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Numeri q-perfetti e q-amicabili di seconda 

specie e altre generalizzazioni dei numeri 

perfetti di seconda specie 

 
Eugeni Franco 

Università degli studi di Teramo 
 

Ippoliti Gianluca 
Dottorando dell'Università degli studi di Teramo 

 
 
Nel presente lavoro si affronta, tra le curiosità matematiche, il problema dei 
numeri perfetti di seconda specie, riprendendo anche un lavoro del 1979 di Franco 
Eugeni e Bruno Rizzi, utilizzato come preambolo e spunto per le problematiche 
lasciate aperte su tali concetti, e le loro generalizzazioni tra le quali quella dei 
numeri q-perfetti di 2a specie. Il presente file si compone infatti di: 
 

1. Su alcune generalizzazioni dei numeri perfetti, tratto dal periodico di 
matematiche serie V Volume 56 del 1980 riguardanti i numeri 1-perfetti di 
2a specie e alcune problematiche dei numeri q-perfetti di 2a specie. Il testo 
è corredato di note scritte in questa occasione. 

 
2. Un lavoro che appare qui per la prima volta in cui è trattato, per quanto sia 

possibile, il caso q > 1 per la suddetta generalizzazione dei numeri perfetti 
di 2a specie e una diversa generalizzazione dei numeri perfetti di 2a specie 
insieme a risultati sul problema delle coppie di numeri amicabili di 
seconda specie, per entrambe le generalizzazioni. 

 
Introduzione. 
 
Il problema dei numeri perfetti ha origini antiche, essendo dovuto ad Euclide (IV 
secolo a. C.). Egli definì numeri perfetti quei naturali la cui somma dei divisori 
inferiori eguaglia il numero stesso. Definita la funzione σ come σ(n) = ∑

nd
d

|
 è 

chiaro che il problema si può esprimere nei seguenti termini: n è perfetto se e solo 
se σ(n) – 2n = 0. Euclide stesso, posto il problema, caratterizzò completamente i 



numeri perfetti pari, mentre ancora oggi non è stato risolto, in maniera generale, 
quello dei perfetti dispari. In particolare non si conosce nessun numero perfetto 
dispari e né se ne esistano. La cosa però veramente interessante è che intorno al 
problema dei numeri perfetti siano nati, nel corso dei secoli, altri concetti, 
generalizzazioni e problemi che riguardano tali generalizzazioni, problemi, alcuni 
di essi tuttora irrisolti, che hanno affascinato schiere di matematici professionisti e 
dilettanti, uomini di cultura, studiosi e un vero e proprio popolo di curiosi. In 
questo lavoro ci occupiamo, appunto, di una parte di questi problemi, con qualche 
risultato originale. Una di queste problematiche riguarda le coppie di numeri 
amicabili che sono quelle coppie di numeri naturali per le quali la somma dei 
divisori inferiori dell’uno eguaglia il valore dell’altro (è facile provare che (m,n) è 
una coppia di numeri amicabili se e solo se σ(n) = σ(m) = m + n). 
Nella prima parte riportiamo anastaticamente l’articolo summenzionato, 
corredato, però da note a piè di pagina scritte per l’occasione, dove incontreremo 
una prima variazione, la più nota, sul concetto di numero perfetto (ovvero quella 
di numero perfetto di seconda specie) e una sua generalizzazione (ovvero quella di 
numero q-perfetto di seconda specie). 
Nella seconda parte riprendiamo alcuni concetti/problemi della prima parte e 
forniamo una ulteriore generalizzazione dei numeri perfetti (ovvero quella che noi 
abbiamo chiamato numeri perfetti di seconda specie di ordine k) e il legame tra le 
due diverse generalizzazioni e risolviamo completamente i problemi collegati alle 
definizioni generalizzate dei numeri amicabili di seconda specie. Si sono usate, 
qui, le stesse notazioni e simboli della prima parte tranne per quello che riguarda 
la funzione prodotto dei divisori di un numero naturale, per la quale nella seconda 
parte si è preferito usare π(n) piuttosto che p(n), e per l’insieme dei numeri primi 
che, sempre nella seconda parte, si è denotato con ℙ. 
 
 
 
 
 



1. 

 
 



 
 



 



1  

                                                 
1 Diamo qui una breve dimostrazione: l’identità di pellegrino è equivalente a ν(n)·f(n) = 

∑
nd

df
|

)(2 . Indicando con d1 d2,…, dν(n) i divisori di n e con di
’ il divisore “complementare” di di 



 

                                                                                                                                      
ovvero tale che n = di·di

’, si ha, essendo f incondizionatamente additiva, f(n) = f(di)+ f(di
’), ∀ i = 

1,…, ν(n). 

Si ha, allora, che ∑
=

)(

1
)(

n

i
nf

ν
 = ∑

=

)(

1

n

i

ν
f(di)+ f(di

’) cioè ν(n)·f(n) = ∑
nd

df
|

)(2 . 



 

 
 



 
 



 



2  

                                                 
2 Naturalmente questo significa che ∀ n ∈ ℕ1 – ℙ, esiste un’opportuna scelta della coppia (m, q) in 
modo che l’identità (2.5) sia vera. Precisamente se n non è un quadrato perfetto (dunque ν(n) è 

pari ed è comunque ν(n)·> 2 quindi       
2

)(nν
 – 1 ∈ ℕ1): q = 

2

)(nν
 – 1 e βi = αi ( dunque m = n); 



                                                                                                                                      

se n è un quadrato perfetto (dunque αi ∈ 2ℕ, ν(n)·è dispari ma comunque ν(n) > 2): βi = 
2

iα  

(dunque m = n ) e q = ν(n) – 2. 



 



3 

 
                                                 
3 Refuso si stampa: α = 2q + 1 e α1 = 1, α2 = p – 1 = q quindi 

12
1

+qp , qpp 21  con p1 e p2 primi 
arbitrari distinti sono tutti e soli i numeri q-perfetti di 2a specie quando q + 1 è primo. 



2.1 Le generalizzazioni dei numeri perfetti di seconda specie. 
 
Le generalizzazioni dei numeri perfetti di seconda specie più note sono di due tipi. 
la prima l’abbiamo vista nella prima parte e riguarda i numeri q-perfetti di 2a 
specie che qui, brevemente, richiamiamo e sulla quale puntualizziamo i risultati 
noti. 
 
Definizione 2.1.1. Sia q∈ ℕ1, un numero n ∈ ℕ2 è detto q-perfetto di 2a specie se 
il prodotto dei suoi divisori inferiori ad n eguaglia la potenza di ordine q di n 
stesso. 
 
È chiaro che per q = 1 si ritrovano i numeri perfetti di 2a specie che qui 
chiameremo, dunque,        1-perfetti di 2a specie. Utilizzando la funzione π, che 
associa ad un numero n il prodotto di tutti i suoi divisori: π(n) = d

nd |
Π , un numero 

n è q-perfetto di 2a specie se 
n

d
nd

Π
|  = nq ovvero se d

nd |
Π  = nq+1. Si ha così modo di 

sfruttare l'identità πκ(n) = ∏
nd

kd
|

= 2
)( n

k
n

ν

, (2.4) della prima parte con k = 1, dove 

con ν(n) si è indicata la funzione numero di divisori. 
Sarà appena il caso di ricordare che, se 11

αp ··· rrp
α  è la fattorizzazione in primi di 

n, l'espressione per ν(n) è data da ν(n) = ( )∏
=

+
r

i
i

1

1 α , come già visto nella prima 

parte. È questa una delle più note funzioni aritmetiche insieme alla funzione σ, 
somma dei divisori, già incontrata con i numeri perfetti di 1a specie, la quale è 
moltiplicativa4. Ricordiamo inoltre che ν(0) non è definita, ν(1) = 15, ν(n) = 2 se e 
solo se n è primo, ν(n)=3 se e solo se n è il quadrato di un primo6, ν(n) ≥ 4 per 
tutti gli altri naturali, dove l'uguaglianza si ha solo per i numeri secondi (non 
quadrati) e per i cubi di un primo i quali, come abbiamo già visto nella prima 
parte, costituiscono tutti e soli i numeri 1-perfetti di 2a specie. Infine ricordiamo 
(vedi nota 4 della prima parte) che ν(n) è pari se e solo se n non è un quadrato 

perfetto e, quindi, 2
)( n

n
ν

 è una potenza intera di n (o della sua radice quadrata, se n 
è un quadrato perfetto). 
                                                 
4 Una funzione aritmetica f è moltiplicativa se f(m·n) = f(m)·f(n) ∀ m, n ∈ ℕ1 tali che (m, n) = 1, 
ovvero relativamente primi tra loro. 
5 Sebbene 1 soddisfi l’uguaglianza (2.1.1), per definizione esso non è q-perfetto qualunque sia il 
valore di q. 
6 Questi ultimi due casi contemplano tutti numeri che, in analogia con quanto accade con i numeri 
perfetti di prima specie, a partire dalla definizione 2.1.2 chiameremo q-mancanti di seconda specie, 
qualunque sia il valore di q ∈ ℕ1. 



A questo punto possiamo continuare dicendo che un numero n ∈ℕ2 è q-perfetto di 
2a specie se e solo se 
 

(2.1.1)      2
)( n

n
ν

= nq+1, 
 

ovvero, essendo n > 1, se e solo se 
2

)(nν
= q + 1 ovvero se e solo se, infine, 

ν(n)=2(q+1). 
Dunque essere q-perfetto per n ∈ℕ2 dipende solo ed esclusivamente dal numero 
dei suoi divisori e dalla fattorizzazione di 2(q + 1). 
Di seguito riportiamo una prima casistica non generale di numeri q-perfetti di 
seconda specie al variare di q, per i quali non riportiamo le dimostrazioni. 
 
Valori di 

q 
Valori di 

ν(n) 
Caratterizzazione dei numeri q-perfetti di 2a specie 

q = 0 ν(n) = 2 Numeri primi 
q = 1 ν(n) = 4 Numeri perfetti di 2a seconda specie, ovvero numeri 

secondi non quadrati oppure cubi di un primo 
q = 2 ν(n) = 6 n = 51p  oppure n = 2

2
1 pp  con p1, p2 ∈ ℙ, diversi tra loro 

q = 3 ν(n) = 8 n = 71p  oppure n = 2
3
1 pp  oppure 321 ppp  con p1, p2, p3 

∈ ℙ, diversi tra loro 
q = 4 ν(n) = 10 n = 91p  oppure n = 2

4
1 pp  con p1, p2 ∈ ℙ, diversi tra loro 

q = 5 ν(n) = 12 n = 111p  oppure n = 251 pp  oppure n = 
2
2

3
1 pp  oppure 

32
2
1 ppp  con p1, p2, p3 ∈ ℙ, diversi tra loro 

 
E se estendessimo la definizione di numeri q-perfetti a valori di q non interi? In 
questo caso si seguiterebbero ad avere numeri q-perfetti a condizione che 2q ∈ 
ℕ1, più precisamente q = 2

m  per qualche m ∈ ℕ1 – 2ℕ1. 
In tal caso la condizione ν(n) = 2(q + 1) diventa ν(n) = m + 2 con m dispari e tutto 
dipende dalla fattorizzazione di m + 2. Possiamo dunque affermare che i valori 
ammissibili per q, ovvero quei valori che rendono non vuota la definizione di 
numeri q-perfetti di 2a specie sono quelli dell’insieme Q0 ≝ { 2

m | m ∈ ℕ0} dove si 

è usato l’indice 0 per distinguerlo dall’insieme               Q1 ≝ { 2
m | m ∈ ℕ1} che 

in seguito useremo. Riportiamo, di seguito una tabella con i primi valori non interi 
di q, anche questa senza dimostrazioni. 
 

Valori Valori Caratterizzazione dei numeri q-perfetti di 2a specie 



di q di ν(n) 

2
1  3 n = 21p  con p1 ∈ ℙ 

2
3  5 n = 41p  con p1 ∈ ℙ 

2
5  7 n = 61p  con p1 ∈ ℙ 

2
7  9 n = 81p  oppure n = 

2
2

2
1 pp  con p1, p2 ∈ ℙ, diversi tra loro 

2
9  11 n = 

10
1p  con p1 ∈ ℙ 

2
11  13 n = 121p  con p1 ∈ ℙ 

 
Consideriamo ora qualche caso generale enunciato sotto forma di teoremi: 
 
Teorema 2.1.1. 
 
I numeri della forma n = 121

+qp  e n = 21 pp
q ⋅  con p1, p2 ∈ ℙ, diversi tra loro, sono 

q-perfetti, i primi per ogni q ∈ Q0 e i secondi per ogni q ∈ ℕ0. 
 
Dimostrazione 
 
Sia n = 121

+qp  per qualche primo p1 ∈ ℙ, per qualche q ∈ Q0, allora (2q + 1) ∈ ℕ1 

e n ∈ℕ2 e si ha, per la nota identità che esprime ν(n) come = ( )∏
=

+
r

i
i

1

1 α , essendo 

1
1
αp ··· rrp

α  la fattorizzazione in primi di n, ν(n) = 1 + 2q + 1 = 2(q + 1), dunque n è 
q-perfetto di 2a specie. 
Sia n = qp1 p2 per qualche coppia di primi distinti p1, p2 ∈ ℙ, per qualche q ∈ ℕ0, 
allora, sempre per l’identità summenzionata, si ha ν(n) = (1 + 1)(1 + q) = 2(q + 1) 
ovvero n è q-perfetto di 2a specie. 
 
Teorema 2.1.2. 
 
Sia r ∈ℕ1.e sia q = 2r – 1 − 1. I numeri q-perfetti sono tutti e soli quei numeri n del 

tipo                     n = 121
1 −rp ·…· 12 −

kr

kp  con k, r1, …, rk ∈ ℕ1 tali che ∑
=

k

i
ir

1

= r e p1, 

…, pk ∈ ℙ diversi tra loro. 
 
Sia q = 2r – 1 − 1 per qualche r ∈ℕ1. n è q-perfetto di 2a specie se e solo se ν(n) = 
2r. Un sistema completo di divisori di 2r è del tipo 12r ,…, kr2 , per qualche r1, …, 



rk ∈ℕ1 tali che ∑
=

k

i
ir

1

= r per qualche k ∈ ℕ1 tale che k ≤ r = Ω(n). Dunque n è q-

perfetto di 2a specie se e solo se ∃ k ∈ ℕ1 con   k ≤ r  tale che n = 121
1 −rp ·…· 12 −

kr

kp  

con r1, …, rk ∈ ℕ1 tali che ∑
=

k

i
ir

1

= r e p1, …, pk ∈ ℙ diversi tra loro. 

 
Al concetto di numeri q-perfetti di 2a specie è collegato, come accade con i 
numeri perfetti (numeri perfetti di 1a specie), quello dei numeri q-abbondanti e q-
mancanti di 2a specie, per i quali forniamo la seguente: 
 
Definizione 2.1.2. Sia n ∈ ℕ2. n è q-mancante (q-abbondante) di 2a specie se 
∏

≠nd
nd

d
|

< nq       ( ∏
≠nd
nd

d
|

> nq). 

 
Naturalmente, come accade per i numeri perfetti di 1a specie, anche qui l’insieme 
dei numeri          q-perfetti, q-mancanti e q-abbondanti costituisce una partizione 
di ℕ2. Tale definizione ci conduce, inoltre, alla dimostrazione di due lemmi, a noi 
non noti in letteratura, che risulteranno utili in seguito. 
 
Lemma 2.1.1. Sia n q-perfetto di 2a specie o q-mancante di 2a specie allora ogni 
sottomultiplo proprio di n è q-mancante. 
 

Sia n = ∏
=

r

i
i

ip
1

α , se n è q-perfetto o q-mancante allora ν(n) ≤ 2·(q + 1) ma ν(n) 

= ( )∏
=

+
r

i
iα

1

1 . Sia m un sottomultiplo proprio di n, allora m = ∏
=

r

i
i

ip
1

β con 0 ≤ βi ≤ 

αi ∀ i = 1,…,r e, inoltre, esiste almeno un indice k ≤ r tale che βk < αk. 

Dunque ν(m) = ( )∏
=

+
r

i
i

1

1 β  < ( )∏
=

+
r

i
i

1

1 α  = ν(n) ≤ 2·(q + 1) essendo (1+ βi) ≤ 

(1+ αi) e              (1+ βk) < (1+ αk) ovvero m è q-mancante di 2a specie. C.V.D. 
 
Lemma 2.1.2. (duale). Sia n q-perfetto o q-abbondante di 2a specie allora ogni 
multiplo proprio di n è q-abbondante. 
 
Supponiamo che esista un numero n q-perfetto o q-abbondante con un multiplo 
proprio m q-perfetto o q-mancante allora tale multiplo m avrebbe n come 
sottomultiplo proprio ma n è q-perfetto di 2a specie o q-abbondante di 2a specie e 
ciò è assurdo per il lemma precedente. C.V.D. 
 



La seconda generalizzazione dei numeri perfetti di 2a specie è quella collegata al 
già citato problema di Halcke, ed è illustrata dalla seguente: 
 
Definizione 2.1.3. Sia n ∈ ℕ1, n è perfetto di 2a specie di ordine k ∈ ℕ1 se 
∏

≠

=

nd
nd

k nd
|

. 

 
È immediato provare che tale definizione è equivalente a πk(n) = nk+1 dove si è 
utilizzata la funzione πk(n) (prodotto delle potenze k-esime di tutti i divisori di n) 
per la quale abbiamo già visto nella prima parte essere vera l’identità πk(n) = 

( )
2
n

k
n

ν

. 
Dunque, se si eccettua 1 che risulta, analogamente al caso precedente, perfetto di 
2a specie di ordine k per ogni k∈ ℕ1, i numeri n perfetti di 2a specie di ordine k 

risultano completamente caratterizzati dalla seguente identità 
( )
2
n

k
ν

 – (k+1) = 0 

cioè k = 
( ) 2

2
−nν

. 

Dunque esistono perfetti di 2a specie di ordine k ∈ ℕ1 solo per k = 1 o k = 2. 
Precisamente n è perfetto di 2a specie di ordine 1 se e solo se ν(n) = 4 ovvero se e 
solo se è 1-perfetto di 2a specie, le cui caratterizzazioni abbiamo già visto (infatti 
in tal caso le due diverse generalizzazioni coincidono entrambe con i numeri 
perfetti di 2a specie). Nell’altro caso n è perfetto di seconda specie di ordine 2 se e 
solo se ν(n) = 3 ovvero se e solo se è 1-perfetto di 2a specie. 
Ricordando che Q ≝ { 2

m | m ∈ ℕ1}, riportiamo ora un teorema che non ci risulta 
noto in letteratura e che rappresenta una risultato che lega tra loro le due 
generalizzazioni dei numeri perfetti di 2a specie e: 
 
Teorema 2.1.4. Sia K l’insieme costituito dagli inversi degli elementi 
dell’insieme Q. n è perfetto di 2a specie di ordine k ∈ K se e solo se n è q-perfetto 

di 2a specie con q = 
k
1

. 

 
Dimostrazione 
 



Sia n perfetto di 2a specie di ordine k allora k = 
( ) 2

2
−nν

 ovvero ( )nν  = ( )
k

k+12
= 

2 ⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛ + 1

1
k

=          = 2(q+1) ponendo q = 
k
1

 dunque n è q-perfetto di 2a specie con q 

= 
k
1

. Analogamente per il viceversa. C.V.D. 

 
Di conseguenza restano caratterizzati tutti i numeri di 2a specie di ordine k come i 

numeri             
k
1

-perfetti e tutti i risultati validi per i secondi si possono vedere 

come risultati sui primi a patto di invertire l’indice. 
 
Definizione 2.1.4. Sia n ∈ ℕ2, n è mancante (abbondante) di 2a specie di ordine k 
se ∏

≠nd
nd

kd
|

< n ( ∏
≠nd
nd

kd
|

> n). 



2.2 Le generalizzazioni delle coppie di numeri amicabili di 
seconda specie. 
 
Consideriamo ora le generalizzazioni delle coppie di numeri amicabili di seconda 
specie, illustrate con le seguenti definizioni che dimostreremo essere entrambe 
vuote. 
 
Definizione 2.2.1. Sia q ∈ Q 7e siano m, n ∈ ℕ2 distinti. m, n sono q-amicabili di 
2a specie se: 
 

( )

( )⎪
⎩

⎪
⎨

⎧

=

=

q

q

n
m
m

m
n
n

π

π

. 

 
Definizione 2.2.2. Sia k ∈ K e siano m, n ∈ ℕ2 distinti. m, n sono amicabili di 2a 
specie di ordine k se: 
 

( )

( )⎪
⎩

⎪
⎨

⎧

=

=

n
m

m

m
n

n

k
k

k
k

π

π

. 

 
Teorema 2.2.1. 
 
Non esistono q-amicabili di 2a specie per ogni q ∈ Q. 
 
Dimostrazione 
Sia q ∈ Q e siano m, n ∈ ℕ2 tali che  

      

( )

( )⎪
⎩

⎪
⎨

⎧

=

=

q

q

n
m
m

m
n
n

π

π

   

 (1) 
o, equivalentemente 
 

                                                 
7 Non consideriamo il caso q = 0, poco significativo e che, come è facile verificare, condurrebbe a 
definire ogni coppia di primi distinti una coppia di numeri amicabili. 



      
( )

( )
⎪⎩

⎪
⎨
⎧

=

=
−

−

q
m

q
n

nm

mn
1

2

1
2

ν

ν

8  

 (2) 
 
allora m ed n hanno gli stessi divisori primi. 
 

Siano dunque n = ∏
=

r

i
i

ip
1

α  ed m = ∏
=

r

i
i

ip
1

β , con αi, βi ∈ℕ1, le fattorizzazioni in 

primi di n ed m. 

Le (1) sono equivalenti a (3) 

( )

( )
⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨

⎧

=⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛

−

=⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛

−

ii

ii

q
m

q
n

α
ν

β

β
ν

α

1
2

1
2   ∀ i = 1,…,r. 

Dalla (1) segue, moltiplicando membro a membro le due equazioni, che 
 

( ) ( )
11 ++

⋅
qq m
m

n
n ππ

 = 1. Possiamo considerare due casi: 

 

primo caso: 
( ) ( )

11
1

++
==

qq m
m

n
n ππ

 ovvero m ed n sono q-perfetti di 2a specie; ma dalla 

(2) segue che     nq = mq ovvero m = n; 
 

secondo caso: 
( )

1+qn
nπ

 < 1 e 
( )

1+qm
mπ

 > 1 (o viceversa) ovvero n è q-mancante ed m è 

q-abbondante di    2a specie. In questo caso la (1) implica 
⎩
⎨
⎧

>
<

+

+

1

1

qq

qq

mmn
nnm

 ovvero m 

< n; 
avendo m ed n hanno gli stessi fattori primi questo implica che m è un 
sottomultiplo proprio di n, ma, come abbiamo già dimostrato nel lemma 2.1.1 ciò 
implica m è q-mancante contro la posizione iniziale. C.V.D. 
 
 
Teorema 2.2.1. 
 
Non esistono coppie di numeri amicabili di seconda specie di ordine k per ogni 
k∈ℕ1. 

                                                 

8 Al solito si è utilizzata l’identità (2.4) della prima parte con k = 1:
( )
2)(
n

n
ν

π ∀ n ∈ ℕ1. 



 
 
Dimostrazione 
 

⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨

⎧

=

=

∏

∏

≠

≠

md
md

k
nd
nd

k

nd

md

|

|

   

⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨

⎧

⋅=

⋅=

∏

∏

≠

≠

md
md

kk
nd
nd

kk

mnd

nmd

|

|

 m ≠ n, m,n ∈ℕ2, k∈ ℕ2. 

 
 

πk(n) · πk(m) = (m · n)k + 1 e p|m ⇒ p|n e viceversa. 
 

( ) ( )
22
m

k
n

k
mn

νν

⋅  = mk+1 · nk+1 
 

( )
2

1
m

kk
m

ν
−+

 · 

( )
2

1
n

kk
n

ν
−+

 = 1 
 

ν(m) = 
k

k )1(2 +
 = 2·(1+

k
1

) 

 

ν(n) = 
k

k )1(2 +
 = 2·(1+

k
1

) 

 
Se k = 2 ⇒ ν(m) =3 e ν(n) =3 ⇒ m = p2 e n = p2. 



Bibliografia 
 
(0) Emilio Ambirsi, Numeri Amici, Mirabili e Perfetti, Periodico di matematiche, 
Serie VI, Volume 67, 1991. 
 
(1) P. HOFFMAN, La vendetta di Archimede, Bompiani, 1990, p. 31. 
 
(2) H. STEINHAUS, Cento problemi di matematica elementare, 
Boringhieri. 1987. 
 
(3) D. R. HOFSTADTER: Godel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda 
Brillante, Adelphi 1984, pag. 434. 
 
(4) M. GARDNER, Enigmi e Giochi Matematici, vol. 5, Sansoni, 1976, pag. 
106.