D:\User\sbornik_38_pdf\10.DVI


Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êèáåðíåòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè 38, 23{25, 2012.

Ñâîáîäíûå A-áèïîëóãðóïïû
Þ. Ì. Ìîâñèñÿí, Ñ. Ñ. Äàâèäîâ, Ì. Ã. Ñàôàðÿí

Åðåâàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
E-mail: yurimovsisyan@yahoo.com, davidov@ysu.am, mher.safaryan@gmail.com

1 . Ïðåäâàðèòåëüíûå ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû

Îïðåäåëåíèå 1. Àëãåáðà ( A; a; ` ) ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè íàçûâàåòñÿ A-
áèïîëóãðóïïîé, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþøèì òîæäåñòâàì:

( A 1 ) ( x a y ) a z = x a ( y a z ) ;
( A 2 ) ( x a y ) a z = x a ( y ` z ) ;
( A 3 ) ( x a y ) ` z = x ` ( y ` z ) ;
( A 4 ) ( x ` y ) ` z = x ` ( y ` z ) :

Ïóñòü e¡ïðîèçâîëüíûé ñèìâîë, ââåäåì ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ:

In = f0 ; 1 gn¡1 = f" = ( "1; : : : ; "n¡1 ) : "k 2 f0 ; 1 g; k = 1 ; n ¡ 1 g; n > 1 ;

I1 = feg; I =
[

n¸1
In:

Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü ( A; a; ` ) - A-áèïîëóãðóïïà. Äëÿ ëþáûõ x1; x2; : : : ; xn 2 A è
ëþáîãî " 2 I n ïî èíäóêöèè îïðåäåëèì ýëåìåíò

x1x2 : : : xn" 2 A ( ?)

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1 : x1e = x1;

2 : x1x2 : : : xn ( "1; "2; : : : ; "n¡2; 0 ) = x1 ` x2 : : : xn ( "1; "2; : : : ; "n¡2 ) ;
x1 : : : xn¡1xn ( "1; "2; : : : ; "n¡2; 1 ) = x1 : : : xn¡1 ( "1; "2; : : : ; "n¡2 ) a xn:

 ÷àñòíîñòè, åñëè " = (

n¡1z }| {
1 ; 1 ; : : : ; 1 ) òî x1 : : : xn" = x1 a : : : a xn, åñëè " = (

n¡1z }| {
0 ; 0 ; : : : ; 0 ) òî

x1 : : : xn" = x1 ` : : : ` xn:

Òåîðåìà 1. Ïóñòü t = x1 : : : xn¡ òåðì â A-áèïîëóãðóïïå. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé
èíäåêñ " 2 I n, ÷òî

t = x1x2 : : : xn":

 ñèëó òåîðåìû 1 â A-áèïîëóãðóïïå, êàæäûé òåðì t ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ( ? ) , êîòîðûé
áóäåì íàçûâàòü êàíîíè÷åñêîé ôîðìîé òåðìà t. Íàïðèìåð, äëÿ òåðìà ( ( x1 a x2 ) ` ( x3 a
x4 ) ) a ( x5 ` x6 ) êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà áóäåò:

( ( x1 a x2 ) ` ( x3 a x4 ) ) a ( x5 ` x6 ) = ( x1x2 ( 1 ) ` x3x4 ( 1 ) ) a x5x6 ( 0 ) =

2 3



2 4 Ñâîáîäíûå A-áèïîëóãðóïïû

x1x2x3x4 ( 1 ; 0 ; 0 ) a x5x6 ( 0 ) = x1x2x3x4x5x6 ( 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ) :
Ïîêàæåì, ÷òî êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà äëÿ êàæäîãî òåðìà åäèíñòâåííà, äëÿ ÷åãî íàì

ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 1. Àëãåáðà èíäåêñîâ ( I; a; ` ) ÿâëÿåòñÿ A-áèïîëóãðóïïîé, ãäå îïåðàöèè a; `

îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

( "1; : : : ; "n¡1 ) a ( µ1; : : : ; µm¡1 ) = ( "1; : : : ; "n¡1;
mz }| {

1 ; 1 ; : : : ; 1 ) ;

( "1; : : : ; "n¡1 ) ` ( µ1; : : : ; µm¡1 ) = ( µ1; : : : ; µm¡1;
nz }| {

0 ; 0 ; : : : ; 0 ) :

2 . Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû

Òåîðåìà 2.  A-áèïîëóãðóïïå êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà åäèíñòâåííà äëÿ ëþáîãî òåðìà.
Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ñâîáîäíîé A-áèïîëóãðóïïû. Ïóñòü X¡ ïðîèçâîëüíîå è íå

ïóñòîå ìíîæåñòâî, n 2 N: Îáîçíà÷èì:

A ( X ) =
[

n¸1
Xn £ In;

Xn = X £ X £ : : : £ X| {z }
n

= f( x1; x2; : : : ; xn ) : xk 2 X; k = 1 ; ng:

Äëÿ óäîáñòâà ýëåìåíòû A ( X ) îáîçíà÷èì ÷åðåç ( x1; x2; : : : ; xn ) "; âìåñòî
( ( x1; x2; : : : ; xn ) ; " ) ; à ìíîæåñòâà X £ I 1 è X íå áóäåì ðàçëè÷àòü: òî åñòü ñèìâîë
x 2 X áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ñ ýëåìåíòîì xe 2 A( X ) : Îïðåäåëèì îïåðàöèè a; ` íà
A ( X ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

( x1; x2; : : : ; xk ) " a ( xk+1; xk+2; : : : ; xl ) µ = ( x1; x2; : : : ; xl ) " a µ;

( x1; x2; : : : ; xk ) " ` ( xk+1; xk+2; : : : ; xl ) µ = ( x1; x2; : : : ; xl ) " ` µ:
Îáîçíà÷èì: Yn = X

n £ I n; n 2 N:
Òåîðåìà 3. Áèíàðíàÿ àëãåáðà ( A( X ) ; a; ` ) ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé A-áèïîëóãðóïïîé ñ

ñèñòåìîé ñâîáîäíûõ îáðàçóþùèõ X.
Ïðèâåäåì äðóãîå îïèñàíèå äëÿ ñâîáîäíîé A-áèïîëóãðóïïû. Ïóñòü F [X]¡ ñâîáîäíàÿ

ïîëóãðóïïà ñ ñèñòåìîé ñâîáîäíûõ îáðàçóþùèõ X. Äëÿ êàæäîãî ñëîâà ! 2 F [X] ÷åðåç
j!j îáîçíà÷èì äëèíó ñëîâà !: Îïðåäåëèì îïåðàöèè a; ` íà ìíîæåñòâå

F A = f( !; " ) 2 F [X] £ I : " 2 Ij!jg

ñëåäóþùèì îáðàçîì:
( !1; " ) a ( !2; µ ) = ( !1!2; " a µ ) ;
( !1; " ) ` ( !2; µ ) = ( !1!2; " ` µ ) ;

ãäå ( !1; " ) ; ( !2; µ ) 2 F A: Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî áèíàðíàÿ àëãåáðà ( F A; a; ` )
ÿâëÿåòñÿ A-áèïîëóãðóïïîé, êîòîðóþ áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç F A[X]:

Òåîðåìà 4. A-áèïîëóãðóïïû ( A ( X ) ; a; )̀ è F A[X] èçîìîðôíû.Ñëåäîâàòåëüíî,
áèíàðíàÿ àëãåáðà F A[X] òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé A-áèïîëóãðóïïîé ñ ñèñòåìîé



Þ. Ìîâñèñÿí, Ñ. Äàâèäîâ, Ì. Ñàôàðÿí 2 5

ñâîáîäíûõ îáðàçóþùèõ X.

Òåîðåìà 5. A-áèïîëóãðóïïà èíäåêñîâ ( I; a; )̀ ñâîáîäíà, è èçîìîðôíà A-
áèïîëóãðóïïå F A[X], ãäå jXj = 1 :

Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíàÿ A-áèïîëóãðóïïà ðàíãà 1 ñîâïàäàåò ñ A-áèïîëóãðóïïîé
( I; a; )̀ ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Yu.Ì.Movsisyan, B oolean bisemigroup, B igroups and L ocal B igroups, Computer Sci-
ence and Information Technologies, September 19-23, 2005, p.97-105.

[2] À.Â.Æó÷îê, Äèìîíîèäû, Àëãåáðà è Ëîãèêà, 50, 4(2011), 471-496.

[3] J.-L.Loday, D ialgebras in J.-L.Loday, A.Frabetty, F.Chapton, and F.Goichot (editors),
D ialgebras and R elated Operads, Springer(2001), p.7-66.