M.E.Ervina_Rprop_mantik JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 143 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER FULLY FUZZY MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) Corry Corazon Marzuki1, Agustian2, Dewi Hariati3, Junitis Afmilda4, Nurul Husna5, Putra Nanda6 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau1,2,3,4,5,6, Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293 Email: corry@uin-suska.ac.id1, agustian2196@gmail.com2, dewih961002@gmail.com3, junitisafmilda21@gmail.com4, husnanurul2411@gmail.com5, putrananda581@gmail.com6 DOI:https://doi.org/10.15642/mantik.2018.4.1.143-149 Abstrak Sistem persamaan linear dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX = B. Konstanta dalam persamaan linear dapat pula berupa bilangan fuzzy dan semua parameternya dalam bilangan fuzzy yang dikenal dengan istilah sistem persamaan linear fully fuzzy. Metode Singular Value Decomposition (SVD) merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks A menjadi tiga komponen matriks USVH. Metode SVD dapat digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear fully fuzzy yang konsisten maupun sistem persamaan linear fully fuzzy yang tidak konsisten. Solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear fully fuzzy yang konsisten dengan menggunakan SVD adalah solusi tunggal dan banyak solusi. Sedangkan, solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear fully fuzzy yang tidak konsisten dengan menggunakan SVD adalah solusi pendekatan terbaik. Kata kunci: fuzzy, sistem persamaan linier fully fuzzy, singular value decomposition (SVD) Abstract Linear equation system can be arranged into the AX = B matrix equation. Constants in linear can also contain fuzzy numbers and all their parameters in fuzzy numbers known as fully fuzzy linear equation systems. singular value decomposition (SVD) is a method that decomposes an A matrix into three components of the USVH. The SVD method can be used to find a solution to the fully fuzzy fully linear equation system that is also an inconsistent fully fuzzy linear equation system. The solution obtained from a fully fuzzy linear equation system that is consistent using SVD is a single solution and many solutions. Whereas, the solution obtained from a fully fuzzy linear equation system that is inconsistent using SVD is the best approach solution. Keywords: fuzzy, fully fuzzy linear equation system, singular value decomposition (SVD) 1. Pendahuluan Sistem persamaan linier merupakan kumpulan persamaan linier yang saling berhubungan untuk mencari nilai variabel yang memenuhi semua persamaan linier tersebut. Sistem persamaan linier biasanya terdiri atas ๐‘š persamaan dan ๐‘› variabel. Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks ๐ด๐‘‹ = ๐ต, dengan semua entri-entri di dalam ๐ด dan ๐ต adalah bilangan riil. Seiring perkembangan ilmu matematika, konstanta dalam sistem persamaan linier dapat berupa bilangan fuzzy dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama. Sistem persamaan linier dengan konstanta berupa bilangan fuzzy disebut sistem persamaan linier fuzzy. Bentuk persamaan linier fuzzy mailto:corry@uin-suska.ac.id mailto:agustian2196@gmail.com2 mailto:dewih961002@gmail.com3 mailto:junitisafmilda21@gmail.com4 mailto:husnanurul2411@gmail.com5 mailto:putrananda581@gmail.com6 JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 144 seperti sistem persamaan linier biasa, perbedaannya terletak pada unsur ๐ต. Unsur ๐ต dalam sistem persamaan linier fuzzy merupakan bentuk parameter yang berada pada interval tertentu. Selain itu, dikenal juga sistem persamaan linier fully fuzzy. Sistem persamaan fully fuzzy merupakan persamaan matriks ๐ด๐‘‹ = ๐ต dengan ๐ด adalah matriks fuzzy dan ๐‘‹, ๐ต adalah bilangan fuzzy. Gourav Gupta melakukan penelitian pada Tahun 2010 tentang penyelesaian sistem persamaan linier fully fuzzy menggunakan metode langsung (metode invers matriks, aturan Cramer, dan metode dekomposisi LU) dan metode iterasi (metode Gauss Jacobi dan Gauss Seidel) dengan judul penelitian โ€œSome Methods for Solving Fully Fuzzy Linear System of Equationsโ€. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear salah satunya adalalah menggunakan analisis SVD. Analisis SVD merupakan suatu teknik yang melibatkan pemfaktoran ๐ด ke dalam hasil kali ๐‘ˆ๐‘†๐‘‰๐‘‡, dengan ๐‘ˆ,๐‘†,๐‘‰ adalah matriks bujur sangkar dan semua entri diluar diagonal dari matriks ๐‘† adalah nol. Sedangkan vektor kolom dari matriks ๐‘ˆ dan ๐‘‰ adalah ortonormal. Kelebihan metode analisis SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu, solusi dari sistem persamaan linear tetap dapat dicari meskipun sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai pemecahan, dalam hal ini solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik [1]. 2. Tinjauan Pustaka 2.1 Back-propagation Neural Network Sistem persamaan linier adalah sekumpulan persamaan linier yang terdiri dari persamaan ๐ฟ1, ๐ฟ2, โ€ฆ , ๐ฟ๐‘š, dengan ๐‘› variabel yang tidak diketahui yaitu ๐‘ฅ1, ๐‘ฅ2, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘› yang dapat dinyatakan dalam bentuk: ๐‘Ž11๐‘ฅ1 + ๐‘Ž12๐‘ฅ2 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1๐‘›๐‘ฅ๐‘› = ๐‘1 ๐‘Ž21๐‘ฅ1 + ๐‘Ž22๐‘ฅ2 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž2๐‘›๐‘ฅ๐‘› = ๐‘2 โ‹ฎ โ‹ฎ โ‹ฎ โ‹ฎ ๐‘Ž๐‘š1๐‘ฅ1 + ๐‘Ž๐‘š2๐‘ฅ2 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘š๐‘›๐‘ฅ๐‘› = ๐‘๐‘š dengan ๐‘Ž11, ๐‘Ž12, โ€ฆ, ๐‘Ž๐‘š๐‘› dan ๐‘1, ๐‘2, โ€ฆ, ๐‘๐‘š adalah konstanta-konstanta bilangan riil. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai variabel-variabel yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut. Sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika memiliki satu atau banyak solusi sedangkan tidak konsisten jika tidak mempunyai solusi penyelesaian. Sistem persamaan linier dapat dinyatakan dalam bentuk matriks seperti berikut [2]. [ ๐‘Ž11 ๐‘Ž21 ๐‘Ž12 ๐‘Ž22 โ‹ฏ ๐‘Ž1๐‘› ๐‘Ž2๐‘› โ‹ฎ โ‹ฑ โ‹ฎ ๐‘Ž๐‘š1 ๐‘Ž๐‘š2 โ‹ฏ ๐‘Ž๐‘š๐‘› ] [ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 โ‹ฎ ๐‘ฅ๐‘› ] = [ ๐‘1 ๐‘2 โ‹ฎ ๐‘๐‘š ] atau ๐ด๐‘ฅ = ๐‘ dengan ๐ด = [ ๐‘Ž11 ๐‘Ž21 ๐‘Ž12 ๐‘Ž22 โ‹ฏ ๐‘Ž1๐‘› ๐‘Ž2๐‘› โ‹ฎ โ‹ฑ โ‹ฎ ๐‘Ž๐‘š1 ๐‘Ž๐‘š2 โ‹ฏ ๐‘Ž๐‘š๐‘› ] dan ๐‘ = [ ๐‘1 ๐‘2 โ‹ฎ ๐‘๐‘š ]. 2.2 Resilent Back-propagation (Rprop) Fuzzy dapat diartikan kabur atau semu. Himpunan fuzzy pertama kali dibahas oleh Lotfi A. Zadeh 1965 Himpunan fuzzy merupakan kumpulan dari entri-entri dengan satu rangkaian tingkat keanggotaan. Secara fungsional himpunan fuzzy disajikan dalam bentuk persamaan matematis sehingga untuk mengetahui derajat keanggotaan dari masing-masing elemen memerlukan perhitungan. Definisi 2: Misalkan ๐‘‹ adalah suatu himpunan semesta, kemudian himpunan bagian fuzzy ๐‘ˆ dari ๐‘‹ adalah himpunan bagian dari ๐‘‹ yang keanggotaannya didefinisikan melalui fungsi keanggotaan sebagai berikut: ๐œ‡๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ: ๐‘‹ โ†’ [0,1] Berdasarkan definisi tersebut maka himpunan fuzzy ๐‘ˆ dalam himpunan semesta ๐‘ฅ, ditulis dalam bentuk: ๐‘ˆ = { (๐‘ฅ,๐œ‡๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘ฅ)|๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹} dengan (๐‘ฅ,๐œ‡๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘ฅ), menyatakan elemen ๐‘ฅ yang mempunyai derajat keanggotaan ๐œ‡๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘ฅ . JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 145 Himpunan bilangan fuzzy dinamakan bilangan fuzzy segitiga jika fungsi keanggotaannya sebagai berikut [2]: ๐œ‡๐‘ข๐‘ฅ = { 1 โˆ’ ๐‘š โˆ’ ๐‘ฅ ๐›ผ ๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘ข๐‘˜ ๐‘š โˆ’ ๐‘Ž < ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘š ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘Ž > 0 1 โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘š ๐›ฝ ๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘ข๐‘˜ ๐‘š โ‰ค ๐‘ฅ < ๐‘š + ๐›ฝ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐›ฝ > 0 0 ๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘ข๐‘˜ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘š โˆ’ ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข ๐‘ฅ โ‰ฅ ๐‘š + ๐›ฝ 2.3 Fungsi Aktivasi Sistem Persamaan Linear fully fuzzy dapat ditulis menjadi bentuk perkalian matriks fuzzy. Sistem persamaan linier fully fuzzy merupakan sebuah sistem persamaan linier yang semua parameternya dalam bentuk fuzzy [4]. Definisi 3: Matriks ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ= (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘–๐‘—) disebut dengan matriks fuzzy, jika setiap elemen ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ adalah bilangan fuzzy. Sebuah matriks fuzzy ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ bernilai positif yang dinotasikan dengan ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ > 0, jika setiap elemen positif. Kita dapat mengatakan matriks fuzzy ๐‘› ร— ๐‘› ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘–๐‘—)๐‘›ร—๐‘› , yang mana ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘–๐‘— = (๐‘Ž๐‘–๐‘—,๐›ผ๐‘–๐‘—,๐›ฝ๐‘–๐‘—) , dengan notasi baru ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐ด,๐‘€,๐‘) dimana ๐ด = (๐‘Ž๐‘–๐‘—)๐‘›ร—๐‘› .๐‘€ = (๐‘š๐‘–๐‘—)๐‘›ร—๐‘› dan ๐‘ = (๐‘›๐‘–๐‘—)๐‘›ร—๐‘› adalah matriks tegas. Definisi 4 Dua bilangan fuzzy dengan matriks ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐‘Ž1,๐‘Ž2,๐‘Ž3) dan ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐‘1,๐‘2,๐‘3) dikatakan sama, jika dan hanya jika ๐‘Ž1 = ๐‘1, ๐‘Ž2 = ๐‘2 dan ๐‘Ž3 = ๐‘3. Definisi 5 (Jika ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐‘Ž1,๐‘Ž2,๐‘Ž3) > 0, ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐‘1,๐‘2,๐‘3) > 0, maka: ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐‘Ž1,๐‘Ž2,๐‘Ž3) โŠ— (๐‘1,๐‘2,๐‘3) โ‰… (๐‘Ž1๐‘1,๐‘1๐‘Ž2 + ๐‘Ž1๐‘2,๐‘1๐‘Ž3 + ๐‘Ž3๐‘1). Definisi 6 Misalkan sistem persamaan linear fuzzy ๐‘› ร— ๐‘› sebagai berikut: (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ11 โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ1) โŠ• (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ12 โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ2) โŠ• โ€ฆ โŠ• (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ1๐‘› โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘›) = ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ1 (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ21 โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ1) โŠ• (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ22 โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ2) โŠ• โ€ฆ โŠ• (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ2๐‘› โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘›) = ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ2 โ‹ฎ โ‹ฎ โ‹ฎ (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘› 1 โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ1) โŠ• (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘›2 โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ2) โŠ• โ€ฆ โŠ• (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘›๐‘› โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘›) = ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘› Bentuk matriks dari persamaan diatas adalah: ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ dari bentuk diatas dapat diartikan bahwa matriks koefisien semua parameternya dalam bentuk bilangan fuzzy [5]. Dimana matriks koefisien ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ= (๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘–๐‘—) ,1 โ‰ค ๐‘– , ๐‘— โ‰ค ๐‘› adalah matriks fuzzy ๐‘› ร— ๐‘› dan ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘—, ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ๐‘— โˆˆ ๐น(๐‘…), dimana ๐น(๐‘…) adalah himpunan bilangan fuzzy segitiga. Sistem ini disebut sistem linear fully fuzzy. Solusi sistem persamaan linear fully fuzzy ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ โŠ— ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ, diperoleh dari tiga sistem persamaan linear berikut: ๐ด๐‘ฅ = ๐‘ ๐ด๐‘ฆ + ๐‘€๐‘ฅ = ๐‘” ๐ด๐‘ง + ๐‘๐‘ฅ = โ„Ž (1) Diasumsikan bahwa adalah sebuah matriks nonsingular maka diperoleh solusi sebagai berikut: ๐ด๐‘ฅ = ๐‘ โŸน ๐‘ฅ = ๐ดโˆ’1๐‘ ๐ด๐‘ฆ + ๐‘€๐‘ฅ = ๐‘” โŸน y = ๐ดโˆ’1(๐‘” โˆ’ ๐‘€๐‘ฅ) ๐ด๐‘ง + ๐‘๐‘ฅ = โ„Ž โŸน ๐‘ง = ๐ดโˆ’1(โ„Ž โˆ’ ๐‘๐‘ฅ) 2.4 MAPE Misalkan ๐‘‰adalah ruang hasil kali dalam. Vektor-vektor ๐‘ข,๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‰ dan ๐‘ข dikatakan ortogonal terhadap ๐‘ฃ jika โŒฉ๐‘ข,๐‘ฃโŒช = 0. Berikut akan diberikan definisi tentang ortogonal. Definisi 7: Vektor ๐‘ข,๐‘ฃ โˆˆ ๐‘…๐‘› dikatakan ortogonal jika dan hanya jika โŒฉ๐‘ข,๐‘ฃโŒช = 0. Berikut akan diberikan teorema basis ortonormal. Teorema 8 Jika ๐‘†= ๐‘ฃ1, ๐‘ฃ2,โ€ฆ, ๐‘ฃ๐‘› adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam ๐‘‰ , dan ๐‘ข adalah sebarang vektor dalam ๐‘‰, maka [1] ๐‘ข = โŒฉ๐‘ข,๐‘ฃ1โŒช๐‘ฃ1 + โŒฉ๐‘ข,๐‘ฃ2โŒช๐‘ฃ2 + โ‹ฏ + โŒฉ๐‘ข,๐‘ฃ๐‘›โŒช๐‘ฃ๐‘› 2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Untuk mencari nilai eigen matriks ๐ด yang berukuran ๐‘› ร— ๐‘› maka kita menuliskannya sebagai berikut: ๐ด๐‘ฅ = ๐œ†๐‘ฅ atau ๐ด๐‘ฅ โˆ’ ๐œ†I ๐‘ฅ = 0 dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika |๐ด โˆ’ ๐œ†I| = 0 Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik ๐ด. Mencari nilai eigen berarti menghitung determinan tersebut sehingga diperoleh nilai-nilai ๐œ† . JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 146 Berikut akan diberikan definisi tentang nilai eigen dan vektor eigen. Definisi 9: Jika ๐ด adalah matriks ๐‘›x๐‘› , maka vektor tak nol ๐‘ฅ di dalam ๐‘…๐‘› dinamakan vektor eigen dari ๐ด jika ๐ด๐‘ฅ adalah kelipatan skalar dari ๐‘ฅ , yaitu: ๐ด๐‘ฅ = ๐œ†๐‘ฅ, untuk suatu skalar ๐œ† . Skalar ๐œ† disebut nilai eigen dari ๐ด dan ๐‘ฅ dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐œ†[6]. 2.6 Metode Singular Value Decomposition (SVD) Singular Value Decomposition (SVD) adalah suatu metode yang mendekomposisikan matriks ๐ด menjadi tiga komponen yaitu ๐‘ˆ๐‘†๐‘‰๐‘‡, yang mana salah satu dari matriks tersebut entrinya merupakan nilai singular dari matriks ๐ด [7]. Berikut ini akan diberikan penjelasan tentang matriks ๐‘ˆ, ๐‘†, dan ๐‘‰: Matriks ๐‘† adalah Matriks ๐‘† disebut matriks nilai singular dari ๐ด karena entri diagonal dari matriks ๐‘† diisi dengan nilai singular dari ๐ด sedangkan entri selain diagonalnya adalah nol. Matriks ๐‘† berukuran ๐‘š๐‘ฅ๐‘› dan mempunyai bentuk: ๐‘ = ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฆ๐‘…(๐ด)๐‘ sehingga menurut Persamaan (3) diperoleh persamaan: ๐‘ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ข๐‘˜ Karena ๐‘ข๐‘˜ = 1 ๐œŽ๐‘˜ ๐ด๐‘ฃ๐‘˜, maka ๐‘ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐ด๐‘ฃ๐‘˜ ๐œŽ๐‘˜ Operasi matriks bersifat linier, maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi: ๐‘ = ๐ดโˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ฃ๐‘˜ ๐œŽ๐‘˜ (4) Dengan membandingkan Persamaan (4) dengan Persamaan (2), didapatkan ๐‘ฅ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐œŽ๐‘˜ ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ฃ๐‘˜ (5) yang merupakan solusi dari SPL fully fuzzy pada Persamaan (1). Tetapi, nilai solusi dari sistem linier bergantung pada ruang nol dari matriks ๐ด yaitu ๐‘(๐ด). Sehingga ada dua subkasus, yaitu: a. Jika ๐‘(๐ด) = {0}, maka sistem persamaan linear fully fuzzy mempunyai satu solusi atau solusi tunggal, yang mana solusinya diberikan oleh Persamaan (5). b. Jika ๐‘(๐ด) โ‰  {0} , maka sistem persamaan linear fully fuzzy mempunyai banyak solusi. Solusinya diberikan oleh: ๐‘ฅ๐‘–๐‘›๐‘“ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐œŽ๐‘˜ ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ฃ๐‘˜ + โˆ‘ ๐œ‡๐‘˜๐‘ฃ๐‘˜ ๐‘› ๐‘˜=๐‘Ÿ+1 (6) yang diperoleh dari: Setiap solusi umum dari SPL dapat dinyatakan dengan ๐‘‹ = ๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘›, dimana ๐‘ฅ๐‘› โˆˆ ๐‘(๐ด). Pada subkasus a, ๐‘(๐ด) = {0} sehingga ๐‘‹ = ๐‘ฅ. Namun karena pada kasus ๐‘(๐ด) โ‰  {0}, maka terdapat titik ๐‘ฅ๐‘› โˆˆ ๐‘(๐ด) sedikimikian sehingga ๐ด๐‘ฅ๐‘ = 0. Jadi, solusi umum untuk kasus ini adalah ๐‘‹ = ๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘, atau disini dinotasikan dengan ๐‘ฅ๐‘–๐‘›๐‘“ = ๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘› (7) Dengan demikian, untuk setiap titik- titiknya berlaku ๐ด(๐‘ฅ๐‘–๐‘›๐‘“) = ๐ด(๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘›) = ๐ด๐‘ฅ + ๐ด๐‘ฅ๐‘› = ๐‘ + 0 = ๐‘. Setiap titik-titik ๐‘ฅ๐‘ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis. Karena {๐‘ฃ๐‘Ÿ+1,๐‘ฃ๐‘Ÿ+2,โ€ฆ,๐‘ฃ๐‘›} merupakan basis untuk ๐‘(๐ด), maka ๐‘ฅ๐‘ dapat dinyatakan dengan ๐‘ฅ๐‘› = โˆ‘ ๐œ‡๐‘˜๐‘ฃ๐‘˜ ๐‘› ๐‘˜=๐‘Ÿ+1 (8) Sebelumnya telah diketahui dari Persamaan (5), sehingga ๐‘ฅ๐‘–๐‘›๐‘“ = ๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘› dapat dinyatakan dengan ๐‘ฅ๐‘–๐‘›๐‘“ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐œŽ๐‘˜ ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ฃ๐‘˜ + โˆ‘ ๐œ‡๐‘˜๐‘ฃ๐‘˜ ๐‘› ๐‘˜=๐‘Ÿ+1 Kasus untuk ๐‘ โˆ‰ ๐‘…(๐ด) Pada kasus ini sistem tidak mempunyai solusi, sehingga hanya bisa dihitung pendekatan terbaik dari solusinya. Dalam hal ini, solusi pendekatan terbaik tersebut adalah vektor ๐‘ฅ๐‘Ÿ sehingga ๐ด๐‘ฅ๐‘Ÿ = ๐‘๐‘Ÿ dimana ๐‘๐‘Ÿ dalam ๐‘…(๐ด), dan ๐‘๐‘Ÿ adalah vektor yang terdekat dengan ๐‘. Solusi pendekatan terbaik pada kasus ini diberikan juga oleh Persamaan (4), yaitu: ๐‘ฅ๐‘Ÿ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐œŽ๐‘˜ ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ฃ๐‘˜ (9) JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 147 ๐‘ฅ๐‘Ÿ disebut sebagai solusi pendekatan terbaik, artinya jika ๐ด๐‘ฅ๐‘Ÿ = ๐‘๐‘Ÿ, maka ๐‘๐‘Ÿ adalah vektor di ๐‘…(๐ด) yang terdekat dengan ๐‘. Sehingga vektor (๐‘ โˆ’ ๐‘๐‘Ÿ) akan tegak lurus dengan setiap vektor di ๐‘…(๐ด) termasuk vektor yang merentang ๐‘…(๐ด) yaitu vektor โ€“vektor ๐‘ข๐‘– dengan 1 โ‰ค ๐‘– โ‰ค ๐‘Ÿ, ๐‘ข๐‘– adalah vektor yang ortonormal, maka berlaku: โŒฉ(๐‘ โˆ’ ๐‘๐‘Ÿ),๐‘ข๐‘–โŒช = โŒฉ(๐‘ โˆ’ ๐ด๐‘ฅ๐‘Ÿ),๐‘ข๐‘–โŒช = โŒฉ(๐‘ โˆ’ ๐ด(โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐œŽ๐‘˜ ๐‘Ÿ ๐‘˜=1 ๐‘ฃ๐‘˜)),๐‘ข๐‘–โŒช = โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘–โŒช โˆ’ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘–โŒช = 0 Hal ini menunjukkan bahwa (๐‘ โˆ’ ๐ด๐‘ฅ๐‘Ÿ) adalah tegak lurus dengan setiap vektor di ๐‘…(๐ด) dan Persamaan (10) merupakan solusi pendekatan terbaik [8]. Contoh 1 Diberikan sistem persamaan linear fully fuzzy sebagai berikut: (19,1,1)โจ‚(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1, ๐‘ง1)โจ(12,1.5,1.5) โจ‚(๐‘ฅ2, ๐‘ฆ2,๐‘ง2)โจ(6,0.5,0.2)โจ‚(๐‘ฅ3, ๐‘ฆ3, ๐‘ง3) = (1897,427.7,536.2) (2,0.1,0.1)โจ‚(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1, ๐‘ง1)โจ(4,0.1,0.4) โจ‚(๐‘ฅ2, ๐‘ฆ2,๐‘ง2)โจ(15,0.2,0.2)โจ‚(๐‘ฅ3, ๐‘ฆ3, ๐‘ง3) = (434.5,76.2,109.3) (2,0.1,0.2)โจ‚(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1, ๐‘ง1)โจ(2,0.1,0.3) โจ‚(๐‘ฅ2, ๐‘ฆ2,๐‘ง2)โจ(4.5,0.1,0.1)โจ‚(๐‘ฅ3, ๐‘ฆ3, ๐‘ง3) = (535.5,88.3,131.9) Carilah solusi dari SPL fully fuzzy diatas. Penyelesaian: 1. Mengubah bentuk persamaan ke dalam matriks ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝโจ‚๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ dimana ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐ด,๐‘€,๐‘) dan ๏ฟฝฬƒ๏ฟฝ = (๐‘,๐‘”,โ„Ž), dengan: ๐ด = [ 19 12 6 2 4 1.5 2 2 4.5 ] ๐‘€ = [ 1 1.5 0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 ] ๐‘ = [ 1 1.5 0.2 0.1 0.4 0.2 0.2 0.3 0.1 ] ๐‘ = [ 1897 434.5 535.5 ] ๐‘” = [ 427.7 76.2 88.3 ] โ„Ž = [ 536.2 109.3 131.9 ] Selanjutnya ubah matriks tersebut ke dalam bentuk sistem persamaan linear pada Persamaan (1) sebagai berikut: ๐ด๐‘ฅ = ๐‘ [ 19 12 6 2 4 1.5 2 2 4.5 ][ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3 ] = [ 1897 434.5 535.5 ] (10) ๐ด๐‘ฆ + ๐‘€๐‘ฅ = ๐‘” [ 19 12 6 2 4 1.5 2 2 4.5 ][ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2 ๐‘ฆ3 ] + [ 1 1.5 0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 ][ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3 ] = [ 427.7 76.2 88.3 ] (11) ๐ด๐‘ง + ๐‘๐‘ฅ = โ„Ž [ 19 12 6 2 4 1.5 2 2 4.5 ][ ๐‘ง1 ๐‘ง2 ๐‘ง3 ] + [ 1 1.5 0.2 0.1 0.4 0.2 0.2 0.3 0.1 ][ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3 ] = [ 536.2 109.3 131.9 ] (12) Dari Persamaan (10) maka persamaan yang terbentuk adalah sebagai berikut: 19๐‘ฅ1 + 12๐‘ฅ2 + 6๐‘ฅ3 = 1897 2๐‘ฅ1 + 4๐‘ฅ2 + 1.5๐‘ฅ3 = 434.5 2๐‘ฅ1 + 2๐‘ฅ2 + 4.5๐‘ฅ3 = 535.5 2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen Didapat nilai-nilai eigen dari ๐ด๐ป๐ด adalah ๐œ†1 = 4.4403, ๐œ†2 = 14.0393 dan ๐œ†3 = 573.0204 Didapat vektor eigen untuk ๐œ†1 = 4.4403, yaitu: ๐‘ฅ1 = [0.4401 โˆ’0.8372 0.3229] Didapat vektor eigen untuk ๐œ†2 = 14.0393, yaitu: ๐‘ฅ2 = [โˆ’0.4099 0.1325 0.9024] Didapat vektor eigen untuk ๐œ†3 = 573,0204, yaitu: ๐‘ฅ3 = [0.7960 0.5295 0.2852] JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 148 3. Mendekomposisikan matriks ๐ด menjadi tiga komponen matriks ๐‘ˆ๐‘†๐‘‰๐ป a. Menyusun matriks ๐‘† Nilai singular dari matriks ๐ด, yaitu: ๐œŽ1 = โˆš๐œ†1 = โˆš4.4403 = 2.1072 ๐œŽ2 = โˆš๐œ†2 = โˆš14.0393 = 3.7469 ๐œŽ3 = โˆš๐œ†3 = โˆš573.0204 = 23.9378 matriks ฮฃ yang terbentuk adalah: ฮฃ = [ 2.1072 0 0 0 3.7469 0 0 0 23.9378 ] Maka didapat matriks singular ๐‘†, yaitu: ๐‘† = [ 2.1072 0 0 0 3.7469 0 0 0 23.9378 ] b. Menyusun matriks ๐‘‰ dengan persamaan ๐‘ฃ๐‘– = 1 โ€–๐‘ฅ๐‘–โ€– ๐‘ฅ๐‘– ๐‘‰ = [ 0.4389 โˆ’0.4099 0.7977 โˆ’0.8349 0.1325 0.5307 0.3220 0.9024 0.2859 ] c. Menyusun matriks ๐‘ˆ dengan persamaan ๐‘ข๐‘– = 1 ๐œŽ1 ๐ด๐‘ฃ๐‘– ๐‘ˆ = [ 0.1197 โˆ’0.2092 0.9710 โˆ’0.9391 0.2839 0.1732 0.3118 0.9357 0.1647 ] Sehingga bentuk SVD dari matriks ๐ด adalah: ๐ด = ๐‘ˆ๐‘†๐‘‰๐ป ๐ด = [ 17.8112 12.0209 6.0192 1.7936 3.9921 1.5074 1.7991 2.0083 4.5025 ] 4. Menentukan basis-basis ortonormal untuk ๐‘…(๐ด),๐‘…(๐ด๐ป),๐‘(๐ด) dan ๐‘(๐ด๐ป) a. Untuk basis ๐‘…(๐ด) adalah {๐‘ข1,๐‘ข2} = {[ 0.1197 โˆ’0.9391 0.3118 ],[ โˆ’0.2092 0.2839 0.9357 ]} b. Untuk basis ๐‘…(๐ด๐ป) adalah {๐‘ฃ1,๐‘ฃ2} = {[ 0.4389 โˆ’0.8349 0.3220 ],[ โˆ’0.4099 0.1325 0.9024 ]} c. Untuk basis ๐‘(๐ด) adalah {๐‘ฃ3} = {[ 0.7977 0.5307 0.2859 ]} d. Untuk basis ๐‘(๐ด๐ป) adalah {๐‘ข3} = {[ 0.9710 0.1732 0.1647 ]} 5. Menentukan apakah ๐‘ sama dengan proyeksi ๐‘ pada ๐‘…(๐ด) ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฆ๐‘…(๐ด)๐‘ = โˆ‘โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช๐‘ข๐‘˜ 3 ๐‘˜=1 = โŒฉ๐‘,๐‘ข1โŒช๐‘ข1 + โŒฉ๐‘,๐‘ข2โŒช๐‘ข2 + โŒฉ๐‘,๐‘ข3โŒช๐‘ข3 = [ โˆ’1.6757 13.1466 โˆ’4.3650 ] + [ โˆ’47.6075 64.6070 212.9368 ] + [ 1947.2434 347.3353 330.2894 ] = [ 1897,9602 425,0889 538,8612 ] Berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฆ๐‘…(๐ด)๐‘ โ‰  ๐‘ = [ 1897 434.5 535,5 ]. Karena ๐‘๐‘Ÿ๐‘œ๐‘ฆ๐‘…(๐ด)๐‘ โ‰  ๐‘, berarti ๐‘ โˆ‰ ๐‘…(๐ด). Hal tersebut menandakan SPL ini tidak mempunyai solusi. Akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari, yaitu: ๐‘ฅ๐‘Ÿ = โˆ‘ โŒฉ๐‘,๐‘ข๐‘˜โŒช ๐œŽ๐‘˜ ๐‘ฃ๐‘˜ 3 ๐‘˜=1 = โŒฉ๐‘,๐‘ข1โŒช ๐œŽ1 ๐‘ฃ1 + โŒฉ๐‘,๐‘ข2โŒช ๐œŽ2 ๐‘ฃ2 + โŒฉ๐‘,๐‘ข3โŒช ๐œŽ3 ๐‘ฃ3 = [ โˆ’2.9158 5.5466 โˆ’2.1392 ] + [ โˆ’24.8954 8.0475 54.8076 ] + [ 66.8277 44.4596 23.9514 ] = [ 39.0165 58.0537 76.6198 ] Jadi solusi pendekatan terbaik dari SPL ini adalah: ๐‘ฅ1 = 39.0165, ๐‘ฅ2 = 58.0537 dan ๐‘ฅ3 = 76.6198. Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh solusi terbaik untuk nilai ๐‘ฆ1 = 7.5421, ๐‘ฆ2 = 8.8263 dan ๐‘ฆ3 = 10.3688 serta nilai ๐‘ง1 = 13,7228, ๐‘ง2 = 4,0627, dan ๐‘ง3 = 14,2515. Referensi JURNAL MATEMATIKA โ€œMANTIKโ€ Oktober 2018. Vol. 04 No. 02 ISSN: 2527-3159 E-ISSN: 2527-3167 149 [1] Haidir Ahmad, Irdam dan Lucia Ratnasari. โ€œMenyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Analisis SVDโ€. Jurnal Matematika Vol. 13, No.1;40-45. 2010.. [2] Rosalina. F, Farida. Y, and Hamid. A. โ€œMetode Logika Fuzzy Sebagai Evaluasi Distribusi Daya Listrik Berdasarkan Beban Puncak Pembangkit Tenaga Listrikโ€, mantik, Vol. 2, No. 1, : 22-29.2016. [3] Howard, Anton. โ€œElementary Linear Algebraโ€, Eighth Edition. John Wiley, New York. 2000. [4] Kholifah. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakan Metode Gauss Saidel. Pekanbaru: SKRIPSI Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. 2013. [5] K. Jaikumar and S. Sunantha. โ€œSST Decomposition Methot for Solving Fully Fuzzy Linear Systemsโ€.Int. J. Industrial Mathematics. Vol. 5, No. 4. 2013. [6] Sutojo, T. dkk. โ€œTeori dan Aplikasi Aljabar Linear dan Matriksโ€. Andi: Yogyakarta. 2010. [7] Marni, Sabrina Indah. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fuzzy Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular (SVD): SKRIPSI Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. 2013. [8] Marzuki, Corry Corazon dan Herawati. โ€œPenyelesaian Sistem Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakan Iterasi Jacobiโ€. Vol. 1, No.1, ISSN: 2460 -4542, Januari 2015, Pekanbaru. (2015).