JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 65 Ketercapaian dan Keterkontrolan Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif Yulia Retno Sari Universitas Putra Indonesia “YPTK” Padang, Jalan Raya Lubuk Begalung, Padang yuliaretnosari2012@gmail.com DOI:https://doi.org/10.15642/mantik.2017.3.2.65-73 Abstrak Sistem deskriptor diskrit positif telah banyak digunakan dalam pemodelan bidang ekonomi, teknik, kimia dan sebagainya. Dalam penelitian ini dikaji tentang syarat perlu dan syarat cukup agar sistem deskriptor diskrit positif adalah tercapai positif dan terkontrol positif. Selain itu, juga dikaji tentang syarat perlu dan syarat cukup yang menjamin agar sistem diskrit (E, A, B) ≥ 0 terkontrol null. Dengan metode aljabar linier dan Invers Drazin, dalam penelitian ini dibuktikan beberapa teorema agar sistem deskriptor diskrit (E, A, B) ≥ 0 tercapai positif, terkontrol positif dan terkontrol null. Selain itu, diberikan contoh sebagai ilustrasi untuk memperkuat keberlakuan teorema yang telah dibuktikan. Kata kunci : Invers drazin, sistem deskriptor diskrit positif, matriks non negatif, matriks nilpoten, sifat ketercapaian. Abstract A positive discrete descriptor system has been widely used in modeling economics, engineering, chemistry and others. In this research, we studied the necessary conditions and sufficient conditions for a positive discrete descriptors system is achieved positive and controlled postively. In addition, it is also studied on sufficient terms and conditions which ensure that discrete systems (E, A, B) ≥ 0 are null controlled. By using linear algebraic method and Inverse Drazin, this research has proved several theorems for discrete descriptors system (E, A, B) ≥ 0 achieved positive, controlled positively and controlled null. In addition, examples are given as illustrations to reinforce the validity of the proven theorems. Key words : Inverse Drazin, discrete positive descriptor system, non negative matrix, nilpotent matrix, achieved properties. 1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem persamaan beda linier (linear difference equations) sebagai berikut : 𝐸𝐱(𝑘 + 1) = 𝐴𝐱(𝑘) + 𝐵𝐮(𝑘), 𝑘 ∈ ℤ+ (1) dengan 𝐸, 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛, dan 𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑚. Dalam sistem (1), 𝐱 ∈ ℝ𝑛 menyatakan vektor state (keadaan) dan 𝐮 ∈ ℝm menyatakan vektor input (kontrol). Notasi ℝ𝑛×𝑚 menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuran 𝑛 × 𝑚, ℝ𝑛 menyatakan himpunan vektor berdimensi n dan ℤ+ menyatakan himpunan bilangan bulat non negatif. Dalam [5], sistem (1) dikatakan sebagai sistem deskriptor diskrit. Jika 𝐸 adalah matriks non singular, maka solusi dari sistem (1) adalah 𝐱(𝑘) = (𝐸−1𝐴)𝑘𝐱(0) + ∑(𝐸−1𝐴)𝑘−𝑖−1(𝐸−1𝐵)𝐮(𝑖) 𝑘−1 𝑖 =0 (2) Untuk 𝐸 singular, sistem (1) mungkin tidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan adanya mailto:yuliaretnosari2012@gmail.com JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 66 kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem (1). Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem (1) disebut sebagai kondisi awal yang konsisten. Dalam [9] dinyatakan bahwa sistem (1) mempunyai solusi tunggal jika untuk suatu kondisi awal yang konsisten 𝐱(0) berlaku 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) ≠ 0 untuk suatu 𝜆 ∈ ℂ. Jika kondisi ini terpenuhi, maka solusi sistem (1) diberikan sebagai berikut: 𝐱(𝑘) = (�̅�𝐷�̅�)𝑘�̅�𝐷�̅�𝐱(0) + ∑ �̅�𝐷 (�̅�𝐷�̅�)𝑘−𝑖−1 𝑘−1 𝑖=0 �̅�𝐮(𝑖) −(𝐼 − �̅��̅�𝐷) ∑(�̅�𝐷 �̅�)𝑖 �̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘 + 𝑖) 𝑞−1 𝑖=0 Dengan �̅� = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐸, �̅� = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐴, �̅� = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐵 dan q adalah indeks dari matriks �̅�. Dalam hal 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) ≠ 0 untuk suatu 𝜆 ∈ ℂ, sistem (1) disebut sebagai sistem deskriptor diskrit regular. Perlu diperhatikan bahwa solusi 𝐱(𝑘) untuk sistem (1) dapat bernilai negatif ataupun non negatif. Solusi 𝐱(𝑘) dikatakan non negatif jika 𝐱(𝑘) ≥ 0 dan dikatakan negatif jika 𝐱(𝑘) < 0. Jika solusi 𝐱(𝑘) untuk sistem (1) adalah non negatif, maka sistem (1) dikatakan sistem deskriptor diskrit positif [3]. Untuk selanjutnya sistem deskriptor diskrit positif dapat ditulis dengan sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0. Salah satu isu penting tentang sistem deskriptor diskrit positif adalah masalah ketercapaian positif dan keterkontrolan positif. [3] telah mendefinisikan tentang ketercapaian positif dan keterkontrolan positif sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0. Untuk sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0, suatu keadaan 𝐰 ∈ ℝ+ 𝑛 dikatakan tercapai positif jika terdapat 𝑘 ∈ ℤ+ dan suatu barisan kontrol 𝐮(𝑗) ≥ 0, 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 + 𝑞 − 1, yang membawa keadaan 𝐱(0) = 𝟎 kepada keadaan 𝐰 pada waktu k. Sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dikatakan tercapai positif jika untuk setiap 𝐰 ∈ ℝ+ 𝑛 adalah tercapai positif. Selain itu, sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dikatakan terkontrol positif jika untuk sebarang 𝐱𝟎, 𝐱𝐟 ∈ ℝ+ 𝑛 , terdapat 𝑘 ∈ ℤ+ dan suatu barisan kontrol 𝐮(𝑗) ≥ 0, 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 + 𝑞 − 1, yang membawa keadaan 𝐱(0) = 𝐱𝟎 kepada keadaan 𝐱(𝑘) = 𝐱𝐟. Untuk selanjutnya, sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 yang tercapai positif disebut tercapai dan yang terkontrol positif disebut terkontrol. Penelitian ini membicarakan syarat perlu dan cukup untuk ketercapaian dan keterkontrolan sistem deskriptor diskrit linier positif. Berdasarkan uraian dari latar belakang, maka yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah : 1. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 agar tercapai. 2. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 agar terkontrol. Kajian penelitian ini bertujuan untuk membuktikan syarat yang menjamin agar sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai dan terkontrol. Penelitian ini diharapkan dapat memperluas wawasan penulis serta pembaca pada umumnya dan diharapkan dapat memberikan konstribusi kepada pembaca agar lebih memahami pembuktian tentang ketercapaian dan keterkontrolan untuk sistem deskriptor diskrit linier positif. 2. Kajian Teori 2.1 Teori Matriks Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan-bilangan di dalam baris dan kolom yang membentuk jajaran empat persegi panjang [1]. Suatu matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑖,𝑗=1 𝑛 ∈ ℝ𝑛×𝑛, A dikatakan non negatif dinotasikan 𝐴 ≥ 0, jika 𝑎𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛 dan A dikatakan positif, dinotasikan 𝐴 > 0, jika 𝑎𝑖𝑗 > 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛. Suatu vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 dikatakan non negatif jika setiap komponennya non negatif, yakni 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛 . Jika 𝐱 non negatif maka ditulis 𝐱 ≥ 0 atau 𝐱 ∈ ℝ+ 𝑛 , dengan ℝ+ 𝑛 menyatakan himpunan ℝ𝑛 yang setiap komponennya adalah non negatif. Untuk vektor 𝐱 yang positif dapat didefinisikan dengan cara yang sama. Definisi 2.1. Matriks persegi A disebut matriks nilpoten jika 𝐴𝑛 = 0 dan 𝐴𝑛−1 ≠ 0 dengan 𝑛 ∈ ℤ+ terkecil. Bilangan tersebut didefinisikan sebagai indeks nilpotensi dari matriks A. JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 67 Dalam [1] dinyatakan bahwa jika A dan B adalah matriks-matriks sedemikian sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, maka A dan B didefinisikan sebagai dua matriks yang komutatif. Definisi 2.2 Misalkan 𝐸, 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛. Pasangan matriks (𝐸, 𝐴) dikatakan regular jika 𝑚 = 𝑛 dan det(𝜆𝐸 − 𝐴) ≠ 0 untuk suatu 𝜆 ∈ ℂ. Jika berlaku sebaliknya maka pasangan matriks (𝐸, 𝐴) dikatakan non regular. Definisi 2.3 Dimensi ruang baris atau ruang kolom matriks A disebut rank dari A dan ditulis 𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝐴). Teorema 2.4 Misalkan terdapat matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛. Maka dimensi kernel (ruang penyelesaian dari 𝐴𝑥 = 0) adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴). Definisi 2.5 Misalkan terdapat matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛. Maka image A disimbolkan dengan 𝐼𝑚(𝐴), didefinisikan sebagai ruang peta dari A yaitu 𝐼𝑚(𝐴) = {𝒘 ∈ ℝ𝑚 |∃𝒙 ∈ ℝ𝑛 ∋ 𝒘 = 𝐴𝒙}. Definisi 2.6 Misalkan terdapat matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛, suatu vektor 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑥 ≠ 0 dikatakan vektor eigen (eigenvector) dari A jika 𝐴𝒙 adalah kelipatan skalar dari x, yakni 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 (3) untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A. Nilai 𝜆 pada (3) merupakan akar dari polinomial karakteristik : det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0. Teorema Cayley-Hamilton [14] menyatakan bahwa jika polinomial karakteristik dari matriks A adalah 𝑝(𝜆) = 𝑎0 + 𝑎1𝜆 + 𝑎2𝜆 2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝜆 𝑛−1 + 𝜆𝑛 , maka 𝑝(𝐴) = 𝑎0𝐼 + 𝑎1𝐴 + 𝑎2𝐴 2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝐴 𝑛−1 + 𝐴𝑛 = 0 Berikut ini akan disajikan beberapa hal penting mengenai invers Drazin dari suatu matriks 𝐴𝑛𝑥𝑛 yang diambil dari [9]. Invers Drazin berguna untuk mencari solusi sistem deskriptor diskrit. Definisi 2.7 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛. Indeks dari matriks A, ditulis 𝑖𝑛𝑑(𝐴), didefinisikan sebagai bilangan bulat non negatif terkecil q sedemikian sehingga 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝑞) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴𝑞+1). Definisi 2.8 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛. Invers Drazin dari A, ditulis 𝐴𝐷, adalah suatu matriks yang memenuhi tiga syarat berikut : 1. 𝐴𝐴𝐷 = 𝐴𝐷 𝐴, 2. 𝐴𝐷 𝐴𝐴𝐷 = 𝐴𝐷 , 3. 𝐴𝐷 𝐴𝑞+1 = 𝐴𝑞, dimana q merupakan indeks dari A. Invers Drazin 𝐴𝐷 dari suatu matriks persegi A selalu ada dan tunggal [4]. Jika A adalah matriks non singular, maka invers klasik 𝐴−1 memenuhi sifat invers Drazin seperti yang diberikan dalam definisi (2.8). Dalam hal ini 𝐴𝐷 = 𝐴−1. Berikut ini akan dipaparkan proses untuk menentukan invers Drazin dari suatu matriks persegi. Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 mempunyai nilai eigen nol dengan multiplisitas aljabar 1 dan nilai eigen berbeda 𝜆𝑖 dengan multiplisitas aljabar 𝑛𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑟. Jika 𝑚 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑟, maka 𝑚 + 1 = 𝑛. Berdasarkan Teorema Cayley-Hamilton, invers Drazin 𝐴𝐷 dapat ditulis sebagai polinomial dalam A. Perhatikan polinomial berikut : 𝑝(𝜆) = 𝜆𝑙 (𝑎0 + 𝑎1𝜆 + ⋯ + 𝑎𝑚−1𝜆 𝑚−1) (4) Koefisien 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑚−1 pada (4) dapat ditentukan dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut : 1 𝜆𝑖 𝑝(𝜆𝑖 ) −1 𝜆𝑖 2 = 𝑝 ′(𝜆𝑖) (5) ⋮ (−1)𝑛𝑖−1(𝑛𝑖−1)! (𝜆𝑖) 𝑛𝑖 = 𝑝(𝑛𝑖−1)(𝜆𝑖), untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑟 Lema berikut dapat digunakan untuk menghitung invers Drazin dari suatu matriks persegi. JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 68 Lema 2.9 Jika 𝑝(𝜆) didefinisikan oleh (4) dan (5), maka : 𝐴𝐷 = 𝑝(𝐴). (6) Sebagai ilustrasi dari Lema 2.9, perhatikan contoh berikut : 𝐴 = [ 2 4 1 4 6 5 5 4 0 −1 −1 −2 −1 0 −3 −3 ] Nilai eigen dari A adalah 0, 0, 1 dan 1. Untuk matriks A diatas, 𝑝(𝜆) = 𝜆2 (𝑎0 + 𝑎1𝜆). (7) Dengan menggunakan (5), diperoleh : 1 = 𝑎0 + 𝑎1, −1 = 2𝑎0 + 3𝑎1. (8) Solusi dari (8) adalah 𝑎0 = 4 dan 𝑎1 = −3. Jadi, berdasarkan Lema 2.9, 𝐴𝐷 = 𝐴2(4𝐼 − 3𝐴) = [ 3 8 2 7 11 11 9 9 −1 −3 −1 −3 −4 −4 −4 −4 ] [ 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 ] − [ 6 12 3 12 18 15 15 12 0 −3 −3 −6 −3 0 −9 −9 ] = [ 3 −1 2 1 2 2 3 3 −1 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 ] Lema 2.10 Misalkan 𝐴, 𝐵 ∈ ℂ𝑛𝑥𝑛, 1. Jika 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, maka 𝐴𝐵𝐷 = 𝐵𝐷 𝐴, 𝐵𝐴𝐷 = 𝐴𝐷 𝐵, 𝐴𝐷 𝐵𝐷 = 𝐵𝐷 𝐴𝐷 . 2. Jika 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 dan 𝑘𝑒𝑟𝐴⋂𝑘𝑒𝑟𝐵 = {𝟎}, maka (𝐼 − 𝐴𝐴𝐷 )𝐵𝐵𝐷 = 1 − 𝐴𝐴𝐷 . 2.2 Ruang Vektor Pada bagian ini akan dibicarakan konsep vektor yang digunakan pada pembahasan. Definisi 2.11 Misalkan 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧 adalah vektor dan 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 skalar maka vektor, 𝑤 = 𝑟1𝐯𝟏 + 𝑟2𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑟𝑛𝐯𝐧 (9) adalah kombinasi linier dari 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧. Himpunan semua kombinasi linier dari 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧 dikatakan membangun 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧 dan dinotasikan sebagai 𝑠𝑝𝑎𝑛 {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧}. 𝑆𝑝𝑎𝑛 {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧} = {𝑟1𝐯𝟏 + 𝑟2𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑟𝑛𝐯𝐧|𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎𝑟}. Definisi 2.12 Misalkan vektor 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧 dikatakan bebas linier jika 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 adalah skalar dan 𝑟1𝐯𝟏 + 𝑟2𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑟𝑛𝐯𝐧 = 0 (10) hanya dipenuhi oleh 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 0, … , 𝑟𝑛 = 0. Definisi 2.13 Ruang vektor V dikatakan hasil tambah langsung dari subruang 𝑊1, 𝑊2, … , 𝑊𝑛, jika 1. 𝑉 = ∑ 𝑊𝑖 𝑛 𝑖=1 dan 2. 𝑊𝑗 ∩ (∑ 𝑊𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑖≠𝑗 ) = {𝟎} ; untuk semua 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Hasil tambah langsung ditulis dengan notasi, 𝑉 = 𝑊1 ⊕ 𝑊2 ⊕ … ⊕ 𝑊𝑛 atau 𝑉 = 𝑛 ⊕ 𝑖 = 1 𝑊𝑖 . (11) 2.3 Proyeksi Definisi 2.14 Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah sebuah fungsi yang memetakan sebuah ruang vektor V kesebuah ruang vektor W, maka T disebut sebagai transformasi linier (linier transformasi) dari V ke W, jika semua vektor u dan w pada V dan semua skalar c, 1. 𝑇(𝐮 + 𝐯) = 𝑇(𝐮) + 𝑇(𝐯). 2. 𝑇(𝑐𝐮) = 𝑐𝑇(𝐮) Dalam kasus khusus dimana 𝑉 = 𝑊, transformasi linier 𝑇: 𝑉 → 𝑉 disebut sebagai operator linier (linier operator) pada V. Teorema 2.15 Misalkan 𝐺: 𝐹𝑛 → 𝐹𝑚 adalah transformasi linier. Maka terdapat sebuah matriks A ukuran 𝑚 × 𝑛 sedemikian sehingga 𝐺 = 𝑇𝐴. Definisi 2.16 Misalkan 𝑉 = 𝑆 ⊕ 𝑆𝑐 dengan 𝑆𝑐 adalah komplemen dari S. Pemetaan 𝑃: 𝑉 → 𝑉 yang didefinisikan sebagai 𝑃(𝒔 + 𝒔𝒄) = 𝒔, dengan 𝒔 ∈ 𝑆 dan 𝒔𝒄 ∈ 𝑆𝑐 disebut proyeksi pada S sepanjang 𝑆𝑐 . JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 69 Teorema 2.17 Misalkan P adalah suatu proyeksi pada S sepanjang 𝑆𝑐 maka 1. 𝐼𝑚(𝑃) = 𝑆 dan ker(𝑃) = 𝑆𝑐 , 2. 𝑉 = 𝐼𝑚(𝑃) ⊕ ker (𝑃). Teorema 2.18 Suatu operator linier P adalah proyeksi jika dan hanya jika 𝑃2 = 𝑃. 2.4 Solusi Sistem Deskriptor Diskrit Perhatikan kembali sistem deskriptor diskrit (1) dengan kondisi awal 𝐱(0). Jika entri- entri dari A, B dan E tidak bergantung terhadap waktu, maka sistem pada persamaan (1) disebut time-invariant. Sebaliknya, jika entri-entri dari A, B dan E bergantung terhadap waktu, maka sistem (1) disebut time-varying. Asumsikan bahwa det(𝜆𝐸 − 𝐴) ≠ 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝜆 ∈ ℂ. (12) Dengan mengalikan kedua ruas (1) dengan (𝜆𝐸 − 𝐴)−1, diperoleh : 𝐱(k + 1) = A̅𝐱(k) + B̅𝐮(k), (13) dengan �̅� = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐸, �̅� = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐴, dan �̅� = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐵. (14) Lema 2.19 Untuk matriks �̅� dan �̅� yang didefinisikan dalam (14) berlaku, 1. �̅��̅� = �̅�𝐴,̅ 2. ker(�̅�) ∩ ker(�̅�) = {𝟎} Bukti. 1. Berdasarkan persamaan (14), diperoleh 𝜆�̅� − �̅� = 𝜆(𝜆𝐸 − 𝐴)−1𝐸 − (𝜆 − 𝐴)−1𝐴 = (𝜆𝐸 − 𝐴)−1(𝜆𝐸 − 𝐴) = 𝐼, atau dapat ditulis �̅� = 𝜆�̅� − 𝐼. Akibatnya, �̅��̅� = (𝜆�̅� − 𝐼)�̅� = �̅�(𝜆�̅� − 𝐼) = �̅��̅�. 2. Misalkan bahwa 𝐱 ∈ ker �̅� ∩ ker �̅�. Maka �̅�𝐱 = 𝟎 dan �̅�𝐱 = 𝟎, dan (𝜆𝐸 − 𝐴)𝐱 = 𝟎. Karena 𝜆�̅� − �̅� = 𝐼, maka 𝐱 = 𝟎. ∎ Teorema 2.20 Solusi dari (13) dengan kondisi awal 𝐱(0) yang konsisten adalah 𝐱(𝑘) = (�̅�𝐷 �̅�)𝑘�̅�𝐷 �̅�𝐱(0) + ∑ �̅�𝐷 (�̅�𝐷 �̅�)𝑘−𝑖−1�̅�𝐮(𝑖)𝑘−1𝑖=0 − (−�̅��̅�𝐷 ) ∑ (�̅��̅�𝐷 )𝑖 𝑞−1 𝑖=0 �̅� 𝐷 �̅�𝐮(𝑘 + 1), (15) dengan q adalah indeks dari matriks �̅�. Bukti. Misalkan �̅� dan �̅� didefinisikan seperti dalam (14). Berdasarkan Lema 2.19 (1) berlaku �̅��̅� = �̅��̅�. Akibatnya, menurut Lema 2.10 (1) diperoleh �̅��̅�𝐷 = �̅�𝐷 �̅�. Selanjutnya, �̅�𝐱(𝑘 + 1) = (�̅�𝐷 �̅�)𝑘+1�̅�𝐱(0) + ∑(�̅�𝐷 �̅� 𝑘 𝑖=0 )𝑘−𝑖�̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑖) − (𝐼 − �̅��̅�𝐷 ) ∑(�̅��̅�𝐷 )𝑖+1 𝑞−1 𝑖=0 �̅�𝐮(𝑘 + 𝑖 + 1) dan �̅�𝐱(𝑘) = (�̅�𝐷 �̅�)𝑘+1�̅�𝐱(0) + ∑(�̅�𝐷 �̅�)𝑘−𝑖�̅�𝐮(𝑖) 𝑘−1 𝑖=0 − (𝐼 − �̅��̅�𝐷 ) ∑(�̅��̅�𝐷 )𝑖+1 𝑞−1 𝑖=0 �̅�𝐮(𝑘 + 𝑖). Berdasarkan Lema 2.19 berlaku �̅��̅� = �̅��̅� dan ker(�̅�) ∩ ker(�̅�) = {𝟎}, akibatnya menurut Lema 2.10 (2) diperoleh (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )�̅��̅�𝐷 = 𝐼 − �̅��̅�𝐷 , sehingga (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )(�̅��̅�𝐷 )𝑞 = (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )�̅��̅�𝐷 (�̅��̅�𝐷)𝑞 = (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )�̅��̅�𝐷 �̅�𝑞(�̅�𝐷 )𝑞 = �̅��̅�𝐷�̅�𝑞(�̅�𝐷 )𝑞 − �̅��̅�𝐷 �̅��̅�𝐷�̅�𝑞 (�̅�𝐷)𝑞 = �̅��̅�𝐷�̅�𝑞(�̅�𝐷 )𝑞 − �̅��̅�𝐷 �̅��̅�𝐷�̅�𝐷 �̅�𝑞+1(�̅�𝐷 )𝑞 = �̅��̅�𝐷�̅�𝑞(�̅�𝐷 )𝑞 − �̅��̅�𝐷 �̅�𝐷 �̅�𝑞+1(�̅�𝐷 )𝑞 = �̅��̅�𝐷�̅�𝑞(�̅�𝐷 )𝑞 − �̅��̅�𝐷 �̅�𝑞 (�̅�𝐷 )𝑞 = 0. Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa (15) merupakan solusi dari (13), akan ditunjukkan �̅�𝐱(𝑘 + 1) − �̅�𝐱(𝑘) = �̅�𝐮(𝑘). �̅�𝐱(𝑘 + 1) − �̅�𝐱(𝑘) = �̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘) − (𝐼 − �̅��̅�𝐷 ) ∑ [(�̅��̅�𝐷 )𝑖+1�̅�𝐮(𝑘 + 𝑖 + 1) + 𝑞−1 𝑖=0 (�̅��̅�𝐷 )𝑖 �̅�𝐮(𝑘 + 𝑖)] = �̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘)(𝐼 − �̅��̅�𝐷 ) ∑ [(�̅��̅�𝐷 )𝑖�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞−1 𝑖=0 𝑖) − (�̅��̅�𝐷 )𝑖+1 �̅�𝐮(𝑘 + 𝑖 + 1)] JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 70 =�̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘) + (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )[(�̅�𝐮 (𝑘) − (�̅��̅�𝐷 )�̅�𝐮(𝑘 + 1)) + ((�̅��̅�𝐷 )�̅�𝐮(𝑘 + 1) − (�̅��̅�𝐷 )2�̅�𝐮(𝑘 + 2)) + ⋯ + ((�̅��̅�𝐷 )𝑞−2�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞 − 2) − (�̅��̅�𝐷 )𝑞−1�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞 − 1)) + ((�̅��̅�𝐷 )𝑞−1�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞 − 1) − (�̅��̅�𝐷 )𝑞�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞))] = �̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘) + (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )[�̅�𝐮 (𝑘) − (�̅��̅�𝐷 )𝑞�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞)] = �̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘) + (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )�̅�𝐮 (𝑘) − (𝐼 − �̅��̅�𝐷 )(�̅��̅�𝐷 )𝑞�̅�𝐮(𝑘 + 𝑞) = �̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘) + �̅�𝐮 (𝑘) − �̅��̅�𝐷 �̅�𝐮(𝑘) = �̅�𝐮 (𝑘) Jadi, solusi (15) memenuhi sistem (13). ∎ 2.5 Sistem Deskriptor Diskrit Positif Teorema 2.21 Untuk sistem deskriptor diskrit (E, A, B), asumsikan bahwa EED ≥ 0, EA = AE dan ker E ∩ ker A = {𝟎}. Sistem diskrit (E, A, B) ≥ 0 jika dan hanya jika EDA ≥ 0, EDB ≥ 0 dan (I − EDE)(EAD) i ADB ≤ 0 dengan q adalah indeks dari E. Bukti. (⇒) Misalkan bahwa sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0. Karena 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸 dan ker 𝐸 ∩ ker 𝐴 = {𝟎}, untuk setiap kondisi awal yang konsisten 𝐱(0) ≥ 𝟎 dan untuk setiap kontrol non negatif, berlaku 𝐱(𝑘) ≥ 𝟎 ∀𝑘 ∈ ℤ+, 𝐱(𝑘) = (𝐸𝐷 𝐴)𝑘𝐸𝐷 𝐸𝐱(0) + ∑ 𝐸𝐷 (𝐸𝐷 𝐴)𝑘−𝑖−1 𝑘−1 𝑖 =0 𝐵𝐮(𝑖) − (𝐼 − 𝐸𝐸𝐷 ) ∑(𝐸𝐴𝐷 )𝑖𝐴𝐷 𝐵𝐮(𝑘 𝑞−1 𝑖=0 + 𝑖) Akan dibuktikan bahwa 𝐸𝐷 𝐴 ≥ 0. Selanjutnya, karena 𝐸𝐸𝐷 ≥ 0, maka 𝐱(0) = 𝐸𝐸𝐷 𝐞𝑖 ≥ 𝟎, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛, merupakan kondisi awal yang konsisten, dengan 𝐞𝑖 ∈ ℝ+ 𝑛 adalah vektor satuan ke-i. Dengan menggunakan kontrol 𝐮(𝑗) = 𝟎, 𝑗 = 0,1, ⋯ , 𝑘 + 𝑞 − 1, maka pada 𝑘 = 1, 𝐱(1) = (𝐸𝐷 𝐴)1𝐸𝐷 𝐸𝐱(0) = 𝐸𝐷 𝐴𝐸𝐷 𝐸𝐸𝐸𝐷 𝐞𝑖 Karena 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸, maka berdasarkan Lema 2.10 diperoleh 𝐸𝐷 𝐴 = 𝐴𝐸𝐷. Dengan menggunakan Definisi 2.8 yaitu 𝐸𝐷 𝐸 = 𝐸𝐸𝐷 dan 𝐸𝐷 𝐸𝐸𝐷 = 𝐸𝐷, diperoleh : 𝐱(1) = 𝐸𝐷 𝐴𝐸𝐸𝐷 𝐸𝐸𝐷 𝐞𝑖 = 𝐸𝐷 𝐴𝐸𝐸𝐷 𝐞𝑖 = 𝐴𝐸𝐷 𝐸𝐸𝐷 𝐞𝑖 = 𝐴𝐸𝐷 𝐞𝑖 . Karena 𝐱(1) ≥ 𝟎 dan 𝐞𝑖 ≥ 𝟎 untuk setiap 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛, maka 𝐸𝐷 𝐴 ≥ 0. Berikutnya akan dibuktikan bahwa 𝐸𝐷 𝐵 ≥ 0. Ambil 𝐱(0) = 𝟎, 𝐮(𝑗) = 𝟎, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑞, dan 𝐮(0) = 𝐞𝑖 ∈ ℝ+ 𝑚 dengan q adalah indeks dari 𝐸. Pada 𝑘 = 1, 𝐱(1) = 𝐸𝐷 (𝐸𝐷 𝐴)0𝐵𝐮(0) = 𝐸𝐷 𝐵𝒆𝑖 . Karena 𝐱(1) ≥ 𝟎 dan 𝐞𝑖 ≥ 𝟎 untuk setiap 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚, maka 𝐸𝐷 𝐵 ≥ 0. Akhirnya, akan dibuktikan bahwa (𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )𝑖𝐴𝐷 𝐵 ≤ 0 , ∀𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑞 − 1 dengan q adalah indeks dari 𝐸. Dengan mengambil 𝐱(0) = 𝟎, 𝐮(𝑘) = 𝐞𝑖 ∈ ℝ+ 𝑚 , dan 𝐮(𝑗) = 𝟎, 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑗 = 0,1, ⋯ , 𝑘 + 𝑞 − 1, diperoleh 𝐱(𝑘) = −(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)𝐴𝐷 𝐵𝐞𝑖. Karena 𝐱(𝑘) ≥ 𝟎 dan 𝐞𝑖 ≥ 𝟎 untuk setiap 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚, maka (𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)𝐴𝐷 𝐵 ≤ 0. Dengan mengambil 𝐮(𝑘 + ℎ) = 𝐞𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚 dan 𝐮(𝑗) = 𝟎, 𝑗 ≠ 𝑘 + ℎ, 𝑗 = 0, ⋯ , 𝑘 + 𝑞 − 1, maka diperoleh : 𝐱(𝑘) = −(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )ℎ𝐴𝐷𝐵𝒆𝑖 . Karena 𝐱(𝑘) ≥ 𝟎 dan 𝐞𝑖 ≥ 𝟎 untuk setiap 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚, maka (𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )ℎ 𝐴𝐷 𝐵 ≤ 0, untuk setiap ℎ = 1, 2, … , 𝑞 − 1. (⇐) Misalkan 𝐸𝐷 𝐴 ≥ 0, 𝐸𝐷 𝐵 ≥ 0 dan (𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )𝑖𝐴𝐷 𝐵 ≤ 0, untuk setiap 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑞 − 1 dengan q adalah indeks dari 𝐸. Akibatnya, solusi dari sistem deskriptor diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) adalah non negatif, 𝐱(𝑘) ≥ 𝟎, untuk setiap kontrol 𝐮(𝑗) ≥ 𝟎, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘 + 𝑞 + 1, 𝑘 ∈ ℤ+, sehingga sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0.∎ Teorema 2.22. Misalkan sistem diskrit (E, A, B) ≥ 0 dengan EED ≥ 0 dan EA = AE. Sistem (E, A, B) adalah terkontrol null jika dan hanya jika EDA adalah suatu matriks nilpoten. Bukti. (⟸) Misalkan 𝐸𝐷 𝐴 adalah suatu matriks nilpoten dengan indeks nilpotensi l. Akan dibuktikan bahwa sistem (𝐸, 𝐴, 𝐵) terkontrol null. Karena indeks nilpotensi dari matriks 𝐸𝐷 𝐴 adalah l, pilih 𝑘 ≥ 𝑙 dan barisan kontrol 𝐮(𝑗) = JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 71 𝟎, 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 + 𝑞 − 1, maka 𝐱(𝑘) = 𝟎. Jadi, sistem (𝐸, 𝐴, 𝐵) adalah terkontrol null. (⟹) Misalkan sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah terkontrol null maka untuk sebarang 𝐱𝟎 ∈ ℝ+ 𝑛 ada 𝑘 ∈ ℤ+ dan pilih barisan kontrol 𝐮(𝑗) = 𝟎, 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 + 𝑞 − 1 sedemikian sehingga 𝟎 = (𝐸𝐷 𝐴)𝑘𝐸𝐷 𝐸𝐱𝟎 (16) Jika diambil 𝐱𝟎 = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐞𝑖 dengan 𝐞𝑖 adalah vektor satuan ke-i, maka Persamaan 16 dapat ditulis menjadi (𝐸𝐷 𝐴)𝑘 𝐸𝐷 𝐸 𝐸𝐷 𝐸𝐞𝑖 = (𝐸 𝐷 𝐴)𝑘 𝐸𝐷 𝐸𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 )𝑘𝐴𝑘𝐸𝐷 𝐸𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 )𝑘−1𝐸𝐷 𝐴𝑘𝐸𝐷 𝐸𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 )𝑘−1𝐴𝑘𝐸𝐷 𝐸𝐸𝐷 𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 )𝑘−1𝐴𝑘𝐸𝐷 𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 )𝑘−1𝐸𝐷 𝐴𝑘𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 )𝑘 𝐴𝑘𝐞𝑖 = (𝐸𝐷 𝐴)𝑘 𝐞𝑖 = 𝟎. untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Karena (𝐸𝐷 𝐴)𝑘 𝐞𝑖 = 𝟎 maka terdapat 𝑙 ∈ ℝ+ 𝑛 sedemikian sehingga (𝐸𝐷 𝐴)𝑙 = 0, yaitu 𝐸𝐷 𝐴 adalah matriks nilpoten. ∎ 3. Hasil dan Pembahasan Misalkan ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) menyatakan himpunan keadaan tercapai dalam waktu 𝑘, yaitu ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) = {𝐱(𝑘)|𝐱(𝑘)tercapai pada waktu 𝑘} Perhatikan bahwa, ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) dibangun oleh kolom-kolom dari sub matriks non negatif berikut, [𝐸𝐷 𝐵|𝐸𝐷 𝐸𝐷 𝐴𝐵|… |𝐸𝐷 (𝐸𝐷 𝐴)𝑘−1𝐵|−(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)𝐴𝐷𝐵|… |−(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )𝑞−1𝐴𝐷 𝐵] Oleh karena itu, ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) dapat juga ditulis sebagai berikut, ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 〈𝐸𝐷 𝐵, 𝐸𝐷 𝐸𝐷 𝐴𝐵, … , 𝐸𝐷 (𝐸𝐷 𝐴)𝑘−1𝐵, −(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)𝐴𝐷 𝐵, … , −(−𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )𝑞−1𝐴𝐷 𝐵〉 (17) Selanjutnya, misalkan ℛ∞ (𝐸, 𝐴, 𝐵) menyatakan himpunan keadaan tercapai dalam waktu hingga, maka ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ⋃ ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) ∞ 𝑘=1 = {𝐱|𝐱 tercapai dalam waktu hingga}. Lema berikut memberikan syarat perlu dan cukup untuk ketercapaian sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0. Lema 3.1 Sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai jika dan hanya jika ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 . Bukti (⇒)Misalkan sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai. Akan dibuktikan bahwa ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 . Ambil 𝐱(𝑗) ∈ ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) maka 𝐱(𝑗) ∈ ℛ𝑗 (𝐸, 𝐴, 𝐵). Ini bermakna bahwa 𝐱(𝑗) tercapai dalam waktu j sehingga 𝐱(𝑗) ∈ ℝ+ 𝑛 . Jadi ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) ⊆ ℝ+ 𝑛 . Berikutnya, ambil sebarang 𝐱(𝑗) ∈ ℝ+ 𝑛 . Akan dibuktikan 𝐱(𝑗) ∈ ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵). Karena sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0, maka untuk setiap keadaan awal 𝐱𝟎 ∈ ℝ+ 𝑛 , terdapat 𝐮(𝑗) ≥ 𝟎, 𝑗 = 0,1, … , 𝑘 + 𝑞 − 1 sedemikian sehingga 𝐱(𝑗) ≥ 𝟎, ∀𝑘 ∈ ℤ+. Ini menunjukkan bahwa setiap 𝐱(𝑗) ∈ ℝ+ 𝑛 tercapai dari keadaan 0. Sehingga 𝐱(𝑗) ∈ ℛ𝑗 (𝐸, 𝐴, 𝐵) untuk suatu j. Jadi 𝐱(𝑗) ∈ ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵). (⇐) Misalkan ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 , akan dibuktikan bahwa sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai. Telah diketahui ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ⋃ ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) ∞ 𝑘=1 mendefenisikan bahwa x tercapai dalam waktu hingga. Maka jelas, sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai. ∎ Teorema 3.2 Sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dengan 𝐸𝐸𝐷 ≥ 0 dan 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸 adalah tercapai jika dan hanya jika, ℱ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝐼𝑚(𝐸𝐸 𝐷 ) dan ℬ(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝑘𝑒𝑟(𝐸𝐸𝐷 ). JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 72 Bukti Dari lema 3.1, diketahui bahwa sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 tercapai jika dan hanya jika ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 . Dari klaim diketahui bahwa ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝐹𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) ⊕ Β(𝐸, 𝐴, 𝐵) akibatnya ℝ+ 𝑛 = ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ⋃ ℛ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) ∞ 𝑘=1 = ⋃ 𝐹𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) ∞ 𝑘=1 ⊕ Β(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝐹∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) ⊕ Β(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝐼𝑚 (𝐸𝐸𝐷 ) ⊕ 𝑘𝑒𝑟(𝐸𝐸𝐷 ) Sehingga sistem deskret (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 tercapai jika dan hanya jika 𝐹∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝐼𝑚(𝐸𝐸 𝐷 ) dan Β (𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝑘𝑒𝑟(𝐸𝐸𝐷 ). ∎ Dari teorema 2.22 dan 3.1 dapat disimpulkan, Teorema 3.3 Diberikan sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dengan 𝐸𝐸𝐷 ≥ 0 dan 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸, maka sistem adalah terkontrol jika dan hanya jika ℛ∞(E, A, B) = ℝ+ n dan EDA adalah matriks nilpoten. Bukti (⇒) Misalkan sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dengan 𝐸𝐸𝐷 ≥ 0 dan 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸 adalah terkontrol. Akan dibuktikan ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 dan 𝐸𝐷 𝐴 adalah matriks nilpoten. Karena sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 terkontrol maka untuk setiap 𝐱𝐟 ∈ ℝ+ 𝑛 tercapai dari sebarang keadaan awal 𝐱𝟎 ∈ ℝ+ 𝑛 khususnya 𝐱𝟎 = 𝟎. Akibatnya sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai. Berdasarkan lema 3.1 maka ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 Selanjutnya, keterkontrolan dari sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 juga berakibat sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 terkontrol null. Berdasarkan teorema 2.22, maka 𝐸𝐷 𝐴 adalah matriks nilpoten. (⇐) Misalkan ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 dan 𝐸𝐷 𝐴 adalah suatu matriks nilpoten dengan indeks nilpotensi l. Akan dibuktikan sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 terkontrol. Ambil 𝐱𝟎, 𝐱𝐟 ∈ ℝ+ 𝑛 sebarang. Karena 𝐱𝐟 ∈ ℝ+ 𝑛 maka 𝐱𝐟 ∈ ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) yang berarti bahwa 𝐱𝐟 ∈ ℝ𝑘(𝐸, 𝐴, 𝐵) untuk suatu k, akibatnya ada 𝐮(𝑗) ≥ 𝟎, 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑘 + 𝑞 − 1 sedemikian sehingga 𝐱𝐟 dibangun oleh kolom-kolom matriks ℛ𝑘 (𝐸, 𝐴, 𝐵) = 〈𝐸𝐷 𝐵, 𝐸𝐷 𝐸𝐷 𝐴𝐵, … , 𝐸𝐷 (𝐸𝐷 𝐴)𝑘−1𝐵, −(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)𝐴𝐷 𝐵, … , −(𝐼 − 𝐸𝐷 𝐸)(𝐸𝐴𝐷 )𝑞−1𝐴𝐷 𝐵〉. Karena 𝐸𝐷 𝐴 adalah suatu matriks nilpoten dengan indeks nilpotensi l, pilih 𝑘 ∈ ℤ+ dengan 𝑘 ≥ 𝑙, maka akibatnya 𝐱𝐟 = ∑ 𝐸 𝐷 (𝐸𝐷 )𝑘−𝑖−1𝐵𝐮(𝑖) − (𝐼 𝑘−1 𝑖=0 − 𝐸𝐸𝐷 ) ∑(𝐸𝐴𝐷 )𝑖 𝐴𝐷 𝐵𝐮(𝑘 𝑞−1 𝑖=0 + 𝑖). (18) Fakta 3.2 memperlihatkan bahwa keadaan 𝐱𝐟 tercapai disebabkan karena adanya 𝐱𝟎 ∈ ℝ+ 𝑛 sehingga sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 terkontrol.∎ 4. Kesimpulan Berdasarkan uraian dari hasil dan pembahasan, dapat diberikan beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Suatu sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 adalah tercapai jika dan hanya jika, ℛ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = ℝ+ 𝑛 . 2. Sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dengan 𝐸𝐸𝐷 ≥ 0 dan 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸 adalah tercapai jika dan hanya jika, ℱ∞(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝐼𝑚(𝐸𝐸 𝐷 ) dan ℬ(𝐸, 𝐴, 𝐵) = 𝑘𝑒𝑟(𝐸𝐸𝐷 ). 3. Sistem diskrit (𝐸, 𝐴, 𝐵) ≥ 0 dengan 𝐸𝐸𝐷 ≥ 0 dan 𝐸𝐴 = 𝐴𝐸 adalah terkontrol jika dan hanya jika tercapai dan terkontrol null. Referensi [1] Anton, H. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid 1. Erlangga. Jakarta (2004) JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 73 [2] Arifin, A. Aljabar Linear Edisi Kedua, Penerbit ITB. Bandung (200) [3] Bru, R., Coll, C., Sanchez, E. Structural Properties of Positive Linear Time- Invariant Difference-Algebraic Equations. Lin. Alg. Appl. Vol. 349 pp: 1-10 (2002) [4] Campbell, S.L., Meyer. C.D. and J.R. Nicholas. Applications of the Drazin Invers to Linier Systems of Differential Equations with Singular Constant Coefficients. SIAM J. Appl. Math. Vol. 31 no. 3 pp: 411-425 (1979) [5] Canto, B., Coll, C., Sanchez, E. Positive Solutions of a Discrete-Time Descriptor System. International Journal of Systems Science. Vol. 39 no. 1 pp: 81-88 (2008) [6] Gantmacher, F.R. The Theory of Matrices. Vol 1. AMS Chelsea Publishing. Rhode Island (2000) [7] Hoffman, K., Kunze, R. Linear Algebra Second Edition. New Jersey (2006) [8] Jacob, Bill. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York (1990) [9] Kaczorek. T. Linier Control Systems. Vol. 1. Research Studies Press LTD. England (1992) [10] Noutsos, D., Tsatsomeros, M.J. Reachability and Holdability of Nonnegative States. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. Vol. 30 pp: 700-712 (2008) [11] Rahmalina, Widdya. Thesis, Sistem Deskriptor Diskrit Positif, Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Universitas Andalas, Padang, 2011 [12] Retno Sari, Yulia. Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif yang Terkontrol Null. Journal Proceeding Seminar Nasional Matematika STKIP PGRI. Padang, 2015 [13] Roman, S. Advance Linear Algebra. Springer. New York, (1992) [14] Serre, Denis. Matrices Theory and Application. Second Edition. Springer. France (2010)