RATIO MATHEMATICA 26 (2014), 77–94 ISSN:1592-7415

Dynamique du problème 3x + 1
sur la droite réelle

Nik Lygeros,∗ Olivier Rozier∗∗

* LGPC (UMR 5285), Universitè de Lyon, 69616, Villeurbanne, France

** IPGP (UMR 7154), 75238, Paris, France

nlygeros@gmail.com,rozier@ipgp.fr

Abstract

The 3x + 1 problem is a difficult conjecture dealing with quite a
simple algorithm on the positive integers. A possible approach is to go
beyond the discrete nature of the problem, following M. Chamberland
who used an analytic extension to the half-line R+. We complete his
results on the dynamic of the critical points and obtain a new for-
mulation the 3x + 1 problem. We clarify the links with the question
of the existence of wandering intervals. Then, we extend the study of
the dynamic to the half-line R−, in connection with the 3x − 1 pro-
blem. Finally, we analyze the mean behaviour of real iterations near
±∞. It follows that the average growth rate of the iterates is close to
(2 +

√
3)/4 under a condition of uniform distribution modulo 2.

Key words : 3x + 1 problem, one-dimensional dynamics, attrac-
ting cycles, asymptotic analysis.

MSC 2010 : 37E05.

1 Introduction

Gènéralement attribué à Lothar Collatz, le problème 3x + 1 est aussi
appelé conjecture de Syracuse, en référence à l’Université du màme nom. Il
se rapporte à la fonction T définie sur les entiers positifs par

(1.1) T(n) :=

{
(3n + 1)/2 si n est impair,

n/2 sinon.

77



N. Lygeros, O. Rozier

12

6

3

5

8

40

20

10

4

13 42

21

32

16

128

64

2

1

Fig. 1 – Arbre inverse du problème 3x + 1 représentant l’ensemble des
antécédents de 1 sur sept itérations.

Il s’agit de prouver que toute itération de T à partir d’un entier positif n
arbitraire conduit nécessairement à la valeur 1. Cette valeur est cyclique de
période 2 : T(T(1)) = 1.

Conjecture 1.1. Problème 3x + 1
Pour tout entier n > 0, il existe un entier k ≥ 0 tel que Tk(n) = 1.1

La figure 1 représente toutes les orbites qui aboutissent à 1 en un maxi-
mum de sept itérations.

Le problème 3x + 1 se ramène entièrement aux deux conjectures 1.2 et
1.3 sur la dynamique de la fonction T.

Conjecture 1.2. Absence de trajectoires divergentes
Tout entier positif n a une orbite {T i(n)}∞i=0 bornée.

Conjecture 1.3. Absence de cycles non-triviaux
Il n’existe pas d’entiers n > 2 et k > 0 tels que Tk(n) = n.

1On note T k(n) le kÀme itéré de T .

78



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

La conjecture 1.2 implique que tout entier positif a une orbite cyclique à
partir d’un certain rang par itération de T. La conjecture 1.3 stipule que le
seul cycle possible est le cycle (1, 2).

Généralement, on convient de stopper les itérations lorsque la valeur 1
est atteinte. Ainsi on appelle temps de vol de n le plus petit entier k tel que
Tk(n) = 1.

T. Oliveira e Silva a vérifié par des calculs sur ordinateur que tout entier
positif n < 5 · 260 a un temps de vol fini [7].

Les conjectures 1.2 et 1.3, bien qu’abondamment étudiées, ne sont tou-
jours pas résolues. On pourra se référer aux ouvrages de J. Lagarias [7] et
G.J. Wirsching [10] pour une synthèse détaillée des résultats partiels relatifs
au problème 3x + 1 et diverses variantes.

R. E. Crandall [4] a avancé un argument heuristique basé sur l’idée de
promenade aléatoire : si l’on considère uniquement la sous-suite des itérés
impairs d’un entier n assez grand, on s’attend à ce que l’ensemble des rapports
possibles entre deux termes successifs impairs, à savoir 3/2, 3/4, 3/8, . . .,
aient pour probabilités respectives les valeurs 1/2, 1/4, 1/8, . . .. On obtient
comme rapport moyen la valeur 3/4. Ceci découle de l’égalité

(1.2)

(
3

2

)1
2

·
(

3

4

)1
4

·
(

3

8

)1
8

· · · =
3

4
.

Cet argument plaide fortement en faveur de la conjecture 1.2.
Dans le cadre de notre étude, nous appellerons vitesse moyenne d’une

séquence finie
{
n,T(n), · · · ,Tk(n)

}
la quantité

(
Tk(n)/n

)1/k
.

Un raisonnement analogue [2] à celui de Crandall suggère que la vitesse
moyenne d’une séquence arbitraire non-cyclique a statistiquement une valeur
proche de

√
3/2 ' 0.866 . . ., moyenne géométrique de 1/2 et 3/2. En effet,

la croissance d’une séquence dépend principalement de la parité des itérés
successifs. Or, on s’attend à ce que les parités soient équiréparties sur un
grand nombre d’itérations.

Ainsi le temps de vol k d’un entier n serait tel que (1/n)1/k ≈
√

3/2 et
l’on obtiendrait la valeur moyenne

k ≈
2 ln n

ln
(

4
3

)
en l’absence de cycle [7, p. 7].

Ces estimations sont confortées par les calculs numériques. Il semble donc
qu’un tel raisonnement permette de saisir l’essentiel de la dynamique asymp-
totique du problème 3x + 1.

79



N. Lygeros, O. Rozier

2 Extension sur les réels positifs

Une approche possible du problème 3x + 1 est de sortir du cadre discret
et d’étendre T par une fonction analytique sur l’ensemble des nombres réels
[3] ou complexes [5, 8]. Nous opterons pour l’extension réelle2 qui nous parait
la plus naturelle, définie par l’équation (2.1) ci-après, et nous expliciterons
les liens étroits qu’entretiennent la dynamique sur les réels et le problème
3x + 1.

Chamberland [3] a étudié la dynamique sur la demi-droite R+ de la fonc-
tion analytique

(2.1) f(x) := x +
1

4
−
(
x

2
+

1

4

)
cos(πx)

qui vérifie f(n) = T(n) pour tout entier n, et f (R+) = R+ . Il a ainsi obtenu
plusieurs résultats significatifs :

Le point fixe 0 est attractif ainsi que les cycles A1 := {1, 2} et(2.2)
A2 := {1.192 . . . , 2.138 . . .} de période 2.
La dérivée Schwartzienne de f est négative sur R+.(2.3)
Les intervalles [0,µ1] et [µ1,µ3] sont invariants par f, où(2.4)

µ1 = 0.277 . . . et µ3 = 2.445 . . . sont des points fixes répulsifs.

Tout cycle d’entiers positifs est attractif.(2.5)

Il existe des orbites monotones non-bornées sur R+.(2.6)

Par ailleurs, il énonce la conjecture “Stable Set” [3] ci-dessous :

Conjecture 2.1. Cycles attractifs sur R+
La fonction f n’admet aucun cycle attractif sur l’intervalle [µ3, +∞).

Une conséquence immédiate de (2.5) est que la conjecture 2.1 entrâıne la
conjecture 1.3 du problème 3x + 1.

Puis, il définit l’ensemble des orbites non-bornées

(2.7) U∞f :=

{
x ∈ R+ : lim sup

k→∞
fk(x) = ∞

}
.

2Le deuxième auteur (O. Rozier) avait antérieurement suggéré l’étude de l’extension
(2.1) dans le plan complexe et obtenu des représentations graphiques des bassins d’attrac-
tion [1].

80



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

Le résultat (2.6) prouve que U∞f est infini, et l’on démontre que U
∞
f contient

un ensemble de Cantor dans chaque intervalle [n,n+1] pour tout entier n ≥ 2
[8]. Il suit que U∞f n’est pas dénombrable.

Conjecture 2.2. Orbites non-bornées sur R+
L’ensemble U∞f est d’intérieur vide.

La conjecture 2.2 est une formulation faible de la conjecture “Unstable
Set” [3]. Nous allons montrer qu’elle a des liens logiques avec le problème
3x + 1.

Lemme 2.1. Soit {cn}
∞
n=0 l’ensemble des points critiques de f dans R

+,
ordonnés de telle sorte que 0 < c1 < c2 < .. ..
Alors on a

n−
1

π2n
< cn < n, si n est pair ;

n < cn < n +
3

π2n
, si n est impair.

Démonstration. (indications) Soit n un entier positif. On a

f ′(x) = 1 −
1

2
cos(πx) + π

(
x

2
+

1

4

)
sin(πx)

et on vérifie facilement que n− 1
2
< cn < n si n est pair, et n < cn < n +

1
2

si n est impair.

De plus, on a toujours f ′(n) > 0 et on montre que

f ′
(
n−

1

π2n

)
<

(20 − 6π2n) n + 1
24π2n3

< 0, si n est pair,

f ′
(
n +

3

π2n

)
<

(18 − 6π2n) n + 9
8π2n3

< 0, si n est impair,

en utilisant les encadrements 1 − t
2

2
< cos t < 1 et t − t

3

6
< sin t < t pour

0 < t < 1.

Lemme 2.2. On considère la famille d’intervalles Jan :=
[
n,n + a

π2n

]
pour

tout entier n > 0 et tout réel a tel que 27
8
< a < 6.

Alors on a f (Jan) ⊂ Jaf(n) pour tout entier n assez grand.
Si de plus a = 7

2
, alors l’inclusion est vraie pour tout n > 0.

81



N. Lygeros, O. Rozier

Démonstration. Soit un entier n > 0 et un réel a tel que 27
8
< a < 6.

1er cas : n est pair, f(n) = n
2

et f est croissante sur Jan. On vérifie alors
que

f
(
n +

a

π2n

)
≤ f(n) +

a

π2f(n)
+ A ·B

avec
A =

a

8π4n3
et B = π2n (2 (a− 6) n + a) + 2a2

en utilisant l’inégalité 1−cos t < t
2

2
pour 0 < t < 1. Comme a−6 < 0, il est

clair que A ·B < 0 pour n suffisamment grand.

Si de plus a = 7
2
, alors B ≤ 49

2
− 13π2 < 0 pour tout n.

2e cas : n est impair, f(n) = 3n+1
2

et f est croissante sur [n,cn] et
décroissante sur

[
cn,n +

a
π2n

]
. On vérifie alors que

f
(
n +

a

π2n

)
≥ f(n) −A ·B

A et B étant défini comme précédemment, donc A ·B < 0 pour n suffisam-
ment grand. Si de plus a = 7

2
, alors A ·B < 0 pour tout n ≥ 3, et dans le cas

n = 1, on a

f

(
1 +

7

2π2

)
= 2.013 . . . > f(1).

D’après le lemme 2.1, on a cn = n +
b
π2n

avec 0 < b < 3. Il vient

f(cn) −f(n) ≤
3b

2π2n
−
n

2

(
1 − cos

(
b

πn

))
puis en utilisant l’inégalité 1 − cos t > t

2

2
− t

4

24
pour 0 < t < 1,

f(cn) −f(n) <
b(6 − b)

4π2n
+

b4

48π4n3
≤

9

4π2n
+

27

16π4n3
.

On obtient

f(cn) < f(n) +
a

π2f(n)
+
C

D
avec

C = 4π2n2 ((27 − 8a)n + 9) + 81n + 27 et D = 16π4n3(3n + 1).

On voit que C < 0 pour n suffisamment grand. Si de plus a = 7
2

et n ≥ 11,
on a alors

C = 4π2n2(9 −n) + 81n + 27 < 0

82



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

et dans les cas où n = 1, 3, 5, 7 ou 9, on vérifie numériquement que

f(cn) −f(n) −
7

(3n + 1)π2
< 0

en utilisant les valeurs c1 = 1.180938 . . ., c3 = 3.084794..., c5 = 5.054721...,
c7 = 7.040311... et c9 = 9.031889....

On déduit du lemme 2.2 un lien logique entre les conjectures 1.2 et 2.2 :

Théorème 2.1. La conjecture 2.2 implique la conjecture 1.2 (absence d’or-
bites non-bornées) du problème 3x + 1 .

Démonstration. Supposons que la conjecture 2.2 soit vraie et que la conjec-
ture 1.2 soit fausse. Alors il existe un entier positif n0 tel que

lim sup
k→∞

fk(n0) = ∞.

D’après le lemme 2.2, une simple récurrence donne

fk
(
J

7
2
n0

)
⊂ J

7
2

fk(n0)

pour tout entier k ≥ 0. Donc l’ensemble U∞f contient l’intervalle J
7
2
n0 , ce qui

est en contradication avec notre hypothèse que U∞f soit d’intérieur vide.

3 Dynamique des points critiques

Les résultats (2.3) et (2.5) entrainent que le bassin d’attraction immédiat
de tout cycle d’entiers strictement positifs contient au moins un point critique
[3]. Pour cette raison, Chamberland a effectué des calculs numériques relatifs
aux orbites des points critiques cn pour n ≤ 1000. Il énonce la conjecture
“Critical Points” ci-dessous :

Conjecture 3.1. Points critiques
Tous les points critiques cn, n > 0, sont attirés par l’un des cycles A1 ou A2.

Nous complétons ici les résultats numériques de Chamberland. Une précision
de 1500 chiffres décimaux en virgule flottante est requise pour le calcul de
certaines orbites (c646 par exemple). Nous avons vérifié nos résultats avec
deux logiciels différents, Mathematica et Maple.

D’après nos calculs, les cycles A1 et A2 attirent tous les points critiques
cn pour n ≤ 2000. Plus précisément, cn est attiré par A2 pour 3 n = 1,

3En gras les valeurs déjà obtenues par Chamberland.

83



N. Lygeros, O. Rozier

3, 5, 382, 496, 502, 504, 508, 530, 550, 644, 646, 656, 666, 754, 830, 874,
1078, 1150, 1214, 1534, 1590, 1598, 1614, 1662, 1854, et par A1 pour toutes
les autres valeurs de n ≤ 2000. Nous avons observé que l’orbite de cn est
toujours proche de l’orbite de n, sauf pour n ≡−2 (mod 64) et pour n=54,
334, 338, 366, 390, 442, 444, 470, 484, 486, 496, 500, . . ..

Les résultats numériques suggèrent la conjecture suivante4 :

Conjecture 3.2. Points critiques d’ordre impair
Les points critiques cn sont attirés par le cycle A1 = {1, 2} pour tout entier
n ≥ 7 impair.

Nous montrons à présent que la conjecture 3.2 suffit pour reformuler
complètement le problème 3x + 1.

Théorème 3.1. Soit un entier impair n ≥ 7 dont l’orbite contient 1. Alors
le point critique cn est attiré par le cycle A1.

Démonstration. Considérons un entier impair n ≥ 7 dont l’orbite contient 1.
La construction de l’arbre des orbites inverses de 1, représenté sur la figure 1,
montre que l’orbite de n contient l’un des entiers 12, 13, 16 ou 40. On déduit
de règles itératives modulo 3 sur les entiers que les antécédents de 12 sont
des entiers pairs. Il vient que fk(n) = 13, 16 ou 40 pour un entier k ≥ 0. Les
lemmes 2.1 et 2.2 entrâınent que cn appartient à J

7
2
n et f

k(cn) se trouve dans

J
7
2
13 ∪J

7
2
16 ∪J

7
2
40.

1er cas : fk(n) = 13, fk(cn) ∈ J
7
2
13. La séquence des itérés de f

k(n) est
13 → 20 → 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1.

Soit m un entier pris dans cette séquence. La fonction f est unimodale

sur J
7
2
m avec un maximum en cm lorsque m est impair, et strictement crois-

sante lorsque m est pair. Ce comportement permet de déterminer les images

successives de J
7
2
13 en fonction de c13 = 13.022478 . . ..

f
(
J

7
2
13

)
= [20,f(c13)]

f3
(
J

7
2
13

)
=
[
5,f3(c13)

]
avec f3(c13) = 5.0249 . . . < c5 = 5.0547 . . ..

f7
(
J

7
2
13

)
=
[
1,f7(c13)

]
4Dans [5], une conjecture analogue avec davantage d’hypothèses est formulée relative-

ment à une autre extension de la fonction T sur les réels.

84



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

avec f7 (c13) = 1.0184 . . ..
De plus la fonction f2 est strictement croissante sur l’intervalle (1,c1) avec

une unique point fixe x1 = 1.023686 . . . qui est répulsif. Il suit que l’intervalle
[1,x1) fait partie du bassin d’attraction immédiat du cycle A1 et que cn est
attiré par A1.

2e cas : fk(n) = 16, fk(cn) ∈ J
7
2
16. On a la séquence 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Comme précédemment, on obtient l’image

f4
(
J

7
2
16

)
=

[
1,f4

(
16 +

7

32π2

)]
avec f4

(
16 + 7

32π2

)
= 1.0227 . . . < x1. Donc cn est attiré par A1.

3e cas : fk(n) = 40, fk(cn) ∈ J
7
2
40, et la séquence des itérés est 40 →

20 → 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1. De la màme manière, on itère les images
successives

f3
(
J

7
2
40

)
=

[
5,f3

(
40 +

7

80π2

)]
avec f3

(
40 + 7

80π2

)
= 5.0118 . . . < c5 = 5.0547 . . .,

f7
(
J

7
2
40

)
=

[
1,f7

(
40 +

7

80π2

)]
avec f7

(
40 + 7

80π2

)
= 1.0047 . . . < x1. Ainsi cn est attiré par A1 dans tous

les cas.

Remarque 3.1. Dans cette démonstration, il n’est pas possible de fusionner

les cas 1 et 3 en partant de l’entier 20 car f6
(
J

7
2
20

)
=
[
1,f6

(
20 + 7

40π2

)]
=

[1, 1.023691 . . .] n’est pas inclus (de très peu) dans le bassin d’attraction de
A1 délimité par x1 = 1.023686 . . ..

Corollaire 3.1. La conjecture 3.2 est logiquement équivalente au problème
3x + 1.

Démonstration. Une conséquence immédiate du théorème 3.1 est que la conjec-
ture 1.1 (problème 3x + 1) implique la conjecture 3.2 sur la dynamique des
points critiques d’ordre impair. On démontre à présent la réciproque.

Considérons un entier n > 0. Son orbite contient au moins un entier
impair fk1 (n), k1 ≥ 0. Si fk1 (n) ≤ 5, alors l’orbite de n contient le point 1
(cf. figure 1). On considère à présent le cas fk1 (n) ≥ 7.

85



N. Lygeros, O. Rozier

Supposons que la conjecture 3.2 soit vraie. Alors il existe un entier positif
k2 tel que

fk2
(
cfk1 (n)

)
< 2.

De plus, le lemme 2.2 donne par récurrence l’inclusion

fk2
(
cfk1 (n)

)
∈ J

7
2

fk1+k2 (n)
.

Il découle l’égalité

fk1+k2 (n) = 1.

4 Intervalles errants

L’existence d’intervalles errants [9] dans la dynamique de l’extension f
est une question ouverte avec d’importantes implications pour le problème
3x + 1.

Conjecture 4.1. Absence d’intervalles errants
La fonction f n’admet pas d’intervalles errants dans R+.

Elle est au cœur du théorème ci-dessous.

Théorème 4.1. On a les relations suivantes entre conjectures :
(a) la conjecture 2.2 entrâıne la conjecture 4.1,
(b) la conjecture 4.1 entrâıne la conjecture 1.2.

Démonstration. Par l’absurde.
(a) Supposons que la conjecture 2.2 soit vraie et que la conjecture 4.1 soit
fausse. Cela implique que la fonction f admette une famille d’intervalles er-
rants sur une partie bornée de R+. Or ce serait en contradiction avec la
propriété (2.3) : la dérivée Schwartzienne de f est négative sur R+.

(b) Supposons que la conjecture 1.2 soit fausse. Alors il existe un entier
positif n tel que limi→∞ f

i(n) = +∞. D’après le lemme 2.2, les intervalles{
fi
(
J

7/2
n

)}∞
i=0

sont inclus dans les intervalles
{
J

7/2

fi(n)

}∞
i=0

, deux à deux dis-

joints. Il s’agit d’une famille d’intervalles errants.

Une synthèse des liens logiques entre conjectures est donnée en annexe.

86



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

5 Extension sur les réels négatifs

L’ensemble R− des réels négatifs est également invariant par la fonction
f définie par (2.1). La dynamique sur les entiers négatifs est alors identique,
au signe près, à celle de la fonction “3x−1”, notée U et définie sur les entiers
positifs par

(5.1) U(n) :=

{
(3n− 1)/2 si n est impair,

n/2 sinon.

En effet, on a la relation de conjugaison f(−n) = −U(n) pour tout entier
n positif. La fonction U admet le point fixe 1 et a deux cycles connus :
{5, 7, 10} de période 3 et {17, 25, 37, 55, 82, 41, 61, 91, 136, 68, 34} de période
11. Cela conduit à formuler le “problème 3x− 1” :

Conjecture 5.1. Problème 3x− 1
Pour tout entier n > 0, il existe un entier k ≥ 0 tel que Uk(n) = 1, 5 ou 17.

Les valeurs de f sur R+ et (−∞,−1] sont liées pas l’équation fonctionnelle

(5.2) f(x) −f(−1 −x) = 2x + 1

de sorte que les points fixes de f sur (−∞,−1] sont exactement les points
νi := −1 − µi, où {µi}∞i=0 désigne l’ensemble des points fixes de f sur R+,
µ0 = 0 < µ1 < 1 < µ2 < 2 < .. ..

Néanmoins, la dynamique de f sur R− diffère partiellement de celle que
l’on a pu décrire sur R+, comme le montrent les propriétés (5.3) à (5.7).

Les points fixes 0 et ν1 = −1.277 . . . sont attractifs, ainsi que les(5.3)
cycles

B1 :=
{
x,f(x),f2(x)

}
où x = −5.046002 . . . ,

B2 :=
{
x,f(x),f2(x)

}
où x = −4.998739 . . . ,

B3 :=
{
x,f(x), . . . ,f10(x)

}
où x = −17.002728 . . . ,

B4 :=
{
x,f(x), . . . ,f10(x)

}
où x = −16.999991 . . . ..

La dérivée Schwartzienne de f n’est pas partout négative sur R−.(5.4)
Les intervalles [−1, 0] et [ν1,−1] sont invariants par f.(5.5)
Tout cycle d’entiers négatifs est répulsif.(5.6)

Il existe des orbites monotones non-bornées sur R−.(5.7)

87



N. Lygeros, O. Rozier

Point ou cycle attractif Période Multiplicateur
0 1 0.5
ν1 1 0.385708 . . .
B1 3 0.036389 . . .
B2 3 0.866135 . . .
B3 11 0.003773 . . .
B4 11 0.926287 . . .

Tab. 1 – Coefficients multiplicateurs des points et cycles attractifs sur les
réels négatifs.

Démonstration. (indications)

Propriété (5.3) : Les vitesses d’attraction sont données dans le tableau 1.

Propriété (5.4) : La dérivée Schwartzienne est positive sur un intervalle conte-
nant le point -0.2. On a en effet Sf(−0.2) = 39.961 . . ., où

Sf(x) =
f ′′′(x)

f ′(x)
−

3

2

(
f ′′(x)

f ′(x)

)2
.

Propriété (5.5) : La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [ν1, 0]
contenant le point fixe répulsif -1.

Propriété (5.6) : Voir les indications dans [3, p.16].

Propriété (5.7) : La démonstration est similaire à celle de (2.6).

Remarque 5.1. Les cycles B2 et B4 sont très faiblement attractifs car leur
multiplicateur est proche de 1 (cf. tableau 1). On vérifie également que les
cycles contenant les points -5 et -17 sont très faiblement répulsifs, avec pour
multiplicateurs respectifs les rationnels 9/8 et 2187/2048.

Comme précédemment, on note cn les points critiques proches des entiers
n < 0, et on peut montrer que les itérés successifs de cn pour n impair
négatif restent proches des itérés de n, par valeurs inférieures. Nous avons
vérifié numériquement pour tout entier n, −1000 < n < 0, que

88



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

– si n est impair et fk(n) = −1 (resp. -5, -17) pour un entier k, alors
l’orbite de cn converge vers ν1 (resp. B1, B3) ;

– si n est pair et fk(n) = −1 (resp. -5, -17) pour un entier k, alors l’orbite
de cn converge vers 0 (resp. B2, B4), sauf pour n=-34, -66, -98, -130,
-132, -162, -174, -194, -202, -226, . . . où l’orbite de cn converge vers B3,
B1, B3, ν1, B3, B1, ν1, B1, ν1, ν1, . . . respectivement. On note que les
entiers n ≡−2 (mod 32) semblent toujours faire partie des exceptions.

Le plus souvent, lorsque n < 0 est pair, l’orbite de cn reste proche de
l’orbite de n, par valeurs supérieures. Pour n=-34, -98, -132, -162, -202, . . .
les itérés de cn finissent pas àtre inférieurs aux itérés de n, sans s’en éloigner
pour autant. Pour n=-66, -130, -174, -194, -258, . . . les orbites de n et de
cn sont décorrélées après un nombre fini d’itérations. Dans ce dernier cas,
on observe une répartition des orbites de cn dans chacun des six bassins
d’attraction de R− : 0, ν1, B1, B2, B3 et B4.

Conjecture 5.2. Points critiques d’ordre négatif impair
Les points critiques cn sont attirés soit par le point fixe ν1, soit par l’un des
cycles B1 ou B3, pour tout entier n < 0 impair.

6 Dynamique asymptotique

Dans cette partie, nous étudions le comportement moyen de séquences
finies ou infinies d’itérations de f, afin de déterminer la vitesse moyenne
asymptotique (i.e. au voisinage de ±∞).

Nous dirons ainsi qu’une séquence infinie S = {fi(x)}∞i=0 est uniformément
distribuée modulo 2 (u. d. mod 2) si et seulement si la discrépance à l’origine
de {fi(x) mod 2}n−1i=0 dans l’intervalle [0, 2], notée D

∗
n(S mod 2), vérifie

5

lim
n→∞

D∗n(S mod 2) = 0.

Dans le cas d’une séquence finie S = {fi(x)}ni=0, nous dirons de manière
informelle que S est u. d. mod 2 dès lors que D∗n(S mod 2) � 1.

On rappelle que la notion de discrépance est une mesure de l’uniformité
de la distribution d’une séquence de points X = {x1, . . . ,xn} ∈ [a,b]n et est
définie par

(6.1) D∗n(X) := sup
a≤c≤b

∣∣∣∣|{x1, . . . ,xn}∩ [a,c)|n − c−ab−a
∣∣∣∣

Elle intervient notamment dans l’inégalité de Koksma [6] :

5On note x mod 2 la valeur modulo 2 de tout réel x, définie par x mod 2 := x − 2bx
2
c.

89



N. Lygeros, O. Rozier

Théorème 6.1. (Koksma) Soit f : [a,b] → R une fonction à variation
(totale) V (f) bornée. Alors pour toute séquence X = {x1, . . . ,xn} ∈ [a,b]n,
on a ∣∣∣∣∣1n

n∑
i=1

f(xi) −
1

b−a

∫ b
a

f(t) dt

∣∣∣∣∣ < V (f)D∗n(X)
Nous considérons dorénavant que la fonction f définie par (2.1) s’applique

sur R tout entier. Comme f ne s’annule qu’en 0, il suit que fn(x) est de màme
signe que x pour tout réel x 6= 0 et tout entier n.

Notre approche consiste à approximer f(x)/x par son asymptote sinusöıdale

(6.2) g(x) := 1 −
cos(πx)

2

dont on détermine la moyenne géométrique.

Lemme 6.1. La moyenne géométrique τ de la fonction réelle g(x) = 1 −
cos(πx)/2 sur [0, 2] est égale à α/4, où α = 2 +

√
3 est racine du polynôme

X2 − 4X + 1.

Démonstration. On cherche à calculer τ := exp
(

1
2

∫ 2
0

ln (g(t)) dt
)

avec

g(t) = 1 − cos(πt)/2 =
(
α−eiπt

)(
α−e−iπt

)
/(4α) =

∣∣α−eiπt∣∣2 /(4α).
On obtient

ln τ =

∫ 2
0

ln
∣∣α−eiπt∣∣ dt − ln (4α) .

La formule de Jensen relative aux fonctions analytiques sur le disque de
centre α et de rayon 1 donne le résultat attendu

ln τ = 2 ln α− ln(4α) = ln
(α

4

)
.

On montre à présent qu’au voisinage de ±∞ toute séquence d’itérations
u. d. mod 2 de f décroit avec une vitesse moyenne proche de τ = (2+

√
3)/4 '

0.933 . . ..

Théorème 6.2. Soit une séquence finie d’itérations S = {fi(x)}ni=0 telle que
min{|fi(x)|}n−1i=0 ≥ M pour un réel M >

1
3
. Alors on a∣∣∣∣1n ln

(
fn(x)

x

)
− ln τ

∣∣∣∣ < 2 (ln 3) D∗n(S mod 2) − ln
(

1 −
1

3M

)
.

90



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

Démonstration. On considère la formulation f(t) = g(t) (t + h(t)) où h est
la fonction périodique

h(t) :=
1 − cos(πt)

4g(t)
=

1 − cos(πt)
4 − 2 cos(πt)

.

On a donc

fn(x)

x
=

n−1∏
i=0

fi+1(x)

fi(x)
=

n−1∏
i=0

g
(
fi(x)

)(
1 +

h (fi(x))

fi(x)

)
Il vient alors

1

n
ln

(
fn(x)

x

)
− ln τ = A + B

avec

A =
1

n

n−1∑
i=0

ln
(
g
(
fi(x)

))
− ln τ

et

B =
1

n

n−1∑
i=0

ln

(
1 +

h (fi(x))

fi(x)

)
D’après le lemme 6.1,

ln τ =
1

2

∫ 2
0

ln (g(t)) dt

On applique l’inégalité de Koksma :

|A| ≤ V (φ)D∗n(S mod 2)

où V (φ) est la variation totale de la fonction φ(t) := ln (g(t)) sur [0, 2], soit
V (φ) = 2φ(1) −φ(2) −φ(0) = 2 ln 3.

Pour majorer |B|, on vérifie que la fonction h(t) est à valeur dans [0, 1/3]
avec un maximum en t = 1. On en déduit que

|B| ≤ max
(
− ln

(
1 −

1

3M

)
, ln

(
1 +

1

3M

))
= − ln

(
1 −

1

3M

)
.

Le théorème 6.2 est inopérant pour les séquences d’entiers, dont la vitesse
moyenne attendue est

√
3/2, strictement inférieure à τ. Il permet toutefois

d’établir un lien entre la vitesse moyenne et la distribution modulo 2 des
itérations.

91



N. Lygeros, O. Rozier

Théorème 6.3. Soit x un réel d’orbite {fi(x)}∞i=0 telle que

lim inf
i→∞

|fi(x)| >
1

3(1 − τ)
' 4.97 . . .

Alors l’orbite de x n’est pas uniformément distribuée modulo 2.

Démonstration. Il existe un entier positif N et un réel a > 1 tels que

|fi(x)| ≥
a

3(1 − τ)

pour tout i ≥ N.

On considère les séquences finies Sn = {fi(x)}n+Ni=N pour tout n entier
positif, et on pose Mn := min{|fi(x)|}n+Ni=N .

D’après le théorème 6.2,

1

n
ln

(
fn+N (x)

fN (x)

)
− ln τ < 2(ln 3)D∗n(Sn mod 2) − ln

(
1 −

1

3Mn

)
.

Il vient
2(ln 3)D∗n(Sn mod 2) > An + Bn

avec

An =
1

n
ln

(
fn+N (x)

fN (x)

)
et

Bn = − ln τ + ln
(

1 −
1

3Mn

)
.

D’une part, on vérifie aisément que lim infn→∞ An ≥ 0. D’autre part, on
a

Bn ≥− ln τ + ln
(

1 −
1 − τ
a

)
= ln

(
1 +

(a− 1)(1 − τ)
aτ

)
> 0.

On obtient donc le résultat souhaité :

lim inf
n→∞

D∗n(Sn mod 2) ≥
ln
(

1 +
(a−1)(1−τ)

aτ

)
2 ln 3

> 0.

L’existence d’orbites tendant vers l’infini a été prouvée par Chamberland
pour la fonction f et le corollaire 6.1 donne une condition nécessaire sur
l’ensemble des valeurs modulo 2 d’une telle orbite.

92



Dynamique du problème 3x + 1 sur la droite réelle

Corollaire 6.1. Soit x un réel d’orbite {fi(x)}∞i=0 divergente telle que

lim
i→∞
|fi(x)| = +∞.

Alors l’orbite de x n’est pas u. d. mod 2.

Ce résultat renforce la conjecture 2.2. En effet, on peut s’attendre à ce que
la condition de distribution uniforme modulo 2 des itérations de f soit le plus
souvent valide au voisinage de ±∞, compte tenu des propriétés suivantes :

– le diamètre et la densité des zones contractantes tend vers 0,
– l’amplitude des oscillations devient infiniment grande.

Références

[1] A. Aoufi, O. Rozier, Le problème de Syracuse dans C, Singularité No5
(1990) 26.

[2] E. Barone, Una argumentazione euristica probabilistica sulla successione
di Collatz, Ital. J. Pure Appl. Math., 4 (1998) 151–153.

[3] M. Chamberland, A continuous extension of the 3x+1 problem to the
real line, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, 2
(1996) 495–509.

[4] R. E. Crandall, On the ”3x+ 1” problem, Math. Comp., 32 (1978) 1281–
1292.

[5] J. Dumont, C. Reiter, Real dynamics of a 3-power extension of the 3x+1
function, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, 10
(2003) 875–893.

[6] L. Kuipers, H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences, John
Wiley & Sons, 1974.

[7] J. Lagarias, The Ultimate Challenge : The 3x+1 Problem, American
Mathematical Monthly, 2010.

[8] S. Letherman, D. Schleicher, R. Wood, The 3n + 1 problem and holo-
morphic dynamics, Experiment. Math., 8, (1999) 241–251.

[9] W. de Melo, S. van Strien, One-Dimensional Dynamics, Springer-Verlag,
1993.

[10] G. J. Wirsching, The Dynamical System Generated by the 3n + 1 Func-
tion, Springer-Verlag, 1998.

93



N. Lygeros, O. Rozier

Annexe
La figure 2 ci-dessous résume quelques-uns des principaux résultats de cet

article sous la forme de liens logiques entre diverses conjectures.

Conjecture 3.2

Points critiques 
d'ordre impair

Conjecture 1.1

 Problème 3x+1 

Conjecture 2.1

Cycles attractifs
positifs 

Conjecture 1.2

Trajectoires 
divergentes

Conjecture 2.2

Orbites non-bornées
positives

Conjecture 4.1

Absence d'intervalles
errants

Conjecture 1.3

Cycles 
non-triviaux

Fig. 2 – Liens logiques entre conjectures. La partie gauche concerne le cadre
continu R+ et la partie droite le cadre discret Z+.

94