PARADIGMA BARU PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN APLIKASI ONLINE INTERNET PEMBELAJARAN


JURNAL MATEMATIKA β€œMANTIK” 

Vol. 03 No. 01. Mei 2017. 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

44 

 

PENENTUAN HARGA OPSI ASIA  

DENGAN METODE MONTE CARLO 
 

 

 Surya Amami Pramuditya 1 

  FKIP, Universitas Swadaya Gunung Djati 1, amamisurya@fkip-unswagati.ac.id 1  

 

 

Abstrak 
Opsi adalah kontrak antara holder dan writer dimana writer  memberikan hak (bukan kewajiban) 
kepada holder untuk membeli atau menjual aset dari writer dengan harga tertentu (strike  price) dan 

pada waktu yang telah ditentukan dimasa datang (maturity time). Opsi Asia termasuk pada opsi path 
dependent. Artinya payoff opsi Asia tidak hanya bergantung pada harga saham saat maturity time 

saja, tetapi merupakan rata-rata harga saham selama masa jatuh temponya dan disimbolkan 𝐴 
(average). Monte Carlo pada dasarnya digunakan sebagai prosedur numerik untuk menaksir nilai 

ekspektasi pricing product derivative. Teknik yang digunakan adalah Monte Carlo standar dan 
reduksi varians. Hasilnya diperoleh harga opsi Asia call dan put untuk kedua teknik dengan selang 

kepercayaan 95%. Teknik reduksi varians terlihat lebih cepat memperkecil selang kepercayaan 95% 
dibandingkan metode standar. 

 
Kata kunci: opsi,, Asia, Monte Carlo 

 

Abstract 
Option is a contract between a holder and a writer in which the writer grants the rights (not 

obligations) to the holder to buy or sell the assets of the writer at a certain price (strike  price) at 
maturity time. Asian options are included in the dependent path option. This means that Asia's payoff 

option depends not only on the stock price at maturity time, but it is the average stock price during 
its maturity and symbolized A (average). Monte Carlo is basically used as a numerical procedure to 

estimate the expected value of pricing product derivatives. The techniques used are the standard 
Monte Carlo and variance reduction. The result obtained the Asia call option price and put for both 

techniques with 95% confidence interval. The variance reduction technique looks faster reducing 
95% confidence interval than standard method. 

 

Keyword: option, Asian, Monte Carlo 

 

 

 

1. Pendahuluan 
 

Hull [2] mendefinisikan opsi sebagai kontrak 

antara holder dan writer dimana writer  

memberikan hak (bukan kewajiban) kepada 

holder  untuk membeli atau menjual suatu aset dari 

writer dengan harga tertentu (strike   atau exercise 

price) dan pada waktu yang telah ditentukan 

dimasa datang (expiry date atau maturity time) 

[4][5]. Salah satu jenis opsi adalah opsi Asia. Opsi 

Asia termasuk pada opsi path dependent [4]. 

Artinya payoff opsi Asia tidak hanya bergantung 

pada harga saham saat maturity time saja. Di sini 

payoff opsi Asia merupakan rata-rata harga saham 

selama masa jatuh temponya dan disimbolkan 𝐴 
(average).  

Metode Monte Carlo pada dasarnya 

digunakan sebagai prosedur numerik untuk 

menaksir nilai ekspektasi dari suatu peubah acak 

sehingga metoda ini dapat digunakan untuk 

permasalahan pricing product derivative jika 

direpresentasikan sebagai nilai ekspektasinya. 

Prosedur simulasi melibatkan generating dari 

peubah acak dengan suatu fungsi kepadatan dan 

dengan menggunakan law of large number maka 

rata-rata dari nilai ini dapat dinyatakan sebagai 

penaksir ekspektasi peubah acak tersebut. 

Penelitian ini bertujuan untuk mencari payoff 

harga opsi Asia call dan put fixed strike dan 



JURNAL MATEMATIKA β€œMANTIK” 

Vol. 03 No. 01. Mei 2017. 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

45 

 

average strike disertai selang kepercayaan 95%. 

Selanjutnya, dicari selang kepercayaan terkecil 

melalui metode Monte Carlo standard dan reduksi 

varians. 
 

2. Simulasi Monte Carlo 
 

Misalkan X peubah acak dengan 

ekspektasi E(X) = a dan Var (X) = 𝑏2 yang 
nilainya belum diketahui. 

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑀 adalah barisan 
peubah acak yang berdistribusi identik dengan 

X, maka penaksir tak bias untuk a [6][3] 

adalah 

π‘Žπ‘€ =
1

𝑀
βˆ‘ 𝑋𝑖

𝑀

𝑖=1

                       (1) 

dan penaksir tak bias untuk 𝑏2 adalah  

𝑏𝑀
2 =

1

1 βˆ’ 𝑀
βˆ‘(𝑋𝑖 βˆ’ π‘Žπ‘€)

2                  (2)

𝑀

𝑖=1

 

Berdasarkan teorema limit pusat untuk 𝑀 β†’ ∞ 
berlaku 

βˆ‘ 𝑋𝑖
𝑀
𝑖=1 βˆ’ π‘€π‘Ž

π‘βˆšπ‘€
~𝑁(0,1) 

atau 

βˆ‘ 𝑋𝑖

𝑀

𝑖=1

~𝑁(π‘€π‘Ž, 𝑏2𝑀) 

Sehingga, 

  

π‘Žπ‘€ βˆ’ π‘Ž =
1

𝑀
βˆ‘ 𝑋𝑖

𝑀

𝑖=1

βˆ’ π‘Ž~𝑁(0, 𝑏
2

𝑀
⁄ ) 

π‘Žπ‘€ βˆ’ π‘Ž

π‘βˆšπ‘€
~𝑁(0,1) 

Akan didapatkan taksiran interval untuk a. 

Perhatikan 

𝑃 (|
π‘Žπ‘€ βˆ’ π‘Ž

π‘βˆšπ‘€
| ≀ 1.96) = 0.95 

𝑃 (βˆ’1.96 ≀
π‘Žπ‘€ βˆ’ π‘Ž

π‘βˆšπ‘€
≀ 1.96) = 0.95 

𝑃 (π‘Žπ‘€ βˆ’ 1.96
𝑏

βˆšπ‘€
≀ π‘Ž ≀ π‘Žπ‘€ + 1.96

𝑏

βˆšπ‘€
)

= 0.95 

Di sini 
𝑏

βˆšπ‘€
 merupakan standard error , dengan 

mengambil 𝑏 β‰ˆ 𝑏𝑀, maka 

𝑃 (π‘Žπ‘€ βˆ’ 1.96
𝑏𝑀

βˆšπ‘€
≀ π‘Ž ≀ π‘Žπ‘€ + 1.96

𝑏𝑀

βˆšπ‘€
)

= 0.95                                      (3) 

Sehingga diperoleh selang kepercayaan 95 % 

untuk a adalah [π‘Žπ‘€ βˆ’ 1.96
𝑏𝑀

βˆšπ‘€
 , π‘Žπ‘€ + 1.96

𝑏

βˆšπ‘€
]. 

Agar akurasi selang lebih akurat dapat 

diperoleh malalui dua cara yaitu : 

1. Memperbesar simulasi M, tetapi hal ini 
memberikan waktu komputasi yang lama. 

2. Mengecilkan 𝑏𝑀 atau mereduksi variansi 
dengan menggunakan kontrol variat. 

2.1 Teknik Reduksi Variansi dengan Kontrol 

Variat 

 

Taksiran selang akan semakin akurat jika 

lebar dari selang tersebut semakin sempit/kecil, 

lebar selang kepercayaan dapat dipersempit 

dengan cara memperbanyak sampel (menambah 

jumlah simulasi). Namun cara ini cukup 

menyulitkan karena faktor βˆšπ‘€. Sebagai contoh, 
untuk mendapatkan selang kepercayaan yang 

lebih akurat, yaitu menyusutkan selang 

kepercayaan dengan faktor 10 membutuhkan 

sampel seratus kali lebih banyak dari semula.  

Cara lain yang dapat dilakukan adalah 

memperkecil standar deviasi (𝑏𝑀 ) yang berarti 
memperkecil variansi [1]. Ide dari teknik ini dalah 

mengganti 𝑋𝑖  dengan barisan peubah acak yang 
lain yang juga identik dengan mean sama dengan 

𝐸(𝑋𝑖 ) namun dengan variansi yang lebih kecil. 
Misalkan πœƒ = 𝐸(𝑋) ingin ditaksir dengan 

simulasi Monte Carlo. Andaikan ada peubah acak 

lain, selain X yaitu Y dengan mean 𝐸(π‘Œ) = πœ‡π‘Œ, 
kemudian akan ditunjukkan π‘£π‘Žπ‘Ÿ (𝑋) > π‘£π‘Žπ‘Ÿ(π‘Œ). 
Tulis peubah acak 

𝑍 = 𝑋 + 𝑐(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ)                     (4) 
maka nilai ekspektasi dari Z adalah 

𝐸(𝑋 + 𝑐(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ)) = 𝐸(𝑋) + 𝑐𝐸(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ ) 

                             =  πœƒ + 𝑐𝐸(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ ) 
  =  πœƒ 

Sedangakan variansinya 

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋 + 𝑐(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ)) = π‘£π‘Žπ‘Ÿ (𝑋 + π‘π‘Œ) 

 = π‘£π‘Žπ‘Ÿ (𝑋) +  π‘£π‘Žπ‘Ÿ (π‘Œ) + 2π‘π‘œπ‘£(𝑋, π‘π‘Œ) 
= π‘£π‘Žπ‘Ÿ (𝑋) + 𝑐2π‘£π‘Žπ‘Ÿ(π‘Œ) + 2𝑐 π‘π‘œπ‘£(𝑋, π‘Œ)  (5)                      

Pilih Y sedemikian rupa sehingga π‘π‘œπ‘£(𝑋, π‘Œ) β‰  0. 
Karena π‘£π‘Žπ‘Ÿ (𝑋), π‘£π‘Žπ‘Ÿ(π‘Œ), πΆπ‘œπ‘£(𝑋, π‘Œ) diketahui, 
maka  π‘£π‘Žπ‘Ÿ (𝑍) = 𝑓(𝑐) yaitu fungsi kuadrat dalam 
c. Minimumkan ruas kanan pada persamaan (5) 

terhadap c diperoleh 

π‘βˆ— =
βˆ’π‘π‘œπ‘£(𝑋, π‘Œ)

π‘£π‘Žπ‘Ÿ (π‘Œ)
                        (6) 

usahakan  π‘π‘œπ‘£ (π‘Œ, 𝑉) positif  sehingga π‘βˆ— negatif. 
Dengan mengsubsitusikan persaman (6) ke 

persamaan (5) diperoleh 



JURNAL MATEMATIKA β€œMANTIK” 

Vol. 03 No. 01. Mei 2017. 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

46 

 

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋 + π‘βˆ—(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ )) = π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋) βˆ’
π‘π‘œπ‘£ 2(𝑋, π‘Œ)

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(π‘Œ)
 

diperoleh reduksi variansi 

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑍)

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(π‘Œ)
= 1 βˆ’

π‘π‘œπ‘£ 2(𝑋, π‘Œ)

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(π‘Œ)π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋)
 

                                  = 1 βˆ’ π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿ2 (𝑋, π‘Œ) 
selanjutnya pilih 

π‘Œ = βˆ‘ 𝑆(𝑛)𝑖

𝑀

𝑖=1

 

dan  lakukan π‘˜ simulasi untuk 𝑋 dan π‘Œ diperoleh 
𝑋𝑖 dan π‘Œπ‘–  (𝑖 = 1,2, … , π‘˜). Tulis  

οΏ½Μ…οΏ½ =
1

π‘˜
βˆ‘ 𝑋𝑖

π‘˜

𝑖=1

 

οΏ½Μ…οΏ½ =
1

π‘˜
βˆ‘ π‘Œπ‘–

π‘˜

𝑖=1

 

π‘π‘œοΏ½Μ‚οΏ½(𝑋, π‘Œ) =
1

π‘˜ βˆ’ 1
βˆ‘(𝑋𝑖 βˆ’ οΏ½Μ…οΏ½)(π‘Œ βˆ’ οΏ½Μ…οΏ½)

π‘˜

𝑖=1

 

π‘£π‘ŽοΏ½Μ‚οΏ½ (𝑋, π‘Œ) =
1

π‘˜ βˆ’ 1
βˆ‘(

π‘˜

𝑖=1

π‘Œπ‘– βˆ’ οΏ½Μ…οΏ½) 

Peubah acak pembanding memiliki mean sampel 

πœƒ =
1

π‘˜
βˆ‘(

π‘˜

𝑖=1

𝑋𝑖 + οΏ½Μ‚οΏ½
βˆ—(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ )) 

 

2.2 Model Harga Saham 
 

Misalkan model pergerakan harga saham [3] 
[2] [4] [5] adalah 

𝑆(𝑇) = 𝑆0𝑒
(π‘Ÿβˆ’

1
2

𝜎2)𝑇+πœŽβˆšπ‘‡π‘§
 

dengan  𝑍~𝑁(0,1)                                             (7) 

serta =
1

𝑁
 , dimana 𝑁 merupakan banyak hari kerja 

dalam 1 tahun. 

Selanjutnya model saham ini 
menghasilakan ekspektasi dari peubah acak [4][5] 

𝐢 = π‘’βˆ’π‘Ÿπ‘‡ π‘šπ‘Žπ‘˜π‘ {𝑆0𝑒
(π‘Ÿβˆ’

1
2

𝜎2 )𝑇+πœŽβˆšπ‘‡π‘§
βˆ’ 𝐾, 0} 

yaitu nilai opsi call Eropa saat 𝑇 dihitung di 
𝑑 = 0.  

 

2.3 Opsi Asia 
 

Payoff dari Asian option ditentukan dari 

nilai rata-rata untuk tiap kasusnya [2][6], 

yaitu: 

 

 

 

ο‚· Average price Asian Call (fixed strike  price) 

𝐢(𝑆, 𝑇) = π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  (
1

𝑇
∫ 𝑆(𝜏)π‘‘πœ βˆ’ 𝐾, 0

𝑇

0

) 

ο‚· Average price Asian Put ((fixed strike  price)) 

𝑃(𝑆, 𝑇) = π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  (𝐸 βˆ’
1

𝑇
∫ 𝑆(𝜏)π‘‘πœ, 0

𝑇

0

) 

 

ο‚· Average Strike  Price Asian Call 

𝐢(𝑆, 𝑇) = π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  (𝑆(𝑇) βˆ’
1

𝑇
∫ 𝑆(𝜏)π‘‘πœ, 0

𝑇

0

) 

 

ο‚· Average Strike  Price Asian Put 

𝑃(𝑆, 𝑇) = π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  (
1

𝑇
∫ 𝑆(𝜏)π‘‘πœ βˆ’ 𝑆(𝑇),0

𝑇

0

) 

Pandang 

∫ 𝑆
𝑇

0
(𝜏)π‘‘πœ β‰ˆ βˆ†π‘‘ βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑁
𝑗=1                      (8) 

dimana N adalah banyaknya partisi dan ingat 

bahwa 𝑇 = π‘βˆ†π‘‡, maka 

∫ 𝑆
𝑇

0
(𝜏)π‘‘πœ =

1

π‘βˆ†π‘‘
βˆ†π‘‘ βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑁
𝑗=1 =

1

𝑁
βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑁
𝑗=1         (9) 

Sehingga penggunaan Monte Carlo untuk Asian 

Call Option memiliki payoff [3] 

𝐢𝑖 (𝑆, 𝑇)  = π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  (
1

𝑁
βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑁

𝑗=1

βˆ’ 𝐾, 0)       (10) 

atau 

𝐢𝑖(𝑆, 𝑇) = π‘šπ‘Žπ‘˜π‘  (𝑆(𝑇) βˆ’
1

𝑁
βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑁

𝑗=1

, 0)      (11) 

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑀. 
Berdasarkan persamaan (9), persamaan (10) dan 

(11) dapat dituliskan 

π‘‰π‘π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’ = 𝑒π‘₯𝑝 (βˆ’π‘Ÿ
𝑛

𝑁
) (

1

𝑛
βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑛

𝑗=1

βˆ’ 𝐾, 0)

+

                              (12) 

atau 

π‘‰π‘π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘˜π‘’ = 𝑒π‘₯𝑝 (βˆ’π‘Ÿ
𝑛

𝑁
) (𝑆𝑇

βˆ’
1

𝑛
βˆ‘ 𝑆𝑗

𝑛

𝑗=1

, 0)

+

             (13) 

 

 

 



JURNAL MATEMATIKA β€œMANTIK” 

Vol. 03 No. 01. Mei 2017. 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

47 

 

2.4 Algoritma Metode Monte Carlo 
 

Berikut merupakan algoritma menentukan 
harga opsi Asia dengan Metode Monte Carlo [6]. 

 

 

Tabel 1. Harga Saham 

Input: 𝑆0, 𝐾, π‘Ÿ, 𝜎, 𝑛, 𝑁, 𝑀 

Bangkitkan faktor acak 𝑧(𝑀, 𝑛) 

Hitung 𝐸(𝑋) = π‘šπ‘’ = (π‘Ÿ βˆ’
1

2
𝜎2) 𝑁⁄  

             π‘‰π‘Žπ‘Ÿ(𝑋) = 𝑑𝑒𝑣 = 𝜎 βˆšπ‘β„  

Untuk 𝑖 = 1,2, . . , 𝑀 dan 𝑗 = 1,2, . . , 𝑛 

ο‚· Untuk  𝑗 = 1 , π‘₯(𝑖, 𝑗) = π‘šπ‘’ + 𝑑𝑒𝑣 βˆ—

𝑧(𝑖, 𝑗) 

ο‚· Untuk 𝑗 = 2, . . , 𝑛 , π‘₯(𝑖, 𝑗) = π‘₯(𝑖, 𝑗 βˆ’

1) + (π‘šπ‘’ + 𝑑𝑒𝑣 βˆ— 𝑧(𝑖, 𝑗)) 

Harga saham 𝑆𝑏(𝑖, 𝑗) = 𝑆0 βˆ— exp (π‘₯(𝑖, 𝑗)) 

 

Tabel 2. Opsi Asia 

Bangun harga saham 𝑆𝑏  
Hitung 𝐴 mean 𝑆𝑏 sebagai harga saham selama 
[0, 𝑇] 
Hitung 𝑆𝑛 yaitu harga saham saat maturity 
time 

Hitung payoff 

Jika MC standar, maka 

  Jika opsi call, maka 

    π‘‰π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’ = exp(βˆ’π‘Ÿ βˆ— 𝑛 𝑁⁄ ) βˆ— π‘šπ‘Žπ‘₯(𝐴 βˆ’ 𝐾, 0) 
  lainnya, 

    π‘‰π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’ = exp(βˆ’π‘Ÿ βˆ— 𝑛 𝑁⁄ ) βˆ— π‘šπ‘Žπ‘₯(𝐾 βˆ’ 𝐴, 0) 
Hitung mean dan standar deviasi dari π‘‰π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’, 
serta selang kepercayaan 95% 

lainnya, (kontrol variat) 

pilih π‘Œ = βˆ‘ 𝑆𝑖
𝑛
𝑖=1  

Jika opsi call, maka hitung 

    𝑋 = exp(βˆ’π‘Ÿ βˆ— 𝑛 𝑁⁄ ) βˆ— π‘šπ‘Žπ‘₯(𝐴 βˆ’ 𝐾, 0) 
    πΆπ‘œπ‘£(𝑋, π‘Œ) 
    πΆπ‘œπ‘Ÿπ‘Ÿ(𝑋, π‘Œ) 
    π‘βˆ— 
    𝑍 = 𝑋 + π‘βˆ—(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ ) 
Hitung mean dan standar deviasi dari 𝑍, serta 
selang kepercayaan 95% 

  lainnya, 

    π‘‰π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’ = exp(βˆ’π‘Ÿ βˆ— 𝑛 𝑁⁄ ) βˆ— π‘šπ‘Žπ‘₯(𝐾 βˆ’ 𝐴, 0) 
    πΆπ‘œπ‘£(𝑋, π‘Œ) 
    πΆπ‘œπ‘Ÿπ‘Ÿ(𝑋, π‘Œ) 
    π‘βˆ— 
    𝑍 = 𝑋 + π‘βˆ—(π‘Œ βˆ’ πœ‡π‘Œ ) 
Hitung mean dan standar deviasi dari 𝑍, serta 
selang kepercayaan 95% 

Hitung rasio (reduksi) 

3. Hasil Dan Pembahasan  

 
Untuk menentukan selang kepercayaan serta 

harga opsi Call dan Put Asia digunakan program 

Matlab. Program ini menggunakan data fiktif 

dengan π‘Ÿ = 6%; 𝜎 = 0.3; 𝑇 = 1; 𝑆0 = 15; 𝑁 =
252; 𝑛 = 100. Adapun π‘Ÿ adalah suku bunga, 𝜎 
adalah volatilitas, 𝑇 adalah waktu satu tahun kerja, 
𝑆0 adalah harga saham awal, 𝑁 adalah waktu hari 
kerja dan 𝑛 adalah partisi waktu. 

 

Tabel 3. Selang Kepercayaan Opsi Call Asia  

Monte Carlo Standar K=9 

M Average Price Average Strike  

10 4.9872 6.3177 -0.2050 0.6875 

100 5.9094 6.5492 0.5043 0.9211 

1000 5.8887 6.0831 0.7038 0.8465 

10000 6.0156 6.0804 0.7269 0.7719 

 
Tabel 4. Harga Opsi Call Asia  

Monte Carlo Standar K=9 

M Fixed Strike  Average Strike  

10 5.6525 0.2413 

100 6.2293 0.7127 

1000 5.9859 0.7751 

10000 6.0480 0.7494 

 

Berdasarkan tabel 3 dan tabel 4 di atas, 

semakin besar langkah M, maka  selang 

kepercayaan 95% semakin kecil, sehingga taksiran 

harga opsi call Asia untuk fixed strike maupun 

average strike  semakin baik. 

 
Tabel 5. Selang Kepercayaan Opsi Call Asia  

Monte Carlo Reduksi Varians K=9 

M Average Price Average Strike  

10 7.1584 7.1458 0.2549 1.6207 

100 5.7575 5.7575 0.4718 0.8147 

1000 6.0332 6.0332 0.6740 0.7982 

10000 6.0314 6.0314 0.7220 0.7600 

 
Tabel 6. Harga Opsi Call Asia  

Monte Carlo Reduksi Varians K=9 

M Fixed Strike  Average Strike  

10 7.1584 0.9378 

100 5.7575 0.6432 

1000 6.0332 0.7361 

10000 6.0314 0.7410 

  

Berdasarkan tabel 5 dan tabel 6 di atas, 

semakin besar langkah M, maka  selang 

kepercayaan 95% semakin kecil, sehingga taksiran 

harga opsi call Asia untuk fixed strike maupun 



JURNAL MATEMATIKA β€œMANTIK” 

Vol. 03 No. 01. Mei 2017. 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

48 

 

average strike  semakin baik. Teknik reduksi 

varians terlihat lebih cepat memperkecil selang 

kepercayaan 95% dibandingkan metode standar. 

 

 
Tabel 7. Selang Kepercayaan Opsi Put Asia  

Monte Carlo Standar K=17 

M Average Price Average Strike  

10 0.4797 2.0382 0.1392 1.0961 

100 1.7892 2.3478 0.4318 0.7439 

1000 1.8052 1.9740 0.5287 0.6294 

10000 1.9049 1.9594 0.5406 0.5716 

 
Tabel 8. Harga Opsi Put Asia  

Monte Carlo Standar K=17 

M Fixed Strike  Average Strike  

10 1.2589 0.6176 

100 2.0685 0.5879 

1000 1.8896 0.5791 

10000 1.9322 0.5561 

 

Berdasarkan tabel 7 dan tabel 8 di atas, 

semakin besar langkah M, maka  selang 

kepercayaan 95% semakin kecil, sehingga taksiran 

harga opsi put Asia untuk fixed strike maupun 

average strike  semakin baik. 

 
Tabel 9. Selang Kepercayaan Opsi Put Asia  

Monte Carlo Reduksi Varians K=17 

M Average Price Average Strike  

10 1.4303 1.6182 0.5807 1.1102 

100 1.9654 2.0924 0.4797 0.7850 

1000 1.9720 2.0158 0.5212 0.6124 

10000 1.8924 1.9078 0.5453 0.5744 

 
Tabel 10. Harga Opsi Put Asia  

Monte Carlo Reduksi Varians K=17 

M Fixed Strike  Average Strike  

10 1.5243 0.8455 

100 2.0289 0.6324 

1000 1.9939 0.5668 

10000 1.9001 0.5599 

 

Berdasarkan tabel 9 dan tabel 10 di atas, 

semakin besar langkah M, maka  selang 

kepercayaan 95% semakin kecil, sehingga taksiran 

harga opsi put Asia untuk fixed strike maupun 

average strike  semakin baik. Teknik reduksi 

varians terlihat lebih cepat memperkecil selang 

kepercayaan 95% dibandingkan metode standar 

 

 

 

4. Kesimpulan 
 

Semakin besar banyaknya langkah M, maka 

semakin memperkecil jarak selang kepercayaan 

95%, untuk menaksir harga opsi Call maupun opsi 

Put. Dengan menggunakan teknik reduksi varians 

terlihat lebih cepat memperkecil selang 

kepercayaan 95% dibandingkan metode standar. 

 

Daftar Pustaka 

 
[1] Fu, M. C., Madan, D. B., & Wang, T. Pricing 

continuous Asian options: a comparison of Monte 

Carlo and Laplace transform inversion methods. 

Journal of Computational Finance, 2(2), (1999). 

49-74. 

[2] Hull, J.C., Options, Futures, and Other 

Derivatives (Eighth Edition). Pearson, England. 

(2012). 

[3] Podlozhnyuk, V., & Harris, M. Monte Carlo 

Option Pricing. CUDA SDK. (2008). 

[4] Pramuditya, S.A., & Sidarto, K. A. Penentuan 

Harga Opsi Asia Dengan Model Binomial 

Dipercepat. Repository FKIP Unswagati. (2013). 

[5] Pramuditya, S.A. Perbandingan Metode 

Binomial dan Metode Black-Scholes Dalam 

Penentuan Harga Opsi. SAINSMAT, 5(1). (2016). 

[6] Seydel, R., Tools for Computational Finance. 

Springer-Verlag, Berlin. (2002).