PARADIGMA BARU PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN APLIKASI ONLINE INTERNET PEMBELAJARAN


JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

87 

 

Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru  

Hasil Operasi Cartesian Product 
 

 

Fery Firmansah1, Muhammad Ridlo Yuwono2  

Pend. Matematika, Universitas Widya Dharma Klaten1, fery.firmansah004@gmail.com1 

Pend. Matematika, Universitas Widya Dharma Klaten2, ridloyuwono90@gmail.com2 
 

DOI:https://doi.org/10.15642/mantik.2017.3.2.87-95 

 

Abstrak 
   

Kelas graf yang mempunyai sifat pelabelan harmonis ganjil disebut sebagai graf harmonis 

ganjil. Graf jaring adalah graf yang diperoleh dari operasi cartesian product dari dua graf 

lintasan. Kontruksi graf ular jaring terinspirasi dari definisi graf ular dengan mengganti graf 

lingkaran dengan graf jaring. Pada makalah ini akan ditunjukkan bahwa graf ular jaring 

memenuhi sifat pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga graf ular jaring adalah graf 

harmonis ganjil. Pada bagian akhir akan ditunjukkan juga bahwa gabungan graf ular jaring 

merupakan graf harmonis ganjil.  
 

Kata kunci: cartesian product, gabungan graf, graf harmonis ganjil, graf ular jaring 

 

Abstract 
    

  
Graph class which has the characteristic of odd harmonious labeling is called as odd harmonious 

graph. Net graph is a graph which is gained by using operation Cartesian product of two line 

graphs. The construction of snake-net graph is inspired by the definition of snake graph 

replacing the round graph to net graph. In this paper, the study will show that snake-net graph 

fulfill the characteristic of odd harmonious graph in such a way snake-net graph is the odd 

harmonious graph. In the end of this paper, it is also shown that the union of snake-net graph is 

also called as the odd harmonious graph. 

 

Keywords: Cartesian product, union graph, odd harmonious graph, snake-net graph 

 

 

 

 

1. Pendahuluan  
 

Pelabelan graf merupakan salah satu topik dari 

matematika kombinatorik yang berkembang sangat 

pesat akhir-akhir ini. Selain berkembang secara 

teori, pelabelan graf juga telah banyak diaplikasikan 

dalam berbagai bidang keilmuan. Pada mulanya 

pelabelan graf diperkenalkan oleh Sedlacek tahun 

1963 yang terinspirasi dari kasus bujur sangkar ajaib 

yang disebut pelabelan ajaib. Rosa tahun 1970, 

menulis makalah tentang pelabelan graceful yang 

digunakan untuk menyelesaikan kasus dekomposisi 

dari graf lengkap. Sampai tahun 2016, hasil tentang 

penelitian pelabelan graf sudah banyak 

dipubliksikan dalam berbagai jurnal dan makalah 

yang dikumpulkan dan diperbaharui secara teratur 

oleh Gallian. Gallian (2016) telah merangkum 

kurang lebih 2000 jurnal pelabelan graf dari seluruh 

peneliti dunia dan dari 2000 jurnal tersebut diperoleh  

kurang lebih 200 kelas graf baru beserta 

pelabelannya.  

Selain pelabelan ajaib dan pelabelan graceful, 

masih terdapat terdapat jenis pelabelan yang lain 

diantaranya adalah pelabelan harmonis yang 

mailto:fery.firmansah004@gmail.com
mailto:ridloyuwono90@gmail.com


JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

88 

 

diperkenalkan oleh Graham dan Sloane pada tahun 

1980 dan pelabelan harmonis ganjil yang 

diperkenalkan oleh Liang dan Bai pada tahun 2009. 

Liang dan Bai [10] telah menunjukkan sifat-sifat 

khusus yang dimiliki oleh graf harmonis ganjil, serta 

beberapa kelas graf yang memenuhi pelabelan 

harmonis ganjil. Hasil penelitian yang relevan 

dengan penelitian ini diantaranya dapat dilihat di 

Abdel-Aal [1]; Alyani, et. al. [2]; Firmansah & 

Sugeng [3]; Firmansah [4]; Firmansah & Syaifuddin 

[5]; Firmansah & Yuwono [6]; Jeyanthi dan Philo 

[7], Jeyanthi, et. al. [8], Saputri et. al. [11]; dan 

Vaidya & Shah [12].  

Pada makalah ini akan diberikan kontruksi 

kelas graf baru hasil operasi cartesian product dari 

graf lintasan 𝑃𝑚 dan 𝑃𝑛 yaitu graf jaring 𝐿𝑚,𝑛 =

𝑃𝑚 × 𝑃𝑛. Untuk 𝑚 = 𝑛 = 3 diperoleh graf jaring 

𝐿3,3 yang akan membentuk graf ular jaring 𝑘𝐿3,3. 

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa graf ular jaring 

𝑘𝐿3,3 memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil 

sehingga graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 adalah keluarga baru 

dari graf harmonis ganjil. Dibagian akhir akan 

ditunjukkan bahwa gabungan graf ular jaring 

𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 juga merupakan keluarga dari graf 

harmonis ganjil. 

2. Kajian Teori  
 

Misalkan ℤ𝑛 adalah himpunan bilangan bulat 

modulo 𝑛. Simbol [𝑎,𝑏] didefinsikan oleh 

{𝑥|𝑥 ∈ ℤ,𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} dan [𝑎,𝑏]𝑑 didefinsikan oleh 

{𝑥|𝑥 ∈ ℤ,𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,𝑥 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑑)}.  

 

Graf 𝐺(𝑝,𝑞) adalah graf 𝐺 dengan order 𝑝 =

|𝑉(𝐺)| simpul dan size 𝑞 = |𝐸(𝐺)| busur.  

Definisi 2.1 [9] Graf 𝐺(𝑝,𝑞) dikatakan graf 

harmonis jika terdapat fungsi injektif 𝑓:𝑉(𝐺) → 𝑍𝑞 

sedemikian sehingga menginduksi 𝑓∗:𝐸(𝐺) → ℤ𝑞 

yang didefinisikan oleh 𝑓∗(𝑢𝑣) = (𝑓(𝑢) +

𝑓(𝑣))(𝑚𝑜𝑑 𝑞) yang bersifat bijektif, dan 𝑓 adalah 

pelabelan harmonis dari graf 𝐺(𝑝,𝑞). 

Definisi 2.2 [10] Graf 𝐺(𝑝,𝑞) dikatakan graf 

harmonis ganjil jika terdapat fungsi injektif 

𝑓:𝑉(𝐺) → [0,2𝑞 − 1] = {0,1,2,3,…,2𝑞 − 1} 

sedemikian sehingga menginduksi fungsi  

𝑓∗:𝐸(𝐺) → [1,2𝑞 − 1]2 = {1,3,5,7,…,2𝑞 − 1} 

yang didefinisikan oleh 𝑓∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) yang 

bersifat bijektif, dan 𝑓 adalah pelabelan harmonis 

ganjil dari graf 𝐺(𝑝,𝑞). 

Definisi 2.3 [10] Graf ular 𝑘𝐶4 dengan 𝑘 ≥ 1 

adalah graf terhubung dengan 𝑘 blok  yang memiliki 

titik potong blok berupa lintasan dan setiap 𝑘 blok 

isomorfik dengan graf  ular  𝐶4 

 

3. Hasil Penelitian dan Pembahasan 
 

3.1 Pelabelan Harmonis Ganjil pada 

Graf Ular Jaring  
 

Pada bagian ini diberikan definisi dari graf 

ular jaring 𝑘𝐿3,3 yang terinspirasi dari graf ular 𝑘𝐶4 

yaitu dengan mengganti graf lingkaran 𝐶4 dengan 

graf jaring 𝐿3,3.  

Definisi 3.1  Graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 

adalah  graf terhubung dengan 𝑘 blok  yang 

memiliki titik potong blok berupa lintasan dan setiap 

𝑘 blok isomorfik dengan graf  jaring 𝐿3,3.  

 

Berikut pada Gambar 1 diberikan notasi simpul, 

notasi busur dan kontruksi dari graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 

dengan 𝑘 ≥ 1. 

 

 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

89 

 

0
u

1
u

2
u

k
u

2

1

1
v

2

1
v

1

2
v

2

2
v

1

2 k
v

2

2 k
v

1

1
w

2

1
w

1

k
w

2

k
w

12 k
u

1

12 k
v

2

12 k
v

22 k
u

 

Gambar 1 Notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari graf ular jaring 𝒌𝑳𝟑,𝟑 

Berdasarkan kontruksi pada Gambar 1 

diperoleh definisi himpunan simpul dan himpunan 

busur dari graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 

sebagai berikut:  

𝑉(𝑘𝐿3,3) = {𝑢𝑖|0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘} ∪

{𝑣𝑖
𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪

{𝑤𝑖
𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} dan  

𝐸(𝑘𝐿3,3) = {𝑢𝑖𝑣(𝑖+1)
𝑗|0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1, 𝑗 = 1,2}

∪ {𝑣𝑖
𝑗𝑢𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2} 

∪ {𝑣(2𝑖−1)
𝑗𝑤

𝑖
𝑗
|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2}

∪ {𝑤𝑖
𝑗𝑣(2𝑖)

𝑗
|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2} 

Selanjutnya diberikan sifat yang menyatakan 

bahwa graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 adalah 

graf harmonis ganjil yang dinyatakan dalam 

Teorema 3.2.   

Teorema 3.2 Graf ular jaring  𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 

adalah graf harmonis ganjil. 

BUKTI.  

Berdasarkan himpunan himpunan simpul 

dan himpunan busur dari graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 

dengan 𝑘 ≥ 1 diperoleh order 𝑝 = |𝑉(𝑘𝐿3,3)| =

9𝑘 − 1 dan size 𝑞 = |𝐸(𝑘𝐿3,3)| = 12𝑘.  

Berikut didefinisikan fungsi pelabelan 

simpul 𝑓: 𝑉(𝑘𝐿3,3) → {0,1,2,3…,24𝑘 − 1} 

𝑓(𝑢𝑖) = 4𝑖,0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘               (1.1) 

𝑓(𝑣𝑖
𝑗) = 4𝑖 + 2𝑗 − 5,1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2       (1.2) 

𝑓(𝑤𝑖
𝑗) = 24𝑘 − 16𝑖 − 4𝑗 + 14, 

       1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2             (1.3) 

Berdasarkan fungsi pelabelan simpul 𝑓 pada 

persamaan (1.1), (1.2), dan (1.3) diperoleh himpunan 

simpul  𝑓(𝑉(𝑘𝐿3,3)) setelah dilabel sebagai berikut.  

𝑓(𝑉(𝑘𝐿3,3)) = {0,4,8,12,…,8𝑘}

∪ {1,5,9,…,8𝑘 − 3,3,7,11,…,8𝑘

− 1} 

∪ {
24𝑘 − 6,24𝑘 − 22,24𝑘 − 38,…,8𝑘 + 10,
24𝑘 − 10,24𝑘 − 26,24𝑘 − 42,…,8𝑘 + 6

} 

= {0,1,3,4,5,7,8,9,11,…,8𝑘 − 3,8𝑘 − 1,8𝑘,8𝑘

+ 6,8𝑘 + 10,…,24𝑘 − 10,24𝑘 − 6} 

= {0,1,3,4,…,24𝑘 − 6} 

Terlihat bahwa fungsi pelabelan simpul 𝑓 

memberikan label yang berbeda pada setiap simpul 

dan memenuhi  𝑓(𝑉(𝑘𝐿3,3)) = {0,1,3,4,…,24𝑘 −

6} ⊆ {0,1,2,3…,24𝑘 − 1} sedemikian sehingga 

fungsi pelabelan simpul 𝑓 memenuhi sifat pemetaan 

injektif.  

Langkah selanjutnya akan ditunjukan bahwa 

fungsi pelabelan busur 𝑓∗ memenuhi sifat  pemetaan 

bijektif. Berdasarkan definisi 𝑓∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) +

𝑓(𝑣) maka fungsi pelabelan simpul 𝑓 akan 

menginduksi pelabelan busur 𝑓∗:𝐸(𝑘𝐿3,3) →

{1,3,5,7,…,24𝑘 − 1}, sehingga didapatkan kontruksi 

fungsi pelabelan busur 𝑓∗ sebagai berikut: 

𝑓∗(𝑢𝑖𝑣(𝑖+1)
𝑗) = 8𝑖 + 2𝑗 − 1,   

0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1,𝑗 = 1,2              (1.4) 

𝑓∗(𝑣𝑖
𝑗𝑢𝑖) = 8𝑖 + 2𝑗 − 5,   

1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2                (1.5) 

𝑓∗(𝑣(2𝑖−1)
𝑗𝑤

𝑖
𝑗
) = 24𝑘 − 8𝑖 − 2𝑗 + 5,   

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2   (1.6) 

𝑓∗ (𝑤𝑖
𝑗𝑣(2𝑖)

𝑗
) = 24𝑘 − 8𝑖 − 2𝑗 + 9,   

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2   (1.7) 

Berdasarkan fungsi pelabelan busur 𝑓∗ pada 

persamaan (1.4), (1.5), (1.6) dan (1.7) diperoleh 

himpunan busur 𝑓∗ (𝐸(𝑘𝐿3,3)) setelah dilabel 

sebagai berikut; 

  



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

90 

 

𝑓∗ (𝐸(𝑘𝐿3,3)) = {1,9,17,25,…,16𝑘 − 7,3,11,19,27,…,16𝑘 − 5 } 

∪ {5,13,21,29,…,16𝑘 − 3,7,15,23,31,…,16𝑘 − 1} 

∪ {
24𝑘 − 5,24𝑘 − 13,24𝑘 − 21,24𝑘 − 29,…,16𝑘 + 3,
24𝑘 − 7,24𝑘 − 15,24𝑘 − 23,24𝑘 − 31,…,16𝑘 + 1

} 

∪ {
24𝑘 − 1,24𝑘 − 9,24𝑘 − 17,24𝑘 − 25,…,16𝑘 + 7,
24𝑘 − 3,24𝑘 − 11,24𝑘 − 19,24𝑘 − 27,…,16𝑘 + 5

} 

= {

1,3,5,7,9,13,15,17,19,21,23,25,27,29,…,16𝑘 − 7,16𝑘 − 5,16𝑘 − 3,16𝑘 − 1 
16𝑘 + 1,16𝑘 + 3,6𝑘 + 5,16𝑘 + 7,…,24𝑘 − 31,24𝑘 − 29,24𝑘 − 27,24𝑘 − 25,
24𝑘 − 23,24𝑘 − 21,24𝑘 − 19,24𝑘 − 17,24𝑘 − 15,24𝑘 − 13,24𝑘 − 11,24𝑘 − 9,

24𝑘 − 7,24𝑘 − 5,24𝑘 − 3,24𝑘 − 1

} 

= {1,3,5,7,…,24𝑘 − 1 }. 

Terlihat bahwa fungsi pelabelan busur 𝑓∗ 

memberikan label yang berbeda pada setiap busur 

dan 𝑓∗ (𝐸(𝑘𝐿3,3)) = {1,3,5,7,…,24𝑘 − 1} 

sedemikian sehingga fungsi pelabelan busur 𝑓∗ 

memenuhi sifat pemetaan bijektif. Akibatnya graf 

ular jaring 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis 

ganjil. ∎ 

 

Contoh 3.3 Diberikan contoh pelabelan harmonis 

ganjil pada graf ular jaring 7𝐿3,3 pada Gambar 2.

 

0

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

4 8 12 16 20
24

162 146 130

126142158

56

55

53

51

49

47

45

43

41

39

37

35

33

52 48 44 40 36
32

62 78 94

988266

28

2527

2931

110 114

 

Gambar 2 Pelabelan harmonis ganjil pada graf ular jaring  𝟕𝑳𝟑,𝟑 

3.2 Pelabelan Harmonis Ganjil pad 

Gabungan Graf Ular Jaring  

 

Hasil penelitian selanjutnya adalah 

pelabelan harmonis ganjil pada gabungan graf ular 

jaring 𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1.  Berikut 

diberikan definisi dari gabungan graf ular jaring 

𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 yang dinyatakan dalam 

Definisi 3.4.  

Definisi 3.4 Graf 
3,33,3 kLkL   dengan 1k  

adalah gabungan dua graf ular jaring 
3,3kL  dengan 

1k .  

Notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari 

gabungan graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥

1 diberikan pada Gambar 4 sebagai berikut. 

 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

91 

 

0
u

1
u

2
u

k
u

2

1

1
v

2

1
v

1

2
v

2

2
v

1

2 k
v

2

2 k
v

1

1
w

2

1
w

1

k
w

2

k
w

12 k
u

1

12 k
v

2

12 k
v

22 k
u

   
3,33,3

LkLk 

0
x

1
x

2
x

k
x

2

1

1
y

2

1
y

1

2
y

2

2
y

1

2 k
y

2

2 k
y

1

1
z

2

1
z

1

k
z

2

k
z

12 k
x

1

12 k
y

2

12 k
y

22 k
x

 

Gambar 3 Notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari gabungan graf ular jaring 𝒌𝑳𝟑,𝟑 ∪ 𝒌𝑳𝟑,𝟑 

Berdasarkan kontruksi pada Gambar 4, 

diperoleh definisi himpunan simpul dan himpunan 

busur dari gabungan graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 

dengan 𝑘 ≥ 1 sebagai berikut.

  

𝑉(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3) = {𝑢𝑖|0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘} ∪ {𝑣𝑖
𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑤𝑖

𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪

{𝑥𝑖|0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘} ∪ {𝑦𝑖
𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑧𝑖

𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2}  dan 

 𝐸(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3) = {𝑢𝑖𝑣(𝑖+1)
𝑗|0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑣𝑖

𝑗𝑢𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2} ∪

{𝑣(2𝑖−1)
𝑗𝑤

𝑖
𝑗
|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2} ∪ {𝑤𝑖

𝑗𝑣
(2𝑖)
𝑗
|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2} ∪ {𝑥𝑖𝑦(𝑖+1)

𝑗|0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1, 𝑗 = 1,2} ∪

{𝑦𝑖
𝑗𝑥𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2} ∪ {𝑦(2𝑖−1)

𝑗𝑧
𝑖
𝑗
|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2} ∪ {𝑧𝑖

𝑗𝑦
(2𝑖)
𝑗
|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2}. 

 

Pada Teorema 3.2 diperoleh bahwa graf ular 

jaring  𝑘𝐿3,3  dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis 

ganjil, maka berikut diberikan sifat yang 

menyatakan bahwa gabungan graf ular jaring   

𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3  dengan 𝑘 ≥ 1 memenuhi fungsi 

pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga 

gabungan graf ular jaring  𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥

1 adalah graf harmonis ganjil.  

 

 

Teorema 3.5 

Gabungan graf ular jaring  𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 

𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil. 

BUKTI.  

Berdasarkan himpunan himpunan simpul 

dan himpunan busur dari gabungan graf ular jaring 

𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 diperoleh order  𝑝 =

|𝑉(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3)| = 18𝑘 − 2 dan size 

𝑞 = |𝐸(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3)| = 24𝑘.  

Berikut didefinisikan fungsi pelabelan simpul 

𝑓: 𝑉(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3) → {0,1,2,3…,48𝑘 − 1}  

𝑓(𝑢𝑖) = 4𝑖,0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘                 (2.1) 

𝑓(𝑣𝑖
𝑗) = 4𝑖 + 2𝑗 − 5,1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2        (2.2) 

𝑓(𝑤𝑖
𝑗) = 24𝑘 − 16𝑖 − 4𝑗 + 14, 

 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2           (2.3) 

𝑓(𝑥𝑖) = 4𝑖 + 2,0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘                  (2.4) 

𝑓(𝑦𝑖
𝑗) = 24𝑘 + 4𝑖 + 2𝑗 − 7,  

1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2   (2.5) 

𝑓(𝑧𝑖
𝑗) = 24𝑘 − 16𝑖 − 4𝑗 + 16,  

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2   (2.6) 

Berdasarkan fungsi pelabelan simpul 𝑓 pada 

persamaan (2.1), (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), dan (2.6) 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

92 

 

diperoleh himpunan simpul 𝑓(𝑉(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3)) 
setelah dilabel sebagai berikut.

  

𝑓(𝑉(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3)) = {0,4,8,12,…,8𝑘} ∪ {1,5,9,…,8𝑘 − 3,3,7,11,…,8𝑘 − 1} 

∪ {
24𝑘 − 6,24𝑘 − 22,24𝑘 − 38,…,8𝑘 + 10,
24𝑘 − 10,24𝑘 − 26,24𝑘 − 42,…,8𝑘 + 6

} 

∪ {2,6,10,14,…,8𝑘 + 2} 

∪ {
24𝑘 − 1,24𝑘 + 3,24𝑘 + 7,24𝑘 + 11,…,32𝑘 − 5
24𝑘 + 1,24𝑘 + 5,24𝑘 + 9,24𝑘 + 13,…,32𝑘 − 3

} 

∪ {
24𝑘 − 4,24𝑘 − 20,24𝑘 − 36,24𝑘 − 52,…,8𝑘 + 12
24𝑘 − 8,24𝑘 − 24,24𝑘 − 40,24𝑘 − 56,…,8𝑘 + 8

} 

= {
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…,8𝑘 − 3,8𝑘 − 1,8𝑘,8𝑘 + 2,8𝑘 + 6,8𝑘 + 8,8𝑘 + 10,…,
24𝑘 − 10,24𝑘 − 8,24𝑘 − 6,24𝑘 − 4,24𝑘 − 1,24𝑘 + 1,…,32𝑘 − 5,32𝑘 − 3

} 

= {0,1,2,3,4,…,32𝑘 − 3} 

 

Terlihat bahwa fungsi 𝑓 memberikan label 

yang berbeda pada setiap simpul dan  𝑓(𝑉(𝑘𝐿3,3 ∪

𝑘𝐿3,3)) = {0,1,2,3,4,…,32𝑘 − 3} ⊆

{0,1,2,3…,48𝑘 − 1} sedemikian sehingga fungsi 

pelabelan simpul 𝑓 memenuhi sifat  pemetaan 

injektif.  

Setelah menunjukan fungsi pelabelan simpul 

𝑓 memenuhi pemetaan injektif, selanjutnya akan 

ditunjukan bahwa fungsi pelabelan busur 𝑓∗ 

memenuhi pemetaan bijektif. Fungsi pelabelan 𝑓 

akan menginduksi pelabelan  𝑓∗:𝐸(𝑘𝐿3,3 ∪

𝑘𝐿3,3) → {1,3,5,7,…,48𝑘 − 1} yang diperoleh dari   

𝑓∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣), sehingga didapatkan fungsi 

pelabelan busur sebagai berikut:  

 

 

𝑓∗(𝑢𝑖𝑣(𝑖+1)
𝑗) = 8𝑖 + 2𝑗 − 1, 0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1,𝑗 = 1,2    (2.7) 

𝑓∗(𝑣𝑖
𝑗𝑢𝑖) = 8𝑖 + 2𝑗 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2     (2.8) 

𝑓∗(𝑣(2𝑖−1)
𝑗𝑤

𝑖
𝑗
) = 24𝑘 − 8𝑖 − 2𝑗 + 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2  (2.9) 

𝑓∗ (𝑤𝑖
𝑗𝑣(2𝑖)

𝑗
) = 24𝑘 − 8𝑖 − 2𝑗 + 9, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2    (2.10) 

𝑓∗(𝑥𝑖𝑦(𝑖+1)
𝑗) = 24𝑘 + 8𝑖 + 2𝑗 − 1, 0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1,𝑗 = 1,2   (2.11) 

𝑓∗(𝑦𝑖
𝑗𝑥𝑖) = 24𝑘 + 8𝑖 + 2𝑗 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘,𝑗 = 1,2    (2.12) 

𝑓∗(𝑦(2𝑖−1)
𝑗𝑧
𝑖
𝑗
) = 48𝑘 − 8𝑖 − 2𝑗 + 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2    (2.13) 

𝑓∗ (𝑧𝑖
𝑗𝑦
(2𝑖)
𝑗
) = 48𝑘 − 8𝑖 − 2𝑗 + 9, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘,𝑗 = 1,2    (2.14) 

 

Berdasarkan fungsi pelabelan busur 𝑓∗ pada persamaan (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), 

(2.13) dan (2.14) diperoleh himpunan busur 𝑓∗ (𝐸(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3)) setelah dilabel sebagai berikut.  

𝑓∗ (𝐸(𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3)) = {1,9,17,25,…,16𝑘 − 7,3,11,19,27,…,16𝑘 − 5 } 

∪ {5,13,21,29,…,16𝑘 − 3,7,15,23,31,…,16𝑘 − 1} 

∪ {
24𝑘 − 5,24𝑘 − 13,24𝑘 − 21,24𝑘 − 29,…,16𝑘 + 3,
24𝑘 − 7,24𝑘 − 15,24𝑘 − 23,24𝑘 − 31,…,16𝑘 + 1

} 

∪ {
24𝑘 − 1,24𝑘 − 9,24𝑘 − 17,24𝑘 − 25,…,16𝑘 + 7,
24𝑘 − 3,24𝑘 − 11,24𝑘 − 19,24𝑘 − 27,…,16𝑘 + 5

} 

∪ {
24𝑘 + 1,24𝑘 + 9,24𝑘 + 17,24𝑘 + 25,…,40𝑘 − 7,
24𝑘 + 3,24𝑘 + 11,24𝑘 + 19,24𝑘 + 27,…,40𝑘 − 5

} 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

93 

 

∪ {
24𝑘 + 5,24𝑘 + 13,24𝑘 + 21,24𝑘 + 29,…,40𝑘 − 3,
24𝑘 + 7,24𝑘 + 15,24𝑘 + 23,24𝑘 + 31,…,40𝑘 − 1

} 

∪ {
48𝑘 − 5,48𝑘 − 13,48𝑘 − 21,48𝑘 − 29,…,40𝑘 + 3,
48𝑘 − 7,48𝑘 − 15,48𝑘 − 23,48𝑘 − 31,…,40𝑘 + 1

} 

∪ {
48𝑘 − 1,48𝑘 − 9,48𝑘 − 17,48𝑘 − 25,…,40𝑘 + 7,
48𝑘 − 3,48𝑘 − 11,48𝑘 − 19,48𝑘 − 27,…,40𝑘 + 5

} 

=

{
 
 
 
 

 
 
 
 

1,3,5,7,9,13,15,17,19,21,23,25,27,29,…,16𝑘 − 7,16𝑘 − 5,16𝑘 − 3,16𝑘 − 1 
16𝑘 + 1,16𝑘 + 3,6𝑘 + 5,16𝑘 + 7,…,24𝑘 − 31,24𝑘 − 29,24𝑘 − 27,24𝑘 − 25,
24𝑘 − 23,24𝑘 − 21,24𝑘 − 19,24𝑘 − 17,24𝑘 − 15,24𝑘 − 13,24𝑘 − 11,24𝑘 − 9,

24𝑘 − 7,24𝑘 − 5,24𝑘 − 3,24𝑘 − 1,
24𝑘 + 1,24𝑘 + 3,24𝑘 + 5,24𝑘 + 7,24𝑘 + 9,24𝑘 + 11,24𝑘 + 13,24𝑘 + 15,
24𝑘 + 17,24𝑘 + 19,24𝑘 + 21,24𝑘 + 23,24𝑘 + 25,24𝑘 + 27,24𝑘 + 29,

24𝑘 + 31,…,40𝑘 − 7,40𝑘 − 5,40𝑘 − 3,40𝑘 − 1,
40𝑘 + 1,40𝑘 + 3,40𝑘 + 5,40𝑘 + 7,…,48𝑘 − 31,48𝑘 − 29,48𝑘 − 27,
48𝑘 − 25,48𝑘 − 23,48𝑘 − 21,48𝑘 − 19,48𝑘 − 17,48𝑘 − 15,48𝑘 − 13,

48𝑘 − 11,48𝑘 − 9,48𝑘 − 7,48𝑘 − 5,48𝑘 − 3,48𝑘 − 1 }
 
 
 
 

 
 
 
 

 

= {1,3,5,7,…,48𝑘 − 1 }. 

Terlihat bahwa fungsi 𝑓∗ memberikan label yang berbeda pada setiap busur dan 𝑓∗ (𝐸(𝑘𝐿3,3 ∪

𝑘𝐿3,3)) = {1,3,5,7,…,48𝑘 − 1} sehingga fungsi pelabelan busur 𝑓
∗ memenuhi sifat pemetaan bijektif. Telah 

ditunjukkan bahwa fungsi pelabelan simpul 𝑓 memenuhi  pemetaan injektif sedemikian sehingga 

menginduksi fungsi pelabelan busur 𝑓∗ yang bijektif. Akibatnya gabungan graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 

dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil ∎ 

 

Contoh 3.6  

Berikut pada Gambar 4 diberikan contoh pelabelan harmonis ganjil dari gabungan graf ular jaring 

7𝐿3,3 ∪ 7𝐿3,3  

 



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

94 

 

 

 

Gambar 4 Pelabelan harmonis ganjil pada gabungan graf ular jaring 𝟕𝑳𝟑,𝟑 ∪ 𝟕𝑳𝟑,𝟑 

 

 

4. Penutup 
 

Pada makalah ini telah didapatkan kelas graf 

baru yang merupakan hasil operasi cartesian product 

yang memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil 

yaitu graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥ 1 dan 

gabungan graf ular jaring 𝑘𝐿3,3 ∪ 𝑘𝐿3,3 dengan 𝑘 ≥

1 sedemikian sehingga diperoleh keluarga baru dari 

graf harmonis ganjil. Hasil penelitian ini bisa 

dilanjutkan untuk  graf ular jaring 𝑘𝐿𝑚,𝑛 dengan 

𝑚 ≥ 1,𝑛 ≥ 1,𝑘 ≥ 1 dan gabungannya 𝑘𝐿𝑚,𝑛 ∪

𝑘𝐿𝑚,𝑛 dengan  𝑚 ≥ 1,𝑛 ≥ 1,𝑘 ≥ 1.  

 

Ucapan Terima Kasih 

 

Penulis mengucapkan terima kasih kepada 

Ristek Dikti yang telah memberi dukungan financial 

terhadap penelitian ini melalui Hibah Penelitian 

Dosen Pemula (PDP) tahun 2017.    

 

Referensi 

 

[1] Abdel-Aal, M. E. New Families of Odd 

Harmonious Graphs. International Journal of 

Soft Computing, Mathematics and Control, 

3(1), (2014) 1-13.  

[2] Alyani, F., Firmansah, F., Giyarti, W., dan 

Sugeng, K. A. The Odd Harmonious Labeling 

of kCn-Snake Graphs for Spesific Values of n, 

that is, for n = 4 and n = 8. Proceeding 

IndoMS International Conference on 

Mathemathics and Its Applications, UGM dan 

IndoMS. (2013) 225-230. 6-7 November, 

Yogyakarta.  

[3] Firmansah, F., dan  Sugeng, K. A. Pelabelan 

Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin 

Belanda dan Gabungan Graf Kincir Angin 

Belanda. Magistra, No 94 Th. XXVII, ISSN 

0215-9511, (2015) 56-92.  



JURNAL MATEMATIKA “MANTIK” 

Edisi: Oktober 2017. Vol. 03 No. 02 

ISSN: 2527-3159                                                                       E-ISSN: 2527-3167 

 

95 

 

[4] Firmansah, F. 2016. Pelabelan Harmonis 

Ganjil pada Gabungan Graf Ular dan Graf 

Ular Berlipat. Proceeding Konferensi 

Nasional Matematika dan Pembelajarannya 

(KNPMP 1) UMS. (2016) 809-818. 12 Maret, 

Surakarta. 

[5] Firmansah, F. dan Syaifuddin, M. W. 

Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir 

Angin Double Quadrilateral. Proceeding 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan 

Matematika, FKIP UNY, (2016) 53-58. 5 

November, Yogyakarta.  

[6] Firmansah, F. dan Yuwono, M. R. Odd 

Harmonius Labeling on Pleated of the Dutch 

Windmill Graphs. Cauchy – Jurnal 

Matematika Murni dan Aplikasi, 4(4). (2017) 

161-166. p-ISSN: 2086-0382, e-ISSN: 2477-

3344.  

[7] Jeyanthi, P. dan Philo, S. Odd Harmonious 

Labeling of Some Cycle Related Graphs. 

Proyecciones Journal of Matematics, 35(1). 

(2016) 85-98. 

[8] Jeyanthi, P., Philo, S. dan Sugeng, K.A. Odd 

Harmonious Labeling of Some New Families 

of Graphs. SUT Journal of Mathematics. 

51(2). (2015) 53-65.  

[9] Gallian, J. A. A Dynamic Survey of Graph 

Labeling. The Electronic Journal of  

Combinatorics, 18. (2016) #DS6.  

[10] Liang, Z.,  dan Bai, Z. On The Odd 

Harmonious Graphs with Applications, J. 

Appl. Math. Comput., 29, (2009) 105-116.  

[11] Saputri, G. A., Sugeng, K. A., dan Froncek, D. 

The Odd Harmonious Labeling of Dumbbell 

and Generalized Prims Graphs, AKCE Int, J. 

Graphs Comb., 10(2), (2013) 221-228.  

[12] Vaidya, S. K., dan Shah, N. H. Some New 

Odd Harmonious Graphs. International 

Journal of Mathematics and Soft Computing, 

1(1), (2011) 9-16.