Microsoft Word - 9.doc


Математические вопросы кибернетики и вычислительной техники 38, 20--22, 2012. 

 
20 

 

 
 
 

О структуре Ric полусимметрических подмногообразий  
 

В. А. Мирзоян, Г. А. Налбандян, Р. Э. Чахмахчян 
 

Государственный Инженерный Университет Армении, г. Ереван 
Е-mail:  vmirzoyan@mail.ru 

 
Римановы Ric -полусимметрические многообразия характеризуютсз полупаралельностью 
тензора Риччи 1R  и являются естественными обобщениями симметрических, 
эйнштейновых и полусимметрических многообразий (см. [1] и цитированную в ней 
литературу). В евклидовых пространствах общая классификация Ric полусимметричеких 
подмногообразий была дана автором в [2]. Некоторые их частные классы были 
исследованы в [3-6]. Настоящая работа посвящена исследованию нормально плоских 

Ric полусимметричеких подмногообразий коразмерности 2р  с р  группами 
регулярных главных векторов кривизны в евклидовых пространствах.    
       Пусть M m - мерное подмногообразие евклидова пространства nE . Тогда главное 
расслоение ортонормированных реперов в nE  можно привести к главному расслоению 

 ,nO E M  адаптированных  ортонормреперов   nmm eeeex ,...,,,...,, 11  , где Mx  ,  ,MTe xi   
,,...,1,, mkji    ,MTe x  nm ,...,1,  , а  MTx  и   MTx касательное и нормальное 

пространства к M  в точке x . По известной схеме (см. [1],  [4,5]) получим    
,0  ,jiji h 

    jiij hh  , ,
k

ijkij hh 
    ikjijk hh  , 

k
jik

k
ikjijijij hhhdhh 




  . 

 Здесь ijh компоненты второй фундаментальной формы 2 , 
j

i 1-формы римановой 

связноcти   на М , а  1-формы нормальной связности 
 . Компоненты тензоров  

кривизны R  и R  связностей  ,   и тензора Риччи 1R  определяются по формулам  

 



jlki

j
ikl hhR ,  

i
ilkilk hhR


 ,   




ik

l
kil

l
iklik hHhhRR , 

где ijijhH 
  –компоненты  вектора средней кривизны 

 eHH  . Если 0R , то 

подмногообразие называется локально евклидовым, а при  0R  оно называется 
нормально плоским. В последнем случае все матрицы  ijh  в некотором  ортонормрепере 

могут быть одновременно приведены к диагональному виду  iji
 . Нормальные векторы 


 en ii   называются главными векторами кривизны (г.в.к.) нормально плоского 

подмногообразия. Известно, что условие Ric –полусимметричности нормально плоского 
подмногообразия равносильно условию 0,,  jijiji nnHnnnn  [4]. Это значит, что 



В. А. Мирзоян, Г. А. Налбандян, Р. Э. Чахмахчян 
 

21 

любые два г.в.к. in  и jn  нормально плоского Ric –полусимметрического подмногообразия 

удовлетворяют одному из следующих условий: 0, ji nn , 0,  Hnnnn jiji .  Отсюда 

следует, что множество ненулевых г.в.к. нормально плоского Ric –полусимметрического 
подмногообразия разбиваются на группы, обладающие следующими свойствами: 1) если 

in  и jn  принадлежат одной группе, то 0,  Hnnnn jiji , 2) если in  и jn  принадлежат 

разным группам, то они ортогональны и не удовлетворяют условию 
0,  Hnnnn jiji . Очевидно, что число таких групп ненулевых г.в.к. не превосходит 

коразмерность подмногообразия. Если их число равно коразмерности, то в каждой группе 
все г.в.к. коллинеарны [6]. В [6] доказано, что если в какой-либо группе имеются 
неравные коллинеарные векторы, то их число равно двум. Пусть 
               MTYYXRMTXT xxx  0,:0 ,     2{ ( ) : ( , ) 0) ( )}x x xT X T M X Y Y T M       
обозначают пространства  дефектности и относительной дефектности подмногообразия  
M  в точке x . Числа )0(dim xx T  и xx T dim  называются индексом дефектности и 
индексом относительной дефектности подмногообразия M  в точке x . Ортогональное 
дополнение )1(xT  пространства 

)0(
xT  в )(МTx  называется пространством кодефектности в 

точке x .  
          Пусть в каждой точке x  нормально плоского m -мерное подмногообразие M  в nE  
имеется q  различных г.в.к. qnn ,...,1  с кратностями qpp ,...,1 , mpp q  ...1 . Через 

)(
xF ),...,1( q  обозначим p -мерное подпространство касательного пространства 

)(MTx , на котором каждая матрица iji
  имеет только одно собственное значение 

кратности p . Именно в указанном смысле будем говорить, что  
)(

xF  является 

собственным подпространством, соответствующим г.в.к.  n . Главный вектор кривизны 

n  называется регулярным, если 
)1()(

xx TF 
  и – сингулярным, если )0()( xx TF 

 .  

         Пусть  m -мерное подмногообразие M  в nE  является Ric -полусимметрическим и 
имеет коразмерность pmn  . Регулярные г.в.к. разбиваются на группы, содержащие не 
менее двух векторов или один вектор, имеющий кратность [5]. Справедлива следующая  
       Теорема 1. Пусть M  является нормально плоским Ric -полусимметрическим 
подмногообразием коразмерности 2p  евклидова пространства nE  и пусть M  
допускает p  групп регулярных главных векторов кривизны.  Тогда индексы дефектности 
и относительной дефектности совпадают и M  разлагается в прямое произведение p  
Ric -полусимметрических гиперповерхностей.  
        Классификацию Ric -полусимметрических гиперповерхностей дает (см.[3]) 
следующая   
         Теорема 2. В евклидовом пространстве 1mE  гиперповерхность M  удовлетворяет 
условию 0),( 1 RYXR  тогда и только тогда, когда она является открытой частью или 
(а)  гиперсферы mS  в 1mE , или (б) гиперконуса вращения 

mC  в 1mE , или (в) произведения 



    О структуре Ric полусимметрических подмногообразий  
 

22 

nm
n ES  , где 

nS  гиперсфера в 1nE , а nmE  – )( nm  - мерная плоскость, ,1,...,2  mn  или 

(г) произведения nm
n EC  , где 

nC  гиперконус вращения в 1nE , а nmE  – )( nm  - мерная 
плоскость, ,1,...,2  mn  или (д) гиперповерхности ранга 2 , или (е) полуэйнштейновой 
гиперповерхности mK  в 1mE , 5m , которая несет ортогональную сопряженную 

систему, состоящую из двух сфер,  ,1rS p  2p , и  ,2rS q  2q , и прямой L , и 
представляет собой конус с (прямая L  в качестве образующей) над прямым 
произведением    21 rSrS qp  , которое является эйнштейновым подмногообразием в 1mE  
и принадлежит гиперсфере   1 mm ErS , или (ж) произведения nmn EK  , где nK – 
полуэйнштейнова гиперповерхность в 1nE , описываемая, как и 

mK   в  п. (е), а nmE  – 
)( nm  -мерная плоскость, .1,...,5  mn  

 
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 
1. Lumiste Ü. Semiparallel submanifolds in space forms. New York, Springer,  2009, 306p. 
2. Mirzoyan V. A. General classification of  normally flat Ric -semisymmetric submanifolds.  

National Acad. Sci. of Armenia. Reports, 2012,  112, № 1, 19-29. 
3. Мирзоян В.А. Классификация Ric - полупараллельных гиперповерхностей в 

евклидовых пространствах. Матем. сб., 2000, 191, № 9, 65-80. 
4. Мирзоян В.А. Структурные теоремы для Ric - полусимметрических подмногообразий 

и геометрическое описание одного класса минимальных полуэйнштейновых 
подмногообразий. Матем. сб., 2006, 197, № 7, 47-76. 

5. Мирзоян В.А. Нормально плоские полуэйнштейновы подмногообразия в евклидовых 
пространствах. Изв. РАН. Сер. Матем., 2011, 75,  № 6, 47-78. 

6. Мирзоян В.А., Мачкалян Г.С. О нормально плоских Ric полусимметрических      
подмногообразиях в евклидовых пространствах. Изв. вузов. Матем., 2012, № 9, 19-31.