PARADIGMA BARU PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN APLIKASI ONLINE INTERNET PEMBELAJARAN


JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi:  Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

83 

 

Beberapa Metode pada Masalah Pemrograman Stokastik  
 

 

Ihda Hasbiyati1, Hasriati2  

  Matematika FMIPA Universitas Riau1, ihdahasbiyati@gmail.com1 

Matematika FMIPA Universitas Riau2, hasriati.hasri@gmail.com2 
 

DOI:https://doi.org/10.15642/mantik.2017.3.2.83-86 

 

Abstrak 
 

Masalah pemrograman stokastik adalah masalah pemrograman matematis (linier, integer, mixed 
integer, dan nonlinier) dengan elemen stokastik berada dalam data. Untuk mendapatkan solusi 
layak dan optimal dengan datanya stokastik dibutuhkan beberapa metode.  Metode-metode yang 
bisa diterapkan dalam masalah pemrograman stokastik diantaranya metode dekomposisi L-Shape 
dan metode lagrange. Setiap metode dapat menentukan solusi optimal untuk menyelesaikan 

masalah pemrograman stokastik. 
 
Kata kunci: Masalah pemrograman stokastik, optimisasi robust, chance-constrained, 

recourse-based stochastic. 

 

Abstract 

 
Stochastic programming problem is mathematical problem (linear, integer, mixed integer, 

and nonlinier) with stochastic element lies data. To get reasonable solution and optimal 

with its stochastic data is needed several method.  Applicable method in trouble stochastic 

programming are L-Shape decomposition and lagrange decomposition. Each method can 

determine optimal solution to troubleshoots stochastic programming 

 
Keywords: Stochastic programming problems, robust optimization, chance-constrained 

programming, recourse stochastic programming 

 

 

1. Pendahuluan 
Pemograman stokastik adalah pemograman 

matematik dimana semua data yang tergabung ke 

dalam fungsi tujuan dan fungsi kendalanya 

berbentuk ketidakpastian. Ketidakpastian ini 

dicirikan dengan distribusi probabilitas pada 

parameternya. Walaupun ketidakpastian 

terdefinisi secara tepat, namun dalam prakteknya 

harus disusun secara terperinci dengan beberapa 

scenario sebagai akibat yang mungkin dari data, 

juga dalam spesifikasi dan ketepatan distribusi 

gabungan peluang. 

Masalah pemrograman stokastik berbeda 

dengan masalah optimasi deterministik yang 

dirumuskan dengan parameter-parameter yang 

diketahui, dalam masalah di dunia nyata selalu 

memasukkan beberapa parameter-parameter yang 

tidak diketahui. Contohnya pada suatu 

perusahaan gas yang mempunyai rencana untuk 

dua tahun, pada tahun pertama perusahaan gas 

membeli gas dari pasar, pengiriman kepada 

konsumen dilakukan segera dan juga dilakukan 

penyimpanan untuk tahun berikutnya. Variabel-

variabel yang mempengaruhi keputusan untuk 

mencadangkan penyimpanan atau membeli dari 

pasar diantaranya: berapa banyak gas yang dibeli 

untuk pengiriman, berapa banyak gas yang dibeli 

untuk penyimpanan, berapa banyak gas yang 

diambil dari penyimpanan dan pembelian untuk 

konsumen. Keputusan bergantung kepada harga 

gas pada tahun pertama dan tahun kedua, biaya 

penyimpanan, ukuran kapasitas penyimpanan dan 

permintaan pada setiap periode.Aplikasi lain dari 

pemrograman stokastik diantaranya adalah pada 

perencanaan produksi, penjadwalan, pembuatan 

rute, pengalokasian, kontrol dan manajemen 

lingkungan, finansial dan lain-lain. 

Beberapa penelitian yang telah dilakukan 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi:  Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

84 

 

peneliti terhadap pemrograman stokastik 

diantaranya, oleh Julia L. Higle pada tahun 1991 

yang menggunakan dekomposisi benders dengan 

variabel random pada fungsi tujuan, padatahun 

1997 Andrzej Ruszczynski meneliti metode 

dekomposisi dengan menggunakan metode 

dekomposisi stokastik, pada tahun 2000 X. Chen 

meneliti metode newton dengan fungsi tujuannya 

membutuhkan ekpektasi dan tidak mempunyai 

turunan, pada tahun 2006 Jeff  Linderoth meneliti 

metode sampling dengan menggunakan metode 

dekomposisi untuk pemrograman stokastik dua-

tahap dengan recourse. 

Masalah pemrograman stokastik dapat 

dibedakan menjadi dua, yaitu masalah 

pemrograman stokastik linier dan masalah 

pemrograman stokastik nonlinier. Masalah 

pemrograman stokastik linier adalah masalah 

pemrograman stokastik dengan fungsi tujuan dan 

fungsi kendalanya adalah fungsi-fungsi linier, 

sedangkan masalah pemrograman stokastik 

nonlinier adalah masalah pemrograman stokastik 

dengan salah satu atau keduanya dari fungsi 

tujuan dan fungsi kendalanya berbentuk fungsi 

nonlinier.  

Untuk masing-masing masalah 

pemrograman stokastik baik linier ataupun 

nonlinier menggunakan pendekatan metode yang 

berbeda-beda. Metode pendekatan yang 

dilakukan berasal dari metode-metode yang 

dipakai untuk menyelesaikan masalah 

pemrograman matematik (linier dan nonlinier), 

diantaranya:  

1. Untuk masalah pemrograman linier digunakan 
metode simpleks dan metode dekomposisi, 

metode dekomposisi dual.  

2. Untuk masalah pemrograman nonlinier 
digunakan metode cutting-plane, metode 

descent, metode penalty dan metode lagrange. 

Tulisan ini merupakan hasil kajian dari 

beberapa metode penyelesaian masalah 

pemrograman matematis yang dipakai untuk 

masalah pemrograman stokastik. 

 

2. Kajian Teori 
Sebelum membahas masalah pemrograman 

stokastik, terlebih dahulu dibahas perubahan 

bentuk model dari masalah pemrograman 

matematik menjadi masalah pemrograman 

stokastik. 

Misalkan masalah pemrograman linier 

sebagai berikut 

 

min{𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛}

kendala,
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛 ≥ 0 }
  
 

  
 

           (1) 

 

Dengan menggunakan notasi matriks 

persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai 

berikut 

 

min𝑐𝑇𝑥
𝑘𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎
𝐴𝑥 = 𝑏
𝑥 ≥ 0

}                            (2) 

 

Persamaan (2) dapat dituliskan kembali 

dalam bentuk umum sebagai berikut 

 
min𝑔0(𝑥)

𝑘𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎,𝑔𝑖(𝑥) ≤ 0,𝑖 = 1,⋯,𝑚

𝑥 ∈ 𝑋 ⊂ ℝ𝑛
}                   (3) 

 

Himpunan 𝑋 mempunyai sifat yang sama 
dengan fungsi 𝑔𝑖:ℝ

𝑛 → ℝ,𝑖 = 0,⋯,𝑚. Fungsi 
𝑔𝑖 dan himpunan 𝑋 disebut pemrogramam linier 
atau nonlinier apabila: 

1. Linier, jika 𝑋 adalah himpunan konvek dan 
fungsi 𝑔𝑖:ℝ

𝑛 → ℝ,𝑖 = 0,⋯,𝑚 linier. 
2. Nonliner, jika paling sedikit satu dari fungsi 

𝑔𝑖:ℝ
𝑛 → ℝ,𝑖 = 0,⋯,𝑚 nonlinier atau 𝑋 

bukan himpunan konvek, dengan ketentuan 

sebagai berikut 

a. Konveks, jika 𝑋 ∩ {𝑥|𝑔𝑖(𝑥) ≤ 0,𝑖 =
1,⋯,𝑚}  adalah himpunan konveks dan 
𝑔0 adalah fungsi konveks, 

b. Nonkonveks, jika tidak ada dari 𝑋 ∩
{𝑥|𝑔𝑖(𝑥) ≤ 0,𝑖 = 1,⋯,𝑚} yang bukan 
konveks atau fungsi objektif  𝑔0 bukan 
konveks. 

 

Persamaan (3) dapat dituliskan dalam bentuk 

masalah pemrograman stokastik dengan 

menambahkan parameter random 𝜉 sebagai 
berikut 

 
min𝑔0(𝑥,𝜉)

𝑘𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎,𝑔𝑖(𝑥,𝜉) ≤ 0,𝑖 = 1,⋯,𝑚,

𝑥𝜖𝑋 ⊂ ℝ𝑛
}        (4) 

 

Pada persamaan (4) ditambahkan suatu 

fungsi recourse untuk memastikan bahwa setiap 

pemilihan vektor random 𝜉 menjamin tidak 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi:  Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

85 

 

terjadinya pelanggaran yang dapat mengakibatkan 

biaya ekstra perunit, sehingga persamaan  (4) 

dapat dituliskan kembali sebagai berikut 

 
min𝑓0(𝑥,𝜉) = 𝑔0(𝑥,𝜉) + 𝑄(𝑥,𝜉)

𝑘𝑒𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎,𝑔𝑖(𝑥,𝜉) ≤ 0,𝑖 = 1,⋯,𝑚,

𝑥𝜖𝑋 ⊂ ℝ𝑛
}                (5) 

 

Fungsi recourse pada persamaan (5) yaitu  

 

𝑄(𝑥,𝜉) = 𝑚𝑖𝑛𝑦{𝑞
𝑇𝑦|𝑊𝑦 ≥ 𝑔

+(𝑥,𝜉),𝑦 ∈ 𝑌} 

 

dengan 𝑔+(𝑥,𝜉) = (𝑔1
+(𝑥,𝜉),⋯,𝑔𝑚

+(𝑥,𝜉)), 𝑦 ∈

𝑌 ⊂ ℝ�̅�adalah vektor recourse dengan {𝑦|𝑦 ≥ 0}, 
𝑊 adalah matriks berukuran 𝑚 × �̅�, dan 𝑞 ∈ ℝ�̅� 
adalah vektor unit biaya. 

 

3. Hasil dan Pembahasan 
 Metode yang dipakai untuk meyelesaikan 

masalah pemrograman matematik (linier dan 

nonlinier) seperti metode simpleks, metode 

dekomposisi, metode dekomposisi dual, metode 

cutting-plane, metode descent, metode penalty 

dan metode lagrange dapat dilihat pada [3], [4], 

dan [5]. Metode-metode yang dipakai pada 

masalah pemrograman matematik dapat juga 

digunakan pada masalah pemrograman stokastik 

karena pada dasarnya pemrograman stokastik 

adalah pemrograman matematik. 

 Salah satu pengembangan dari metode pada 

pemrograman matematik yaitu metode lagrange 

yang dipakai untuk masalah pemrograman 

nonlinier stokastik, yang diberikan sebagai 

berikut, 

Misalkan program nonlinier stokastik dengan 

recourse diberikan sebagai berikut: 

 

min
𝑥𝜖𝑋

�̂�0 (𝑥) + Εξ1
𝒬1(x, ξ1) 

 

Fungsi recourse: 

 
kendala𝑐1(𝑥,𝑦1,𝜉1) = 0 
 

Dan untuk 𝑡 = 2,⋯,𝑇 − 1, berulang dipunyai 
 

𝒬𝑡(𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑡−1,𝜉1,⋯,𝜉𝑡)

= min
𝑦𝑡
𝑞𝑡(𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑡−1,𝜉1,⋯,𝜉𝑡)

+ 𝐸𝜉𝑡+1𝒬𝑡+1(𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑡−1,𝜉1,⋯,𝜉𝑡,𝜉𝑡+1) 

         s.t.𝑐1(𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑡,𝜉1,⋯,𝜉𝑡) = 0  (6) 
 

𝒬𝑇 = 0,𝑥 ∈ ℜ
𝑛0 adalah vektor deterministik, 𝜉𝑖 

adalah realisasi dari vektor random 𝜉𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∈ ℜ
𝑛𝑖 

yang merupakan vektor keputusan padatahap ke-

i, yang dibangun secara rekursif oleh 

𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑖−1 dan 𝜉1,⋯,𝜉𝑖, dalam hal 

ini𝑦𝑖(𝑥,𝑦1,⋯,𝑦𝑖−1,𝜉1,⋯,𝜉𝑖)direpresentasikan 
secaraaktual. �̂�0 dan 𝑐0 adalah fungsi bernilai riil 
pada ℜ𝑛0. 𝑐𝑡 random karena berelasi dengan 

𝜉1,⋯,𝜉𝑡. Untuk vektor random diskrit 𝜉 =
(𝜉1,⋯,𝜉𝑇−1), jika 𝑐𝑡 mempunyai realisasi hingga 
𝑐𝑖𝑡(𝑖 = 1,⋯,𝑆𝑡), maka semua 𝑐𝑡𝑖 bentuk fungsi 
konstrain pada tahap 𝑡, model pada persamaan (6) 
merujuk kepada model yang ada pada [1] dan [2]. 

Proses penyelesaian masalah pemrograman 

nonlinear stokastik pada persamaan (6) dimulai 

dengan barisan “iterasi major”, pada setiap 

barisan iterasi major, konstrain nonlinier 

dilinierisasi pada beberapa titik dasar 𝑥𝑘 dan 
ketaklinieran didampingkan dengan fungsi 

objektif dengan pengali Lagrange, kemudian 

definisikan, ))(()(),(
~

kkkk
xxxJxfxxf  ,  

dimana 𝐽𝑘 = [𝐽(𝑥𝑘)]𝑖𝑗 = 𝜕𝑓
𝑖/𝜕𝑥𝑗 adalah matriks 

Jacobian dari turunan parsial pertama dari fungsi 

konstrain. Selanjutnya selesaikan sub-problem 

linier berikut untuk iterasi major ke-k, sehingga 

diperoleh  

Minimize
xy

)
~

()
~

(
2

1
)

~
()(),,,,( ffffffydxFxyxL

TT

k

T

kk
   

s.t )(
11 kkkk

xfxJbyAxJ   

222
byAxA                   

(7)

 

u
y

x
l 










 
 

Fungsi objektif pada Persamaan (7) adalah 

modifikasi Lagrangian augmented, dimana 

parameter penalty 𝜌 mempertinggi sifat 
konvergen dari estimasi awal derajat optimum 

paling jauh. Estimasi pengali Lagrangian 𝜆𝑘 
diperoleh sebagai nilai optimum pada solusi 

subproblem sebelumnya. Sepanjang pendekatan 

barisan iterasi major, optimum (diukur dengan 

pertukaran relatif pada estimasi berurut dari 𝜆𝑘 
dan degree untuk konstrain nonlinier yang 

dipenuhi pada 𝑥𝑘), parameter penalty 𝜌direduksi 
menjadi nol dan kuadrat nilai konvergen dari 

subproblem dipenuhi untuk mencapai kondisi 

optimum.

 

2
1

1 1 1 1 1 2 1 1 2
ˆ ˆ ˆ( , ) min ( , , ) ( , , , )

y
Q x q x y E Q x y


    



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi:  Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                      E-ISSN: 2527-3167 

 

86 

 

 Metode lain pada pemrograman matematis 

yang dapat dikembangkan pada pemrograman 

stokastik yaitu metode dekomposisi dual yang 

dikembangkan menjadi metode dekomposisi L-

Shape. Proses dimulai dengan membuat bentuk 

dual dari masalah pemrograman pada persamaan 

(2) menjadi sebagai berikut 

max𝑏𝑇𝑢 
dengan kendala 𝐴𝑇𝑢 ≤ 𝑐 dan 𝑢 ≥ 0 
Selanjutnya diberikan fungsi recouse sebagai 

berikut: 

 

𝑄(𝑥,𝜉) = 𝑚𝑖𝑛{𝑞(𝜉)𝑇𝑦|𝑊𝑦 = ℎ(𝜉) − 𝑇(𝜉)𝑥,𝑦

≥ 0} 
 

Dengan ℎ(𝜉) = ℎ0 + 𝐻𝜉 = ℎ0 + ∑ ℎ𝑖𝜉𝑖𝑖  adalah 
vector yang bergantung pada vector random 𝜉. 
𝑇(𝜉) = 𝑇0 + ∑ 𝑇𝑖𝜉𝑖𝑖  adalah matriks deterministic 
dan 𝑞(𝜉) = 𝑞0 + ∑ 𝑞𝑖𝜉𝑖𝑖 . Selanjutnya periksa 
ℎ(𝜉) − 𝑇(𝜉)𝑥 sehingga masalah pemrograman 
stokastik feasible (layak). Solusi optimal 

diperoleh apabila dipenuhi kondisi ℎ(𝜉) −
𝑇(𝜉)𝑥 = ℎ0 − 𝑇0𝑥, artinya 𝑄(𝑥,𝜉) linier dan 
konkaf pada 𝜉. 

 

4. Penutup 
Masalah pemrograman stokastik adalah juga 

masalah pemrograman matematis yang 

melibatkan parameter ketidakpastian. Metode-

metode yang dipakai pada masalah pemrograman 

matematik juga dapat digunakan pada masalah 

pemrograman stokastik dengan melakukan 

pengembangan. Masing-masing metode 

mempunyai syarat kondisi optimal yang berbeda-

beda sesuai dengan bentuk model yang 

digunakan. 

 

Referensi 

[1] Ihda Hasbiyati. Simple Technique of Projected 
lagrange for a Class of Multi-Stage Stochastic 

Nonlinear Programs. Global Journal of 

Technology & Optimization. Volume 6. Issue 3. 

(2015). 

[2] Ihda Hasbiyati. A Projected Lagrangian 
Approach for a Class of Multi-Stage Stochastic 

Nonlinear Programs. Prociding Conferenceof 

the International Federation of Operational 

research Societies (IFORS). Melbourne 

Convention and Exhibition Centre, Melbourne, 

Australia. (2011) 
 

[3] Peter kall, dan Janos Mayer. Stochastic Linear 
programming, Spriger, New York.(2005) 

[4] Peter kall, dan Stein W. Wallace. Stochastic 
Programming, Springer, New York.(1994) 

[5] M.S. Bazaraa and C.M. Shetty..Nonlinear 

Programming, Theory and Algorithms, (2nd Ed.), 

John Wiley & Sons, NewYork. (1993) 

.