prowadzono  prą dy  zmienne  wielofazowe,  jest  tensorem  o  walencji  2. Równania  wią ż ą ce  ze  sobą   skł adowe  tensora  gę stoś ci  prą du  zmiennego otrzymuje  się   z  rozważ ań  równowagi  elektrycznej  dla każ dego  pun ktu  obszaru wę zł owego.  Warunek  równowagi  powinien  jednak  być  speł niony  n ie  tylko dla  punktu, ale i dla każ dego  skoń czonego  obszaru  ograniczonego  powierzchnią zamknię tą,  obejmują cą   badany  punkt.  Warunek  taki  podaje  prawo  Kirchhoffa> które  dla  obszaru  bezź ródł owego  ma  postać / / ( < S ) d S = O . N a  podstawie  twierdzenia  G aussa- Ostrogradskiego  równanie  to  moż na  prze- kształ cić: otrzymują c  w  ten  sposób  bezpoś rednio Div(<5) =   0. Równanie  to  napisane  w  postaci  rozwinię tej  rozpada  się   na  dwa  równania róż niczkowe: SS XX   88 xy   _  8d yx   3d yy +   ~  '  dx   r   8y8x   +   8y  ~  '  dx   r   8y N a  granicy  obszaru  wę zł owego  są   miejsca  (powierzchnie)  leż ą ce  bezpoś red- nio  pod  elektrodami,  przez  które  wprowadza  się   prą dy  zmienne  do  obszaru, oraz  miejsca  wolne  od elektrod.  W miejscach  powierzchni  wolnych  od elektrod prą d  przepł ywać  może  jedynie  w  kierunku  stycznym  do  granicy  obszaru, skł adowe normalne zaś są  równe  zeru,  <5„  =   0, wobec  czego  na brzegach  obszaru wolnych  od  elektrod  elipsa  gę stoś ci  prą du  zmiennego  degeneruje  się   do od- cinka.  W  miejscach  przył oż enia  elektrod  mogą   natomiast  istnieć  tak  skł adowe normalne  gę stoś ci  prą du  zmiennego  jak  i  skł adowe  styczne,  a  ich  wzajemny stosunek  decyduje  o róż nicy mię dzy  fazami  prą dów  zmiennych doprowadzon ych do  poszczególnych  elektrod. Prą dy  zmienne  doprowadzone  do  obszaru  wę zł owego  powin n y  speł niać warunek  równowagi  wektorów,  co  już  był o  omówione  poprzedn io.  Wydaje się   celowe  wyraż enie  tego  warunku  w  oparciu  o fakt,  że  suma  prą dów  chwilo- wych  ukł adu  wielofazowego  jest  zawsze  równa  zeru  (prawo  Kirchhoffa  dla prą dów  chwilowych).  Skorzystamy  w  tym  celu  z  rachunku  symbolicznego dla  prą dów  doprowadzonych  do  obszaru  pł askiego. 128  H EN RYK  D Z IATLIK P rą dy  chwilowe  mają   nastę pują cą   postać  symboliczną : f .  T  J((Ot+ę i) Sumują c  prą dy  chwilowe  otrzymujemy P on ieważ  eja"  jest  funkcją   czasu,  wię c  równe  zeru  może  być  tylko  wyraż enie zawarte  w  nawiasie,  które  z  kolei  bę dąc  wielkoś cią   zespoloną   może  być  równe zeru  tylko  wtedy,  gdy  są   speł nione  jednocześ nie  dwa  równania ...I n cosrp„  =  0 , -   ...T n sincp n   =  0 . Omówione  warunki  brzegowe  w  miejscach  przył oż enia elektrod i  w  miejscach woln ych  obszaru  wę zł owego  są   speł nione  zawsze,  gdyż  wynikają   z  podsta- wowych  praw  elektrotechniki. 6.  Analogie  elektryczne ten sora  naprę ż enia P odstawowym  poję ciem  teorii  sprę ż ystoś ci  jest  tensor  naprę ż enia,  który charakteryzuje  stan  naprę ż enia w  ciele  poddanym dział aniu sił . Tensor naprę ż e- nia  dla  zagadnienia  pł askiego  przedstawić  moż na  w  postaci  macierzowej: • 1 I  T v T = 1  i. ffy J P rawo  przekształ cenia  skł adowych  tensora  dla  dowolnej  ś cianki  o  normalnej n  moż na  wyrazić  w  zwię zł ej  postaci;  n p.  skł adową   normalną   przedstawia  wzór: / = 2  fc= 2 ł - 1  k=l Wiadom o  z  teorii  sprę ż ystoś ci,  że  tensor  naprę ż enia jest  symetryczny,  czyli że  r xy   =   r yx .  Warunek  równowagi  statycznej  (bez  uwzglę dnienia  sił   masowych) wyraża  równanie  tensorowe D iv  T =   0 , które  w  postaci  rozwinię tej  rozpada  się   na  dwa  równania  róż niczkowe: do*  ,  8t xy   _  n  8ryx  8ay  _ ox  oy  ox  oy U kł ad  sił   dział ają cych  n a  ciał o  jest  w  równowadze  wtedy,  gdy  suma  ich m om en tów  wzglę dem  dowolnego  punktu  jest  równa  zeru  oraz  gdy  rzuty  ich n a  trzy  liniowo  niezależ ne  kierunki  są   równe  zeru. D la  ukł adu  pł askiego  warunek  równowagi  rzutów  wyraż ają   równania,  w  któ- M O D E L  ELEKTRYCZN Y  TEN SORA  N AP R Ę Ż EŃ   129 rych  Fj  oznaczają   sił y,  a y i -  ką ty  zawarte  mię dzy  kierunkami  ich  dział ania a  osią  x: ...  F n coscp„  =   0 , . . .  F n sinip„  =   0 . Z  pobież nego  zestawienia  równań  obowią zują cych  w  teorii  sprę ż ystoś ci i  porównania  ich z  odpowiednimi  równaniami  z  poprzedniego  rozdział u  widać od  razu, że istnieje  peł na  analogia  mię dzy  stanem  naprę ż enia  w ciele  poddan ym dział aniu  sił  a  stanem  elektrycznym  obszaru  wę zł owego  prą dów  zmiennych wielofazowych.  W  szczególnoś ci  sił om  odpowiadają   prą dy  zmienne,  a  n aprę - ż eniom — gę stoś ci  prą du  zmiennego,  tak iż  analogia  jest  zachowana  nie tylko wewną trz  obszarów  ale i  na brzegach.  D la zbadania  stanu  naprę ż eń  w  ciele obcią ż onym  moż na  wykonać  geometrycznie  podobny  model  i  doprowadzić do niego  prą dy  zmienne  o  natę ż eniu  proporcjonalnym  do sił  i  o  przesunię ciach fazowych  równych  odpowiednim  ką tom  nachylenia  sił   przył oż onych  do  ba- danego  ciał a.  M ierzą c  gę stoś ci  prą du  zmiennego  w  poszczególnych  punktach modelu  znajdujemy  wielkoś ci  proporcjonalne  do  naprę ż eń  w  odpowiednich punktach  ciał a  obcią ż onego  sił ami. W  teorii  sprę ż ystoś ci  doniosł e  znaczenie  ma  funkcja  naprę ż eń  Airy'ego, która  speł nia  równanie  biharmoniczne Ań q>  =  0 . Łatwo  moż na wykazać,  że analogiem  funkcji  naprę ż eń jest  potencjał   wektorowy, który  w przypadku  pł askim prą du  zmiennego  również  speł nia podobne  równanie AAA  =   0  . Skł adowe  gę stoś ci  prą du  zmiennego  moż na  wyrazić  za  pomocą   potencjał u wektorowego dxdy ' a  skł adowe  tensora  naprę ż enia  za pomocą   funkcji  naprę ż eń: 8 2 .  M amy  wię c zależ noś ć: =   dl o   cos   z  osią 8.  Ukł ad  pomiarowy  modelu elektrycznego naprę ż eń W  przypadku  pł askiego  stanu  naprę ż enia  sporzą dzamy  model  z  pł askiego przewodnika  stał ego  lub  pł ynnego,  n p .  z  masy  przewodzą cej  lub  elektrolitu. N astę pn ie  przymocowujemy  do  jego  brzegów  elektrody  i  doprowadzamy  do n ich  prą dy  zmienne  wyregulowane  w  ten  sposób,  ż eby  ich  przesunię cia  fazowe M O D E L  ELEKTRYCZN Y  TEN SORA  N AP R Ę Ż EŃ 133 był y  równe  odpowiednim  ką tom  nachylenia  sił ,  a  natę ż enia  ( n p.  am plitudy, wartoś ci  skuteczne  lub  wartoś ci  ś rednie  prą du)  był y  proporcjonalne  do  od- powiednich  sił .  Za  pomocą   czujnika  o  trzech  ostrzach  ustawionych  param i prostopadle  do  siebie  badamy  teraz  poszczególne  pun kty  modelu.  Każ da  para ostrzy  czujnika  mierzy  róż nicę   potencjał ów  mię dzy  dwoma  bardzo  bliskimi punktami,  a  ponieważ  odległ ość  mię dzy  ostrzami  jest  stał a,  wię c  wielkoś cią mierzoną  jest  gradient  potencjał u w  punkcie  leż ą cym  mię dzy  ostrzam i.  G ę stość prą du  w tym  punkcie jest  w każ dej  chwili  proporcjonalna  do gradientu  potencja- ł u,  tak  iż  ostatecznym  wynikiem  pomiaru  jest  gę stość  prą du  zm iennego  w  da- nym  punkcie,  a  wię c  poś rednio —  naprę ż enia  w  odpowiednim  pun kcie  orygi- nał u. G ę stość  prą du  w  modelu  elektrycznym  moż na  mierzyć  w  róż nych  ukł adach pomiarowych,  jednak  najbardziej  celowe  wydaje  się   zastosowanie  oscylografu katodowego.  Przykł ad  takiego  ukł adu  pomiarowego  jest  przedstawiony  sche- matycznie  na  rys.  6. 134  H EN RYK  D ZIATLIK Ź ródł em  prą dów  zmiennych  wielofazowych  jest  przetwornica  fazowa  FR zasilona  z  sieci  przez  autotransformatory  AT .  N a  rysunku  przedstawiona  jest przetworn ica  w  postaci  silnika  asynchronicznego  z  zatrzymanym  wirnikiem, choć  oczywiś cie  ź ródł em  prą dów  wielofazowych  może  być  inny  odpowiedni ukł ad,  n p .  sztuczna  linia  dł uga  pół falowa.  Prą dy  każ dej  fazy  przył ą czonej do  modelu  M  są   regulowane  za  pomocą   oporników  A.  W  badanym  punkcie modelu  ustawiony  jest  czujnik  Cz,  którego  dwa  skrajne  ostrza  są   poł ą czone z  pł ytkam i  odchylenia  poziomego  i  pionowego  lampy  oscylografu  katodowe- go  OK,  a  ostrze  ś rodkowe  jest  poł ą czone  z  pł ytkami  uziemionymi  lampy.  N a ekranie  lampy  oscylografu  zjawia  się   elipsa,  która  jest  obrazem  elipsy  naprę ż eń oryginał u. Analiza  tej  elipsy  dostarcza  waż nych  informacji  o  naprę ż eniach  w  badanym pun kcie.  Osie  gł ówne  elipsy  są   proporcjonalne  do  naprę ż eń  gł ównych  ct lt   ff2, a  jej  ką t  nachylenia  wzglę dem  ukł adu  współ rzę dnych  prostoką tnych,  wyzna- czonego  przez  trzy  ostrza  czujnika,  jest  równy  ką towi  nachylenia  osi  elipsy n aprę ż eń  wzglę dem  tych  samych  osi  zwią zanych  z  oryginał em. U stawiają c  czujnik  w  róż nych  punktach  modelu  otrzymujemy  na  ekranie elipsy  o  róż nych  kształ tach,  wymiarach  i  nachyleniach  osi.  Czujnik  moż na prowadzić  po  modelu  w  ten  sposób,  aby  obydwie  pary  ostrzy  był y  zawsze równoległ e  do  ustalonych  osi  współ rzę dnych  i  aby  ką t  nachylenia  osi  róż nych elips  był   stał y;  wtedy  czujnik  zakreś li  na  modelu  linię   stał ego  nachylenia  na- prę ż eń  gł ównych,  a  wię c  izoklinę . Bardzo  ł atwo  znaleźć  moż na  za  pomocą   czujnika  takie  punkty,  w  których elipsa  staje  się   koł em ;  są   to punkty,  w  których  w  oryginale  wystę pują   naprę ż enia h ydrostatyczn e. W  ukł adzie  pomiarowym  przewidziane  są   jeszcze  prostowniki  pozwalają ce zm ierzyć  sum ę   ś redn ich  wartoś ci  prą dów  dwóch  skrajnych  ostrzy  czujnika. Sum a  tych  ś redn ich  wartoś ci  jest  proporcjonalna  do sumy  gradientów  potencja- ł ów  w  dwóch  wzajemnie  prostopadł ych  kierunkach,  przy  czym  dla  każ dego pun ktu  suma  ta jest  stał a,  niezależ na  od  kierunku  osi  współ rzę dnych  czujnika. Przesuwają c  czujnik  po  modelu  moż na  znaleźć  punkty,  w  których  suma  ta zachowuje  wartość  stał ą .  Jeż eli  punkty  te  poł ą czymy  ze  sobą ,  to  otrzymamy linię   równ ych  wartoś ci  sumy  naprę ż eń  normalnych  w  dwóch  wzajemnie prostopadł ych  kierunkach,  czyli  izopachę .  Jak  wiadomo,  izopachy  są   liniami ekwipotencjalnymi,  ponieważ Literatura  cytowan a  w  tekś cie [1]  N .  J.  BIEZU CH OW,  T eoria sprę ż ystoś ci  i  plastycznoś ci,  1957. [2]  J.  T .  PIN D ERA,  Zarys  elastooptyki,  1953. [3]  R.  Z IM M ERM AN N ,  Pomiary  naprę ż eń  i  drgań  metodami  elektrycznoś ci, 1959. [4]  J.  E .  T AM M ,  OcHOBbi  meopuu ssieicmpwiecmea,  1954. [5]  K.  KU P F M OLLER,  Einfiihrung  in  die  theoretische  Elektrotechnik, tł um .  ros.,  1960. M OD EL  ELEKTRYCZNY  TENSORA  NAPRĘ Ż EŃ   135 [6]  J.  WEYSSEN H OFF,  Zasady  elektromagnetyki  i  optyki  klasycznej,  1957. [7]  B.A.  FoBopKOB,  SAeKmpuuecKue  u  Mamwnmie T IOAH,  1960. [8]  A.A.  BjiacoBj  MaKpocKonunecxan  3jieKtnpoduHaMUxa,  1955. [9]  G .  LIEBMAN N ,  T he solution of  plane stress  problems by  an  electrical analogue  method,  Brit,. J.  App.  Phys.,  n r  5,  19S5. [10]  J.  BOSCHER, Resolution par  analogie electrique  d'equations aux derivees partielles du  quatrieme ordre intervenant dans divers problemes  d'elasticity, P ubl.  Scient. Tech n .  Air,  n r  348,  1958. [11]  T . W.  G .  CALVERT,  T he  determination  of  stress  concentrations with  an  electrolytic  tank model, Brit.  J.  App.  Phys.,  n r  5,  1961. P  e 3  JO  M  e SJIEKTPEM ECKAfl  M O^EJIfe  T E H 3O P A H AIIPJD KEH H fi; nepeMeH H brft  TOK i = sinl(a}t+(p)  MO>KHO pacciwaTpH BaTb  KaKBercrop  I m  n n o - CKOCTH J  BejiH^HHa  KOToporo  paBtraeTCH   aMiiiiH Tyae  / , a  yr o ji 3  n o OTHomeHHW K  HeKOTOpoft  n o - CTOHHHoii OCH  KoopflHHaT^ paBH H eTcs  cflBH ry  n o cba3e  cp.  E C J I H   K npoBOflHHKy  B  diopiwe  TOH KOJI nJiacniH KH ,  H3roT0BJieHH0H   H3  M aTepH ana,  o6jiaflaiom ero  n o  cpaBHeHHK)  c jweTajuia—3Ha*iHTejibHO  MeH tmeft  ypftnvaavi  npoBOflH rnocrbio  n oflBeciH ,  nocpeflcTBOM K  KpaiOj  MeTajuiH^ecKHX  ajieKTpoflj  nepenieH H biH   MHoro4>a3Hbiii  T O K 5  TO npoH 3BojibH o  Manoe  ceqeH H e,  CflenaHHoe  nepneH flH KyjisipH O  nnacTH H Ke, npoxoflH T  T O K , BeKropoM ,  KOTopbiit  Bpam aercH   B  njiocKOCTHj  raK , I T O B  TeieH H e  Ka>Kfloro nepHOAa  KOHeij BeKTopa  onwcbiBaeT  a ju ia n c .  ABTop  CTBTBH   pfmasbmaitT ,  I T O  H JIH  onHcaHHH  a i o r o 4>aKTa  cjieflyeT  npHHHTB3 mo  imoTHOcTb  TOKa  B  nnacTHHKe  HBnnercsi  B uawfloft  TOMimero  flaH H yw  TOHKy3  flaeT  B  pe3yjib- TaTe  BeKTop  n epejieH H oro  TOKa  KaK n o  OTHomenHio  aM n ran yflbij  TaK H   (|ia3bi,  n p o xo flsim ero qep e3  paccM aipH Baeiwoe  ceMeHHe.  CyiqecTByeT  C Tporaa  aH ajio rn a  Meatfly  Teii3opoM   nepeisieH - H oro  TOKa B npoBORH ineft  nJiacTU H Ke, noflKjno^eHHOH   K MHoro(|>a3HOH  cxeM e  H  TeH 3oponi  H a n p a - HceHHH  B yn p yr o ii  nitacTH H Ke, noflBepHceHHOH  n o KOHTypy,  fleiicTBH io  can,  Bemi^ ambi  K O T O P U X ^po^op^H OH aJIbH bI  aMiuiHTyflaM   MHorot})a3Hbix  T O K O B,  a  yrjiBij  3aKjiK>Maiomneca  MejKfly  H H M H , paBHHMTCH  yrjiaM   cflBH ra  n o (J)a3e  iwe>K;ry  TOKSMH   MHoro(|ia3HOH  cxeM bi.  I lo jie  TeH 30pa  njioiH OCTii nepeM eH H oro  TOKa  MO>KHO  onpeflenH Tb  H anpH Mep c  n oM om bio  npefljiaraeMOH   B  cTaTbe  sjieKTpH - cxeMWj  ^ a io m eil  BO3M O»(H OC TŁ  H 3«epH Tb  B  KasKAofi:  ToiKe  n^racTHHKH  rpafln eH T bi  n o - a,  nponopu.H OH ajibH bie  IIJIOTH OCTH  TOKa.  AB T O P  BbiHCHaeTj  KpoMe  TorOj  3H aMeH ne  n pH H - L(Hna  CeH - BeH aHa B  3JieKTpH ^ecK0H   MOAeJiHpOBaHHH   TeH 3opa  HanpHiKeHHH  n,  B  KaMecTBe  n p n - Mepa  3tJ)({)eKTHBH0CTH   M erofla,  npHBOflHT  p en ieH ae  sjieKTpHqecKHM   nyxeiw  o ^ H o r o  H 3  KJiac- ciraecKH x  Bon pocoB  TeopnH   yn pyrocT H 3  a  HMCHHO  so n p o c a j  K a c a io m er o c a  pacn peflen eH H H  H a- npflH) can be  regarded  as  a  vector  I on  a plane. T h e absolute  value  of this vtctor is  equal  to the amplitude I, an d the angle  of  inclina- tion with respect to any arbitrary  fixed  coordinate axis  is  equal  to th e phase  shift  cp. If  a conductor having  the form  of  a thin plate, and made of  material with  a  specific  conductance which, is  much smaller  than  the  conductivity  of  metal,  is  fed  by  a  multiphase  variable  current,  through  metal electrodes  attached to  the  boundary  of  th e  plate, then through  any  arbitrary  small  cross- section perpendicular  to the plate th e flow  of  current is represented by  a vector which rotates in t h e plane so  that  during  every  period  the  end  of  the vector  traces  an  ellipse.  I t  is  shown  in  th e  paper  th at in  order  to  describe  this  fact  it  should  be  assumed  that  the  current  density  at  any  point  of  th e 136  H E N R YK  D Z I AT L I K plate  is  a  ten sor  which  being  multiplied  by  the  vector  of  the  cross- section  containing  th e  given poin t  yields  t h e  vector  of  variable  curren t  fiowing  through  t h e  cross- section  considered,  with t h e  appropriate  am plitude  an d  phase.  T h ere  exists  an  exact  analogy  between  th e  tensor  of  th e variable  curren t  in  t h e  conductive  plate,  connected  with  th e  multiphase  system,  and  th e  stress ten sor in an elastic plate subjected  t o boundary forces, provided  th e values  of th e forces  are  propor- tion al to t h e  am plitudes  of  t h e  multiphase  currents,  while  the  angles  between  them  are  equal  to t h e  angles  of  phase  shifts  between  t h e  currents of  th e multiphase system.  T h e  tensor  density  field of  variable  curren t  can  be  determ ined  by  means  of  the  suggested  electrical  system  which  makes it  possible  to  m easure  at  every  poin t  of  t h e  plate  th e  potential  gradients  proportional to t h e  cur- ren t  density.  M oreover,  the  author  explains  the  meaning  of  t h e  Saint- Venant  principle  in  t h e electric  model  of  the  stress  tensor.  T h e  m ethod suggested  is  illustrated  by  an  example  of  solv  ing in  th e  electrical  way  t h e  problem  of  stress  distribution  in  an  infinite  wedge—that  is  one  of  t h e classical  problem s  of  t h e  theory  of  elasticity. INSTYTUT  GOSPODARKI  WODNEJ Praca został a  zł oż ona  zu Redakcji  dnia 21  marca 1963  r.