D:\User\sbornik_38_pdf\12.DVI Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êèáåðíåòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè 38, 29, 2012. Î ñóùåñòâîâàíèè êîìïîçèöèé äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíîé âåùåñòâåííîé çíàêîïåðåìåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû À. À. Îãíèêÿí Åðåâàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Êîìïîçèöèè êîíå÷íîìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì íàä ïðîèçâîëüíûìè ïîëÿìè è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íîðìèðîâàííûå àëãåáðû õîðîùî èçâåñòíû [1]. ×òî êàñàåòñÿ áåñêîìíå÷íîìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, òî èçâåñòíû ëèøü îòäåëüíûå ðåçóëüòàòû. Èçâåñòíî [2], ÷òî íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîìåðíàÿ âåùåñòâåííàÿ íîðìèðîâàííàÿ àëãåáðà ñ äâóõñòîðîííåé åäèíèöåé.  ñòàòüå [3] äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íîìåðíîé, ïîëíîé, íîðìèðîâàííîé àëãåáðû ñ ëåâîñòîðîííåé åäèíèöåé, ñ ëåâîñòðîííèì äåëåíèåì.  ñòàòüå [4], êàê ïîáî÷íûé ðåçóëüòàò, ïîñòðîåíà áåñêîíå÷íîìåðíàÿ íîðìèðîâàííàÿ àëãåáðà äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ñ ëåâîñòîðîííåé åäèíèöåé è ëåâîñòîðîííèì äåëåíèåì, îáëàäàþùàÿ íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè. Áåñêîíå÷íîìåðíàÿ âåùåñòâåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà f ( x) = 1P i=0 ®ix 2 i , ®n 6= 0 íàçûâàåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé ôîðìîé, åñëè êîëè÷åñòâà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ®i áåñêîíå÷íû. Òåîðåìà. Áåñêîíå÷íîìåðíàÿ çíàêîïåðåìåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà f äîïóñêàåò êîìïîçèöèè, ïðè÷åì òàêèå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì íîðìèðîâàííûå àëãåáðû îáëàäàþò ëåâîñòîðîííåé åäèíèöåé, à óðàâíåíèå ax = b èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äëÿ ëþáûõ a, b, ãäå f ( a ) 6= 0 . Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ê.À. Æåâëàêîâ, À.Ì. Ñëèíüêî, È.Ï. Øåñòàêîâ, À.È. Øèðøîâ. Êîëüöà áëèçêèå ê àññîöèàòèâíûì. Íàóêà, Ì., 1978. [2] I. Kaplansky. Infinite-dimensional quadratic forms admitting composition. Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 956-960. [3] J.A. Cuenca. On-sided division infinite-dimensional normed real algebras. Publ. Math. 36 (1992), 485-488. [4] À. À. Îãíèêÿí. Êîìáèíàòîðíîå ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà ñôåðàõ. Ìàò. Çàì., òîì 83, âûïóñê 4, 2008, ñòð. 590-605. 2 9