D:\User\sbornik_38_pdf\8.DVI


Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êèáåðíåòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè 38, 18{19, 2012.

Çàâèñèìîñòü áåñêîíå÷íîìåðíûõ ãîìîòîïè÷åñêèõ
ãðóïï îò âûáîðà áàçèñíîé òî÷êè

Í. Ý. Ìèðçàõàíÿí
Åðåâàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Äëÿ òîãî, ÷òîáû íåêîòîðûé êëàññ îòîáðàæåíèé áûë ïðèìåíèì äëÿ ïîñòðîåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, íóæíî ÷òîáû îí ïîçâîëèë
ïåðåíåñòè íà ñëó÷àé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ñòàíäàðòíóþ ãîìîòîïè÷åñêóþ òåõíèêó,
ïðèìåíÿåìóþ â êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.

Äîïóñòèìûì êëàññîì ÿâëÿåòñÿ êëàññ K0-íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé. Îïðåäåëåíèÿ
K0-íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ, K0-èçîìîðôèçìà, K0-ãîìîòîïèè, îïèñàíèå áåñêîíå÷-
íîìåðíûõ àáñîëþòíûõ ãîìîòîïè÷åñêèõ ãðóïï

Q
q ( X; x0 ) ïîäìíîæåñòâ ãèëüáåðòîâà

ïðîñòðàíñòâà H, à òàêæå îïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåííûõ â äàëüíåéøåì ïîíÿòèé ïîäðîáíî
èçëîæåíû â [1-6].

Îïèñàíèå îñíîâíûõ áåñêîíå÷íîìåðíûõ àáñîëþòíûõ è îòíîñèòåëüíûõ ãîìîòîïè÷åñêèõ
ãðóïï ¦ q ( X; x0 ) è ¦ q ( X; A; x0 ) ïóíêòèðîâàíûõ ïîäìíîæåñòâ ( X; x0 ) è ïóíêòèðîâàíûõ
ïàð ( X; A; x0 ) ïîäìíîæåñòâ âåùåñòâåííîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H, à òàêæå
îïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåííûõ â äàëüíåéøåì ïîíÿòèé ïîäðîáíî èçëîæåíû â [3].

Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî M ïðîñòðàíñòâà H íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì
êîíå÷íîãî äåôåêòà èëè êîíå÷íîé êîðàçìåðíîñòè q ¸ 0 , q 2 Z, åñëè
îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà M îòíîñèòåëüíî H èìååò ðàçìåðíîñòü
q. Åñëè q – îòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, òî ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî M áóäåì
íàçûâàòü ïîäïðîñòðàíñòâîì äåôåêòà q îòíîñèòåëüíî H, åñëè M ñîäåðæèò H â
êà÷åñòâå ïîäïðîñòðàíñòâà äåôåêòà ¡q. Óñëîâèìñÿ ÷åðåç B ( M ) , B¤ ( M ) è S ( M )
îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî åäèíè÷íûå çàìêíóòûé, îòêðûòûé øàðû è åäèíè÷íóþ ñôåðó
ïîäïðîñòðàíñòâà èëè íàäïðîñòðàíñòâà M ½ H.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç K0 ( B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0 ) ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé

f : ( B ( M ) ; S ( M ) ) ! ( X; x0 ) ;
ïðèíàäëåæàùèõ ê êëàññó K0 îòíîñèòåëüíî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà M [ H. Ââåäåì â
ìíîæåñòâå K0 ( B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0 ) îòíîøåíèå K0 -ãîìîòîïíîñòè r e l ( S ( M ) ) . Ïîëó÷åííîå
ôàêòîð-ìíîæåñòâî, îáû÷íî íàçûâàåìîå ãîìîòîïè÷åñêèì ìíîæåñòâîì îáîçíà÷èì ÷åðåç
K0[B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0].

Ïðåäëîæåíèå 1 Ñóøåñòâóåò áèåêòèâíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ãðóïïû
¦ q ( X; x0 ) è ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà (K0 -ãîìîòîïè÷åñêèìè êëàññàìè)

K0[B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0]:

Ñëåäñòâèå 1 Ïåðåíîñÿ ïîñðåäñòâîì ýòîãî ñîòâåòñòâèÿ ãðóïïîâóþ îïåðàöèþ èç
¦ q ( X; x0 ) â K0[B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0], ïîëó÷èì èçîìîðôèçì ãðóïïû ¦ q ( X; x0 ) íà ãðóïïó
K0[B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0].

1 8



Í. Ìèðçàõàíÿí 1 9

Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1, ìû ìîæåì ñèìâîëîì ¦ q ( X; x0 ) îáîçíà÷àòü
òàêæå ïîñòðîåííóþ ãðóïïó K0[B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0], ò.å. ïîëîæèòü

¦ qX; x0 ) = K0[B ( M ) ; S ( M ) ; X; x0]

è ýëåìåíòû ãðóïïû ¦ q ( X; x0 ) îïðåäåëÿòü òàê æå, êàê K0 -ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû
îòíîñèòåëüíî ñôåðû S ( M ) K0 -îòîáðàæåíèé f ( B ( M ) ; S ( M ) ) ! ( X; x0 ) .

Íàìè ïîëó÷åí ñëåäóþùèé îñíîâíîé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 1 Äëÿ âñÿêîãî K0 -ïóòè ¾ : I ! X â ìíîæåñòâå X èç H ñ ¾ ( 0 ) = x0 è ¾ ( 1 ) = x1,
ïîðîæäåííîå ¾ îòîáðàæåíèå

¾q : ¦ q ( X; x1 ) ! ¦ q ( X; x0 )

ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ìåæäó ýòèìè ãðóïïàìè äëÿ âñÿêîãî q 2 Z, çàâèñÿùèì òîëüêî
îò K0 -ãîìîòîïè÷åñêîãî êëàññà ïóòè ¾ îòíîñèòåëüíî êîíöîâ 0 è 1 îòðåçêà I.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1]Ý. A. Ìèðçàõàíÿí, “Î íåêîòîðûõ êëàññàõ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé ïîäìíîæåñòâ
ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, I”, Ó÷. çàïèñè ÅÃÓ, (3), 21-28 (1990).

[2] Ý. A. Ìèðçàõàíÿí, “Î íåêîòîðûõ êëàññàõ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé
ïîäìíîæåñòâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, II”, Ó÷. çàïèñè ÅÃÓ, (1), 3-10 (1991).

[3] Ý. A. Ìèðçàõàíÿí, “Ïîñòðîåíèå áåñêîíå÷íîìåðíûõ îòíîñèòåëüíûõ ãîìîòîïè÷åñêèõ
ãðóïï â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå”, Èçâ. ÂÓÇîâ, Ìàòåìàòèêà, Êàçàíü, (8), 43-52 (2002).

[4] Ý. A. Ìèðçàõàíÿí, “Êëàññû ïîäïðîñòàíñòâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà”, Èçâ. ÍÀÍ
Àðìåíèè, Ìàòåìàòèêà 37 (4), 31-44 (2002).

[5] Ý. A. Ìèðçàõàíÿí, Í. Ý. Ìèðçàõàíÿí, “Ìîäèôèöèðîâàííûå ïàðû Áîðñóêà â
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå”, Èçâ. ÍÀÍ Àðìåíèè, Ìàòåìàòèêà 39 (6), 56-76 (2004).

[6] Õó Ñû-Öçÿí, Òåîðèÿ ãîìîòîïèé, (Ìèð, Ìîñêâà, 1964).