D:\User\sbornik_38_pdf\6.DVI


Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êèáåðíåòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè 38, 15{16, 2012.

Î ïðåäñòàâëåíèè ¯-ðàâíîìåðíûõ àëãåáð
Ì. È. Êàðàõàíÿí

Åðåâàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
E-mail: m karakhanyan@yahoo.com

1 . Ââåäåíèå

 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñâîéñòâà ïðåäñòàâëåíèÿ ¯-ðàâíîìåðíîé àëãåáðû
A ( ­) (ñì. [1,2]) ñîîòâåòñòâåííî â àëãåáðàõ âñåõ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ
BL( M ( ­) ) è BL ( Lp ( ¹) ) ( 1 · p · 1), ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà Áèøîï-Øèëîâñêîãî
àíòèñèììåòðè÷íîãî ðàçáèåíèÿ ­, äëÿ ¯-ðàâíîìåðíûõ àëãåáð (ñì. [3, 4]), ãäå ­
åñòü ëîêàëüíî êîìïàêòíîå õàóñäîðôîâî ïðîñòðàíñòâî, M ( ­) – ïðîñòðàíñòâî âñåõ
êîíå÷íûõ êîìïëåêñíûõ ðåãóëÿðíûõ ìåð íà ­, à Lp ( ¹) – ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî,
ïîðîæäåííîå ìåðîé ¹ 2 M ( ­) .

Îòìåòèì, ÷òî íà âàæíîñòü òàêîãî ïîäõîäà â òåîðèè îïåðàòîðîâ áûëî âïåðâûå
îòìå÷åíî Ï. Ôîéàøåì â ðàáîòå [5] (ñì. òàêæå [6]).

Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå T ¯-ðàâíîìåðíîé àëãåáðû A( ­ ) â BL ( M ( ­) ) ïî ôîðìóëå
Tf ( ¹ ) = f ¹, ãäå f ¹ – ìåðà èç M ( ­) , òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî g 2 C ( ­) ¯

Z

­

g d( Tf ¹ ) =
Z

­

gf d¹ :

 ñèëó òåîðåìû Áàêà (ñì. [1,2]) äàííîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíûì.
Ðàññìîòðèì òàêæå ïðåäñòàâëåíèå T àëãåáðû A ( ­) â BL ( Lp ( ¹) ) , ãäå Tf g = fg åñëè

f 2 A ( ­) , à g 2 Lp ( ¹) . Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî f 2 A( ­) íåïðåðûâåí, íåòðóäíî âèäåòü,
÷òî ýòî ïðåäñòàâëåíèå òàêæå êîððåêòíî.

Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ­ – êîìïàêò ìû èìååì äåëî ñ ïðåäñòàâëåíèåì
ðàâíîìåðíîé àëãåáðû.

Ïîïîëíåíèå îáðàçà T ( A ( ­) ) â ñèëüíîé è ñëàáîé îïåðàòîðíûõ òîïîëîãèÿõ àëãåáðû
BL ( M ( ­ ) ) îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç A ( ­ ) st è A ( ­) w, à ÷åðåç Ap ( ¹) ïîïîëíåíèå
îáðàçà T ( A( ­ ) ) â ñëàáîé îïåðàòîðíîé òîïîëîãèè àëãåáðû BL ( Lp ( ¹ ) ) . ßñíî, ÷òî
T ( A ( ­) ) ½ A ( ­) st ½ A( ­ ) w.

Ïóñòü A? ( ­) – ïðîñòðàíñòâî âñåõ ìåð èç M ( ­) , êîòîðûå îðòîãîíàëüíû ê àëãåáðå
A ( ­) . Ïî òåîðåìå î áèïîëÿðå (ñì. [7]) A?? ( ­ ) = A ( ­) , òàê êàê A ( ­) åñòü ¯-ðàâíîìåðíàÿ
àëãåáðà íà ­.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ( A ( ­) ) âñå ìíîæåñòâà ïèêà àëãåáðû A( ­ ) , à ÷åðåç R( A ( ­ ) ) âñå
p-ìíîæåñòâà àëãåáðû A( ­ ) (ñì. [7, 8]) . Òîãäà P ( A ( ­) ) è R( A ( ­ ) ) ÿâëÿþòñÿ ðåøåòêàìè
îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé E1 ^ E2 = E1 \ E2 èE1 _ E2 = E1 [ E2.

Ïóñòü P ( dA( ­ ) ) è R ( dA( ­) ) åñòü ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâî âñåõ ïðîåêòîðîâ
îòâå÷àþùèå ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâàì P ( A( ­ ) ) è R( A ( ­) ) . Èç [3] ñëåäóåò, ÷òî
P ( dA( ­ ) ) è R( dA ( ­) ) åñòü ðåøåòêè, îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé PE1 ^ PE2 = PE1 ¢ PE2 è
PE1 _ PE2 = PE1 + PE2 ¡ PE1PE2.

1 5



1 6 Î ïðåäñòàâëåíèè ¯-ðàâíîìåðíûõ àëãåáð

Äëÿ äàëüíåéøåãî âàæíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ

Ïðåäëîæåíèå 1 Ïóñòü A ( ­) è B ( ­) åñòü ¯-ðàâíîìåðíûå àëãåáðû íà ­. Åñëè A ( ­) 6=
B ( ­ ) , òî òîãäà A( ­) w 6= B ( ­) w.

Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 1 èç [3] íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èìååò ìåñòî.

Ïðåäëîæåíèå 2 Ñóùåñòâóþò ãîìîìîðôèçìû èç P ( A( ­) ) â P ( dA( ­) ) è èç R( A ( ­) ) â
R( dA ( ­) ) .

2 . Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû

Ïðèìåíåíèå âûøåóêàçàííûõ ïðåäëîæåíèé ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì îñíîâíûì ðåçóëüòàòàì.

Òåîðåìà 1 Ïóñòü A( ­ ) è B ( ­) åñòü ¯-ðàâíîìåðíûå àëãåáðû íà ­. Åñëè äëÿ êàæäîãî
¹ 2 A? ( ­) , Bp ( ¹ ) µ Ap ( ¹) ïðè íåêîòîðîì p, ãäå 1 · p · 1, òî òîãäà B ( ­) µ A( ­ ) .

Òåîðåìà 2 Ïóñòü A( ­) è B ( ­ ) åñòü ¯-ðàâíîìåðíûå àëãåáðû íà ­, ó êîòîðûõ îäíî è òîæå
Áèøîï- Øèëîâñêîå ðàçëîæåíèå ­ ìàêñèìàëüíûìè ìíîæåñòâàìè àíòèñèììåòðèè. Åñëè
äëÿ êàæäîé ìåðû ¹ 2 A? ( ­) , Ap ( ¹ ) = Bp ( ¹) ïðè íåêîòîðîì p, ãäå 1 · p · 1, òî òîãäà
A( ­ ) = B ( ­) .

Òåîðåìà 3 Ïóñòü ìåðà ¹ 2 M ( ­) è supp( ¹) = F . Åñëè äëÿ êàæäîãî P 2 P ( dA ( ­ ) ) ,
supp( P ¹) = f0 èëè F g, òî ìíîæåñòâî F ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì àíòèñèììåòðèè äëÿ
àëãåáðû A ( ­ ) .

Òàê êàê P ( dA ( ­) ) åñòü ðåøåòêà âñåõ ïðîåêòîðîâ àëãåáðû A( ­ ) w, òî ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà
Áèøîï- Øèëîâñêîãî ðàçáèåíèÿ ­ íà ìàêñèìàëüíûå ìíîæåñòâà àíòèñèììåòðèè (­ =S
®2¤

m®, m® \ m¯ = ; ïðè ® 6= ¯) èìååò ìåñòî

Òåîðåìà 4 Ïóñòü T – íåïðåðûâíîå ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû A( ­) w â áàíàõîâîì
ïðîñòðàíñòâå Y . Òîãäà T = ©

®2¤
T®, ãäå T® – ïðåäñòàâëåíèå P® ( A ( ­) w ) â Y .

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Buck R.C., Bounder continuous functions on a locally compact space. Michigan, Math.
J. V. 5, N. 2, 1958, 95-104.

[2] Karakhanyan M.I., Khor’kova T.A., A characterization property of the algebra C ( ­) ¯ .
Siberian Math. J. V. 50, N. 1, 2009, 77-85.

[3] Ãðèãîðÿí Ñ.À., Êàðàõàíÿí Ì.È., Õîðüêîâà Ò.À. Î ¯-ðàâíîìåðíûõ àëãåáðàõ
Äèðèõëå. Èçâåñòèå ÍÀÍ Àðìåíèè, Ìàòåìàòèêà. Ò. 45, N 6, 2010, 17-26.

[4] Gliksberg I., Bishops generalized Stone-Weierstrass theorem for the strict topology.
Proc. Amer. Math. Soc., V. 14, 1963, 329-333.

[5] Sz. Nagy B., Foias C. Une relation parmi les vecteurs propres d’un operateur de
l’espace de Hilbert et de l’operateur adjoint. Acta Sci. Math. Sreged 20, 1959, 91-96.

[6] Mlak W., Decompositions of operator-valued representations of function algebra. Stu-
dia Math. J. XXXVI, 1970, 111-123.

[7] Øåôåð Õ., Òîïîëîãè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. Èçä. ”Ìèð”, Ìîñêâà, 1971.
[8] Ãàìåëèí Ò., Ðàâíîìåðíûå àëãåáðû. Èçä. ”Ìèð”, Ìîñêâà, 1973.